# Properties

 Label 3040.2.j.e Level $3040$ Weight $2$ Character orbit 3040.j Analytic conductor $24.275$ Analytic rank $0$ Dimension $20$ Inner twists $4$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [3040,2,Mod(2431,3040)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(3040, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([1, 0, 0, 1]))

N = Newforms(chi, 2, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("3040.2431");

S:= CuspForms(chi, 2);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$3040 = 2^{5} \cdot 5 \cdot 19$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$2$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 3040.j (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$24.2745222145$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$20$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{20} - 4 x^{19} - 14 x^{18} + 64 x^{17} + 130 x^{16} - 376 x^{15} - 56 x^{14} + 68 x^{13} - 162 x^{12} + \cdots + 162$$ x^20 - 4*x^19 - 14*x^18 + 64*x^17 + 130*x^16 - 376*x^15 - 56*x^14 + 68*x^13 - 162*x^12 + 2032*x^11 + 9448*x^10 + 22732*x^9 + 38500*x^8 + 46184*x^7 + 54856*x^6 + 52924*x^5 + 36865*x^4 + 18132*x^3 + 6102*x^2 + 1188*x + 162 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{29}]$$ Coefficient ring index: $$2^{32}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{19}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - \beta_{4} q^{3} + q^{5} + \beta_{7} q^{7} + ( - \beta_{3} + 1) q^{9}+O(q^{10})$$ q - b4 * q^3 + q^5 + b7 * q^7 + (-b3 + 1) * q^9 $$q - \beta_{4} q^{3} + q^{5} + \beta_{7} q^{7} + ( - \beta_{3} + 1) q^{9} - \beta_{7} q^{11} - \beta_{12} q^{13} - \beta_{4} q^{15} + \beta_{13} q^{17} + ( - \beta_{4} + \beta_{2}) q^{19} - \beta_{6} q^{21} + (\beta_{7} - \beta_{2} + \beta_1) q^{23} + q^{25} + (\beta_{17} + \beta_{10} - \beta_{4}) q^{27} + (\beta_{12} - \beta_{5}) q^{29} - \beta_{18} q^{31} + \beta_{6} q^{33} + \beta_{7} q^{35} - \beta_{15} q^{37} + (\beta_{8} + \beta_{7} + 2 \beta_1) q^{39} + (\beta_{14} - \beta_{12}) q^{41} + ( - \beta_{7} + \beta_{2} - \beta_1) q^{43} + ( - \beta_{3} + 1) q^{45} + (\beta_{8} + \beta_{7}) q^{47} + (\beta_{9} - 3) q^{49} + ( - \beta_{18} - \beta_{10} - \beta_{4}) q^{51} + ( - \beta_{15} + \beta_{14} + \cdots + \beta_{6}) q^{53}+ \cdots + ( - 2 \beta_{8} - \beta_{7} + \cdots + \beta_1) q^{99}+O(q^{100})$$ q - b4 * q^3 + q^5 + b7 * q^7 + (-b3 + 1) * q^9 - b7 * q^11 - b12 * q^13 - b4 * q^15 + b13 * q^17 + (-b4 + b2) * q^19 - b6 * q^21 + (b7 - b2 + b1) * q^23 + q^25 + (b17 + b10 - b4) * q^27 + (b12 - b5) * q^29 - b18 * q^31 + b6 * q^33 + b7 * q^35 - b15 * q^37 + (b8 + b7 + 2*b1) * q^39 + (b14 - b12) * q^41 + (-b7 + b2 - b1) * q^43 + (-b3 + 1) * q^45 + (b8 + b7) * q^47 + (b9 - 3) * q^49 + (-b18 - b10 - b4) * q^51 + (-b15 + b14 - b12 + b6) * q^53 - b7 * q^55 + (b14 - b12 + b5 - b3 + 4) * q^57 + (b10 - b4) * q^59 + (-b3 - 6) * q^61 + (2*b8 + b7 + b2 - b1) * q^63 - b12 * q^65 - b10 * q^67 + (b15 - b12) * q^69 + (-2*b18 - b17 + b10 - b4) * q^71 + (b16 - b13 - b9 + b3) * q^73 - b4 * q^75 + (-b9 + 10) * q^77 + (-b10 - b4) * q^79 + (-b16 + b9 - 2*b3 + 1) * q^81 + (-b8 - b7) * q^83 + b13 * q^85 + (-b11 - b7 - b2 - b1) * q^87 + (-b15 - b6 - b5) * q^89 + (b19 + b17 - b10 + b4) * q^91 + (b13 - 2) * q^93 + (-b4 + b2) * q^95 + (b15 - b12 + b5) * q^97 + (-2*b8 - b7 - b2 + b1) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$20 q + 20 q^{5} + 28 q^{9}+O(q^{10})$$ 20 * q + 20 * q^5 + 28 * q^9 $$20 q + 20 q^{5} + 28 q^{9} + 8 q^{17} + 20 q^{25} + 28 q^{45} - 52 q^{49} + 88 q^{57} - 112 q^{61} - 24 q^{73} + 192 q^{77} + 44 q^{81} + 8 q^{85} - 32 q^{93}+O(q^{100})$$ 20 * q + 20 * q^5 + 28 * q^9 + 8 * q^17 + 20 * q^25 + 28 * q^45 - 52 * q^49 + 88 * q^57 - 112 * q^61 - 24 * q^73 + 192 * q^77 + 44 * q^81 + 8 * q^85 - 32 * q^93

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{20} - 4 x^{19} - 14 x^{18} + 64 x^{17} + 130 x^{16} - 376 x^{15} - 56 x^{14} + 68 x^{13} - 162 x^{12} + \cdots + 162$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!70 \nu^{19} + \cdots - 89\!\cdots\!38 ) / 44\!