LMFDB - Newform orbit 2300.3.f.e

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [2300,3,Mod(1701,2300)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(2300, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 0, 1]))

N = Newforms(chi, 3, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("2300.1701");

S:= CuspForms(chi, 3);

N := Newforms(S);

Level:	$ N $	$=$	$ 2300 = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 23 $
Weight:	$ k $	$=$	$ 3 $
Character orbit:	$[\chi]$	$=$	2300.f (of order $2$, degree $1$, minimal)

Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

Self dual:	no
Analytic conductor:	$62.6704608029$
Analytic rank:	$0$
Dimension:	$16$
Coefficient field:	$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	$ x^{16} - 64 x^{14} - 16 x^{13} + 2252 x^{12} + 648 x^{11} - 30106 x^{10} + 12360 x^{9} + \cdots + 1535848276 $ x^16 - 64x^14 - 16x^13 + 2252x^12 + 648x^11 - 30106x^10 + 12360x^9 + 374528x^8 + 196544x^7 + 1261236x^6 - 4237944x^5 + 38013345x^4 - 8913096x^3 + 327235800x^2 + 72566336x + 1535848276
Coefficient ring:	$\Z[a_1, \ldots, a_{17}]$
Coefficient ring index:	$ 2^{8} $
Twist minimal:	no (minimal twist has level 460)
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

$q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $q$-expansion are expressed in terms of a basis $1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $q$-expansion of the trace form.

$f(q)$	$=$	$ q - \beta_{3} q^{3} + \beta_{7} q^{7} + ( - \beta_1 + 4) q^{9}+O(q^{10}) $ q - b3 * q^3 + b7 * q^7 + (-b1 + 4) * q^9	$ q - \beta_{3} q^{3} + \beta_{7} q^{7} + ( - \beta_1 + 4) q^{9} + ( - \beta_{9} + \beta_{4}) q^{11} + ( - \beta_{11} + 1) q^{13} + \beta_{10} q^{17} + ( - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{7}) q^{19} + ( - \beta_{9} - \beta_{7} - \beta_{6}) q^{21} + (\beta_{15} + \beta_{7} - \beta_{5} + \cdots + 1) q^{23}+ \cdots + (8 \beta_{15} + 4 \beta_{10} + \cdots + 19 \beta_{4}) q^{99}+O(q^{100}) $ q - b3 * q^3 + b7 * q^7 + (-b1 + 4) * q^9 + (-b9 + b4) * q^11 + (-b11 + 1) * q^13 + b10 * q^17 + (-b9 + b8 - b7) * q^19 + (-b9 - b7 - b6) * q^21 + (b15 + b7 - b5 + b3 + 1) * q^23 + (b14 - b13 + b11 + b5 - 6b3 + b1 - 3) q^27 + (-b13 + b11 + 2b5 + 4b3 + 5) * q^29 + (b13 + b12 - b11 - b5 - 2b3 + 1) q^31 + (-b15 - b10 + b9 - b8 + 3b7 - b6 - 3b4 - b2) * q^33 + (b15 + b10 - 2b9 - 2b7 + b4 - b2) * q^37 + (b14 + 2b13 + b12 - b11 + b5 - 2b3 + 2) * q^39 + (b14 + b13 + b12 + b5 + 2b3 - b1 + 12) q^41 + (2b15 + 2b10 + b9 - b8 - b6 + 2b4 - b2) q^43 + (-b14 + b13 - 2b12 - b5 + b3 - b1 + 20) q^47 + (-b14 - b13 - 2b11) q^49 + (-2b15 - 2b10 + 4b9 + b7 - b6 - 6b4 + 2b2) q^51 + (b15 + b10 + 3b9 + b8 - b6 - 4b4) * q^53 + (-2b15 - b10 + 6b9 + 5b7 - 4b4 + 2b2) q^57 + (b13 + b12 + b11 + b5 - 6b3 + b1 - 6) q^59 + (-2b15 + 2b10 + 3b9 - 2b6 - 3b4 - b2) q^61 + (b15 + 2b9 - 2b8 + 3b7 - 2b6 - 4b4 + b2) q^63 + (3b15 - b10 - 4b9 - 2b7 + 2b6 + 3b4 - 3b2) * q^67 + (-b12 + 2b11 + 2b9 - b8 + 2b7 - 3b6 + b5 - 5b4 - 2b3 - b2 + b1 - 15) * q^69 + (-b14 - 3b13 + b12 + b5 + 12b3 + b1 - 16) * q^71 + (-b14 - 5b13 + 3b5 - b3 - b1 + 16) * q^73 + (-2b13 + b11 + 2b5 + 9b3 - 21) q^77 + (-4b10 - 3b9 - b8 + 6b7 + b6 - b4 + 2b2) * q^79 + (-3b14 - 2b12 - 3b11 - 4b5 + 14b3 - 5b1 + 44) * q^81 + (b15 - b10 + b9 - 3b8 + 6b7 - b6 - 4b4 - b2) q^83 + (-b14 - 3b13 - b5 - 5b3 + 3b1 - 46) q^87 + (4b15 + 5b9 + b8 + b6 - 5b4 + 4b2) * q^89 + (2b15 - 5b9 - 8b7 - 5b2) * q^91 + (b14 + 5b13 + 2b12 - 3b11 + 3b5 - 2b3 + b1 + 25) q^93 + (-b15 - 4b10 + 2b9 + 2b6 + 4b4 + b2) * q^97 + (8b15 + 4b10 - 10b9 - 5b7 + b6 + 19b4) q^99
$\operatorname{Tr}(f)(q)$	$=$	$ 16 q + 64 q^{9}+O(q^{10}) $ 16 * q + 64 * q^9	$ 16 q + 64 q^{9} + 12 q^{13} + 14 q^{23} - 48 q^{27} + 90 q^{29} + 10 q^{31} + 20 q^{39} + 186 q^{41} + 320 q^{47} + 2 q^{49} - 90 q^{59} - 232 q^{69} - 238 q^{71} + 280 q^{73} - 324 q^{77} + 704 q^{81} - 724 q^{87} + 380 q^{93}+O(q^{100}) $ 16 * q + 64 * q^9 + 12 * q^13 + 14 * q^23 - 48 * q^27 + 90 * q^29 + 10 * q^31 + 20 * q^39 + 186 * q^41 + 320 * q^47 + 2 * q^49 - 90 * q^59 - 232 * q^69 - 238 * q^71 + 280 * q^73 - 324 * q^77 + 704 * q^81 - 724 * q^87 + 380 * q^93

