# Properties

 Label 285.10.a.f Level $285$ Weight $10$ Character orbit 285.a Self dual yes Analytic conductor $146.785$ Analytic rank $0$ Dimension $14$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [285,10,Mod(1,285)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(285, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 0, 0]))

N = Newforms(chi, 10, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("285.1");

S:= CuspForms(chi, 10);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$285 = 3 \cdot 5 \cdot 19$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$10$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 285.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$146.785213307$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$14$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{14} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{14} - x^{13} - 5365 x^{12} + 7107 x^{11} + 10970098 x^{10} - 19024208 x^{9} - 10608934432 x^{8} + \cdots - 480881506516992$$ x^14 - x^13 - 5365*x^12 + 7107*x^11 + 10970098*x^10 - 19024208*x^9 - 10608934432*x^8 + 24552331696*x^7 + 4820661863456*x^6 - 15731969979520*x^5 - 831531966469120*x^4 + 3954911489638400*x^3 + 12984029397983232*x^2 - 9924122935296*x - 480881506516992 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{13}]$$ Coefficient ring index: $$2^{18}\cdot 3^{8}\cdot 5^{2}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{13}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - \beta_1 q^{2} - 81 q^{3} + (\beta_{2} - \beta_1 + 255) q^{4} - 625 q^{5} + 81 \beta_1 q^{6} + (\beta_{5} - 23 \beta_1 + 934) q^{7} + ( - \beta_{3} - \beta_{2} - 250 \beta_1 + 464) q^{8} + 6561 q^{9}+O(q^{10})$$ q - b1 * q^2 - 81 * q^3 + (b2 - b1 + 255) * q^4 - 625 * q^5 + 81*b1 * q^6 + (b5 - 23*b1 + 934) * q^7 + (-b3 - b2 - 250*b1 + 464) * q^8 + 6561 * q^9 $$q - \beta_1 q^{2} - 81 q^{3} + (\beta_{2} - \beta_1 + 255) q^{4} - 625 q^{5} + 81 \beta_1 q^{6} + (\beta_{5} - 23 \beta_1 + 934) q^{7} + ( - \beta_{3} - \beta_{2} - 250 \beta_1 + 464) q^{8} + 6561 q^{9} + 625 \beta_1 q^{10} + (\beta_{7} + \beta_{5} - 15 \beta_{2} + \cdots + 3135) q^{11}+ \cdots + (6561 \beta_{7} + 6561 \beta_{5} + \cdots + 20568735) q^{99}+O(q^{100})$$ q - b1 * q^2 - 81 * q^3 + (b2 - b1 + 255) * q^4 - 625 * q^5 + 81*b1 * q^6 + (b5 - 23*b1 + 934) * q^7 + (-b3 - b2 - 250*b1 + 464) * q^8 + 6561 * q^9 + 625*b1 * q^10 + (b7 + b5 - 15*b2 - 462*b1 + 3135) * q^11 + (-81*b2 + 81*b1 - 20655) * q^12 + (b9 - b8 - b6 - 2*b5 + b4 + 3*b3 - 26*b2 + 523*b1 + 18297) * q^13 + (2*b9 - b8 + 2*b7 + b6 - 7*b5 - 36*b2 - 818*b1 + 17945) * q^14 + 50625 * q^15 + (-b13 + b12 + 2*b11 + b10 - 2*b9 - b8 + 4*b7 + 9*b5 + 2*b4 - 3*b3 + 93*b2 + 126*b1 + 61910) * q^16 + (-3*b13 - 3*b11 - b9 - 3*b8 + b7 + 8*b5 - 11*b3 - 125*b2 - 1292*b1 - 6490) * q^17 - 6561*b1 * q^18 + 130321 * q^19 + (-625*b2 + 625*b1 - 159375) * q^20 + (-81*b5 + 1863*b1 - 75654) * q^21 + (4*b13 - 3*b12 + 5*b11 + 2*b10 + 6*b9 + 2*b8 + 8*b7 + 8*b6 + 118*b5 - 30*b3 + 506*b2 + 3960*b1 + 359127) * q^22 + (4*b13 + 2*b12 + 6*b11 - 4*b10 + 4*b9 - 3*b8 + 7*b7 - 7*b6 + 4*b5 + b4 - 43*b3 + 120*b2 + 8131*b1 - 116896) * q^23 + (81*b3 + 81*b2 + 20250*b1 - 37584) * q^24 + 390625 * q^25 + (16*b13 - 18*b11 - 15*b10 + 21*b9 + 25*b8 - 39*b7 - 20*b6 + 189*b5 + 2*b4 - 57*b3 - 1180*b2 - 4410*b1 - 394897) * q^26 - 531441 * q^27 + (-b13 - 11*b12 - 16*b11 + 24*b10 - 21*b9 + 17*b8 + 21*b7 + b6 + 373*b5 - 4*b4 - 49*b3 + 1644*b2 + 10632*b1 + 158066) * q^28 + (-5*b13 + b12 - 5*b11 - 13*b10 - 33*b9 - 4*b8 - 14*b6 + 163*b5 - 46*b4 - 86*b3 - 977*b2 + 19979*b1 - 225883) * q^29 - 50625*b1 * q^30 + (-12*b13 + b12 - 20*b11 + 43*b10 - 5*b9 - 9*b8 - 38*b7 - 50*b6 + 143*b5 - 6*b4 - 61*b3 + 2430*b2 - 20759*b1 + 18024) * q^31 + (-2*b13 + 9*b12 + 24*b11 - 30*b10 + 13*b9 + 26*b8 + 27*b7 + 69*b6 + 96*b5 + 2*b4 - 228*b3 + 1357*b2 + 18592*b1 - 359267) * q^32 + (-81*b7 - 81*b5 + 1215*b2 + 37422*b1 - 253935) * q^33 + (27*b13 - 3*b12 + 111*b11 - 49*b10 - b9 - 16*b8 + 57*b7 + 142*b6 - 18*b5 + 88*b4 - 100*b3 + 4394*b2 + 66697*b1 + 1032882) * q^34 + (-625*b5 + 14375*b1 - 583750) * q^35 + (6561*b2 - 6561*b1 + 1673055) * q^36 + (-4*b13 + b12 - 4*b11 + 25*b10 - 47*b9 - 11*b8 - 86*b7 - 117*b6 + 56*b5 - 63*b4 + 85*b3 + 4418*b2 - 40089*b1 + 2108282) * q^37 - 130321*b1 * q^38 + (-81*b9 + 81*b8 + 81*b6 + 162*b5 - 81*b4 - 243*b3 + 2106*b2 - 42363*b1 - 1482057) * q^39 + (625*b3 + 625*b2 + 156250*b1 - 290000) * q^40 + (-76*b13 - 30*b12 - 116*b11 + 38*b10 + 21*b9 - 139*b8 + 59*b7 - 11*b6 + 786*b5 + 131*b4 - 531*b3 + 8431*b2 - 140886*b1 - 1289364) * q^41 + (-162*b9 + 81*b8 - 162*b7 - 81*b6 + 567*b5 + 2916*b2 + 66258*b1 - 1453545) * q^42 + (-106*b13 + 135*b12 - 18*b11 - 105*b10 + 39*b9 - 43*b8 - 6*b7 + 41*b6 + 654*b5 + 55*b4 - 507*b3 + 10136*b2 + 80559*b1 + 1859498) * q^43 + (-175*b13 - 5*b12 - 134*b11 + 274*b10 + 85*b9 - 147*b8 + 131*b7 + 73*b6 + 2053*b5 - 212*b4 - 607*b3 + 8402*b2 - 361466*b1 - 4744334) * q^44 - 4100625 * q^45 + (24*b13 + 30*b12 - 23*b11 + 58*b10 - 57*b9 + 105*b8 + 7*b7 - 252*b6 + 2393*b5 + 94*b4 - 917*b3 + 8150*b2 + 56580*b1 - 6249045) * q^46 + (57*b13 - 59*b12 - 21*b11 + 21*b10 - 15*b9 - 289*b8 + 328*b7 + 7*b6 - 2540*b5 + 99*b4 + 2021*b3 + 10548*b2 + 50846*b1 + 1140634) * q^47 + (81*b13 - 81*b12 - 162*b11 - 81*b10 + 162*b9 + 81*b8 - 324*b7 - 729*b5 - 162*b4 + 243*b3 - 7533*b2 - 10206*b1 - 5014710) * q^48 + (14*b13 - 140*b12 + 218*b11 - 298*b10 + 199*b9 - 24*b8 - 32*b7 + 13*b6 + 1425*b5 + 167*b4 + 438*b3 + 10171*b2 + 320037*b1 + 8596253) * q^49 - 390625*b1 * q^50 + (243*b13 + 243*b11 + 81*b9 + 243*b8 - 81*b7 - 648*b5 + 891*b3 + 10125*b2 + 104652*b1 + 525690) * q^51 + (313*b13 + 296*b12 - 92*b11 + 38*b10 + 502*b9 - 241*b8 - 70*b7 - 524*b6 - 5923*b5 + 282*b4 + 4644*b3 + 25678*b2 + 744952*b1 - 5525861) * q^52 + (-56*b13 + 28*b12 - 90*b11 - 34*b10 + 118*b9 + 263*b8 + 589*b7 + 169*b6 - 3130*b5 + 9*b4 + 727*b3 + 18962*b2 + 73755*b1 + 1717796) * q^53 + 531441*b1 * q^54 + (-625*b7 - 625*b5 + 9375*b2 + 288750*b1 - 1959375) * q^55 + (-19*b13 - 87*b12 + 682*b11 - b10 + 20*b9 + 101*b8 + 650*b7 + 746*b6 - 1817*b5 - 302*b4 - 1656*b3 - 66*b2 - 529148*b1 - 17721896) * q^56 - 10556001 * q^57 + (34*b13 - 281*b12 + 897*b11 - 16*b10 - 526*b9 - 34*b8 + 416*b7 + 518*b6 - 4062*b5 + 164*b4 + 2524*b3 - 7702*b2 + 739648*b1 - 14956429) * q^58 + (296*b13 - 59*b12 - 698*b11 - 201*b10 + 862*b9 - 441*b8 + 60*b7 - 347*b6 - 3916*b5 + 453*b4 + 1659*b3 + 18569*b2 - 423438*b1 - 3647986) * q^59 + (50625*b2 - 50625*b1 + 12909375) * q^60 + (-18*b13 + 86*b12 - 144*b11 + 130*b10 - 107*b9 - 428*b8 - 162*b7 - 619*b6 - 651*b5 + 185*b4 + 1432*b3 + 31341*b2 - 865421*b1 - 19025250) * q^61 + (391*b13 - 84*b12 + 691*b11 - 696*b10 + 725*b9 + 850*b8 + 61*b7 + 272*b6 - 5028*b5 + 56*b4 - 4008*b3 + 31302*b2 - 1269825*b1 + 15238929) * q^62 + (6561*b5 - 150903*b1 + 6127974) * q^63 + (-333*b13 - 52*b12 - 1222*b11 + 709*b10 - 5*b9 - 1061*b8 - 269*b7 - 115*b6 + 2535*b5 - 400*b4 - 250*b3 + 6511*b2 - 383264*b1 - 46228577) * q^64 + (-625*b9 + 625*b8 + 625*b6 + 1250*b5 - 625*b4 - 1875*b3 + 16250*b2 - 326875*b1 - 11435625) * q^65 + (-324*b13 + 243*b12 - 405*b11 - 162*b10 - 486*b9 - 162*b8 - 648*b7 - 648*b6 - 9558*b5 + 2430*b3 - 40986*b2 - 320760*b1 - 29089287) * q^66 + (-1044*b13 - 578*b12 - 134*b11 + 564*b10 - 693*b9 + 736*b8 + 298*b7 - 142*b6 + 1771*b5 - 1120*b4 - 252*b3 + 68379*b2 - 1837202*b1 + 25450076) * q^67 + (-892*b13 + 932*b12 - 990*b11 + 1538*b10 - 1604*b9 - 150*b8 + 1412*b7 + 150*b6 + 5822*b5 - 1336*b4 - 5318*b3 + 36548*b2 - 2520770*b1 - 49091748) * q^68 + (-324*b13 - 162*b12 - 486*b11 + 324*b10 - 324*b9 + 243*b8 - 567*b7 + 567*b6 - 324*b5 - 81*b4 + 3483*b3 - 9720*b2 - 658611*b1 + 9468576) * q^69 + (-1250*b9 + 625*b8 - 1250*b7 - 625*b6 + 4375*b5 + 22500*b2 + 511250*b1 - 11215625) * q^70 + (97*b13 - 133*b12 + 867*b11 - 1485*b10 - 2032*b9 + 262*b8 + 1641*b7 + 64*b6 + 4793*b5 + 