Properties

 Label 22.5.d.a Level $22$ Weight $5$ Character orbit 22.d Analytic conductor $2.274$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

Learn more

Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$22 = 2 \cdot 11$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$5$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 22.d (of order $$10$$, degree $$4$$, minimal)

Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$2.27413918784$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Relative dimension: $$4$$ over $$\Q(\zeta_{10})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{16} - 4 x^{15} + 138 x^{14} - 428 x^{13} + 7783 x^{12} - 18620 x^{11} + 235604 x^{10} - 425164 x^{9} + 4199998 x^{8} - 5446172 x^{7} + 45313276 x^{6} + \cdots + 1499670491$$ x^16 - 4*x^15 + 138*x^14 - 428*x^13 + 7783*x^12 - 18620*x^11 + 235604*x^10 - 425164*x^9 + 4199998*x^8 - 5446172*x^7 + 45313276*x^6 - 38408204*x^5 + 290282498*x^4 - 132888724*x^3 + 1016893202*x^2 - 153602264*x + 1499670491 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: $$2^{8}\cdot 11^{2}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{10}]$

$q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - \beta_{4} q^{2} + ( - \beta_{13} - \beta_{10} + 3 \beta_{3} + \beta_{2} + 1) q^{3} + ( - 8 \beta_{5} + 8 \beta_{3} + 8 \beta_{2} + 8) q^{4} + ( - \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{13} - 2 \beta_{12} + \beta_{11} - \beta_{10} - \beta_{9} - \beta_{8} + \beta_{7} + \cdots + 4) q^{5}+ \cdots + ( - \beta_{12} - \beta_{11} + 18 \beta_{10} - 8 \beta_{8} + 4 \beta_{6} + 11 \beta_{5} + \cdots - 1) q^{9}+O(q^{10})$$ q - b4 * q^2 + (-b13 - b10 + 3*b3 + b2 + 1) * q^3 + (-8*b5 + 8*b3 + 8*b2 + 8) * q^4 + (-b15 + b14 - b13 - 2*b12 + b11 - b10 - b9 - b8 + b7 - b6 - 5*b5 - b4 + 3*b3 - b2 + b1 + 4) * q^5 + (b14 - b13 - 2*b10 + b9 + 2*b8 - 2*b7 + b6 + 4*b3 + b2 - 2*b1 - 3) * q^6 + (-2*b14 + 2*b13 + b12 - 2*b11 - 7*b10 + 2*b9 + b8 + 4*b7 - 8*b6 + 6*b5 - 6*b4 - 10*b3 + 11*b2 + 7*b1 + 5) * q^7 + 8*b6 * q^8 + (-b12 - b11 + 18*b10 - 8*b8 + 4*b6 + 11*b5 + 11*b4 - 10*b3 - 12*b2 - 16*b1 - 1) * q^9 $$q - \beta_{4} q^{2} + ( - \beta_{13} - \beta_{10} + 3 \beta_{3} + \beta_{2} + 1) q^{3} + ( - 8 \beta_{5} + 8 \beta_{3} + 8 \beta_{2} + 8) q^{4} + ( - \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{13} - 2 \beta_{12} + \beta_{11} - \beta_{10} - \beta_{9} - \beta_{8} + \beta_{7} + \cdots + 4) q^{5}+ \cdots + (37 \beta_{15} + 12 \beta_{14} + 156 \beta_{13} + 95 \beta_{12} - 185 \beta_{11} + \cdots + 2569) q^{99}+O(q^{100})$$ q - b4 * q^2 + (-b13 - b10 + 3*b3 + b2 + 1) * q^3 + (-8*b5 + 8*b3 + 8*b2 + 8) * q^4 + (-b15 + b14 - b13 - 2*b12 + b11 - b10 - b9 - b8 + b7 - b6 - 5*b5 - b4 + 3*b3 - b2 + b1 + 4) * q^5 + (b14 - b13 - 2*b10 + b9 + 2*b8 - 2*b7 + b6 + 4*b3 + b2 - 2*b1 - 3) * q^6 + (-2*b14 + 2*b13 + b12 - 2*b11 - 7*b10 + 2*b9 + b8 + 4*b7 - 8*b6 + 6*b5 - 6*b4 - 10*b3 + 11*b2 + 7*b1 + 5) * q^7 + 8*b6 * q^8 + (-b12 - b11 + 18*b10 - 8*b8 + 4*b6 + 11*b5 + 11*b4 - 10*b3 - 12*b2 - 16*b1 - 1) * q^9 + (b15 + 5*b13 + b12 + 3*b11 - 5*b10 + 3*b9 + 10*b8 - 5*b7 - 4*b6 - 11*b5 - 10*b4 + 21*b3 + 13*b2 + 7*b1 + 12) * q^10 + (b14 - 2*b13 + 2*b12 + 3*b11 + 2*b10 - 8*b9 - 6*b8 + 2*b7 - 4*b6 + 20*b5 + 14*b4 - 34*b3 - 59*b2 + 9*b1 - 27) * q^11 + (-8*b13 - 8*b7 + 8*b6 - 8*b5 + 8*b4 + 8*b2 - 8*b1 - 16) * q^12 + (7*b15 - 7*b14 + 9*b13 + 6*b12 - 6*b11 - 9*b9 + 2*b8 + 3*b7 + 7*b6 + 5*b5 - 6*b4 - 44*b3 - 25*b2 - 2*b1 - 56) * q^13 + (3*b15 + b14 + 9*b13 + 7*b12 - 6*b11 + 21*b10 - 3*b9 - 4*b8 + 4*b7 + 9*b6 + 3*b5 + b4 + 26*b3 - 14*b1 - 3) * q^14 + (-6*b15 + b14 - 5*b13 - 3*b12 + 5*b11 + 24*b10 + 16*b9 + 8*b8 - 11*b7 - 24*b6 + 126*b5 + 18*b4 - 29*b3 - 26*b2 + 24*b1 - 128) * q^15 - 64*b5 * q^16 + (-3*b15 - 4*b14 + 16*b13 + 3*b11 - 25*b10 + b9 - b8 + 12*b7 + 9*b6 + 20*b5 - 8*b4 - 110*b3 - 50*b2 - 7*b1 + 60) * q^17 + (2*b14 + 11*b13 - 7*b12 + 2*b11 + 4*b10 + 7*b9 - 11*b8 + 5*b7 - 16*b6 + 56*b5 - 9*b4 - 62*b3 + 55*b2 + 9*b1 + 51) * q^18 + (3*b15 + 11*b14 - b13 - 11*b12 + b10 + 15*b9 + 8*b8 - 10*b7 + 29*b6 - 113*b5 + 52*b4 + 58*b3 + 5*b2 - 55*b1 + 108) * q^19 + (-8*b15 - 8*b14 - 8*b13 - 16*b10 - 8*b9 + 8*b7 + 8*b6 - 40*b5 + 32*b3 - 8*b2) * q^20 + (7*b15 - 16*b13 + 7*b12 - 14*b11 - 69*b10 - 31*b9 - 15*b8 + 16*b7 + 23*b6 - 69*b5 - 53*b4 + 290*b3 + 207*b2 + 57*b1 + 138) * q^21 + (3*b15 - 4*b14 - 11*b13 - 7*b12 + b11 - 42*b10 - b9 + 12*b8 + 11*b7 - 64*b6 + 167*b5 - 34*b4 - 65*b3 - 159*b2 + 37*b1 - 90) * q^22 + (-18*b15 + 20*b14 - 24*b13 - 2*b12 + 10*b11 + 18*b10 + 24*b9 + 14*b8 - 24*b7 - 58*b6 - 252*b5 - 38*b4 - 10*b3 + 252*b2 + 26*b1 - 8) * q^23 + (-8*b15 + 8*b14 - 16*b13 - 8*b12 + 8*b11 + 16*b10 + 16*b9 - 8*b7 + 8*b6 + 24*b5 + 40*b4 - 40*b3 - 32*b2 - 56) * q^24 + (-3*b15 - 4*b14 - 20*b13 - 10*b12 + 6*b11 + 80*b10 + 3*b9 + 34*b8 - 34*b7 + 47*b6 - 3*b5 - 65*b4 + 393*b3 + 70*b2 - 162*b1 + 73) * q^25 + (-6*b15 + 5*b14 - b13 - 3*b12 + b11 + 28*b10 - 43*b9 - 47*b8 + 44*b7 - 6*b6 - 2*b5 + 51*b4 - 49*b3 - 46*b2 + 28*b1 + 4) * q^26 + (18*b15 - 5*b14 + 5*b13 + 10*b12 + 8*b11 - 97*b10 + 11*b9 + 18*b8 + 28*b7 - 38*b6 - 445*b5 - 166*b4 + 322*b3 + 5*b2 + 149*b1 + 317) * q^27 + (16*b15 - 8*b14 - 24*b13 - 16*b11 - 16*b10 - 32*b9 - 48*b8 + 8*b7 + 48*b6 - 32*b5 + 24*b4 - 32*b3 + 88*b2 - 32*b1 + 120) * q^28 + (-28*b13 - b12 - 27*b10 - 46*b9 - 19*b8 - 46*b7 + 82*b6 + 268*b5 + 36*b4 - 198*b3 + 197*b2 - b1 + 267) * q^29 + (-11*b15 - 4*b14 + 5*b13 + 4*b12 - 5*b10 + 51*b9 + 25*b8 - 15*b7 - 68*b6 + 253*b5 + 91*b4 - 132*b3 - 292*b2 - 80*b1 + 39) * q^30 + (7*b15 + 7*b14 + 51*b13 + 6*b12 + 6*b11 - 84*b10 + 51*b9 + 38*b8 - 7*b7 + 111*b6 + 25*b5 + 