Display 100 coefficients 10 coefficients

Basis of coefficient ring in terms of a root $\nu$ of $ x^{16} - 64 x^{14} - 16 x^{13} + 2252 x^{12} + 648 x^{11} - 30106 x^{10} + 12360 x^{9} + \cdots + 1535848276 $ x^16 - 64*x^14 - 16*x^13 + 2252*x^12 + 648*x^11 - 30106*x^10 + 12360*x^9 + 374528*x^8 + 196544*x^7 + 1261236*x^6 - 4237944*x^5 + 38013345*x^4 - 8913096*x^3 + 327235800*x^2 + 72566336*x + 1535848276 :

$\beta_{1}$	$=$	$ ( - 23\!\cdots\!29 \nu^{15} + \cdots + 60\!\cdots\!12 ) / 48\!\cdots\!45 $ (-2344458730553760658365198875129v^15 + 426371397773231433057547798695534v^14 + 124798301485582862846759738436060v^13 - 23998971637928865814719974604300176v^12 - 11128263776716194827494628866698272v^11 + 793720182192496947195882674665930584v^10 + 263405859799302283600659946336572308v^9 - 7470426342981993595900972083521499449v^8 + 5742665374705697191778268320446409986v^7 + 125999654872308859268456088333209460380v^6 + 125045918219070475227690935304058401644v^5 + 1689031876665514210452870157046160516866v^4 - 839560893081460599408641083104218024091v^3 + 7642850382666498254188960586186530237042v^2 - 6154695825918687591901233935840754646334*v + 607521630718237067574945266666527047376512) / 48621465049642205470342710125269931891245
$\beta_{2}$	$=$	$ ( - 23\!\cdots\!29 \nu^{15} + \cdots + 21\!\cdots\!52 ) / 48\!\cdots\!45 $ (-2344458730553760658365198875129v^15 + 426371397773231433057547798695534v^14 + 124798301485582862846759738436060v^13 - 23998971637928865814719974604300176v^12 - 11128263776716194827494628866698272v^11 + 793720182192496947195882674665930584v^10 + 263405859799302283600659946336572308v^9 - 7470426342981993595900972083521499449v^8 + 5742665374705697191778268320446409986v^7 + 125999654872308859268456088333209460380v^6 + 125045918219070475227690935304058401644v^5 + 1689031876665514210452870157046160516866v^4 - 839560893081460599408641083104218024091v^3 + 56264315432308703724531670711456462128287v^2 - 6154695825918687591901233935840754646334*v + 218549910321099423812203585664367592246552) / 48621465049642205470342710125269931891245
$\beta_{3}$	$=$	$ ( - 34\!\cdots\!21 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!88 ) / 19\!\cdots\!80 $ (-348556227015386031388459253755521v^15 + 4688917461107521316730397750258v^14 + 21454855733438243142746296642962276v^13 + 5327303029275010776521828583216216v^12 - 736950679962791611057370290248832940v^11 - 203607907552537758684732338700181064v^10 + 8906193406140217966589188944231854058v^9 - 4834966685508775915162676269091384176v^8 - 115603213905654512372054923223504770190v^7 - 79991965831923426536769872211017939396v^6 - 691610971280595135221166972036017204716v^5 + 1227069934504352188951150693089570885536v^4 - 16627851862765217940256070945543486461477v^3 + 4785836898948850373641632787019755251198v^2 - 32102846458410045857920075591924115543394*v - 12984056632653404739639012858650889448388) / 194485860198568821881370840501079727564980
$\beta_{4}$	$=$	$ ( 34\!\cdots\!21 \nu^{15} + \cdots + 12\!\cdots\!88 ) / 97\!\cdots\!90 $ (348556227015386031388459253755521v^15 - 4688917461107521316730397750258v^14 - 21454855733438243142746296642962276v^13 - 5327303029275010776521828583216216v^12 + 736950679962791611057370290248832940v^11 + 203607907552537758684732338700181064v^10 - 8906193406140217966589188944231854058v^9 + 4834966685508775915162676269091384176v^8 + 115603213905654512372054923223504770190v^7 + 79991965831923426536769872211017939396v^6 + 691610971280595135221166972036017204716v^5 - 1227069934504352188951150693089570885536v^4 + 16627851862765217940256070945543486461477v^3 - 4785836898948850373641632787019755251198v^2 + 226588706656978867739290916093003843108374*v + 12984056632653404739639012858650889448388) / 97242930099284410940685420250539863782490
$\beta_{5}$	$=$	$ ( - 14\!\cdots\!29 \nu^{15} + \cdots - 33\!\cdots\!12 ) / 34\!\cdots\!80 $ (-14873625287857737507546878637759981129v^15 - 59875892009270665578367480936152948516v^14 + 1578668605107997104483070004116495890393v^13 + 3129570480138493903714637108459895495288v^12 - 79830195619387959874072844646981100438761v^11 - 103981209681817299172178432850168215037924v^10 + 2271773883358022744139144860425023693964475v^9 + 763501295549600314057423631626870941788088v^8 - 40258388812882225695714078322095582579332079v^7 - 15385495481346150421900418350312745597560652v^6 + 333610605633473871133857759756776255041266183v^5 - 165059292097190696944821458158309327608298400v^4 - 1260756798816914800687933972137332752303777576v^3 - 5389879220774176082862905692377179791156298648v^2 + 2774398515423796812294992044744835393766683540*v - 33321932756082469769134273882126672849934852312) / 3498022681531458830358335937252419979983730280
