# Properties

 Label 285.10.a.i Level $285$ Weight $10$ Character orbit 285.a Self dual yes Analytic conductor $146.785$ Analytic rank $0$ Dimension $15$ CM no Inner twists $1$

# Learn more

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [285,10,Mod(1,285)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(285, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 0, 0]))

N = Newforms(chi, 10, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("285.1");

S:= CuspForms(chi, 10);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$285 = 3 \cdot 5 \cdot 19$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$10$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 285.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$146.785213307$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$15$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{15} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{15} - 6360 x^{13} - 9536 x^{12} + 15884143 x^{11} + 45850988 x^{10} - 19776373446 x^{9} + \cdots - 15\!\cdots\!52$$ x^15 - 6360*x^13 - 9536*x^12 + 15884143*x^11 + 45850988*x^10 - 19776373446*x^9 - 80714330300*x^8 + 12857081062015*x^7 + 64452045555128*x^6 - 4167059489563292*x^5 - 23134434109951544*x^4 + 589968897401704625*x^3 + 3251096275927389852*x^2 - 27809235247425442918*x - 158462171641150151052 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{13}]$$ Coefficient ring index: multiple of $$2^{21}\cdot 3^{10}\cdot 5^{5}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{14}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 + 1) q^{2} + 81 q^{3} + (\beta_{2} + 337) q^{4} + 625 q^{5} + ( - 81 \beta_1 + 81) q^{6} + (\beta_{4} - \beta_{2} - 53 \beta_1 + 620) q^{7} + ( - \beta_{3} + \beta_{2} - 337 \beta_1 - 386) q^{8} + 6561 q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 + 1) * q^2 + 81 * q^3 + (b2 + 337) * q^4 + 625 * q^5 + (-81*b1 + 81) * q^6 + (b4 - b2 - 53*b1 + 620) * q^7 + (-b3 + b2 - 337*b1 - 386) * q^8 + 6561 * q^9 $$q + ( - \beta_1 + 1) q^{2} + 81 q^{3} + (\beta_{2} + 337) q^{4} + 625 q^{5} + ( - 81 \beta_1 + 81) q^{6} + (\beta_{4} - \beta_{2} - 53 \beta_1 + 620) q^{7} + ( - \beta_{3} + \beta_{2} - 337 \beta_1 - 386) q^{8} + 6561 q^{9} + ( - 625 \beta_1 + 625) q^{10} + ( - \beta_{8} - \beta_{4} + \cdots + 13542) q^{11}+ \cdots + ( - 6561 \beta_{8} - 6561 \beta_{4} + \cdots + 88849062) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 + 1) * q^2 + 81 * q^3 + (b2 + 337) * q^4 + 625 * q^5 + (-81*b1 + 81) * q^6 + (b4 - b2 - 53*b1 + 620) * q^7 + (-b3 + b2 - 337*b1 - 386) * q^8 + 6561 * q^9 + (-625*b1 + 625) * q^10 + (-b8 - b4 + b2 + 31*b1 + 13542) * q^11 + (81*b2 + 27297) * q^12 + (-b9 + b4 + 5*b2 + 292*b1 + 12427) * q^13 + (-b11 + b8 - 5*b4 + 2*b3 + 91*b2 - 55*b1 + 45427) * q^14 + 50625 * q^15 + (-b12 - b11 + b6 - 7*b4 - 2*b3 + 370*b2 - 105*b1 + 113052) * q^16 + (b12 - b10 - 2*b9 + b4 - 4*b3 - 25*b2 - 544*b1 + 36976) * q^17 + (-6561*b1 + 6561) * q^18 + 130321 * q^19 + (625*b2 + 210625) * q^20 + (81*b4 - 81*b2 - 4293*b1 + 50220) * q^21 + (b14 + b10 + b9 - 11*b8 - b6 - 29*b4 - 13*b3 - 233*b2 - 14107*b1 - 12427) * q^22 + (-b14 + b13 + b12 + 3*b11 + b10 + b9 - 9*b8 + 39*b4 - 5*b3 - 325*b2 - 14136*b1 + 96882) * q^23 + (-81*b3 + 81*b2 - 27297*b1 - 31266) * q^24 + 390625 * q^25 + (-3*b13 - 7*b12 - 4*b11 + b10 - b9 + 7*b8 - b7 - 6*b6 - 2*b5 - 16*b4 - 22*b3 - 470*b2 - 15345*b1 - 236895) * q^26 + 531441 * q^27 + (-4*b14 - 2*b13 + 10*b12 + 10*b11 + 4*b10 + b9 - 23*b8 - b6 + 6*b5 + 333*b4 - 106*b3 - 465*b2 - 64517*b1 - 244525) * q^28 + (b14 + 2*b13 - 4*b12 + 5*b11 + 3*b10 + 10*b9 - 6*b8 + 4*b7 + 2*b6 - b5 + 116*b4 + 40*b3 - 452*b2 - 18167*b1 + 512643) * q^29 + (-50625*b1 + 50625) * q^30 + (3*b14 + 5*b13 + 6*b12 + 3*b11 - 4*b10 - 6*b9 + 30*b8 + 2*b7 - 8*b6 - 8*b5 + 40*b4 - 45*b3 - 1632*b2 - 25497*b1 + 61143) * q^31 + (5*b14 + b13 + 6*b12 + 17*b11 + 6*b10 + 12*b9 + 4*b8 - 5*b7 + 16*b6 + 11*b5 + 228*b4 - 324*b3 + 597*b2 - 130334*b1 + 324488) * q^32 + (-81*b8 - 81*b4 + 81*b2 + 2511*b1 + 1096902) * q^33 + (-6*b14 - 5*b13 - 19*b12 - 19*b11 - 15*b10 + 33*b9 + 74*b8 - 3*b7 - 12*b6 - 13*b5 + 99*b4 + 140*b3 + 2461*b2 - 25454*b1 + 504769) * q^34 + (625*b4 - 625*b2 - 33125*b1 + 387500) * q^35 + (6561*b2 + 2211057) * q^36 + (7*b14 + 6*b13 + 17*b12 + 18*b11 - 17*b10 + 28*b9 + 16*b8 - 4*b7 + 6*b6 + 5*b5 + 380*b4 - 5*b3 + 1016*b2 - 