\cdots\!96$$ (-161567399280964541607157159386921070*v^19 - 92223018372718235568328414449672100*v^18 + 5585089885429512621338163801556750072*v^17 - 1665037389996948254161501257091866357*v^16 - 72591621141218409628021953431476282044*v^15 - 9476825775008500172614972729987462126*v^14 + 321858171003293831548617013452180669670*v^13 - 125928100542379627603466153203273930195*v^12 + 30613078576317140150062501415551035038*v^11 - 211194339981133358474898774978235118278*v^10 - 3049977141127996630658854839499354863636*v^9 - 9913719848261784424617021336442764334389*v^8 - 19986507585851045743657731054937658821980*v^7 - 28994082840367902766148933543189800955422*v^6 - 32201113675904078043851619792755597489354*v^5 - 37466607048881266710302109315932375725233*v^4 - 30177342632470751473557130569910254160512*v^3 - 16586190325484391733273421047566434345006*v^2 - 5335905652065038543695788804229968285624*v - 898195149823921269150100644179396475138) / 440345488929849413852310172296282150996 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 13\!\cdots\!58 \nu^{19} + \cdots - 24\!\cdots\!66 ) / 25\!\cdots\!72$$ (-13675073259658725618333428994506444258*v^19 - 174242468138925005222314172318174228828*v^18 + 1212249580200053279003211173557466073104*v^17 + 1878955926298219439192108619475257203913*v^16 - 17751123730489175268894751868557398495444*v^15 - 17596674770751010900838947208484620410514*v^14 + 98289483355440379794134384042372747251010*v^13 - 29635760692158422025494306662886135385149*v^12 - 6291262788900285556519559809133724705134*v^11 + 5774003205987886853405179858620843553150*v^10 - 602277309988882149617257265340209124947748*v^9 - 2257907617841410335335207801813389093141959*v^8 - 4810138021171563705089933884673914966728228*v^7 - 7286539160738430868261318795144944443615570*v^6 - 7807005884109933112201086387508840313227918*v^5 - 9271559468276817831482317975750590826799679*v^4 - 7807307934597829992255090816924990934223952*v^3 - 4396738615161333556845002628381670312665994*v^2 - 1409566857288297994520723433502650583653096*v - 240288742835397808798484362603589648333766) / 25099692869001416589581679820888082606772 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 13\!\cdots\!82 \nu^{19} + \cdots + 47\!\cdots\!46 ) / 13\!\cdots\!54$$ (-1339272605020709699788843234104845882*v^19 + 5112401446151179651931080896462492142*v^18 + 20154995441180148265956037496462898220*v^17 - 84214318982322843282505046256140071518*v^16 - 194727441965627906418371342615467741866*v^15 + 501811417384794553161039938529795968908*v^14 + 205429046812463519657868058654695873548*v^13 - 258679623918945511423986941243859125997*v^12 + 291743382581377122325682769481434358630*v^11 - 2700246567224492918366088059286600900656*v^10 - 13343900141671516213097750934388967391156*v^9 - 31614611613649471827448007113162937526468*v^8 - 53649686867161627398328877190898185051322*v^7 - 63675685199453994348250778857684237866212*v^6 - 71638798264244853446039570438797231576312*v^5 - 69552813506427920185449799595686169321043*v^4 - 43761459224692538368536602335168752064200*v^3 - 15812492304336947906420359892064143942658*v^2 - 3333665231795441248492089084221814499404*v + 4785340427591079729819631356012731679046) / 1394427381611189810532315545604893478154 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 26\!\cdots\!36 \nu^{19} + \cdots + 66\!\cdots\!84 ) / 25\!\cdots\!72$$ (-26895124040651580402144634581096283436*v^19 + 132714506218432482884788071288246666833*v^18 + 259640721869489588348616347433000259222*v^17 - 2003372942735687227257971703818709789878*v^16 - 1673865879033445198549573023509811148952*v^15 + 12260306130428057070385520805023388648677*v^14 - 9815363128509503129161139696649543569216*v^13 + 3658907472823522717776208688565236252594*v^12 + 5508746699672607371531149503185070833256*v^11 - 61132835038455513525403054684200306172823*v^10 - 199352685638992283478208714214143390119494*v^9 - 408539490070780001394159614307146112311138*v^8 - 609688714260972749856659399052212419335812*v^7 - 597652425408379334157612701536939519849465*v^6 - 831099582944561525099838604469781194604392*v^5 - 590917679768067416779543767175816063421126*v^4 - 286755472917280000860286609799314882245344*v^3 - 141630145765206086895094304440393959989658*v^2 - 27741224660935664406530031185575508997384*v + 6697094045821813045577824413106917041784) / 25099692869001416589581679820888082606772 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 29\!\cdots\!82 \nu^{19} + \cdots - 79\!\cdots\!44 ) / 75\!