# Properties

 Label 22.15.b.a Level $22$ Weight $15$ Character orbit 22.b Analytic conductor $27.352$ Analytic rank $0$ Dimension $14$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$22 = 2 \cdot 11$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$15$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 22.b (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$27.3523729934$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$14$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{14} - \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{14} - 2 x^{13} - 38299509 x^{12} + 1255603312 x^{11} + 548839279225666 x^{10} + \cdots + 61\!\cdots\!00$$ x^14 - 2*x^13 - 38299509*x^12 + 1255603312*x^11 + 548839279225666*x^10 - 62614853719962708*x^9 - 3647746096331338780406*x^8 + 909709401522475794317032*x^7 + 11341528896592004854718535645*x^6 - 4608641836922062401823748151666*x^5 - 14199433672677462467950659880576257*x^4 + 7648786246750765008517429480227297240*x^3 + 5468207905418692926727112276614665574080*x^2 - 3973529610997293170696151713639263984312200*x + 613220922939245616829253347741252697812260300 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{11}]$$ Coefficient ring index: $$2^{56}\cdot 3^{6}\cdot 11^{7}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{13}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{2} q^{2} + (\beta_1 + 314) q^{3} - 8192 q^{4} + (\beta_{3} + 4983) q^{5} + ( - \beta_{5} + 314 \beta_{2}) q^{6} + ( - \beta_{6} - 548 \beta_{2}) q^{7} - 8192 \beta_{2} q^{8} + (\beta_{4} + 19 \beta_{3} + 680 \beta_1 + 787001) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b2 * q^2 + (b1 + 314) * q^3 - 8192 * q^4 + (b3 + 4983) * q^5 + (-b5 + 314*b2) * q^6 + (-b6 - 548*b2) * q^7 - 8192*b2 * q^8 + (b4 + 19*b3 + 680*b1 + 787001) * q^9 $$q + \beta_{2} q^{2} + (\beta_1 + 314) q^{3} - 8192 q^{4} + (\beta_{3} + 4983) q^{5} + ( - \beta_{5} + 314 \beta_{2}) q^{6} + ( - \beta_{6} - 548 \beta_{2}) q^{7} - 8192 \beta_{2} q^{8} + (\beta_{4} + 19 \beta_{3} + 680 \beta_1 + 787001) q^{9} + (\beta_{11} + 4983 \beta_{2}) q^{10} + (\beta_{12} + 10 \beta_{6} - 12 \beta_{5} + \beta_{4} - 36 \beta_{3} + \cdots + 1438771) q^{11}+ \cdots + ( - 350537 \beta_{13} - 568842 \beta_{12} + \cdots + 8489274531513) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b2 * q^2 + (b1 + 314) * q^3 - 8192 * q^4 + (b3 + 4983) * q^5 + (-b5 + 314*b2) * q^6 + (-b6 - 548*b2) * q^7 - 8192*b2 * q^8 + (b4 + 19*b3 + 680*b1 + 787001) * q^9 + (b11 + 4983*b2) * q^10 + (b12 + 10*b6 - 12*b5 + b4 - 36*b3 + 18382*b2 - 56*b1 + 1438771) * q^11 + (-8192*b1 - 2572288) * q^12 + (b13 + 3*b11 - 3*b9 - b7 + 25*b6 + 20*b5 + 55710*b2) * q^13 + (b9 + 3*b8 - 2*b7 - b6 + 5*b4 - 7*b3 - 2*b2 - 3166*b1 + 4486313) * q^14 + (-3*b13 + 3*b12 - 3*b10 + 3*b9 - 3*b7 - 3*b6 + 3*b5 + 13*b4 + 490*b3 - 3*b2 + 30621*b1 - 92594) * q^15 + 67108864 * q^16 + (4*b13 - 7*b12 + 3*b11 + 11*b9 - 11*b7 - 422*b6 + 407*b5 - 1462979*b2) * q^17 + (-16*b13 - 16*b12 + 13*b11 + 16*b9 + 144*b6 - 740*b5 + 787044*b2) * q^18 + (-17*b13 - 21*b12 - 48*b11 - 4*b7 + 138*b6 - 211*b5 - 621071*b2) * q^19 + (-8192*b3 - 40820736) * q^20 + (-19*b13 - 27*b12 - 81*b11 - 15*b9 - 8*b7 - 1510*b6 + 2353*b5 + 1940946*b2) * q^21 + (-8*b12 - 31*b11 + 32*b10 - b9 - 35*b8 - 22*b7 + 1033*b6 - 355*b5 + 59*b4 - 617*b3 + 1439156*b2 - 69106*b1 - 150557641) * q^22 + (-65*b13 + 78*b12 - 39*b10 + 15*b9 - 98*b8 - 4*b7 - 28*b6 + 52*b5 - 613*b4 + 2096*b3 + 9*b2 - 118191*b1 - 521856192) * q^23 + (8192*b5 - 2572288*b2) * q^24 + (106*b13 - 112*b12 + 94*b10 + 48*b9 + 438*b8 - 184*b7 - 42*b6 - 100*b5 - 167*b4 - 10067*b3 - 190*b2 + 218600*b1 + 1378019567) * q^25 + (-32*b13 - 48*b12 - 192*b10 + 71*b9 - 203*b8 + 130*b7 + 9*b6 + 112*b5 + 579*b4 - 12529*b3 + 50*b2 + 248590*b1 - 456287873) * q^26 + (92*b13 - 213*b12 - 150*b10 + 166*b9 + 290*b8 - 61*b7 - 45*b6 + 29*b5 + 232*b4 + 50138*b3 - 182*b2 + 427897*b1 + 2435319880) * q^27 + (8192*b6 + 4489216*b2) * q^28 + (562*b13 + 133*b12 + 114*b11 + 118*b9 - 429*b7 + 11647*b6 - 43123*b5 + 11991812*b2) * q^29 + (80*b13 - 112*b12 + 418*b11 + 496*b9 - 192*b7 + 13296*b6 - 35655*b5 - 88114*b2) * q^30 + (13*b13 - 578*b12 - 1117*b10 + 703*b9 - 112*b8 + 276*b7 - 138*b6 + 552*b5 + 1469*b4 + 86682*b3 - 289*b2 + 520953*b1 - 2397748732) * q^31 + 67108864*b2 * q^32 + (-484*b13 - 672*b12 + 1143*b11 - 126*b10 + 1403*b9 + 826*b8 - 594*b7 + 34507*b6 - 9558*b5 - 3439*b4 + 239029*b3 + 51789797*b2 + 2870908*b1 + 206608026) * q^33 + (832*b13 - 1120*b12 + 256*b10 + 357*b9 + 2415*b8 - 682*b7 - 69*b6 - 544*b5 + 1849*b4 - 19523*b3 - 970*b2 + 1991210*b1 + 11983471853) * q^34 + (1441*b13 + 722*b12 - 4308*b11 - 1258*b9 - 719*b7 + 39967*b6 + 102596*b5 + 3415909*b2) * q^35 + (-8192*b4 - 155648*b3 - 5570560*b1 - 6447112192) * q^36 + (434*b13 - 1460*b12 - 1618*b10 + 948*b9 + 42*b8 + 748*b7 + 78*b6 + 592*b5 - 8032*b4 - 927169*b3 - 278*b2 + 4653208*b1 + 5226668685) * q^37 + (-416*b13 - 48*b12 - 1344*b10 + 723*b9 - 935*b8 + 362*b7 - 259*b6 + 880*b5 - 6529*b4 + 400315*b3 - 102*b2 - 1202010*b1 + 5088233451) * q^38 + (846*b13 - 2340*b12 - 5652*b11 + 3312*b9 - 3186*b7 - 50571*b6 + 274944*b5 - 151213434*b2) * q^39 + (-8192*b11 - 40820736*b2) * q^40 + (-6388*b13 - 9443*b12 - 4095*b11 + 5521*b9 - 3055*b7 + 117044*b6 - 371993*b5 + 692547119*b2) * q^41 + (-832*b13 - 96*b12 - 2688*b10 + 3097*b9 + 3083*b8 - 2578*b7 - 2169*b6 + 1760*b5 + 2877*b4 + 712273*b3 - 3506*b2 + 14640914*b1 - 15904513087) * q^42 + (-4208*b13 - 11133*b12 + 9180*b11 + 10986*b9 - 6925*b7 + 186903*b6 - 375697*b5 - 55481750*b2) * q^43 + (-8192*b12 - 81920*b6 + 98304*b5 - 8192*b4 + 294912*b3 - 150585344*b2 + 458752*b1 - 11786412032) * q^44 + (-1690*b13 - 24*b12 - 5118*b10 + 9076*b9 + 15302*b8 - 11320*b7 - 7362*b6 + 3404*b5 + 23576*b4 - 302340*b3 - 13034*b2 + 62286768*b1 + 142880615610) * q^45 + (12880*b13 + 7056*b12 + 5692*b11 - 2064*b9 - 5824*b7 - 100368*b6 + 161147*b5 - 521889746*b2) * q^46 + (-5478*b13 + 3393*b12 - 9648*b10 + 8194*b9 - 192*b8 - 4655*b7 - 6109*b6 + 7563*b5 + 28322*b4 - 1991052*b3 - 6740*b2 - 63598708*b1 - 115203742042) * q^47 + (67108864*b1 + 21072183296) * q^48 + (-1442*b13 + 2028*b12 - 270*b10 - 2296*b9 - 8870*b8 + 4276*b7 + 1710*b6 + 856*b5 - 3282*b4 + 2852402*b3 + 4862*b2 - 84736184*b1 + 244603176809) * q^49 + (4432*b13 + 11984*b12 - 4335*b11 - 24016*b9 + 7552*b7 + 670384*b6 - 478888*b5 + 1378268296*b2) * q^50 + (20687*b13 + 13710*b12 + 36744*b11 - 35802*b9 - 6977*b7 - 357403*b6 + 2212756*b5 - 1792609761*b2) * q^51 + (-8192*b13 - 24576*b11 + 24576*b9 + 8192*b7 - 204800*b6 - 163840*b5 - 456376320*b2) * q^52 + (7190*b13 + 5736*b12 + 33042*b10 - 7852*b9 + 49718*b8 - 30264*b7 - 5074*b6 - 20116*b5 - 4198*b4 - 984602*b3 - 17338*b2 - 196640912*b1 - 252175808762) * q^53 + (352*b13 + 21728*b12 + 42862*b11 - 2528*b9 + 21376*b7 + 549920*b6 - 632371*b5 + 2435509866*b2) * q^54 + (-39083*b13 + 3665*b12 + 62028*b11 - 11753*b10 + 13371*b9 - 59454*b8 + 37763*b7 - 170756*b6 - 1916653*b5 + 84157*b4 + 746428*b3 + 671327785*b2 + 341806997*b1 - 265339450388) * q^55 + (-8192*b9 - 24576*b8 + 16384*b7 + 8192*b6 - 40960*b4 + 57344*b3 + 16384*b2 + 25935872*b1 - 36751876096) * q^56 + (746*b13 + 25281*b12 - 59355*b11 - 33207*b9 + 24535*b7 - 1233412*b6 - 342281*b5 + 688914369*b2) * q^57 + (35488*b13 - 45200*b12 + 16064*b10 - 20876*b9 + 4988*b8 + 35400*b7 + 30588*b6 - 25776*b5 + 109028*b4 + 474324*b3 + 25688*b2 - 317777208*b1 - 98202942348) * q^58 + (-6280*b13 + 35112*b12 + 51384*b10 - 71442*b9 - 117838*b8 + 62668*b7 + 42610*b6 - 22552*b5 - 226496*b4 + 1037502*b3 + 91500*b2 + 152017065*b1 - 58442078898) * q^59 + (24576*b13 - 24576*b12 + 24576*b10 - 24576*b9 + 24576*b7 + 24576*b6 - 24576*b5 - 106496*b4 - 4014080*b3 + 24576*b2 - 250847232*b1 + 758530048) * q^60 + (-33594*b13 - 13797*b12 - 232380*b11 + 58608*b9 + 19797*b7 - 2458477*b6 - 1181505*b5 - 10820993234*b2) * q^61 + (-3632*b13 + 69520*b12 + 33144*b11 + 73456*b9 + 73152*b7 + 558064*b6 - 688945*b5 - 2397614198*b2) * q^62 + (5268*b13 + 15870*b12 - 308316*b11 - 108624*b9 + 10602*b7 - 630630*b6 + 3504150*b5 - 6404934300*b2) * q^63 - 549755813888 * q^64 + (-18734*b13 + 9243*b12 + 537963*b11 - 119961*b9 + 27977*b7 - 5393036*b6 + 10649021*b5 + 11864463411*b2) * q^65 + (98736*b13 + 73216*b12 + 264353*b11 + 29760*b10 - 116969*b9 - 53483*b8 + 64482*b7 + 1623865*b6 - 3481104*b5 - 479517*b4 - 11905681*b3 + 207261489*b2 + 31538446*b1 - 424170206561) * q^66 + (-43306*b13 + 104468*b12 + 79018*b10 + 14282*b9 + 157576*b8 - 168744*b7 - 75444*b6 - 17856*b5 + 722470*b4 - 4344396*b3 - 107582*b2 + 1555685673*b1 + 1177754566022) * q^67 + (-32768*b13 + 57344*b12 - 24576*b11 - 90112*b9 + 90112*b7 + 3457024*b6 - 3334144*b5 + 11984723968*b2) * q^68 + (-96388*b13 + 184020*b12 + 78876*b10 - 30488*b9 - 30100*b8 - 105532*b7 - 57144*b6 + 8756*b5 - 247382*b4 + 25644473*b3 - 17900*b2 - 2791546360*b1 - 814280958753) * q^69 + (28864*b13 - 60448*b12 - 34304*b10 - 29313*b9 - 127683*b8 + 124514*b7 + 60897*b6 + 2720*b5 + 436027*b4 + 41961223*b3 + 92930*b2 + 965738270*b1 - 27860295529) * q^70 + (-95435*b13 + 173094*b12 + 59883*b10 - 81095*b9 - 218954*b8 + 24648*b7 + 3436*b6 + 17776*b5 + 757321*b4 - 59192612*b3 + 102307*b2 - 1719723199*b1 - 1384610660692) * q^71 + (131072*b13 + 131072*b12 - 106496*b11 - 131072*b9 - 1179648*b6 + 6062080*b5 - 6447464448*b2) * q^72 + (-267988*b13 - 400833*b12 + 931359*b11 + 23223*b9 - 132845*b7 - 2211680*b6 - 10296395*b5 - 27265175423*b2) * q^73 + (131744*b13 + 290848*b12 - 957987*b11 - 83744*b9 + 159104*b7 - 1478944*b6 - 3968780*b5 + 5226136387*b2) * q^74 + (-149824*b13 + 125103*b12 - 199266*b10 + 117808*b9 - 194932*b8 - 11629*b7 - 93087*b6 + 174545*b5 + 1841628*b4 - 25922432*b3 - 36350*b2 - 79965430*b1 + 1644037062782) * q^75 + (139264*b13 + 172032*b12 + 393216*b11 + 32768*b7 - 1130496*b6 + 1728512*b5 + 5087813632*b2) * q^76 + (123783*b13 + 20881*b12 + 781497*b11 + 147234*b10 - 68905*b9 + 254318*b8 - 278080*b7 - 3650714*b6 + 11579389*b5 + 359682*b4 - 17003570*b3 - 54667541430*b2 + 2511972800*b1 + 4324267987124) * q^77 + (235008*b13 - 321408*b12 + 62208*b10 + 40527*b9 + 481005*b8 - 56862*b7 + 45873*b6 - 148608*b5 + 55179*b4 + 47793879*b3 - 143262*b2 + 2091359742*b1 + 1238585396007) * q^78 + (-533068*b13 - 878616*b12 + 203844*b11 + 888708*b9 - 345548*b7 - 7065900*b6 - 35220200*b5 + 63670810280*b2) * q^79 + (67108864*b3 + 334403469312) * q^80 + (-164806*b13 + 54336*b12 - 385746*b10 + 420808*b9 + 326126*b8 - 345400*b7 - 310338*b6 + 275276*b5 - 1184768*b4 - 29328532*b3 - 455870*b2 + 1506814960*b1 - 742244451563) * q^81 + (70016*b13 - 230528*b12 - 251008*b10 + 93447*b9 - 151659*b8 + 224626*b7 + 67065*b6 + 90496*b5 - 3515485*b4 + 26769743*b3 + 64114*b2 - 2650589330*b1 - 5673021046625) * q^82 + (-424422*b13 - 543631*b12 - 3179472*b11 + 103238*b9 - 119209*b7 + 7820595*b6 + 84243009*b5 - 50567843324*b2) * q^83 + (155648*b13 + 221184*b12 + 663552*b11 + 122880*b9 + 65536*b7 + 12369920*b6 - 19275776*b5 - 15900229632*b2) * q^84 + (484921*b13 - 242301*b12 - 5389131*b11 - 15489*b9 - 727222*b7 + 3647946*b6 - 27634909*b5 + 9899228368*b2) * q^85 + (438496*b13 - 662448*b12 - 9408*b10 - 82002*b9 + 173674*b8 + 397364*b7 + 305954*b6 - 214544*b5 - 3898810*b4 - 82690754*b3 + 173412*b2 - 2469279684*b1 + 455016847230) * q^86 + (235306*b13 - 341826*b12 + 4484796*b11 + 463836*b9 - 577132*b7 + 39855262*b6 + 25104146*b5 + 216110175762*b2) * q^87 + (65536*b12 + 253952*b11 - 262144*b10 + 8192*b9 + 286720*b8 + 180224*b7 - 8462336*b6 + 2908160*b5 - 483328*b4 + 5054464*b3 - 11789565952*b2 + 566116352*b1 + 1233368195072) * q^88 + (-244470*b13 + 36864*b12 - 659682*b10 + 116344*b9 - 1214802*b8 + 634600*b7 + 91262*b6 + 452076*b5 - 5859739*b4 - 100115235*b3 + 426994*b2 + 1147448072*b1 - 8412062942638) * q^89 + (266208*b13 + 377440*b12 - 383098*b11 + 277664*b9 + 111232*b7 + 49990304*b6 - 81339012*b5 + 142898121276*b2) * q^90 + (507114*b13 - 951780*b12 - 382218*b10 + 340824*b9 + 765150*b8 + 145236*b7 + 103842*b6 - 62448*b5 - 3037206*b4 - 296888922*b3 - 299430*b2 - 3756466920*b1 + 10758045541944) * q^91 + (532480*b13 - 638976*b12 + 319488*b10 - 122880*b9 + 802816*b8 + 32768*b7 + 229376*b6 - 425984*b5 + 5021696*b4 - 17170432*b3 - 73728*b2 + 968220672*b1 + 4275045924864) * q^92 + (211654*b13 - 635880*b12 - 636798*b10 + 1166636*b9 + 2437966*b8 - 1272248*b7 - 742410*b6 + 212572*b5 + 7835508*b4 + 344554835*b3 - 1696474*b2 + 7654319760*b1 + 1954417516103) * q^93 + (156576*b13 + 72864*b12 - 2312246*b11 + 1162080*b9 - 83712*b7 + 26951264*b6 + 53557458*b5 - 115194840092*b2) * q^94 + (174320*b13 - 38752*b12 + 1345404*b11 + 834596*b9 - 213072*b7 - 20711149*b6 + 66601720*b5 - 368719097816*b2) * q^95 + (-67108864*b5 + 21072183296*b2) * q^96 + (-203816*b13 + 446572*b12 + 281696*b10 + 65056*b9 + 554744*b8 - 654564*b7 - 307812*b6 - 38940*b5 - 3424915*b4 + 560972595*b3 - 411808*b2 + 9766795920*b1 + 8815706949572) * q^97 + (-70592*b13 - 237888*b12 + 2810508*b11 + 272448*b9 - 167296*b7 - 17773760*b6 + 91575068*b5 + 244596777133*b2) * q^98 + (-350537*b13 - 568842*b12 + 6444228*b11 - 1043850*b10 + 1022786*b9 - 343496*b8 - 503228*b7 + 43320132*b6 - 258640229*b5 + 7207459*b4 + 441389040*b3 - 95059404973*b2 - 6647829975*b1 + 8489274531513) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$14 q + 4394 q^{3} - 114688 q^{4} + 69758 q^{5} + 11016572 q^{9}+O(q^{10})$$ 14 * q + 4394 * q^3 - 114688 * q^4 + 69758 * q^5 + 11016572 * q^9 $$14 q + 4394 q^{3} - 114688 q^{4} + 69758 q^{5} + 11016572 q^{9} + 20143042 q^{11} - 35995648 q^{12} + 62814720 q^{14} - 1359602 q^{15} + 939524096 q^{16} - 571457536 q^{20} - 2107666944 q^{22} - 7305755542 q^{23} + 19291879452 q^{25} - 6388480512 q^{26} + 34093422830 q^{27} - 33569873942 q^{31} + 2885838062 q^{33} + 167764701696 q^{34} - 90247757824 q^{36} + 73167823966 q^{37} + 71236111872 q^{38} - 222695314944 q^{42} - 165011800064 q^{44} + 2000205168616 q^{45} - 1612717386124 q^{47} + 294876348416 q^{48} + 3424602524990 q^{49} - 3530064068164 q^{53} - 