# Properties

 Label 3.14.a.b Level $3$ Weight $14$ Character orbit 3.a Self dual yes Analytic conductor $3.217$ Analytic rank $0$ Dimension $2$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$3$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$14$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 3.a (trivial)

## Newform invariants

 Self dual: yes Analytic conductor: $$3.21692786856$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$2$$ Coefficient field: $$\Q(\sqrt{1969})$$ Defining polynomial: $$x^{2} - x - 492$$ x^2 - x - 492 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2]$$ Coefficient ring index: $$2\cdot 3$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of $$\beta = 3\sqrt{1969}$$. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta - 27) q^{2} + 729 q^{3} + (54 \beta + 10258) q^{4} + ( - 128 \beta + 20358) q^{5} + ( - 729 \beta - 19683) q^{6} + (3456 \beta - 10504) q^{7} + ( - 3524 \beta - 1012716) q^{8} + 531441 q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b - 27) * q^2 + 729 * q^3 + (54*b + 10258) * q^4 + (-128*b + 20358) * q^5 + (-729*b - 19683) * q^6 + (3456*b - 10504) * q^7 + (-3524*b - 1012716) * q^8 + 531441 * q^9 $$q + ( - \beta - 27) q^{2} + 729 q^{3} + (54 \beta + 10258) q^{4} + ( - 128 \beta + 20358) q^{5} + ( - 729 \beta - 19683) q^{6} + (3456 \beta - 10504) q^{7} + ( - 3524 \beta - 1012716) q^{8} + 531441 q^{9} + ( - 16902 \beta + 1718622) q^{10} + (36608 \beta + 336204) q^{11} + (39366 \beta + 7478082) q^{12} + ( - 89856 \beta + 8766302) q^{13} + ( - 82808 \beta - 60960168) q^{14} + ( - 93312 \beta + 14840982) q^{15} + (665496 \beta + 5758600) q^{16} + ( - 72960 \beta + 41919282) q^{17} + ( - 531441 \beta - 14348907) q^{18} + ( - 767232 \beta + 128146772) q^{19} + ( - 213692 \beta + 86344812) q^{20} + (2519424 \beta - 7657416) q^{21} + ( - 1324620 \beta - 657807876) q^{22} + (3697408 \beta + 429790968) q^{23} + ( - 2568996 \beta - 738269964) q^{24} + ( - 5211648 \beta - 515914097) q^{25} + ( - 6340190 \beta + 1355648022) q^{26} + 387420489 q^{27} + (34884432 \beta + 3199413872) q^{28} + ( - 6108544 \beta - 2364237666) q^{29} + ( - 12321558 \beta + 1252875438) q^{30} + ( - 35040384 \beta - 2991275824) q^{31} + (5141616 \beta - 3652567344) q^{32} + (26687232 \beta + 245092716) q^{33} + ( - 39949362 \beta + 161103546) q^{34} + (71701760 \beta - 8053043760) q^{35} + (28697814 \beta + 5451521778) q^{36} + (17335296 \beta + 13705597046) q^{37} + ( - 107431508 \beta + 10136155428) q^{38} + ( - 65505024 \beta + 6390634158) q^{39} + (57886056 \beta - 12623425416) q^{40} + ( - 98057984 \beta + 7629487146) q^{41} + ( - 60367032 \beta - 44439962472) q^{42} + (311613696 \beta - 5657249620) q^{43} + (393679880 \beta + 38480220504) q^{44} + ( - 68024448 \beta + 10819075878) q^{45} + ( - 529620984 \beta - 77126123304) q^{46} + ( - 690673408 \beta - 34517571120) q^{47} + (485146584 \beta + 4198019400) q^{48} + ( - 72603648 \beta + 114879813465) q^{49} + (656628593 \beta + 106285294827) q^{50} + ( - 53187840 \beta + 30559156578) q^{51} + ( - 448362540 \beta + 3938464412) q^{52} + (1307299968 \beta - 113168447082) q^{53} + ( - 387420489 \beta - 10460353203) q^{54} + (702231552 \beta - 76193046072) q^{55} + ( - 3462930400 \beta - 205185497760) q^{56} + ( - 559312128 \beta + 93418996788) q^{57} + (2529168354 \beta + 172083925206) q^{58} + (397652992 \beta - 463910412132) q^{59} + ( - 155781468 \beta + 62945367948) q^{60} + ( - 1553776128 \beta + 89697730670) q^{61} + (3937366192 \beta + 701715092112) q^{62} + (1836660096 \beta - 5582256264) q^{63} + ( - 1937999520 \beta - 39669710048) q^{64} + ( - 2951375104 \beta + 382283662644) q^{65} + ( - 965647980 \beta - 479541941604) q^{66} + ( - 6092098560 \beta - 349157530588) q^{67} + (1515217548 \beta + 360190090116) q^{68} + (2695410432 \beta + 313317615672) q^{69} + (6117096240 \beta - 1053194707440) q^{70} + (4890812160 \beta - 392229274968) q^{71} + ( - 1872798084 \beta - 538198803756) q^{72} + (7102660608 \beta + 928700122538) q^{73} + ( - 14173650038 \beta - 677249900658) q^{74} + ( - 3799291392 \beta - 376101376713) q^{75} + ( - 950340168 \beta + 580339200488) q^{76} + (777390592 \beta + 2238480664992) q^{77} + ( - 4621998510 \beta + 988267408038) q^{78} + (1007856000 \beta - 357012735040) q^{79} + (12811066768 \beta - 1392303012048) q^{80} + 282429536481 q^{81} + ( - 4981921578 \beta + 1531689381522) q^{82} + (1485492992 \beta - 2287146958956) q^{83} + (25430750928 \beta + 2332372712688) q^{84} + ( - 6850987776 \beta + 1018887035436) q^{85} + ( - 2756320172 \beta - 5369360567076) q^{86} + ( - 4453128576 \beta - 1723529258514) q^{87} + ( - 38258290224 \beta - 2626604986896) q^{88} + ( - 22362004992 \beta + 1635089350842) q^{89} + ( - 8982415782 \beta + 913346194302) q^{90} + (31240187136 \beta - 5595201972464) q^{91} + (61136723536 \beta + 7946971176816) q^{92} + ( - 25544439936 \beta - 2180640075696) q^{93} + (53165753136 \beta + 13171397883408) q^{94} + ( - 32022095872 \beta + 4349115123192) q^{95} + (3748238064 \beta - 2662721593776) q^{96} + (37066775040 \beta - 4937463078238) q^{97} + ( - 112919514969 \beta - 1815145717347) q^{98} + (19454992128 \beta + 178672589964) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b - 27) * q^2 + 729 * q^3 + (54*b + 10258) * q^4 + (-128*b + 20358) * q^5 + (-729*b - 19683) * q^6 + (3456*b - 10504) * q^7 + (-3524*b - 1012716) * q^8 + 531441 * q^9 + (-16902*b + 1718622) * q^10 + (36608*b + 336204) * q^11 + (39366*b + 7478082) * q^12 + (-89856*b + 8766302) * q^13 + (-82808*b - 60960168) * q^14 + (-93312*b + 14840982) * q^15 + (665496*b + 5758600) * q^16 + (-72960*b + 41919282) * q^17 + (-531441*b - 14348907) * q^18 + (-767232*b + 128146772) * q^19 + (-213692*b + 86344812) * q^20 + (2519424*b - 7657416) * q^21 + (-1324620*b - 657807876) * q^22 + (3697408*b + 429790968) * q^23 + (-2568996*b - 738269964) * q^24 + (-5211648*b - 515914097) * q^25 + (-6340190*b + 1355648022) * q^26 + 387420489 * q^27 + (34884432*b + 3199413872) * q^28 + (-6108544*b - 2364237666) * q^29 + (-12321558*b + 1252875438) * q^30 + (-35040384*b - 2991275824) * q^31 + (5141616*b - 3652567344) * q^32 + (26687232*b + 245092716) * q^33 + (-39949362*b + 161103546) * q^34 + (71701760*b - 8053043760) * q^35 + (28697814*b + 5451521778) * q^36 + (17335296*b + 13705597046) * q^37 + (-107431508*b + 10136155428) * q^38 + (-65505024*b + 6390634158) * q^39 + (57886056*b - 12623425416) * q^40 + (-98057984*b + 7629487146) * q^41 + (-60367032*b - 44439962472) * q^42 + (311613696*b - 5657249620) * q^43 + (393679880*b + 38480220504) * q^44 + (-68024448*b + 10819075878) * q^45 + (-529620984*b - 