48275*b1 + 1733033) * q^37 + (-130321*b1 + 130321) * q^38 + (-81*b9 + 81*b4 + 405*b2 + 23652*b1 + 1006587) * q^39 + (-625*b3 + 625*b2 - 210625*b1 - 241250) * q^40 + (-b14 - 4*b13 - 6*b12 + b11 - 13*b10 + 7*b9 + 136*b8 + 8*b7 + 40*b6 - 11*b5 + 332*b4 + 138*b3 + 2514*b2 - 10106*b1 + 4426984) * q^41 + (-81*b11 + 81*b8 - 405*b4 + 162*b3 + 7371*b2 - 4455*b1 + 3679587) * q^42 + (-19*b14 + 47*b12 + 34*b11 + 3*b10 - 6*b9 + 74*b8 + 8*b7 - 2*b6 + 33*b5 + 646*b4 + 175*b3 - 1138*b2 - 54353*b1 + 3509019) * q^43 + (8*b14 - 6*b13 - 24*b12 + 24*b11 + 32*b10 - 81*b9 + 63*b8 + 8*b7 + 7*b6 - 8*b5 + 869*b4 + 414*b3 + 17461*b2 + 125707*b1 + 5083207) * q^44 + 4100625 * q^45 + (9*b14 + 9*b13 - 28*b12 - 87*b11 + 8*b10 + 187*b9 + 231*b8 + 9*b7 + 9*b6 + 18*b5 - 2255*b4 + 578*b3 + 17333*b2 + 82255*b1 + 12144485) * q^46 + (-2*b14 - 3*b13 - 69*b12 - 8*b11 + 12*b10 - 9*b9 + 82*b8 - 16*b7 - 26*b6 - b5 - 886*b4 + 259*b3 + 8724*b2 + 196958*b1 + 6451263) * q^47 + (-81*b12 - 81*b11 + 81*b6 - 567*b4 - 162*b3 + 29970*b2 - 8505*b1 + 9157212) * q^48 + (-23*b14 - 20*b13 - 10*b12 - 128*b11 + 22*b10 - 30*b9 - 112*b8 - 24*b7 - 64*b6 - 49*b5 + 534*b4 + 239*b3 + 8306*b2 + 377150*b1 + 8247152) * q^49 + (-390625*b1 + 390625) * q^50 + (81*b12 - 81*b10 - 162*b9 + 81*b4 - 324*b3 - 2025*b2 - 44064*b1 + 2995056) * q^51 + (33*b14 - 27*b13 + 162*b12 + 169*b11 - 28*b10 - 411*b9 - 633*b8 + 25*b7 - 35*b6 - 11*b5 + 157*b4 + 553*b3 + 21967*b2 + 338730*b1 + 6521489) * q^52 + (-27*b14 + 17*b13 + 83*b12 + 237*b11 + 37*b10 - 123*b9 + 135*b8 - 80*b6 + 30*b5 + 755*b4 + 1099*b3 - 5357*b2 - 15652*b1 + 5148486) * q^53 + (-531441*b1 + 531441) * q^54 + (-625*b8 - 625*b4 + 625*b2 + 19375*b1 + 8463750) * q^55 + (-17*b14 + 43*b13 - 369*b12 - 388*b11 + 106*b10 + 568*b9 + 460*b8 - 23*b7 + 31*b6 + 73*b5 - 3097*b4 + 1080*b3 + 90223*b2 + 539765*b1 + 31240356) * q^56 + 10556001 * q^57 + (27*b14 + 66*b13 + 186*b12 - 2*b11 + 49*b10 + 135*b9 + 73*b8 - 38*b7 - 145*b6 - 148*b5 - 5323*b4 + 287*b3 + 1033*b2 - 247003*b1 + 15964625) * q^58 + (51*b14 - 11*b13 - 88*b12 + 170*b11 - 31*b10 + 16*b9 - 555*b8 - 40*b7 + 42*b6 + 30*b5 + 561*b4 + 1712*b3 + 37235*b2 + 569437*b1 + 19653437) * q^59 + (50625*b2 + 17060625) * q^60 + (51*b14 - 44*b13 + 314*b12 + 284*b11 + 18*b10 - 100*b9 - 784*b8 + 26*b7 - 30*b6 + 47*b5 - 3096*b4 + 95*b3 - 10888*b2 + 447082*b1 + 26589457) * q^61 + (-64*b14 - 41*b13 + 98*b12 + 166*b11 - 175*b10 - 136*b9 - 29*b8 + 67*b7 - 118*b6 - 267*b5 + 285*b4 + 5705*b3 + 51041*b2 + 784011*b1 + 22030028) * q^62 + (6561*b4 - 6561*b2 - 347733*b1 + 4067820) * q^63 + (7*b14 + 31*b13 - 657*b12 - 376*b11 + 182*b10 + 1148*b9 + 72*b8 - 3*b7 + 483*b6 + 333*b5 - 6741*b4 - 2385*b3 + 134060*b2 - 543856*b1 + 52905170) * q^64 + (-625*b9 + 625*b4 + 3125*b2 + 182500*b1 + 7766875) * q^65 + (81*b14 + 81*b10 + 81*b9 - 891*b8 - 81*b6 - 2349*b4 - 1053*b3 - 18873*b2 - 1142667*b1 - 1006587) * q^66 + (-49*b14 + 11*b13 - 149*b12 + 345*b11 - 29*b10 + 658*b9 - 688*b8 + 48*b7 - 44*b6 + 118*b5 - 7979*b4 + 423*b3 + 14643*b2 - 92309*b1 + 33091059) * q^67 + (42*b14 + 66*b13 + 830*b12 + 912*b11 - 56*b10 - 1026*b9 + 966*b8 + 106*b7 - 36*b6 + 2636*b4 - 21124*b2 - 1409516*b1 + 2537380) * q^68 + (-81*b14 + 81*b13 + 81*b12 + 243*b11 + 81*b10 + 81*b9 - 729*b8 + 3159*b4 - 405*b3 - 26325*b2 - 1145016*b1 + 7847442) * q^69 + (-625*b11 + 625*b8 - 3125*b4 + 1250*b3 + 56875*b2 - 34375*b1 + 28391875) * q^70 + (-88*b14 - 165*b13 + 1111*b12 + 146*b11 - 96*b10 - 914*b9 + 953*b8 - 88*b7 - 370*b6 - 233*b5 + 4752*b4 + 165*b3 - 101988*b2 + 398433*b1 + 20479076) * q^71 + (-6561*b3 + 6561*b2 - 2211057*b1 - 2532546) * q^72 + (-44*b14 - 91*b13 - 927*b12 - 154*b11 - 184*b10 - 34*b9 + 791*b8 - 52*b7 - 56*b6 + 63*b5 - 16248*b4 - 6423*b3 - 63484*b2 - 1665345*b1 - 16718766) * q^73 + (-124*b14 + 39*b13 - 373*b12 - 326*b11 - 357*b10 + 1195*b9 + 921*b8 + 65*b7 + 572*b6 + 20*b5 - 8344*b4 + 2928*b3 + 77522*b2 - 2205765*b1 + 42349643) * q^74 + 31640625 * q^75 + (130321*b2 + 43918177) * q^76 + (60*b14 - 65*b13 + 43*b12 - 173*b11 - 343*b10 - 586*b9 - 2028*b8 - 78*b7 - 208*b6 + 421*b5 + 24341*b4 + 716*b3 + 58655*b2 + 170189*b1 - 19552212) * q^77 + (-243*b13 - 567*b12 - 324*b11 + 81*b10 - 81*b9 + 567*b8 - 81*b7 - 486*b6 - 162*b5 - 1296*b4 - 1782*b3 - 38070*b2 - 1242945*b1 - 19188495) * q^78 + (107*b14 - 113*b13 - 280*b12 + 304*b11 + 225*b10 + 2*b9 - 3391*b8 + 68*b7 + 612*b6 - 566*b5 - 