# Properties

 Label 33.6.d.b Level $33$ Weight $6$ Character orbit 33.d Analytic conductor $5.293$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ Inner twists $4$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [33,6,Mod(32,33)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(33, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([1, 1]))

N = Newforms(chi, 6, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("33.32");

S:= CuspForms(chi, 6);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$33 = 3 \cdot 11$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$6$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 33.d (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$5.29266605383$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{16} - 6 x^{15} - 195 x^{14} - 642 x^{13} + 89670 x^{12} + 53946 x^{11} + 91115757 x^{10} + \cdots + 92\!\cdots\!40$$ x^16 - 6*x^15 - 195*x^14 - 642*x^13 + 89670*x^12 + 53946*x^11 + 91115757*x^10 - 2121785838*x^9 + 37710373995*x^8 - 835758339660*x^7 + 12972600642204*x^6 - 129499271268696*x^5 + 2168293345395660*x^4 - 17336133272224368*x^3 + 169639595563975056*x^2 - 1075523563426213440*x + 9241272870780234240 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{11}]$$ Coefficient ring index: $$2^{11}\cdot 3^{10}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{3} q^{2} + ( - \beta_{2} - 3) q^{3} + (\beta_{9} + 20) q^{4} + \beta_{8} q^{5} + (\beta_{11} - 3 \beta_{3}) q^{6} - \beta_{13} q^{7} + ( - \beta_{14} + 14 \beta_{3}) q^{8} + ( - 2 \beta_{10} + \beta_{9} + \cdots - 15) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b3 * q^2 + (-b2 - 3) * q^3 + (b9 + 20) * q^4 + b8 * q^5 + (b11 - 3*b3) * q^6 - b13 * q^7 + (-b14 + 14*b3) * q^8 + (-2*b10 + b9 - 2*b8 + b6 + 2*b2 - 15) * q^9 $$q + \beta_{3} q^{2} + ( - \beta_{2} - 3) q^{3} + (\beta_{9} + 20) q^{4} + \beta_{8} q^{5} + (\beta_{11} - 3 \beta_{3}) q^{6} - \beta_{13} q^{7} + ( - \beta_{14} + 14 \beta_{3}) q^{8} + ( - 2 \beta_{10} + \beta_{9} + \cdots - 15) q^{9}+ \cdots + ( - 8 \beta_{15} - 181 \beta_{14} + \cdots - 15783) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b3 * q^2 + (-b2 - 3) * q^3 + (b9 + 20) * q^4 + b8 * q^5 + (b11 - 3*b3) * q^6 - b13 * q^7 + (-b14 + 14*b3) * q^8 + (-2*b10 + b9 - 2*b8 + b6 + 2*b2 - 15) * q^9 + (b13 + b11 + b5) * q^10 + (-b14 + 2*b10 - 2*b8 + b4 + 9*b3 - b2 - b1 + 1) * q^11 + (5*b10 - 7*b9 + 5*b8 + 2*b6 - 18*b2 + 3*b1 - 27) * q^12 + (-b13 - b11 + b7) * q^13 + (-13*b10 - 7*b8 + 2*b2 + 5*b1 - 5) * q^14 + (3*b15 - 9*b9 - 9*b8 - 7*b2 + 7*b1 - 103) * q^15 + (-2*b15 + 17*b9 - 2*b6 + 26*b2 - 10*b1 + 98) * q^16 + (b15 + b14 - b13 - b12 + 3*b11 - b6 + 2*b4 - 42*b3) * q^17 + (-b15 + b14 - 6*b13 + b12 - 2*b11 - b7 + b6 - 3*b5 - 2*b4 + 9*b3) * q^18 + (-2*b12 - 3*b11 - b7 + 2*b5 + 2*b3) * q^19 + (2*b15 + 33*b10 + 49*b8 - 2*b6 - 18*b2 - 17*b1 + 17) * q^20 + (-2*b15 - b14 + 10*b13 + 3*b12 - 2*b11 + b7 + 2*b6 - 4*b4 + 56*b3) * q^21 + (-7*b15 + 3*b13 + 2*b12 + 4*b11 + 33*b9 - b7 - 7*b6 - 3*b5 - 2*b3 + 52*b2 - 22*b1 + 480) * q^22 + (-3*b15 - 34*b10 - 9*b8 + 3*b6 + 8*b2 + 14*b1 - 14) * q^23 + (-2*b15 + 11*b14 + 12*b13 - b12 + 4*b11 - 2*b7 + 2*b6 + 3*b5 - 4*b4 - 111*b3) * q^24 + (-60*b9 - 105*b2 + 35*b1 - 56) * q^25 + (18*b15 - 23*b10 - 29*b8 - 18*b6 + 46*b2 + 23*b1 - 23) * q^26 + (-9*b15 + 54*b10 + 27*b9 + 60*b2 - 39*b1 - 204) * q^27 + (-6*b13 - 5*b12 - 22*b11 - 7*b5 + 5*b3) * q^28 + (4*b15 - 5*b14 + 3*b13 + 3*b12 - 9*b11 - 4*b6 + 8*b4 + 36*b3) * q^29 + (-3*b15 + 15*b14 - 16*b13 - 10*b12 - 8*b11 + 3*b7 + 3*b6 - 6*b5 - 6*b4 - 323*b3) * q^30 + (13*b15 + 2*b9 + 13*b6 + 161*b2 - 45*b1 - 811) * q^31 + (4*b15 + 7*b14 + 10*b13 + 10*b12 - 30*b11 - 4*b6 + 8*b4 + 76*b3) * q^32 + (-19*b15 + 16*b14 - 6*b13 + 7*b12 + 3*b11 - 10*b10 - 22*b9 - b8 + 2*b7 + 3*b6 + 6*b5 - 5*b4 - 195*b3 + 11*b2 - 28*b1 - 338) * q^33 + (-2*b15 - 124*b9 - 2*b6 - 160*b2 + 52*b1 - 2092) * q^34 + (5*b15 - 36*b14 - 2*b13 - 2*b12 + 6*b11 - 5*b6 + 10*b4 + 266*b3) * q^35 + (-18*b15 - 62*b10 - 23*b9 - 170*b8 + 4*b6 - 88*b2 + 30*b1 + 882) * q^36 + (27*b15 + 38*b9 + 27*b6 - 129*b2 + 61*b1 + 657) * q^37 + (-2*b15 + 16*b10 + 124*b8 + 2*b6 + 148*b2 + 44*b1 - 44) * q^38 + (-7*b15 - 26*b14 - 25*b13 - 18*b12 + 5*b11 - b7 + 7*b6 + 18*b5 - 14*b4 + 364*b3) * q^39 + (100*b13 + 13*b12 + 56*b11 + 4*b7 + 21*b5 - 13*b3) * q^40 + (8*b15 - 23*b14 - 31*b13 - 31*b12 + 93*b11 - 8*b6 + 16*b4 - 20*b3) * q^41 + (18*b15 + 121*b10 + 178*b9 + 67*b8 - 2*b6 + 110*b2 - 153*b1 + 2901) * q^42 + (-54*b13 + 34*b12 + 95*b11 - 3*b7 - 10*b5 - 34*b3) * q^43 + (-22*b15 - 29*b14 + 22*b13 + 22*b12 - 66*b11 - 41*b10 - 69*b8 + 22*b6 - 4*b4 + 1020*b3 - 194*b2 - 51*b1 + 51) * q^44 + (-27*b15 - 38*b10 + 289*b9 + 43*b8 - 8*b6 + 74*b2 + 54*b1 + 4872) * q^45 + (-91*b13 - 8*b12 - 33*b11 - 6*b7 - 15*b5 + 8*b3) * q^46 + (-16*b15 - 130*b10 + 117*b8 + 16*b6 - 193*b2 - 21*b1 + 21) * q^47 + (18*b15 + 69*b10 - 237*b9 + 177*b8 + 6*b6 + 38*b2 - 21*b1 - 4923) * q^48 + (7*b15 + 162*b9 + 7*b6 - 406*b2 + 140*b1 + 141) * q^49 + (60*b14 - 35*b13 - 35*b12 + 105*b11 - 1546*b3) * q^50 + (-2*b15 + 2*b14 - 66*b13 + 20*b12 - 13*b11 + 7*b7 + 2*b6 - 6*b5 - 4*b4 + 702*b3) * q^51 + (-66*b13 - 59*b12 - 174*b11 + 4*b7 + 7*b5 + 59*b3) * q^52 + (53*b15 - 36*b10 - 53*b8 - 53*b6 - 411*b2 - 125*b1 + 125) * q^53 + (9*b15 - 45*b14 + 147*b13 + 48*b12 + 12*b11 - 9*b7 - 9*b6 - 9*b5 + 18*b4 + 420*b3) * q^54 + (16*b15 + 111*b13 + 30*b12 + 93*b11 + 7*b7 + 16*b6 + 10*b5 - 30*b3 - 67*b2 + 33*b1 + 7365) * q^55 + (16*b15 + 113*b10 - 451*b8 - 16*b6 + 620*b2 + 169*b1 - 169) * q^56 + (5*b15 + 49*b14 + 39*b13 - 5*b12 - 11*b11 + 14*b7 - 5*b6 - 12*b5 + 10*b4 + 450*b3) * q^57 + (-68*b15 + 198*b9 - 68*b6 + 896*b2 - 344*b1 + 1644) * q^58 + (-72*b15 + 276*b10 + 214*b8 + 72*b6 - 81*b2 - 119*b1 + 119) * q^59 + (66*b15 - 373*b10 - 628*b9 - 409*b8 + 20*b6 - 492*b2 + 727*b1 - 13795) * q^60 + (33*b13 - 56*b12 - 155*b11 + 3*b7 + 16*b5 + 56*b3) * q^61 + (-26*b15 + 50*b14 + 45*b13 + 45*b12 - 135*b11 + 26*b6 - 52*b4 - 875*b3) * q^62 + (10*b15 - 28*b14 - 15*b13 - 76*b12 + 26*b11 - 26*b7 - 10*b6 + 12*b5 + 20*b4 - 2040*b3) * q^63 + (-22*b15 - 551*b9 - 22*b6 + 1054*b2 - 366*b1 - 218) * q^64 + (-19*b15 + 44*b14 + 82*b13 + 82*b12 - 246*b11 + 19*b6 - 38*b4 + 1882*b3) * q^65 + (79*b15 - 10*b14 + 7*b13 + 45*b12 + 13*b11 + 31*b10 - 605*b9 + 409*b8 - 17*b7 - 9*b6 - 18*b5 + 32*b4 - 967*b3 - 226*b2 - 153*b1 - 10365) * q^66 + (-47*b15 - 598*b9 - 47*b6 - 505*b2 + 137*b1 - 22713) * q^67 + (-28*b15 + 84*b14 - 20*b13 - 20*b12 + 60*b11 + 28*b6 - 56*b4 - 3864*b3) * q^68 + (48*b15 + 382*b10 + 241*b9 - 5*b8 - 11*b6 + 247*b2 - 515*b1 + 7163) * q^69 + (-110*b15 + 1366*b9 - 110*b6 + 824*b2 - 348*b1 + 14408) * q^70 + (37*b15 + 50*b10 + 105*b8 - 37*b6 + 1988*b2 + 646*b1 - 646) * q^71 + (46*b15 - 37*b14 - 132*b13 - 40*b12 - 28*b11 + 10*b7 - 46*b6 - 96*b5 + 92*b4 + 48*b3) * q^72 + (-152*b13 + 16*b12 - 20*b11 - 36*b7 - 104*b5 - 16*b3) * q^73 + (-54*b15 + 70*b14 - 61*b13 - 61*b12 + 183*b11 + 54*b6 - 108*b4 + 1713*b3) * q^74 + (-510*b10 + 525*b9 - 510*b8 - 15*b6 - 519*b2 - 180*b1 + 20133) * q^75 + (112*b13 + 24*b12 + 100*b11 + 28*b7 + 56*b5 - 24*b3) * q^76 + (99*b15 + 91*b14 + 11*b13 + 11*b12 - 33*b11 - 204*b10 - 687*b8 - 99*b6 + 8*b4 + 1084*b3 - 1053*b2 - 283*b1 + 283) * q^77 + (144*b15 - 61*b10 + 1250*b9 + 965*b8 - 28*b6 + 46*b2 + 693*b1 + 18879) * q^78 + (239*b13 + 8*b12 + 116*b11 + 4*b7 + 96*b5 - 8*b3) * q^79 + (-28*b15 + 845*b10 + 897*b8 + 28*b6 - 1240*b2 - 695*b1 + 695) * q^80 + (-162*b15 - 294*b10 - 1149*b9 + 192*b8 - 15*b6 + 267*b2 + 81*b1 - 16218) * q^81 + (60*b15 - 166*b9 + 60*b6 - 4752*b2 + 1624*b1 + 2260) * q^82 + (-24*b15 - 126*b14 - 30*b13 - 30*b12 + 90*b11 + 24*b6 - 48*b4 + 712*b3) * q^83 + (48*b15 - 114*b14 + 142*b13 + 37*b12 + 98*b11 - 12*b7 - 48*b6 + 87*b5 + 96*b4 + 5435*b3) * q^84 + (-144*b13 - 8*b12 - 124*b11 + 20*b7 - 80*b5 + 8*b3) * q^85 + (-278*b15 - 294*b10 - 270*b8 + 278*b6 - 3672*b2 - 1126*b1 + 1126) * q^86 + (-5*b15 + 86*b14 - 30*b13 + 50*b12 - 15*b11 + 31*b7 + 5*b6 + 66*b5 - 10*b4 - 3360*b3) * q^87 + (54*b15 - 196*b13 + 27*b12 + 76*b11 + 1573*b9 - 8*b7 + 54*b6 - 13*b5 - 27*b3 + 3078*b2 - 990*b1 + 35806) * q^88 + (-101*b15 + 76*b10 + 308*b8 + 101*b6 + 2083*b2 + 669*b1 - 669) * q^89 + (35*b15 - 359*b14 - 87*b13 - 35*b12 - 47*b11 - 19*b7 - 35*b6 + 24*b5 + 70*b4 + 12510*b3) * q^90 + (329*b15 - 534*b9 + 329*b6 + 1642*b2 - 328*b1 - 13782) * q^91 + (6*b15 - 471*b10 - 1511*b8 - 6*b6 + 798*b2 + 423*b1 - 423) * q^92 + (-117*b15 + 774*b10 + 423*b9 + 72*b8 - 144*b6 + 1582*b2 + 474*b1 - 32736) * q^93 + (-122*b13 + 53*b12 + 276*b11 - 32*b7 + 85*b5 - 53*b3) * q^94 + (60*b15 - 140*b14 - 92*b13 - 92*b12 + 276*b11 - 60*b6 + 120*b4 - 7024*b3) * q^95 + (40*b15 - 67*b14 - 48*b13 + 41*b12 + 68*b11 + 76*b7 - 40*b6 + 93*b5 + 80*b4 - 7587*b3) * q^96 + (-54*b15 - 2232*b9 - 54*b6 + 1929*b2 - 679*b1 + 6111) * q^97 + (-14*b15 - 134*b14 - 140*b13 - 140*b12 + 420*b11 + 14*b6 - 28*b4 + 4619*b3) * q^98 + (-8*b15 - 181*b14 - 72*b13 - 70*b12 - 184*b11 - 100*b10 - 517*b9 - 208*b8 + 46*b7 - 41*b6 - 60*b5 - 61*b4 - 3009*b3 + 661*b2 - 951*b1 - 15783) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q - 54 q^{3} + 316 q^{4} - 222 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q - 54 * q^3 + 316 * q^4 - 222 * q^9 $$16 q - 54 q^{3} + 316 q^{4} - 222 q^{9} - 552 q^{12} - 1674 q^{15} + 1684 q^{16} + 7932 q^{22} - 1356 q^{25} - 3240 q^{27} - 11980 q^{31} - 5106 q^{33} - 34032 q^{34} + 14016 q^{36} + 9356 q^{37} + 45912 q^{42} + 77430 q^{45} - 78012 q^{48} - 1136 q^{49} + 117308 q^{55} + 31848 q^{58} - 220548 q^{60} + 5860 q^{64} - 164796 q^{66} - 364132 q^{67} + 113790 q^{69} + 231144 q^{70} + 320364 q^{75} + 296088 q^{78} - 251334 q^{81} + 4824 q^{82} + 586836 q^{88} - 209184 q^{91} - 521046 q^{93} + 119852 q^{97} - 243894 q^{99}+O(q^{100})$$ 16 * q - 54 * q^3 + 316 * q^4 - 222 * q^9 - 552 * q^12 - 1674 * q^15 + 1684 * q^16 + 7932 * q^22 - 1356 * q^25 - 3240 * q^27 - 11980 * q^31 - 5106 * q^33 - 34032 * q^34 + 14016 * q^36 + 9356 * q^37 + 45912 * q^42 + 77430 * q^45 - 78012 * q^48 - 1136 * q^49 + 117308 * q^55 + 31848 * q^58 - 220548 * q^60 + 5860 * q^64 - 164796 * q^66 - 364132 * q^67 + 113790 * q^69 + 231144 * q^70 + 320364 * q^75 + 296088 * q^78 - 251334 * q^81 + 4824 * q^82 + 586836 * q^88 - 209184 * q^91 - 521046 * q^93 + 119852 * q^97 - 243894 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 6 x^{15} - 195 x^{14} - 642 x^{13} + 89670 x^{12} + 53946 x^{11} + 91115757 x^{10} + \cdots + 92\!\cdots\!40$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 15\!\cdots\!79 \nu^{15} + \cdots - 29\!\cdots\!92 ) / 36\!\cdots\!44$$ (-150713479084399610545526626627156640507808701226283929427972049903399423955064879*v^15 - 9774677003138022743051395609268406198174317789738876672100903674474481557964169052*v^14 + 375261166811954734602488530237032590058766639239829615017145915924356879292926723011*v^13 - 385777819321219969074497359180468886069118337156466081352090529620090784618463522196*v^12 - 86932582332906324184283288018965255193378416360216767105260022745574497617787333066560*v^11 - 333436705215481994612428905083845093242562585071342744449762485285559597573767616649390*v^10 + 17477348095215308295695054028108793039811903092260083694701348748027024971030170741198209*v^9 - 869440646620904969359120924016969537256108393323873873864460823153719589824299192832003504*v^8 + 39431188816966067839279357797152018866535803886110970542743104795607223934582168820215466297*v^7 - 904074730824652044367498509511060792056770075520190095257755988399716700953785317106945575034*v^6 + 16951784322311642473552227492276180745852626674056634848159803119323731212766880284633305870094*v^5 - 285384709367031487018387434101930351710067874608494550913093669157834563425681538340900339064952*v^4 + 3581512672049993910224267447974258672148676602860564197074542657934267606882721647910376779970656*v^3 - 37229535694567662416533490468206164574903326419617769284625659207187456781194551069526597279976552*v^2 + 357582373267027102923465944398757086263970344481430029785744331985142303407091434722578669169234080*v - 2950327974140691481600641210208169796166505704126833695960695619749050953801064595781504741364404592) / 36842861854917307190311262694525387156265911499182440534219494624120809127616538184238948409028944 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 11\!