$\beta_{6}$	$=$	$ ( - 18\!\cdots\!44 \nu^{15} + \cdots + 93\!\cdots\!56 ) / 34\!\cdots\!80 $ (-18623579697759710846126877899871295344v^15 - 21703595772142062442974688500750192133v^14 + 812160790727809451057610610618880211010v^13 + 1356602852337489828761185818610995756645v^12 - 20635178274161696878574586124407724791014v^11 - 10673954689623446975616530447518786177325v^10 - 114830561216868739825144452559661705266754v^9 - 1454006272929706602100749057639086156630525v^8 - 2828517638829156791402015579916465413706118v^7 + 10363976596706037227624892395301489864359197v^6 - 67439418594425364208925079365758591943403066v^5 - 65543499696976959656843137152787199723023109v^4 - 1728672737523961711969732568805760617339585126v^3 + 2340662899467883389486370633266088168340281164v^2 - 16670152549392529884512843779037031269128908108*v + 9362194261564735234139963060933071305821107556) / 3498022681531458830358335937252419979983730280
$\beta_{7}$	$=$	$ ( 20\!\cdots\!08 \nu^{15} + \cdots - 72\!\cdots\!04 ) / 34\!\cdots\!80 $ (20496482832318386899006649038309944308v^15 - 98220204983784824148051811845056252941v^14 - 1512823321067985512147547465970029376794v^13 + 5988912646376454462320675874682075307517v^12 + 60453343486315864876792448612162000883650v^11 - 208214241323481139310767569022701646028957v^10 - 1072421952866790932504898493352040016124934v^9 + 3278820798271030460806331339504308862403763v^8 + 9395357617338813224121133229632492459724414v^7 - 42334688672714591485416487311795531265279531v^6 + 10282858365780076546528384359988344277159022v^5 - 68778341886499851823870760014372644838356213v^4 + 519502674594829989204165662626509309810127074v^3 - 3620413496575926876284136291058769327076731804v^2 + 4612061463503374318525465103319297410916446980*v - 7206196797619387903277844576884594109772987804) / 3498022681531458830358335937252419979983730280
$\beta_{8}$	$=$	$ ( 31\!\cdots\!80 \nu^{15} + \cdots - 54\!\cdots\!00 ) / 34\!\cdots\!80 $ (31065807073552644421400874429804352080v^15 - 320044333060826974315908002034717735125v^14 - 1821065852717832046267921663368096090114v^13 + 21129699040660965414011915358493270530701v^12 + 63388359549609764857775106008285632205766v^11 - 776662142408333167470083815042733517739421v^10 - 789046040980224106163968736062287895645130v^9 + 12948885694730053822272569560365487094456475v^8 + 4591360755126054185429851609609581600380246v^7 - 159742481747760152529020885445828514042006619v^6 - 2068940909934942765549587450663100625322430v^5 + 280013405125362817085046680694345568721997547v^4 + 2673405719223729748876672680274854956606138930v^3 - 17011273209274464928037026100080104102352331596v^2 + 14617725523100157914135764007065029488206199540*v - 54269084266702185171699350838224308992966003100) / 3498022681531458830358335937252419979983730280
$\beta_{9}$	$=$	$ ( - 16\!\cdots\!59 \nu^{15} + \cdots - 32\!\cdots\!44 ) / 17\!\cdots\!40 $ (-16092578858448359565351314886286345459v^15 + 29638055502307350016407683124579268408v^14 + 1133444564448159079842249107359902393496v^13 - 2096783648542250454453858324188919137148v^12 - 42995758770138393040286032802922331497546v^11 + 88908115271609700292105363466996038068436v^10 + 702650721361360370409361425894076454863306v^9 - 2285028901680760699487908300802477865763048v^8 - 7282345448790377348358182308520876013814194v^7 + 28738097623577774406907085930894276503777536v^6 - 21138943281013168279313290597543097709368726v^5 - 47463131646082762255631452874021063938021004v^4 - 205047182097787728424235633678760415864241831v^3 + 384224663557972965663646945812910481218206640v^2 + 208582155813583872343240800370908619057164878*v - 3236317767046122877224061662350077884657767444) / 1749011340765729415179167968626209989991865140
$\beta_{10}$	$=$	$ ( 60\!\cdots\!78 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!60 ) / 34\!\cdots\!80 $ (60433550348817673655338625933469550578v^15 + 66919948680557354329390350099430438955v^14 - 4215640717232394439085439680452700680638v^13 - 6675855794263822304948014849592861658407v^12 + 154792831344144635686359275103568495291762v^11 + 295236104926185530911189021621609559542987v^10 - 2366875720117445643433314067995770126844546v^9 - 5069715270369815287927050785595997699551789v^8 + 26337084452615670828312277529222431535883022v^7 + 84403719652033860892917819625179495907679409v^6 + 63528709106787642252126012552421177514899254v^5 - 760572370939698649291878528146348191717579389v^4 - 169461786677824745647714706329250237896811568v^3 + 1961056397268872508158954579455344803121732164v^2 + 16558926356094663604522583320055944868278096696*v + 11989011841523677598743038135515378263694110860) / 3498022681531458830358335937252419979983730280