1362*b4 - 4704*b3 + 37917*b2 - 1946091*b1 + 12871630) * q^71 + (-6561*b3 - 6561*b2 - 1640250*b1 + 3044304) * q^72 + (1192*b13 + 452*b12 - 1002*b11 - 590*b10 + 443*b9 + 856*b8 + 8*b7 - 398*b6 + 5843*b5 + 1820*b4 + 3484*b3 + 78165*b2 - 484364*b1 + 40884650) * q^73 + (752*b13 - 578*b12 + 730*b11 - 1101*b10 + 29*b9 + 2021*b8 - 2283*b7 - 1004*b6 - 15439*b5 - 678*b4 - 2205*b3 - 10980*b2 - 4382074*b1 + 29378325) * q^74 - 31640625 * q^75 + (130321*b2 - 130321*b1 + 33231855) * q^76 + (347*b13 + 725*b12 - 113*b11 + 1105*b10 + 1677*b9 - 1236*b8 + 319*b7 - 1497*b6 - 8914*b5 - 1279*b4 + 7594*b3 + 152916*b2 - 7061764*b1 + 66486176) * q^77 + (-1296*b13 + 1458*b11 + 1215*b10 - 1701*b9 - 2025*b8 + 3159*b7 + 1620*b6 - 15309*b5 - 162*b4 + 4617*b3 + 95580*b2 + 357210*b1 + 31986657) * q^78 + (-997*b13 - 34*b12 - 3139*b11 + 194*b10 + 2587*b9 - 1369*b8 - 5525*b7 - 1211*b6 + 24628*b5 - 815*b4 + 449*b3 - 23895*b2 - 4171207*b1 + 32906466) * q^79 + (625*b13 - 625*b12 - 1250*b11 - 625*b10 + 1250*b9 + 625*b8 - 2500*b7 - 5625*b5 - 1250*b4 + 1875*b3 - 58125*b2 - 78750*b1 - 38693750) * q^80 + 43046721 * q^81 + (904*b13 + 681*b12 + 2997*b11 - 2177*b10 + 3127*b9 - 930*b8 + 4221*b7 + 5703*b6 + 2524*b5 + 2886*b4 - 21861*b3 + 267918*b2 - 3138328*b1 + 105875071) * q^82 + (-209*b13 - 1896*b12 + 1579*b11 + 546*b10 - 3321*b9 + 1102*b8 + 2614*b7 - 1026*b6 + 35306*b5 - 346*b4 - 13604*b3 + 10255*b2 - 3983932*b1 + 19938176) * q^83 + (81*b13 + 891*b12 + 1296*b11 - 1944*b10 + 1701*b9 - 1377*b8 - 1701*b7 - 81*b6 - 30213*b5 + 324*b4 + 3969*b3 - 133164*b2 - 861192*b1 - 12803346) * q^84 + (1875*b13 + 1875*b11 + 625*b9 + 1875*b8 - 625*b7 - 5000*b5 + 6875*b3 + 78125*b2 + 807500*b1 + 4056250) * q^85 + (1406*b13 + 1840*b12 + 2210*b11 - 1787*b10 + 537*b9 - 3339*b8 - 515*b7 + 670*b6 - 5671*b5 + 8494*b4 - 25123*b3 + 29812*b2 - 6883410*b1 - 64453363) * q^86 + (405*b13 - 81*b12 + 405*b11 + 1053*b10 + 2673*b9 + 324*b8 + 1134*b6 - 13203*b5 + 3726*b4 + 6966*b3 + 79137*b2 - 1618299*b1 + 18296523) * q^87 + (-2629*b13 - 1605*b12 + 2850*b11 + 409*b10 - 3132*b9 + 1663*b8 + 9814*b7 + 6794*b6 + 14933*b5 - 1650*b4 - 11794*b3 + 202456*b2 - 1734208*b1 + 91498944) * q^88 + (-411*b13 + 1780*b12 + 1517*b11 + 5002*b10 - 912*b9 - 2225*b8 - 2184*b7 - 2767*b6 + 20864*b5 - 909*b4 - 24859*b3 - 139503*b2 - 12541827*b1 - 142423599) * q^89 + 4100625*b1 * q^90 + (-4453*b13 + 1189*b12 - 6311*b11 + 3715*b10 - 284*b9 - 3170*b8 - 5823*b7 - 10797*b6 + 59225*b5 - 9553*b4 + 22044*b3 - 490955*b2 - 10970838*b1 - 12418324) * q^91 + (368*b13 + 919*b12 + 466*b11 - 170*b10 + 6777*b9 + 14*b8 + 75*b7 + 2795*b6 - 49412*b5 + 3574*b4 + 1067*b3 + 69842*b2 - 1889928*b1 + 15127201) * q^92 + (972*b13 - 81*b12 + 1620*b11 - 3483*b10 + 405*b9 + 729*b8 + 3078*b7 + 4050*b6 - 11583*b5 + 486*b4 + 4941*b3 - 196830*b2 + 1681479*b1 - 1459944) * q^93 + (2232*b13 - 3606*b12 - 2805*b11 - 4094*b10 - 359*b9 + 8019*b8 - 8967*b7 + 5392*b6 + 47771*b5 - 6030*b4 - 22667*b3 - 619966*b2 - 6481436*b1 - 43908439) * q^94 - 81450625 * q^95 + (162*b13 - 729*b12 - 1944*b11 + 2430*b10 - 1053*b9 - 2106*b8 - 2187*b7 - 5589*b6 - 7776*b5 - 162*b4 + 18468*b3 - 109917*b2 - 1505952*b1 + 29100627) * q^96 + (4478*b13 - 629*b12 + 644*b11 + 993*b10 + 1234*b9 - 6281*b8 + 5924*b7 + 2787*b6 - 13773*b5 + 1603*b4 + 28035*b3 - 53447*b2 - 11335955*b1 + 115561188) * q^97 + (-1797*b13 + 1073*b12 - 10097*b11 + 5760*b10 + 636*b9 - 3068*b8 - 4430*b7 - 10475*b6 + 36684*b5 - 5586*b4 - 2515*b3 - 555642*b2 - 13094060*b1 - 248097378) * q^98 + (6561*b7 + 6561*b5 - 98415*b2 - 3031182*b1 + 20568735) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$14 q - q^{2} - 1134 q^{3} + 3563 q^{4} - 8750 q^{5} + 81 q^{6} + 13054 q^{7} + 6249 q^{8} + 91854 q^{9}+O(q^{10})$$ 14 * q - q^2 - 1134 * q^3 + 3563 * q^4 - 8750 * q^5 + 81 * q^6 + 13054 * q^7 + 6249 * q^8 + 91854 * q^9 $$14 q - q^{2} - 1134 q^{3} + 3563 q^{4} - 8750 q^{5} + 81 q^{6} + 13054 q^{7} + 6249 q^{8} + 91854 q^{9} + 625 q^{10} + 43520 