77126123304) * q^46 + (-690673408*b - 34517571120) * q^47 + (485146584*b + 4198019400) * q^48 + (-72603648*b + 114879813465) * q^49 + (656628593*b + 106285294827) * q^50 + (-53187840*b + 30559156578) * q^51 + (-448362540*b + 3938464412) * q^52 + (1307299968*b - 113168447082) * q^53 + (-387420489*b - 10460353203) * q^54 + (702231552*b - 76193046072) * q^55 + (-3462930400*b - 205185497760) * q^56 + (-559312128*b + 93418996788) * q^57 + (2529168354*b + 172083925206) * q^58 + (397652992*b - 463910412132) * q^59 + (-155781468*b + 62945367948) * q^60 + (-1553776128*b + 89697730670) * q^61 + (3937366192*b + 701715092112) * q^62 + (1836660096*b - 5582256264) * q^63 + (-1937999520*b - 39669710048) * q^64 + (-2951375104*b + 382283662644) * q^65 + (-965647980*b - 479541941604) * q^66 + (-6092098560*b - 349157530588) * q^67 + (1515217548*b + 360190090116) * q^68 + (2695410432*b + 313317615672) * q^69 + (6117096240*b - 1053194707440) * q^70 + (4890812160*b - 392229274968) * q^71 + (-1872798084*b - 538198803756) * q^72 + (7102660608*b + 928700122538) * q^73 + (-14173650038*b - 677249900658) * q^74 + (-3799291392*b - 376101376713) * q^75 + (-950340168*b + 580339200488) * q^76 + (777390592*b + 2238480664992) * q^77 + (-4621998510*b + 988267408038) * q^78 + (1007856000*b - 357012735040) * q^79 + (12811066768*b - 1392303012048) * q^80 + 282429536481 * q^81 + (-4981921578*b + 1531689381522) * q^82 + (1485492992*b - 2287146958956) * q^83 + (25430750928*b + 2332372712688) * q^84 + (-6850987776*b + 1018887035436) * q^85 + (-2756320172*b - 5369360567076) * q^86 + (-4453128576*b - 1723529258514) * q^87 + (-38258290224*b - 2626604986896) * q^88 + (-22362004992*b + 1635089350842) * q^89 + (-8982415782*b + 913346194302) * q^90 + (31240187136*b - 5595201972464) * q^91 + (61136723536*b + 7946971176816) * q^92 + (-25544439936*b - 2180640075696) * q^93 + (53165753136*b + 13171397883408) * q^94 + (-32022095872*b + 4349115123192) * q^95 + (3748238064*b - 2662721593776) * q^96 + (37066775040*b - 4937463078238) * q^97 + (-112919514969*b - 1815145717347) * q^98 + (19454992128*b + 178672589964) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$2 q - 54 q^{2} + 1458 q^{3} + 20516 q^{4} + 40716 q^{5} - 39366 q^{6} - 21008 q^{7} - 2025432 q^{8} + 1062882 q^{9}+O(q^{10})$$ 2 * q - 54 * q^2 + 1458 * q^3 + 20516 * q^4 + 40716 * q^5 - 39366 * q^6 - 21008 * q^7 - 2025432 * q^8 + 1062882 * q^9 $$2 q - 54 q^{2} + 1458 q^{3} + 20516 q^{4} + 40716 q^{5} - 39366 q^{6} - 21008 q^{7} - 2025432 q^{8} + 1062882 q^{9} + 3437244 q^{10} + 672408 q^{11} + 14956164 q^{12} + 17532604 q^{13} - 121920336 q^{14} + 29681964 q^{15} + 11517200 q^{16} + 83838564 q^{17} - 28697814 q^{18} + 256293544 q^{19} + 172689624 q^{20} - 15314832 q^{21} - 1315615752 q^{22} + 859581936 q^{23} - 1476539928 q^{24} - 1031828194 q^{25} + 2711296044 q^{26} + 774840978 q^{27} + 6398827744 q^{28} - 4728475332 q^{29} + 2505750876 q^{30} - 5982551648 q^{31} - 7305134688 q^{32} + 490185432 q^{33} + 322207092 q^{34} - 16106087520 q^{35} + 10903043556 q^{36} + 27411194092 q^{37} + 20272310856 q^{38} + 12781268316 q^{39} - 25246850832 q^{40} + 15258974292 q^{41} - 88879924944 q^{42} - 11314499240 q^{43} + 76960441008 q^{44} + 21638151756 q^{45} - 154252246608 q^{46} - 69035142240 q^{47} + 8396038800 q^{48} + 229759626930 q^{49} + 212570589654 