11215*b4 - 4326*b3 - 9537*b2 - 281051*b1 + 68158615) * q^79 + (-625*b12 - 625*b11 + 625*b6 - 4375*b4 - 1250*b3 + 231250*b2 - 65625*b1 + 70657500) * q^80 + 43046721 * q^81 + (125*b14 + 311*b13 + 293*b12 - 127*b11 - 296*b10 + 942*b9 + 4447*b8 - 275*b7 + 27*b6 - 404*b5 - 14868*b4 - 14793*b3 - 26370*b2 - 5650603*b1 + 12296523) * q^82 + (409*b14 + 144*b13 - 769*b12 - 802*b11 + 487*b10 + 955*b9 + 2829*b8 + 28*b7 + 308*b6 + 383*b5 - 2307*b4 - 1639*b3 - 42039*b2 - 1490723*b1 + 39238324) * q^83 + (-324*b14 - 162*b13 + 810*b12 + 810*b11 + 324*b10 + 81*b9 - 1863*b8 - 81*b6 + 486*b5 + 26973*b4 - 8586*b3 - 37665*b2 - 5225877*b1 - 19806525) * q^84 + (625*b12 - 625*b10 - 1250*b9 + 625*b4 - 2500*b3 - 15625*b2 - 340000*b1 + 23110000) * q^85 + (-472*b14 + 157*b13 - 653*b12 - 2292*b11 + 161*b10 + 3795*b9 + 6949*b8 - 249*b7 - 788*b6 + 86*b5 - 1888*b4 + 12958*b3 + 21306*b2 - 2830663*b1 + 49535147) * q^86 + (81*b14 + 162*b13 - 324*b12 + 405*b11 + 243*b10 + 810*b9 - 486*b8 + 324*b7 + 162*b6 - 81*b5 + 9396*b4 + 3240*b3 - 36612*b2 - 1471527*b1 + 41524083) * q^87 + (-235*b14 - 99*b13 - 319*b12 - 544*b11 + 34*b10 - 2276*b9 + 5076*b8 - 177*b7 - 563*b6 - 593*b5 - 9735*b4 - 17070*b3 - 193357*b2 - 6778431*b1 - 99337520) * q^88 + (599*b14 + 386*b13 + 229*b12 - 554*b11 + 595*b10 - 796*b9 - 2637*b8 + 8*b7 - 192*b6 - 313*b5 - 19714*b4 + 6865*b3 - 160570*b2 - 83431*b1 + 40929319) * q^89 + (-4100625*b1 + 4100625) * q^90 + (-65*b14 + 240*b13 - 838*b12 - 1700*b11 + 622*b10 + 28*b9 - 1574*b8 + 482*b7 + 172*b6 - 179*b5 + 22672*b4 + 15541*b3 - 69608*b2 - 433014*b1 + 16335423) * q^91 + (-95*b14 - 189*b13 + 2116*b12 + 2599*b11 - 140*b10 + 234*b9 - 56*b8 - 23*b7 + 600*b6 + 797*b5 + 71726*b4 - 13907*b3 - 224470*b2 - 13685209*b1 - 110376952) * q^92 + (243*b14 + 405*b13 + 486*b12 + 243*b11 - 324*b10 - 486*b9 + 2430*b8 + 162*b7 - 648*b6 - 648*b5 + 3240*b4 - 3645*b3 - 132192*b2 - 2065257*b1 + 4952583) * q^93 + (189*b14 - 329*b13 + 968*b12 + 2685*b11 - 230*b10 - 4419*b9 - 3005*b8 + 275*b7 + 327*b6 + 680*b5 - 3563*b4 - 11042*b3 - 372635*b2 - 11004379*b1 - 162252567) * q^94 + 81450625 * q^95 + (405*b14 + 81*b13 + 486*b12 + 1377*b11 + 486*b10 + 972*b9 + 324*b8 - 405*b7 + 1296*b6 + 891*b5 + 18468*b4 - 26244*b3 + 48357*b2 - 10557054*b1 + 26283528) * q^96 + (-545*b14 + 221*b13 - 428*b12 + 796*b11 + 1551*b10 - 826*b9 - 2137*b8 + 128*b7 - 134*b6 - 2*b5 + 45468*b4 + 6410*b3 + 62208*b2 - 1209746*b1 + 47194429) * q^97 + (276*b14 - 446*b13 + 2118*b12 + 456*b11 + 278*b10 - 6020*b9 - 5780*b8 + 722*b7 - 394*b6 + 1181*b5 + 81980*b4 - 6546*b3 - 518340*b2 - 12838491*b1 - 313702382) * q^98 + (-6561*b8 - 6561*b4 + 6561*b2 + 203391*b1 + 88849062) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$15 q + 15 q^{2} + 1215 q^{3} + 5055 q^{4} + 9375 q^{5} + 1215 q^{6} + 9306 q^{7} - 5793 q^{8} + 98415 q^{9}+O(q^{10})$$ 15 * q + 15 * q^2 + 1215 * q^3 + 5055 * q^4 + 9375 * q^5 + 1215 * q^6 + 9306 * q^7 - 5793 * q^8 + 98415 * q^9 $$15 q + 15 q^{2} + 1215 q^{3} + 5055 q^{4} + 9375 q^{5} + 1215 q^{6} + 9306 q^{7} - 5793 q^{8} + 98415 q^{9} + 9375 q^{10} + 203122 q^{11} + 409455 q^{12} + 186404 q^{13} + 681384 q^{14} + 759375 q^{15} + 1695731 q^{16} + 554622 q^{17} + 98415 q^{18} + 1954815 q^{19} + 3159375 q^{20} + 753786 q^{21} - 186626 q^{22} + 1453424 q^{23} - 469233 q^{24} + 5859375 q^{25} - 3553548 q^{26} + 7971615 q^{27} - 3666324 q^{28} + 7690540 q^{29} + 759375 q^{30} + 917352 q^{31} + 4867679 q^{32} + 16452882 q^{33} + 7573056 q^{34} + 5816250 q^{35} + 33165855 q^{36} + 25998044 q^{37} + 1954815 q^{38} + 15098724 q^{39} - 3620625 q^{40} + 66407332 q^{41} + 55192104 q^{42} + 52639578 q^{43} + 76254002 q^{44} + 61509375 q^{45} + 182157572 q^{46} + 96764744 q^{47} + 137354211 q^{48} + 123710615 q^{49} + 5859375 q^{50} + 44924382 q^{51} + 97820540 q^{52} + 77234218 q^{53} + 7971615 q^{54} + 126951250 q^{55} + 468596156 q^{56} + 158340015 q^{57} + 239439136 q^{58} + 294809316 q^{59} + 255909375 q^{60} + 398820218 q^{61} + 330468342 q^{62} + 61056666 q^{63} + 793538359 q^{64} + 116502500 q^{65} - 15116706 q^{66} + 496323564 q^{67} + 38068912 q^{68} + 117727344 q^{69} + 425865000 q^{70} + 307206028 q^{71} - 38007873 q^{72} - 250892578 q^{73} + 635213916 q^{74} + 474609375 q^{75} + 658772655 q^{76} - 293139012 q^{77} - 287837388 q^{78} + 1022286764 q^{79} + 1059831875 q^{80} + 645700815 q^{81} + 184330194 q^{82} + 