\cdots\!16$$ (293848331169736186558573418528385063082*v^19 - 1446759221404157868521765363995654321333*v^18 - 3015253393552793246115962927396577492086*v^17 + 22654989964805022111600698740763231172256*v^16 + 20194927415277360783381201433406387056804*v^15 - 146185356640771387100733746760823761575719*v^14 + 94498523983623975187314889224787113081682*v^13 + 40822072885356289542329997117737118136244*v^12 - 111632333139207316141226189151325480635150*v^11 + 651145455310646623808007654733658153908855*v^10 + 2234815598643397954462706083455346590788122*v^9 + 4127708279049561612434910862754607854137072*v^8 + 5489683027821758075011474465084889980009876*v^7 + 4282496482203441398452090384502463079178591*v^6 + 5977653680075166934396336018905228037571086*v^5 + 4041323766239644275512835368396288646809092*v^4 - 104909165339651972961542910730578284328476*v^3 - 1059327806852628306833267630232795321192942*v^2 - 313962681806710635494159847241391304697500*v - 79362307322381357746975465243640615927844) / 75299078607004249768745039462664247820316 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 58\!\cdots\!44 \nu^{19} + \cdots + 32\!\cdots\!22 ) / 12\!\cdots\!86$$ (58091339990581585689364957204475161444*v^19 - 249894722843540696380479408385365252580*v^18 - 736672457688579152623306193010726811646*v^17 + 3933662905542970922120602105947648737284*v^16 + 6358156440045967482002320590824715461470*v^15 - 23679743822154162716837648883933551616253*v^14 + 3920764208965846914568327045431675342904*v^13 + 2381271346394728613718991955819896858355*v^12 - 9589919830414975151938659410113038399336*v^11 + 119322495725200973791126061355205827157426*v^10 + 515689915735158131251203045181507537279666*v^9 + 1166883082468574253476219947233587452068178*v^8 + 1886293487653761989365376100744547551487390*v^7 + 2136511503013712817122180892851301210067391*v^6 + 2576210753028815573547478999610715373024024*v^5 + 2310651711751442639229265053406007794347949*v^4 + 1494829724866622530640784555696623129430988*v^3 + 659316872917039764225150710311578073220016*v^2 + 216551395359152916996075824626082823091788*v + 32146238253596084990582473246666515400422) / 12549846434500708294790839910444041303386 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 58\!\cdots\!98 \nu^{19} + \cdots + 72\!\cdots\!28 ) / 12\!\cdots\!86$$ (58580770076276348769882803695874882498*v^19 - 201181006396461598369558802178632552869*v^18 - 986181741381423543234606335626669550447*v^17 + 3443602802577688390671926736559553402340*v^16 + 10095038356146657761407256139687927969252*v^15 - 20151312499973138386684774264306184734114*v^14 - 18367897404238108714013613651883911937307*v^13 + 17078321973583527951742064783061507424388*v^12 - 15977911127470976394617642304335550569116*v^11 + 114926882482260694623313723607889410380745*v^10 + 627502981716901245043410597204759168519681*v^9 + 1572424055576601655645360496384682274711014*v^8 + 2743047234141322102327968589683084690198312*v^7 + 3428208338302403786979069707848459698283442*v^6 + 3900743886950994371650016047940993609445259*v^5 + 4055409954833718164498748360806300935326126*v^4 + 2794635387628452015466459824255483889988490*v^3 + 1394743672252994217022380118712721646536904*v^2 + 451004492891168905855091079987098898794922*v + 72317986156783809117256605158551699779228) / 12549846434500708294790839910444041303386 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 31\!\cdots\!84 \nu^{19} + \cdots - 28\!\cdots\!92 ) / 39\!\cdots\!17$$ (-317605433518260219301484*v^19 + 1200215343327735184826434*v^18 + 4854572348767410469007870*v^17 - 19965645834450659326774248*v^16 - 47050766204483300753221500*v^15 + 119746170887689314743622088*v^14 + 52738820669172570498185306*v^13 - 75925603783923494252420252*v^12 + 88527003552808353776353528*v^11 - 644711573636377281459215534*v^10 - 3165945876768678059276196930*v^9 - 7603656685147220456247854928*v^8 - 12864463698375724340739592644*v^7 - 15410454702019868486767025192*v^6 - 17775003109354872450269527354*v^5 - 17924494051324707187693688100*v^4 - 11647454374489104065498524308*v^3 - 5566673584848324849040786972*v^2 - 1808235497507950657315619940*v - 282794485102844532211279692) / 39569593931566183765576917 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 57\!\cdots\!66 \nu^{19} + \cdots + 24\!\cdots\!62 ) / 69\!\cdots\!77$$ (5751548856186462533298102630913821766*v^19 - 21660320475066532330796365662729362700*v^18 - 88272838733365533571654929527840016585*v^17 + 359157148727219497181066429359756093355*v^16 + 866071955218213227886407341564202393330*v^15 - 2149019205977418614813172810485077574763*v^14 - 1117236305946813868010368490986169635719*v^13 + 1322534708498044879831514633236185857688*v^12 - 803886543876373528032323605023128010120*v^11 + 10890187666473647945935797589235947434666*v^10 + 57678247934411644626094095392217679585423*v^9 + 138766630489490718339529461044046812365529*v^8 + 230292315589970452267015972899681765814530*v^7 + 268986879543147677502975840220144113506367*v^6 + 303449109985551393479383477654052981748963*v^5 + 297463467220684345559837471546173678765414*v^4 + 188317818099459485288187144619697542061826*v^3 + 68302713447317942567110710626756478528402*v^2 + 14422994207200544979590032549692793193514*v + 2455395895149050061793021071277103761062) / 697213690805594905266157772802446739077 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 83\!