# Properties

 Label 252.9.z.d Level $252$ Weight $9$ Character orbit 252.z Analytic conductor $102.659$ Analytic rank $0$ Dimension $12$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$252 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$9$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 252.z (of order $$6$$, degree $$2$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$102.659409735$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$12$$ Relative dimension: $$6$$ over $$\Q(\zeta_{6})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{12} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{12} - 3 x^{11} + 148097 x^{10} + 46071824 x^{9} + 21578502553 x^{8} + 3561445462121 x^{7} + 576413321817541 x^{6} + \cdots + 45\!\cdots\!96$$ x^12 - 3*x^11 + 148097*x^10 + 46071824*x^9 + 21578502553*x^8 + 3561445462121*x^7 + 576413321817541*x^6 + 47217566733462528*x^5 + 5214056955297543333*x^4 + 358752845334081085965*x^3 + 30962072851910211245661*x^2 + 1221542968331193193318500*x + 45396580558961892385326096 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{13}]$$ Coefficient ring index: $$2^{20}\cdot 3^{10}\cdot 7^{4}$$ Twist minimal: no (minimal twist has level 84) Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{6}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{11}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + (\beta_{3} - 16 \beta_1 - 16) q^{5} + (\beta_{5} + \beta_{3} - 196 \beta_1 + 114) q^{7}+O(q^{10})$$ q + (b3 - 16*b1 - 16) * q^5 + (b5 + b3 - 196*b1 + 114) * q^7 $$q + (\beta_{3} - 16 \beta_1 - 16) q^{5} + (\beta_{5} + \beta_{3} - 196 \beta_1 + 114) q^{7} + ( - \beta_{7} + \beta_{6} - \beta_{5} - 2 \beta_{3} + \beta_{2} + 2987 \beta_1) q^{11} + ( - \beta_{11} - \beta_{10} + \beta_{9} + \beta_{5} - 3 \beta_{4} + \beta_{3} - 2 \beta_{2} + \cdots + 1915) q^{13}+ \cdots + (646 \beta_{11} + 646 \beta_{10} - 1652 \beta_{9} + 288 \beta_{8} + \cdots - 23088145) q^{97}+O(q^{100})$$ q + (b3 - 16*b1 - 16) * q^5 + (b5 + b3 - 196*b1 + 114) * q^7 + (-b7 + b6 - b5 - 2*b3 + b2 + 2987*b1) * q^11 + (-b11 - b10 + b9 + b5 - 3*b4 + b3 - 2*b2 - 3832*b1 + 1915) * q^13 + (-3*b10 - b9 - b8 + 15*b5 + 15*b4 + b3 + 3*b2 - 11427*b1 + 22860) * q^17 + (3*b11 + 5*b9 - 2*b7 + b6 - 4*b5 + 23*b4 + 71*b3 + 3*b2 + 4120*b1 + 4118) * q^19 + (4*b11 + 8*b10 - 9*b9 - b8 - 2*b6 + 10*b5 + 43*b4 - 96*b3 + 207*b2 - 10411*b1 + 10427) * q^23 + (14*b11 + 7*b10 - 8*b9 + 15*b8 - 27*b7 + 27*b6 + 79*b5 + 31*b4 - 206*b3 + 99*b2 + 146524*b1 - 36) * q^25 + (8*b11 - 8*b10 + b8 - 32*b7 - 45*b5 - 71*b4 - 92*b3 - 77*b2 - 6*b1 + 47985) * q^29 + (5*b10 - 9*b9 + 16*b8 - 32*b7 - 32*b6 - 61*b5 + 25*b4 + 9*b3 - 454*b2 - 80227*b1 + 160501) * q^31 + (35*b11 + 28*b10 - 17*b9 - 19*b8 - 63*b7 + 98*b6 + 50*b5 + 110*b4 + 160*b3 - 382*b2 + 516226*b1 + 74398) * q^35 + (-12*b11 - 24*b10 + 38*b9 + 23*b8 + 42*b6 - 88*b5 - 281*b4 + 416*b3 - 919*b2 + 342810*b1 - 342911) * q^37 + (-63*b11 - 63*b10 + 12*b9 - 42*b8 + 32*b7 - 64*b6 - 490*b5 + 40*b4 - 2210*b3 + 2240*b2 + 236351*b1 - 118027) * q^41 + (24*b11 - 24*b10 + 40*b9 + 111*b8 + 3*b7 + 88*b5 + 818*b4 + 1528*b3 + 1505*b2 + 158*b1 + 642727) * q^43 + (-69*b11 + 69*b9 - 216*b8 + 192*b7 - 96*b6 - 1554*b5 - 1296*b4 + 4858*b3 + 147*b2 - 672922*b1 - 671980) * q^47 + (91*b11 + 112*b10 + 106*b9 + 165*b8 - 133*b7 + 182*b6 + 267*b5 - 70*b4 - 2177*b3 + 1599*b2 + 782782*b1 - 1805158) * q^49 + (46*b11 + 23*b10 - 366*b9 + 41*b8 + 126*b7 - 126*b6 - 2666*b5 - 1953*b4 - 3500*b3 + 1915*b2 + 917970*b1 + 586) * q^53 + (-140*b11 - 140*b10 + 214*b9 + 301*b8 + 98*b7 - 196*b6 + 1807*b5 - 2097*b4 + 14770*b3 - 15285*b2 - 1109548*b1 + 553847) * q^55 + (231*b10 - 523*b9 - 379*b8 - 161*b7 - 161*b6 + 3508*b5 + 2411*b4 + 523*b3 + 4454*b2 + 419074*b1 - 836666) * q^59 + (-447*b11 + 668*b9 - 177*b8 + 572*b7 - 286*b6 + 1926*b5 + 3595*b4 - 8614*b3 - 270*b2 - 2065505*b1 - 2065735) * q^61 + (-24*b11 - 48*b10 - 213*b9 - 201*b8 + 604*b6 + 234*b5 + 3505*b4 - 6954*b3 + 14559*b2 + 845297*b1 - 844385) * q^65 + (370*b11 + 185*b10 - 627*b9 + 967*b8 + 825*b7 - 825*b6 + 5592*b5 - 533*b4 - 11685*b3 + 5374*b2 - 6133611*b1 - 1832) * q^67 + (469*b11 - 469*b10 + 192*b9 + 185*b8 + 164*b7 - 1179*b5 - 1177*b4 - 12477*b3 - 11532*b2 - 291*b1 + 2506548) * q^71 + (268*b10 - 276*b9 + 66*b8 - 27*b7 - 27*b6 + 553*b5 + 1482*b4 + 276*b3 - 26527*b2 - 5286290*b1 + 10573482) * q^73 + (-497*b11 + 455*b10 + 73*b9 - 135*b8 - 126*b7 - 476*b6 + 2134*b5 + 2233*b4 + 34779*b3 - 50349*b2 - 5018006*b1 + 5708008) * q^77 + (-257*b11 - 514*b10 + 148*b9 - 378*b8 + 1458*b6 + 266*b5 + 4220*b4 + 5049*b3 - 9759*b2 - 1421127*b1 + 1421832) * q^79 + (-786*b11 - 786*b10 + 468*b9 + 1161*b8 + 3*b7 - 6*b6 + 1410*b5 - 7848*b4 - 48254*b3 + 46625*b2 - 23433674*b1 + 11714524) * q^83 + (695*b11 - 695*b10 - 16*b9 + 484*b8 - 1326*b7 - 1184*b5 - 1124*b4 + 36120*b3 + 37010*b2 + 289*b1 + 1657571) * q^85 + (384*b11 + 542*b9 + 1766*b8 - 256*b7 + 128*b6 + 16952*b5 + 18250*b4 + 45802*b3 - 1382*b2 - 4614982*b1 - 4623970) * q^89 + (-1414*b11 + 476*b10 - 155*b9 - 165*b8 - 2170*b7 + 1043*b6 - 2304*b5 - 372*b4 - 10051*b3 + 43725*b2 + 12810079*b1 - 22957097) * q^91 + (1054*b11 + 527*b10 - 447*b9 + 3227*b8 - 154*b7 + 154*b6 + 30201*b5 + 7461*b4 + 68893*b3 - 36923*b2 + 36923483*b1 - 9314) * q^95 + (646*b11 + 646*b10 - 1652*b9 + 288*b8 + 373*b7 - 746*b6 - 8463*b5 + 1131*b4 + 20345*b3 - 18981*b2 + 46181460*b1 - 23088145) * q^97 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$12 q - 285 q^{5} + 198 q^{7}+O(q^{10})$$ 12 * q - 285 * q^5 + 198 * q^7 $$12 q - 285 q^{5} + 198 q^{7} + 17919 q^{11} + 205782 q^{17} + 74313 q^{19} + 62832 q^{23} + 878679 q^{25} + 575454 q^{29} + 1442952 q^{31} + 3989514 q^{35} - 2058621 q^{37} + 7721322 q^{43} - 12088194 q^{47} - 16964694 q^{49} + 5506743 q^{53} - 7511901 q^{59} - 37215576 q^{61} - 5047122 q^{65} - 36824553 q^{67} + 30011556 q^{71} + 95080185 q^{73} + 38333727 q^{77} + 8514456 q^{79} + 20121540 q^{85} - 83038554 q^{89} - 198538635 q^{91} + 221605224 q^{95}+O(q^{100})$$ 12 * q - 285 * q^5 + 198 * q^7 + 17919 * q^11 + 205782 * q^17 + 74313 * q^19 + 62832 * q^23 + 878679 * q^25 + 575454 * q^29 + 1442952 * q^31 + 3989514 * q^35 - 2058621 * q^37 + 7721322 * q^43 - 12088194 * q^47 - 16964694 * q^49 + 5506743 * q^53 - 7511901 * q^59 - 37215576 * q^61 - 5047122 * q^65 - 36824553 * q^67 + 30011556 * q^71 + 95080185 * q^73 + 38333727 * q^77 + 8514456 * q^79 + 20121540 * q^85 - 83038554 * q^89 - 198538635 * q^91 + 221605224 * q^95

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{12} - 3 x^{11} + 148097 x^{10} + 46071824 x^{9} + 21578502553 x^{8} + 3561445462121 x^{7} + 576413321817541 x^{6} + \cdots + 45\!\cdots\!96$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 15\!\cdots\!43 \nu^{11} + \cdots - 14\!\cdots\!20 ) / 14\!\cdots\!72$$ (-155497766229511268293475294881448649620923193841164632043*v^11 + 9285805702623737368353016714677018675876219176624833505*v^10 - 23131125624070897811396631737231318562592159907297072804044579*v^9 - 7184226535546088582042354618311163531396384721065038238627676084*v^8 - 3391221989390938542915243871917771106117976317983670628600255356387*v^7 - 561410783598025171637914635274628588745943074948095900379571668711107*v^6 - 91268787124638191522909377579826751658990303252293881157428154146726959*v^5 - 6916219039003856573721017467605827833203343965196609222605601130746645216*v^4 - 714562761775186281272871666222861576555310152517785155640296571289813318887*v^3 - 34157578698955291738122174545055171186249054611683045912736206320783632697519*v^2 - 4034605879134844272117474129007166545809678467400689799058781237976024744133911*v - 14834629363119263456331072743023034534561490128510461006758856604067921844620720) / 143670256577436862140267877774052854554905418150589774466250600208717873426619772 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 34\!