# Properties

 Label 33.6.e.b Level $33$ Weight $6$ Character orbit 33.e Analytic conductor $5.293$ Analytic rank $0$ Dimension $20$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [33,6,Mod(4,33)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(33, base_ring=CyclotomicField(10))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 2]))

N = Newforms(chi, 6, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("33.4");

S:= CuspForms(chi, 6);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$33 = 3 \cdot 11$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$6$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 33.e (of order $$5$$, degree $$4$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$5.29266605383$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$20$$ Relative dimension: $$5$$ over $$\Q(\zeta_{5})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{20} - x^{19} + 78 x^{18} + 79 x^{17} + 10573 x^{16} - 33409 x^{15} + 1262953 x^{14} - 1581925 x^{13} + 89291182 x^{12} - 100741271 x^{11} + 2277268901 x^{10} + \cdots + 25599187870096$$ x^20 - x^19 + 78*x^18 + 79*x^17 + 10573*x^16 - 33409*x^15 + 1262953*x^14 - 1581925*x^13 + 89291182*x^12 - 100741271*x^11 + 2277268901*x^10 - 1144062486*x^9 + 70677624924*x^8 + 93641098134*x^7 + 1732079176577*x^6 + 1113900934906*x^5 + 27749747552381*x^4 + 4154923377746*x^3 + 57625758470132*x^2 + 60036938210920*x + 25599187870096 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{5}]$$ Coefficient ring index: $$2^{4}\cdot 11^{2}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{5}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{19}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + (\beta_{6} - \beta_{5}) q^{2} + 9 \beta_{7} q^{3} + (\beta_{16} + \beta_{12} + 18 \beta_{7} + 18 \beta_{6} - \beta_{5} + \beta_{4} + \beta_{3} - 12 \beta_{2} + \cdots - 12) q^{4}+ \cdots - 81 \beta_{6} q^{9}+O(q^{10})$$ q + (b6 - b5) * q^2 + 9*b7 * q^3 + (b16 + b12 + 18*b7 + 18*b6 - b5 + b4 + b3 - 12*b2 + b1 - 12) * q^4 + (b17 - b14 + b11 + b9 + 3*b7 + 2*b4 + 2*b3 - 5*b2 - 3) * q^5 + (9*b2 - 9*b1) * q^6 + (b19 + b14 + 2*b13 - b11 + 2*b9 - 2*b8 + 4*b7 + 4*b6 + 4*b5 - 4*b4 + 2*b3 - 13*b2 + 2*b1 - 13) * q^7 + (b18 - b17 + 2*b16 - 2*b14 - 2*b13 + 2*b12 - 2*b9 + 56*b7 + 25*b6 - 12*b5 + 17*b4 + 10*b3 - 2*b1 - 25) * q^8 - 81*b6 * q^9 $$q + (\beta_{6} - \beta_{5}) q^{2} + 9 \beta_{7} q^{3} + (\beta_{16} + \beta_{12} + 18 \beta_{7} + 18 \beta_{6} - \beta_{5} + \beta_{4} + \beta_{3} - 12 \beta_{2} + \cdots - 12) q^{4}+ \cdots + ( - 81 \beta_{19} + 324 \beta_{17} - 324 \beta_{16} - 243 \beta_{15} + \cdots - 4212) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (b6 - b5) * q^2 + 9*b7 * q^3 + (b16 + b12 + 18*b7 + 18*b6 - b5 + b4 + b3 - 12*b2 + b1 - 12) * q^4 + (b17 - b14 + b11 + b9 + 3*b7 + 2*b4 + 2*b3 - 5*b2 - 3) * q^5 + (9*b2 - 9*b1) * q^6 + (b19 + b14 + 2*b13 - b11 + 2*b9 - 2*b8 + 4*b7 + 4*b6 + 4*b5 - 4*b4 + 2*b3 - 13*b2 + 2*b1 - 13) * q^7 + (b18 - b17 + 2*b16 - 2*b14 - 2*b13 + 2*b12 - 2*b9 + 56*b7 + 25*b6 - 12*b5 + 17*b4 + 10*b3 - 2*b1 - 25) * q^8 - 81*b6 * q^9 + (-b19 + b18 + 3*b17 + b16 - 3*b13 + 5*b11 - b10 + b9 + b8 - 111*b6 - b5 - 26*b3 + 111*b2 - 2*b1 + 41) * q^10 + (b19 + 2*b18 + 2*b17 + b16 - b14 - 2*b13 - 2*b12 - 2*b11 - b10 - 3*b9 + b8 + 25*b7 + 5*b6 - 26*b5 + 18*b4 + 8*b3 - 57*b2 + 18*b1 + 91) * q^11 + (-9*b8 - 54*b6 + 9*b3 + 54*b2 - 108) * q^12 + (4*b19 - 3*b18 + 8*b17 + 2*b16 + 3*b15 - 8*b14 - 6*b13 - 3*b12 + 6*b11 - 4*b10 - 3*b8 - 119*b7 + 56*b6 - 14*b5 - 22*b4 - 6*b3 + 119*b2 - 28*b1) * q^13 + (-4*b19 + 5*b18 + 15*b17 - 15*b16 - 4*b15 + 4*b14 + 4*b13 - 13*b12 + 13*b9 + 2*b8 - 253*b7 - 241*b6 + 45*b5 + 5*b4 - 41*b3 + 4*b1 + 241) * q^14 + (9*b16 - 9*b14 + 9*b12 + 9*b11 + 18*b7 + 18*b6 + 18*b5 - 18*b4 - 45*b2 - 45) * q^15 + (-3*b18 - 17*b17 + b15 + b14 + 19*b12 - 17*b11 - 3*b10 - 15*b9 + 489*b7 + 50*b4 + 50*b3 - 26*b2 + 21*b1 - 489) * q^16 + (7*b18 - 16*b17 - 5*b15 + 7*b14 - 4*b12 - 16*b11 + 7*b10 + 9*b9 - 121*b7 + 8*b4 + 8*b3 - 105*b2 + 24*b1 + 121) * q^17 + (-81*b7 - 81*b6 + 81*b5 - 81*b4 - 81*b3 + 81*b2 - 81*b1 + 81) * q^18 + (-8*b18 - 17*b17 - 21*b16 + 28*b14 + 28*b13 - 13*b12 + 13*b9 + 8*b8 - 464*b7 - 336*b6 - 82*b5 + 82*b4 + 110*b3 + 28*b1 + 336) * q^19 + (-b19 - 6*b18 + 20*b17 + 37*b16 + 6*b15 - 20*b14 - 19*b13 + 4*b12 + 19*b11 + b10 + 4*b8 + 210*b7 + 1127*b6 + 32*b5 - 55*b4 - 19*b3 - 210*b2 - 74*b1) * q^20 + (9*b17 + 18*b16 - 9*b13 + 18*b11 + 9*b10 + 18*b9 - 18*b8 + 81*b6 - 36*b5 - 9*b3 - 81*b2 + 27*b1 - 117) * q^21 + (2*b19 - 13*b18 - 11*b17 + 5*b16 + 8*b15 + 24*b14 + 6*b13 + 13*b12 - 18*b11 - 6*b10 - 49*b9 + 34*b8 + 1248*b7 + 1033*b6 - 179*b5 + 20*b4 + 72*b3 - 270*b2 + 90*b1 - 286) * q^22 + (-3*b19 + 3*b18 - 28*b17 - 36*b16 + 28*b13 + 5*b11 + 13*b10 - 36*b9 + 16*b8 - 9*b6 - 30*b5 - 38*b3 + 9*b2 + 58*b1 + 442) * q^23 + (-9*b19 + 9*b18 - 9*b17 - 18*b16 - 9*b15 + 9*b14 + 27*b13 - 18*b12 - 27*b11 + 9*b10 - 18*b8 - 225*b7 - 504*b6 + 153*b5 - 108*b4 + 27*b3 + 225*b2 - 81*b1) * q^24 + (13*b19 - 19*b18 + 6*b17 - 31*b16 + 13*b15 - 32*b14 - 32*b13 + 22*b12 - 22*b9 + 53*b8 + 258*b7 + 928*b6 + 54*b5 - 22*b4 - 86*b3 - 32*b1 - 928) * q^25 + (-11*b19 + 46*b16 - 11*b15 - 13*b14 + 11*b13 + 46*b12 + 13*b11 + 11*b10 + 11*b9 - 11*b8 + 510*b7 + 510*b6 + 26*b5 - 26*b4 + 253*b3 - 1374*b2 + 253*b1 - 1374) * q^26 - 729*b2 * q^27 + (-22*b18 + 8*b17 + 7*b15 + 81*b14 - 107*b12 + 8*b11 - 22*b10 + 96*b9 - 2399*b7 - 345*b4 - 345*b3 + 1601*b2 + 22*b1 + 2399) * q^28 + (-7*b19 - 43*b16 - 3*b15 - 6*b14 - 50*b13 - 43*b12 + 6*b11 + 3*b10 + 9*b9 - 9*b8 - 2209*b7 - 2209*b6 - 18*b5 + 18*b4 - 46*b3 + 143*b2 - 46*b1 + 143) * q^29 + (-9*b19 + 18*b18 - 18*b17 + 9*b16 - 9*b15 - 27*b14 - 27*b13 + 18*b12 - 18*b9 + 9*b8 - 630*b7 - 999*b6 - 9*b5 + 216*b4 - 18*b3 - 27*b1 + 999) * q^30 + (3*b19 + 7*b18 - 66*b17 - 33*b16 - 7*b15 + 66*b14 + 79*b13 + 21*b12 - 79*b11 - 3*b10 + 21*b8 - 51*b7 + 1372*b6 + 482*b5 + 142*b4 + 79*b3 + 51*b2 + 221*b1) * q^31 + (-2*b19 + 2*b18 - 58*b17 - 38*b16 + 58*b13 - 74*b11 - 22*b10 - 38*b9 - 101*b8 - 2250*b6 + 540*b5 - 259*b3 + 2250*b2 - 482*b1 + 1064) * q^32 + (-18*b19 + 27*b18 + 36*b17 - 27*b16 - 18*b15 - 18*b14 - 9*b13 - 18*b12 + 27*b10 - 36*b9 + 27*b8 + 1332*b7 + 288*b6 - 18*b5 + 90*b4 + 171*b3 - 468*b2 - 63*b1 - 513) * q^33 + (12*b19 - 12*b18 + 52*b17 - 109*b16 - 52*b13 - 31*b11 - 41*b10 - 109*b9 + 88*b8 + 234*b6 - 484*b5 - 418*b3 - 234*b2 + 432*b1 + 826) * q^34 + (-8*b19 - 6*b18 + 32*b17 + 54*b16 + 6*b15 - 32*b14 - 69*b13 - 99*b12 + 69*b11 + 8*b10 - 99*b8 - 2696*b7 - 1795*b6 + 288*b5 - 746*b4 - 69*b3 + 2696*b2 - 815*b1) * q^35 + (-81*b12 + 81*b9 - 81*b8 - 1458*b7 - 486*b6 - 81*b4 + 486) * q^36 + (34*b19 + 88*b16 + 29*b15 + 6*b14 - 14*b13 + 88*b12 - 6*b11 - 29*b10 - 73*b9 + 73*b8 + 1046*b7 + 1046*b6 - 530*b5 + 530*b4 + 854*b3 - 2687*b2 + 854*b1 - 2687) * q^37 + (31*b18 + 121*b17 - 25*b15 - 7*b14 + 64*b12 + 121*b11 + 31*b10 + 149*b9 + 3874*b7 - 736*b4 - 736*b3 - 736*b2 - 260*b1 - 3874) * q^38 + (9*b18 + 18*b17 + 27*b15 - 72*b14 - 27*b12 + 18*b11 + 9*b10 - 18*b9 - 1071*b7 - 198*b4 - 198*b3 + 1575*b2 - 324*b1 + 1071) * q^39 + (8*b19 + 58*b16 + 26*b15 - 86*b14 + 58*b12 + 86*b11 - 26*b10 + 39*b9 - 39*b8 + 2236*b7 + 2236*b6 - 1390*b5 + 1390*b4 + 969*b3 - 184*b2 + 969*b1 - 184) * q^40 + (38*b19 - 7*b18 + 26*b17 + 51*b16 + 38*b15 + 65*b14 + 65*b13 + 43*b12 - 43*b9 - 8*b8 - 105*b7 - 3928*b6 + 88*b5 + 796*b4 - 23*b3 + 65*b1 + 3928) * q^41 + (-9*b19 + 45*b18 + 135*b17 + 117*b16 - 45*b15 - 135*b14 - 171*b13 + 135*b12 + 171*b11 + 9*b10 + 135*b8 + 2169*b7 + 2277*b6 + 45*b5 + 405*b4 - 171*b3 - 2169*b2 + 234*b1) * q^42 + (26*b19 - 26*b18 + 47*b17 + 112*b16 - 47*b13 + 42*b11 + 16*b10 + 112*b9 - 41*b8 - 1658*b6 + 556*b5 - 473*b3 + 1658*b2 - 603*b1 - 108) * q^43 + (24*b19 - 26*b18 - 56*b17 + 185*b16 - 11*b15 - 69*b14 - 24*b13 + 133*b12 - 44*b11 - 6*b10 + 83*b9 - 68*b8 + 6971*b7 + 2562*b6 - 981*b5 + 1015*b4 + 1559*b3 - 3971*b2 - 385*b1 - 2513) * q^44 + (-81*b17 + 81*b13 - 81*b8 + 243*b6 - 162*b5 + 81*b3 - 243*b2 + 243*b1 - 405) * q^45 + (-3*b19 + 28*b18 + 12*b17 - 120*b16 - 28*b15 - 12*b14 + 91*b13 + 55*b12 - 91*b11 + 3*b10 + 55*b8 + 2146*b7 + 4028*b6 - 46*b5 - 904*b4 + 91*b3 - 2146*b2 - 813*b1) * q^46 + (-24*b19 + 85*b18 - 103*b17 + 152*b16 - 24*b15 + 85*b14 + 85*b13 + 80*b12 - 80*b9 - 72*b8 + 4413*b7 + 4726*b6 + 654*b5 - 1158*b4 - 569*b3 + 85*b1 - 4726) * q^47 + (18*b19 - 135*b16 + 27*b15 + 153*b14 + 144*b13 - 135*b12 - 153*b11 - 27*b10 + 171*b9 - 171*b8 - 4167*b7 - 4167*b6 + 261*b5 - 261*b4 + 333*b3 - 234*b2 + 333*b1 - 234) * q^48 + (-14*b18 - 100*b17 + 45*b15 + 106*b14 - 146*b12 - 100*b11 - 14*b10 - 61*b9 + 2735*b7 - 270*b4 - 270*b3 + 6981*b2 - 2494*b1 - 2735) * q^49 + (-19*b18 + 51*b17 - 18*b15 - 278*b14 + 323*b12 + 51*b11 - 19*b10 - 24*b9 - 1689*b7 - 133*b4 - 133*b3 + 911*b2 - 343*b1 + 1689) * q^50 + (-18*b19 + 81*b16 - 63*b15 + 144*b14 + 81*b13 + 81*b12 - 144*b11 + 63*b10 - 36*b9 + 36*b8 + 2034*b7 + 2034*b6 - 144*b5 + 144*b4 + 297*b3 - 945*b2 + 297*b1 - 945) * q^51 + (-45*b19 + 18*b18 + 252*b17 - 155*b16 - 45*b15 - 213*b14 - 213*b13 - 71*b12 + 71*b9 + 84*b8 - 2889*b7 - 8646*b6 - 112*b5 + 1690*b4 - 101*b3 - 213*b1 + 8646) * q^52 + (63*b19 - 62*b18 + 17*b17 - 168*b16 + 62*b15 - 17*b14 + 9*b13 - 164*b12 - 9*b11 - 63*b10 - 164*b8 - 6304*b7 - 1172*b6 + 1890*b5 + 728*b4 + 9*b3 + 6304*b2 + 737*b1) * q^53 + (-729*b3 + 729) * q^54 + (-30*b19 + 47*b18 - 21*b17 + 5*b16 - 18*b15 - 28*b14 + 70*b13 - 82*b12 + 398*b11 - 5*b10 + 220*b9 - 106*b8 + 5696*b7 - 2874*b6 - 1422*b5 + 996*b4 + 1582*b3 - 5317*b2 + 1470*b1 - 4850) * q^55 + (-30*b19 + 30*b18 + 182*b17 + 399*b16 - 182*b13 + 138*b11 + 42*b10 + 399*b9 + 200*b8 + 15088*b6 - 3039*b5 - 266*b3 - 15088*b2 + 2857*b1 + 388) * q^56 + (72*b19 - 72*b18 - 153*b17 + 117*b16 + 72*b15 + 153*b14 - 99*b13 + 189*b12 + 99*b11 - 72*b10 + 189*b8 + 3024*b7 + 4176*b6 + 738*b5 - 738*b4 - 99*b3 - 3024*b2 - 837*b1) * q^57 + (-77*b18 - 35*b17 + 99*b16 - 20*b14 - 20*b13 + 151*b12 - 151*b9 + 52*b8 - 2392*b7 - 1221*b6 + 2933*b5 - 4056*b4 - 2953*b3 - 20*b1 + 1221) * q^58 + (-121*b19 - 387*b16 - 55*b15 + 25*b14 - 297*b13 - 387*b12 - 25*b11 + 55*b10 - 396*b9 + 396*b8 - 8752*b7 - 8752*b6 - 634*b5 + 634*b4 + 1211*b3 - 1782*b2 + 1211*b1 - 1782) * q^59 + (-63*b18 + 9*b17 + 54*b15 - 180*b14 + 36*b12 + 9*b11 - 63*b10 - 333*b9 + 1890*b7 - 495*b4 - 495*b3 + 8253*b2 - 207*b1 - 1890) * q^60 + (106*b18 - 50*b17 - 55*b15 - 36*b14 + 170*b12 - 50*b11 + 106*b10 - 567*b9 - 1528*b7 - 486*b4 - 486*b3 + 343*b2 - 58*b1 + 1528) * q^61 + (13*b19 - 870*b16 + 45*b15 + 307*b14 + 311*b13 - 870*b12 - 307*b11 - 45*b10 + 93*b9 - 93*b8 - 21669*b7 - 21669*b6 - 1347*b5 + 1347*b4 + 783*b3 + 23530*b2 + 783*b1 + 23530) * q^62 + (-81*b18 - 81*b17 + 162*b16 - 81*b14 - 81*b13 - 162*b8 - 324*b7 + 729*b6 - 324*b5 + 324*b4 + 243*b3 - 81*b1 - 729) * q^63 + (-145*b19 - b18 - 587*b17 - 284*b16 + b15 + 587*b14 + 479*b13 - 608*b12 - 479*b11 + 145*b10 - 608*b8 - 13399*b7 - 4606*b6 + 3843*b5 - 1760*b4 + 479*b3 + 13399*b2 - 1281*b1) * q^64 + (-3*b19 + 3*b18 + 93*b17 - 707*b16 - 93*b13 - 124*b11 - 37*b10 - 707*b9 + 865*b8 + 5003*b6 + 996*b5 - 3609*b3 - 5003*b2 - 1089*b1 - 7804) * q^65 + (45*b19 - 63*b18 + 63*b17 - 441*b16 + 117*b15 + 99*b14 - 117*b13 - 135*b12 - 45*b11 - 99*b10 - 234*b9 + 189*b8 - 144*b7 - 8802*b6 - 576*b5 + 162*b4 + 639*b3 + 6867*b2 - 972*b1 - 2430) * q^66 + (-44*b19 + 44*b18 + 110*b17 + 319*b16 - 110*b13 - 187*b11 + 132*b10 + 319*b9 - 530*b8 + 8546*b6 + 550*b5 - 2154*b3 - 8546*b2 - 660*b1 - 2678) * q^67 + (-3*b19 - 33*b18 - 587*b17 + 529*b16 + 33*b15 + 587*b14 + 233*b13 + 280*b12 - 233*b11 + 3*b10 + 280*b8 + 19073*b7 + 37240*b6 + 1694*b5 - 2576*b4 + 233*b3 - 19073*b2 - 2343*b1) * q^68 + (-27*b19 - 90*b18 - 297*b17 - 324*b16 - 27*b15 + 252*b14 + 252*b13 - 180*b12 + 180*b9 + 144*b8 + 3897*b7 - 81*b6 - 270*b5 + 864*b4 + 522*b3 + 252*b1 + 81) * q^69 + (35*b19 - 9*b16 - 140*b15 - 300*b14 - 259*b13 - 9*b12 + 300*b11 + 140*b10 + 415*b9 - 415*b8 - 20147*b7 - 20147*b6 + 1579*b5 - 1579*b4 + 3488*b3 - 16093*b2 + 3488*b1 - 16093) * q^70 + (-39*b18 - 379*b17 - 97*b15 - 38*b14 - 314*b12 - 379*b11 - 39*b10 + 290*b9 - 13221*b7 + 1588*b4 + 1588*b3 + 12581*b2 + 806*b1 + 13221) * q^71 + (162*b17 - 81*b15 + 81*b14 - 162*b12 + 162*b11 + 162*b9 - 2025*b7 - 972*b4 - 972*b3 - 2511*b2 + 405*b1 + 2025) * q^72 + (15*b19 + 1123*b16 - 67*b15 - 466*b14 + 152*b13 + 1123*b12 + 466*b11 + 67*b10 - 81*b9 + 81*b8 - 9935*b7 - 9935*b6 - 210*b5 + 210*b4 - 114*b3 + 17469*b2 - 114*b1 + 17469) * q^73 + (35*b19 - 82*b18 - 206*b17 - 55*b16 + 35*b15 - 83*b14 - 83*b13 + 832*b12 - 832*b9 + 887*b8 + 27134*b7 - 11110*b6 - 46*b5 + 3326*b4 - 37*b3 - 83*b1 + 11110) * q^74 + (54*b19 - 171*b18 + 54*b17 - 198*b16 + 171*b15 - 54*b14 + 234*b13 + 279*b12 - 234*b11 - 54*b10 + 279*b8 - 8352*b7 - 2322*b6 - 198*b5 + 486*b4 + 234*b3 + 8352*b2 + 720*b1) * q^75 + (-229*b19 + 229*b18 - 21*b17 + 553*b16 + 21*b13 + 500*b11 + 122*b10 + 553*b9 + 497*b8 + 20419*b6 + 2816*b5 - 4467*b3 - 20419*b2 - 2795*b1 - 6680) * q^76 + (50*b19 - 33*b18 + 364*b17 - 114*b16 + 39*b15 + 200*b14 + 329*b13 - 668*b12 - 403*b11 + b10 + 1384*b9 - 695*b8 + 14444*b7 + 9411*b6 - 2970*b5 - 742*b4 + 4295*b3 - 14853*b2 + 3955*b1 - 30025) * q^77 + (99*b19 - 99*b18 - 117*b17 + 99*b16 + 117*b13 + 99*b11 - 99*b10 + 99*b9 - 513*b8 + 7776*b6 - 2412*b5 + 2295*b3 - 7776*b2 + 2529*b1 - 12366) * q^78 + (-71*b19 + 80*b18 + 1169*b17 - 994*b16 - 80*b15 - 1169*b14 - 334*b13 + 143*b12 + 334*b11 + 71*b10 + 143*b8 + 28602*b7 + 16473*b6 + 44*b5 - 2322*b4 - 334*b3 - 28602*b2 - 2656*b1) * q^79 + (127*b19 - 123*b18 + 277*b17 + 798*b16 + 127*b15 + 41*b14 + 41*b13 + 336*b12 - 336*b9 - 462*b8 + 38699*b7 + 20245*b6 - 2653*b5 + 3750*b4 + 2694*b3 + 41*b1 - 20245) * q^80 + (6561*b7 + 6561*b6 - 6561*b2 - 6561) * q^81 + (99*b18 + 397*b17 - 110*b15 - 122*b14 - 121*b12 + 397*b11 + 99*b10 - 340*b9 - 2186*b7 - 2088*b4 - 2088*b3 + 41036*b2 - 4422*b1 + 2186) * q^82 + (-160*b18 + 114*b17 + 146*b15 + 469*b14 + 1035*b12 + 114*b11 - 160*b10 - 303*b9 - 15185*b7 - 4626*b4 - 4626*b3 - 11089*b2 - 608*b1 + 15185) * q^83 + (135*b19 + 864*b16 + 198*b15 - 72*b14 - 801*b13 + 864*b12 + 72*b11 - 198*b10 - 963*b9 + 963*b8 + 7182*b7 + 7182*b6 - 3303*b5 + 3303*b4 - 603*b3 + 14409*b2 - 603*b1 + 14409) * q^84 + (-25*b19 + 249*b18 - 208*b17 + 605*b16 - 25*b15 + 628*b14 + 628*b13 - 1518*b12 + 1518*b9 - 2123*b8 + 6952*b7 - 19727*b6 - 7266*b5 + 2358*b4 + 7894*b3 + 628*b1 + 19727) * q^85 + (-33*b19 + 198*b18 + 770*b17 + 222*b16 - 198*b15 - 770*b14 - 847*b13 + 55*b12 + 847*b11 + 33*b10 + 55*b8 - 24672*b7 - 8116*b6 - 354*b5 + 880*b4 - 847*b3 + 24672*b2 + 33*b1) * q^86 + (27*b19 - 27*b18 - 54*b17 + 81*b16 + 54*b13 - 450*b11 - 63*b10 + 81*b9 + 306*b8 + 18594*b6 + 126*b5 + 90*b3 - 18594*b2 - 72*b1 + 1287) * q^87 + (-19*b19 + 24*b18 - 830*b17 - 191*b16 - 58*b14 - 33*b13 + 594*b12 - 759*b11 + 127*b10 - 1507*b9 - 146*b8 + 26416*b7 - 29483*b6 - 844*b5 + 3589*b4 - 661*b3 + 8480*b2 - 225*b1 - 32842) * q^88 + (102*b19 - 102*b18 - 587*b17 + 157*b16 + 587*b13 + 479*b11 - 277*b10 + 157*b9 + 548*b8 - 1896*b6 - 848*b5 - 185*b3 + 1896*b2 + 1435*b1 + 11099) * q^89 + (-81*b19 + 162*b18 - 162*b17 - 162*b16 - 162*b15 + 162*b14 + 405*b13 - 81*b12 - 405*b11 + 81*b10 - 81*b8 + 8991*b7 + 5670*b6 + 1944*b5 - 81*b4 + 405*b3 - 8991*b2 + 324*b1) * q^90 + (-126*b19 + 570*b18 + 825*b17 - 522*b16 - 126*b15 - 1101*b14 - 1101*b13 - 37*b12 + 37*b9 + 485*b8 + 37524*b7 - 15404*b6 + 4152*b5 - 1138*b4 - 5253*b3 - 1101*b1 + 15404) * q^91 + (315*b19 - 165*b16 + 313*b15 - 167*b14 + 793*b13 - 165*b12 + 167*b11 - 313*b10 + 105*b9 - 105*b8 - 16215*b7 - 16215*b6 + 602*b5 - 602*b4 - 2393*b3 - 20143*b2 - 2393*b1 - 20143) * q^92 + (90*b18 + 117*b17 - 63*b15 + 594*b14 + 189*b12 + 117*b11 + 90*b10 + 297*b9 - 459*b7 + 1278*b4 + 1278*b3 + 12807*b2 + 5616*b1 + 459) * q^93 + (6*b18 - 686*b17 + 67*b15 + 757*b14 - 1331*b12 - 686*b11 + 6*b10 + 447*b9 - 26448*b7 + 8936*b4 + 8936*b3 - 27852*b2 + 1518*b1 + 26448) * q^94 + (-57*b19 + 454*b16 + 56*b15 - 165*b14 - 1236*b13 + 454*b12 + 165*b11 - 56*b10 + 682*b9 - 682*b8 - 67395*b7 - 67395*b6 + 2730*b5 - 2730*b4 - 4812*b3 + 63827*b2 - 4812*b1 + 63827) * q^95 + (-18*b19 + 216*b18 + 144*b17 - 342*b16 - 18*b15 + 522*b14 + 522*b13 - 1251*b12 + 1251*b9 - 909*b8 - 10674*b7 - 20250*b6 + 4860*b5 - 2007*b4 - 4338*b3 + 522*b1 + 20250) * q^96 + (394*b19 + 219*b18 + 872*b17 + 864*b16 - 219*b15 - 872*b14 - 1380*b13 + 1471*b12 + 1380*b11 - 394*b10 + 1471*b8 - 29218*b7 - 2182*b6 - 5070*b5 + 1950*b4 - 1380*b3 + 29218*b2 + 570*b1) * q^97 + (367*b19 - 367*b18 - 297*b17 + 274*b16 + 297*b13 + 186*b11 + 78*b10 + 274*b9 - 2813*b8 - 1371*b6 - 713*b5 + 10433*b3 + 1371*b2 + 1010*b1 - 116760) * q^98 + (-81*b19 + 324*b17 - 324*b16 - 243*b15 - 324*b14 - 162*b13 - 81*b12 + 243*b11 + 81*b10 - 162*b9 + 405*b8 - 405*b7 - 7776*b6 + 1296*b5 - 2106*b4 - 648*b3 - 1620*b2 - 810*b1 - 4212) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$20 q + 6 q^{2} + 45 q^{3} + 8 q^{4} - 11 q^{5} - 54 q^{6} - 139 q^{7} - 76 q^{8} - 405 q^{9}+O(q^{10})$$ 20 * q + 6 * q^2 + 45 * q^3 + 8 * q^4 - 11 * q^5 - 54 * q^6 - 139 * q^7 - 76 * q^8 - 405 * q^9 $$20 q + 6 q^{2} + 45 q^{3} + 8 q^{4} - 11 q^{5} - 54 q^{6} - 139 q^{7} - 76 q^{8} - 405 q^{9} - 424 q^{10} + 2289 q^{11} - 2682 q^{12} - 847 q^{13} + 2022 q^{14} - 396 q^{15} - 7148 q^{16} + 2482 q^{17} + 81 q^{18} + 2958 q^{19} + 8037 q^{20} - 1404 q^{21} + 7441 q^{22} + 8140 q^{23} - 4626 q^{24} - 13120 q^{25} - 13508 q^{26} + 3645 q^{27} + 27819 q^{28} - 20210 q^{29} + 11106 q^{30} + 5540 q^{31} - 4626 q^{32} + 639 q^{33} + 16540 q^{34} - 34101 q^{35} + 648 q^{36} - 25173 q^{37} - 55878 q^{38} + 7623 q^{39} + 22689 q^{40} + 54349 q^{41} + 32292 q^{42} - 21688 q^{43} + 24587 q^{44} - 5346 q^{45} + 44155 q^{46} - 48387 q^{47} - 43083 q^{48} - 78880 q^{49} + 19956 q^{50} + 7317 q^{51} + 109051 q^{52} - 74382 q^{53} + 10206 q^{54} - 47630 q^{55} + 168894 q^{56} + 52983 q^{57} + 1501 q^{58} - 108412 q^{59} - 72333 q^{60} + 16737 q^{61} + 132685 q^{62} - 11259 q^{63} - 157030 q^{64} - 134194 q^{65} - 127539 q^{66} + 20178 q^{67} + 387013 q^{68} + 19305 q^{69} - 411988 q^{70} + 143157 q^{71} + 41634 q^{72} + 164980 q^{73} + 286114 q^{74} - 96255 q^{75} + 46868 q^{76} - 367461 q^{77} - 152658 q^{78} + 369613 q^{79} - 107448 q^{80} - 32805 q^{81} - 184129 q^{82} + 267741 q^{83} + 279819 q^{84} + 379937 q^{85} - 290531 q^{86} + 214920 q^{87} - 740846 q^{88} + 205492 q^{89} + 117126 q^{90} + 394559 q^{91} - 483181 q^{92} - 49860 q^{93} + 561327 q^{94} + 267881 q^{95} + 228564 q^{96} - 300567 q^{97} - 2296174 q^{98} - 115506 q^{99}+O(q^{100})$$ 20 * q + 6 * q^2 + 45 * q^3 + 8 * q^4 - 11 * q^5 - 54 * q^6 - 139 * q^7 - 76 * q^8 - 405 * q^9 - 424 * q^10 + 2289 * q^11 - 2682 * q^12 - 847 * q^13 + 2022 * q^14 - 396 * q^15 - 7148 * q^16 + 2482 * q^17 + 81 * q^18 + 2958 * q^19 + 8037 * q^20 - 1404 * q^21 + 7441 * q^22 + 8140 * q^23 - 4626 * q^24 - 13120 * q^25 - 13508 * q^26 + 3645 * q^27 + 27819 * q^28 - 20210 * q^29 + 11106 * q^30 + 5540 * q^31 - 4626 * q^32 + 639 * q^33 + 16540 * q^34 - 34101 * q^35 + 648 * q^36 - 25173 * q^37 - 55878 * q^38 + 7623 * q^39 + 22689 * q^40 + 54349 * q^41 + 32292 * q^42 - 21688 * q^43 + 24587 * q^44 - 5346 * q^45 + 44155 * q^46 - 48387 * q^47 - 43083 * q^48 - 78880 * q^49 + 19956 * q^50 + 7317 * q^51 + 109051 * q^52 - 74382 * q^53 + 10206 * q^54 - 47630 * q^55 + 168894 * q^56 + 52983 * q^57 + 1501 * q^58 - 108412 * q^59 - 72333 * q^60 + 16737 * q^61 + 132685 * q^62 - 11259 * q^63 - 157030 * q^64 - 134194 * q^65 - 127539 * q^66 + 20178 * q^67 + 387013 * q^68 + 19305 * q^69 - 411988 * q^70 + 143157 * q^71 + 41634 * q^72 + 164980 * q^73 + 286114 * q^74 - 96255 * q^75 + 46868 * q^76 - 367461 * q^77 - 152658 * q^78 + 369613 * q^79 - 107448 * q^80 - 32805 * q^81 - 184129 * q^82 + 267741 * q^83 + 279819 * q^84 + 379937 * q^85 - 290531 * q^86 + 214920 * q^87 - 740846 * q^88 + 205492 * q^89 + 117126 * q^90 + 394559 * q^91 - 483181 * q^92 - 49860 * q^93 + 561327 * q^94 + 267881 * q^95 + 228564 * q^96 - 300567 * q^97 - 2296174 * q^98 - 115506 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{20} - x^{19} + 78 x^{18} + 79 x^{17} + 10573 x^{16} - 33409 x^{15} + 1262953 x^{14} - 1581925 x^{13} + 89291182 x^{12} - 100741271 x^{11} + 2277268901 x^{10} + \cdots + 25599187870096$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 24\!