10*b4 - 24*b3 - 33*b2 - 46*b1 + 6) * q^31 + 64*b1 * q^32 + (-4*b15 - 19*b14 + 45*b13 + 12*b12 - 12*b11 - 44*b10 + 42*b9 - 2*b8 - b7 - 294*b6 + 255*b5 - 101*b4 - 351*b3 - 314*b2 - 52*b1 - 411) * q^33 + (4*b15 - 18*b14 + 49*b13 + 14*b12 - 9*b11 + 29*b10 - 3*b9 + 6*b8 + 49*b7 - 97*b6 - 192*b5 - 148*b4 + 9*b3 + 192*b2 + 71*b1 - 176) * q^34 + (-20*b15 + 20*b14 + 48*b13 - b12 + b11 + 486*b10 - 48*b9 - 34*b8 + 48*b7 + 466*b6 + 204*b5 + 377*b4 - 697*b3 - 441*b2 + 34*b1 - 881) * q^35 + (-8*b14 + 56*b13 - 8*b12 + 120*b10 - 8*b8 + 8*b7 + 32*b6 - 24*b4 + 88*b3 + 72*b2 - 88*b1 + 72) * q^36 + (46*b15 - 16*b14 - 14*b13 + 23*b12 - 30*b11 + 35*b10 + 18*b9 + 27*b8 - 48*b7 - 248*b6 + 224*b5 + 258*b4 + 268*b3 + 245*b2 - 9*b1 - 217) * q^37 + (-2*b15 + 4*b14 - 4*b13 - 8*b12 + 6*b11 - 7*b10 - 16*b9 - 2*b8 - 84*b7 + 59*b6 + 142*b5 - 98*b4 - 406*b3 - 4*b2 + 59*b1 - 402) * q^38 + (b15 + 14*b14 - 6*b13 - b11 - 373*b10 + 39*b9 + 79*b8 - 50*b7 - 145*b6 + 399*b5 - 30*b4 - 339*b3 - 782*b2 + 105*b1 - 443) * q^39 + (8*b14 + 24*b13 + 24*b12 + 8*b11 - 64*b10 + 40*b9 + 40*b8 + 32*b7 - 64*b6 - 96*b5 - 24*b4 - 8*b3 + 32*b2 + 96*b1 - 64) * q^40 + (-10*b15 - 33*b14 - 17*b13 + 33*b12 + 17*b10 - 206*b9 - 125*b8 + 91*b7 + 118*b6 - 652*b5 + 355*b4 + 321*b3 + 253*b2 - 345*b1 + 399) * q^41 + (30*b15 + 30*b14 - 58*b13 + b12 + b11 - 50*b10 - 58*b9 - 21*b8 - 30*b7 + 314*b6 - 462*b5 + 117*b4 + 491*b3 - 113*b2 - 211*b1 + 1) * q^42 + (-52*b15 + 31*b13 - 52*b12 + 67*b11 - 63*b10 + 164*b9 - 35*b8 - 31*b7 - 83*b6 + 461*b5 - 94*b4 - 487*b3 + 41*b2 + 438*b1 - 210) * q^43 + (-8*b15 + 24*b14 + 32*b13 + 16*b12 + 8*b11 - 96*b10 - 16*b9 + 64*b8 - 32*b7 - 176*b6 + 232*b5 - 104*b4 + 248*b3 - 40*b2 - 8*b1 + 56) * q^44 + (81*b15 - 66*b14 + 68*b13 - 15*b12 - 33*b11 + 194*b10 - 95*b9 - 62*b8 + 68*b7 - 157*b6 - 91*b5 - 498*b4 + 33*b3 + 91*b2 + 72*b1 + 746) * q^45 + (22*b15 - 22*b14 - 100*b13 + 16*b12 - 16*b11 + 252*b10 + 100*b9 + 74*b8 - 126*b7 + 274*b6 - 42*b5 + 272*b4 + 480*b3 + 258*b2 - 74*b1 + 500) * q^46 + (-b15 + 22*b14 - 86*b13 + 20*b12 + 2*b11 + 758*b10 + b9 - 112*b8 + 112*b7 + 421*b6 - b5 + 239*b4 - 770*b3 - 212*b2 - 604*b1 - 211) * q^47 + (64*b9 + 64*b8 - 64*b7 - 64*b6 + 128*b5 - 192*b3 - 192*b2 - 128) * q^48 + (-81*b15 + 7*b14 - 7*b13 - 14*b12 - 67*b11 - 501*b10 - 29*b9 - 81*b8 + 73*b7 - 563*b6 + 438*b5 - 929*b4 + 611*b3 - 7*b2 + 491*b1 + 618) * q^49 + (-55*b15 + 25*b14 - 23*b13 + 55*b11 - 300*b10 + 49*b9 + 43*b8 - 18*b7 + 31*b6 - 835*b5 + 30*b4 + 417*b3 + 1585*b2 - 25*b1 + 1168) * q^50 + (8*b14 - 81*b13 - 3*b12 + 8*b11 - 497*b10 + 67*b9 + 145*b8 + 59*b7 - 310*b6 - 107*b5 - 243*b4 + 643*b3 - 646*b2 + 424*b1 - 102) * q^51 + (56*b15 - 8*b14 + 40*b13 + 8*b12 - 40*b10 - 24*b9 + 56*b8 + 24*b7 - 40*b6 + 440*b5 - 96*b4 - 192*b3 - 400*b2 + 40*b1 - 40) * q^52 + (-31*b15 - 31*b14 - 53*b13 - 20*b12 - 20*b11 - 48*b10 - 53*b9 - 12*b8 + 31*b7 + 689*b6 + 587*b5 + 336*b4 - 598*b3 + 493*b2 - 700*b1 - 20) * q^53 + (2*b15 + 14*b13 + 2*b12 - 54*b11 - 384*b10 - 94*b9 + 68*b8 - 14*b7 - 12*b6 - 1014*b5 - 398*b4 + 1302*b3 + 234*b2 + 389*b1 + 624) * q^54 + (13*b15 + 97*b14 - 225*b13 - 84*b12 - 23*b11 - 551*b10 - 61*b9 - 161*b8 - 127*b7 - 819*b6 - 1287*b5 - 61*b4 + 231*b3 + 753*b2 + 93*b1 + 824) * q^55 + (-8*b15 + 64*b14 + 16*b13 - 56*b12 + 32*b11 + 184*b10 - 32*b9 - 64*b8 + 16*b7 + 136*b6 + 56*b5 + 24*b4 - 32*b3 - 56*b2 - 56*b1 - 208) * q^56 + (-3*b15 + 3*b14 - 77*b13 - 103*b12 + 103*b11 + 636*b10 + 77*b9 - 20*b8 + 37*b7 + 633*b6 - 383*b5 + 841*b4 + 511*b3 + 397*b2 + 20*b1 + 897) * q^57 + (-47*b15 + 29*b14 - 97*b13 - 65*b12 + 94*b11 + 443*b10 + 47*b9 - 54*b8 + 54*b7 + 223*b6 - 47*b5 + 67*b4 - 194*b3 - 612*b2 - 426*b1 - 565) * q^58 + (-100*b15 + 33*b14 + 252*b13 - 50*b12 + 67*b11 + 343*b10 - 108*b9 + 94*b8 + 175*b7 - 553*b6 - 1437*b5 + 157*b4 + 1363*b3 + 1413*b2 + 662*b1 + 1420) * q^59 + (-8*b15 - 16*b14 + 16*b13 + 32*b12 - 40*b11 - 168*b10 + 88*b9 - 8*b8 - 16*b7 - 360*b6 + 1048*b5 - 352*b4 - 824*b3 + 16*b2 + 72*b1 - 840) * q^60 + (-7*b15 + 33*b14 + 15*b13 + 7*b11 - 545*b10 + 17*b9 + 27*b8 - 19*b7 + 325*b6 + 713*b5 - b4 + 659*b3 - 1407*b2 - 335*b1 - 2066) * q^61 + (-63*b14 + 11*b13 + 11*b12 - 63*b11 - 24*b10 - 67*b9 - 67*b8 - 4*b7 - 14*b6 - 956*b5 - 81*b4 - 321*b3 + 332*b2 - 28*b1 - 1008) * q^62 + (13*b15 - 35*b14 - 29*b13 + 35*b12 + 29*b10 + 331*b9 + 143*b8 - 201*b7 - 45*b6 - 559*b5 + 624*b4 + 286*b3 + 1628*b2 - 637*b1 - 1069) * q^63 - 512*b2 * q^64 + (126*b15 - 12*b13 + 126*b12 - 93*b11 - 585*b10 - 120*b9 + 3*b8 + 12*b7 + 138*b6 + 1554*b5 - 573*b4 - 3195*b3 - 1734*b2 + 907*b1 - 1644) * q^65 + (-11*b15 - 30*b14 + 104*b13 + 17*b12 - 46*b11 + 39*b10 + 42*b9 - 150*b8 + 138*b7 - 408*b6 + 1413*b5 + 86*b4 + 558*b3 + 1275*b2 + 181*b1 + 194) * q^66 + (-29*b15 - 86*b14 - 16*b13 + 115*b12 - 43*b11 + 249*b10 + 28*b9 + 71*b8 - 16*b7 + 195*b6 + 2226*b5 - 111*b4 + 43*b3 - 2226*b2 - 91*b1 + 237) * q^67 + (32*b15 - 32*b14 + 96*b13 + 56*b12 - 56*b11 + 128*b10 - 96*b9 - 48*b8 + 128*b7 + 160*b6 - 456*b5 + 296*b4 + 912*b3 + 696*b2 + 48*b1 + 1336) * q^68 + (44*b15 - 22*b14 + 224*b13 + 66*b12 - 88*b11 + 1104*b10 - 44*b9 + 198*b8 - 198*b7 + 484*b6 + 44*b5 - 110*b4 - 1060*b3 + 634*b2 - 1034*b1 + 590) * q^69 + (106*b15 - 88*b14 + 7*b13 + 53*b12 - 18*b11 + 206*b10 - 69*b9 - 9*b8 + 51*b7 - 353*b6 - 846*b5 + 408*b4 - 2970*b3 - 3023*b2 + 195*b1 + 811) * q^70 + (135*b15 - 21*b14 + 21*b13 + 42*b12 + 93*b11 - 271*b10 - 45*b9 + 135*b8 - 285*b7 + 79*b6 - 375*b5 - 827*b4 - 171*b3 + 21*b2 + 441*b1 - 192) * q^71 + (-16*b15 - 40*b14 + 136*b13 + 16*b11 - 16*b10 - 40*b9 - 96*b8 + 144*b7 + 8*b6 - 464*b5 - 32*b4 - 48*b3 + 856*b2 + 48*b1 + 904) * q^72 + (89*b14 + 253*b13 + 5*b12 + 89*b11 + 64*b10 - 32*b9 - 280*b8 - 121*b7 - 10*b6 - 376*b5 - 42*b4 + 1106*b3 - 1101*b2 + 278*b1 - 282) * q^73 + (-73*b15 + 83*b14 - 129*b13 - 83*b12 + 129*b10 - 129*b9 - 230*b8 - 28*b7 + 423*b6 + 4527*b5 + 637*b4 - 2300*b3 - 2616*b2 - 564*b1 - 1911) * q^74 + (51*b15 + 51*b14 + 7*b13 + 50*b12 + 50*b11 + 171*b10 + 7*b9 + 47*b8 - 51*b7 + 542*b6 + 848*b5 + 331*b4 - 847*b3 + 830*b2 - 609*b1 + 50) * q^75 + (-88*b15 - 80*b13 - 88*b12 + 112*b11 + 480*b10 + 80*b9 - 128*b8 + 80*b7 - 8*b6 - 976*b5 + 560*b4 + 736*b3 - 128*b2 - 48*b1 + 424) * q^76 + (-6*b15 - 180*b14 + 288*b13 + 89*b12 + 160*b11 - 17*b10 + 252*b9 + 565*b8 + 64*b7 - 1012*b6 - 4644*b5 - 254*b4 + 1396*b3 + 1455*b2 + 357*b1 + 1681) * q^77 + (-22*b15 - 6*b14 - 153*b13 + 28*b12 - 3*b11 - 374*b10 - 17*b9 - 14*b8 - 153*b7 - 651*b6 + 894*b5 - 261*b4 + 3*b3 - 894*b2 + 260*b1 - 2820) * q^78 + (-43*b15 + 43*b14 + 139*b13 + 182*b12 - 182*b11 + 504*b10 - 139*b9 + 58*b8 - 159*b7 + 461*b6 + 813*b5 + 196*b4 + 594*b3 + 3*b2 - 58*b1 - 176) * q^79 + (64*b15 - 64*b14 - 64*b13 + 64*b12 - 128*b11 - 64*b10 - 64*b9 + 64*b8 - 64*b7 + 64*b6 + 64*b5 + 128*b3 - 256*b2 - 64*b1 - 320) * q^80 + (48*b15 + 62*b14 - 572*b13 + 24*b12 - 110*b11 + 450*b10 + 176*b9 - 372*b8 - 286*b7 + 166*b6 + 1340*b5 + 802*b4 + 1014*b3 + 990*b2 - 232*b1 - 1254) * q^81 + (68*b15 + 7*b14 - 7*b13 - 14*b12 + 82*b11 - 268*b10 - 49*b9 + 68*b8 + 414*b7 + 149*b6 + 2476*b5 - 122*b4 - 2486*b3 - 7*b2 + 568*b1 - 2479) * q^82 + (219*b15 - 196*b14 - 62*b13 - 219*b11 - 279*b10 - 350*b9 - 481*b8 + 198*b7 + 610*b6 - 271*b5 + 64*b4 + 2380*b3 + 784*b2 - 479*b1 - 1596) * q^83 + (56*b14 - 248*b13 - 112*b12 + 56*b11 - 520*b10 - 128*b9 + 8*b8 - 184*b7 + 160*b6 - 1104*b5 + 32*b4 - 552*b3 + 440*b2 + 328*b1 - 1160) * q^84 + (-81*b15 + 116*b14 + 356*b13 - 116*b12 - 356*b10 + 9*b9 + 320*b8 + 392*b7 + 227*b6 - 4769*b5 - 107*b4 + 2344*b3 + 3800*b2 + 188*b1 + 969) * q^85 + (-98*b15 - 98*b14 + 474*b13 - 29*b12 - 29*b11 + 343*b10 + 474*b9 + 213*b8 + 98*b7 - 649*b6 - 1134*b5 - 104*b4 + 1065*b3 - 1671*b2 - 63*b1 - 29) * q^86 + (-111*b15 - 120*b13 - 111*b12 + 58*b11 - 511*b10 - 201*b9 + 19*b8 + 120*b7 + 9*b6 + 1351*b5 - 391*b4 - 4054*b3 - 2645*b2 - 187*b1 - 1998) * q^87 + (32*b15 - 88*b14 - 232*b13 + 40*b12 - 8*b11 - 304*b10 - 88*b9 - 40*b8 - 32*b7 + 144*b6 + 640*b5 + 584*b3 + 656*b2 - 336*b1 - 176) * q^88 + (-315*b15 + 528*b14 - 396*b13 - 213*b12 + 264*b11 - 543*b10 + 675*b9 + 411*b8 - 396*b7 - 1563*b6 + 1326*b5 - 177*b4 - 264*b3 - 1326*b2 + 741*b1 + 2502) * q^89 + (-127*b15 + 127*b14 + 394*b13 - 123*b12 + 123*b11 + 167*b10 - 394*b9 - 260*b8 + 393*b7 + 40*b6 - 1835*b5 - 678*b4 + 3441*b3 + 2640*b2 + 260*b1 + 5403) * q^90 + (-48*b15 - 69*b14 + 159*b13 - 165*b12 + 96*b11 - 1017*b10 + 48*b9 + 99*b8 - 99*b7 - 636*b6 - 48*b5 - 1209*b4 - 888*b3 + 2338*b2 + 15*b1 + 2386) * q^91 + (-160*b15 + 144*b14 - 192*b13 - 80*b12 + 16*b11 - 64*b10 + 192*b9 - 80*b8 - 176*b7 + 240*b6 + 192*b5 - 48*b4 - 2240*b3 - 2160*b2 - 240*b1 - 128) * q^92 + (-47*b15 + 110*b14 - 110*b13 - 220*b12 + 173*b11 + 593*b10 + 239*b9 - 47*b8 + 264*b7 + 955*b6 - 2213*b5 + 1450*b4 + 2201*b3 - 110*b2 + 55*b1 + 2311) * q^93 + (175*b15 + 41*b14 - 27*b13 - 175*b11 + 419*b10 + 49*b9 + 273*b8 - 258*b7 - 185*b6 - 1829*b5 - 190*b4 - 849*b3 + 4049*b2 - 39*b1 + 4898) * q^94 + (-245*b14 - 87*b13 - 75*b12 - 245*b11 + 126*b10 + 60*b9 + 72*b8 + 305*b7 - 256*b6 + 3720*b5 - 196*b4 + 2697*b3 - 2772*b2 - 458*b1 + 3400) * q^95 + (-64*b15 - 64*b13 + 64*b10 + 64*b9 - 64*b8 - 64*b7 - 192*b6 + 448*b5 - 256*b3 - 256*b2 + 64*b1 - 192) * q^96 + (-60*b15 - 60*b14 - 368*b13 - 34*b12 - 34*b11 - 614*b10 - 368*b9 - 574*b8 + 60*b7 - 294*b6 + 1521*b5 - 424*b4 - 1547*b3 + 3385*b2 + 1354*b1 - 34) * q^97 + (221*b15 + 79*b13 + 221*b12 - 23*b11 - 469*b10 + 229*b9 - 94*b8 - 79*b7 + 142*b6 - 3559*b5 - 548*b4 + 7567*b3 + 3985*b2 - 416*b1 + 3772) * q^98 + (37*b15 + 12*b14 + 156*b13 + 95*b12 - 185*b11 + 470*b10 - 888*b9 - 396*b8 + 746*b7 + 1224*b6 - 2749*b5 - 492*b4 - 1380*b3 - 1781*b2 - 22*b1 + 2569) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q - 2 q^{3} + 32 q^{4} + 30 q^{5} - 80 q^{6} + 150 q^{7} + 110 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q - 2 * q^3 + 32 * q^4 + 30 * q^5 - 80 * q^6 + 150 * q^7 + 110 * q^9 $$16 q - 2 q^{3} + 32 q^{4} + 30 q^{5} - 80 q^{6} + 150 q^{7} + 110 q^{9} - 30 q^{11} - 384 q^{12} - 510 q^{13} - 96 q^{14} - 1398 q^{15} - 256 q^{16} + 1770 q^{17} + 1120 q^{18} + 1020 q^{19} - 240 q^{20} + 240 q^{22} - 2424 q^{23} - 640 q^{24} - 858 q^{25} + 480 q^{26} + 2224 q^{27} + 1600 q^{28} + 4890 q^{29} + 3360 q^{30} + 602 q^{31} - 2648 q^{33} - 3904 q^{34} - 8670 q^{35} + 720 q^{36} - 4518 q^{37} - 4800 q^{38} - 1130 q^{39} - 1280 q^{40} + 1290 q^{41} - 3808 q^{42} + 720 q^{44} + 12152 q^{45} + 4480 q^{46} + 642 q^{47} - 128 q^{48} + 9534 q^{49} + 6720 q^{50} - 1500 q^{51} + 4000 q^{52} + 2598 q^{53} + 2582 q^{55} - 3072 q^{56} + 9140 q^{57} - 6496 q^{58} + 6660 q^{59} - 5776 q^{60} - 27410 q^{61} - 19680 q^{62} - 27260 q^{63} + 2048 q^{64} + 2528 q^{66} + 21524 q^{67} + 14160 q^{68} + 11416 q^{69} + 34400 q^{70} - 5562 q^{71} + 10240 q^{72} - 7790 q^{73} + 5760 q^{74} + 3576 q^{75} - 1110 q^{77} - 39424 q^{78} - 2770 q^{79} - 3840 q^{80} - 25464 q^{81} - 17472 q^{82} - 36900 q^{83} - 24480 q^{84} - 24750 q^{85} + 624 q^{86} - 5760 q^{88} + 46596 q^{89} + 55360 q^{90} + 32370 q^{91} + 14112 q^{92} + 20722 q^{93} + 58880 q^{94} + 74250 q^{95} - 3732 q^{97} + 45802 q^{99}+O(q^{100})$$ 16 * q - 2 * q^3 + 32 * q^4 + 30 * q^5 - 80 * q^6 + 150 * q^7 + 110 * q^9 - 30 * q^11 - 384 * q^12 - 510 * q^13 - 96 * q^14 - 1398 * q^15 - 256 * q^16 + 