\cdots\!83 \nu^{11} + \cdots + 41\!\cdots\!04 ) / 20\!\cdots\!24$$ (344939642656921629101038232609973431825315824739648465516148235481109668283*v^11 + 29914885160317809732793100240115443798617431196176131817913979553313319158180*v^10 + 46102836389673788989055592300752998035640346287406802682592856238614262579163052*v^9 + 20629900081256784443616443015141852456922905281487045675800982644711000228884211952*v^8 + 8163709406044602177349146699972399113990015847189959890987276509286884004939066346519*v^7 + 1689130127438936317346304714990471774885271736591552850814299176698154400049371894571564*v^6 + 212935257377578684903762056743651167404589659623180899677236739353857024071349591600984388*v^5 + 20232916230464025452485169992012558907685308412494335828118094582645746347178871112465268224*v^4 + 1246585502916031885014982139869251904064900264458270222660241775856807430166959645549609229507*v^3 + 154449229037376967257061710903346926710484427426162631363420168083533359793521636665791037615980*v^2 + 7657800251870550865062812830647288836122942364164996319350321184686371158091664850293495932760320*v + 411923504710956063410620062256803312261889092947180203172055083456439928181893562474708604968517504) / 202581299566860710031325760703864727612817552396602732875197150791241988879473099258022886005024 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 42\!\cdots\!13 \nu^{11} + \cdots + 17\!\cdots\!08 ) / 20\!\cdots\!24$$ (-423773983893678321175574163130160551926368029944141322739218853905648533813*v^11 + 53827391694117211671559464936966690211445020513213166816505013092613446676703*v^10 - 65129077669734689730437380836119704600583724565380727911127485317502233009455728*v^9 - 11937905177499989986491657900306614257124918355554808558940935903504096847200610148*v^8 - 7015184129290177192508406238465203770957291052093312771578423097282110098907553221705*v^7 - 508420715195224393329948775019649206122822488467508351049968798919447553445386890332973*v^6 - 109204449332833848097942544950838111140738781380118235734730010745887252663790591350463456*v^5 - 520185875929843471116928489894510423204850749898208057994251889826701939616103156546960220*v^4 - 1048962102475575183220070054880625739164659911213738527919140831778627518275479334482755194909*v^3 - 2355234523153873671329572039508850897377877325493851056013990035346615996307983744590974824113*v^2 - 1544399445286753084095469237830042204292069062751013416649797913673727595250144698780270757582276*v + 172115896442029823405535064619486973240583452212735217543637533524125331339221345769874322887399408) / 202581299566860710031325760703864727612817552396602732875197150791241988879473099258022886005024 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 49\!\cdots\!23 \nu^{11} + \cdots - 86\!\cdots\!88 ) / 20\!