\cdots\!06 \nu^{19} + \cdots + 56\!\cdots\!96 ) / 75\!\cdots\!16$$ (832515194678465319989028702283023496006*v^19 - 3602936253167656292795158405948804497067*v^18 - 10538861916090457357656229531441819768298*v^17 + 57004217546295502322014775346432822840928*v^16 + 90411356397594542857320571860820888927666*v^15 - 346931535660219927229204857800066862807349*v^14 + 59104899433470560320000629818056746920716*v^13 + 62907164011712527703188909860027557145938*v^12 - 152228968483911365378604074175908213689326*v^11 + 1737329370433786572913239161248335775628053*v^10 + 7289268600446939559203773790500337749144402*v^9 + 16407717237336761144298882431747888350917280*v^8 + 26088351440504178651430090297731135630473794*v^7 + 28549299282826748240444638370439273144236357*v^6 + 34216888427986641850287753849535982522555404*v^5 + 30684620762751261519783350890488218047431826*v^4 + 18321322211302598185712547843740351904026884*v^3 + 7161551185396780181945770975651386633300306*v^2 + 1484659633254198623536279743928602385246440*v + 56488697771838106351862988490895240547096) / 75299078607004249768745039462664247820316 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 81\!\cdots\!58 \nu^{19} + \cdots + 93\!\cdots\!68 ) / 66\!\cdots\!94$$ (-8187892403183123267693256569312999158*v^19 + 38867555105353378053536139896088922043*v^18 + 89943382493759665415493685620099847285*v^17 - 610450284075152219648723018986255403742*v^16 - 662271712603908865005002184407878352916*v^15 + 3880022433714397794611819976868328113790*v^14 - 1991406455475595387078639280941139747111*v^13 - 982955095273831510125113959376698195948*v^12 + 2519588632546001619802074932922889476380*v^11 - 17874454552083291187431234252764207530843*v^10 - 65196856164531462644501868404358549540459*v^9 - 128225545487936185274789230256095977709692*v^8 - 181851560245017719903986171280865177069144*v^7 - 162454474031670677675719000237005823258486*v^6 - 204969301888890832430180074121915969320529*v^5 - 154352877840745350049397829727228987338354*v^4 - 36291134059300741392367226324065946288862*v^3 + 6456368157649106368766454716589288884908*v^2 + 1457977408411739254877144262783442692666*v + 934456066980629049959434574221346851368) / 660518233394774120778465258444423226494 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 31\!\cdots\!46 \nu^{19} + \cdots - 26\!\cdots\!16 ) / 25\!\cdots\!72$$ (-315670457443058392140884706753139471946*v^19 + 1307527788611718175482809101688744598113*v^18 + 4175616249533624716250702842939930367782*v^17 - 20506129308338889150314474672203793477720*v^16 - 37575142590889420619372732863778091690164*v^15 + 119645430867564598489884446416363846912115*v^14 - 2770460239944748803242667699487750486442*v^13 + 6116598926569687196480716995468641406452*v^12 + 28524380537634749061139710957424629823134*v^11 - 639860433634253523436825148351285286384779*v^10 - 2881979014703970430192320539968475056409786*v^9 - 6892277277223381020686697075898840917513608*v^8 - 11600551882346788222255713125697279500486900*v^7 - 13766692807342997554943065011144984192385195*v^6 - 16551470540268161786761079224763084525181590*v^5 - 15439465329021954797009108650837029417977420*v^4 - 10964876510430957573841105970530457356649636*v^3 - 5195349193343673503360433829730238707119002*v^2 - 1701271612951989466387662622806854379679764*v - 263730347001465385650641458171569432080316) / 25099692869001416589581679820888082606772 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 96\!\cdots\!60 \nu^{19} + \cdots - 43\!\cdots\!44 ) / 69\!\cdots\!77$$ (-9612157658963144547305008784278399260*v^19 + 36525922438170827595196443231922612234*v^18 + 146124101686655686888047479027970629179*v^17 - 604727736512212890363994913101424802081*v^16 - 1423575026398433335875470141321621138388*v^15 + 3630314790005250754987594228906984563625*v^14 + 1706723453308377522873070503949377527273*v^13 - 2199159150957972481102687268500134122919*v^12 + 1540433759884799208229434123599646126670*v^11 - 18483984781366719480260334314896568521394*v^10 - 95765057386743639845422404628613842909957*v^9 - 228438985491212167829342916872625280786061*v^8 - 379432593401078184743275450528728435333724*v^7 - 441605702509349799496928950292211618448637*v^6 - 497205604494269275822345398975140667402337*v^5 - 488042075318675495107388453441940357597115*v^4 - 309284807392820474720559968396661810750894*v^3 - 112160237840201559886352329372987034036484*v^2 - 23691704485406244630318129948459718780242*v - 437927355159699318766570684507323744644) / 697213690805594905266157772802446739077 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!74 \nu^{19} + \cdots - 33\!