\cdots\!21 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!20 ) / 11\!\cdots\!32$$ (1149383143339571506011030320719719756492589336047032713374042869184801607413779321*v^15 + 4126801087279268239506808297369927356249003631644758578514960619137191696607080252*v^14 - 513173829325716215772674670508058297395614964009260225687754481135724761965892990485*v^13 - 878591105499574475830713398958187008428833392735206880783740737178168709216232393236*v^12 + 167008666482758195006373638874501525237785753934562914545619639342583180296747094252896*v^11 + 698812166329889669020829543551785545591955693834844135036212904744448957220397895993466*v^10 + 77687580082313403420834105057013177709206793593866494054277088629516160325926690885373769*v^9 - 1357242006395606355119737398015790163093896077838623287698431096610445978370731816944168152*v^8 + 3107664013924985796442480130560779576742826859750383709763335417380975366956814987587235745*v^7 - 19596219636436556051736162651080111029795112330651709145626013944254847267977122891689698202*v^6 - 1472347516933301235961117345602883861016868170134583925865337869382996249088931286557517663442*v^5 + 123011890214235885093992468087976714776743847714820074096340971610452930333911346807984034448464*v^4 - 971051571635186827265705594688624784528043707988758949808894497483319657480876532042079370415872*v^3 + 13610361008710509825263343572240147563702323976840870614216595746698409871938025869131411858083320*v^2 - 17207858530648264521094938489644136151195581683738919016058353522531582912381535130316280820499680*v + 1623104234352891623651068534120555151641541987493219179455475600872143363215270393152002474411172320) / 110528585564751921570933788083576161468797734497547321602658483872362427382849614552716845227086832 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!21 \nu^{15} + \cdots - 16\!\cdots\!20 ) / 11\!\cdots\!32$$ (-1149383143339571506011030320719719756492589336047032713374042869184801607413779321*v^15 - 4126801087279268239506808297369927356249003631644758578514960619137191696607080252*v^14 + 513173829325716215772674670508058297395614964009260225687754481135724761965892990485*v^13 + 878591105499574475830713398958187008428833392735206880783740737178168709216232393236*v^12 - 167008666482758195006373638874501525237785753934562914545619639342583180296747094252896*v^11 - 698812166329889669020829543551785545591955693834844135036212904744448957220397895993466*v^10 - 77687580082313403420834105057013177709206793593866494054277088629516160325926690885373769*v^9 + 1357242006395606355119737398015790163093896077838623287698431096610445978370731816944168152*v^8 - 3107664013924985796442480130560779576742826859750383709763335417380975366956814987587235745*v^7 + 19596219636436556051736162651080111029795112330651709145626013944254847267977122891689698202*v^6 + 1472347516933301235961117345602883861016868170134583925865337869382996249088931286557517663442*v^5 - 123011890214235885093992468087976714776743847714820074096340971610452930333911346807984034448464*v^4 + 971051571635186827265705594688624784528043707988758949808894497483319657480876532042079370415872*v^3 - 13610361008710509825263343572240147563702323976840870614216595746698409871938025869131411858083320*v^2 + 127736444095400186092028726573220297619993316181286240618716837394894010295231149683033126047586512*v - 1623104234352891623651068534120555151641541987493219179455475600872143363215270393152002474411172320) / 110528585564751921570933788083576161468797734497547321602658483872362427382849614552716845227086832 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 32\!\cdots\!69 \nu^{15} + \cdots + 33\!\cdots\!64 ) / 19\!\cdots\!76$$ (-32202326698575638566508409765577759156416274775055968270410312771353960518801754569*v^15 + 1489580885688585653973837237999995858532696195914868605370852418281160256387512991778*v^14 + 41075861683416237047100685118380869055785445603364046434310582876856797587691339043809*v^13 + 161663333352926868651726386419831126891323716286217726357297074440285587076133045998370*v^12 - 20745930133327069329305291445898520915514530060984689489707141430661619897013845928994364*v^11 - 60477466575637778004743819941840260833795774959520465771036288375932004448927269180238174*v^10 + 3916679122536035565899615020414385358485158073147136909275888783203981232845035812044756155*v^9 + 282810995024670257816205307810263575811449700679934535991163488872246520716641734014987059790*v^8 - 1392446931594427464785580343089339240368642728220867861302401818170327964846257643694699047733*v^7 + 21759098502658575309720896313766244952001480647497554371151636270318758618510406941441880352988*v^6 - 1278840375678219703653196730948934800138808915545269910856174549486296298428261449695726536496198*v^5 + 22721213788351077745739820281637401954045273070597896497025917796042966291738824381062294506644128*v^4 - 268814736838470552468487108355097901374972363447669300590881365043774844814982397312165074875012744*v^3 + 5795260359629340257396945364512999601925793068396145314172442015432772957734998060824703739906262512*v^2 - 21581990139902289176715431163751715883538467984803191052450810810341972107601673922256067571534438720*v + 335052328805032950685225345233654313191232569648989057715800641878907551611490115328804837664759413664) / 1989514540165534588276808185504370906438359220955851788847852709702523692891293061948903214087562976 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 67\!\cdots\!86 \nu^{15} + \cdots - 14\!\cdots\!80 ) / 33\!