\cdots\!24$$ (493959741323944197164779503663639076779143578347519305314122050656757005823*v^11 - 91225464388588094714859516133454710317330668211589732744377395503596124054962*v^10 + 76197399324212648143895105952350689107647249339249232070628675078304090454317076*v^9 + 9647091121689937130412735090820175479003464153936376484666439624041476527779428168*v^8 + 6885370586003689096041574005661152076352819963088786679109146549914973371768971563787*v^7 - 16255026035190687703807463588912865592591506088675937180559601444551116307220965197522*v^6 + 26558026311975602226675890520168734340008069399113127335757918280212866015102936660043228*v^5 - 16114948378323127141867027765251356412088198820174838630378693423475168912428797872586967576*v^4 - 166850498175492169630297542400088578967755283070874381400456119686142078114127023607460568953*v^3 - 128320983369734063587150294789559342245745036074937430633662103089202725060322843031884557832474*v^2 - 5349817391834694948052777505846265463565323242840413098280787573145479950580725033075275194164568*v - 863127156961240408765532590121432217464138342165047791458973788475367559759643767040216313875607488) / 202581299566860710031325760703864727612817552396602732875197150791241988879473099258022886005024 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 92\!\cdots\!02 \nu^{11} + \cdots + 10\!\cdots\!68 ) / 20\!\cdots\!24$$ (924937518487083786611981392882514976597881743464980028028983799788059163102*v^11 + 28893085230137255966742648900452315319638311271102651533484690302165393845605*v^10 + 130679402530972501535417150761329498144238417132035221895280928370221445724534572*v^9 + 47628767462994867040434746758955848613736853482092722871430293933471587606927046116*v^8 + 20518415596451763887883099547229840910494136743616825136668020049232000401397466683654*v^7 + 3730789118658061048643062584036709931161945944446672146294760212392357625677872105351849*v^6 + 529941989946274736156382306256377189967392306432306202765161327919465567518880287155639236*v^5 + 46507837281091604949777482600371192888016516986889417737184731099018804027828727618193107804*v^4 + 4073999341514976402954106226721371790635003201993747363860749448019174600975583082741358582142*v^3 + 364656567553258646846812279882197096533449486844946182473211832744839322573335434228819435349469*v^2 + 25754113909246494880060378363338320133814076558078118852394437224791485741479508649256517385326492*v + 1060113925899767482608124665157228223402825896922871983709375279799737592905780533257668497250870768) / 202581299566860710031325760703864727612817552396602732875197150791241988879473099258022886005024 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!68 \nu^{11} + \cdots + 78\!\cdots\!92 ) / 28\!\cdots\!32$$ (159492490306306741160298978130353677629034729745632861834899512390582416768*v^11 + 16290691097802439459575159526876629751678646033403148805693633886468955454081*v^10 + 16085754755132230200631180963718346375592698236839150714865966045611840577496388*v^9 + 10663653604511940273628140257549626400412251528525695340088781694135207290879072868*v^8 + 3119320379396295967534312693027676167820469196777310829401438181905007730570382712912*v^7 + 693606367578998551961953322402379856953965428815709308929863216580518262742005143506069*v^6 + 30855230268332391030042242426847841151609518206114286626579077667186341708845808671609164*v^5 + 7101717096095109185641514913212565963913043302725067613881604475910721530794120351165165692*v^4 + 146502616629378613610654818542429120630030363980753331994984114821510959318715116744968399632*v^3 + 120521125816838419090346510285460677746964777657410635573057996473744418186613592739359759129193*v^2 - 235474498556893605919313244978966514863650315029265198283872725800456983090525679589599918798132*v + 78294929490298147468822621131113845111443458018068162519160234570393682670325950719081705447373392) / 28940185652408672861617965814837818230402507485228961839313878684463141268496157036860412286432 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 18\!