3715439610854 q^{55} - 514578186240 q^{56} - 1374208002048 q^{58} - 818496564070 q^{59} + 11137859584 q^{60} - 7696581394432 q^{64} - 5938395621888 q^{66} + 16485465276922 q^{67} - 11394452631206 q^{69} - 392146020864 q^{70} - 19380879179878 q^{71} + 23016770893992 q^{75} + 60534793808304 q^{77} + 17335823992320 q^{78} + 4681380134912 q^{80} - 10394309810662 q^{81} - 79417078012416 q^{82} + 6375532305408 q^{86} + 17266007605248 q^{88} - 117770741987650 q^{89} + 150621364097712 q^{91} + 59848749400064 q^{92} + 27345122803162 q^{93} + 123398138843566 q^{97} + 118861332531788 q^{99}+O(q^{100})$$ 14 * q + 4394 * q^3 - 114688 * q^4 + 69758 * q^5 + 11016572 * q^9 + 20143042 * q^11 - 35995648 * q^12 + 62814720 * q^14 - 1359602 * q^15 + 939524096 * q^16 - 571457536 * q^20 - 2107666944 * q^22 - 7305755542 * q^23 + 19291879452 * q^25 - 6388480512 * q^26 + 34093422830 * q^27 - 33569873942 * q^31 + 2885838062 * q^33 + 167764701696 * q^34 - 90247757824 * q^36 + 73167823966 * q^37 + 71236111872 * q^38 - 222695314944 * q^42 - 165011800064 * q^44 + 2000205168616 * q^45 - 1612717386124 * q^47 + 294876348416 * q^48 + 3424602524990 * q^49 - 3530064068164 * q^53 - 3715439610854 * q^55 - 514578186240 * q^56 - 1374208002048 * q^58 - 818496564070 * q^59 + 11137859584 * q^60 - 7696581394432 * q^64 - 5938395621888 * q^66 + 16485465276922 * q^67 - 11394452631206 * q^69 - 392146020864 * q^70 - 19380879179878 * q^71 + 23016770893992 * q^75 + 60534793808304 * q^77 + 17335823992320 * q^78 + 4681380134912 * q^80 - 10394309810662 * q^81 - 79417078012416 * q^82 + 6375532305408 * q^86 + 17266007605248 * q^88 - 117770741987650 * q^89 + 150621364097712 * q^91 + 59848749400064 * q^92 + 27345122803162 * q^93 + 123398138843566 * q^97 + 118861332531788 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{14} - 2 x^{13} - 38299509 x^{12} + 1255603312 x^{11} + 548839279225666 x^{10} + \cdots + 61\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( 55\!\cdots\!75 \nu^{13} + \cdots - 60\!\cdots\!40 ) / 11\!\cdots\!20$$ (5501677180631172787139385973022626342411035623687226344033040241411519221211990003850943500575*v^13 + 2742245237677683929988652415177712229467341963786029210700069945757489210209470829534834128532929*v^12 - 206236799315448880233413621638453403800497772233904017615075938790730781097173230701913172532539139768*v^11 - 96504501847736322640630976834687339940223285924706898591681764907252600228376940275159653642940694957816*v^10 + 2862913734372190989961928025728623486914453404852695647799904456237976412748835514649009083949331475737294598*v^9 + 1092745978671642475108096996746944799776447970176129743939054478077083649058311833537555227298990439791365511594*v^8 - 18160253215487079795286420884801647299521612946824453147621902262641092487159741023820616414834735302299880408068892*v^7 - 4181013832428197398133862523320909182700670305572770152874873148453036590328248139797751201597762883820016402795317364*v^6 + 52876786904088459824798078600514423117452945833614119563326104864745042719640368287795516368894087824941959953418725006583*v^5 + 2378362889525012106696681216036317604003576693111888816291746774187511891691471020284008595118385644119622973651383604184825*v^4 - 60021930434785357265788094299564382132837184520413202551240922215541846584838998250647681980507078127895933357482048469129317204*v^3 + 6958073872801719862486230978460783809897073672063339786319715223394152780977382138750813828179763833520902815721890859944864685012*v^2 + 11129353083347953506360933728442308215559872508812674019888974886684898542198642618161252869916439560390804932618912692393703545646460*v - 6095522301973696738034966033854791870015140147105582051132322221700696141997170515903271577961126840838665674601644533782022222922346940) / 11232340705704595681349276096684013789396671374922606831982742499779589776663077103427567114111922057963840321524616220261469709765120 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 55\!\cdots\!75 \nu^{13} + \cdots - 60\!\cdots\!40 ) / 17\!\cdots\!80$$ (5501677180631172787139385973022626342411035623687226344033040241411519221211990003850943500575*v^13 + 2742245237677683929988652415177712229467341963786029210700069945757489210209470829534834128532929*v^12 - 206236799315448880233413621638453403800497772233904017615075938790730781097173230701913172532539139768*v^11 - 96504501847736322640630976834687339940223285924706898591681764907252600228376940275159653642940694957816*v^10 + 2862913734372190989961928025728623486914453404852695647799904456237976412748835514649009083949331475737294598*v^9 + 1092745978671642475108096996746944799776447970176129743939054478077083649058311833537555227298990439791365511594*v^8 - 18160253215487079795286420884801647299521612946824453147621902262641092487159741023820616414834735302299880408068892*v^7 - 4181013832428197398133862523320909182700670305572770152874873148453036590328248139797751201597762883820016402795317364*v^6 + 52876786904088459824798078600514423117452945833614119563326104864745042719640368287795516368894087824941959953418725006583*v^5 + 2378362889525012106696681216036317604003576693111888816291746774187511891691471020284008595118385644119622973651383604184825*v^4 - 60021930434785357265788094299564382132837184520413202551240922215541846584838998250647681980507078127895933357482048469129317204*v^3 + 6958073872801719862486230978460783809897073672063339786319715223394152780977382138750813828179763833520902815721890859944864685012*v^2 + 22361693789052549187710209825126322004956543883735280851871717386464488318861719721588819984028361618354645254143528912655173255411580*v - 6095522301973696738034966033854791870015140147105582051132322221700696141997170515903271577961126840838665674601644533782022222922346940) / 175505323526634307521082439010687715459322990233165731749730351559056090260360579741055736157998782155685005023822128441585464215080 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!14 \nu^{13} + \cdots - 14\!\cdots\!20 ) / 17\!