q^{11} - 288603 q^{12} + 256834 q^{13} + 250610 q^{14} + 708750 q^{15} + 866291 q^{16} - 91412 q^{17} - 6561 q^{18} + 1824494 q^{19} - 2226875 q^{20} - 1057374 q^{21} + 5028672 q^{22} - 1629286 q^{23} - 506169 q^{24} + 5468750 q^{25} - 5525738 q^{26} - 7440174 q^{27} + 2214066 q^{28} - 3136160 q^{29} - 50625 q^{30} + 216848 q^{31} - 5019923 q^{32} - 3525120 q^{33} + 14499560 q^{34} - 8158750 q^{35} + 23376843 q^{36} + 29450026 q^{37} - 130321 q^{38} - 20803554 q^{39} - 3905625 q^{40} - 18243760 q^{41} - 20299410 q^{42} + 26051662 q^{43} - 66833140 q^{44} - 57408750 q^{45} - 87479176 q^{46} + 15959554 q^{47} - 70169571 q^{48} + 120608310 q^{49} - 390625 q^{50} + 7404372 q^{51} - 76766782 q^{52} + 24009130 q^{53} + 531441 q^{54} - 27200000 q^{55} - 248644798 q^{56} - 147784014 q^{57} - 208603522 q^{58} - 51606384 q^{59} + 180376875 q^{60} - 267404032 q^{61} + 211868546 q^{62} + 85647294 q^{63} - 647618425 q^{64} - 160521250 q^{65} - 407322432 q^{66} + 354061992 q^{67} - 690026380 q^{68} + 131972166 q^{69} - 156631250 q^{70} + 178030792 q^{71} + 40999689 q^{72} + 571450504 q^{73} + 406967766 q^{74} - 442968750 q^{75} + 464333723 q^{76} + 922830092 q^{77} + 447584778 q^{78} + 456688676 q^{79} - 541431875 q^{80} + 602654094 q^{81} + 1477406200 q^{82} + 275098162 q^{83} - 179339346 q^{84} + 57132500 q^{85} - 909539740 q^{86} + 254028960 q^{87} + 1278025456 q^{88} - 2005727664 q^{89} + 4100625 q^{90} - 181709276 q^{91} + 209371504 q^{92} - 17564688 q^{93} - 617421584 q^{94} - 1140308750 q^{95} + 406613763 q^{96} + 1606885598 q^{97} - 3483053209 q^{98} + 285534720 q^{99}+O(q^{100})$$ 14 * q - q^2 - 1134 * q^3 + 3563 * q^4 - 8750 * q^5 + 81 * q^6 + 13054 * q^7 + 6249 * q^8 + 91854 * q^9 + 625 * q^10 + 43520 * q^11 - 288603 * q^12 + 256834 * q^13 + 250610 * q^14 + 708750 * q^15 + 866291 * q^16 - 91412 * q^17 - 6561 * q^18 + 1824494 * q^19 - 2226875 * q^20 - 1057374 * q^21 + 5028672 * q^22 - 1629286 * q^23 - 506169 * q^24 + 5468750 * q^25 - 5525738 * q^26 - 7440174 * q^27 + 2214066 * q^28 - 3136160 * q^29 - 50625 * q^30 + 216848 * q^31 - 5019923 * q^32 - 3525120 * q^33 + 14499560 * q^34 - 8158750 * q^35 + 23376843 * q^36 + 29450026 * q^37 - 130321 * q^38 - 20803554 * q^39 - 3905625 * q^40 - 18243760 * q^41 - 20299410 * q^42 + 26051662 * q^43 - 66833140 * q^44 - 57408750 * q^45 - 87479176 * q^46 + 15959554 * q^47 - 70169571 * q^48 + 120608310 * q^49 - 390625 * q^50 + 7404372 * q^51 - 76766782 * q^52 + 24009130 * q^53 + 531441 * q^54 - 27200000 * q^55 - 248644798 * q^56 - 147784014 * q^57 - 208603522 * q^58 - 51606384 * q^59 + 180376875 * q^60 - 267404032 * q^61 + 211868546 * q^62 + 85647294 * q^63 - 647618425 * q^64 - 160521250 * q^65 - 407322432 * q^66 + 354061992 * q^67 - 690026380 * q^68 + 131972166 * q^69 - 156631250 * q^70 + 178030792 * q^71 + 40999689 * q^72 + 571450504 * q^73 + 406967766 * q^74 - 442968750 * q^75 + 464333723 * q^76 + 922830092 * q^77 + 447584778 * q^78 + 456688676 * q^79 - 541431875 * q^80 + 602654094 * q^81 + 1477406200 * q^82 + 275098162 * q^83 - 179339346 * q^84 + 57132500 * q^85 - 909539740 * q^86 + 254028960 * q^87 + 1278025456 * q^88 - 2005727664 * q^89 + 4100625 * q^90 - 181709276 * q^91 + 209371504 * q^92 - 17564688 * q^93 - 617421584 * q^94 - 1140308750 * q^95 + 406613763 * q^96 + 1606885598 * q^97 - 3483053209 * q^98 + 285534720 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{14} - x^{13} - 5365 x^{12} + 7107 x^{11} + 10970098 x^{10} - 19024208 x^{9} - 10608934432 x^{8} + \cdots - 480881506516992$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$\nu^{2} + \nu - 767$$ v^2 + v - 767 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$\nu^{3} - \nu^{2} - 1275\nu + 1231$$ v^3 - v^2 - 1275*v + 1231 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 49\!\cdots\!11 \nu^{13} + \cdots - 31\!\cdots\!92 ) / 68\!