\cdots\!39 \nu^{11} + \cdots - 44\!\cdots\!40 ) / 20\!\cdots\!24$$ (-1862214819557568639333532299636674954800239559349467053201692955819915038639*v^11 + 544289057636614493368960483532304718511591460021332815995158746793670748813996*v^10 - 317651366312917377968256938739052412883499741416701909037488581603378547571209812*v^9 - 6778505115726217776476054172747907194843565203461233061860476222353423533163238176*v^8 - 20677167041551019875959642399875616729791225696189120853431360414187617315773822783419*v^7 + 2936894718327223911534662450071092590773891452701813236752262124151080612735467492763364*v^6 + 30116981512674312772455903132223539396286733905209871213304026882200433410705588782339412*v^5 + 80799886770286981800926453332622789084757070342036502942650653996735832011412978642945361920*v^4 - 166731088829828412609414042224128413820252963888813246904702020758399740389269214582694453943*v^3 + 620868663294320463382950833310789122351489810465207270761103493821349990221923126885192743495540*v^2 + 14049180443496740996001379031087158892275303510970446426138403828131588958489461931111019921478440*v - 442174607774673020562048851041626822367193255847314647278790990543822090220491661694207882250719840) / 202581299566860710031325760703864727612817552396602732875197150791241988879473099258022886005024 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 13\!\cdots\!45 \nu^{11} + \cdots - 20\!\cdots\!48 ) / 50\!\cdots\!56$$ (-1341113702107459824168593321977912915601652754385272736801875412036297434745*v^11 - 88397130576522296116774234349144950034085018182218508142314505900460089492870*v^10 - 185817999614502014244231312679628153794792854968397734659656101817493008595218826*v^9 - 76058981097056982668576379116711382476007184265457884190555994754174954389663869112*v^8 - 31385203521418648994368256731089522718054360787405182882687725614766235316964515590613*v^7 - 6262694897228737948449642162026391169098010278975632329427908760761317940849962285969298*v^6 - 864493944764451001780434115118575539433642404633176373081847312180516546029663275751832922*v^5 - 84243584149450889350610794717977852493037840776210537838509418525299375913597465238457508484*v^4 - 6528071181922428289545339408182050114740969544363869628651818473955924655247972766023999966553*v^3 - 653594546925324966250284386242952972316661799648579162946963161863246141555057068703845521556810*v^2 - 33816799684346288436385096353439495680161912740844125132694506000815982316142623507095431038233542*v - 2049453249658981703770001881030355712864710728567380766195256948841882399074619382174742787706157448) / 50645324891715177507831440175966181903204388099150683218799287697810497219868274814505721501256 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!29 \nu^{11} + \cdots - 79\!\cdots\!00 ) / 50\!\cdots\!56$$ (1417932398050452440623395746006439481859802626530440901654653908795429507229*v^11 - 189270669803446922606994285676213206791395031012188801933066621444558681800295*v^10 + 218206002398612994739403294160765261580759974986225648962849372993919704047445476*v^9 + 38397775609502660595455314814366577440875430612161962238760879239903962756247468984*v^8 + 23110141344241512847862219661476246437241105137230089782725380333109402883215575672305*v^7 + 1488574376400514915074845057458252149781840671248272700348082694433762492588836021154213*v^6 + 333293683527890402242833128605638348476423512931162951662256669180885658616137843149259460*v^5 - 5768377965015894374324652080873383537020614308279005156537650421037086093638154983217865876*v^4 + 3175721475561361014786152835103766576989599718264844581116673763585291042463896846082113049285*v^3 - 40578634532592725581421770212635531909439915243177453571160841689291544308062084603600569302019*v^2 + 11821676937339997656800005148322383595184710737102902106794031153389904137867301393456031982625400*v - 797169902200957311010793177900735380287422414704936344255019305848446378964671498431288654461646600) / 50645324891715177507831440175966181903204388099150683218799287697810497219868274814505721501256 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 17\!