\cdots\!63 \nu^{19} + \cdots - 65\!\cdots\!64 ) / 34\!\cdots\!02$$ (24763430235668669407269251569596096214161079656554737136531808197753576768270299997802385116873063*v^19 - 65283607782823819972187753662592839128026528598793800084253756925772227887525032446871722945350625*v^18 + 2083292488830780869938328689066310635890231127940012490234115295150926586872688020574135846704338883*v^17 - 1404525354432042054625611679749545177289961540504965122861896200815896559275287375105701138423474056*v^16 + 267085596615828233566636229877971305704322069842429161815485960998227997374800084615890794275159396259*v^15 - 1248896351286582848029568590367266091915103564897347854897511422911240920685912356952389468634159552042*v^14 + 33772805565690314540088985148524805082887476097395527632647819180474963701003312240368071682692997524030*v^13 - 94743931467177753035763453323248997684439865190044164462548683249301148073124743759157738785196978765246*v^12 + 2416245107752545738563629655761451857479299660582670636751180994473348738506860452182222741937784273754489*v^11 - 6347249894044844059432878864596462889432552005517469706119953894992392608535877338130837957373551792361826*v^10 + 70039072244117066441848722459765467609227784380788117729737807596803207804233158168062401634000747776728747*v^9 - 134303443479929363447057743252522619117820531317253444029433122829520510322575879435399313241160818569611645*v^8 + 2031351559516866507693534068312027430865729015755726567341485950911200582889406784404414955389992617735201511*v^7 - 525730603620456742552636506428136424771314906413543396643467907546715384814271972397969765569092475128029016*v^6 + 46335355435109762597023824950313255518429932893565915077083983442453840714399111930765365119835545399994834951*v^5 - 35006844089064711296720395567568105423070132059503788014695250930827122153750116776324822369955462416091019072*v^4 + 816571964001914173768576624326203473481448148431349823717700554628089768665641156716246580444762246525802552800*v^3 - 943463977602862605214291674456669108629103319245958968957141659837802062359050321156924039598880207356272837268*v^2 + 4297436094469503864209565411634638019361838295673364391000835985665325502984286168479691399821911140227365379305*v - 651027618522131195291218080301379360501213770341957287467619531898291725561634069295939368702673847460700415664) / 3461082968327951154795795924465501643792023483614157584941026132545526626046987358916975755028107897776310023802 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 98\!\cdots\!84 \nu^{19} + \cdots + 78\!\cdots\!30 ) / 13\!\cdots\!11$$ (-9883345659230023537091005644114879346515352124976544482748510763426139543703889291554584684*v^19 - 2616254226388740085585993680536100917819712660104638934236635847022348698610162853045888419*v^18 - 735534990698608829588411001024833501469498287008920161103756397816939867173851418476043241663*v^17 - 1743393985608834512476718383602511437404241778137462487692173147587146283718902997838231969783*v^16 - 104532861461358430234853226474805478221713264301269891593909362028987214024938666021584222121027*v^15 + 202032336812380109857116012951282350919792776269105316526889485842907966535418229606984921989965*v^14 - 11837798861591929161841928723684640967491054571644025119944976035184767823950063506177069875119314*v^13 - 722271677560213296620735895783010208850514892543012739580279568881961453765711883612014147176626*v^12 - 840831844318869585572622107690317211321167316140132297794349010547731992919174559111509859514203046*v^11 - 93425598248695985794676147794643357258545738643495592244324773878402912481826180468888638538073504*v^10 - 19814663017344148500557948786705607896798181359595811620914685539157349461089257270677437502438290130*v^9 - 17901068671793144041476214505496225827917589050951507869158840293967881520676689527896263560839639467*v^8 - 658640384719907394948308206572292389043259852630847024256641695382983600320414932942178430220225538667*v^7 - 1804277964212072270039571277846549682448050290745782313121650066994951557357102224009951357696399742567*v^6 - 15239699133743641626202909045318837812210200710973482184870936477959443348283223822732921960497198048272*v^5 - 30747865831663017052617011288556825523654555430479910023177286087834443529494493318472179329254738240619*v^4 - 268541839578891338979476736084733362939939765628604203279905095716340319794682392611560149531994599375260*v^3 - 371025596726605296880313574743326068462491682097470614261607062350590970778603302081159420112855831744344*v^2 - 210947539649610100478826233759347364779939291658655956663386853171430333226664088279142236545813515110040*v + 783622035262800988976259955934805630239672539228642866688957911441184349238975792132307721933794602332230) / 1368134870248879608913256527426276905991118398191685127390828985479984688817845711178661147493383974499111 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 32\!\cdots\!82 \nu^{19} + \cdots - 50\!\cdots\!28 ) / 27\!\cdots\!22$$ (-32034521193648425488772156725754822284185316317563381309315940051766240031160576246545621582*v^19 + 119966803818372220350470567533340921222197734610130828335907406824894476241513791105755205459*v^18 - 2657016567474878813905611276977729130975464947867278173888429159855220033954420637772021116963*v^17 + 4159922660611382264225481114682435428821119474860621247945596042172353352089786977001319824760*v^16 - 333289517075485770554229704123620227747842347405041732373082141332724854896406017851190011048025*v^15 + 1974681659733416955429410179176471791580537818603146596705615283607433890181867091507138553585101*v^14 - 43932672531955396301870313358238530577617438383504042575874603081269311856894190436278067208310881*v^13 + 162139782507071112705615575458170833637943284957157660328803398789810445437800782742426321661692853*v^12 - 3045756873741494538632781656487876979265151417935539114370201863419439256113178799438788380870980883*v^11 + 10788346732126092019489705062949171564755320319562914151878802039671504792377462106321146773690753624*v^10 - 83779971493688151510814083451025509128574887576029401162579242736902526517839651084518525301881048697*v^9 + 222257194879744867335133625583482102779319206533103736156140752772266436145216035935728814440958444089*v^8 - 2248893702661469930316477946018603975445218953266626573505556696509836614634283674980534207799299723638*v^7 + 2722079280578949992595147750688545004535681726883407358350471521830677176497369314831906462323955605600*v^6 - 49483198299344014668086543238435647752124163967818924399051862531009791551154879005692971882223074847650*v^5 + 102295791835905121375137981481220484678726584219982302633251533510259224642869792993398841772840524533167*v^4 - 827228696229338731888240369260513935910826367908619432812469647049889173276135944315933832990900839087126*v^3 + 2269305928192150287423091154941940010848779729644721398066749915753365066930854302069093656834740207104679*v^2 - 1690065111911934857900937422649740898632408519932903511607247100763626224193786539289925357799987313936664*v - 501168640547602862643683374193887611782822755325746848181837686449035511551907008552324107405866968498128) / 2736269740497759217826513054852553811982236796383370254781657970959969377635691422357322294986767948998222 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 68\!\cdots\!67 \nu^{19} + \cdots + 56\!\cdots\!00 ) / 54\!\cdots\!44$$ (68957411280444760776540145825078018250112306427104024010840802422709260725707507977661388867*v^19 + 31226617060858396055466815590159636676379680732622497473982561464896768734138046254003404453*v^18 + 5083424641686761482623814574326632040826667004116221832330322179939494919275678869850876741118*v^17 + 13131320017722417750883824584131395154210377491690974720978899140119921238771532406489227453433*v^16 + 727210180243437526493036393496354002543970834310251142787264654671378444170070013230490649695547*v^15 - 1291761127694658018217117500875181153368543415939719852700245032343610655401131295033263011130623*v^14 + 82049061326652804520560200177347020565537917213588932041398455551946124866618098704103966070514847*v^13 + 20901163024029718686177190895560943140320562157922663217651659878246521026155624446474603290291185*v^12 + 5817351079514872901208861129005171768401282547418491920643617174148739043231615366385508647320015850*v^11 + 1717972566806409796249175321302219737094594294674057204761160577619794140978596832058586911045164947*v^10 + 136440719010968338018590189276912734083842728176345248568432933505345552509612639896611070707105358099*v^9 + 131174511644640773457551020684559410240399051018196370726830764154723590979610252746955636318168182510*v^8 + 4802759770174163306534950724212143773201102132732139909790880928693687368265481814534122334891121807936*v^7 + 12473197731269275360891238387434030161354211930675025150433825853926402246453879491796548924400554135774*v^6 + 126937379375633518674191369302241629701192292671914526899213106279583306234404681134411210871211806695631*v^5 + 209802044929936128729664327055063772980725688818096470508090818234205711204381959386370813314679354516562*v^4 + 2015409920603329319082606470026703174386733619378598130017989655358154910075623579575909461666752705239379*v^3 + 2743768481700102485354870480664394150162373558718145097651223737557575380847008632585685019372463333718702*v^2 + 7011153188058445469713277378365223313350734574161995010733630495720944139674219914966876641802815310825100*v + 5680655832985976877894115246639979698002256049740673379837355886374384287814767293437125621733290303179800) / 5472539480995518435653026109705107623964473592766740509563315941919938755271382844714644589973535897996444 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 30\!\cdots\!65 \nu^{19} + \cdots + 20\!\cdots\!20 ) / 13\!