1770 * q^17 + 1120 * q^18 + 1020 * q^19 - 240 * q^20 + 240 * q^22 - 2424 * q^23 - 640 * q^24 - 858 * q^25 + 480 * q^26 + 2224 * q^27 + 1600 * q^28 + 4890 * q^29 + 3360 * q^30 + 602 * q^31 - 2648 * q^33 - 3904 * q^34 - 8670 * q^35 + 720 * q^36 - 4518 * q^37 - 4800 * q^38 - 1130 * q^39 - 1280 * q^40 + 1290 * q^41 - 3808 * q^42 + 720 * q^44 + 12152 * q^45 + 4480 * q^46 + 642 * q^47 - 128 * q^48 + 9534 * q^49 + 6720 * q^50 - 1500 * q^51 + 4000 * q^52 + 2598 * q^53 + 2582 * q^55 - 3072 * q^56 + 9140 * q^57 - 6496 * q^58 + 6660 * q^59 - 5776 * q^60 - 27410 * q^61 - 19680 * q^62 - 27260 * q^63 + 2048 * q^64 + 2528 * q^66 + 21524 * q^67 + 14160 * q^68 + 11416 * q^69 + 34400 * q^70 - 5562 * q^71 + 10240 * q^72 - 7790 * q^73 + 5760 * q^74 + 3576 * q^75 - 1110 * q^77 - 39424 * q^78 - 2770 * q^79 - 3840 * q^80 - 25464 * q^81 - 17472 * q^82 - 36900 * q^83 - 24480 * q^84 - 24750 * q^85 + 624 * q^86 - 5760 * q^88 + 46596 * q^89 + 55360 * q^90 + 32370 * q^91 + 14112 * q^92 + 20722 * q^93 + 58880 * q^94 + 74250 * q^95 - 3732 * q^97 + 45802 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 4 x^{15} + 138 x^{14} - 428 x^{13} + 7783 x^{12} - 18620 x^{11} + 235604 x^{10} - 425164 x^{9} + 4199998 x^{8} - 5446172 x^{7} + 45313276 x^{6} + \cdots + 1499670491$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 24\!\cdots\!52 \nu^{15} + \cdots + 64\!\cdots\!13 ) / 58\!\cdots\!31$$ (-24768740704422467952*v^15 - 1285412970756326481485*v^14 + 2595295956130623832755*v^13 - 156975217551007051956710*v^12 + 345174043080466893666830*v^11 - 7284638126265318990552086*v^10 + 12017353525148413086059625*v^9 - 164699143410804291562516150*v^8 + 163528959622144977826490590*v^7 - 1908364355331909213891917200*v^6 + 541597312176635704694037179*v^5 - 10807208673384875365696801885*v^4 - 5013477515244729963223116635*v^3 - 23833421633645830407004190555*v^2 - 25860203368836202268279102320*v + 641061739246368564542318813) / 5861852087188357922970235631 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 20\!\cdots\!00 \nu^{15} + \cdots + 54\!\cdots\!14 ) / 31\!\cdots\!22$$ (20601421086820795458332106483768900*v^15 + 176435126376962533467108026753309116*v^14 + 1989985066495503103541365969542844506*v^13 + 26187260280704471254124557472476679371*v^12 + 73440082333648245474734371477290706156*v^11 + 1515919363089367809238835791225858395392*v^10 + 1359346545080723415375164552851270717268*v^9 + 44961579356305494428218530247913025592303*v^8 + 14732172744609814510011633570184800984732*v^7 + 741978241067167823161760743038044375344328*v^6 + 116102720938643104929974016632703804943648*v^5 + 6806127728055572370699360981249631817056739*v^4 + 715855240879070754364529433447484572557596*v^3 + 31828336069353577741152313317445909076369197*v^2 + 2572759066042410236987643216696418174246626*v + 54969085311213091697828941951676659453535114) / 3172068747273247693534897958809995583845622 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 63\!\cdots\!72 \nu^{15} + \cdots + 61\!\cdots\!46 ) / 31\!\cdots\!22$$ (63563116098829941346051456812801072*v^15 + 101685331121846851141223643714646273*v^14 + 6292482707719087679922080055835286302*v^13 + 21296131809168901660680721946527049753*v^12 + 229359885148684487159765150329951573916*v^11 + 1393560104906709709477691134995839475048*v^10 + 3597666298444085423693114863458005146634*v^9 + 43019268712085888217669003785539172883780*v^8 + 14648639926309962254859457304815698998324*v^7 + 713670367633638259185341032345714778674285*v^6 - 216501470146814891640977157956539329940064*v^5 + 6558975958290156059462858810585130206123870*v^4 - 2328055005321420237065874213515911922612788*v^3 + 31393513974510638014372743380418791287796308*v^2 - 5087736433743923417275835584914177025905652*v + 61161269518353829321995421861416282961556146) / 3172068747273247693534897958809995583845622 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!65 \nu^{15} + \cdots + 27\!\cdots\!63 ) / 96\!\cdots\!71$$ (-2251313434926270787512237437527741265*v^15 - 8568963319993846792502870143943668194*v^14 - 258156577582223090975148072686733688710*v^13 - 958846564897717145387139421717056209403*v^12 - 13499939587107473480508844350880788719131*v^11 - 35648745398292459863870844121529562895990*v^10 - 419324192806596224894032278803656940595804*v^9 - 435653994264648021078066159025727628474392*v^8 - 7987477007971369996823245506335929937069013*v^7 + 3277930689040177768292270134636298511515091*v^6 - 87551766765619702827084899931471076400355539*v^5 + 122505089754811897891054531982323033978651797*v^4 - 479993547167023589456856424156456395482128438*v^3 + 996946415387020329235539990742820140910303613*v^2 - 920698757218894766666384617586997229694763634*v + 2752710295301944990837302619518051531264128963) / 96748096791834054652814387743704865307291471 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 11\!\cdots\!56 \nu^{15} + \cdots + 14\!\cdots\!38 ) / 31\!\cdots\!22$$ (-110303872695965073495247329940500156*v^15 + 1169044851416818984824402247048004096*v^14 - 16122827176738783870634201615891550054*v^13 + 135418255845809998266663907361387059305*v^12 - 902873254695014926859544287442831713644*v^11 + 6382267405446286298792897211385245228292*v^10 - 25511602505538662359007554836663203608844*v^9 + 158785006573449031382271459495075941091619*v^8 - 393838553415066650620840247586653206955580*v^7 + 2251177000530323262219251224071869773222816*v^6 - 3294080541021833904122278342049516258035408*v^5 + 18243031717056202560088066819404228311407421*v^4 - 13325854471913746030601750066401925897110180*v^3 + 78733546288977438837418562197643012986502409*v^2 - 17555355201904690329167700786323649866178294*v + 140944899923567341521581508128161079415698538) / 3172068747273247693534897958809995583845622 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 36\!