\cdots\!00$$ (4900218087837623915634893591959211*v^13 - 62857010501899966722123412646421207*v^12 - 26373157546161633305443701821850602763*v^11 + 363409002530420180018597470663181651245*v^10 + 54319491589234178835231919811646500487858*v^9 - 807850588738802969423304754252552705545976*v^8 - 53122538123203308355851682144617301059695616*v^7 + 857414082900183518896452642515981291398412432*v^6 + 24285171026449786375093924404812687844016600864*v^5 - 431260582197223426977342939736071558252193319424*v^4 - 3863469178299555514527064542336356279241768467456*v^3 + 81029371618296008202880354914058238264279505801216*v^2 - 140908630446597899001534155625573359715753010356224*v - 315448113579074369130907645704209597875914753441792) / 6845603837399132376035489683084780424790016000 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 15\!\cdots\!57 \nu^{13} + \cdots + 38\!\cdots\!04 ) / 68\!\cdots\!00$$ (-15901641035813498247699453870533957*v^13 + 26468200058769800381908066491981209*v^12 + 85246949467837778211236523666579174181*v^11 - 164406131023662663578558706743824129315*v^10 - 174122221060042179818375714593923081014446*v^9 + 395129443058893105004546246237337155893512*v^8 + 168137873615157569340500650036022568205000192*v^7 - 466501765332003453300786605560854237648540784*v^6 - 76234344806337829586957502970607302927974649568*v^5 + 278252145572731791915449326192188724446201036288*v^4 + 13090705158412431801255593215401431441684084278272*v^3 - 66622659981356012216457074490024826600401220923392*v^2 - 192577262445550688498735178689106058809634095194112*v + 38247113545995757928826352741634327165423836463104) / 6845603837399132376035489683084780424790016000 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!77 \nu^{13} + \cdots - 35\!\cdots\!44 ) / 68\!\cdots\!00$$ (108928834617529477330767597786343077*v^13 - 157073433002404415918936223301150649*v^12 - 583393756611539569404917790997026019141*v^11 + 1016952607153801606872567705442653075715*v^10 + 1190266593269177333338107804273424982613806*v^9 - 2529897662871812056511067205526190652855432*v^8 - 1147805729489501058682324264181184739016038912*v^7 + 3075264102662884232346074818825051321472538224*v^6 + 519438057753965678939470286304110525869862516448*v^5 - 1879239015587353238465674186420511221166260602368*v^4 - 88746145151110049438914502618057635920924865569792*v^3 + 458231256761718002480860862695118810152912177754112*v^2 + 1164053311945222473942748635312229406480920606892032*v - 356986397466516079492513230866239687209757317791744) / 6845603837399132376035489683084780424790016000 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 40\!\cdots\!97 \nu^{13} + \cdots + 42\!\cdots\!16 ) / 21\!\cdots\!00$$ (401437382502311672911702577374597*v^13 - 332438566721370842809460717423089*v^12 - 2157720080817296878474359123571123701*v^11 + 2536806916716894034611999581946999715*v^10 + 4422182245936477365352697332038694218766*v^9 - 7121770652595085276087182643580702591952*v^8 - 4288966276240449532011678316141144850558832*v^7 + 9502329892327322237640160355844334470489264*v^6 + 1956335478092771712943975087070787488073548128*v^5 - 6220816016830840842657717165568743000470072448*v^4 - 339688028192128412551642022794244320499073056512*v^3 + 1580029197588333994018124791713564406945551224832*v^2 + 5648022596722342737736598528508825977091472535552*v + 420003060766545120099729705310221344088698454016) / 21392511991872288675110905259639938827468800 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 66\!\cdots\!49 \nu^{13} + \cdots - 13\!\cdots\!28 ) / 34\!\cdots\!00$$ (66050270270298238487746273683276049*v^13 - 102613549264818695051497920091759413*v^12 - 354516902681314985567165908783673988817*v^11 + 676806527626564860335764943800571754455*v^10 + 725263741376271789601163402639824471022422*v^9 - 1704847258571429827638391371066865259782184*v^8 - 701627921896770141574927194910499667840594944*v^7 + 2076275374167379152386768421709422497945920688*v^6 + 318558895477480093841025762253126788726825601376*v^5 - 1250271498756576012761403894789219013169069820416*v^4 - 54517457629277381317141260377587182465323825685504*v^3 + 296020121189707889428416015030508448413970274873344*v^2 + 679666321432741690571225208651195756812242691088384*v - 137081274462635821058458907123391546390297526140928) / 3422801918699566188017744841542390212395008000 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 35\!