\cdots\!08$$ (309758720420495121309369722740854994714830186644004450458165134956760839170717394673654774179670265*v^19 - 209747880626502131694533088979334083902884984526294799839539162732274014582116144834584612775434713*v^18 + 24187654404195988100815613998847225501565089711563166470506204627052753020657826444555888920799859302*v^17 + 31913911632577146751975526332505965962529626006900351838184577931912641378721874935759373656116780799*v^16 + 3292720577900700871966535588882686773476457073682979639202335496576429576951670909339260719997580021069*v^15 - 9290947685194568498399183207137679109201032804827164089771946139000761546772747885030470844145500178929*v^14 + 389166314154881988626734200798827354266980627876062913576074921539947398507583432156349847894850629642025*v^13 - 370226861882488729821713506124985523930171922941365679667094315659506721244304956341986767912898530321933*v^12 + 27666031040709552933002817412526845109219605387787319586087449966711995605706977278932530119938929449205358*v^11 - 22697002139355618818288773674483231572308334370245768210496952709024766835040435303239677624391726416542927*v^10 + 706349286414302313293392579166822475461051100963604971399330793019946054245113749543972845400653379579313277*v^9 - 153876220395078955107915144901914554393453897054819682530309063246675076831603907206869002854588804109572150*v^8 + 22074153864044598560353648154256595580196374329035837692789960918994002169876013292696089375426526874906109636*v^7 + 35671013095707840477027408906620241949310008838709434654957844829780815661096458453369835747633643047267107886*v^6 + 554784349070917723357959822265487711397671930855224238270116113941326882972631571610556057958591807388773904481*v^5 + 499252994487516817871594207620587508007624017665818702799403573570010346687737733780584384858907108094123316906*v^4 + 8906867883894729498084448411716180937086625137090637206642952852418100615929333165837877483127763054176714111197*v^3 + 4004432996990070012101154936112412489132244017815556981664475491205896073109619433194090116506707890125294895970*v^2 + 21604536711521496854092488889573496762640440251994391542296140843483342718373514587844147745664756112290091237012*v + 20731570313178388595282043799010920485856620605849778164273614972555782932203594759731394817209494353753051138920) / 13844331873311804619183183697862006575168093934456630339764104530182106504187949435667903020112431591105240095208 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 17\!\cdots\!06 \nu^{19} + \cdots + 32\!\cdots\!16 ) / 69\!\cdots\!04$$ (175336499994366048501236577464408613104271998707674989853137523979720283900088927722455084509744606*v^19 - 393605883897605898341890540123991313920378303039893977092990840965264137941499913013500932694186003*v^18 + 13927001487878390538651723887130581514605159581249157924876970055503878820730318166372915319281810267*v^17 - 3021553624671641546787254046530791739962190053354826590610853390149071029885389959425096028953971262*v^16 + 1838926009952699110758113252662595825489178717859796738899221863832797382587927728163238999689687246143*v^15 - 8149699264163210299018111372627456997438225577090453195853484428000223529853209600847080388510754315009*v^14 + 229093405358650923898592140656056015008542470375878384619606640879910081862357874792714082474456363491853*v^13 - 552186497126705397683278266296861388628888411739275630309851599323798922855683188459113211093990625160265*v^12 + 16036089562733609947060799094984441875729363690695989084977816461168146614446885126975861938473941791075439*v^11 - 36981280331579438276934869293970228182116807237295295937699248742184053254938696982788317090921016642746026*v^10 + 423934783188469995033113752506555107169631741467186350472543286222273629156968990356579736518754085715559941*v^9 - 685377169100527388156401107248687906402991742261741787538212624153321305850897991036043818220169636774750099*v^8 + 12698136571243968699488637455941775894078848703108148048270569359522913949073526811452715554445468300341049744*v^7 + 1322090805607821733785675340082987111256828440790933721367742648337720894211566690681103293287798714176642124*v^6 + 285676872315492673493910861299912695726227223748575908007917424524410289608097344365420246667890437564438701440*v^5 - 167542394936985866426903238401179042315285061767926972470365167364281395300338528216426602365395318172497759893*v^4 + 4703382150971746103433794785596144937560318159807502596162547882181489559580114415890294969044014431681013631622*v^3 - 5272177036714695707981070169742700724643888334180121134724505349902065874304550201805760796632204384970615177785*v^2 + 10496952278444858693009628867186241875637411623562117510521047843146443261570720862156352533113112026371765360472*v + 3237689109297658275836513737446868215577212705849252118025998120752376378776911283649941737033484746489972631216) / 6922165936655902309591591848931003287584046967228315169882052265091053252093974717833951510056215795552620047604 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 56\!\cdots\!13 \nu^{19} + \cdots - 29\!\cdots\!88 ) / 54\!\cdots\!44$$ (-560389357129684793062685994238343657078918562251573708654943730294668917881541936866848868813*v^19 + 183842616373484877912253813983348334165267484619866318055565822937262029297639085664440067013*v^18 - 42344352510559244418597284418949783597936875144591780051985164473827793661141643322063231932698*v^17 - 80166291621923727129704158878288499486430540310300384766015499878994670883038844332323939253183*v^16 - 5869565359555277910053257017665505732894887391770898893045645541945451663533373142650418896063761*v^15 + 14420286504998700934971258114032918645783117952090865116989731367836560456542169898472230088765257*v^14 - 685236969227900550415917603670257956967315788103502496878656107818237428106242321278675598860220769*v^13 + 322076686096213511745346941497205698548947018895874599497465756645520708027703995735501447591378165*v^12 - 47995419811291362078719861365004083891880214157960860045810725812311826021641251197802434698828136186*v^11 + 14582817792786202448935798481974502668075430244725885771695922320602613057807965935329237015438962443*v^10 - 1141628926680002870213880494242310325710430992138386674531802976573063270934777537990351407472454078289*v^9 - 766588703074559433489444513168808230433738230350464850621405997134879393569036061779253879000887963150*v^8 - 36464272991297565534287862781655628429038802022694712256699341912946155617896770314323008643036162568664*v^7 - 89870746752421740113410793388810971282409700918733760982090398326230125274718347712101525262065969317454*v^6 - 948256259064306570408889203040956735592805555640066559651537868654367271229434606380636692634653157100513*v^5 - 1495078279045964207642532377485514983706353532952473470875802819131355902268422712311676118231509688042378*v^4 - 14761110725319923986375538930820383196947871914832350889471678313862871550228138497995822584009808156869981*v^3 - 20001452233490663830937210535186585905254794368644787169328874073893476301096319124610243340018687913426866*v^2 - 11167639300060632721195797202336346022704342914428736952927895185389692645669406521001203970880414721828336*v - 292034736531434395427413425632374203257493729880009542916122749528244180191850131139270948048707867227616388) / 5472539480995518435653026109705107623964473592766740509563315941919938755271382844714644589973535897996444 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!73 \nu^{19} + \cdots - 39\!\cdots\!64 ) / 34\!\cdots\!02$$ (1622458262914691337091190614591372182676812510217010912777267842605038250218507410535339487602229073*v^19 - 4077480982497597209185229827218518440084696764657153458967707461499357521407000316982693408134520682*v^18 + 133797774121128876069052659360359792487698877077323391382018886076217171012010638563162149827379927924*v^17 - 69367552066626450432292531581076613040346846708818865156353984195490231961876392239527264565040994904*v^16 + 17325676451922192744075662255599295680807879262055874818288953153659522714152428212209777378567824529128*v^15 - 79781837955722646676679678152967964266812332218036491286605184979650315007507749166711142522972911049549*v^14 + 2180890457224916018457667192316438890431001760046544549680754498986284360937477138892234864422289594683781*v^13 - 5835948804188648671264206132320092071855885847109909257376400418045783076936075623724859888802625413396017*v^12 + 154761959497005137212476210632840265822478465243862314654644843739846464483832189528486228136034132382732120*v^11 - 390686702407762065169850768827188457798881628137600955837618053173032893177451449388323507570761462580187024*v^10 + 4357374919869525882509700649599992967964215543647582163154846141567741814955343557572081372437900180493797706*v^9 - 7932095143024570510356277956798551906274001900448167305251829370981771272200911794422825947633216877457994950*v^8 + 127665675473914248069675383990545508067617081774710404708924715999204407197366223488714477337840690855166529607*v^7 - 23393700244684327968731683352683539119727585223323739251127732811844205384324836612710877988631757852098950988*v^6 + 2899385756188738197865466506015941921157577053167252922355730519823102748160554944158717543216043900318662877743*v^5 - 2022388057823404615191254515654791274788875706651834632238106103073378029246769498484122981193951507572258718783*v^4 + 50057470437063754927699872207080405379462159551843560400378313592215639464953363377257250847903368601837706011826*v^3 - 57292630982908235710765876838642287055305404991070192486674932310681675183545403934393050801055908669310591457815*v^2 + 216258212793956450128519256304761377521109257225771793064247134560444393905889108086256074634817313925940799284513*v - 39687667147759498418595958100917363439985096277989932001601194332316431851680677679854339685253868499217050335964) / 3461082968327951154795795924465501643792023483614157584941026132545526626046987358916975755028107897776310023802 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 81\!\cdots\!62 \nu^{19} + \cdots + 18\!\cdots\!84 ) / 15\!