\cdots\!71 \nu^{11} + \cdots + 25\!\cdots\!72 ) / 20\!\cdots\!24$$ (17138598924531410393538870307592526661060724666803072276908575817573484689271*v^11 + 840609774638039879008532566104629383182317615920481102561415499909767186169172*v^10 + 2435998346607201503303245986042295153453128000775580057450857169938964617727130356*v^9 + 925542248273995311365415142912452803275726964965899395776238827605664455818091862656*v^8 + 396040273914498887778427970899153393673102164313111800835867033149099742651047745696867*v^7 + 76275635896646955439426224564197052412435471273353682736003720860657350592299188573405404*v^6 + 11047395998884101335459993039055894508114827671705534292855490535226453652482426942784758092*v^5 + 1044738275777206361571719370061996548845888333131615073088903373613871661437394744175517989888*v^4 + 85956754433376816278953809615804134390582122576142517802785401236192766780522579471005041537279*v^3 + 8290211160161338867668912539976741785406267855741243850886371197020328673906694476750555579371564*v^2 + 495258734251351453924481246422552489421861711581733776810248548240405675271888222078040264993547736*v + 25696091741392824311465178309276829214655973975554323747604221551061078586354273414335996098966073472) / 202581299566860710031325760703864727612817552396602732875197150791241988879473099258022886005024 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 25\!\cdots\!43 \nu^{11} + \cdots - 99\!\cdots\!36 ) / 20\!\cdots\!24$$ (25179361509219095935814863143772440541788397515713703275592636935277270308243*v^11 - 2474372654746734807663393049494082769370341367438737879593157216424825469504956*v^10 + 3778111483759750731091997374378483136107978786947010460673480169663033560074524588*v^9 + 810132579691248378264729441781938101872052367861611963368758026046878812647218774848*v^8 + 438864157714537569765540170421431339496482433643500229095100896959497758737273133645647*v^7 + 40622318723048282448897976860313291004762667658826932893949316940188230410946501474421452*v^6 + 7103011803440262819834037577658625163495828650087356733956151100528872313442105079701976004*v^5 + 64064018727324332325313596526894667851433177234290048423631163618868625760252390486806088384*v^4 + 56565488392177933869617880012232962289099534270661205265060513976515782549178170561073610114523*v^3 + 625631730861294797380358825873702597215347894930851960386795197752091414636669362345301224261724*v^2 + 205099125470266159064900952015015994016734052668637792407352954221163539295257388837148958509343776*v - 9969329996048932559096808880228816585195559391791087445277356195140635575744319086812296348023411936) / 202581299566860710031325760703864727612817552396602732875197150791241988879473099258022886005024