\cdots\!04 ) / 75\!\cdots\!16$$ (-1237442168958689675456049572008442447074*v^19 + 5592047288917528327568750310421727637145*v^18 + 14622173693426023767486339551053054625018*v^17 - 87723919741579513760665703070710733892960*v^16 - 117610024559130465827624678631803121957784*v^15 + 541171783136281107643831089553053725212393*v^14 - 194329191920230279622536460791852390025050*v^13 - 77940851692268454314825499544043291292518*v^12 + 283315626527889699761346136552493606885598*v^11 - 2629177909271525119383113135043690971023063*v^10 - 10393421526273585876381329221730889656704870*v^9 - 22301716940622140737557614379106763250838708*v^8 - 34436692346822182357900148705498760643494136*v^7 - 36039253483995068096812379931206937421990781*v^6 - 44596824387985885797746887165494263651290630*v^5 - 38067032009853937883349878583350823201101362*v^4 - 20643332106283635936100915656754854874687324*v^3 - 7624998645395123617843464241171373087068842*v^2 - 2561617880147776744952104688414197721815356*v - 332080157510320126223249025957314251537104) / 75299078607004249768745039462664247820316 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 42\!\cdots\!98 \nu^{19} + \cdots - 42\!\cdots\!88 ) / 25\!\cdots\!72$$ (-421858690065314269767287224756041548498*v^19 + 1701885712519699690699258224582626415095*v^18 + 5751539611826477979539996089716412310782*v^17 - 26702015285400418014257718103734173866448*v^16 - 53094970088409395543286462057650026457828*v^15 + 153106825764552525693642009976376326099535*v^14 + 13770260798014766441766520237307164476802*v^13 + 15665525351155632378100427991326125834286*v^12 + 24947619098358305472360428817102657226038*v^11 - 836520295297383453854624846213014528381361*v^10 - 3947380409516442325774476991731258529715762*v^9 - 9671331839049065666345430180901938002769164*v^8 - 16581122114791106420525918619497611023532412*v^7 - 20239075895859427776764913959169409940970283*v^6 - 24304209129943936778278834004100028333320818*v^5 - 23098189696253642922930831381088259959058726*v^4 - 17096316809102993048405179903778585394295364*v^3 - 8330770209261557956400136136989149256600894*v^2 - 2720364800234064012741717589012931399631012*v - 428641679301375904157996417244741962238288) / 25099692869001416589581679820888082606772 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( 24\!\cdots\!74 \nu^{19} + \cdots - 93\!\cdots\!70 ) / 13\!\cdots\!54$$ (24410863830102778306479630167999854874*v^19 - 92360456623447060069590439851770089718*v^18 - 372112709439459771926871058807775717216*v^17 + 1527886306548794370971014274064800945560*v^16 + 3631556748011265161437224621162919571046*v^15 - 9127950742466937079057201431024035400488*v^14 - 4388566691884283652979030710014855834524*v^13 + 5298484442307620695730847513985384125099*v^12 - 4121050202837662786437963562410705035606*v^11 + 47211301885326212882899694879244420845116*v^10 + 244391601968187026048938057374390717017704*v^9 + 584956878743682950733853979942984887297510*v^8 + 978013798160678186171784801823802859333230*v^7 + 1148527411773314063539509251304901496117536*v^6 + 1294461815686945112674349407489592917547696*v^5 + 1264798070149140272440784370370730603462557*v^4 + 799054652256188014324658621321130379146360*v^3 + 289449093292032524541053731024306649365350*v^2 + 61088111738321789887385498238155000869908*v - 9352044536792123891582272692083313123070) / 1394427381611189810532315545604893478154 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 35\!\cdots\!94 \nu^{19} + \cdots + 13\!\cdots\!76 ) / 18\!\cdots\!69$$ (-3556493369540518692118597694*v^19 + 16139529853881567365371514102*v^18 + 41343247520841379380995900872*v^17 - 251078879594490000477332425250*v^16 - 329250837415197982541587834556*v^15 + 1532391945409655012397147880928*v^14 - 614678725851003317048169212042*v^13 - 20502981375041896482232316098*v^12 + 696882318953906285891068232562*v^11 - 7663556057817629612731488031766*v^10 - 29499068790687978327584209357196*v^9 - 64432972358503672142187546743618*v^8 - 100655045926660079714135801708792*v^7 - 106827920345618629666751901478672*v^6 - 133019747760779135425504623288998*v^5 - 112548447515468291426533274402558*v^4 - 64324891654780376476253849959904*v^3 - 26453808178601643369198524892096*v^2 - 5413604044176830213074755498636*v + 137528242850816390287545335676) / 183743011342064869788258909369 $$\beta_{18}$$ $$=$$ $$( - 56\!