\cdots\!40$$ (-104956996456423622113007278638513759086944915982046565682002050235058691429588867834834243144289359981813273048214*v^13 - 103403345062881785372429988025323880087113130934751085126398885714827781792137138836523812674238995215149253887299751*v^12 + 3950691166596199208806502145443808582645949926564707056659794803305731955331837904840378495189425555907947935615043071120*v^11 + 3754923969195118338997616163638809864894922107076747130832100626344925837456563194097057579740087829552640385644753788501896*v^10 - 55079981996642229604246328519114521651683686957818129287267342389700582583503010801412142870325021198110729098423027760001978972*v^9 - 47597429564176338845458653888991511290743999088978631389436521861094211920885775605471327844766636903122625425501406215729097440294*v^8 + 352158107394119114126243129009854250651865880685835160860135445774530206606844552807431960253123742614401963305245610406217856743800888*v^7 + 252616056070003991969692175802348094411927858820619398104227814312064460764784388039283949989027083330902313900682782603934414210337692396*v^6 - 1052483997713823793410463018717013115413333408278993620381189013614453485869711456543709781458291788439771372043634499600219085477467566825638*v^5 - 568731693952552862200524311277125680485882473261656220433882390025691344221383493740205726419524436419132310168517785331944522767539871067027823*v^4 + 1324459694446764413190509826029906922399824738727870661054017975678708150365009334583024683859020381186675217608530441048605225124878805167285192008*v^3 + 528479511167108456775652856269419996821487113513785933081400358155707754277742331443407441254178503741328839097778137072781480450751205964582328601780*v^2 - 623372275648433227543219278420901391559062471157049477698287286906025918958271691345832714860454894178693355248450610040325355003174155819350745801610200*v - 142916661572604632146345223950705655848934403515026414223786766525982681592027941369408280867386637975240765300777388370542432877465738023819557926780054620) / 1748899888336591089141458635553077385644379506581449843588885915594634796459034375668902966476724730294712534999825027438808135866464008141029529354240 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!50 \nu^{13} + \cdots - 57\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!40$$ (1092264937897216787153770666061609824901549093984605539281798602653476902378712975744975036528117077003128482050850*v^13 + 549008861324031546838183017285082783218635309613162611238150675487388902050468772875598605972303548955501341234817125*v^12 - 41190253741088816926487493152719927532451741230267208422296047716272139022674590795174584941108755513879080695839643872944*v^11 - 21789182696758922891157988105342635501720766018331345462234069305312884325700211987254757773342045078388405167447926166902552*v^10 + 575779524858580796949367504152140974426423045430662967178816743508661875624180131939444873742871705620472562570781988480504255700*v^9 + 301198413256167200999455028798920301511442810453996341825324869479877621617575792926360602001835263553252039780207570265742837165778*v^8 - 3683427219168562111714791029589517931231775101607185062818028549757969807850885645838511398742849224167615509967074901382124298883396648*v^7 - 1801083514443439941538064329631883548609333322847051748747452514561790259058150853777989795805014183896543243854217763604177806548385460100*v^6 + 10932707613086979747601729673553377486303756708764534710776934934832168100480211800665398144193958445458088707500778462860048023575571722180690*v^5 + 5150610066928780452430635184638899631591986529193085096616150165526390341579166935886035072812181282756913594920502723671946156856964450666958653*v^4 - 13741286233579306675090396348031030913647617816009849321005965983244185333176244323674106459050701716549726090215084220347786204450492866107903620184*v^3 - 5943689216332779184369799129490887349452238245678901700551216159836622962011958687409325367676451361661202152240931350991794479933451494885756119449948*v^2 + 6844501883882795475833975815452191828867352591381097690533151522771515355773924300924430926281536245616877416906738516763388119403096005974978988054931720*v - 5753521403158947954616376616656034408616037993432585129548415478078978199911669040999277915047339371346588459484430050398064384061000294909518575425773798700) / 1748899888336591089141458635553077385644379506581449843588885915594634796459034375668902966476724730294712534999825027438808135866464008141029529354240 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 83\!\cdots\!63 \nu^{13} + \cdots - 10\!\cdots\!20 ) / 53\!\cdots\!60$$ (83431775516331705320088823852235075216732243485860717072367758370918552989451357864925333804063*v^13 + 135598041794828715399587142115164575888205101055318816159229764623390061191162768438971900794684179*v^12 - 3133709876887625619472953359638208855354334191489653504283130353690854039923708350851690638078410268552*v^11 - 4746145575082306972739008557285602440271227414595325618908997642086902970732317630114391108636806839044344*v^10 + 43552505774282430542468310575842376135606898123801612004931367987730840341842005768605662234553187615010365718*v^9 + 57832371013196562488502020082576340924364306258638574878815706503377454860692984722233193889834229266456134898926*v^8 - 278361857205758895493214999496631224184305076078871794790670131766108901218906426057065260245819808103271251643018508*v^7 - 288504358174570226028483782651048379488944219796524383471064179466752441626016852854196670880707862249357030596226984524*v^6 + 840412803558219805287383771479500105783443863633942901485920424663362739509215495330635846734358468366819251060461686739175*v^5 + 548447569093034049134158004489825615114471279299928522871900948157360070730942162946966723405014837004888402146530124566106987*v^4 - 1064335723650682389879142423739953359316766428459789766141384671350359146240674602987447899103089692927032167868876361216114279636*v^3 - 234018814034438062333712005165720348842624136439219110590319333425947703820591690525292924986287242756282267298582674047739513020740*v^2 + 477744087436738542433573885880596181886855784312396044435951969185524900113634722031179813384934085988594368243399120143385549356277820*v - 102233972537546154133239838903873781803826107798237217536375861209898684551576740958550088411635724239403161019637628642829327299869095220) / 5318343137170736591547952697293567135130999704035325204537283380577457280616987264880476853272690368354091061327943286108650430760 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 84\!\cdots\!67 \nu^{13} + \cdots - 37\!\cdots\!00 ) / 13\!\cdots\!20$$ (848671903443930804258852418016083410004431511951439260796730477055031880388071001969558391317978989286952181814823767*v^13 - 34021330375755132962669574802739513039094002456523436808951128397588960683346070172194961583916762399894263237249144699*v^12 - 33981174189745260285928014682887958794376585432652911444509057377056198664640103515807859741567603383372588308137774833661128*v^11 + 2518000180975923256879430171251413806888306449210949048574340690342342016573836869939976539262998602627847746080499302780155304*v^10 + 519138068592236289069418864027860610505208989352814324740300377675614812057157275389757622039938609850108322010331296491393165705542*v^9 - 75619721572622809047024610433773078946265136624923626556896117697379749311195146539645965516047532836220490303058807945059820116141486*v^8 - 3792257876878320914197171626931943321073444163338922136158001084729227402381441871033844282844061489939816860454341884845114746620911658092*v^7 + 924972427848981544383249309871350191601805560911480479686242486043254100570050628013360322263566285437145616153880351451842886784484728290364*v^6 + 13595149600571075843364277644705012851921254181618171358007956769700027406637432440284723731843332956272270862877375387665590353775885176818133855*v^5 - 4397274675633955778846374754168942412863287029782740223460699816322721526074163234246684105555929539670717522194868793419350794484573692376092724707*v^4 - 21545239242770305372616437041886400482202008851759689367476409951311182323159550911168760158443754164037716217983218042339021190866360505810291033206644*v^3 + 7033911587130536833998127373950048545066596161616077787240120636917236671860975541397672916077359467936361762579363437302586024647173867942698217572376100*v^2 + 11630752964283041579112381352415314691365978728188442888910557646641342433813758189789735946463953117260600066603876822221514307120840283591698067291482172700*v - 3737196606529831740256500385262272651818735547985486673747256382729434832770926165237033563104642475970574665648404079394765909393216480692379177903803979766700) / 13991199106692728713131669084424619085155036052651598748711087324757078371672275005351223731813797842357700279998600219510465086931712065128236234833920 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 32\!\cdots\!31 \nu^{13} + \cdots + 10\!\cdots\!60 ) / 63\!\cdots\!60$$ (-323178681817931998694517222644695881018294663289630671404411779074425586067497702610775977888871199944282307182517331*v^13 + 1964745633349034378320168906552846824412449615755935036017241602708960311294594339626904880608945721953699706203293854755*v^12 + 13645305911150451535100016473945962097902548378881563585853586734913091033136805061449225386074561278184615815197312609605608*v^11 - 73148572905192937651418649383555491089398080828416367621021310854641600892491019737087855397125517603894291189372944081380453224*v^10 - 218869591207213914210965651911731273929485464307112476246195040121988024438387833520285664160872263914549597576712633990945242536350*v^9 + 1005154792751319492245319301973350748734643300785982274700444132085544801251279728129703676275836486163595941891320606458425080064257086*v^8 + 1602184399202023039068058386783602059498976387856170259052250237523386626416940562859770566403106277401280877533789473150143493823564818332*v^7 - 6216919711522776628727743824140335453131588435594841681494370524321929807503761142502234937145633938470363572953433455029848735284144369206620*v^6 - 4914924501373494154162367104687829898719282964425999642014254597571879332349845184141759580562829687437453221820392118533602510092745473152434299*v^5 + 16625125980472640091500756752177510000486999379403195911079016660666985864048026778838857846153872577588368704110987657350433832532863527808675972171*v^4 + 3973087315024872083966773953404576174048281434906001337237333111049188798703714525971937693557879166453243115051340549370740949623662815789863736278724*v^3 - 13120506729002176300440111587013180369980455039916568622175982128213953785380778696782311828869769185118858606664411944720429786310843576234189130291345156*v^2 + 164130765725142240099379884192306267808698700609765460393872979811212282387878647800794672019990158265112379315381665756993740684502704538232854339204483060*v + 1003043692254834065950237611462407151411327430096216791103778698977574656093304809434945291198823524702201196071493691384075912948703935440395046453803328502860) / 635963595758760396051439503837482685688865275120527215850503969307139925985103409334146533264263538288986376363572737250475685769623275687647101583360 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 82\!\cdots\!43 \nu^{13} + \cdots - 58\!\cdots\!60 ) / 13\!\cdots\!20$$ (-8234138565387969649516051115918708841380195629930825434426582427772746625535644797944221835729920584977771960279878143*v^13 + 13681104702027255569186033948453187918400645780905932964728547660280629015092878091773509877958506026529045250752124463011*v^12 + 323384376879056049127592744452375741453260254105303648920407780079692492175378271103741221012009112821363160510332372382305160*v^11 - 509982297976997154062885344233577929015301585546697576392570659203377323022186956002630730278743175257773000616345215785090502760*v^10 - 4719750383836644035598685204554724623757586357757069349766472982677649213645269929447480497228238267727503489194862983258401575725270*v^9 + 7145128425682349649987126782264581725728149850298029325140841806220487572049513252631568309579866500309259291512961391649635037971994686*v^8 + 30710382841345598630128553441174820249540427997859914244183614419641267050412969701221623264704183972624967095090487125097517614261349398668*v^7 - 46018825227986692574587266399513846611374048284217854288616887101685583854972236224826929614812492720355382862529772379042238348478967410582108*v^6 - 80130891693403847157754589672433971522721245897110893523761330268756278972562212515252073933369395583793608946181685704014309286253170261815643847*v^5 + 129133389767773437527932395556633247177128834097430169944087949658767121315058158299831607145035769556567487995544787491025794419531756227394504909515*v^4 + 35628846791201347926753708808962331431003680711840420560214411442941743337576660502010555090518130457710927508224788826184406412457017982827572783550548*v^3 - 98848225610722522551164310204813393773120246002527302445540922697378187565704464966497640360955752574844320349189072560811855663585153308271213439462284548*v^2 + 27661093488697594201836019214061316514349926897477428754044505567594157783668896611936455581953270353865311039137746894778744602142669814047835226290687852100*v - 581535275489821255602497608326228962390427138519088946209355413716710090984602853188736132307336333263927391535723358185859038755985764635242044099842050126260) / 13991199106692728713131669084424619085155036052651598748711087324757078371672275005351223731813797842357700279998600219510465086931712065128236234833920 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 75\!\cdots\!07 \nu^{13} + \cdots + 26\!\cdots\!00 ) / 87\!\cdots\!20$$ (758641521130186589691296835020820219471841208393542601242827639177031672499939964989530528708224263177730644668733407*v^13 + 2875575361771379895523087533361479226847043764387301165853912270749693419594464963516397899009763473483618330262788903645*v^12 - 27146521754132236497821680724166665396556779425386256944179976458064138057979286373549019056855369976846978752896886948159624*v^11 - 106854890235810051978170456737830483194638447406613085316748081934980670968612798565004401687918709654484095052453032325762597272*v^10 + 342531704890412863889840080243331178405816472573453731351844399129684088174887081636593238281732476360581595074438821684240357650326*v^9 + 1438716401332400331450511019560715355509343838137658937073243836816665881927963518917517174377997082235194055507503948839916710201975490*v^8 - 1765738922241558457281677810745865460636840015954611113537585671587563023510076276118235418920612331216129425416147424239962697462480217612*v^7 - 8511819521807755644276972830354950787789721300385540543661110295718495055972198607043215692312171879312949100074431649915655005943023278660004*v^6 + 