$\beta_{11}$	$=$	$ ( 32\!\cdots\!82 \nu^{15} + \cdots - 87\!\cdots\!64 ) / 17\!\cdots\!40 $ (32664695460352774924416430064568306382v^15 - 27735338300363055212936934955904115358v^14 - 2328034774632157078645601634855487876893v^13 + 1302829806624137426229866470206745802724v^12 + 88424855923848064627581037559801904389067v^11 - 39767965282198231435434881144089508615400v^10 - 1492083501568685133581606729906455241673129v^9 + 1071469892546886713686741289788143208100672v^8 + 18515382808415897538850461634756526845467513v^7 - 4800025967099206602218207517802888777205604v^6 - 71521893462102468191773788748995620812386309v^5 - 300056948486454816118932594265209136364679492v^4 + 1599515454994635741395066499723998621897229449v^3 - 173797405932638508650507686115246246862525502v^2 + 1877502693205296855081104346914646769843771934*v - 8747438536773443620629005459658539069273708464) / 1749011340765729415179167968626209989991865140
$\beta_{12}$	$=$	$ ( 66\!\cdots\!45 \nu^{15} + \cdots - 10\!\cdots\!68 ) / 34\!\cdots\!80 $ (66852457936259456820656575676891435245v^15 - 543903820053980623710253461590487233124v^14 - 3962435054120902583253401723268048829705v^13 + 34400858554801427884000802738138176962480v^12 + 141609735217162919611757657076049492577353v^11 - 1192367018845217791227775543702815763502764v^10 - 1839328490887392639420117745325652674036507v^9 + 16506564547011582325593878643933850358836208v^8 + 13126471300408722197158497040606269299135079v^7 - 116777297551392124118794088385239698629627284v^6 + 92287020379699136932330159235548965074871113v^5 - 1885380470894781272101193533179246741467665680v^4 + 6025010163083433576398594247473149226974124804v^3 - 6975078081151260733606285453462107744931285584v^2 + 21606672451081284510854297097452111761662235204*v - 100511890790689077814140273245988123014649774968) / 3498022681531458830358335937252419979983730280
$\beta_{13}$	$=$	$ ( 67\!\cdots\!87 \nu^{15} + \cdots + 20\!\cdots\!12 ) / 34\!\cdots\!80 $ (67907950401446781070228953210922210987v^15 + 140400730048296564052910793421545032824v^14 - 4750629773137406554110220899926378795237v^13 - 11143315946305414198055329932972773512168v^12 + 175322609870700835938969674481436103038085v^11 + 414282875247128390821230944868452476718876v^10 - 2807435341824514130245929251514346762421959v^9 - 4464094173136469955880205298352078663690648v^8 + 38365298475438678256097603173055395977740991v^7 + 41073526826868831028449742591788048248720404v^6 - 117519051344498486245476350438495196867048035v^5 + 30389093721023665839277441645482847663241856v^4 + 1818461950304414011674109550005232976446932522v^3 + 1583820223324501317610023133884427666367342060v^2 - 2947375316614352195331737937743246219529528080*v + 20166804388869975517637671322868867385862937312) / 3498022681531458830358335937252419979983730280
$\beta_{14}$	$=$	$ ( - 59\!\cdots\!01 \nu^{15} + \cdots + 15\!\cdots\!28 ) / 17\!\cdots\!40 $ (-59085843202128644920222645085956056601v^15 + 112396792299385458942294320570814840838v^14 + 3457297803215612100793112967004365011810v^13 - 6502213031804120741800770628993178021140v^12 - 109733146672630318831051266460615105754832v^11 + 227652348900174123185643434695132483391516v^10 + 864186478994948806173909089548508652705140v^9 - 4320244863891302846448897763322908780729000v^8 - 2735533053593910581183548736509876150376152v^7 + 14542189738455301303489846778369435624404464v^6 - 248310480954007118672138739838723737545695200v^5 + 616547193500403885268993754161899228785192672v^4 - 3080428214092248197131375276934559387648427183v^3 + 4343151425088180003087618667946453854146501466v^2 - 9832679772801019689437423257905427270336181446*v + 15693158359514146463859159638972136856954720428) / 1749011340765729415179167968626209989991865140
$\beta_{15}$	$=$	$ ( - 64\!\cdots\!69 \nu^{15} + \cdots - 12\!\cdots\!48 ) / 17\!\cdots\!40 $ (-64555334767674034667616035374556873469v^15 + 29033610046914055842350638926291197366v^14 + 4340248347018900242953937298869464092902v^13 - 1503989506522821043405433430231177328428v^12 - 157264785750910511316727931239166836267396v^11 + 62000191087862247558961624916527104103516v^10 + 2319176014707431247481536130558345209665622v^9 - 3045063144195687364993722724126146927472630v^8 - 25827722491660306523326532234481435786355440v^7 + 22027364150969798855441486645272880937522824v^6 - 89140939919930742102983167967128372828585456v^5 + 130003584466841522502121240268058992008961232v^4 - 1130664029622544985151929268518328545482609489v^3 - 479276965015655393406936420717209125605492680v^2 - 15090004254307209305300881771785194548255297126*v - 12979776399370660479119884515314412935841925148) / 1749011340765729415179167968626209989991865140