\cdots\!63 \nu^{19} + \cdots - 92\!\cdots\!20 ) / 19\!\cdots\!82$$ (-56531868681511887706468865044785427763*v^19 + 233684786928544551671626837908872258450*v^18 + 767632479062052199368636104853408329452*v^17 - 3752064145489391376213085011831766675007*v^16 - 6945494383889595873346465529756131544675*v^15 + 22686365190896322259881925876766196201149*v^14 + 1003704074494455223933558642315245678838*v^13 - 7048018216008747873092638342637099054824*v^12 + 10186897637076266946373786295552088657501*v^11 - 115226847745953014961778623234653386138382*v^10 - 519798646015211158894063742091861235221176*v^9 - 1201205702334783398959640994448001140538501*v^8 - 1948027211615360391462391497818468848012661*v^7 - 2199966838724976560917502485204548182619823*v^6 - 2567650141698755736509683417800966729988790*v^5 - 2387812364303297626311189655607646813740924*v^4 - 1461642521709424357909337982254117860507346*v^3 - 552082023148622542403513926830415084927098*v^2 - 115340188790141055980618374461698969904720*v - 9231059807427419301306519953717303110320) / 1981554700184322362335395775333269679482 $$\beta_{19}$$ $$=$$ $$( 21\!\cdots\!24 \nu^{19} + \cdots + 69\!\cdots\!44 ) / 19\!\cdots\!82$$ (217019262387073706743204820020804677724*v^19 - 954679859923931928358047843743096220775*v^18 - 2668135072679784503240273874762518459174*v^17 + 15005089301702102888692661310863257041868*v^16 + 22337785801082379262068150005696476962160*v^15 - 91281363480928981653675997062691508165125*v^14 + 23447665269665599528734188425431220703068*v^13 + 9949192150211167044369178075478662510862*v^12 - 42112650851731650715115333680003650511620*v^11 + 459963878014137855763600854691899478396717*v^10 + 1867741104095121550205481159112506926127814*v^9 + 4164019499980787521512273222639423066385828*v^8 + 6608569943914911532190663218547055043430044*v^7 + 7198067725490250168588287891827345575422285*v^6 + 8729901376135875299686409222225554385178076*v^5 + 7672013680260145413076963921863954980331022*v^4 + 4513331894258871497626717146669024440988436*v^3 + 1789921959191039573794946252316202481495430*v^2 + 369427478256750071213971383558252435603624*v + 6906756977828567094658547422712731644144) / 1981554700184322362335395775333269679482
 $$\nu$$ $$=$$ $$( -\beta_{14} + \beta_{13} + \beta_{9} - \beta_{6} - \beta_{5} + 4\beta_{4} - 2\beta_{3} ) / 8$$ (-b14 + b13 + b9 - b6 - b5 + 4*b4 - 2*b3) / 8 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( - \beta_{19} - \beta_{18} - 5 \beta_{17} - 2 \beta_{15} - 3 \beta_{14} + 5 \beta_{12} + \beta_{11} + \cdots + 16 ) / 8$$ (-b19 - b18 - 5*b17 - 2*b15 - 3*b14 + 5*b12 + b11 - b10 - 4*b8 - 3*b7 - b6 - 6*b5 + 5*b4 - 4*b3 + b2 + b1 + 16) / 8 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( - 4 \beta_{17} - \beta_{16} - 4 \beta_{15} - 14 \beta_{14} + 2 \beta_{13} + 10 \beta_{12} + 9 \beta_{11} + \cdots + 10 ) / 8$$ (-4*b17 - b16 - 4*b15 - 14*b14 + 2*b13 + 10*b12 + 9*b11 - 4*b10 + 4*b9 - 9*b8 + 9*b7 - 18*b6 - 20*b5 + 28*b4 - 9*b3 + 9*b2 + 21*b1 + 10) / 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 20 \beta_{15} - 32 \beta_{14} + 46 \beta_{12} + 15 \beta_{11} - 45 \beta_{8} - 33 \beta_{7} + \cdots + 33 \beta_1 ) / 4$$ (-20*b15 - 32*b14 + 46*b12 + 15*b11 - 45*b8 - 33*b7 - 20*b6 - 50*b5 + 9*b2 + 33*b1) / 4 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 6 \beta_{19} + 12 \beta_{18} + 84 \beta_{17} + 28 \beta_{16} - 112 \beta_{15} - 238 \beta_{14} + \cdots - 248 ) / 8$$ (6*b19 + 12*b18 + 84*b17 + 28*b16 - 112*b15 - 238*b14 - 18*b13 + 245*b12 + 125*b11 + 84*b10 - 66*b9 - 190*b8 + 45*b7 - 294*b6 - 343*b5 - 348*b4 + 192*b3 + 105*b2 + 385*b1 - 248) / 8 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( 165 \beta_{19} + 285 \beta_{18} + 975 \beta_{17} + 210 \beta_{16} - 510 \beta_{15} - 805 \beta_{14} + \cdots - 3276 ) / 8$$ (165*b19 + 285*b18 + 975*b17 + 210*b16 - 510*b15 - 805*b14 + 14*b13 + 1125*b12 + 343*b11 + 645*b10 - 238*b9 - 924*b8 - 581*b7 - 655*b6 - 1180*b5 - 1705*b4 + 1610*b3 + 175*b2 + 1015*b1 - 3276) / 8 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 408 \beta_{19} + 840 \beta_{18} + 3984 \beta_{17} + 1377 \beta_{16} - 970 \beta_{15} - 1755 \beta_{14} + \cdots - 12002 ) / 