\cdots\!76$$ (81056214242053595796433127657036282547772153525092213487066275746117270202649257454416498921262*v^19 - 29522546130520813418414106668259220703001848814842935171239244373049938617841406691999330932241*v^18 + 6075033783511050634421861851910415109703871819152838196917108365749894568136161509233274692490406*v^17 + 11177609659881519006140919572053778784072946095515924507617307004351120014348872522637866911839249*v^16 + 848856624299750614535536788589602568640695303375228664179827682612279235476818509146647330107220673*v^15 - 2129120018529919283510608849292761899833911925748726890570099065672704770888532062796650216385171558*v^14 + 98721161730829449776755239071220293684349829915459791985478245482696163605734883440456456103421384875*v^13 - 49415540770171948358977789429528719163101693410998087950995332206239113493358168946114719086418429212*v^12 + 6919242835290540759123101527030197238151490524279568175719747219719682298529730312589687466536434785013*v^11 - 2592586025640749888697227316304651871994700106847783472910570350377453298339227816078084551095563017352*v^10 + 163723342384085777768333673457150971537632271657465267498130680968770003185475719280249335458753971164211*v^9 + 106924999433522209962019391330239671694798208563870648582859565880606799080642964688025296485984415685533*v^8 + 5288605450488491999553729631640474394955841255383158323964425017573951720720034385314742277504076571300719*v^7 + 13338427322435586045680990339329983545120103447433029938967453504598643366434947566214059961085275429473591*v^6 + 127466137814042489694991846106099491893509899130324453747941974903835070404987464562811185300354094485365396*v^5 + 224792972873376731220350388824577923129419790851750421183294535162826200955208907416638426539826630328764970*v^4 + 2153534185538892925049931200463064525911783455978148216724728901413997900363700841662700476808231204367105334*v^3 + 2932127108318622938957784893117259663609390214143919422407526772345206264538098023675635017417973561981836956*v^2 + 1644521486212229512703778635543757680718228978945445910815904098778469592951887276212583293757548908318699120*v + 18170943692349990539633076631853436553977870132170403448566279840751864962709690041742481457448127410198065584) / 158703644948870034633937757181448121094969734190235474777336162315678223902870102496724693109232541041896876 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 24\!\cdots\!41 \nu^{19} + \cdots + 16\!\cdots\!84 ) / 31\!\cdots\!52$$ (240614633733637449161376060663938840183114819362285779657863397721009655601295637433391158397141*v^19 + 134214302953320308433170952026257376399415692794350380686455582974913778788035332978330783976169*v^18 + 18085116361254739042764268762651329482550849476368698932260800354511785840353116041219622654120894*v^17 + 47199750388965171953527430902968776446281773754659465104037021571323577438395078014644916155149437*v^16 + 2549951266984287501359761947317893067782110222062988840520587117117846711516365583429824665723417375*v^15 - 4197221735542906939343790877627424851754037142661419945617333892622738401091704731929341268362360693*v^14 + 287963895313538218769232346207986675374238095243869432743517491812051789572159527240410619965092287455*v^13 + 89336735855061493132275996162525167743937760531065646187141245352670994037684567850356019878534752771*v^12 + 20541860071511854526759962399316671229303528592878857024378849417949462395849610762832060579405561591324*v^11 + 8127343664310904475349464016428177565412275882294840500599117209509985127199825392808625307908952413649*v^10 + 483839691446917735189042255452955319499575426994065418255694645103745512252585178368272719844409888367251*v^9 + 498932664030233646503649778185734152035001002376284225417032601767946456871004431530771920890070758033000*v^8 + 15965908437021725309073844554409666085956254812602561629587166287000003341769925045293492662116561301766326*v^7 + 47094561425277785897111712088523092646386524139544262581076820112014546752716929159249287676616064772382352*v^6 + 432856345820825820929950802192566570613755104954411359954471096054359832861906946631144008816747364397819265*v^5 + 812818141056213072746771212319392022820996249916861326269609518025742657075604054572166851101713937635544702*v^4 + 6416295327154678780596902740483654520760793820410341139517561166414403980380576314703924044327672227100695193*v^3 + 9018860043729120436505270031397064020996643512319479765841417049021409805550723853295467885856225434895865866*v^2 + 5208081465961904267096964763972818276256179505453000450639596121826846938902717592690407792146802406646191440*v + 16268996566807632644145578485646962871302833392184716412799180569188409585813624857879373224015404403120526984) / 317407289897740069267875514362896242189939468380470949554672324631356447805740204993449386218465082083793752 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 56\!\cdots\!84 \nu^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!64 ) / 69\!\cdots\!04$$ (-5648057035921225239854303289043703399981713994933588834604881862166383168209902824183277831447249084*v^19 + 11831918977896976647101121572828958558258492748788561019397399574607408652460732778985833078444716277*v^18 - 440551170171037289201991821166746048576389736189479192418012625868826325749839960146192513375179011289*v^17 + 25504606822079603652039295413318450557749303007035733241610531434786401060139991050106968035131160006*v^16 - 58752972741412995067574877642941985422788614973505766699173812360685374098089762904468326548319874131457*v^15 + 254399854589065127981729045069002702331516429530124055227939071973513434117245998032614740918674889159125*v^14 - 7275684899528296031247080761354304146272880575931810734783782172020688968516556426393333000588806119096073*v^13 + 16498707738196111101974917245817360785513263545456050911660182439161276144171899860970614453059640147569781*v^12 - 506238689057108635045852658108809489315715803837631328400509772244666279909222609822404706592072803096560125*v^11 + 1107646828241891478604385232749508430527990546173987831612839972849522022545581024292048344576527407024751262*v^10 - 12945011304886934820280975072539933806102789215652728512439586363824730535019526394353904742571113309406524083*v^9 + 19712833063259891150637549749596786796713786545961430097687601950240891133162238200582684336003033770576606649*v^8 - 392665682715930735573678382992309455918192983454730373851065696314397647384464090386047636682202418976921118442*v^7 - 98019923354276377780084055161895305503927015566334909117928511304875778010528182932983424206935874784885002996*v^6 - 8789489174870419073508569697063438786063940409603103825986729936551211083810747623841195225181134050382705051734*v^5 + 4816939365125896213252776762043983453275176082658278668743187708633531771571531587951959224543498819677678676865*v^4 - 140492900334316042731892699999283110136236917634588813968181552034268852611816108530238601936513895968380478908878*v^3 + 155856454112283539525841389542033547358767629157780120588519086376704708520129813654124286771264138983122567071905*v^2 - 136797496047499470868055044707208870924955548535981567512200384239858214316727634251863780149477198626322333781010*v + 109440446549456783720034263107646465766944133409269010975625447158809559825087753580227753286757036069719596652964) / 6922165936655902309591591848931003287584046967228315169882052265091053252093974717833951510056215795552620047604 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 40\!\cdots\!71 \nu^{19} + \cdots - 24\!\cdots\!12 ) / 40\!\cdots\!32$$ (-407829980483168216648855973627476915113684665990544483264966179485314495344790219181905014674397921671*v^19 + 818418566072846485223720920673430613011498363439249626471710725643295288585760413216229007097725802137*v^18 - 32763046032500244190277340506897246811763280965527300924649316734834904154899762638779926383825943586884*v^17 - 1404016725666850233462293840065625859305226699283186987388559827393711313058379482729866973063757967743*v^16 - 4319191713538799696973954190226874297445919977250009079135851421133803993226781676443652245222904712524465*v^15 + 17807398220813435185056126847971767616589680608458786861815214420380652099158701422578511195569354364959111*v^14 - 534621563029241801302611478774667088535618841481597776901955307763733986872394638806609196356587007591431155*v^13 + 1164816421515588097838450575386959239681416574528280089655308983622562116875512126072164633908315522546668281*v^12 - 37681764984424895243039824875561616857056955348699920297984782077684037514297907155103476486679129882753494678*v^11 + 76565485098217117093103046256642714357004324835076338217650275476143077441077624217820962632276533318709703829*v^10 - 1015583047972812519282959495605723099960475851198167449077005427990232283175007534109715580118574703410321907991*v^9 + 1323327668982151000509224049188886925435945956103877487857386066177589594908894255832839533459087959277059652092*v^8 - 30329768653972993080133832191876760913255994429175482236589894396094859571416892933395218488304587716761771737998*v^7 - 10979523910504372491997512039337903251486126472908521938104790974607502264302014552942418497484170257985904801688*v^6 - 706354368564752172757851861286058190038558036197852649909080959661665847876916957427745479820416882359970833351829*v^5 + 109971230665864891529585085463750064803273109738845975808737385659802412972791965994543631174752182711057163656366*v^4 - 12025665391013946231758683465186865910389645979162131671427271392518375500419985716408626143922269348781654134897731*v^3 + 7032261945919438350843837716932103123491654442440839894128572780000763700666163921624590505151317918251215950675208*v^2 - 37456682789323530894182338010582313441808231412688183405589780292051448056824212114440208129390078366565231611726708*v - 24214665914574987851667262072541486143168700325199509904053919081558305191812844371743407787754317313476315429555112) / 401485624326042333956312327237998190679874724099242279853159031375281088621450533634369187583260516142051962761032 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!25 \nu^{19} + \cdots + 40\!\cdots\!80 ) / 20\!