Display $\nu^j$ in terms of $\beta_i$

$\nu$	$=$	$ ( \beta_{4} + 2\beta_{3} ) / 2 $ (b4 + 2*b3) / 2
$\nu^{2}$	$=$	$ \beta_{2} - \beta _1 + 8 $ b2 - b1 + 8
$\nu^{3}$	$=$	$ ( 6 \beta_{15} - 2 \beta_{14} + 2 \beta_{13} - 2 \beta_{11} - 12 \beta_{9} - 6 \beta_{7} + 6 \beta_{6} + \cdots + 6 ) / 2 $ (6b15 - 2b14 + 2b13 - 2b11 - 12b9 - 6b7 + 6b6 - 2b5 + 37b4 + 18b3 - 3b2 - 2b1 + 6) / 2
$\nu^{4}$	$=$	$ 12 \beta_{15} - 3 \beta_{14} - 2 \beta_{12} - 3 \beta_{11} + 12 \beta_{10} - 16 \beta_{9} + 8 \beta_{8} + \cdots - 51 $ 12b15 - 3b14 - 2b12 - 3b11 + 12b10 - 16b9 + 8b8 - 4b7 - 4b5 + 12b4 + 14b3 + 28b2 - 2*b1 - 51
$\nu^{5}$	$=$	$ ( 210 \beta_{15} + 24 \beta_{14} - 28 \beta_{13} - 2 \beta_{11} + 100 \beta_{10} - 520 \beta_{9} + \cdots + 242 ) / 2 $ (210b15 + 24b14 - 28b13 - 2b11 + 100b10 - 520b9 + 50b8 - 360b7 + 210b6 + 16b5 + 1125b4 - 806b3 - 85b2 - 20b1 + 242) / 2
$\nu^{6}$	$=$	$ 492 \beta_{15} + 76 \beta_{14} - 2 \beta_{13} + 67 \beta_{12} + 88 \beta_{11} + 438 \beta_{10} + \cdots - 9948 $ 492b15 + 76b14 - 2b13 + 67b12 + 88b11 + 438b10 - 902b9 + 202b8 - 470b7 + 54b6 + 105b5 + 996b4 - 96b3 + 478b2 + 1029*b1 - 9948
$\nu^{7}$	$=$	$ ( 4186 \beta_{15} + 3666 \beta_{14} - 3434 \beta_{13} - 12 \beta_{12} + 5092 \beta_{11} + 3108 \beta_{10} + \cdots - 21656 ) / 2 $ (4186b15 + 3666b14 - 3434b13 - 12b12 + 5092b11 + 3108b10 - 10080b9 + 2072b8 - 8904b7 + 3388b6 + 4010b5 + 17921b4 - 60612b3 + 721b2 + 5498*b1 - 21656) / 2
$\nu^{8}$	$=$	$ 7032 \beta_{15} + 9718 \beta_{14} + 476 \beta_{13} + 5252 \beta_{12} + 8558 \beta_{11} + 3808 \beta_{10} + \cdots - 467398 $ 7032b15 + 9718b14 + 476b13 + 5252b12 + 8558b11 + 3808b10 - 17352b9 + 1272b8 - 11040b7 + 3464b6 + 12708b5 + 30032b4 - 63452b3 - 2632b2 + 55267*b1 - 467398
$\nu^{9}$	$=$	$ ( - 56106 \beta_{15} + 157246 \beta_{14} - 145374 \beta_{13} + 160 \beta_{12} + 261274 \beta_{11} + \cdots - 2411838 ) / 2 $ (-56106b15 + 157246b14 - 145374b13 + 160b12 + 261274b11 - 3648b10 + 151020b9 + 2628b8 + 94494b7 - 79938b6 + 200566b5 - 425261b4 - 2249206b3 + 87285b2 + 392174*b1 - 2411838) / 2
$\nu^{10}$	$=$	$ - 401930 \beta_{15} + 404837 \beta_{14} - 32552 \beta_{13} + 167844 \beta_{12} + 363817 \beta_{11} + \cdots - 13138755 $ -401930b15 + 404837b14 - 32552b13 + 167844b12 + 363817b11 - 385430b10 + 679140b9 - 191720b8 + 294010b7 + 15500b6 + 512402b5 - 558690b4 - 3723658b3 - 615150b2 + 1680140*b1 - 13138755
$\nu^{11}$	$=$	$ ( - 9439474 \beta_{15} + 3743288 \beta_{14} - 2945932 \beta_{13} + 305920 \beta_{12} + 6253626 \beta_{11} + \cdots - 98549498 ) / 2 $ (-9439474b15 + 3743288b14 - 2945932b13 + 305920b12 + 6253626b11 - 5336540b10 + 22584408b9 - 3390530b8 + 17912444b7 - 8639774b6 + 5052168b5 - 46905189b4 - 45779714b3 + 908061b2 + 13342668*b1 - 98549498) / 2
$\nu^{12}$	$=$	$ - 35357024 \beta_{15} + 7306256 \beta_{14} - 3282590 \beta_{13} + 1523959 \beta_{12} + 8191892 \beta_{11} + \cdots - 121656184 $ -35357024b15 + 7306256b14 - 3282590b13 + 1523959b12 + 8191892b11 - 27317252b10 + 69695660b9 - 12986388b8 + 37465716b7 - 8593372b6 + 8891241b5 - 96029256b4 - 93874956b3 - 28361268b2 + 19001651*b1 - 121656184
$\nu^{13}$	$=$	$ ( - 477366266 \beta_{15} - 11607682 \beta_{14} + 39254506 \beta_{13} + 15623876 \beta_{12} + \cdots - 1092486192 ) / 2 $ (-477366266b15 - 11607682b14 + 39254506b13 + 15623876b12 - 34692652b11 - 311333828b10 + 1089127000b9 - 194521652b8 + 845231244b7 - 364261508b6 - 9703090b5 - 2069826045b4 + 452960748b3 - 109893797b2 + 95391550*b1 - 1092486192) / 2
$\nu^{14}$	$=$	$ - 1439013442 \beta_{15} - 228382132 \beta_{14} - 68953924 \beta_{13} - 144852348 \beta_{12} + \cdots + 11047082428 $ -1439013442b15 - 228382132b14 - 68953924b13 - 144852348b12 - 139890736b11 - 1015933716b10 + 2988873050b9 - 496930214b8 + 1770634388b7 - 573467386b6 - 294366192b5 - 4745664360b4 + 1346596748b3 - 779597498b2 - 1299106089*b1 + 11047082428
$\nu^{15}$	$=$	$ ( - 13936942430 \beta_{15} - 6360485774 \beta_{14} + 5952897982 \beta_{13} - 20976128 \beta_{12} + \cdots + 115153404222 ) / 2 $ (-13936942430b15 - 6360485774b14 + 5952897982b13 - 20976128b12 - 10748264330b11 - 9837369160b10 + 30295880620b9 - 5782203040b8 + 21866142490b7 - 8440783570b6 - 8184225734b5 - 52749131295b4 + 90165337526b3 - 6472349725b2 - 17470456118*b1 + 115153404222) / 2