588572596 q^{83} - 296972244 q^{84} + 346638750 q^{85} + 743100282 q^{86} + 622933740 q^{87} - 1490178286 q^{88} + 613834088 q^{89} + 61509375 q^{90} + 245214676 q^{91} - 1655277488 q^{92} + 74305512 q^{93} - 2433884052 q^{94} + 1221759375 q^{95} + 394281999 q^{96} + 708189104 q^{97} - 4705118289 q^{98} + 1332683442 q^{99}+O(q^{100})$$ 15 * q + 15 * q^2 + 1215 * q^3 + 5055 * q^4 + 9375 * q^5 + 1215 * q^6 + 9306 * q^7 - 5793 * q^8 + 98415 * q^9 + 9375 * q^10 + 203122 * q^11 + 409455 * q^12 + 186404 * q^13 + 681384 * q^14 + 759375 * q^15 + 1695731 * q^16 + 554622 * q^17 + 98415 * q^18 + 1954815 * q^19 + 3159375 * q^20 + 753786 * q^21 - 186626 * q^22 + 1453424 * q^23 - 469233 * q^24 + 5859375 * q^25 - 3553548 * q^26 + 7971615 * q^27 - 3666324 * q^28 + 7690540 * q^29 + 759375 * q^30 + 917352 * q^31 + 4867679 * q^32 + 16452882 * q^33 + 7573056 * q^34 + 5816250 * q^35 + 33165855 * q^36 + 25998044 * q^37 + 1954815 * q^38 + 15098724 * q^39 - 3620625 * q^40 + 66407332 * q^41 + 55192104 * q^42 + 52639578 * q^43 + 76254002 * q^44 + 61509375 * q^45 + 182157572 * q^46 + 96764744 * q^47 + 137354211 * q^48 + 123710615 * q^49 + 5859375 * q^50 + 44924382 * q^51 + 97820540 * q^52 + 77234218 * q^53 + 7971615 * q^54 + 126951250 * q^55 + 468596156 * q^56 + 158340015 * q^57 + 239439136 * q^58 + 294809316 * q^59 + 255909375 * q^60 + 398820218 * q^61 + 330468342 * q^62 + 61056666 * q^63 + 793538359 * q^64 + 116502500 * q^65 - 15116706 * q^66 + 496323564 * q^67 + 38068912 * q^68 + 117727344 * q^69 + 425865000 * q^70 + 307206028 * q^71 - 38007873 * q^72 - 250892578 * q^73 + 635213916 * q^74 + 474609375 * q^75 + 658772655 * q^76 - 293139012 * q^77 - 287837388 * q^78 + 1022286764 * q^79 + 1059831875 * q^80 + 645700815 * q^81 + 184330194 * q^82 + 588572596 * q^83 - 296972244 * q^84 + 346638750 * q^85 + 743100282 * q^86 + 622933740 * q^87 - 1490178286 * q^88 + 613834088 * q^89 + 61509375 * q^90 + 245214676 * q^91 - 1655277488 * q^92 + 74305512 * q^93 - 2433884052 * q^94 + 1221759375 * q^95 + 394281999 * q^96 + 708189104 * q^97 - 4705118289 * q^98 + 1332683442 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{15} - 6360 x^{13} - 9536 x^{12} + 15884143 x^{11} + 45850988 x^{10} - 19776373446 x^{9} + \cdots - 15\!\cdots\!52$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$\nu^{2} - 2\nu - 848$$ v^2 - 2*v - 848 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$\nu^{3} - 2\nu^{2} - 1360\nu - 211$$ v^3 - 2*v^2 - 1360*v - 211 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!77 \nu^{14} + \cdots - 10\!\cdots\!40 ) / 56\!\cdots\!72$$ (-174380309728501109163826077637255534877*v^14 - 19776664029309072677208173315626499757161*v^13 + 1103761487818903899128588235592854643815667*v^12 + 114709516690948766929685184760706888821548455*v^11 - 2537458923540783560785500062357409292447472712*v^10 - 254105633384602951998617372549630068997598905956*v^9 + 2533696419647052829566532056468464025387218527898*v^8 + 270722389908025502637346084298335755140528911627518*v^7 - 940114568663793601110437334501693069231171943207901*v^6 - 143720533990821490083341344886720135108300051738284545*v^5 - 66842996386759051348262775151306409185786142790382865*v^4 + 34973204059350158348693048614700946456214332570480866507*v^3 + 96341318176321691374158888618412661063827249038063817426*v^2 - 2720950149882116420526615926314410403780150480363169686178*v - 10431089011709706087429383040939744313680256630064064688140) / 565512418643188565530691536813112371817091878168297472 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!17 \nu^{14} + \cdots - 38\!\cdots\!88 ) / 28\!\cdots\!36$$ (-1617311887201363806900864260091072067817*v^14 + 176369121530936767937518134922350092302843*v^13 + 11045238621345368950832055175844279246074087*v^12 - 998127254054270847510655685800534199455834165*v^11 - 27237614937354113830873025929923423292269184296*v^10 + 2070603433327105320091232194294636868692015289900*v^9 + 26160938094638369278570187207870222071284472302770*v^8 - 1897352402061754434252697869594240288099624360763770*v^7 - 1126233259363048810498626196769698250116026687797417*v^6 + 705778433334650458420219645478589075677334060296156355*v^5 - 11963378422532113220434810139780350035582134061312792077*v^4 - 49188130852728838047508262648817367156921324272329744545*v^3 + 5082485111615787682622504640117491580240841293984514297354*v^2 - 10476261903454411281655663321584244280796593602381436740250*v - 388967398869525353643098946889087961817835911130984058797788) / 282756209321594282765345768406556185908545939084148736 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 25\!