\cdots\!14 \nu^{15} + \cdots + 27\!\cdots\!44 ) / 96\!\cdots\!71$$ (3648571325806156227026316930479189414*v^15 + 12021353544052682112534655229768309207*v^14 + 345737798978512391446791905040506935146*v^13 + 2001715098430089434135232624945405312776*v^12 + 11993898217685459167362448543594159288054*v^11 + 117276303838636379000281127499085190267684*v^10 + 182966581558391956145530029784701992350241*v^9 + 3312440732827143376559323568233325153020333*v^8 + 1038134484285791482924730697557999917496743*v^7 + 49493596858429637095465468883540046360452471*v^6 - 188864738286029338691570777399292540047854*v^5 + 393676365297474155643229733721011815157007941*v^4 + 2432744131595392223722909952836984362237306*v^3 + 1587106975787253451875231383495403285596325279*v^2 + 131325891280544328639266738007617231661389985*v + 2790876313386219017936364720969966918277651644) / 96748096791834054652814387743704865307291471 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 76\!\cdots\!50 \nu^{15} + \cdots - 23\!\cdots\!38 ) / 19\!\cdots\!42$$ (7617444745999150472867565628530825750*v^15 - 108911517945598847964010188842357334092*v^14 + 1525631281678804986935474607378959518844*v^13 - 15418559119183953388217112735655883892816*v^12 + 113106702117554911913084114776661071523156*v^11 - 873638508297512019963136895377541810015323*v^10 + 4138945508858901454941769244317275980973532*v^9 - 25486636582800800290184668302935739816207609*v^8 + 81042551460913617877798045381847257016900830*v^7 - 408432615019752191074225228246295017056718238*v^6 + 836730203729883320323496989303571637719253176*v^5 - 3530828796222072638302216921849730455769102160*v^4 + 4029231522258796829586967350122419653569691794*v^3 - 14894888162155686123839277731414902144564073431*v^2 + 6093264470388362303517616383258701949128202784*v - 23034241394821166237585578455665394392072851938) / 193496193583668109305628775487409730614582942 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!82 \nu^{15} + \cdots - 31\!\cdots\!49 ) / 17\!\cdots\!22$$ (1483807438017786060426700236419649682*v^15 - 34230630389148012819358971407526345879*v^14 + 302253095766783626463023110704598608680*v^13 - 4162180890314656168057935306868751046283*v^12 + 20410433255255972038041135249764018763626*v^11 - 201745922128465840201091007662389470011379*v^10 + 655202460111706459385336347583003933456286*v^9 - 5045127439590526881308810544508136403476048*v^8 + 11112797331000045038057474988294778469337912*v^7 - 69886690807112821635629740747284687731251744*v^6 + 99654751098865719960975343894310263770244658*v^5 - 533619110763592377248917427273965412568391044*v^4 + 431045338668148728338141804649782815178928744*v^3 - 2068440402709964780104839691423245798757433631*v^2 + 699868885798121293712249010031597761317218592*v - 3105846600997752384628323671112002980480789349) / 17590563053060737209602615953400884601325722 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 15\!\cdots\!18 \nu^{15} + \cdots + 17\!\cdots\!85 ) / 17\!\cdots\!22$$ (-1513983045206277389947895720248225018*v^15 + 18067268590467664097513945353871729195*v^14 - 218585417338075529978123623695591906740*v^13 + 2009031149310928041990524596302914480770*v^12 - 11431453447706672149650600494590354783334*v^11 + 89224452260114604086112733192844056785921*v^10 - 280906891086236333365027527027257570493828*v^9 + 2065479259902618488070292893883357670805147*v^8 - 3331008836985481614385605352406588711003584*v^7 + 27280717460489525356442881712760333547408712*v^6 - 15529448331555206152792549751729613186857976*v^5 + 212431557692697608201288473510810662654138683*v^4 + 10817395392242487990414622621342470238194422*v^3 + 938528636558933862476306331084066497461675726*v^2 + 179266709260768256423932463668629106574248762*v + 1779747464826507059255953792588469200131730685) / 17590563053060737209602615953400884601325722 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!60 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!66 ) / 96\!\cdots\!71$$ (14357165167963043539491428854561000260*v^15 - 34998652328896117050495748728493619853*v^14 + 1826280620606844789342399701195549707427*v^13 - 3078277266118213944350302879234449007093*v^12 + 93601357500432333628119764195751844185593*v^11 - 99657188407559411457152800401047798987013*v^10 + 2499468714059111448044615234991260704852400*v^9 - 1332195666837039876539827568268601719131569*v^8 + 37268837700804994490184372065950049401804928*v^7 - 2338612370339483368421844104350799045233707*v^6 + 307514005815325010084500368455055363695386467*v^5 + 110760374842691421753112967898205035647771362*v^4 + 1289659156909827941186279289127331461455923470*v^3 + 894189633921401609838408396714385950162483187*v^2 + 2092221648376527219986974667106359116164377142*v + 1640573857665080701798555261927337130258511766) / 96748096791834054652814387743704865307291471 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!40 \nu^{15} + \cdots - 16\!\cdots\!43 ) / 47\!\cdots\!62$$ (1302954536374336468754061631486408840*v^15 - 13695515695809187362130795258119035767*v^14 + 180960910411450978168145359351710374876*v^13 - 1551784940771261895827296894659979394595*v^12 + 9465966196436274078612026957488387811282*v^11 - 71789868742457461847365554018715014394357*v^10 + 243438147806746827763646239360642878997980*v^9 - 1767563618969548810757636104071378628765618*v^8 + 3271665104106166692608242980346190147356306*v^7 - 25098051191575003797834958059653690409142528*v^6 + 21740374838241401889888117218784216688022132*v^5 - 206635006260700579461472659764658261520604566*v^4 + 51469956765580841406717065266537307961058686*v^3 - 916850109854707231407362913426823328652661965*v^2 - 63842040906183238617295865606876590196936696*v - 1652610210749582371806827419447404797088552643) / 4719419355699222178186067694814871478404462 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 63\!