\cdots\!96$$ (6727377021271954418732869142342803869242986655205270563772095756338796091038443886*v^15 - 3178038682396851065005125044802863283947541805521836149930624408407089090491413627977*v^14 - 2394607051527983341494956339974013551464968969189572806878822870688193122769023420528*v^13 + 989785875656112584396095688458003663159160078854956702332218379449746276084338161156317*v^12 + 6429458292592937054699290328405328033801460340002447794550897865315305857465824016018174*v^11 - 362996022799083938426291498141424417063472984687940927355318947757827660184198676204845108*v^10 - 1142149172622499723440300169911676934268416055173854914069673306114489109440148933534377872*v^9 - 259153009064722272122510441283191848967627952494262282523999346640301548215763190543201551429*v^8 + 5193697868743997895559861582007266246628059384719217133393395626808801737899595476472085589400*v^7 - 63506016751995553197353344031638813363276843662249196917794514476832512000753116815334816466781*v^6 + 1558991327956796439029002197717015713797210259728138139743527167574460006247161180823515082356404*v^5 - 20299246375082986779089940040440378592306251219421003131775338753393959529697916589435460199629770*v^4 + 105565719296154071223697777607797069715105699439337310474188075348822429079832892557958240425579024*v^3 - 3216896889654193613634017428837649998616204439389266042016127764271596784798150940379633184286386768*v^2 + 19392646208033033633322595084983034028729239291312803953578022854473288979038558632164477783283961936*v - 142753477220882199799036980494554797208708298380680094148453888662976546728966300002424479784041000480) / 331585756694255764712801364250728484406393203492641964807975451617087282148548843658150535681260496 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!67 \nu^{15} + \cdots + 30\!\cdots\!36 ) / 49\!\cdots\!44$$ (-11159325546099610583194275263326227218416095478144665407173556570044789567115413967*v^15 - 248000711696977148624898771083858087613849157172906365804916039543143625159615399958*v^14 + 14952377602195557979804777626271150304418124653105206014828684274622348481294415721987*v^13 + 5386420678871445357122184136850713780192802557442749487977915408734496105253849092806*v^12 - 4229704907300779544101203991667890921802615140356158038825406192250239217143579246732544*v^11 - 8490666572438099677391635028206329069280151903496162506319173619474761929611828635961390*v^10 - 51650213211580340290865475323596412555979644309539895671060214293411443859098128272979019*v^9 - 10087954340217765562884459046739780571107978500791635778223682591445129544697327565467187834*v^8 + 1271223222752458172889240004797862915138506182212128889937903355586121423802868545717376752369*v^7 - 22342182795799032162245701719336332761598576489691764652596933186598941641211664635919202400940*v^6 + 376775936570960305339327806469832091228769080613540742490322122102076706160205861181002780384890*v^5 - 7356900591140775766319919229222056901240701571487948828455153363500751384156760173664225283189540*v^4 + 58587158462181286611272757269229213124728253929103586359159416740564773153774978913988063457334184*v^3 + 10050703649920489697516055995339399161205735100629930948144763931053906017217242137110449133298272*v^2 + 6195999864471700354652308107295507126569282991562655667750830657790166485689965742817918267453163520*v + 30729958009036179803949059101437601398106511331205247657312200891403037237202458409040820154760533536) / 497378635041383647069202046376092726609589805238962947211963177425630923222823265487225803521890744 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 15\!\cdots\!23 \nu^{15} + \cdots + 23\!\cdots\!20 ) / 49\!\cdots\!44$$ (-15799545073056547551158033171943574685072949034338844673265447603273958081755883223*v^15 + 7489443148172410088027849282349676990912000989527363556279390913541822272846645774862*v^14 - 3393803453594862605547765659434303570988774388869977877522878145223508260458081749053*v^13 - 2165861457280675039171277082441246054980329216277104958195457291205866348737602746441468*v^12 - 7443116513087453187254634352448881006105347071599386214369974911447910790547673541571424*v^11 + 687018065392641100082164689044167420906692794513181888063160389705114560249744805742630956*v^10 - 343773940383228665680940811294262390198126673939331976001467597055936925578757560677940187*v^9 + 673719512094865854246808041678635198401887258198780507818684395840299881872912552795380030882*v^8 - 11966986285491529058145147394662710648685531225494500025535140466872911881338825323201664128587*v^7 + 159144237675599810303041082986831589192008729692688783835482018122529324299530323111449557070618*v^6 - 3902283126815003411681958894220271661101868640283105194784496418419590773790386675436247182774622*v^5 + 40390554332415829343980737096177656399733584528719769915891478834063237399951103115316263043307194*v^4 - 98353560053246121815048699430714838062665062343104675027842430589914451757614133716228740045916724*v^3 + 4882100550960411726350227701791877132946679608809532033320289367944240972738835845868231183115514716*v^2 + 1781214263285452821806872544908086755206264002861025584575012887976212331719305675756195163560638952*v + 23533561718515091496088977927407818407481653594389723071024753670024328788722767427629055211365747920) / 497378635041383647069202046376092726609589805238962947211963177425630923222823265487225803521890744 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!31 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!28 ) / 29\!