\cdots\!85 \nu^{14} + \cdots + 18\!\cdots\!76 ) / 18\!\cdots\!24$$ (2536070798478473725610999650860418582885*v^14 + 67128508492224736285324179397886680592785*v^13 - 16890721383539508233212968618156829139784491*v^12 - 402262834921897255328420036177975227566028543*v^11 + 42428037523426305639697740250161947451847724424*v^10 + 932120119570940441749734104792790977399755278596*v^9 - 49117392116377236258263728383503645709261283393066*v^8 - 1060518831123501144772620331448313308595484192997166*v^7 + 24611252440447657181007325126844722359587426150220325*v^6 + 618800910444681240690999545322504958756154461134377193*v^5 - 2494451624947459679720213777687044125150892228679056775*v^4 - 168570468931441419023714929664270189073151343437523515075*v^3 - 1306197723474046994686576334685202372700943746986544360738*v^2 + 13616202025361510852665523455082394239619003771785133171058*v + 181699498173207290512868285827448128345822295445590438372076) / 188504139547729521843563845604370790605697292722765824 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 25\!\cdots\!85 \nu^{14} + \cdots + 31\!\cdots\!28 ) / 18\!\cdots\!24$$ (-2545333764977065944647142636568181191085*v^14 - 8344628536577603634081498393302988843449*v^13 + 23513400259445678699775084002434964696124259*v^12 + 74442255853157579580091411646928861243107159*v^11 - 82974972078419576247039452117395444739314363080*v^10 - 286743977359988568168602933940400051637459656612*v^9 + 142866386166555090237502745574719196776900769646010*v^8 + 521555487288296057146020367652741216502602769776478*v^7 - 125414101285472680537332928589480509749829096457623661*v^6 - 407900040150860746137316455128479466477022483841391313*v^5 + 52620465582376553513321905189717000998163999249552445983*v^4 + 90484932032043940929983266746010391203090902164298367931*v^3 - 8481790222659155915620146175990637564012570459430470204558*v^2 + 10259267339273855839429602350638034840373482759767066966462*v + 319276672626173090708332625772532438381983462807888865496628) / 188504139547729521843563845604370790605697292722765824 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!93 \nu^{14} + \cdots + 29\!\cdots\!80 ) / 56\!\cdots\!72$$ (-17331068510643394936994876908300128678793*v^14 + 251293716107574044375406299906873505143003*v^13 + 106458165011917575481990286144124158709308999*v^12 - 1313334937862877185997498148011313387322745173*v^11 - 255871808848876293311007078537681479216240339496*v^10 + 2566637074650616650440019206939713262228101726636*v^9 + 305290410507619669936718195479153919041439517027826*v^8 - 2336598087944633578045880403847947674298923520226746*v^7 - 188983261582239145481117777525999380132275535928728393*v^6 + 1000774668452666943493531154856825932710637217723533475*v^5 + 57619688552398078502869828566860179361694992946457199315*v^4 - 181584978014695135389094730513049778120260477229806021953*v^3 - 7468835221531601086710150411320614006197878407990436642230*v^2 + 12217255434793174851093493255822343365228947791360359915814*v + 295250160393164913234180848271514265735929423590459640604580) / 565512418643188565530691536813112371817091878168297472 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 18\!\cdots\!39 \nu^{14} + \cdots - 23\!\cdots\!44 ) / 56\!\cdots\!72$$ (18505845013375107253554143218199564811239*v^14 - 157922596777563239352420219431329464344437*v^13 - 117933621355166524915606504088809884771074377*v^12 + 818643468159564726199190929406091535194892123*v^11 + 293106317733006319152809994918824734529727789912*v^10 - 1570832290205368647989540536347807897445493672852*v^9 - 357112878381514589137597319539949402380759018717934*v^8 + 1369234088429598506925072532550966392389406885386918*v^7 + 218903196995687058302263233677801438208896002101180455*v^6 - 526758175674023254348685685734961597165729066392556333*v^5 - 61984125920456965930245739181441032242557344416691201021*v^4 + 73979477138614611919530212374202532966652732008511681711*v^3 + 6792577111930670853540500680274601462439968072885183680234*v^2 - 5024645854341837155641418332537652162417932908715485329530*v - 231205588851337253861505445701605947686806891317336945481244) / 565512418643188565530691536813112371817091878168297472 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!03 \nu^{14} + \cdots + 10\!