\cdots\!16$$ (-211981435284127502246162724646528079981200179137561596174662533205076857301948362078498437213589277125*v^19 + 431259196394069950104027865904709860317055845257025127232796408664577390896942577604436575303314750699*v^18 - 16515094124393068749973263749741297368708531304879105943070280872890571284539999090282123538779136925468*v^17 + 623745412998223376580615588005999331140596543063638216891256970876392624718225557478361810139491055403*v^16 - 2206142105414566931353738048039942846225709490940329687800580870382392080617823973363314274705007542732167*v^15 + 9449147026755409487860696630278137609326278604397861260297112925121910306116288957272760208270812774269484*v^14 - 272491652479570289400856434307770879598526658450544564802152189717642830863612050415459725449277895710965719*v^13 + 609054369347761661988262517013081381232119093654897143193525978893970456657688610942776889771775202059192866*v^12 - 18994314784209638181077149762214182432317868719326211757566132852955947034674814004440487181737656338040102941*v^11 + 41114950342951943770166881257269507550760060667275828812605847814253405120450892118733793908291941288609444269*v^10 - 484305317901890828125159740883784629094040846389971951190136770081911204947705417015796341539864138308708905948*v^9 + 752590672561191140733552532049719610693834943465114021728812200465152638724875964307093430660869324145335649510*v^8 - 14755752796618358762331888037266819627423902326247098964622570556941017323754053634120147095873081026615648516917*v^7 - 4094140938421842910240721698099464890060194555579463195218050239080290343638150060205120058357915499265080149370*v^6 - 330229658115658259341294311870934275369884040028524722171482689244423197223988753005163206848398869899156562882074*v^5 + 194156276980227263220056498755566883237635891560331276026960581294259964038287341227293472339295684233822506908329*v^4 - 5226402226742717394945804003324311716078347759448286770627057170405645845813550628144798422278045054248518252195662*v^3 + 5813652854120007048778581379642916549768428975948099578207215530825435429644763121760820301255133410696358059533271*v^2 - 6951189461684108198984231957921254088321190477846624327789395622815581557980650639877934572137193033381728528374104*v + 4080521876117084307898511421203224074343540998965760063229920939434636700797214510057387490764994720300687267873980) / 200742812163021166978156163618999095339937362049621139926579515687640544310725266817184593791630258071025981380516 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 23\!\cdots\!85 \nu^{19} + \cdots + 58\!\cdots\!24 ) / 20\!\cdots\!16$$ (-234247403283686884061195226277664016861238536967502431186430878447208575568646637653296832142508793585*v^19 + 591932229656288712186549547489550813891053834338825966157141918280561701821152423368748401820820851366*v^18 - 19386753531193214303805888770142915974150725340053657092679049450808414134545262069376156336113118707203*v^17 + 10304773984301688415844268472905202431180390439486019060506766353424119050768012623446821932174078015785*v^16 - 2506141774985084640712626613191789663440611811101945814399882534305092281468441754008301717325173415978416*v^15 + 11561855208033199917715407343479789759483799208950961749936127299000464995674548062419078357842861282281215*v^14 - 315633483649482841792366294835803414922832969730669269870964175384852541856180562730822408362217060045527066*v^13 + 849829880647761224059827733162068282168521451020256309549538105298633136215794297580807309282013474010040679*v^12 - 22427762720569439285988557267522524639977191381777226405154922523993701394428938802865525134804797462234385002*v^11 + 56927355415891570502928351293899294435289322752058854710218847265253828151731140291282640945946407627253869983*v^10 - 635142761335930959340272406261085352369979244883740580276755981831051650666175057260530922648244386796900031861*v^9 + 1174085344891546890388390607468710658781495886012708864557437480399764173127916186381287212857306146831401694273*v^8 - 18554944448205121375543379189577339389849304734416797971096760336621495725615625642018900239829905575569770666843*v^7 + 4960765034185020823177843560448056948161357675469051424639994692851562822613621863590446487167349568647904229038*v^6 - 421730102597893224553660237101472563379091402503171250466547381780328158890954990206880902586348118003408312778258*v^5 + 303904755024694395465044692552512727987079332084758846111156125028074122994211986889028039845547439380260973784788*v^4 - 7307664318569892696429947921910391826727175114482102432533398535130496184514349503027634816939856643360262411269496*v^3 + 8389579802975450910575450662364388905211117891477375064149011593021374782611418210800826678052786963005413037009292*v^2 - 24611926612984147013205804976496738810457964607048266683560510478267088703568295629037378817063946224562639120921216*v + 5805010548491352808762936113045104839098289109711430580006767255905596987981128020318339285264310317232101318682224) / 200742812163021166978156163618999095339937362049621139926579515687640544310725266817184593791630258071025981380516 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!35 \nu^{19} + \cdots - 10\!\cdots\!84 ) / 13\!\cdots\!08$$ (-16797369983875273756777056824895895324991208073632196873296391634526059317780992425217286131091982535*v^19 + 13658863277372948897284441644352489490136049623716846939726174227589167737594587265808247533439466387*v^18 - 1310507066403855325178399758569937563343725783946443153939250697738875330348809940345235344944112877550*v^17 - 1562690891708623459569163223411028497653193940984039676870074565973189739723216548306699549471234388305*v^16 - 178121079673097458917537953565433953068381420632550261030794518406944263967502526020476090539068179800711*v^15 + 528040527034017222343396704620722706442459759687247135810145520164909808796937483008640078087206633716059*v^14 - 21145688292052444493142817484430519484216171205175615657629445097381613803397294461143259761050758571934251*v^13 + 22784370083905990731011328550275008933793733955463760106519292892959746640689882110965555342323054980659231*v^12 - 1499479964437519221393719671872676756565810045410229162704726072016746928743033910067408939108998157749972078*v^11 + 1423802021219989915949706938197247248293182315044704836028740581847584995535135373282564276842253039308510585*v^10 - 38250449223346233112668015181754398968858085306261993272544006851733662076248262921563244826486317081818470639*v^9 + 12869635368767588819099077831140688913179723740893245759251501817286582051272458535964170603114651684064955734*v^8 - 1192570362823440961252016457664928469438801299302068582324903148698095814902728631624971106751055955038690160828*v^7 - 1777496799868401444423425699156433366744509574074335343135343554417029122688544603291065384410090732181420947274*v^6 - 29659692918887472888423627336847924894052521022158131806628442285780500607730434485951628587808467552327866223631*v^5 - 23711338601178609903192757762557931901308225679802192030397689192262515871977524716608151328636170856830784716098*v^4 - 475778040637026474684700049294587343014105433180446585537677625683478328782433053989553683685470078511772586039011*v^3 - 151957441409078941508086936249368734127903323822529098899976153320742066486348571784360012646196893964764298870306*v^2 - 1081952442051229378531376416889790277812062799088043480254853665964687393654989355445404713269595583550751227458004*v - 1073519660446668730366767872826271357777483980867521760642033624047703594044853812362195620764040990972126866632984) / 13844331873311804619183183697862006575168093934456630339764104530182106504187949435667903020112431591105240095208 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 61\!\cdots\!69 \nu^{19} + \cdots - 13\!\cdots\!12 ) / 40\!\cdots\!32$$ (-613226860402619635576269336594714264948892740588637865636786570349117518928474752563565161020864417069*v^19 + 599088865608136534865622624479912831425223943270771194767619089080068008618729402572957025424209539975*v^18 - 48216024734876475038944849399886532327125745267262720773570573941064953725302224608646377575121392536416*v^17 - 48003444850753040553075407662346773520982865055523066878301680210419120707635714537749668166277323156371*v^16 - 6512411248933161598904428825975259538860364766358225434792404918042806269516684371097221328855771080785305*v^15 + 20397736054789462570044679106021658540179434984459302977302075756934002659882987548162530436579366585361451*v^14 - 777799510069972322086513470204715315633444286459844604903452935252138739542529499254361798659154663450397637*v^13 + 978218287256819900844572670555685670728697573196134109751502895378729949047184607731380830671341186829677389*v^12 - 55228612386634484294966988003896257254797342791445149892719651055126660396681364673827850691926612932410636216*v^11 + 62489985345615501042634727245352526525848979084597510355437907890358149067261820273865429540302020317845490409*v^10 - 1427290947468058315876090681715686509332212399745919277031557419982979458372526994553310516384165894175990914931*v^9 + 810394331071287550249641430307737839177134577634683465521599801294177952745811609159324059743080158666147639114*v^8 - 43980683926625565014278097155725096394604738733991755144125265491270173870083830300914683658725638492305024355100*v^7 - 55514427943267608611375499807431122596243741584022023149820255766994664029045074063769176082930015097918653868648*v^6 - 1086749976234964691580429374380180417657348688883185784581865861643371051605113215685715509731142627688103649591119*v^5 - 671480357281815341975880212787524417829228595287700936295795828788857812315855297779029476800132094509372974466042*v^4 - 17442526884021529016499863600432396683362517054532086698246569455159807519233731837933445902243964703396881838634707*v^3 - 770469484655696409892686718116276313682522631892968105947860301169469905997983800570988113384021849837185728733784*v^2 - 41657748398699579991203092629606085022722044673716530533842685072394644311259028278037027738917014092191228336031852*v - 13202110278179199322471642080139540632182669877130927388714653751562335979547638033188402629331136671752245169298112) / 401485624326042333956312327237998190679874724099242279853159031375281088621450533634369187583260516142051962761032 $$\beta_{18}$$ $$=$$ $$( - 62\!