\cdots\!64$$ (-175497751676977307671835741883298442680371268958840863569235981751503252638609863531*v^15 + 5776324908699755321544689291790052228294749413660680572280417914852613090900246880370*v^14 + 23257570190436072195572620443052747057198973692130101069572539515570429133778263241471*v^13 - 1441273372192082453424247458072271514738808536703318086933776472728372804113807130920846*v^12 - 17650702539494665536647832591668964937849178186529457850559873565118696298228564317956272*v^11 + 550949223884008206491226330410089137818593496673077167458331097957211769871607941259433518*v^10 - 14558761987709728120579239006692237310919431435525303416555759056243537370638005151496342127*v^9 + 752404012215691626572555151443251764674264774141778645812248467884045703499014111495514215438*v^8 - 14785325882379425752171012671918714505953328886247807227966013145908882998401209302050702888131*v^7 + 244575800248807852420699713465993056215448425474610707258020340680473234187302739559166818740312*v^6 - 4375769414641514727707469135392063236599662037318003264052167836374512263895016975165834918708158*v^5 + 51103771554338273170654167739807423468394414850550781712722012268211747441224666549592881958027224*v^4 - 395254080405456594805372964522102456506430609783208416993071060789798361320696235836809466062649752*v^3 + 5846038448322728192356049008474041454270774221104750612726456607921173594680857229586988871442768448*v^2 - 33376762065689707530109676275171136314352528061802550750804012429405256758117549875192068478626253440*v + 160496277462783699150734921008151156584748751351763508974395040635184210217818229267870740043486603328) / 2984271810248301882415212278256556359657538831433777683271779064553785539336939592923354821131344464 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!42 \nu^{15} + \cdots + 15\!\cdots\!72 ) / 16\!\cdots\!99$$ (102699151312846501482479905506763556804222809375305910179476431423845673442*v^15 + 11153623577503559540429674466629160411886525070272783361393614759837828991*v^14 - 37171140681301337920441323279935221822421513211827580922191496945124450007654*v^13 - 183543991206340240089116815225197154768890591244713331197668877695757580601457*v^12 + 14409578191655349012336539253277409100355966875993243935726782241422255815273654*v^11 + 80037583509972919980675082611451262227815038562849569328287786281419345300135177*v^10 + 7335276114592925543077999760165752544801489509323783581881999371098164792740793806*v^9 - 167508502669252342469049159715247468080359927670303950483206783660892001554386156292*v^8 + 1650786888316577982309512141193591954822696123465694758460169355786788730795308082216*v^7 - 41445446478780073968244899306862912323610410916681756582569585297122032144070438371212*v^6 + 638086339770091259251191047781374638858734810577004833076452465406615820003549537959256*v^5 - 1067473778918961935862403503498949473578665493552787840745273709946103759557873360925104*v^4 + 77931013074649429060464152994855741055708169532097010050826084495531888019813076365411744*v^3 - 482568885781844889936770755284418210694167011849106412369085906670362019322849007598389888*v^2 - 716177485177330726036741477689736883672259777339092869648772856493318122793261779266426880*v + 15605468064635313182253917672402682376788376634481291343645960764199702592953403637393918672) / 1664196947991951549235170104749780374818110935941213686566054571307173453411549752201424299 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!55 \nu^{15} + \cdots + 87\!\cdots\!24 ) / 14\!\cdots\!32$$ (-108835306639604605921406728605563872497999706058080340180490942209626219536251939255*v^15 + 530508419803863297180694106014323471687189046337091112360030688745567896024843602089*v^14 + 26554750920789827878900103417855639441977283188248444944793798049493478771095514638919*v^13 - 110798703300397138246685158196834560819514146519870376874468296666458570795749670557147*v^12 - 10625341920508765264527017716527128933910336311920794087477149407731732815655789371976672*v^11 + 57952483640932418642115119608525509630660726852191150450976438044653499208181969634095152*v^10 - 9495947727490944975366980757903405739594832294769267418422096696730445949842388128113375149*v^9 + 188497653051454721164393307552063556374211966334747442285612585093291674599125278931753592909*v^8 - 3488048579359753911821071966202916702726469168257378288496926317724179244986866627007757173379*v^7 + 65896209886923475550839314941047827979006168269404288885781913483113185956413476899844920693389*v^6 - 877256295616256019143417546717364072519216214725591310044055944698984405040177704571685690588032*v^5 + 6845336101087728268484838117738727108110441680345991460214214570203328938779249338125161727190432*v^4 - 141012804563511781270543549246577816346039642033823781466985427762386975960126917767680511399940852*v^3 + 335193163190526199903892611965384466973779508760237436223672716969184011875398883808262851060224516*v^2 - 12153460983783205294113481524728316999384218444651249463195749929968589458371137739529043177762165200*v + 8715623579043844955789608243642939780323186151884372190017798554394158536011252966958513344450340224) / 1492135905124150941207606139128278179828769415716888841635889532276892769668469796461677410565672232 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 89\!\cdots\!17 \nu^{15} + \cdots - 19\!\cdots\!40 ) / 55\!\cdots\!16$$ (8921961207438671684172367597253137681028631165571811028543063484936880243541350617*v^15 - 144151671064670840585812151086978336072720742983000219878964107724420317759940945501*v^14 - 1304714774516052453058840614682323842651355487188022491905458644771115627601265413313*v^13 + 25876650795271362907794743057015868863567745411926014124351958237347874627000977128125*v^12 + 796913931759248004725064381765477265288358505885363884217193261749888948759778481294136*v^11 - 10861796767974438629927944165115206923146933732546360691534619876682968682050007960625846*v^10 + 784339699582871365024016215325590706485662450171787003980546878618940037773471524903629827*v^9 - 25680588267283429719345643110737764432651010344597054212778756251516007844192703692594937753*v^8 + 525324138354366801949634224249909388258365279294805192475661842044035591151215853524139405673*v^7 - 9567729444630228649884493840523671540843162170624991004399570480433194436771976195076946277671*v^6 + 157117518187052577026282813037065779041767623765830900078721376680182833097712460758856710990644*v^5 - 1767074135000167508167733048148402858091469043723837614171042003308271045090553543596121914590902*v^4 + 19356026430330876816937780179361520096012129895478734915595151809574221795182331857436745770204020*v^3 - 177383711163951909464359478314706232191646739000329669059651856263653296753053412112403854538589936*v^2 + 1405863776976312915598258533777539788272278013794733796401266272022611350060890802470164610324889360*v - 1918915392945188239845649808374447131213103370316636445524409433083058373820459874091765321946475040) / 55264292782375960785466894041788080734398867248773660801329241936181213691424807276358422613543416 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 17\!