2899702001759586125020107475928638299407306254784505416662159306748449437224081708746774508299414089706101663362139071372513273349876226707312039*v^5 + 21460258575792298070621285486616496637055929285671877784362762581998940668814186805963859001022298051739376624831238074171430266754463986754894502325*v^4 + 2219077005210811856584109498434011157169302678211724395879813179476811255401198040629727486147840418204769829863367937476679648440534878566148053179692*v^3 - 17313048326657874553917373934322685620308988094105894904350321881354162424540906355177511052864145037777449961846963801188729922343428187205556125256745212*v^2 - 3722613835759016641200154117416206644017693892861614023490858992195227543995805742500624143993203694953253818302301382311900289532430212840103270263423553220*v + 2668362890862077121620817507992269251045648973882129296956910601714114443995036943180861665883802609022300544290562183711975565886985736585407316690522198168500) / 874449944168295544570729317776538692822189753290724921794442957797317398229517187834451483238362365147356267499912513719404067933232004070514764677120 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 73\!\cdots\!21 \nu^{13} + \cdots + 25\!\cdots\!60 ) / 69\!\cdots\!60$$ (-7389532605854554334637613953239343906489261392865122627647788747433949163384975739415392333046205495809290015287040721*v^13 + 5573306018522129035290288886789378053351433396060565685682259661381901929657950299493401117384221196083109560364890677401*v^12 + 285443794765943155080314598838334021779479359323648261869127213891740812774349198739587222987953606468234778103270953065594616*v^11 - 220654797551920987147041386424699888440652534617205105339173819930297421279099683496484641050211875482315618455153101509305181880*v^10 - 4162977809682148399736582787897649319041340126721556498793301511598473809716210231785882686474292689888078134320429189109407165980746*v^9 + 3414679930257787904820440155577058773423158223877880047021814006187101297652558212931172400296574294560826822248928054699818142954027674*v^8 + 28652465224973331795567740597982493363398536335805291505348355749092441863664658061430750297331999587763703050485581139996039170947156344500*v^7 - 24959724396353687193795495357536065449450673827887066187466893282983547977772913566500786525759811508785421348205753287555873484794565920104404*v^6 - 95432520337316245591632886661551542468114318916791865695138839517792397659745710887503086759958197263347096247463442797052492154692760409356904585*v^5 + 80210812001880415632382152932388546515268240989923746464834613897362309740568657795294537549550050514209570786504887615123776601726953944460742761873*v^4 + 137383205263774620311376305633850627081543609529335782890433586803813237886277598705521735660403180766142423155158097247774352618594075131336870636590444*v^3 - 84761248066885564545202828162787226346043232934801871013465767919215139152914347870446321466106082743862432855114918507415945033315811333881119183873570124*v^2 - 67241212176779975116709661769175539196281249116623417460554302539382599843590103494585306379837181476038720060793089483059259726428813209738266106385280157060*v + 25165309290976175955444579920488946037588776849757617693446755889706650097969571767590570192123615236177556000017487958513844305515494563556370764840822959217060) / 6995599553346364356565834542212309542577518026325799374355543662378539185836137502675611865906898921178850139999300109755232543465856032564118117416960 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!49 \nu^{13} + \cdots + 35\!\cdots\!80 ) / 82\!\cdots\!20$$ (-1785500210290280324893940902963512236716347674590439514407802105532784562072327914708623944139533028655899440345949*v^13 - 548755060413762726126754796529676685223366781612428946749573209918506672539275150515661282113419811839288818957356759*v^12 + 68418162359507975502866433731179450954252341835231047472730962222403696771919526321141435810345541588039570175632742069144*v^11 + 19901898718755383350614088435641090254463195405996585804794368167870961102886908256156002574781798580362080413334557795023560*v^10 - 980799412440777550891253136350487635799154880826786718448233339645580044395570224796062693712678353902356523011616484665148922946*v^9 - 223125177355051037262407001789967315998483598828424001650780803243693999715781654131315022250899967997150901052032941114762522470086*v^8 + 6530133161727959652088616636848243448638580601451337460989811984261831101634151045417266888577520542020387255195990627595773308076578084*v^7 + 726192291180620689009240595324102306183192183985503527877961135894865257246220895515403606665137468476632946686792623143015113155343407596*v^6 - 20497641165901082321222524169199798203715677321414333053904083002036698205587637222950252431636545185916384870927570524201847232355305377261237*v^5 + 701162342565078743354642561893626567797463172011495030259460525908308490638386249483719705179953748129371058374279727831637882866215146645468833*v^4 + 26793415393142708784547412433224070469227916497861338099635325992647505040955585155101909221517200024318870769410711339246232706670186378370196147580*v^3 - 4540154672334428743883124142533170265983914812138887439235635698422745447621171895255802169890767482875819557798072506420397120838432396354291272878604*v^2 - 12107230202233651970445529087119671381986887740504195898329923081991684594596306101797753225626227421679240674240428737544648663101277692393205370645885620*v + 3521224786648480395230016128296425267359719106780418514673532387196989558489456497212695060072750892979388832939202688721915083945571193761920420910472362980) / 828077598644219265691978520621722246990709993646519812305343710035338445293103397570503298521176482147117677556735334961556882512530306884957163520 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 44\!\cdots\!41 \nu^{13} + \cdots - 35\!\cdots\!80 ) / 13\!\cdots\!20$$ (44031228873677215699373057222617782301547929448147621498828406433428615811429071724032450154757855780070201359915373841*v^13 + 54197269975080751399892715233003365682111286951180994802643696625533163119062983919319594998969740836898484182357995080011*v^12 - 1645393821166300520446318629824158254162862464361588771661238664760635207809324851890409363970452603029052665687859682502711800*v^11 - 1960047861471319010057878492419030685157465368399528404959859350702164702709870746055817624367796112195373178053212954427722937640*v^10 + 22690814669977093375903968031459792042091257375370018585834478501136718214284515302774436719612479008490645244301303435700779771664842*v^9 + 24743733156608382067036112941761517775029739936305543881143101046963938199176048994010194866933497895135667232765354177172894627248926670*v^8 - 142609539396289023189293790414043549426672136440433032031476504548294067424707179062131068267979420619056617951166894841441096052678116556980*v^7 - 