q^{50} + 61118313156 q^{51} + 7876928824 q^{52} - 226336894164 q^{53} - 20920706406 q^{54} - 152386092144 q^{55} - 410370995520 q^{56} + 186837993576 q^{57} + 344167850412 q^{58} - 927820824264 q^{59} + 125890735896 q^{60} + 179395461340 q^{61} + 1403430184224 q^{62} - 11164512528 q^{63} - 79339420096 q^{64} + 764567325288 q^{65} - 959083883208 q^{66} - 698315061176 q^{67} + 720380180232 q^{68} + 626635231344 q^{69} - 2106389414880 q^{70} - 784458549936 q^{71} - 1076397607512 q^{72} + 1857400245076 q^{73} - 1354499801316 q^{74} - 752202753426 q^{75} + 1160678400976 q^{76} + 4476961329984 q^{77} + 1976534816076 q^{78} - 714025470080 q^{79} - 2784606024096 q^{80} + 564859072962 q^{81} + 3063378763044 q^{82} - 4574293917912 q^{83} + 4664745425376 q^{84} + 2037774070872 q^{85} - 10738721134152 q^{86} - 3447058517028 q^{87} - 5253209973792 q^{88} + 3270178701684 q^{89} + 1826692388604 q^{90} - 11190403944928 q^{91} + 15893942353632 q^{92} - 4361280151392 q^{93} + 26342795766816 q^{94} + 8698230246384 q^{95} - 5325443187552 q^{96} - 9874926156476 q^{97} - 3630291434694 q^{98} + 357345179928 q^{99}+O(q^{100})$$ 2 * q - 54 * q^2 + 1458 * q^3 + 20516 * q^4 + 40716 * q^5 - 39366 * q^6 - 21008 * q^7 - 2025432 * q^8 + 1062882 * q^9 + 3437244 * q^10 + 672408 * q^11 + 14956164 * q^12 + 17532604 * q^13 - 121920336 * q^14 + 29681964 * q^15 + 11517200 * q^16 + 83838564 * q^17 - 28697814 * q^18 + 256293544 * q^19 + 172689624 * q^20 - 15314832 * q^21 - 1315615752 * q^22 + 859581936 * q^23 - 1476539928 * q^24 - 1031828194 * q^25 + 2711296044 * q^26 + 774840978 * q^27 + 6398827744 * q^28 - 4728475332 * q^29 + 2505750876 * q^30 - 5982551648 * q^31 - 7305134688 * q^32 + 490185432 * q^33 + 322207092 * q^34 - 16106087520 * q^35 + 10903043556 * q^36 + 27411194092 * q^37 + 20272310856 * q^38 + 12781268316 * q^39 - 25246850832 * q^40 + 15258974292 * q^41 - 88879924944 * q^42 - 11314499240 * q^43 + 76960441008 * q^44 + 21638151756 * q^45 - 154252246608 * q^46 - 69035142240 * q^47 + 8396038800 * q^48 + 229759626930 * q^49 + 212570589654 * q^50 + 61118313156 * q^51 + 7876928824 * q^52 - 226336894164 * q^53 - 20920706406 * q^54 - 152386092144 * q^55 - 410370995520 * q^56 + 186837993576 * q^57 + 344167850412 * q^58 - 927820824264 * q^59 + 125890735896 * q^60 + 179395461340 * q^61 + 1403430184224 * q^62 - 11164512528 * q^63 - 79339420096 * q^64 + 764567325288 * q^65 - 959083883208 * q^66 - 698315061176 * q^67 + 720380180232 * q^68 + 626635231344 * q^69 - 2106389414880 * q^70 - 784458549936 * q^71 - 1076397607512 * q^72 + 1857400245076 * q^73 - 1354499801316 * q^74 - 752202753426 * q^75 + 1160678400976 * q^76 + 4476961329984 * q^77 + 1976534816076 * q^78 - 714025470080 * q^79 - 2784606024096 * q^80 + 564859072962 * q^81 + 3063378763044 * q^82 - 4574293917912 * q^83 + 4664745425376 * q^84 + 2037774070872 * q^85 - 10738721134152 * q^86 - 3447058517028 * q^87 - 5253209973792 * q^88 + 3270178701684 * q^89 + 1826692388604 * q^90 - 11190403944928 * q^91 + 15893942353632 * q^92 - 4361280151392 * q^93 + 26342795766816 * q^94 + 8698230246384 * q^95 - 5325443187552 * q^96 - 9874926156476 * q^97 - 3630291434694 * q^98 + 357345179928 * q^99

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 22.6867 −21.6867
−160.120 729.000 17446.5 3318.61 −116728. 449560. −1.48183e6 531441. −531376.