\cdots\!69 \nu^{19} + \cdots - 11\!\cdots\!44 ) / 20\!\cdots\!16$$ (-621340089742950107212568611313893910638095425993101782529004511136755181342191784147732062350369324869*v^19 + 1192406286075534062637586115053190825620605854417861795048736649981487093480789273847966549416221998797*v^18 - 48993281798309063091628523279853464983032523736277323603924791502895300024048164839755932684583993578976*v^17 - 4387320330610595772192703265434010455220385808210415316555065120465499834831296160348932920042241611713*v^16 - 6530497927877192730812551071571755864797447936367611820183425689759724482973960658214159897378445456425752*v^15 + 26825462098114413691906766436558529289070044544496636113999331434303693768634666736281398148247717494276481*v^14 - 803884178897082404521464158424395752955459791910623098321440771479446637488531267239408649384222803436521376*v^13 + 1703596293477573163742538404185585519420116604940042581417168045243753668447011856611125136286726313039542622*v^12 - 56421387724383132348590305760688410704812369310989095275933631928215581304443097057841228100672208610153556572*v^11 + 114086371543571349026081649029620184420972169280027803984129739572372257897176755666947451291811093363638435082*v^10 - 1479053659134184943074249850730362265470136709181638182356203384207589827514182299243492489338616805125496759139*v^9 + 2030887849937168502082491976220968698615243215792166434387231708237735479340686910326523069394694378825968401005*v^8 - 45089461443928518161889953340501694452923471556627771032519267542937141951576976819375575593836993167277671206268*v^7 - 17057823693879026768763951540939038047068960104020188205472421662151715398722570239109245135809480806354883056797*v^6 - 1026639297460661052240126862728728441788451512161436985873921322033867103226676734407398674640861910020986784245780*v^5 + 287974745571320565932079372375115159012791097392715421608250934703428307262364284715606702688054105784293660179421*v^4 - 16831914084305293321941070362590728998253753892960055758269177574813516028015284288090078533890239815817872556571412*v^3 + 12210008718181455465651206664602053471240968124188712907373325198749029491279210736787917182685546030532585748167940*v^2 - 38232142012689038160723118432644755370280660455279783317339724345358604688313942987978123003856574532222179971804208*v - 11878255955840047313787298010371741943503088823583512043489652467283590576057104630065358108877883846448736967930544) / 200742812163021166978156163618999095339937362049621139926579515687640544310725266817184593791630258071025981380516 $$\beta_{19}$$ $$=$$ $$( - 80\!\cdots\!34 \nu^{19} + \cdots - 26\!\cdots\!28 ) / 20\!\cdots\!16$$ (-809269321688439559327187197345952991945460859544168861516670468405908042070906925542417005908139698134*v^19 + 1108063453923763866888017116666822662849299784914980606843619778294726309089359366799519073798489075468*v^18 - 63285733691620090774877526584098323840133678360204457737563360962985217693151601251731780319335559473274*v^17 - 40112037157256065835657640299344303618839360427176091902609675925601295305290966905811774296260115951949*v^16 - 8521250287449829414024658799335456949645516715626455777256104216904236739550957379604576420479533740764638*v^15 + 30256500384647755524196765558452695418183156185042914627889849900417405949878549745984218622626805319695611*v^14 - 1030552646474007810660591899926008390281058929141217951598662934473166873682062550631709835924026323740130693*v^13 + 1659799665518960405441984364106218695012521147069985208808283677316622958390569385670067526147414672082891108*v^12 - 72569044610490079465839675895225074751092499995921685827555674626697906345681488283606554815357275446307972605*v^11 + 108716367351665602987692569800521263742756303224447688076367994141816811743477975525759191462298751981486085596*v^10 - 1860842519196234988885971028630735888610340995036325192591544658785402312335547199535569555156991935777452377947*v^9 + 1649461525131133783632973479320205877160191294527852266097564182140287768049842776964205259155115926490575613704*v^8 - 57234814078768479013390581082078927060248491206792285877504322067458664955528075256202436597745537366854881812363*v^7 - 53983032081484185508812775329951660372294974878919798691115832706301223333691378314960343198712647821660362410475*v^6 - 1364626918225221164940271748351413379809062663712963442683097912374863565764020095167342491539517235732736797963163*v^5 - 352932533028826926613843795926998368260044419822438487176446915704622138355286372209648436311375281563233865001599*v^4 - 21609169051715600494584995338422424093209565226961206408015375709390576521967236745271412713827416845227693321280452*v^3 + 5425860127169608334843814830661563787006638585826848964354442476292806669804899878733210376119703430367628939965124*v^2 - 42185398889969075756046978513685382207302895231434706760792125235578155400305245685432720129739274914612151888295120*v - 26701040275111508621513701994371101131581437559012683294900499971679517393971685139235659062632897149829644669264128) / 200742812163021166978156163618999095339937362049621139926579515687640544310725266817184593791630258071025981380516
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$-\beta_{12} + \beta_{9} - \beta_{8} - 49\beta_{7} - 6\beta_{6} + \beta_{4} + 6$$ -b12 + b9 - b8 - 49*b7 - 6*b6 + b4 + 6 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$- \beta_{19} + \beta_{16} + 2 \beta_{14} + 3 \beta_{13} + \beta_{12} - 2 \beta_{11} + 2 \beta_{9} - 2 \beta_{8} + 28 \beta_{7} + 28 \beta_{6} + 81 \beta_{5} - 81 \beta_{4} - 66 \beta_{3} - 35 \beta_{2} - 66 \beta _1 - 35$$ -b19 + b16 + 2*b14 + 3*b13 + b12 - 2*b11 + 2*b9 - 2*b8 + 28*b7 + 28*b6 + 81*b5 - 81*b4 - 66*b3 - 35*b2 - 66*b1 - 35 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$6 \beta_{19} - 3 \beta_{18} + 5 \beta_{17} - 109 \beta_{16} + 3 \beta_{15} - 5 \beta_{14} + 4 \beta_{13} - 11 \beta_{12} - 4 \beta_{11} - 6 \beta_{10} - 11 \beta_{8} - 1001 \beta_{7} - 4056 \beta_{6} - 197 \beta_{5} - 2 \beta_{4} + 4 \beta_{3} + 1001 \beta_{2} + 2 \beta_1$$ 6*b19 - 3*b18 + 5*b17 - 109*b16 + 3*b15 - 5*b14 + 4*b13 - 11*b12 - 4*b11 - 6*b10 - 11*b8 - 1001*b7 - 4056*b6 - 197*b5 - 2*b4 + 4*b3 + 1001*b2 + 2*b1 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 17 \beta_{19} + 17 \beta_{18} - 249 \beta_{17} - 219 \beta_{16} + 249 \beta_{13} - 408 \beta_{11} + 126 \beta_{10} - 219 \beta_{9} + 369 \beta_{8} - 315 \beta_{6} + 1946 \beta_{5} + 6002 \beta_{3} + 315 \beta_{2} + \cdots + 7332$$ -17*b19 + 17*b18 - 249*b17 - 219*b16 + 249*b13 - 408*b11 + 126*b10 - 219*b9 + 369*b8 - 315*b6 + 1946*b5 + 6002*b3 + 315*b2 - 1697*b1 + 7332 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 391 \beta_{18} - 943 \beta_{17} - 470 \beta_{15} + 472 \beta_{14} + 2129 \beta_{12} - 943 \beta_{11} - 391 \beta_{10} - 11170 \beta_{9} + 129800 \beta_{7} - 2186 \beta_{4} - 2186 \beta_{3} + 259700 \beta_{2} + \cdots - 129800$$ -391*b18 - 943*b17 - 470*b15 + 472*b14 + 2129*b12 - 943*b11 - 391*b10 - 11170*b9 + 129800*b7 - 2186*b4 - 2186*b3 + 259700*b2 + 24965*b1 - 129800 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$3378 \beta_{19} + 10216 \beta_{18} - 18712 \beta_{17} + 18726 \beta_{16} + 3378 \beta_{15} - 26738 \beta_{14} - 26738 \beta_{13} - 21000 \beta_{12} + 21000 \beta_{9} - 39726 \beta_{8} - 1059378 \beta_{7} + \cdots + 101768$$ 3378*b19 + 10216*b18 - 18712*b17 + 18726*b16 + 3378*b15 - 26738*b14 - 26738*b13 - 21000*b12 + 21000*b9 - 39726*b8 - 1059378*b7 - 101768*b6 - 255964*b5 + 779871*b4 + 229226*b3 - 26738*b1 + 101768 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$- 103772 \beta_{19} + 1140633 \beta_{16} - 45416 \beta_{15} - 74628 \beta_{14} - 33804 \beta_{13} + 1140633 \beta_{12} + 74628 \beta_{11} + 45416 \beta_{10} - 298572 \beta_{9} + \cdots - 24013831$$ -103772*b19 + 1140633*b16 - 45416*b15 - 74628*b14 - 33804*b13 + 1140633*b12 + 74628*b11 + 45416*b10 - 298572*b9 + 298572*b8 + 39621781*b7 + 39621781*b6 + 3383445*b5 - 3383445*b4 - 2817041*b3 - 24013831*b2 - 2817041*b1 - 24013831 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$1450621 \beta_{19} - 960777 \beta_{18} + 2035773 \beta_{17} - 2777337 \beta_{16} + 960777 \beta_{15} - 2035773 \beta_{14} - 4826063 \beta_{13} + 1337594 \beta_{12} + 4826063 \beta_{11} + \cdots + 26404325 \beta_1$$ 1450621*b19 - 960777*b18 + 2035773*b17 - 2777337*b16 + 960777*b15 - 2035773*b14 - 4826063*b13 + 1337594*b12 + 4826063*b11 - 1450621*b10 + 1337594*b8 - 29236885*b7 - 139458096*b6 - 81253177*b5 + 31230388*b4 - 4826063*b3 + 29236885*b2 + 26404325*b1 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$- 5314715 \beta_{19} + 5314715 \beta_{18} + 4888469 \beta_{17} + 37443407 \beta_{16} - 4888469 \beta_{13} + 891068 \beta_{11} + 11974174 \beta_{10} + 37443407 \beta_{9} + \cdots + 2321917415$$ -5314715*b19 + 5314715*b18 + 4888469*b17 + 37443407*b16 - 4888469*b13 + 891068*b11 + 11974174*b10 + 37443407*b9 + 79924742*b8 + 1811301461*b6 + 107288446*b5 + 293855786*b3 - 1811301461*b2 - 112176915*b1 + 2321917415 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 63162745 \beta_{18} + 291186469 \beta_{17} - 93206829 \beta_{15} + 215238939 \beta_{14} - 68191175 \beta_{12} + 291186469 \beta_{11} - 63162745 \beta_{10} + \cdots - 5229729401$$ -63162745*b18 + 291186469*b17 - 93206829*b15 + 215238939*b14 - 68191175*b12 + 291186469*b11 - 63162745*b10 - 352872962*b9 + 5229729401*b7 - 3676709050*b4 - 3676709050*b3 + 12160673160*b2 + 4919241041*b1 - 5229729401 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$628941271 \beta_{19} + 732584482 \beta_{18} - 444888904 \beta_{17} - 4464778965 \beta_{16} + 628941271 \beta_{15} + 212777339 \beta_{14} + 212777339 \beta_{13} + \cdots + 206326475808$$ 628941271*b19 + 732584482*b18 - 444888904*b17 - 4464778965*b16 + 628941271*b15 + 212777339*b14 + 212777339*b13 - 12190834454*b12 + 12190834454*b9 - 7726055489*b8 - 437142897208*b7 - 206326475808*b6 - 16155268842*b5 + 47901253935*b4 + 16368046181*b3 + 212777339*b1 + 206326475808 