129147575107446588856195378490053261478683921003034062018844393812696543248465547124375711942810785743173647272828834892198377067883331095007356*v^6 + 413261984592733497112779699215811342007043932831768123217910334496581708958224566538030155657553674153340645252912492042215121146099981389081176521*v^5 + 262950504038561824978610270636403554325808426551258633450462564600166456745373194990177828259074236605402798520227929662360508999398699885775785805619*v^4 - 478313211115125822735368053311373643087828556561486727311150496048001973408650820352839913414676153993787341451407961151628784701457270346465839511951980*v^3 - 129736574643234308337246415235354219747373614519151862645361785445653601306891627656955850283696343195993423273998287951608114923553049047816596676357154276*v^2 + 190723228040574166843112971831213058241546765608568736551516568927197525683559020677819637762646869514196238142704540991770192400191992631913419401499590860420*v - 35882738730383569232609561892421482800199808562447032834866233509978083580663090566468732972710321124837016747941375212247155983437436142591345547917218401583380) / 13991199106692728713131669084424619085155036052651598748711087324757078371672275005351223731813797842357700279998600219510465086931712065128236234833920 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 38\!\cdots\!35 \nu^{13} + \cdots - 31\!\cdots\!20 ) / 69\!\cdots\!60$$ (38678429769679468822541117392837488009177278375025631310134562649770017586087701404355467687921714446405918985182108135*v^13 + 23044837824693629903104582041393714609665721354368137396702014334092449522457949842853151815510886483826816078446187996137*v^12 - 1461247121330974223375606922595663090808382400375792095561942627501812465831161925308120099703709996299092054218474562609178952*v^11 - 814591854419086082515893190663933719630631337752756133391952709621823373065878105305521252582648154329597182506020435334409088568*v^10 + 20437030996367035952244874994002573802510331093574904076233532065243421209348856610238011920004141815445445470688702592393379425135590*v^9 + 9492806283470261649140044177544482852833770993948809900774934501036960782372966062318316406215011613226816647232831192255384510684084154*v^8 - 130077533245470435253747861856416793169727954391723981778933989451709448652190945061677655492853565642572155999775637181239099329337473326764*v^7 - 40006605083859934504812955193139487385753967829169479135914778829311165650688880182971666419421354770317893318489752396891004565253259712933396*v^6 + 373353668119123695394852998978536141558966215829109192371846331407794696161535442357974911154215564475245669745901881300701049928611067176006731375*v^5 + 42706540273268505887162511834833812226189390823133931096193412472574800351641479745061982071631352876535087462489523256614377649845073130479370618977*v^4 - 392766863844590389023031347583449310493146526794730051561944865603046640982011433116581722778996364519999178663409983316455889509802308622109381585441332*v^3 + 22080959649160785830815341890468923780598567526791394925636417016475465143903853174614467296527952701231942051474715621288121869476367674753237696619942132*v^2 + 125646306308858128355690687799008579876376403166064711287825166656866955569112484668602854970051862792518251843741670228969277371451059621659076402027202530140*v - 31297582239589112696025177005961811787445917680540978889269400131553853443847852879943850350790524735216537927836775903116910331570758909193554694638189425397020) / 6995599553346364356565834542212309542577518026325799374355543662378539185836137502675611865906898921178850139999300109755232543465856032564118117416960
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta_{2} - 64\beta_1 ) / 64$$ (b2 - 64*b1) / 64 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( \beta_{5} + 32\beta_{4} + 608\beta_{3} + 1664\beta _1 + 175083904 ) / 32$$ (b5 + 32*b4 + 608*b3 + 1664*b1 + 175083904) / 32 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( - 5936 \beta_{13} + 13584 \beta_{12} + 39 \beta_{11} + 9600 \beta_{10} - 10576 \beta_{9} - 18560 \beta_{8} + 3904 \beta_{7} + 3312 \beta_{6} - 2192 \beta_{5} + 45440 \beta_{4} - 2063360 \beta_{3} + \cdots - 16257981440 ) / 64$$ (-5936*b13 + 13584*b12 + 39*b11 + 9600*b10 - 10576*b9 - 18560*b8 + 3904*b7 + 3312*b6 - 2192*b5 + 45440*b4 - 2063360*b3 + 16425897*b2 - 617539648*b1 - 16257981440) / 64 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( - 4501152 \beta_{13} + 5113024 \beta_{12} - 30616 \beta_{11} - 3157536 \beta_{10} + 3414592 \beta_{9} - 609824 \beta_{8} - 4321920 \beta_{7} - 4475360 \beta_{6} + \cdots + 843813781718112 ) / 16$$ (-4501152*b13 + 5113024*b12 - 30616*b11 - 3157536*b10 + 3414592*b9 - 609824*b8 - 4321920*b7 - 4475360*b6 + 13618647*b5 + 215428976*b4 + 3065073424*b3 - 257816888*b2 - 16156008960*b1 + 843813781718112) / 16 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 85739493712 \beta_{13} + 188174153200 \beta_{12} + 570270485 \beta_{11} + 124144932864 \beta_{10} - 156078952752 \beta_{9} - 308327246080 \beta_{8} + \cdots + 37\!\cdots\!36 ) / 64$$ (-85739493712*b13 + 188174153200*b12 + 570270485*b11 + 124144932864*b10 - 156078952752*b9 - 308327246080*b8 + 85830916032*b7 + 67123835024*b6 - 20401797416*b5 + 844210208256*b4 - 42814349432192*b3 + 263886923696869*b2 - 6804903088796864*b1 + 373002090584923136) / 64 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 175917531938176 \beta_{13} + 202257049447552 \beta_{12} - 2039243909968 \beta_{11} - 117246370703616 \beta_{10} + 119636540498816 \beta_{9} + \cdots + 18\!\cdots\!28 ) / 32$$ (-175917531938176*b13 + 202257049447552*b12 - 2039243909968*b11 - 117246370703616*b10 + 119636540498816*b9 - 53601385060608*b8 - 149855968533760*b7 - 168581922935168*b6 + 472715860706347*b5 + 5360141460610272*b4 + 69497561203618464*b3 + 17356711224175184*b2 - 1064828252846651520*b1 + 18579632803207422776128) / 32 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!64 \beta_{13} + \cdots + 11\!\cdots\!88 ) / 64$$ (-1092485232306141264*b13 + 2351593749264514160*b12 + 8584291858316881*b11 + 1510585640919460992*b10 - 2030196733114073392*b9 - 4212867618329691520*b8 + 1297265112182596032*b7 + 1036624393525613456*b6 - 95109661069254448*b5 + 12766599210183557248*b4 - 615523679792597825536*b3 + 4066984141625290071525*b2 - 79109206303037961146176*b1 + 11870934741298269897509888) / 64 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( - 64\!\cdots\!88 \beta_{13} + \cdots + 53\!\cdots\!32 ) / 8$$ (-646175204929673486288*b13 + 753450852604193255808*b12 - 10042901934720065736*b11 - 403324150680323428272*b10 + 403948344686389028992*b9 - 251296149817215347632*b8 - 517890542834901927168*b7 - 613743937766414448304*b6 + 1793140274713528721071*b5 + 16542774229834424853176*b4 + 203487093661258590805320*b3 + 185053457095859302770088*b2 - 5132808737277147280397504*b1 + 53973547802836233612116825232) / 8 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 13\!\cdots\!88 \beta_{13} + \cdots + 22\!