\cdots\!08 ) / 35\!\cdots\!92$$ (-2117166720994949760518003633807644706003*v^14 - 15239642721840814206149411425045144724327*v^13 + 15024874043566842314119513844664552397321693*v^12 + 67061635166078657406150668795216679681171017*v^11 - 41828564393132120638229648238637442289582550968*v^10 - 84947695434576383258772147020947033058085130204*v^9 + 57935140920102983267955147830813921526297760083782*v^8 - 1109783475545592535939790081596240945120399215390*v^7 - 41830037803903941527872372761952058894049232949991443*v^6 + 64672414686940176838921200768863678095121401025886129*v^5 + 15078151401425604275978000641302014828729465767644700705*v^4 - 35279780363210053485934674670266360291894648131876792731*v^3 - 2374483922492253538525096833476201223327020315367652814834*v^2 + 5020778632628528618012814039091589014653856261103526187522*v + 109714127567729486617338001770262710903773401569097765336908) / 35344526165199285345668221050819523238568242385518592 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 30\!\cdots\!91 \nu^{14} + \cdots + 25\!\cdots\!32 ) / 47\!\cdots\!56$$ (-3005120890131788413268341146508591268891*v^14 + 30388034852422110440442476801711828806993*v^13 + 17740185178531827703326474667910420907281365*v^12 - 147430765453129212895357122884474580764312767*v^11 - 40563098266953063027554514266111185048047958392*v^10 + 264696430648775198945768182763183576778573667844*v^9 + 45561302665043359478974972716376000266839980801238*v^8 - 221585434854829876504853650770874836673912741733550*v^7 - 26318661707878265842371358662480252215681890998130523*v^6 + 89133479296975019877465274156562836560269428563160233*v^5 + 7413313400381820002744017207801314498049772481117363577*v^4 - 15969867726394971648169415737816904276739899200043283331*v^3 - 848331845452371244299197662743316369837354814978250029858*v^2 + 1037439784050705268028397265631265506349568431065048327410*v + 25932105311749950571205296105320021317639303583337867684332) / 47126034886932380460890961401092697651424323180691456 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 22\!\cdots\!43 \nu^{14} + \cdots + 23\!\cdots\!92 ) / 28\!\cdots\!36$$ (22445162622558194950099937627072569859743*v^14 - 12417122273613803844439985108748202802717*v^13 - 135640358353866392216728359759272760406719761*v^12 - 120292968082391289874385463622589467638585805*v^11 + 315901752119250579087622946190160963989625491480*v^10 + 699371312309869800945152864533790246919787081676*v^9 - 355911841633590696164728291071151094253787074744670*v^8 - 1208794002234361717360519887591396085841601029790762*v^7 + 198119249898264358429625670335904522575781587015341279*v^6 + 896422358853046957063402380147900891651665301406600299*v^5 - 48270363561680047139090849968715436929783267669040575333*v^4 - 278877198827874664301450878684144058174220692074540307929*v^3 + 3331867696434346568340983707313733324219189365772679470394*v^2 + 23385661700604780163331999829227413204772726447231114251702*v + 23144503835019006692939454822801456406459239279393946181892) / 282756209321594282765345768406556185908545939084148736 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 79\!\cdots\!65 \nu^{14} + \cdots - 11\!\cdots\!24 ) / 62\!\cdots\!08$$ (-7985638837598112394823221021315155820165*v^14 - 40406181804126978318960826031019995073073*v^13 + 48945206383793835854369634802007341139687435*v^12 + 399106112365861001442826705772126222534211679*v^11 - 115756094773226988756400719462069806865713885832*v^10 - 1316682076955805720338607558554061274501039088516*v^9 + 131901559850991246262261013737132169281769474688106*v^8 + 1926923514916964290209925188785027021584849452490734*v^7 - 72659042841283453640536984423220753039374253836218181*v^6 - 1296557293141972602860240610930950669246581114370412681*v^5 + 15903709299620900565104778795633265631831729901207561191*v^4 + 352414341993715092546598817029518271608288429826131872419*v^3 - 231850974385409357879819172577388779575599866513800012190*v^2 - 25352420199654015059325149634087469003856844674351255577778*v - 115277780331357932466735936075583155849753662244367016418924) / 62834713182576507281187948534790263535232430907588608 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 63\!