\cdots\!01 \nu^{13} + \cdots - 22\!\cdots\!28 ) / 13\!\cdots\!00$$ (-35562626515206326088686948965471801*v^13 + 41523910688747285555839805654778237*v^12 + 190342261742898017950499016626719072633*v^11 - 275807835941852839511819740980809789295*v^10 - 388140461178851619182281360797389599454278*v^9 + 700563595979045606285165599762626832090216*v^8 + 374253281790593689053260339215612956988064256*v^7 - 869180654411690324144328383202699404360433712*v^6 - 169610339259495471495131473131486150548855113824*v^5 + 543980097003868254436426760280213687828264221184*v^4 + 29247958118911623334455782823610288634699293008896*v^3 - 135725454232154982137836962236548921832100302483456*v^2 - 480613292011336859218168754173888517986011766972416*v - 22246668445037199146662656258122358312006231523328) / 1369120767479826475207097936616956084958003200 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 90\!\cdots\!71 \nu^{13} + \cdots - 30\!\cdots\!12 ) / 31\!\cdots\!00$$ (9030883240627816427924177054717071*v^13 - 12875067395685993074000163431312027*v^12 - 48446658521985415326441052947111290143*v^11 + 85840399763428710567982263859035837945*v^10 + 99023074625214439092071543999457607822938*v^9 - 218557329506639947482204841396628320263736*v^8 - 95656552231244951564407177094944742210827776*v^7 + 269664770170376286008087825675176140629692752*v^6 + 43329678701182681711636262666329892618798553504*v^5 - 165153343775880148332556804711578843475091057664*v^4 - 7387864454963305168388767056305573887984349910016*v^3 + 39842372333389123194137623314151289361215600357376*v^2 + 91447728321659026380562454300442581665953719361536*v - 30091067266563012609000606319863578273703788019712) / 311163810790869653456158621958399110217728000 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 59\!\cdots\!87 \nu^{13} + \cdots + 13\!\cdots\!64 ) / 17\!\cdots\!00$$ (-59865551916786748339233107309055787*v^13 + 67605902877984803803065090086255919*v^12 + 321272952321383094388089342412771627571*v^11 - 469911158241737432335239339714772856165*v^10 - 657239951362286199572335161080499265158186*v^9 + 1236081520412017551195736215591604584618792*v^8 + 636078625077594024367667528855918285658076672*v^7 - 1570291654938918009800426274702939773738393744*v^6 - 289340101107657974528638154119948202795404835488*v^5 + 990858593271361964271181832848571644563651403008*v^4 + 49957057157933852930296813736003874443024001533952*v^3 - 246096515426100483095157842808668758619541990735872*v^2 - 764014754201471234687752698954134686379245022011392*v + 131021730717265342967675437285363839467341481508864) / 1711400959349783094008872420771195106197504000 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 63\!\cdots\!51 \nu^{13} + \cdots + 14\!\cdots\!28 ) / 17\!\cdots\!00$$ (6301048700522493566598499422990251*v^13 - 5666548533112145422317063071490587*v^12 - 33797609139997667613988140673939662983*v^11 + 41157195994350598288918382135870346945*v^10 + 69083998440213458933085272451049112021478*v^9 - 112142265049974468074813478040618239927616*v^8 - 66765560810344622548737987778974173402093056*v^7 + 147181579640308201110213340229919545518727312*v^6 + 30289787592305867842520475296975783094123568224*v^5 - 95891328799187734253191281187910491358279968384*v^4 - 5197125553442743943116334730185092338362846404096*v^3 + 24435264045118765384819775121073130168994704275456*v^2 + 74699769761294720365450003158307159432797693935616*v + 14653934630898919532435528762486188502911798345728) / 171140095934978309400887242077119510619750400 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 57\!