1.2 106.120 729.000 3069.51 37397.4 77361.7 −470568. −543600. 531441. 3.96862e6
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$3$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 3.14.a.b 2
3.b odd 2 1 9.14.a.c 2
4.b odd 2 1 48.14.a.g 2
5.b even 2 1 75.14.a.e 2
5.c odd 4 2 75.14.b.c 4
7.b odd 2 1 147.14.a.b 2
8.b even 2 1 192.14.a.k 2
8.d odd 2 1 192.14.a.o 2
12.b even 2 1 144.14.a.m 2

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
3.14.a.b 2 1.a even 1 1 trivial
9.14.a.c 2 3.b odd 2 1
48.14.a.g 2 4.b odd 2 1
75.14.a.e 2 5.b even 2 1
75.14.b.c 4 5.c odd 4 2
144.14.a.m 2 12.b even 2 1
147.14.a.b 2 7.b odd 2 1
192.14.a.k 2 8.b even 2 1
192.14.a.o 2 8.d odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{2} + 54T_{2} - 16992$$ acting on $$S_{14}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(3))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{2} + 54T - 16992$$
$3$ $$(T - 729)^{2}$$
$5$ $$T^{2} - 40716 T + 124107300$$
$7$ $$T^{2} + 21008 T - 211548155840$$
$11$ $$T^{2} - 672408 T - 23635688182128$$
$13$ $$T^{2} - 17532604 T - 66233088387452$$
$17$ $$T^{2} - 83838564 T + 16\!\cdots\!24$$
$19$ $$T^{2} - 256293544 T + 59\!\cdots\!80$$
$23$ $$T^{2} - 859581936 T - 57\!\cdots\!20$$
$29$ $$T^{2} + 4728475332 T + 49\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{2} + 5982551648 T - 12\!\cdots\!00$$
$37$ $$T^{2} - 27411194092 T + 18\!\cdots\!80$$
$41$ $$T^{2} - 15258974292 T - 11\!\cdots\!60$$
$43$ $$T^{2} + 11314499240 T - 16\!\cdots\!36$$
$47$ $$T^{2} + 69035142240 T - 72\!\cdots\!44$$
$53$ $$T^{2} + 226336894164 T - 17\!\cdots\!80$$
$59$ $$T^{2} + 927820824264 T + 21\!\cdots\!80$$
$61$ $$T^{2} - 179395461340 T - 34\!\cdots\!64$$
$67$ $$T^{2} + 698315061176 T - 53\!\cdots\!56$$
$71$ $$T^{2} + 784458549936 T - 27\!\cdots\!76$$
$73$ $$T^{2} - 1857400245076 T - 31\!\cdots\!00$$
$79$ $$T^{2} + 714025470080 T + 10\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{2} + 4574293917912 T + 51\!\cdots\!92$$
$89$ $$T^{2} - 3270178701684 T - 61\!\cdots\!80$$
$97$ $$T^{2} + 9874926156476 T + 30\!\cdots\!44$$