\cdots\!65 \nu^{15} + \cdots - 30\!\cdots\!60 ) / 99\!\cdots\!88$$ (177774488007339112700798635590106861594021750980325654884482879296870471623509166365*v^15 - 7020590488778786958162313564512821381698143686811435767901398729525886385311352137797*v^14 - 15711745350048969648725074791730931793109033126849530729214864518688186558627128791091*v^13 + 1901385994703660566526942131874562208683808980847066579410705609572886068586782395217481*v^12 + 12386426161479844915319358385387282614408940376687192291686748454579740534215905392466942*v^11 - 703172273433006305387874674385225218344970106388906006243920445671282020901026303914241598*v^10 + 16835893075430023024386277747558498980986034962244996466922212385864830306510406469370745103*v^9 - 833696088114256349355320744474854646341878543628503681422367382716634551838065964505126200893*v^8 + 17259544744050925223650530763645330151022440852674112071533146290960069286430124645910470999743*v^7 - 279118451013987267157474295163841686423428200034224088732346892761536049001671212503592822897835*v^6 + 4502350914314308711426213836333835938222612711127298409692309565561288259959110612769989632871142*v^5 - 51094389859847922966755807286141434490401185685901642957985291999300592471444003765242889126310618*v^4 + 387624459461642465287324503825578191519198901226382359433635718731191315200163585116196307243940368*v^3 - 4444434269712211677268020605404184430561514935847303847241773362804883456039882587565016818318559336*v^2 + 29227465162901190241236318028402588200812543144077210602249726706884017998454185983668715955699752672*v - 301663716974059443353565457461728159364993102196220356159121010674705508973280671792955523355926764160) / 994757270082767294138404092752185453219179610477925894423926354851261846445646530974451607043781488 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 49\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots - 18\!\cdots\!60 ) / 23\!\cdots\!56$$ (49511464616933368431195818238846408268025057242241124063242477034124844029676*v^15 - 296093477896950852523257997807671397986181735766603955513567010790010096457733*v^14 - 9300098146880022918843722951274583641885117279722709472569772316078405406662154*v^13 + 11778509515096963672917290848527688793706987123159131824185836448322661274991281*v^12 + 3725152517930042344544006414056670183941439929241557520159884744535195648084443554*v^11 - 14976570537877945919553810093082995588196059523287745719524708598212374892162773008*v^10 + 4685877634594881810394940500871003272430200985169666422882408403700012410656427802326*v^9 - 99180651599455468251845145848265909072048694547739995643963835535521239801205556794497*v^8 + 1826371738199681437486131205710244246050330004398034198114399316767327662168104001423906*v^7 - 38436659608614389164124040114665538538151983818615073928826328136835733684572665671349925*v^6 + 542258261252889399933915520638310289514054565374368617932019144691001612266949489274485804*v^5 - 5410006917142302145080038897162628145147993724551647168449583342447895948891720809457510098*v^4 + 79041725060546226453535557124243464741552796637644898273460260334803529305408936669372023320*v^3 - 458942930448872145052436015742046546070238745271460302624930113234839551031653145757307185440*v^2 + 6406776406018532043692946114655288821409643900507749981896921143886462777785327205054148493616*v - 18173262616771292066274870128539458813632888157832721590279059297866686953505764836008558270560) / 239644360510841023089864495083968373973807974775534770865511858268232977291263164317005099056 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 54\!\cdots\!65 \nu^{15} + \cdots - 32\!\cdots\!20 ) / 18\!\cdots\!72$$ (5426655139008503872221245749844096529053076849907944167757816346329271810400288165*v^15 - 6980843225910770455037192973319927995091837212892833805234884839635722913341273076*v^14 - 1976632349077015074257630591798461649926176767640969625717544684635952707231219036565*v^13 - 10090043932893022249917377033235034458006900706900923208232113232668785048891599570820*v^12 + 678379277938884600498113593218131827103251271024431157692834569633988520123404451938464*v^11 + 3214523597067787594811664356296202613552875992355222051288892549547250487725082539150850*v^10 + 417507656589951648368137356910483981860385863361893460627390278202601897794835583507071781*v^9 - 9293269446264488843815736630721607249520186687793080822270715190320144543473353130108216256*v^8 + 85604194775172695339577036540209773200362087703880460036191421496834174957051836117835938841*v^7 - 2664690836093106717212117690027257629158889243006935501469029431984645741043622700897826193066*v^6 + 35593652227407542734648945530850523895784660633994017117594975808767808740660390529222265564558*v^5 - 45830675448861148082878045920957329818946447569125860653125792247234899029414904448644869060304*v^4 + 4807664484742891962645387527151985113706266422187094958522491977459626793028700762755494554912832*v^3 - 30131673726230877991396607152123176458003733387696735171054157480632826631572080227408915158670664*v^2 - 82825792106125275254805808860946167614371817886484358430090565149680859807915186161455299313982544*v - 328307517047576333737891044093311481520629979653533561292742850208770671150562054351884699492242720) / 18421430927458653595155631347262693578132955749591220267109747312060404563808269092119474204514472 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 73\!