\cdots\!56 ) / 64$$ (-13757249151878789123313488*b13 + 29110653399262478748498672*b12 + 125509463695561431244365*b11 + 18284888458427083564487424*b10 - 25345375178553805805738800*b9 - 54071459285161037976949760*b8 + 17168615321851423418392000*b7 + 14374026331401593107731600*b6 + 1567842979950047637703432*b5 + 180124250585704225512033536*b4 - 7927091848857278502613300352*b3 + 60755014672753505887460378313*b2 - 944878472585847315481461591232*b1 + 227220026976477857096704628448256) / 64 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 34\!\cdots\!52 \beta_{13} + \cdots + 25\!\cdots\!76 ) / 32$$ (-34676986200311950274862394752*b13 + 41025688071676957771845634304*b12 - 658492328036743630344471104*b11 - 20079224279635987181308216704*b10 + 19849689109698755743064480000*b9 - 15996439587104230509264594304*b8 - 26334555030461293179744248832*b7 - 32628855154862456095143199360*b6 + 103197699869084145442833297045*b5 + 817512067380263894723528115040*b4 + 9540185345595399354268432354592*b3 + 17730440572591938873309670913504*b2 - 334098855187995130812732119482752*b1 + 2578138190635949585114286848716704576) / 32 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!48 \beta_{13} + \cdots + 36\!\cdots\!00 ) / 64$$ (-174522973523037184686878823647248*b13 + 361780973903868132810025386484912*b12 + 1737694436639688703146382609109*b11 + 220201188680945439074109185212800*b10 - 310061997553615249811272738108272*b9 - 677397214093206217798797315487360*b8 + 214431786300295875627465187697856*b7 + 188921267603289896828451677417552*b6 + 62724833129898295502889642247936*b5 + 2463932659634097591119024920529280*b4 - 97741379463807602757362736236645120*b3 + 886672299839560210008266887468379713*b2 - 11451895790419282696391043185368701248*b1 + 3685746826268819320280454873104536755200) / 64 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!12 \beta_{13} + \cdots + 15\!\cdots\!36 ) / 16$$ (-224400795388638657580298177826113312*b13 + 269317480440851234648844845452149824*b12 - 4947456983241903936522590440758440*b11 - 119611652798295274980718160903153952*b10 + 116390471979599375795393087086019776*b9 - 120180708527749655972379236272159008*b8 - 160728406568065811142255105816838016*b7 - 207843637402618062416768117049296992*b6 + 723034092265003170383388179385260981*b5 + 5060114834688600725582209342201465776*b4 + 55510171311763071017363463604897792464*b3 + 172646282244706595293105078259668539640*b2 - 2510661362074653704930676050595795293952*b1 + 15622692182780397180445878174272352656171936) / 16 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!04 \beta_{13} + \cdots + 55\!\cdots\!60 ) / 64$$ (-2232155149086800755901008861750664780304*b13 + 4519035450801044772535306001823520435760*b12 + 22782299682790530023134217280114409585*b11 + 2639556627198916502881878941344102832640*b10 - 3752346025942439107193255147330884370032*b9 - 8403709060230881601989311296656362673920*b8 + 2603134530519886794913865034057780418752*b7 + 2411295747576487968343014975873737991248*b6 + 1415662412518118311287003507859723870232*b5 + 33153470071816835943680588855637858304000*b4 - 1182225403216897212442993138033508299288960*b3 + 12698870248912848880290788866721078492087181*b2 - 139957463003915397939303313794092027099144896*b1 + 55292008220702897005560993216582285652426664960) / 64

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/22\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$13$$ $$\chi(n)$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
21.1
 3563.38 − 1.41421i 2199.62 − 1.41421i 1021.72 − 1.41421i 320.191 − 1.41421i −1087.11 − 1.41421i −2599.55 − 1.41421i −3417.25 − 1.41421i 3563.38 + 1.41421i 2199.62 + 1.41421i 1021.72 + 1.41421i 320.191 + 1.41421i −1087.11 + 1.41421i −2599.55 + 1.41421i −3417.25 + 1.41421i
90.5097i −3249.38 −8192.00 −6683.13 294100.i 286020.i 741455.i 5.77548e6 604888.i
21.2 90.5097i −1885.62 −8192.00 124487. 170667.i 166636.i 741455.i −1.22739e6 1.12672e7i
21.3 90.5097i −707.723 −8192.00 −8968.27 64055.8i 531246.i 741455.i −4.28210e6 811715.i
21.4 90.5097i −6.19137 −8192.00 −140247. 560.379i 1.02360e6i 741455.i −4.78293e6 1.26937e7i
21.5 90.5097i 1401.11 −8192.00 44552.9 126814.i 500199.i 741455.i −2.81985e6 4.03247e6i
21.6 90.5097i 2913.55 −8192.00 −75323.6 263704.i 867659.i 741455.i 3.70579e6 6.81751e6i
21.7 90.5097i 3731.25 −8192.00 97060.9 337715.i 769857.i 741455.i 9.13929e6 8.78495e6i
21.8 90.5097i −3249.38 −8192.00 −6683.13 294100.i 286020.i 741455.i 5.77548e6 604888.i
21.9 90.5097i −1885.62 −8192.00 124487. 170667.i 166636.i 741455.i −1.22739e6 1.12672e7i
21.10 90.5097i −707.723 −8192.00 −8968.27 64055.8i 531246.i 741455.i −4.28210e6 811715.i
21.11 90.5097i −6.19137 −8192.00 −140247. 560.379i 1.02360e6i 741455.i −4.78293e6 1.26937e7i
21.12 90.5097i 1401.11 −8192.00 44552.9 126814.i 500199.i 741455.i −2.81985e6 4.03247e6i
21.13 90.5097i 2913.55 −8192.00 −75323.6 263704.i 867659.i 741455.i 3.70579e6 6.81751e6i
21.14 90.5097i 3731.25 −8192.00 97060.9 337715.i 769857.i 741455.i 9.13929e6 8.78495e6i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 21.14 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
11.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 22.15.b.a 14
4.b odd 2 1 176.15.h.e 14
11.b odd 2 1 inner 22.15.b.a 14
44.c even 2 1 176.15.h.e 14

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
22.15.b.a 14 1.a even 1 1 trivial
22.15.b.a 14 11.b odd 2 1 inner
176.15.h.e 14 4.b odd 2 1
176.15.h.e 14 44.c even 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{15}^{\mathrm{new}}(22, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{2} + 8192)^{7}$$
$3$ $$(T^{7} - 2197 T^{6} + \cdots - 40\!\cdots\!16)^{2}$$
$5$ $$(T^{7} - 34879 T^{6} + \cdots - 34\!\cdots\!00)^{2}$$
$7$ $$T^{14} + 3035260247448 T^{12} + \cdots + 74\!\cdots\!48$$
$11$ $$T^{14} - 20143042 T^{13} + \cdots + 11\!\cdots\!81$$
$13$ $$T^{14} + \cdots + 18\!\cdots\!88$$
$17$ $$T^{14} + \cdots + 25\!\cdots\!92$$
$19$ $$T^{14} + \cdots + 10\!\cdots\!32$$
$23$ $$(T^{7} + 3652877771 T^{6} + \cdots - 28\!\cdots\!92)^{2}$$
$29$ $$T^{14} + \cdots + 27\!\cdots\!28$$
$31$ $$(T^{7} + 16784936971 T^{6} + \cdots - 20\!\cdots\!28)^{2}$$
$37$ $$(T^{7} - 36583911983 T^{6} + \cdots - 63\!\cdots\!88)^{2}$$
$41$ $$T^{14} + \cdots + 47\!\cdots\!68$$
$43$ $$T^{14} + \cdots + 59\!\cdots\!92$$
$47$ $$(T^{7} + 806358693062 T^{6} + \cdots - 29\!\cdots\!08)^{2}$$
$53$ $$(T^{7} + 1765032034082 T^{6} + \cdots + 77\!\cdots\!08)^{2}$$
$59$ $$(T^{7} + 409248282035 T^{6} + \cdots + 19\!\cdots\!00)^{2}$$
$61$ $$T^{14} + \cdots + 17\!\cdots\!00$$
$67$ $$(T^{7} - 8242732638461 T^{6} + \cdots - 72\!\cdots\!76)^{2}$$
$71$ $$(T^{7} + 9690439589939 T^{6} + \cdots + 96\!\cdots\!88)^{2}$$
$73$ $$T^{14} + \cdots + 14\!\cdots\!00$$
$79$ $$T^{14} + \cdots + 62\!\cdots\!28$$
$83$ $$T^{14} + \cdots + 23\!\cdots\!08$$
$89$ $$(T^{7} + 58885370993825 T^{6} + \cdots + 43\!\cdots\!32)^{2}$$
$97$ $$(T^{7} - 61699069421783 T^{6} + \cdots - 97\!\cdots\!16)^{2}$$