\cdots\!87 \nu^{13} + \cdots - 16\!\cdots\!64 ) / 68\!\cdots\!00$$ (575848205048197206204737957327702187*v^13 - 492099795241761108354751559189269719*v^12 - 3089341519906794562164110770007231605771*v^11 + 3674228352046455531950623940346479621165*v^10 + 6316757365937718800347325373367798656062386*v^9 - 10176643755765790712807316239262624093043192*v^8 - 6108595602290582142430031937361232110646467072*v^7 + 13476105225622715617118033655500310338593894544*v^6 + 2775679878651591341432833197912078901120575117088*v^5 - 8809157901012243575809461506959800323733553412608*v^4 - 478938053642316908978090747830765659105737481444352*v^3 + 2246449131452732306262630259563425664911768825270272*v^2 + 7576662979984291529667438371062030203161284487585792*v - 164418524052482661513145226549811211261953364721664) / 6845603837399132376035489683084780424790016000
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{2} - \beta _1 + 767$$ b2 - b1 + 767 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{3} + \beta_{2} + 1274\beta _1 - 464$$ b3 + b2 + 1274*b1 - 464 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- \beta_{13} + \beta_{12} + 2 \beta_{11} + \beta_{10} - 2 \beta_{9} - \beta_{8} + 4 \beta_{7} + \cdots + 977878$$ -b13 + b12 + 2*b11 + b10 - 2*b9 - b8 + 4*b7 + 9*b5 + 2*b4 - 3*b3 + 1629*b2 - 1410*b1 + 977878 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$2 \beta_{13} - 9 \beta_{12} - 24 \beta_{11} + 30 \beta_{10} - 13 \beta_{9} - 26 \beta_{8} + \cdots - 591005$$ 2*b13 - 9*b12 - 24*b11 + 30*b10 - 13*b9 - 26*b8 - 27*b7 - 69*b6 - 96*b5 - 2*b4 + 2276*b3 + 691*b2 + 1804128*b1 - 591005 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 2893 \beta_{13} + 2508 \beta_{12} + 3898 \beta_{11} + 3269 \beta_{10} - 5125 \beta_{9} + \cdots + 1384970143$$ -2893*b13 + 2508*b12 + 3898*b11 + 3269*b10 - 5125*b9 - 3621*b8 + 9971*b7 - 115*b6 + 25575*b5 + 4720*b4 - 7930*b3 + 2603887*b2 - 2420000*b1 + 1384970143 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 2972 \beta_{13} - 13756 \beta_{12} - 88220 \beta_{11} + 96868 \beta_{10} - 43060 \beta_{9} + \cdots - 1075101020$$ -2972*b13 - 13756*b12 - 88220*b11 + 96868*b10 - 43060*b9 - 75840*b8 - 92820*b7 - 225624*b6 - 235776*b5 - 16176*b4 + 4246601*b3 + 43125*b2 + 2706172502*b1 - 1075101020 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$- 6541337 \beta_{13} + 4959033 \beta_{12} + 5964170 \beta_{11} + 7716633 \beta_{10} + \cdots + 2077546046810$$ -6541337*b13 + 4959033*b12 + 5964170*b11 + 7716633*b10 - 10637610*b9 - 8371537*b8 + 19911052*b7 - 502320*b6 + 57675817*b5 + 8255138*b4 - 15230255*b3 + 4195534189*b2 - 4427581566*b1 + 2077546046810 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$- 21173394 \beta_{13} - 8087749 \beta_{12} - 224900256 \beta_{11} + 219745618 \beta_{10} + \cdots - 2140755470997$$ -21173394*b13 - 8087749*b12 - 224900256*b11 + 219745618*b10 - 103199061*b9 - 166007358*b8 - 223628683*b7 - 529240309*b6 - 432934556*b5 - 43044506*b4 + 7462849476*b3 - 662244957*b2 + 4206624626432*b1 - 2140755470997 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$- 13343039329 \beta_{13} + 8969110260 \beta_{12} + 8366862002 \beta_{11} + 16090591321 \beta_{10} + \cdots + 32\!\cdots\!19$$ -13343039329*b13 + 8969110260*b12 + 8366862002*b11 + 16090591321*b10 - 20549981825*b9 - 16562702025*b8 + 36967594631*b7 - 1438110007*b6 + 118985400803*b5 + 12937209792*b4 - 26212661838*b3 + 6827929993639*b2 - 7823140299608*b1 + 3229659840298019 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$- 62448351928 \beta_{13} + 18820392872 \beta_{12} - 490975237460 \beta_{11} + 436660818656 \beta_{10} + \cdots - 39\!\cdots\!72$$ -62448351928*b13 + 18820392872*b12 - 490975237460*b11 + 436660818656*b10 - 218335746436*b9 - 327088038924*b8 - 472491859564*b7 - 1091886677888*b6 - 712023801764*b5 - 83846843976*b4 + 12815663960417*b3 - 903876833915*b2 + 6694098116675574*b1 - 3961766316022172 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$- 25707542042197 \beta_{13} + 15550593556265 \beta_{12} + 11224301212978 \beta_{11} + \cdots + 51\!