Display $\beta_i$ in terms of $\nu^j$

Character values

We give the values of $\chi$ on generators for $\left(\mathbb{Z}/2300\mathbb{Z}\right)^\times$.

$n$	$277$	$1151$	$1201$
$\chi(n)$	$1$	$1$	$-1$

Embeddings

For each embedding $\iota_m$ of the coefficient field, the values $\iota_m(a_n)$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label

$\iota_m(\nu)$

$ a_{2} $

$ a_{3} $

$ a_{4} $

$ a_{5} $

$ a_{6} $

$ a_{7} $

$ a_{8} $

$ a_{9} $

$ a_{10} $

1701.1

5.89296	+	2.23607i
5.89296	−	2.23607i
3.41677	−	2.23607i
3.41677	+	2.23607i
2.47022	+	2.23607i
2.47022	−	2.23607i
0.613622	+	2.23607i
0.613622	−	2.23607i
−0.886481	−	2.23607i
−0.886481	+	2.23607i
−1.83366	+	2.23607i
−1.83366	−	2.23607i
−4.53300	−	2.23607i
−4.53300	+	2.23607i
−5.14043	+	2.23607i
−5.14043	−	2.23607i

−5.89296

−

1.21480i

25.7269

1701.2

−5.89296

1.21480i

25.7269

1701.3

−3.41677

−

11.7428i

2.67432

1701.4

−3.41677

11.7428i

2.67432

1701.5

−2.47022

−

8.25674i

−2.89803

1701.6

−2.47022

8.25674i

−2.89803

1701.7

−0.613622

−

2.35348i

−8.62347

1701.8

−0.613622

2.35348i

−8.62347

1701.9

0.886481

−

9.10808i

−8.21415

1701.10

0.886481

9.10808i

−8.21415

1701.11

1.83366

−

0.167846i

−5.63770

1701.12

1.83366

0.167846i

−5.63770

1701.13

4.53300

−

5.73038i

11.5481

1701.14

4.53300

5.73038i

11.5481

1701.15

5.14043

−

7.88014i

17.4240

1701.16

5.14043

7.88014i

17.4240

Inner twists

Char	Parity	Ord	Mult	Type
1.a	even	1	1	trivial
23.b	odd	2	1	inner

Twists

By twisting character orbit
Char	Parity	Ord	Mult	Type	Twist	Min	Dim
1.a	even	1	1	trivial	2300.3.f.e		16
5.b	even	2	1		460.3.f.a	✓	16
5.c	odd	4	2		2300.3.d.b		32
15.d	odd	2	1		4140.3.d.a		16
20.d	odd	2	1		1840.3.k.c		16
23.b	odd	2	1	inner	2300.3.f.e		16
115.c	odd	2	1		460.3.f.a	✓	16
115.e	even	4	2		2300.3.d.b		32
345.h	even	2	1		4140.3.d.a		16
460.g	even	2	1		1840.3.k.c		16

By twisted newform orbit
Twist	Min	Dim	Char	Parity	Ord	Mult	Type
460.3.f.a	✓	16	5.b	even	2	1
460.3.f.a	✓	16	115.c	odd	2	1
1840.3.k.c		16	20.d	odd	2	1
1840.3.k.c		16	460.g	even	2	1
2300.3.d.b		32	5.c	odd	4	2
2300.3.d.b		32	115.e	even	4	2
2300.3.f.e		16	1.a	even	1	1	trivial
2300.3.f.e		16	23.b	odd	2	1	inner
4140.3.d.a		16	15.d	odd	2	1
4140.3.d.a		16	345.h	even	2	1

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $ T_{3}^{8} - 52T_{3}^{6} + 8T_{3}^{5} + 724T_{3}^{4} + 12T_{3}^{3} - 2557T_{3}^{2} + 472T_{3} + 1156 $ T3^8 - 52*T3^6 + 8*T3^5 + 724*T3^4 + 12*T3^3 - 2557*T3^2 + 472*T3 + 1156 acting on $S_{3}^{\mathrm{new}}(2300, [\chi])$.