\cdots\!35 \nu^{14} + \cdots - 99\!\cdots\!04 ) / 47\!\cdots\!56$$ (6358396101451041780269095100808880821235*v^14 - 100866251980833549012621593682320447156249*v^13 - 36933911403117602714868637180579776520687613*v^12 + 552490293557225975825016856470057192347767799*v^11 + 82403454320248442896413731801741691472589916216*v^10 - 1174368124719947507651886138016815788847822763300*v^9 - 89347518669733444587073608092257191645092705628550*v^8 + 1235567529280032744574674251954438347714026054598302*v^7 + 49447621728213159076032433795107448934579972896140595*v^6 - 671785588765269491155822212688851037439299206458742321*v^5 - 13667899667284261476800479881904330038490100511565622465*v^4 + 175845676678207694008517547875265244703318126006102039003*v^3 + 1816600720611751782920432510801234787287394274068410157874*v^2 - 16659470704787207207695481236501402195210890349526604296450*v - 99310287546572885389250246623034645644489366231107405014604) / 47126034886932380460890961401092697651424323180691456
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{2} + 2\beta _1 + 848$$ b2 + 2*b1 + 848 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{3} + 2\beta_{2} + 1364\beta _1 + 1907$$ b3 + 2*b2 + 1364*b1 + 1907 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$-\beta_{12} - \beta_{11} + \beta_{6} - 7\beta_{4} + 2\beta_{3} + 1908\beta_{2} + 5343\beta _1 + 1157511$$ -b12 - b11 + b6 - 7*b4 + 2*b3 + 1908*b2 + 5343*b1 + 1157511 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 5 \beta_{14} - \beta_{13} - 11 \beta_{12} - 22 \beta_{11} - 6 \beta_{10} - 12 \beta_{9} + \cdots + 4932286$$ -5*b14 - b13 - 11*b12 - 22*b11 - 6*b10 - 12*b9 - 4*b8 + 5*b7 - 11*b6 - 11*b5 - 263*b4 + 2372*b3 + 6885*b2 + 2144320*b1 + 4932286 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 23 \beta_{14} + 25 \beta_{13} - 3268 \beta_{12} - 3053 \beta_{11} + 146 \beta_{10} + \cdots + 1820746152$$ -23*b14 + 25*b13 - 3268*b12 - 3053*b11 + 146*b10 + 1076*b9 + 48*b8 + 27*b7 + 2962*b6 + 267*b5 - 26134*b4 + 6717*b3 + 3453271*b2 + 12000375*b1 + 1820746152 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 13340 \beta_{14} - 5084 \beta_{13} - 41940 \beta_{12} - 74904 \beta_{11} - 21096 \beta_{10} + \cdots + 10899899193$$ -13340*b14 - 5084*b13 - 41940*b12 - 74904*b11 - 21096*b10 - 38040*b9 + 3304*b8 + 15388*b7 - 37404*b6 - 38700*b5 - 903308*b4 + 4819207*b3 + 16948502*b2 + 3610153770*b1 + 10899899193 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$- 102036 \beta_{14} + 98604 \beta_{13} - 7856671 \beta_{12} - 7332811 \beta_{11} + 538760 \beta_{10} + \cdots + 3066725349293$$ -102036*b14 + 98604*b13 - 7856671*b12 - 7332811*b11 + 538760*b10 + 4259688*b9 + 934952*b8 + 69108*b7 + 6688351*b6 + 921388*b5 - 65233545*b4 + 17100278*b3 + 6294597846*b2 + 25284697453*b1 + 3066725349293 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$- 27170539 \beta_{14} - 14687935 \beta_{13} - 114237769 \beta_{12} - 186667438 \beta_{11} + \cdots + 22756965141812$$ -27170539*b14 - 14687935*b13 - 114237769*b12 - 186667438*b11 - 51934682*b10 - 86414716*b9 + 29432124*b8 + 34495947*b7 - 94753065*b6 - 99562221*b5 - 2445432717*b4 + 9372818630*b3 + 37218289555*b2 + 6333355805108*b1 + 22756965141812 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$- 314555773 \beta_{14} + 278010627 \beta_{13} - 16961121202 \beta_{12} - 16221719477 \beta_{11} + \cdots + 53\!\cdots\!66$$ -314555773*b14 + 278010627*b13 - 16961121202*b12 - 16221719477*b11 + 1406838246*b10 + 11740876564*b9 + 4072824584*b8 + 94931785*b7 + 13722958372*b6 + 2254129937*b5 - 143192211620*b4 + 38863059515*b3 + 11596306805949*b2 + 51535014981071*b1 + 5381705726252066 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 50550141730 \beta_{14} - 34428603754 \beta_{13} - 272842033846 \beta_{12} - 417788114036 \beta_{11} + \cdots + 46\!\cdots\!39$$ -50550141730*b14 - 34428603754*b13 - 272842033846*b12 - 417788114036*b11 - 112287498892*b10 - 170859651192*b9 + 98047313256*b8 + 68734451890*b7 - 214679918310*b6 - 228009536398*b5 - 5979192545326*b4 + 17930966216077*b3 + 77499405961760*b2 + 11406859249789254*b1 + 46121604693920439 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$- 810338942510 \beta_{14} + 683327277602 \beta_{13} - 34918371875061 \beta_{12} - 34475350474759 \beta_{11} + \cdots + 96\!