 $$\nu$$ $$=$$ $$( -\beta_{9} + 2\beta_{8} + 11\beta_{5} - 2\beta_{4} - 13\beta_{3} + 5\beta_{2} + 89\beta _1 - 4 ) / 168$$ (-b9 + 2*b8 + 11*b5 - 2*b4 - 13*b3 + 5*b2 + 89*b1 - 4) / 168 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( - 49 \beta_{11} - 98 \beta_{10} + 379 \beta_{9} + \beta_{8} - 357 \beta_{6} + 460 \beta_{5} - 3002 \beta_{4} - 3851 \beta_{3} + 6992 \beta_{2} + 8294560 \beta _1 - 8295551 ) / 168$$ (-49*b11 - 98*b10 + 379*b9 + b8 - 357*b6 + 460*b5 - 3002*b4 - 3851*b3 + 6992*b2 + 8294560*b1 - 8295551) / 168 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 35084 \beta_{11} - 35084 \beta_{10} + 789666 \beta_{9} - 376181 \beta_{8} - 275352 \beta_{7} - 5422393 \beta_{5} - 4661151 \beta_{4} + 5080849 \beta_{3} + 6316864 \beta_{2} + \cdots - 5863038373 ) / 504$$ (35084*b11 - 35084*b10 + 789666*b9 - 376181*b8 - 275352*b7 - 5422393*b5 - 4661151*b4 + 5080849*b3 + 6316864*b2 - 1577112*b1 - 5863038373) / 504 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 53732714 \beta_{11} + 26866357 \beta_{10} + 42409788 \beta_{9} - 238180922 \beta_{8} - 173747049 \beta_{7} + 173747049 \beta_{6} - 2066402749 \beta_{5} + \cdots + 602856833 ) / 504$$ (53732714*b11 + 26866357*b10 + 42409788*b9 - 238180922*b8 - 173747049*b7 + 173747049*b6 - 2066402749*b5 - 33838617*b4 + 4692219244*b3 - 2102267237*b2 - 3614068160130*b1 + 602856833) / 504 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( 8924207908 \beta_{11} + 17848415816 \beta_{10} - 91153716975 \beta_{9} - 55734876919 \beta_{8} + 65807686308 \beta_{6} + 94177321174 \beta_{5} + \cdots + 13\!\cdots\!03 ) / 504$$ (8924207908*b11 + 17848415816*b10 - 91153716975*b9 - 55734876919*b8 + 65807686308*b6 + 94177321174*b5 + 1002318143439*b4 + 1210261948916*b3 - 2191405794871*b2 - 1370554196910783*b1 + 1370856620314903) / 504 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 4764138914563 \beta_{11} + 4764138914563 \beta_{10} - 56310552509697 \beta_{9} + 33032234588515 \beta_{8} + 31905883209375 \beta_{7} + \cdots + 66\!\cdots\!34 ) / 504$$ (-4764138914563*b11 + 4764138914563*b10 - 56310552509697*b9 + 33032234588515*b8 + 31905883209375*b7 + 422083627352531*b5 + 414091380503085*b4 - 424790094382343*b3 - 523661159309681*b2 + 127139160601290*b1 + 662497632731591534) / 504 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!96 \beta_{11} - 637399972567148 \beta_{10} + \cdots - 18\!\cdots\!84 ) / 168$$ (-1274799945134296*b11 - 637399972567148*b10 - 2616524333882439*b9 + 8096770470173170*b8 + 4510915272315424*b7 - 4510915272315424*b6 + 59380301078836581*b5 - 3967404870918330*b4 - 142373657159854427*b3 + 63760920304128115*b2 + 93756818996606666983*b1 - 18419862770187484) / 168 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 29\!\cdots\!67 \beta_{11} + \cdots - 42\!\cdots\!61 ) / 168$$ (-299961991155128967*b11 - 599923982310257934*b10 + 2761901930293169945*b9 + 1318099722270022371*b8 - 2053490526212980771*b6 - 1548366975424523396*b5 - 28339508650667420450*b4 - 34636588569638199789*b3 + 62731235547575166284*b2 + 42654693205291567086156*b1 - 42663397124831251231461) / 168 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( 38\!\cdots\!56 \beta_{11} + \cdots - 56\!\cdots\!67 ) / 504$$ (386927738491689098956*b11 - 386927738491689098956*b10 + 5106521524739302481418*b9 - 2870639556898517562943*b8 - 2698426008365629430364*b7 - 37616807779741072724195*b5 - 35962269976141724572005*b4 + 37577453901333862646939*b3 + 46328470459955060889212*b2 - 11234728377028026706260*b1 - 56060198450193432047925767) / 504 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( 11\!\cdots\!10 \beta_{11} + \cdots + 16\!\cdots\!09 ) / 168$$ (116599898223201223155010*b11 + 58299949111600611577505*b10 + 207707048764039563694464*b9 - 691597561928202070173914*b8 - 402328591279221355789845*b7 + 402328591279221355789845*b6 - 5215740975238483537968789*b5 + 271146812509037522861491*b4 + 12389252477810540374275648*b3 - 5548582252247487287233637*b2 - 8359417814642448384326770846*b1 + 1601078639144926471555309) / 168 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 76\!\cdots\!72 \beta_{11} + \cdots + 11\!\cdots\!37 ) / 504$$ (76888622884619494428173372*b11 + 153777245769238988856346744*b10 - 720087653429857536714139773*b9 - 359918693937678787472782481*b8 + 533709909997056195659524968*b6 + 460831206198717043031890610*b5 + 7478895624047354471311168581*b4 + 9122968496657117312610538480*b3 - 16522731615401460258748188305*b2 - 11087334140948660911575610655853*b1 + 11089623656734234304489941337537) / 504