\cdots\!06 \nu^{15} + \cdots + 20\!\cdots\!26 ) / 19\!\cdots\!42$$ (-63463170838363045797939984379573051206*v^15 + 639441837929814921772466982297961707067*v^14 - 10058612444166762422465368304906281701532*v^13 + 71836632678922914411570989259469639887766*v^12 - 598609902870513710492419371806448093276648*v^11 + 3173935645846679919778039431176589854448354*v^10 - 17872265282068453818499573358143415133837510*v^9 + 71035934457639595566982919970716451251995955*v^8 - 293399109477879714045772972821808484997684040*v^7 + 859268978774812710699557496787862201236209493*v^6 - 2661964070710641693826504821676123792328791298*v^5 + 5545134389617192054209900934449708667491574459*v^4 - 12331873714561085993881494334377946528212741066*v^3 + 17261081029825265014472450668939727675307647751*v^2 - 22500509510950375378146319773474510138364953104*v + 20296218077169886870212345033808175347238929326) / 193496193583668109305628775487409730614582942 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!20 \nu^{15} + \cdots + 22\!\cdots\!82 ) / 19\!\cdots\!42$$ (106257445341524903407057141002161686520*v^15 - 165740542290244304763883804652808017633*v^14 + 12847817119158131499366834187072039579496*v^13 - 9597933823385579320556075605196447288960*v^12 + 624258582751744359891306441833737203396862*v^11 - 29485890253953935197796645624402774232729*v^10 + 15849778279007065132062015527676211746009532*v^9 + 8991898161480497882286539371561733579176144*v^8 + 227793482087971676159828070437689147920942362*v^7 + 250217380630813373738412936737373074529063301*v^6 + 1876098270396900851560973719597318929577091398*v^5 + 2814616685707437664257562596743626142947205129*v^4 + 8430744064632396247547111651126728397730274770*v^3 + 13852032444080803922138969493654774527791212806*v^2 + 16541647174391536587839420911675007384235922780*v + 22990940903713544261405850531319508066814680982) / 193496193583668109305628775487409730614582942 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!84 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!23 ) / 19\!\cdots\!42$$ (133466839232468355668767867196170121584*v^15 - 266899498339383697674221094119774429988*v^14 + 16373457921046460517180886173348621238544*v^13 - 21466952986725656484561174325579248864275*v^12 + 813839419304541090317262226655650626086580*v^11 - 637120202334139733690292199755522804059934*v^10 + 21360043793352804813406439190082103117708862*v^9 - 8190482420611872641565145518406308040008874*v^8 + 320819960825537440844652150373024259132313106*v^7 - 26728911118299052085105913796190109476863057*v^6 + 2774238761224741552682529699641454332800774526*v^5 + 443075851482472737661010157751691425693658597*v^4 + 12847655504208486346341311362422940611031729800*v^3 + 4760195287842671609057460682058423666566764781*v^2 + 24942887301183389482510790397991126586674579718*v + 11579470511222005750867547425969939755330073823) / 193496193583668109305628775487409730614582942 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 20\!\cdots\!92 \nu^{15} + \cdots - 84\!\cdots\!16 ) / 19\!\cdots\!42$$ (207788377280065212554583811606739722192*v^15 - 1359422129194552975037976835047291584911*v^14 + 28066144086097222269992351898076611158990*v^13 - 147333058425417533596683492432684258948192*v^12 + 1486059211431398843826771472710221254976600*v^11 - 6461835330215216284506132889938029537826428*v^10 + 40309221541005175474658723163137079209161160*v^9 - 148579687564568284315960891629346019687238887*v^8 + 606119215435725101171936288942134093809318256*v^7 - 1927185626505884343536311813379053912849844283*v^6 + 5040862373907602102766259128174093258879438938*v^5 - 14070064926375670179622174949381724595016360413*v^4 + 21091620759057314093933200805223734750753787730*v^3 - 53777723202993548459464264470476449349675522541*v^2 + 32587563910772242699318046640154302880625626650*v - 84542700947640954959282068684711906285278185216) / 193496193583668109305628775487409730614582942
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta_{15} - 2 \beta_{13} + \beta_{12} - 4 \beta_{11} + 3 \beta_{10} - 8 \beta_{9} + 2 \beta_{7} + 3 \beta_{6} - 5 \beta_{5} + 5 \beta_{4} - 2 \beta_{3} + 11 \beta_{2} - 10 \beta _1 + 8 ) / 22$$ (b15 - 2*b13 + b12 - 4*b11 + 3*b10 - 8*b9 + 2*b7 + 3*b6 - 5*b5 + 5*b4 - 2*b3 + 11*b2 - 10*b1 + 8) / 22 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( 2 \beta_{15} - 5 \beta_{14} + 3 \beta_{13} - 2 \beta_{11} + 3 \beta_{10} - 6 \beta_{9} + \beta_{8} + 8 \beta_{7} + 19 \beta_{6} + 41 \beta_{5} + 11 \beta_{4} - 39 \beta_{2} - 15 \beta _1 - 204 ) / 11$$ (2*b15 - 5*b14 + 3*b13 - 2*b11 + 3*b10 - 6*b9 + b8 + 8*b7 + 19*b6 + 41*b5 + 11*b4 - 39*b2 - 15*b1 - 204) / 11 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 13 \beta_{15} - 21 \beta_{14} + 87 \beta_{13} - 2 \beta_{12} + 59 \beta_{11} - 242 \beta_{10} + 147 \beta_{9} + 35 \beta_{8} - 54 \beta_{7} - 89 \beta_{6} + 565 \beta_{5} - 362 \beta_{4} + 147 \beta_{3} - 463 \beta_{2} + 430 \beta _1 - 644 ) / 22$$ (13*b15 - 21*b14 + 87*b13 - 2*b12 + 59*b11 - 242*b10 + 147*b9 + 35*b8 - 54*b7 - 89*b6 + 565*b5 - 362*b4 + 147*b3 - 463*b2 + 430*b1 - 644) / 22 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 70 \beta_{15} + 202 \beta_{14} - 68 \beta_{13} + 2 \beta_{12} + 97 \beta_{11} - 333 \beta_{10} + 266 \beta_{9} - 47 \beta_{8} - 262 \beta_{7} - 546 \beta_{6} - 1244 \beta_{5} - 463 \beta_{4} - 202 \beta_{3} + 1272 \beta_{2} + \cdots + 4357 ) / 11$$ (-70*b15 + 202*b14 - 68*b13 + 2*b12 + 97*b11 - 333*b10 + 266*b9 - 47*b8 - 262*b7 - 546*b6 - 1244*b5 - 463*b4 - 202*b3 + 1272*b2 + 949*b1 + 4357) / 11 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 1426 \beta_{15} + 1465 \beta_{14} - 2664 \beta_{13} - 356 \beta_{12} - 663 \beta_{11} + 7326 \beta_{10} - 2566 \beta_{9} - 920 \beta_{8} + 849 \beta_{7} + 1538 \beta_{6} - 26348 \beta_{5} + 12135 \beta_{4} + \cdots + 30337 ) / 22$$ (-1426*b15 + 1465*b14 - 2664*b13 - 356*b12 - 663*b11 + 7326*b10 - 2566*b9 - 920*b8 + 849*b7 + 1538*b6 - 26348*b5 + 12135*b4 - 3589*b3 + 17675*b2 - 12186*b1 + 30337) / 22 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( 1186 \beta_{15} - 5716 \beta_{14} - 259 \beta_{13} - 788 \beta_{12} - 3255 \beta_{11} + 18109 \beta_{10} - 9342 \beta_{9} + 1427 \beta_{8} + 7233 \beta_{7} + 14013 \beta_{6} + 23034 \beta_{5} + 19094 \beta_{4} + \cdots - 92504 ) / 11$$ (1186*b15 - 5716*b14 - 259*b13 - 788*b12 - 3255*b11 + 18109*b10 - 9342*b9 + 1427*b8 + 7233*b7 + 14013*b6 + 23034*b5 + 19094*b4 + 15777*b3 - 34225*b2 - 42125*b1 - 92504) / 11 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 66328 \beta_{15} - 68005 \beta_{14} + 69680 \beta_{13} + 17335 \beta_{12} - 4648 \beta_{11} - 152756 \beta_{10} + 35376 \beta_{9} + 24821 \beta_{8} - 7695 \beta_{7} + 8177 \beta_{6} + 1018876 \beta_{5} + \cdots - 1240266 ) / 22$$ (66328*b15 - 68005*b14 + 69680*b13 + 17335*b12 - 4648*b11 - 152756*b10 + 35376*b9 + 24821*b8 - 7695*b7 + 8177*b6 + 1018876*b5 - 336781*b4 + 59446*b3 - 695780*b2 + 255718*b1 - 1240266) / 22 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( 18107 \beta_{15} + 127200 \beta_{14} + 87194 \beta_{13} + 58295 \beta_{12} + 93976 \beta_{11} - 744827 \beta_{10} + 305261 \beta_{9} - 25825 \beta_{8} - 193850 \beta_{7} - 347107 \beta_{6} + \cdots + 1600827 ) / 11$$ (18107*b15 + 127200*b14 + 87194*b13 + 58295*b12 + 93976*b11 - 744827*b10 + 305261*b9 - 25825*b8 - 193850*b7 - 347107*b6 + 59471*b5 - 753965*b4 - 794410*b3 + 762106*b2 + 1584291*b1 + 1600827) / 11 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 2438043 \beta_{15} + 2661543 \beta_{14} - 1490270 \beta_{13} - 563322 \beta_{12} + 752714 \beta_{11} + 1278139 \beta_{10} + 36160 \beta_{9} - 763269 \beta_{8} - 145705 \beta_{7} + \cdots + 45597572 ) / 22$$ (-2438043*b15 + 2661543*b14 - 1490270*b13 - 563322*b12 + 752714*b11 + 1278139*b10 + 36160*b9 - 763269*b8 - 145705*b7 - 2213992*b6 - 34819865*b5 + 8232384*b4 - 1277582*b3 + 26193437*b2 - 2694260*b1 + 45597572) / 22 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 2717076 \beta_{15} - 1786399 \beta_{14} - 4663669 \beta_{13} - 2957353 \beta_{12} - 2373319 \beta_{11} + 25863483 \beta_{10} - 9468051 \beta_{9} - 236795 \beta_{8} + \cdots - 7547092 ) / 11$$ (-2717076*b15 - 1786399*b14 - 4663669*b13 - 2957353*b12 - 2373319*b11 + 25863483*b10 - 9468051*b9 - 236795*b8 + 5238078*b7 + 7374572*b6 - 31835971*b5 + 28165529*b4 + 33274731*b3 - 10017591*b2 - 53392152*b1 - 7547092) / 11 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 77811612 \beta_{15} - 93939692 \beta_{14} + 19463149 \beta_{13} + 13065524 \beta_{12} - 38772543 \beta_{11} + 84648077 \beta_{10} - 32253477 \beta_{9} + 23740684 \beta_{8} + \cdots - 1526859144 ) / 22$$ (77811612*b15 - 93939692*b14 + 19463149*b13 + 13065524*b12 - 38772543*b11 + 84648077*b10 - 32253477*b9 + 23740684*b8 + 13027771*b7 + 127322379*b6 + 1061926750*b5 - 168270778*b4 + 73227629*b3 - 924120648*b2 - 101773156*b1 - 1526859144) / 22 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$14322956 \beta_{15} - 2170156 \beta_{14} + 16325990 \beta_{13} + 11323158 \beta_{12} + 4305643 \beta_{11} - 70687957 \beta_{10} + 25248414 \beta_{9} + 4522317 \beta_{8} + \cdots - 104590147$$ 14322956*b15 - 2170156*b14 + 16325990*b13 + 11323158*b12 + 4305643*b11 - 70687957*b10 + 25248414*b9 + 4522317*b8 - 13201434*b7 - 7476136*b6 + 181567373*b5 - 90512007*b4 - 113118444*b3 - 21245187*b2 + 148831627*b1 - 104590147 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 2179600762 \beta_{15} + 3051330737 \beta_{14} + 326168257 \beta_{13} - 113166782 \beta_{12} + 1585596008 \beta_{11} - 6534893955 \beta_{10} + 1864271297 \beta_{9} + \cdots + 46663603783 ) / 22$$ (-2179600762*b15 + 3051330737*b14 + 326168257*b13 - 113166782*b12 + 1585596008*b11 - 6534893955*b10 + 1864271297*b9 - 653081674*b8 - 622911132*b7 - 5419405849*b6 - 28315420142*b5 + 2092505697*b4 - 4981401166*b3 + 30554829477*b2 + 9099278230*b1 + 46663603783) / 22 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( - 7130399021 \beta_{15} + 3431668430 \beta_{14} - 5699114548 \beta_{13} - 4644317402 \beta_{12} - 361974838 \beta_{11} + 19683189118 \beta_{10} + \cdots + 78938670464 ) / 11$$ (-7130399021*b15 + 3431668430*b14 - 5699114548*b13 - 4644317402*b12 - 361974838*b11 + 19683189118*b10 - 7621063175*b9 - 3013456297*b8 + 4164232474*b7 - 3453891478*b6 - 92026607190*b5 + 33299081766*b4 + 42300330213*b3 + 27085070174*b2 - 45259774528*b1 + 78938670464) / 11 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 51112645034 \beta_{15} - 91072961036 \beta_{14} - 39024604999 \beta_{13} - 9812286729 \beta_{12} - 57679374942 \beta_{11} + 311972097559 \beta_{10} + \cdots - 1283826177161 ) / 22$$ (51112645034*b15 - 91072961036*b14 - 39024604999*b13 - 9812286729*b12 - 57679374942*b11 + 311972097559*b10 - 81320284151*b9 + 12931665765*b8 + 26195283505*b7 + 194599068194*b6 + 608387469530*b5 + 42261307986*b4 + 283735651986*b3 - 946134979029*b2 - 457196060176*b1 - 1283826177161) / 22

Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/22\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$13$$ $$\chi(n)$$ $$1 + \beta_{2} + \beta_{3} - \beta_{5}$$

Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
7.1
 −0.309017 − 2.89265i −0.309017 + 2.01862i −0.309017 + 4.73267i −0.309017 − 3.85864i 0.809017 + 5.77971i 0.809017 − 3.49146i 0.809017 + 3.04259i 0.809017 − 5.33084i 0.809017 − 5.77971i 0.809017 + 3.49146i 0.809017 − 3.04259i 0.809017 + 5.33084i −0.309017 + 2.89265i −0.309017 − 2.01862i −0.309017 − 4.73267i −0.309017 + 3.85864i
−1.66251 + 2.28825i −1.86966 + 5.75422i −2.47214 7.60845i −23.9466 + 17.3982i −10.0587 13.8447i −38.7210 + 12.5812i 21.5200 + 6.99226i 35.9150 + 26.0937i 83.7204i
7.2 −1.66251 + 2.28825i 3.38726 10.4249i −2.47214 7.60845i 17.3145 12.5798i 18.2234 + 25.0824i 27.3556 8.88838i 21.5200 + 6.99226i −31.6748 23.0131i 60.5339i
7.3 1.66251 2.28825i 0.309288 0.951890i −2.47214 7.60845i 35.4031 25.7219i −1.66396 2.29025i −65.6073 + 21.3171i −21.5200 6.99226i 64.7199 + 47.0218i 123.774i
7.4 1.66251 2.28825i 3.26328 10.0434i −2.47214 7.60845i −24.6252 + 17.8912i −17.5564 24.1643i 86.5218 28.1126i −21.5200 6.99226i −24.6896 17.9380i 86.0928i
13.1 −2.68999 0.874032i −3.20187 + 2.32629i 6.47214 + 4.70228i 13.3838 + 41.1910i 10.6463 3.45918i −7.80030 + 10.7362i −13.3001 18.3060i −20.1901 + 62.1386i 122.501i
13.2 −2.68999 0.874032i 4.50928 3.27619i 6.47214 + 4.70228i −10.0117 30.8128i −14.9934 + 4.87166i 50.5008 69.5083i −13.3001 18.3060i −15.4301 + 47.4891i 91.6368i
13.3 2.68999 + 0.874032i −13.1019 + 9.51912i 6.47214 + 4.70228i 8.38512 + 25.8068i −43.5642 + 14.1549i 26.6976 36.7461i 13.3001 + 18.3060i 56.0169 172.402i 76.7489i
13.4 2.68999 + 0.874032i 5.70436 4.14446i 6.47214 + 4.70228i −0.903101 2.77946i 18.9671 6.16277i −3.94724 + 5.43292i 13.3001 + 18.3060i −9.66723 + 29.7527i 8.26607i
17.1 −2.68999 + 0.874032i −3.20187 2.32629i 6.47214 4.70228i 13.3838 41.1910i 10.6463 + 3.45918i −7.80030 10.7362i −13.3001 + 18.3060i −20.1901 62.1386i 122.501i
17.2 −2.68999 + 0.874032i 4.50928 + 3.27619i 6.47214 4.70228i −10.0117 + 30.8128i −14.9934 4.87166i 50.5008 + 69.5083i −13.3001 + 18.3060i −15.4301 47.4891i 91.6368i
17.3 2.68999 0.874032i −13.1019 9.51912i 6.47214 4.70228i 8.38512 25.8068i −43.5642 14.1549i 26.6976 + 36.7461i 13.3001 18.3060i 56.0169 + 172.402i 76.7489i
17.4 2.68999 0.874032i 5.70436 + 4.14446i 6.47214 4.70228i −0.903101 + 2.77946i 18.9671 + 6.16277i −3.94724 5.43292i 13.3001 18.3060i −9.66723 29.7527i 8.26607i
19.1 −1.66251 2.28825i −1.86966 5.75422i −2.47214 + 7.60845i −23.9466 17.3982i −10.0587 + 13.8447i −38.7210 12.5812i 21.5200 6.99226i 35.9150 26.0937i 83.7204i
19.2 −1.66251 2.28825i 3.38726 + 10.4249i −2.47214 + 7.60845i 17.3145 + 12.5798i 18.2234 25.0824i 27.3556 + 8.88838i 21.5200 6.99226i −31.6748 + 23.0131i 60.5339i
19.3 1.66251 + 2.28825i 0.309288 + 0.951890i −2.47214 + 7.60845i 35.4031 + 25.7219i −1.66396 + 2.29025i −65.6073 21.3171i −21.5200 + 6.99226i 64.7199 47.0218i 123.774i
19.4 1.66251 + 2.28825i 3.26328 + 10.0434i −2.47214 + 7.60845i −24.6252 17.8912i −17.5564 + 24.1643i 86.5218 + 28.1126i −21.5200 + 6.99226i −24.6896 + 17.9380i 86.0928i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 19.4 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
11.d odd 10 1 inner

Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 22.5.d.a 16
3.b odd 2 1 198.5.j.a 16
4.b odd 2 1 176.5.n.c 16
11.c even 5 1 242.5.b.e 16
11.d odd 10 1 inner 22.5.d.a 16
11.d odd 10 1 242.5.b.e 16
33.f even 10 1 198.5.j.a 16
44.g even 10 1 176.5.n.c 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
22.5.d.a 16 1.a even 1 1 trivial
22.5.d.a 16 11.d odd 10 1 inner
176.5.n.c 16 4.b odd 2 1
176.5.n.c 16 44.g even 10 1
198.5.j.a 16 3.b odd 2 1
198.5.j.a 16 33.f even 10 1
242.5.b.e 16 11.c even 5 1
242.5.b.e 16 11.d odd 10 1

Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{5}^{\mathrm{new}}(22, [\chi])$$.

Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{8} - 8 T^{6} + 64 T^{4} - 512 T^{2} + \cdots + 4096)^{2}$$
$3$ $$T^{16} + 2 T^{15} + \cdots + 3117763586961$$
$5$ $$T^{16} - 30 T^{15} + \cdots + 88\!\cdots\!96$$
$7$ $$T^{16} - 150 T^{15} + \cdots + 65\!\cdots\!76$$
$11$ $$T^{16} + 30 T^{15} + \cdots + 21\!\cdots\!21$$
$13$ $$T^{16} + 510 T^{15} + \cdots + 48\!\cdots\!36$$
$17$ $$T^{16} - 1770 T^{15} + \cdots + 61\!\cdots\!81$$
$19$ $$T^{16} - 1020 T^{15} + \cdots + 23\!\cdots\!21$$
$23$ $$(T^{8} + 1212 T^{7} + \cdots + 70\!\cdots\!76)^{2}$$
$29$ $$T^{16} - 4890 T^{15} + \cdots + 39\!\cdots\!76$$
$31$ $$T^{16} - 602 T^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!36$$
$37$ $$T^{16} + 4518 T^{15} + \cdots + 14\!\cdots\!16$$
$41$ $$T^{16} - 1290 T^{15} + \cdots + 98\!\cdots\!01$$
$43$ $$T^{16} + 33713554 T^{14} + \cdots + 10\!\cdots\!76$$
$47$ $$T^{16} - 642 T^{15} + \cdots + 39\!\cdots\!36$$
$53$ $$T^{16} - 2598 T^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!16$$
$59$ $$T^{16} - 6660 T^{15} + \cdots + 47\!\cdots\!01$$
$61$ $$T^{16} + 27410 T^{15} + \cdots + 95\!\cdots\!36$$
$67$ $$(T^{8} - 10762 T^{7} + \cdots - 18\!\cdots\!24)^{2}$$
$71$ $$T^{16} + 5562 T^{15} + \cdots + 52\!\cdots\!96$$
$73$ $$T^{16} + 7790 T^{15} + \cdots + 87\!\cdots\!41$$
$79$ $$T^{16} + 2770 T^{15} + \cdots + 81\!\cdots\!96$$
$83$ $$T^{16} + 36900 T^{15} + \cdots + 80\!\cdots\!81$$
$89$ $$(T^{8} - 23298 T^{7} + \cdots - 37\!\cdots\!64)^{2}$$
$97$ $$T^{16} + 3732 T^{15} + \cdots + 18\!\cdots\!21$$
show more
show less