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 17032821338 \beta_{19} + 43657317140 \beta_{16} - 7707637614 \beta_{15} + 30587060194 \beta_{14} + 53107249298 \beta_{13} + 43657317140 \beta_{12} + \cdots - 1324846024046$$ -17032821338*b19 + 43657317140*b16 - 7707637614*b15 + 30587060194*b14 + 53107249298*b13 + 43657317140*b12 - 30587060194*b11 + 7707637614*b10 - 564855954*b9 + 564855954*b8 + 2111203895678*b7 + 2111203895678*b6 + 918668035351*b5 - 918668035351*b4 - 440934661377*b3 - 1324846024046*b2 - 440934661377*b1 - 1324846024046 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$153953121956 \beta_{19} - 79410379408 \beta_{18} + 53176977104 \beta_{17} - 1277679603561 \beta_{16} + 79410379408 \beta_{15} - 53176977104 \beta_{14} + \cdots + 2160057360596 \beta_1$$ 153953121956*b19 - 79410379408*b18 + 53176977104*b17 - 1277679603561*b16 + 79410379408*b15 - 53176977104*b14 - 60819880868*b13 - 518644733732*b12 + 60819880868*b11 - 153953121956*b10 - 518644733732*b8 - 23268015977126*b7 - 46668114553869*b6 - 5598937791885*b5 + 2220877241464*b4 - 60819880868*b3 + 23268015977126*b2 + 2160057360596*b1 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$- 913604260816 \beta_{19} + 913604260816 \beta_{18} - 3235932238730 \beta_{17} + 863704227014 \beta_{16} + 3235932238730 \beta_{13} + \cdots + 144241411965627$$ -913604260816*b19 + 913604260816*b18 - 3235932238730*b17 + 863704227014*b16 + 3235932238730*b13 - 5587446334931*b11 + 1870033955985*b10 + 863704227014*b9 + 4440614608619*b8 + 108028556736337*b6 + 48501985560908*b5 + 53677152610279*b3 - 108028556736337*b2 - 45266053322178*b1 + 144241411965627 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$- 8796134072883 \beta_{18} + 3823389968623 \beta_{17} - 8576511792099 \beta_{15} + 6519642754429 \beta_{14} + 59362074981075 \beta_{12} + \cdots - 26\!\cdots\!65$$ -8796134072883*b18 + 3823389968623*b17 - 8576511792099*b15 + 6519642754429*b14 + 59362074981075*b12 + 3823389968623*b11 - 8796134072883*b10 - 135011957705357*b9 + 2609849489416065*b7 - 288891397343934*b4 - 288891397343934*b3 + 2408804192105871*b2 + 361665423162631*b1 - 2609849489416065 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$106507268471761 \beta_{19} + 99981415905261 \beta_{18} - 246103968451527 \beta_{17} - 173761853717853 \beta_{16} + 106507268471761 \beta_{15} + \cdots + 14\!\cdots\!77$$ 106507268471761*b19 + 99981415905261*b18 - 246103968451527*b17 - 173761853717853*b16 + 106507268471761*b15 - 344543328079569*b14 - 344543328079569*b13 - 636134042095086*b12 + 636134042095086*b9 - 462372188377233*b8 - 29823212853601257*b7 - 14053547135257677*b6 - 5503388066028218*b5 + 10724421940459171*b4 + 5158844737948649*b3 - 344543328079569*b1 + 14053547135257677 $$\nu^{18}$$ $$=$$ $$- 19\!\cdots\!09 \beta_{19} + \cdots - 25\!\cdots\!20$$ -1959280512795509*b19 + 14373005898818122*b16 - 1031263966456727*b15 + 710341976432377*b14 + 1511443569723505*b13 + 14373005898818122*b12 - 710341976432377*b11 + 1031263966456727*b10 - 6734284022345609*b9 + 6734284022345609*b8 + 543015139771997908*b7 + 543015139771997908*b6 + 75264211365490351*b5 - 75264211365490351*b4 - 37513050346101844*b3 - 251105127525787820*b2 - 37513050346101844*b1 - 251105127525787820 $$\nu^{19}$$ $$=$$ $$22\!\cdots\!26 \beta_{19} + \cdots + 55\!\cdots\!22 \beta_1$$ 22896802393502826*b19 - 10605598822795040*b18 + 25872979532316616*b17 - 75540542807022976*b16 + 10605598822795040*b15 - 25872979532316616*b14 - 62765186339032202*b13 - 26826430903030538*b12 + 62765186339032202*b11 - 22896802393502826*b10 - 26826430903030538*b8 - 1763986712176702248*b7 - 3497975938847469514*b6 - 1168721828218833167*b5 + 621899392402054124*b4 - 62765186339032202*b3 + 1763986712176702248*b2 + 559134206063021922*b1

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$13$$ $$23$$ $$\chi(n)$$ $$-1 - \beta_{2} + \beta_{6} + \beta_{7}$$ $$1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
4.1
 −8.59311 + 6.24326i −3.89647 + 2.83095i −0.490010 + 0.356013i 4.70404 − 3.41769i 7.96653 − 5.78803i −2.34585 + 7.21978i −1.64776 + 5.07128i 0.527694 − 1.62407i 1.34436 − 4.13753i 2.93057 − 9.01936i −8.59311 − 6.24326i −3.89647 − 2.83095i −0.490010 − 0.356013i 4.70404 + 3.41769i 7.96653 + 5.78803i −2.34585 − 7.21978i −1.64776 − 5.07128i 0.527694 + 1.62407i 1.34436 + 4.13753i 2.93057 + 9.01936i
−7.78409 5.65548i −2.78115 + 8.55951i 18.7192 + 57.6117i 48.1408 34.9763i 70.0568 50.8993i 9.43666 + 29.0431i 84.9654 261.497i −65.5304 47.6106i −572.540
4.2 −3.08746 2.24317i −2.78115 + 8.55951i −5.38796 16.5824i 3.77724 2.74432i 27.7871 20.1885i 49.4196 + 152.098i −58.2998 + 179.428i −65.5304 47.6106i −17.8180
4.3 0.319007 + 0.231772i −2.78115 + 8.55951i −9.84050 30.2859i −17.3054 + 12.5731i −2.87106 + 2.08595i −52.3175 161.017i 7.77944 23.9427i −65.5304 47.6106i −8.43465
4.4 5.51306 + 4.00547i −2.78115 + 8.55951i 4.46148 + 13.7310i −62.5986 + 45.4806i −49.6176 + 36.0493i 59.3828 + 182.761i 36.9828 113.821i −65.5304 47.6106i −527.281
4.5 8.77555 + 6.37581i −2.78115 + 8.55951i 26.4708 + 81.4687i 31.3852 22.8027i −78.9800 + 57.3823i −67.6896 208.327i −179.871 + 553.584i −65.5304 47.6106i 420.808
16.1 −2.65487 8.17084i 7.28115 + 5.29007i −33.8257 + 24.5758i −21.1802 + 65.1858i 23.8938 73.5376i −196.384 + 142.681i 68.1911 + 49.5438i 25.0304 + 77.0356i 588.853
16.2 −1.95678 6.02234i 7.28115 + 5.29007i −6.55106 + 4.75963i 8.65323 26.6319i 17.6110 54.2011i 121.539 88.3034i −122.450 88.9651i 25.0304 + 77.0356i −177.319
16.3 0.218677 + 0.673018i 7.28115 + 5.29007i 25.4834 18.5148i −21.0138 + 64.6739i −1.96809 + 6.05716i 98.3565 71.4602i 36.3535 + 26.4124i 25.0304 + 77.0356i −48.1219
16.4 1.03535 + 3.18647i 7.28115 + 5.29007i 16.8069 12.2109i 32.9083 101.281i −9.31813 + 28.6783i −32.7853 + 23.8199i 143.049 + 103.931i 25.0304 + 77.0356i 356.801
16.5 2.62155 + 8.06830i 7.28115 + 5.29007i −32.3365 + 23.4938i −8.26670 + 25.4423i −23.5940 + 72.6147i −58.4588 + 42.4728i −54.7010 39.7426i 25.0304 + 77.0356i −226.948
25.1 −7.78409 + 5.65548i −2.78115 8.55951i 18.7192 57.6117i 48.1408 + 34.9763i 70.0568 + 50.8993i 9.43666 29.0431i 84.9654 + 261.497i −65.5304 + 47.6106i −572.540
25.2 −3.08746 + 2.24317i −2.78115 8.55951i −5.38796 + 16.5824i 3.77724 + 2.74432i 27.7871 + 20.1885i 49.4196 152.098i −58.2998 179.428i −65.5304 + 47.6106i −17.8180
25.3 0.319007 0.231772i −2.78115 8.55951i −9.84050 + 30.2859i −17.3054 12.5731i −2.87106 2.08595i −52.3175 + 161.017i 7.77944 + 23.9427i −65.5304 + 47.6106i −8.43465
25.4 5.51306 4.00547i −2.78115 8.55951i 4.46148 13.7310i −62.5986 45.4806i −49.6176 36.0493i 59.3828 182.761i 36.9828 + 113.821i −65.5304 + 47.6106i −527.281
25.5 8.77555 6.37581i −2.78115 8.55951i 26.4708 81.4687i 31.3852 + 22.8027i −78.9800 57.3823i −67.6896 + 208.327i −179.871 553.584i −65.5304 + 47.6106i 420.808
31.1 −2.65487 + 8.17084i 7.28115 5.29007i −33.8257 24.5758i −21.1802 65.1858i 23.8938 + 73.5376i −196.384 142.681i 68.1911 49.5438i 25.0304 77.0356i 588.853
31.2 −1.95678 + 6.02234i 7.28115 5.29007i −6.55106 4.75963i 8.65323 + 26.6319i 17.6110 + 54.2011i 121.539 + 88.3034i −122.450 + 88.9651i 25.0304 77.0356i −177.319
31.3 0.218677 0.673018i 7.28115 5.29007i 25.4834 + 18.5148i −21.0138 64.6739i −1.96809 6.05716i 98.3565 + 71.4602i 36.3535 26.4124i 25.0304 77.0356i −48.1219
31.4 1.03535 3.18647i 7.28115 5.29007i 16.8069 + 12.2109i 32.9083 + 101.281i −9.31813 28.6783i −32.7853 23.8199i 143.049 103.931i 25.0304 77.0356i 356.801
31.5 2.62155 8.06830i 7.28115 5.29007i −32.3365 23.4938i −8.26670 25.4423i −23.5940 72.6147i −58.4588 42.4728i −54.7010 + 39.7426i 25.0304 77.0356i −226.948
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 4.5 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
11.c even 5 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 33.6.e.b 20
3.b odd 2 1 99.6.f.b 20
11.c even 5 1 inner 33.6.e.b 20
11.c even 5 1 363.6.a.r 10
11.d odd 10 1 363.6.a.t 10
33.f even 10 1 1089.6.a.bi 10
33.h odd 10 1 99.6.f.b 20
33.h odd 10 1 1089.6.a.bk 10

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
33.6.e.b 20 1.a even 1 1 trivial
33.6.e.b 20 11.c even 5 1 inner
99.6.f.b 20 3.b odd 2 1
99.6.f.b 20 33.h odd 10 1
363.6.a.r 10 11.c even 5 1
363.6.a.t 10 11.d odd 10 1
1089.6.a.bi 10 33.f even 10 1
1089.6.a.bk 10 33.h odd 10 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{20} - 6 T_{2}^{19} + 94 T_{2}^{18} - 488 T_{2}^{17} + 12401 T_{2}^{16} - 30756 T_{2}^{15} + 1258515 T_{2}^{14} - 3730721 T_{2}^{13} + 94390061 T_{2}^{12} - 313560892 T_{2}^{11} + \cdots + 1371559530496$$ acting on $$S_{6}^{\mathrm{new}}(33, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{20} - 6 T^{19} + \cdots + 1371559530496$$
$3$ $$(T^{4} - 9 T^{3} + 81 T^{2} - 729 T + 6561)^{5}$$
$5$ $$T^{20} + 11 T^{19} + \cdots + 43\!\cdots\!61$$
$7$ $$T^{20} + 139 T^{19} + \cdots + 20\!\cdots\!61$$
$11$ $$T^{20} - 2289 T^{19} + \cdots + 11\!\cdots\!01$$
$13$ $$T^{20} + 847 T^{19} + \cdots + 14\!\cdots\!76$$
$17$ $$T^{20} - 2482 T^{19} + \cdots + 96\!\cdots\!00$$
$19$ $$T^{20} - 2958 T^{19} + \cdots + 20\!\cdots\!00$$
$23$ $$(T^{10} - 4070 T^{9} + \cdots + 12\!\cdots\!56)^{2}$$
$29$ $$T^{20} + 20210 T^{19} + \cdots + 13\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{20} - 5540 T^{19} + \cdots + 91\!\cdots\!01$$
$37$ $$T^{20} + 25173 T^{19} + \cdots + 15\!\cdots\!16$$
$41$ $$T^{20} - 54349 T^{19} + \cdots + 54\!\cdots\!36$$
$43$ $$(T^{10} + 10844 T^{9} + \cdots + 51\!\cdots\!00)^{2}$$
$47$ $$T^{20} + 48387 T^{19} + \cdots + 39\!\cdots\!16$$
$53$ $$T^{20} + 74382 T^{19} + \cdots + 16\!\cdots\!61$$
$59$ $$T^{20} + 108412 T^{19} + \cdots + 17\!\cdots\!25$$
$61$ $$T^{20} - 16737 T^{19} + \cdots + 12\!\cdots\!16$$
$67$ $$(T^{10} - 10089 T^{9} + \cdots + 33\!\cdots\!36)^{2}$$
$71$ $$T^{20} - 143157 T^{19} + \cdots + 31\!\cdots\!36$$
$73$ $$T^{20} - 164980 T^{19} + \cdots + 77\!\cdots\!36$$
$79$ $$T^{20} - 369613 T^{19} + \cdots + 53\!\cdots\!25$$
$83$ $$T^{20} - 267741 T^{19} + \cdots + 75\!\cdots\!61$$
$89$ $$(T^{10} - 102746 T^{9} + \cdots - 11\!\cdots\!20)^{2}$$
$97$ $$T^{20} + 300567 T^{19} + \cdots + 48\!\cdots\!25$$