Hecke characteristic polynomials

$p$	$F_p(T)$
$2$	$ T^{16} $ T^16
$3$	$ (T^{8} - 52 T^{6} + \cdots + 1156)^{2} $ (T^8 - 52T^6 + 8T^5 + 724T^4 + 12T^3 - 2557T^2 + 472T + 1156)^2
$5$	$ T^{16} $ T^16
$7$	$ T^{16} + \cdots + 366186496 $ T^16 + 391T^14 + 58685T^12 + 4281913T^10 + 155886747T^8 + 2524614569T^6 + 12272252524T^4 + 13341794000*T^2 + 366186496
$11$	$ T^{16} + \cdots + 538982656 $ T^16 + 842T^14 + 249475T^12 + 32012450T^10 + 1682709097T^8 + 23451968484T^6 + 62650963968T^4 + 20926554176*T^2 + 538982656
$13$	$ (T^{8} - 6 T^{7} + \cdots + 12532480)^{2} $ (T^8 - 6T^7 - 832T^6 - 408T^5 + 209672T^4 + 1210348T^3 - 8146861T^2 - 55269430*T + 12532480)^2
$17$	$ T^{16} + \cdots + 645469713961216 $ T^16 + 2107T^14 + 1669657T^12 + 612883733T^10 + 103619670159T^8 + 7139592083589T^6 + 183863288669160T^4 + 1095995238952528*T^2 + 645469713961216
$19$	$ T^{16} + \cdots + 48\!\cdots\!00 $ T^16 + 3578T^14 + 5083907T^12 + 3650498706T^10 + 1388771053737T^8 + 263607893757396T^6 + 19764941764557056T^4 + 209327202365092160*T^2 + 483658046479878400
$23$	$ T^{16} + \cdots + 61\!\cdots\!61 $ T^16 - 14T^15 + 844T^14 - 30762T^13 + 1021268T^12 - 26716846T^11 + 723658292T^10 - 19203763290T^9 + 461135845846T^8 - 10158790780410T^7 + 202509260091572T^6 - 3955052048886094T^5 + 79976503315956308T^4 - 1274362337954270538T^3 + 18495943020625150924T^2 - 162299708543542497326*T + 6132610415680998648961
$29$	$ (T^{8} - 45 T^{7} + \cdots - 519358880)^{2} $ (T^8 - 45T^7 - 2411T^6 + 110777T^5 + 432474T^4 - 46866036T^3 + 343011096T^2 + 539930480*T - 519358880)^2
$31$	$ (T^{8} - 5 T^{7} + \cdots - 162152849534)^{2} $ (T^8 - 5T^7 - 4394T^6 + 20974T^5 + 5788622T^4 - 53506228T^3 - 2322982667T^2 + 39818067751*T - 162152849534)^2
$37$	$ T^{16} + \cdots + 216591737307136 $ T^16 + 6637T^14 + 15172360T^12 + 14212671024T^10 + 5630424572096T^8 + 848256676333312T^6 + 22822976416410624T^4 + 166004797403668480*T^2 + 216591737307136
$41$	$ (T^{8} - 93 T^{7} + \cdots + 580968030770)^{2} $ (T^8 - 93T^7 - 2586T^6 + 285874T^5 + 4624142T^4 - 240145676T^3 - 3870477691T^2 + 39640831075*T + 580968030770)^2
$43$	$ T^{16} + \cdots + 17\!\cdots\!56 $ T^16 + 16556T^14 + 113608080T^12 + 416545461888T^10 + 875691541868032T^8 + 1049280834589435904T^6 + 665736588537299636224T^4 + 187512243669445206917120*T^2 + 17500642872992512836960256
$47$	$ (T^{8} + \cdots - 66361863793216)^{2} $ (T^8 - 160T^7 - 997T^6 + 1249104T^5 - 41346840T^4 - 2253983984T^3 + 103994227520T^2 + 1164169651008*T - 66361863793216)^2
$53$	$ T^{16} + \cdots + 55\!\cdots\!76 $ T^16 + 18049T^14 + 110793796T^12 + 306592228448T^10 + 408063006271872T^8 + 264266260655688960T^6 + 82687734869125993472T^4 + 11639710619118443544576*T^2 + 557536678927514607026176
$59$	$ (T^{8} + 45 T^{7} + \cdots + 199085136256)^{2} $ (T^8 + 45T^7 - 7890T^6 - 399932T^5 + 9479032T^4 + 516164720T^3 - 1515485024T^2 - 130516990272*T + 199085136256)^2
$61$	$ T^{16} + \cdots + 21\!\cdots\!76 $ T^16 + 31266T^14 + 380794547T^12 + 2321502596466T^10 + 7721448036303089T^8 + 14634885952073347364T^6 + 15780585736230053694464T^4 + 9013127105905250499537472*T^2 + 2116998420181670540513003776
$67$	$ T^{16} + \cdots + 11\!\cdots\!96 $ T^16 + 40765T^14 + 629483568T^12 + 4555411323968T^10 + 15511162691402304T^8 + 22176717437650435072T^6 + 8841931707720357920768T^4 + 1094059605679030384197632*T^2 + 11631828264000598149431296
$71$	$ (T^{8} + \cdots - 318523111508570)^{2} $ (T^8 + 119T^7 - 18498T^6 - 2470446T^5 + 80275002T^4 + 14923409512T^3 + 44577347181T^2 - 24525587575845*T - 318523111508570)^2
$73$	$ (T^{8} + \cdots - 71365498673344)^{2} $ (T^8 - 140T^7 - 19845T^6 + 3676292T^5 - 25382248T^4 - 16845279680T^3 + 664172759456T^2 - 873793190848*T - 71365498673344)^2
$79$	$ T^{16} + \cdots + 17\!\cdots\!16 $ T^16 + 56440T^14 + 1215192880T^12 + 12545839071936T^10 + 63613047675516672T^8 + 145184845980610452480T^6 + 120735767223041818189824T^4 + 2891245740833699008823296*T^2 + 17284863103892511460950016
$83$	$ T^{16} + \cdots + 14\!\cdots\!16 $ T^16 + 51025T^14 + 936578764T^12 + 8309783161072T^10 + 38243523522303296T^8 + 87029274096726457344T^6 + 78252420567480020582400T^4 + 10134163969361249752317952*T^2 + 148938849546164507577942016
$89$	$ T^{16} + \cdots + 43\!\cdots\!16 $ T^16 + 93608T^14 + 3666695728T^12 + 78193127349184T^10 + 986394349960649472T^8 + 7446605990942493092864T^6 + 32050657873919151129665536T^4 + 67707939284833928865502806016*T^2 + 43380278676415403211610676002816
$97$	$ T^{16} + \cdots + 31\!\cdots\!56 $ T^16 + 51438T^14 + 986183835T^12 + 8800917147286T^10 + 36744767797548921T^8 + 61013760166167497248T^6 + 16773546376077854343744T^4 + 1339728836142187950149440*T^2 + 31071213948273865110701056
show more
show less