\cdots\!46$$ -25707542042197*b13 + 15550593556265*b12 + 11224301212978*b11 + 31492190176021*b10 - 38293858976054*b9 - 30571959508029*b8 + 66462362182528*b7 - 3360843866516*b6 + 234023252154733*b5 + 19244229998786*b4 - 42818129274227*b3 + 11209325259545189*b2 - 13034148188185350*b1 + 5139944287250290846 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 143949912659366 \beta_{13} + 87449312953599 \beta_{12} - 986142552578248 \beta_{11} + \cdots - 66\!\cdots\!41$$ -143949912659366*b13 + 87449312953599*b12 - 986142552578248*b11 + 814509228032198*b10 - 433673426863229*b9 - 611901373788706*b8 - 935601207791803*b7 - 2113029416937957*b6 - 1109974081517432*b5 - 139680217328370*b4 + 21800706829842900*b3 + 614461073053411*b2 + 10825179045207739344*b1 - 6656337790307840141

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 41.5454 36.7045 33.9313 27.3479 16.1367 8.32294 0.187735 −0.198399 −2.26189 −21.3757 −28.9110 −30.3072 −38.9237 −41.1985
−41.5454 −81.0000 1214.02 −625.000 3365.17 6093.78 −29165.5 6561.00 25965.8
1.2 −36.7045 −81.0000 835.221 −625.000 2973.07 −10828.2 −11863.7 6561.00 22940.3
1.3 −33.9313 −81.0000 639.331 −625.000 2748.43 9880.04 −4320.49 6561.00 21207.0
1.4 −27.3479 −81.0000 235.909 −625.000 2215.18 −4985.88 7550.51 6561.00 17092.5
1.5 −16.1367 −81.0000 −251.607 −625.000 1307.07 −1176.10 12322.1 6561.00 10085.4
1.6 −8.32294 −81.0000 −442.729 −625.000 674.158 −7295.26 7946.15 6561.00 5201.84
1.7 −0.187735 −81.0000 −511.965 −625.000 15.2065 905.223 192.234 6561.00 117.334
1.8 0.198399 −81.0000 −511.961 −625.000 −16.0704 11709.0 −203.153 6561.00 −124.000
1.9 2.26189 −81.0000 −506.884 −625.000 −183.213 −10.0609 −2304.60 6561.00 −1413.68
1.10 21.3757 −81.0000 −55.0809 −625.000 −1731.43 6106.61 −12121.7 6561.00 −13359.8
1.11 28.9110 −81.0000 323.844 −625.000 −2341.79 −5747.14 −5439.76 6561.00 −18069.4
1.12 30.3072 −81.0000 406.529 −625.000 −2454.89 9233.36 −3196.55 6561.00 −18942.0
1.13 38.9237 −81.0000 1003.06 −625.000 −3152.82 −5904.55 19113.8 6561.00 −24327.3
1.14 41.1985 −81.0000 1185.32 −625.000 −3337.08 5073.19 27739.7 6561.00 −25749.1
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.14 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$3$$ $$+1$$
$$5$$ $$+1$$
$$19$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 285.10.a.f 14

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
285.10.a.f 14 1.a even 1 1 trivial

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{14} + T_{2}^{13} - 5365 T_{2}^{12} - 7107 T_{2}^{11} + 10970098 T_{2}^{10} + \cdots - 480881506516992$$ acting on $$S_{10}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(285))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{14} + \cdots - 480881506516992$$
$3$ $$(T + 81)^{14}$$
$5$ $$(T + 625)^{14}$$
$7$ $$T^{14} + \cdots - 28\!\cdots\!84$$
$11$ $$T^{14} + \cdots - 10\!\cdots\!96$$
$13$ $$T^{14} + \cdots - 87\!\cdots\!00$$
$17$ $$T^{14} + \cdots + 41\!\cdots\!00$$
$19$ $$(T - 130321)^{14}$$
$23$ $$T^{14} + \cdots + 55\!\cdots\!44$$
$29$ $$T^{14} + \cdots + 21\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{14} + \cdots - 17\!\cdots\!60$$
$37$ $$T^{14} + \cdots - 53\!\cdots\!96$$
$41$ $$T^{14} + \cdots + 18\!\cdots\!80$$
$43$ $$T^{14} + \cdots - 13\!\cdots\!76$$
$47$ $$T^{14} + \cdots - 22\!\cdots\!84$$
$53$ $$T^{14} + \cdots + 22\!\cdots\!88$$
$59$ $$T^{14} + \cdots - 37\!\cdots\!00$$
$61$ $$T^{14} + \cdots + 40\!\cdots\!40$$
$67$ $$T^{14} + \cdots + 22\!\cdots\!80$$
$71$ $$T^{14} + \cdots - 15\!\cdots\!00$$
$73$ $$T^{14} + \cdots + 20\!\cdots\!84$$
$79$ $$T^{14} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{14} + \cdots + 59\!\cdots\!20$$
$89$ $$T^{14} + \cdots + 59\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{14} + \cdots + 13\!\cdots\!88$$