\cdots\!03$$ -810338942510*b14 + 683327277602*b13 - 34918371875061*b12 - 34475350474759*b11 + 3226334116436*b10 + 28052972073032*b9 + 12471621925424*b8 + 26382322086*b7 + 26952758473809*b6 + 4825667152070*b5 - 299624271048695*b4 + 83360998953200*b3 + 21547619803312460*b2 + 102975523941036409*b1 + 9695011323190630703 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 90657042285881 \beta_{14} - 73129720501653 \beta_{13} - 610077211882083 \beta_{12} + \cdots + 91\!\cdots\!38$$ -90657042285881*b14 - 73129720501653*b13 - 610077211882083*b12 - 892860820548090*b11 - 228769750118574*b10 - 310320289471052*b9 + 268877234811852*b8 + 129484593655017*b7 - 460096354203323*b6 - 492742423331351*b5 - 13755047763866263*b4 + 34080190899440732*b3 + 156926264098477317*b2 + 20901079620027269800*b1 + 91815107590413443138 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$- 18\!\cdots\!47 \beta_{14} + \cdots + 17\!\cdots\!36$$ -1878019517968847*b14 + 1558363270374529*b13 - 70235474612175208*b12 - 71580766547299929*b11 + 6944725191090466*b10 + 62367684148921476*b9 + 32542524505768032*b8 - 324971668103693*b7 + 51773143465156438*b6 + 9653375271732435*b5 - 615725091656317106*b4 + 173098803659175069*b3 + 40297262379395160979*b2 + 203230682819642283027*b1 + 17767178508071361722436

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 44.1631 42.0165 33.1842 31.7748 22.2563 12.6518 10.1248 −6.01235 −8.48982 −16.5567 −20.2898 −30.8681 −32.5904 −37.8173 −43.5470
−43.1631 81.0000 1351.05 625.000 −3496.21 −11275.3 −36216.0 6561.00 −26976.9
1.2 −41.0165 81.0000 1170.35 625.000 −3322.34 3354.69 −27003.4 6561.00 −25635.3
1.3 −32.1842 81.0000 523.821 625.000 −2606.92 −7118.12 −380.451 6561.00 −20115.1
1.4 −30.7748 81.0000 435.088 625.000 −2492.76 10298.6 2366.94 6561.00 −19234.3
1.5 −21.2563 81.0000 −60.1686 625.000 −1721.76 97.6438 12162.2 6561.00 −13285.2
1.6 −11.6518 81.0000 −376.235 625.000 −943.796 5497.16 10349.5 6561.00 −7282.38
1.7 −9.12476 81.0000 −428.739 625.000 −739.106 −9544.98 8584.02 6561.00 −5702.98
1.8 7.01235 81.0000 −462.827 625.000 568.000 6578.46 −6835.83 6561.00 4382.72
1.9 9.48982 81.0000 −421.943 625.000 768.675 7330.74 −8862.95 6561.00 5931.13
1.10 17.5567 81.0000 −203.761 625.000 1422.10 −4729.85 −12566.4 6561.00 10973.0
1.11 21.2898 81.0000 −58.7464 625.000 1724.47 −3791.61 −12151.0 6561.00 13306.1
1.12 31.8681 81.0000 503.575 625.000 2581.32 1815.60 −268.489 6561.00 19917.6
1.13 33.5904 81.0000 616.315 625.000 2720.82 11096.6 3503.97 6561.00 20994.0
1.14 38.8173 81.0000 994.781 625.000 3144.20 −5266.76 18740.2 6561.00 24260.8
1.15 44.5470 81.0000 1472.44 625.000 3608.31 4963.14 42784.6 6561.00 27841.9
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.15 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$3$$ $$-1$$
$$5$$ $$-1$$
$$19$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 285.10.a.i 15

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
285.10.a.i 15 1.a even 1 1 trivial

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{15} - 15 T_{2}^{14} - 6255 T_{2}^{13} + 91761 T_{2}^{12} + 15274996 T_{2}^{11} + \cdots + 18\!\cdots\!96$$ acting on $$S_{10}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(285))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{15} + \cdots + 18\!\cdots\!96$$
$3$ $$(T - 81)^{15}$$
$5$ $$(T - 625)^{15}$$
$7$ $$T^{15} + \cdots - 64\!\cdots\!72$$
$11$ $$T^{15} + \cdots + 68\!\cdots\!16$$
$13$ $$T^{15} + \cdots + 45\!\cdots\!00$$
$17$ $$T^{15} + \cdots - 46\!\cdots\!00$$
$19$ $$(T - 130321)^{15}$$
$23$ $$T^{15} + \cdots - 41\!\cdots\!56$$
$29$ $$T^{15} + \cdots + 55\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{15} + \cdots + 68\!\cdots\!04$$
$37$ $$T^{15} + \cdots + 21\!\cdots\!68$$
$41$ $$T^{15} + \cdots - 25\!\cdots\!32$$
$43$ $$T^{15} + \cdots + 12\!\cdots\!28$$
$47$ $$T^{15} + \cdots + 83\!\cdots\!44$$
$53$ $$T^{15} + \cdots - 14\!\cdots\!36$$
$59$ $$T^{15} + \cdots + 21\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{15} + \cdots - 74\!\cdots\!00$$
$67$ $$T^{15} + \cdots + 64\!\cdots\!00$$
$71$ $$T^{15} + \cdots - 32\!\cdots\!00$$
$73$ $$T^{15} + \cdots - 84\!\cdots\!08$$
$79$ $$T^{15} + \cdots - 80\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{15} + \cdots + 64\!\cdots\!36$$
$89$ $$T^{15} + \cdots + 22\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{15} + \cdots - 70\!\cdots\!96$$
show more
show less