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Level:	\( N \)	\(=\)	\( 2300 = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 23 \)
Weight:	\( k \)	\(=\)	\( 3 \)
Character orbit:	\([\chi]\)	\(=\)	2300.f (of order \(2\), degree \(1\), minimal)

\(f(q)\)	\(=\)	\( q - \beta_{3} q^{3} + \beta_{7} q^{7} + ( - \beta_1 + 4) q^{9}+O(q^{10}) \) q - b3 * q^3 + b7 * q^7 + (-b1 + 4) * q^9	\( q - \beta_{3} q^{3} + \beta_{7} q^{7} + ( - \beta_1 + 4) q^{9} + ( - \beta_{9} + \beta_{4}) q^{11} + ( - \beta_{11} + 1) q^{13} + \beta_{10} q^{17} + ( - \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{7}) q^{19} + ( - \beta_{9} - \beta_{7} - \beta_{6}) q^{21} + (\beta_{15} + \beta_{7} - \beta_{5} + \cdots + 1) q^{23}+ \cdots + (8 \beta_{15} + 4 \beta_{10} + \cdots + 19 \beta_{4}) q^{99}+O(q^{100}) \) q - b3 * q^3 + b7 * q^7 + (-b1 + 4) * q^9 + (-b9 + b4) * q^11 + (-b11 + 1) * q^13 + b10 * q^17 + (-b9 + b8 - b7) * q^19 + (-b9 - b7 - b6) * q^21 + (b15 + b7 - b5 + b3 + 1) * q^23 + (b14 - b13 + b11 + b5 - 6b3 + b1 - 3) q^27 + (-b13 + b11 + 2b5 + 4b3 + 5) * q^29 + (b13 + b12 - b11 - b5 - 2b3 + 1) q^31 + (-b15 - b10 + b9 - b8 + 3b7 - b6 - 3b4 - b2) * q^33 + (b15 + b10 - 2b9 - 2b7 + b4 - b2) * q^37 + (b14 + 2b13 + b12 - b11 + b5 - 2b3 + 2) * q^39 + (b14 + b13 + b12 + b5 + 2b3 - b1 + 12) q^41 + (2b15 + 2b10 + b9 - b8 - b6 + 2b4 - b2) q^43 + (-b14 + b13 - 2b12 - b5 + b3 - b1 + 20) q^47 + (-b14 - b13 - 2b11) q^49 + (-2b15 - 2b10 + 4b9 + b7 - b6 - 6b4 + 2b2) q^51 + (b15 + b10 + 3b9 + b8 - b6 - 4b4) * q^53 + (-2b15 - b10 + 6b9 + 5b7 - 4b4 + 2b2) q^57 + (b13 + b12 + b11 + b5 - 6b3 + b1 - 6) q^59 + (-2b15 + 2b10 + 3b9 - 2b6 - 3b4 - b2) q^61 + (b15 + 2b9 - 2b8 + 3b7 - 2b6 - 4b4 + b2) q^63 + (3b15 - b10 - 4b9 - 2b7 + 2b6 + 3b4 - 3b2) * q^67 + (-b12 + 2b11 + 2b9 - b8 + 2b7 - 3b6 + b5 - 5b4 - 2b3 - b2 + b1 - 15) * q^69 + (-b14 - 3b13 + b12 + b5 + 12b3 + b1 - 16) * q^71 + (-b14 - 5b13 + 3b5 - b3 - b1 + 16) * q^73 + (-2b13 + b11 + 2b5 + 9b3 - 21) q^77 + (-4b10 - 3b9 - b8 + 6b7 + b6 - b4 + 2b2) * q^79 + (-3b14 - 2b12 - 3b11 - 4b5 + 14b3 - 5b1 + 44) * q^81 + (b15 - b10 + b9 - 3b8 + 6b7 - b6 - 4b4 - b2) q^83 + (-b14 - 3b13 - b5 - 5b3 + 3b1 - 46) q^87 + (4b15 + 5b9 + b8 + b6 - 5b4 + 4b2) * q^89 + (2b15 - 5b9 - 8b7 - 5b2) * q^91 + (b14 + 5b13 + 2b12 - 3b11 + 3b5 - 2b3 + b1 + 25) q^93 + (-b15 - 4b10 + 2b9 + 2b6 + 4b4 + b2) * q^97 + (8b15 + 4b10 - 10b9 - 5b7 + b6 + 19b4) q^99
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\)	\(=\)	\( 16 q + 64 q^{9}+O(q^{10}) \) 16 * q + 64 * q^9	\( 16 q + 64 q^{9} + 12 q^{13} + 14 q^{23} - 48 q^{27} + 90 q^{29} + 10 q^{31} + 20 q^{39} + 186 q^{41} + 320 q^{47} + 2 q^{49} - 90 q^{59} - 232 q^{69} - 238 q^{71} + 280 q^{73} - 324 q^{77} + 704 q^{81} - 724 q^{87} + 380 q^{93}+O(q^{100}) \) 16 * q + 64 * q^9 + 12 * q^13 + 14 * q^23 - 48 * q^27 + 90 * q^29 + 10 * q^31 + 20 * q^39 + 186 * q^41 + 320 * q^47 + 2 * q^49 - 90 * q^59 - 232 * q^69 - 238 * q^71 + 280 * q^73 - 324 * q^77 + 704 * q^81 - 724 * q^87 + 380 * q^93

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more