\cdots\!99 \nu^{15} + \cdots + 73\!\cdots\!52 ) / 24\!\cdots\!72$$ (-73813403764203100027805962924494849263975877580142248478606694624026528463346316699*v^15 + 334746938079960753551942271854109174809309692787077135453348630052798383206262717131*v^14 + 16000043776260439478631355078416655816180427410058813764651965989266278225701139786411*v^13 + 22464908573024888613508065238245495974380270878240515412181794240467446374198585973023*v^12 - 5711721981945895721737962996484433766568510788023012273375774569310524574416551097504080*v^11 - 15369363957150622123109201510564441960750195164869500164935650801030228247686121098639508*v^10 - 7050080311837958849380407268572980791966494896788975639344025743399271866360390564672469101*v^9 + 146124551732573306627984713507148372933478039019853887951991610989978793364354760132479303755*v^8 - 2330214343659837406926566394641581632259096578407423816996997857432233233151344207086593565847*v^7 + 51103365284243552679467883581641738566632675261777918866450036326612707336177833047252412721955*v^6 - 693207270516790217259875387890157570346228446159139575376668149264269473986747174866459170512500*v^5 + 3991526119696854460790443698423234065019102984300162075213762905008553932693575062453826166767720*v^4 - 87555904251157028219559260274065398615224540163880711238514361989430788431061612113783066719454780*v^3 + 286916319567652729452520983164313615532682932852399499277203890156289047055366697453112651664731548*v^2 - 1648089508774370395764815656241690807023931124291231134328149926306860294472594808264532596671715760*v + 7368922279020324257379893943280155666903483941814542438318751278350217036088411189361304930912938152) / 248689317520691823534601023188046363304794902619481473605981588712815461611411632743612901760945372
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_{3} + \beta_{2}$$ b3 + b2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$-2\beta_{11} - 2\beta_{10} + 2\beta_{9} - 2\beta_{8} + \beta_{6} - 4\beta_{2} + 28$$ -2*b11 - 2*b10 + 2*b9 - 2*b8 + b6 - 4*b2 + 28 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$6 \beta_{15} + 2 \beta_{14} - 18 \beta_{13} + 3 \beta_{12} + 12 \beta_{11} - 51 \beta_{10} - 24 \beta_{9} + \cdots + 294$$ 6*b15 + 2*b14 - 18*b13 + 3*b12 + 12*b11 - 51*b10 - 24*b9 + 3*b8 - 3*b7 - 12*b6 - 9*b5 - 6*b4 + 78*b3 + 99*b2 + 30*b1 + 294 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- 372 \beta_{15} + 112 \beta_{14} - 420 \beta_{13} - 224 \beta_{12} - 356 \beta_{11} - 330 \beta_{10} + \cdots - 14861$$ -372*b15 + 112*b14 - 420*b13 - 224*b12 - 356*b11 - 330*b10 - 802*b9 - 1140*b8 + 80*b7 + 317*b6 + 132*b5 + 16*b4 - 1512*b3 - 931*b2 - 109*b1 - 14861 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$10546 \beta_{15} + 2264 \beta_{14} + 385 \beta_{13} + 3670 \beta_{12} + 2685 \beta_{11} - 8331 \beta_{10} + \cdots - 46695$$ 10546*b15 + 2264*b14 + 385*b13 + 3670*b12 + 2685*b11 - 8331*b10 - 6777*b9 + 11703*b8 - 2205*b7 - 3157*b6 - 3825*b5 + 1718*b4 - 201017*b3 - 12798*b2 + 48801*b1 - 46695 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 216177 \beta_{15} + 28482 \beta_{14} - 103968 \beta_{13} - 175044 \beta_{12} + 159864 \beta_{11} + \cdots - 40028783$$ -216177*b15 + 28482*b14 - 103968*b13 - 175044*b12 + 159864*b11 - 16848*b10 - 723825*b9 - 181116*b8 + 19110*b7 + 82761*b6 + 66456*b5 - 65820*b4 + 1954422*b3 + 410349*b2 - 805513*b1 - 40028783 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$3944952 \beta_{15} + 377721 \beta_{14} + 2513083 \beta_{13} + 3029053 \beta_{12} - 3622161 \beta_{11} + \cdots + 633552018$$ 3944952*b15 + 377721*b14 + 2513083*b13 + 3029053*b12 - 3622161*b11 + 2633169*b10 + 3119583*b9 + 7272363*b8 - 128142*b7 + 1485453*b6 + 61614*b5 + 1080936*b4 - 176608291*b3 - 64789293*b2 + 25966488*b1 + 633552018 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$- 41284029 \beta_{15} + 5620056 \beta_{14} - 29124024 \beta_{13} - 45453096 \beta_{12} + \cdots - 23981003268$$ -41284029*b15 + 5620056*b14 - 29124024*b13 - 45453096*b12 + 285952776*b11 + 73430730*b10 - 266860902*b9 + 218626308*b8 - 8146824*b7 - 80221050*b6 - 2403072*b5 - 20758800*b4 + 3005998944*b3 + 1504750398*b2 - 492086154*b1 - 23981003268 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$- 596148018 \beta_{15} - 293960496 \beta_{14} + 2183715858 \beta_{13} + 310073349 \beta_{12} + \cdots + 459497229300$$ -596148018*b15 - 293960496*b14 + 2183715858*b13 + 310073349*b12 - 5993803422*b11 + 2392866063*b10 + 5813350506*b9 - 1758363201*b8 + 445788117*b7 + 2842254150*b6 + 1337519385*b5 + 651650334*b4 - 63427666272*b3 - 47927087181*b2 + 4092536340*b1 + 459497229300 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$44698815648 \beta_{15} - 9499750164 \beta_{14} + 1636782426 \beta_{13} + 25378702308 \beta_{12} + \cdots - 5057485863405$$ 44698815648*b15 - 9499750164*b14 + 1636782426*b13 + 25378702308*b12 + 160693447338*b11 + 18933574878*b10 - 5286503178*b9 + 220737216744*b8 - 16916490684*b7 - 92426402205*b6 - 33353480214*b5 - 8052235344*b4 + 1240630541100*b3 + 1027904065821*b2 - 20764834941*b1 - 5057485863405 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 2073828990276 \beta_{15} - 235257555618 \beta_{14} + 48686983167 \beta_{13} - 963707954640 \beta_{12} + \cdots + 62609026750263$$ -2073828990276*b15 - 235257555618*b14 + 48686983167*b13 - 963707954640*b12 - 3008734006437*b11 + 807152400009*b10 + 2205546013143*b9 - 4646100346209*b8 + 500104823427*b7 + 1977792296985*b6 + 1097399827755*b5 + 96087488742*b4 + 7682089413381*b3 - 14725734810084*b2 - 5813813008557*b1 + 62609026750263 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$59813051150205 \beta_{15} - 5027460218316 \beta_{14} + 14118283742760 \beta_{13} + 37146417204600 \beta_{12} + \cdots + 41\!\cdots\!95$$ 59813051150205*b15 - 5027460218316*b14 + 14118283742760*b13 + 37146417204600*b12 + 27891054717336*b11 - 18955491880680*b10 + 73907117637039*b9 + 104904101066040*b8 - 11544881827140*b7 - 45279327964779*b6 - 26315618626008*b5 + 5654337370632*b4 - 353727165393684*b3 + 169379297370747*b2 + 194428963129653*b1 + 4167859515901695 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 15\!