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/252\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$29$$ $$73$$ $$127$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$1 - \beta_{1}$$ $$1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
73.1
 −41.5970 + 72.0480i 221.993 − 384.503i −122.377 + 211.963i −28.8366 + 49.9465i −72.3408 + 125.298i 44.6586 − 77.3509i −41.5970 − 72.0480i 221.993 + 384.503i −122.377 − 211.963i −28.8366 − 49.9465i −72.3408 − 125.298i 44.6586 + 77.3509i
0 0 0 −1011.88 + 584.207i 0 −1829.74 + 1554.62i 0 0 0
73.2 0 0 0 −632.551 + 365.204i 0 984.437 2189.91i 0 0 0
73.3 0 0 0 133.903 77.3091i 0 −2234.88 877.558i 0 0 0
73.4 0 0 0 203.366 117.413i 0 1130.34 + 2118.29i 0 0 0
73.5 0 0 0 225.043 129.928i 0 597.275 + 2325.52i 0 0 0
73.6 0 0 0 939.615 542.487i 0 1451.57 1912.52i 0 0 0
145.1 0 0 0 −1011.88 584.207i 0 −1829.74 1554.62i 0 0 0
145.2 0 0 0 −632.551 365.204i 0 984.437 + 2189.91i 0 0 0
145.3 0 0 0 133.903 + 77.3091i 0 −2234.88 + 877.558i 0 0 0
145.4 0 0 0 203.366 + 117.413i 0 1130.34 2118.29i 0 0 0
145.5 0 0 0 225.043 + 129.928i 0 597.275 2325.52i 0 0 0
145.6 0 0 0 939.615 + 542.487i 0 1451.57 + 1912.52i 0 0 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 145.6 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
7.d odd 6 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 252.9.z.d 12
3.b odd 2 1 84.9.m.b 12
7.d odd 6 1 inner 252.9.z.d 12
21.g even 6 1 84.9.m.b 12

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
84.9.m.b 12 3.b odd 2 1
84.9.m.b 12 21.g even 6 1
252.9.z.d 12 1.a even 1 1 trivial
252.9.z.d 12 7.d odd 6 1 inner

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{5}^{12} + 285 T_{5}^{11} - 1570602 T_{5}^{10} - 455337945 T_{5}^{9} + 2118409775334 T_{5}^{8} + 311260236586983 T_{5}^{7} + \cdots + 76\!\cdots\!00$$ acting on $$S_{9}^{\mathrm{new}}(252, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{12}$$
$3$ $$T^{12}$$
$5$ $$T^{12} + 285 T^{11} + \cdots + 76\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{12} - 198 T^{11} + \cdots + 36\!\cdots\!01$$
$11$ $$T^{12} - 17919 T^{11} + \cdots + 16\!\cdots\!00$$
$13$ $$T^{12} + 5107913481 T^{10} + \cdots + 21\!\cdots\!64$$
$17$ $$T^{12} - 205782 T^{11} + \cdots + 10\!\cdots\!00$$
$19$ $$T^{12} - 74313 T^{11} + \cdots + 83\!\cdots\!96$$
$23$ $$T^{12} - 62832 T^{11} + \cdots + 63\!\cdots\!64$$
$29$ $$(T^{6} - 287727 T^{5} + \cdots + 23\!\cdots\!00)^{2}$$
$31$ $$T^{12} - 1442952 T^{11} + \cdots + 15\!\cdots\!81$$
$37$ $$T^{12} + 2058621 T^{11} + \cdots + 40\!\cdots\!84$$
$41$ $$T^{12} + 44050323101928 T^{10} + \cdots + 15\!\cdots\!64$$
$43$ $$(T^{6} - 3860661 T^{5} + \cdots + 51\!\cdots\!00)^{2}$$
$47$ $$T^{12} + 12088194 T^{11} + \cdots + 18\!\cdots\!00$$
$53$ $$T^{12} - 5506743 T^{11} + \cdots + 11\!\cdots\!56$$
$59$ $$T^{12} + 7511901 T^{11} + \cdots + 26\!\cdots\!24$$
$61$ $$T^{12} + 37215576 T^{11} + \cdots + 93\!\cdots\!00$$
$67$ $$T^{12} + 36824553 T^{11} + \cdots + 65\!\cdots\!44$$
$71$ $$(T^{6} - 15005778 T^{5} + \cdots - 52\!\cdots\!20)^{2}$$
$73$ $$T^{12} - 95080185 T^{11} + \cdots + 94\!\cdots\!00$$
$79$ $$T^{12} - 8514456 T^{11} + \cdots + 47\!\cdots\!25$$
$83$ $$T^{12} + \cdots + 78\!\cdots\!04$$
$89$ $$T^{12} + 83038554 T^{11} + \cdots + 11\!\cdots\!96$$
$97$ $$T^{12} + \cdots + 53\!\cdots\!00$$