8$$ (408*b19 + 840*b18 + 3984*b17 + 1377*b16 - 970*b15 - 1755*b14 - 357*b13 + 2065*b12 + 826*b11 + 3864*b10 - 2499*b9 - 1519*b8 - 126*b7 - 2045*b6 - 2490*b5 - 12696*b4 + 8687*b3 + 574*b2 + 2842*b1 - 12002) / 8 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( 1764 \beta_{19} + 3276 \beta_{18} + 11424 \beta_{17} + 3026 \beta_{16} + 221 \beta_{13} + 8796 \beta_{10} + \cdots - 36584 ) / 4$$ (1764*b19 + 3276*b18 + 11424*b17 + 3026*b16 + 221*b13 + 8796*b10 - 3689*b9 - 22620*b4 + 20400*b3 - 36584) / 4 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( 8897 \beta_{19} + 18327 \beta_{18} + 75891 \beta_{17} + 25520 \beta_{16} + 18428 \beta_{15} + \cdots - 225968 ) / 8$$ (8897*b19 + 18327*b18 + 75891*b17 + 25520*b16 + 18428*b15 + 31178*b14 - 2697*b13 - 38947*b12 - 14124*b11 + 71627*b10 - 40397*b9 + 28656*b8 + 6708*b7 + 34850*b6 + 43877*b5 - 210207*b4 + 156658*b3 - 8604*b2 - 50844*b1 - 225968) / 8 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( 40397 \beta_{19} + 78097 \beta_{18} + 277849 \beta_{17} + 80524 \beta_{16} + 157006 \beta_{15} + \cdots - 859688 ) / 8$$ (40397*b19 + 78097*b18 + 277849*b17 + 80524*b16 + 157006*b15 + 247051*b14 + 5166*b13 - 334805*b12 - 105821*b11 + 230521*b10 - 102582*b9 + 255184*b8 + 122631*b7 + 242469*b6 + 349450*b5 - 592325*b4 + 514140*b3 - 52521*b2 - 374617*b1 - 859688) / 8 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 72558 \beta_{19} + 148770 \beta_{18} + 581334 \beta_{17} + 191511 \beta_{16} + 820260 \beta_{15} + \cdots - 1728150 ) / 8$$ (72558*b19 + 148770*b18 + 581334*b17 + 191511*b16 + 820260*b15 + 1345610*b14 - 6806*b13 - 1730190*b12 - 596475*b11 + 538182*b10 - 282080*b9 + 1274427*b8 + 394317*b7 + 1465310*b6 + 1887620*b5 - 1493326*b4 + 1165999*b3 - 336303*b2 - 2186019*b1 - 1728150) / 8 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( 1967420 \beta_{15} + 3106320 \beta_{14} - 4172630 \beta_{12} - 1334817 \beta_{11} + 3135231 \beta_{8} + \cdots - 4840011 \beta_1 ) / 4$$ (1967420*b15 + 3106320*b14 - 4172630*b12 - 1334817*b11 + 3135231*b8 + 1389663*b7 + 3147340*b6 + 4371570*b5 - 670131*b2 - 4840011*b1) / 4 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 1363824 \beta_{19} - 2784078 \beta_{18} - 10586070 \beta_{17} - 3441620 \beta_{16} + 14906908 \beta_{15} + \cdots + 31516520 ) / 8$$ (-1363824*b19 - 2784078*b18 - 10586070*b17 - 3441620*b16 + 14906908*b15 + 24093590*b14 + 5530*b13 - 31431607*b12 - 10554219*b11 - 9678438*b10 + 4880330*b9 + 23176998*b8 + 8070933*b7 + 25830642*b6 + 33760901*b5 + 26113230*b4 - 20916840*b3 - 5705271*b2 - 38941487*b1 + 31516520) / 8 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( - 11782511 \beta_{19} - 23551671 \beta_{18} - 85846761 \beta_{17} - 26657582 \beta_{16} + \cdots + 259021508 ) / 8$$ (-11782511*b19 - 23551671*b18 - 85846761*b17 - 26657582*b16 + 49495706*b15 + 78377975*b14 - 1237542*b13 - 104696683*b12 - 33760901*b11 - 75413039*b10 + 35433662*b9 + 78084168*b8 + 32890463*b7 + 80743637*b6 + 110040632*b5 + 195726843*b4 - 164176270*b3 - 17116941*b2 - 123747269*b1 + 259021508) / 8 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( - 60489264 \beta_{19} - 123091152 \beta_{18} - 461735232 \beta_{17} - 148851575 \beta_{16} + \cdots + 1376683918 ) / 8$$ (-60489264*b19 - 123091152*b18 - 461735232*b17 - 148851575*b16 + 111376070*b15 + 178694009*b14 - 2279727*b13 - 234855751*b12 - 77809796*b11 - 418902576*b10 + 206890851*b9 + 173387569*b8 + 63924852*b7 + 189847671*b6 + 250312322*b5 + 1114382640*b4 - 904812741*b3 - 41138592*b2 - 287762692*b1 + 1376683918) / 8 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$( - 146293704 \beta_{19} - 294199416 \beta_{18} - 1078679376 \beta_{17} - 338981730 \beta_{16} + \cdots + 3240487392 ) / 4$$ (-146293704*b19 - 294199416*b18 - 1078679376*b17 - 338981730*b16 - 13978979*b13 - 957171672*b10 + 454813903*b9 + 2493402648*b4 - 2076172940*b3 + 3240487392) / 4 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$( - 1098016927 \beta_{19} - 2229782065 \beta_{18} - 8306371241 \beta_{17} - 2664003420 \beta_{16} + \cdots + 24792599720 ) / 8$$ (-1098016927*b19 - 2229782065*b18 - 8306371241*b17 - 2664003420*b16 - 2001372968*b15 - 3199123416*b14 - 63730485*b13 + 4220883671*b12 + 1388784264*b11 - 7501189381*b10 + 3663718335*b9 - 3119088192*b8 - 1184027832*b7 - 3381240772*b6 - 4481048355*b5 + 19812027473*b4 - 16202763410*b3 + 725812008*b2 + 5139673512*b1 + 24792599720) / 8 $$\nu^{18}$$ $$=$$ $$( - 3663718335 \beta_{19} - 7391167155 \beta_{18} - 27193918415 \beta_{17} - 8599206308 \beta_{16} + \cdots + 81511640168 ) / 8$$ (-3663718335*b19 - 7391167155*b18 - 27193918415*b17 - 8599206308*b16 - 15761105170*b15 - 25043523545*b14 - 326583278*b13 + 33274477075*b12 + 10818198195*b11 - 24258504155*b10 + 11600422022*b9 - 24677513196*b8 - 9906917097*b7 - 26149755375*b6 - 35101997810*b5 + 63345719375*b4 - 52525165644*b3 + 5546790879*b2 + 39943616111*b1 + 81511640168) / 8 $$\nu^{19}$$ $$=$$ $$( - 8202739190 \beta_{19} - 16636407690 \beta_{18} - 61749127950 \beta_{17} - 19743987781 \beta_{16} + \cdots + 184440112066 ) / 8$$ (-8202739190*b19 - 16636407690*b18 - 61749127950*b17 - 19743987781*b16 - 86655846676*b15 - 138251966626*b14 - 560052864*b13 + 182780658686*b12 + 59922852099*b11 - 55613515670*b10 + 27000917398*b9 - 135152576937*b8 - 52100749509*b7 - 145695168454*b6 - 193655431036*b5 + 146343213150*b4 - 120147510665*b3 + 31128509799*b2 + 221793350883*b1 + 184440112066) / 8

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/3040\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$191$$ $$1217$$ $$1921$$ $$2661$$ $$\chi(n)$$ $$-1$$ $$1$$ $$-1$$ $$1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
2431.1
 3.90833 + 1.61889i 3.90833 − 1.61889i −0.496938 + 1.19971i −0.496938 − 1.19971i 2.54532 − 1.05431i 2.54532 + 1.05431i −0.213257 − 0.514849i −0.213257 + 0.514849i −0.104184 − 0.251522i −0.104184 + 0.251522i −0.607227 + 0.251522i −0.607227 − 0.251522i −1.24295 + 0.514849i −1.24295 − 0.514849i 0.436708 + 1.05431i 0.436708 − 1.05431i −2.89637 − 1.19971i −2.89637 + 1.19971i 0.670564 − 1.61889i 0.670564 + 1.61889i
0 −3.23777 0 1.00000 0 1.90426i 0 7.48316 0
2431.2 0 −3.23777 0 1.00000 0 1.90426i 0 7.48316 0
2431.3 0 −2.39943 0 1.00000 0 5.15057i 0 2.75726 0
2431.4 0 −2.39943 0 1.00000 0 5.15057i 0 2.75726 0
2431.5 0 −2.10861 0 1.00000 0 2.53578i 0 1.44625 0
2431.6 0 −2.10861 0 1.00000 0 2.53578i 0 1.44625 0
2431.7 0 −1.02970 0 1.00000 0 1.48351i 0 −1.93972 0
2431.8 0 −1.02970 0 1.00000 0 1.48351i 0 −1.93972 0
2431.9 0 −0.503043 0 1.00000 0 3.03554i 0 −2.74695 0
2431.10 0 −0.503043 0 1.00000 0 3.03554i 0 −2.74695 0
2431.11 0 0.503043 0 1.00000 0 3.03554i 0 −2.74695 0
2431.12 0 0.503043 0 1.00000 0 3.03554i 0 −2.74695 0
2431.13 0 1.02970 0 1.00000 0 1.48351i 0 −1.93972 0
2431.14 0 1.02970 0 1.00000 0 1.48351i 0 −1.93972 0
2431.15 0 2.10861 0 1.00000 0 2.53578i 0 1.44625 0
2431.16 0 2.10861 0 1.00000 0 2.53578i 0 1.44625 0
2431.17 0 2.39943 0 1.00000 0 5.15057i 0 2.75726 0
2431.18 0 2.39943 0 1.00000 0 5.15057i 0 2.75726 0
2431.19 0 3.23777 0 1.00000 0 1.90426i 0 7.48316 0
2431.20 0 3.23777 0 1.00000 0 1.90426i 0 7.48316 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 2431.20 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
4.b odd 2 1 inner
19.b odd 2 1 inner
76.d even 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 3040.2.j.e 20
4.b odd 2 1 inner 3040.2.j.e 20
19.b odd 2 1 inner 3040.2.j.e 20
76.d even 2 1 inner 3040.2.j.e 20

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
3040.2.j.e 20 1.a even 1 1 trivial
3040.2.j.e 20 4.b odd 2 1 inner
3040.2.j.e 20 19.b odd 2 1 inner
3040.2.j.e 20 76.d even 2 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{3}^{10} - 22T_{3}^{8} + 160T_{3}^{6} - 448T_{3}^{4} + 388T_{3}^{2} - 72$$ acting on $$S_{2}^{\mathrm{new}}(3040, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{20}$$
$3$ $$(T^{10} - 22 T^{8} + \cdots - 72)^{2}$$
$5$ $$(T - 1)^{20}$$
$7$ $$(T^{10} + 48 T^{8} + \cdots + 12544)^{2}$$
$11$ $$(T^{10} + 48 T^{8} + \cdots + 12544)^{2}$$
$13$ $$(T^{10} + 110 T^{8} + \cdots + 449352)^{2}$$
$17$ $$(T^{5} - 2 T^{4} + \cdots + 128)^{4}$$
$19$ $$T^{20} + \cdots + 6131066257801$$
$23$ $$(T^{10} + 112 T^{8} + \cdots + 831744)^{2}$$
$29$ $$(T^{2} + 32)^{10}$$
$31$ $$(T^{10} - 112 T^{8} + \cdots - 8192)^{2}$$
$37$ $$(T^{10} + 190 T^{8} + \cdots + 1912968)^{2}$$
$41$ $$(T^{10} + 216 T^{8} + \cdots + 14623232)^{2}$$
$43$ $$(T^{10} + 112 T^{8} + \cdots + 831744)^{2}$$
$47$ $$(T^{10} + 128 T^{8} + \cdots + 36864)^{2}$$
$53$ $$(T^{10} + 334 T^{8} + \cdots + 8306888)^{2}$$
$59$ $$(T^{10} - 192 T^{8} + \cdots - 401408)^{2}$$
$61$ $$(T^{5} + 28 T^{4} + \cdots - 992)^{4}$$
$67$ $$(T^{10} - 166 T^{8} + \cdots - 29768)^{2}$$
$71$ $$(T^{10} - 576 T^{8} + \cdots - 469895168)^{2}$$
$73$ $$(T^{5} + 6 T^{4} + \cdots - 76192)^{4}$$
$79$ $$(T^{10} - 184 T^{8} + \cdots - 512)^{2}$$
$83$ $$(T^{10} + 128 T^{8} + \cdots + 36864)^{2}$$
$89$ $$(T^{10} + 392 T^{8} + \cdots + 189267968)^{2}$$
$97$ $$(T^{10} + 270 T^{8} + \cdots + 31904072)^{2}$$