\cdots\!04 \beta_{15} - 53168082834627 \beta_{14} - 664617308228793 \beta_{13} + \cdots - 14\!\cdots\!66$$ -1556967664353204*b15 - 53168082834627*b14 - 664617308228793*b13 - 983911535888265*b12 + 48723963283467*b11 - 14444084522151*b10 - 1310512854032343*b9 - 2708039151040545*b8 + 223316627083992*b7 + 510089327298603*b6 + 429143141602656*b5 - 221435167890564*b4 + 28898083059034257*b3 + 5720529909880899*b2 - 6516808123196700*b1 - 145416069337449366 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$31\!\cdots\!79 \beta_{15} - 688692625062714 \beta_{14} + \cdots + 54\!\cdots\!26$$ 31637433098282679*b15 - 688692625062714*b14 + 13791150478491750*b13 + 21947450374777914*b12 - 37204422624941850*b11 - 10678110838130826*b10 + 63535946115887424*b9 + 13304557659416832*b8 - 2631242503600074*b7 + 557081961396030*b6 - 7252437236043456*b5 + 7682515014987036*b4 - 841552705567223676*b3 - 282483489401752752*b2 + 171776955973216896*b1 + 5430739871867089626 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$- 45\!\cdots\!68 \beta_{15} + \cdots - 14\!\cdots\!70$$ -453282050778304968*b15 + 33423554431424268*b14 - 503851590016638660*b13 - 419697395738549595*b12 + 1346803538397806916*b11 - 188582413777670637*b10 - 1769632123135709736*b9 - 118294972797777849*b8 - 15053375028933837*b7 - 389447080581470598*b6 - 60555859459657245*b5 - 208377343245368214*b4 + 22115742150613485402*b3 + 10736398536305877945*b2 - 3362465158130546442*b1 - 148995909354352328370

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$13$$ $$23$$ $$\chi(n)$$ $$-1$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
32.1
 −2.15316 + 11.0840i −2.15316 − 11.0840i −23.0756 + 10.4175i −23.0756 − 10.4175i 6.80653 + 6.27606i 6.80653 − 6.27606i −6.72395 + 15.5879i −6.72395 − 15.5879i 0.456001 + 15.5879i 0.456001 − 15.5879i 15.7319 + 6.27606i 15.7319 − 6.27606i −6.11708 + 10.4175i −6.11708 − 10.4175i 18.0754 + 11.0840i 18.0754 − 11.0840i
−10.1143 −10.9611 11.0840i 70.2982 88.5196i 110.863 + 112.106i 126.220i −387.358 −2.70883 + 242.985i 895.310i
32.2 −10.1143 −10.9611 + 11.0840i 70.2982 88.5196i 110.863 112.106i 126.220i −387.358 −2.70883 242.985i 895.310i
32.3 −8.47928 11.5964 10.4175i 39.8981 35.7023i −98.3287 + 88.3330i 11.5666i −66.9703 25.9508 241.610i 302.729i
32.4 −8.47928 11.5964 + 10.4175i 39.8981 35.7023i −98.3287 88.3330i 11.5666i −66.9703 25.9508 + 241.610i 302.729i
32.5 −4.46270 −14.2692 6.27606i −12.0843 59.8956i 63.6794 + 28.0082i 169.425i 196.735 164.222 + 179.109i 267.296i
32.6 −4.46270 −14.2692 + 6.27606i −12.0843 59.8956i 63.6794 28.0082i 169.425i 196.735 164.222 179.109i 267.296i
32.7 −3.58998 0.133977 15.5879i −19.1121 11.8803i −0.480974 + 55.9601i 150.804i 183.491 −242.964 4.17684i 42.6500i
32.8 −3.58998 0.133977 + 15.5879i −19.1121 11.8803i −0.480974 55.9601i 150.804i 183.491 −242.964 + 4.17684i 42.6500i
32.9 3.58998 0.133977 15.5879i −19.1121 11.8803i 0.480974 55.9601i 150.804i −183.491 −242.964 4.17684i 42.6500i
32.10 3.58998 0.133977 + 15.5879i −19.1121 11.8803i 0.480974 + 55.9601i 150.804i −183.491 −242.964 + 4.17684i 42.6500i
32.11 4.46270 −14.2692 6.27606i −12.0843 59.8956i −63.6794 28.0082i 169.425i −196.735 164.222 + 179.109i 267.296i
32.12 4.46270 −14.2692 + 6.27606i −12.0843 59.8956i −63.6794 + 28.0082i 169.425i −196.735 164.222 179.109i 267.296i
32.13 8.47928 11.5964 10.4175i 39.8981 35.7023i 98.3287 88.3330i 11.5666i 66.9703 25.9508 241.610i 302.729i
32.14 8.47928 11.5964 + 10.4175i 39.8981 35.7023i 98.3287 + 88.3330i 11.5666i 66.9703 25.9508 + 241.610i 302.729i
32.15 10.1143 −10.9611 11.0840i 70.2982 88.5196i −110.863 112.106i 126.220i 387.358 −2.70883 + 242.985i 895.310i
32.16 10.1143 −10.9611 + 11.0840i 70.2982 88.5196i −110.863 + 112.106i 126.220i 387.358 −2.70883 242.985i 895.310i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 32.16 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
3.b odd 2 1 inner
11.b odd 2 1 inner
33.d even 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 33.6.d.b 16
3.b odd 2 1 inner 33.6.d.b 16
11.b odd 2 1 inner 33.6.d.b 16
33.d even 2 1 inner 33.6.d.b 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
33.6.d.b 16 1.a even 1 1 trivial
33.6.d.b 16 3.b odd 2 1 inner
33.6.d.b 16 11.b odd 2 1 inner
33.6.d.b 16 33.d even 2 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{8} - 207T_{2}^{6} + 13326T_{2}^{4} - 285984T_{2}^{2} + 1887840$$ acting on $$S_{6}^{\mathrm{new}}(33, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{8} - 207 T^{6} + \cdots + 1887840)^{2}$$
$3$ $$(T^{8} + 27 T^{7} + \cdots + 3486784401)^{2}$$
$5$ $$(T^{8} + \cdots + 5057252969536)^{2}$$
$7$ $$(T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!40)^{2}$$
$11$ $$T^{16} + \cdots + 45\!\cdots\!01$$
$13$ $$(T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!60)^{2}$$
$17$ $$(T^{8} + \cdots + 28\!\cdots\!60)^{2}$$
$19$ $$(T^{8} + \cdots + 20\!\cdots\!60)^{2}$$
$23$ $$(T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!56)^{2}$$
$29$ $$(T^{8} + \cdots + 36\!\cdots\!60)^{2}$$
$31$ $$(T^{4} + \cdots - 28686372143360)^{4}$$
$37$ $$(T^{4} + \cdots + 17\!\cdots\!84)^{4}$$
$41$ $$(T^{8} + \cdots + 22\!\cdots\!40)^{2}$$
$43$ $$(T^{8} + \cdots + 39\!\cdots\!60)^{2}$$
$47$ $$(T^{8} + \cdots + 49\!\cdots\!96)^{2}$$
$53$ $$(T^{8} + \cdots + 24\!\cdots\!24)^{2}$$
$59$ $$(T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!64)^{2}$$
$61$ $$(T^{8} + \cdots + 67\!\cdots\!00)^{2}$$
$67$ $$(T^{4} + \cdots - 90\!\cdots\!68)^{4}$$
$71$ $$(T^{8} + \cdots + 38\!\cdots\!00)^{2}$$
$73$ $$(T^{8} + \cdots + 12\!\cdots\!40)^{2}$$
$79$ $$(T^{8} + \cdots + 67\!\cdots\!40)^{2}$$
$83$ $$(T^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!40)^{2}$$
$89$ $$(T^{8} + \cdots + 47\!\cdots\!00)^{2}$$
$97$ $$(T^{4} + \cdots + 73\!\cdots\!92)^{4}$$