# Properties

 Label 22.14.a.a Level $22$ Weight $14$ Character orbit 22.a Self dual yes Analytic conductor $23.591$ Analytic rank $1$ Dimension $2$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$22 = 2 \cdot 11$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$14$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 22.a (trivial)

## Newform invariants

 Self dual: yes Analytic conductor: $$23.5908043694$$ Analytic rank: $$1$$ Dimension: $$2$$ Coefficient field: $$\Q(\sqrt{100039})$$ Defining polynomial: $$x^{2} - 100039$$ x^2 - 100039 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: $$2^{2}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of $$\beta = 4\sqrt{100039}$$. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q - 64 q^{2} + (\beta - 331) q^{3} + 4096 q^{4} + (26 \beta - 24283) q^{5} + ( - 64 \beta + 21184) q^{6} + ( - 275 \beta + 202254) q^{7} - 262144 q^{8} + ( - 662 \beta + 115862) q^{9}+O(q^{10})$$ q - 64 * q^2 + (b - 331) * q^3 + 4096 * q^4 + (26*b - 24283) * q^5 + (-64*b + 21184) * q^6 + (-275*b + 202254) * q^7 - 262144 * q^8 + (-662*b + 115862) * q^9 $$q - 64 q^{2} + (\beta - 331) q^{3} + 4096 q^{4} + (26 \beta - 24283) q^{5} + ( - 64 \beta + 21184) q^{6} + ( - 275 \beta + 202254) q^{7} - 262144 q^{8} + ( - 662 \beta + 115862) q^{9} + ( - 1664 \beta + 1554112) q^{10} - 1771561 q^{11} + (4096 \beta - 1355776) q^{12} + ( - 7397 \beta + 14222976) q^{13} + (17600 \beta - 12944256) q^{14} + ( - 32889 \beta + 49653897) q^{15} + 16777216 q^{16} + ( - 37937 \beta + 53516026) q^{17} + (42368 \beta - 7415168) q^{18} + (59969 \beta - 36762284) q^{19} + (106496 \beta - 99463168) q^{20} + (293279 \beta - 507117674) q^{21} + 113379904 q^{22} + (161901 \beta - 493582431) q^{23} + ( - 262144 \beta + 86769664) q^{24} + ( - 1262716 \beta + 450982788) q^{25} + (473408 \beta - 910270464) q^{26} + ( - 1259339 \beta - 570242497) q^{27} + ( - 1126400 \beta + 828432384) q^{28} + (738802 \beta - 4758199688) q^{29} + (2104896 \beta - 3177849408) q^{30} + ( - 751355 \beta - 3432970215) q^{31} - 1073741824 q^{32} + ( - 1771561 \beta + 586386691) q^{33} + (2427968 \beta - 3425025664) q^{34} + (11936429 \beta - 16355795482) q^{35} + ( - 2711552 \beta + 474570752) q^{36} + ( - 1648826 \beta - 2072616633) q^{37} + ( - 3838016 \beta + 2352786176) q^{38} + (16671383 \beta - 16547620784) q^{39} + ( - 6815744 \beta + 6365642752) q^{40} + ( - 14847997 \beta + 19725761828) q^{41} + ( - 18769856 \beta + 32455531136) q^{42} + ( - 5319548 \beta + 2766274614) q^{43} - 7256313856 q^{44} + (19087758 \beta - 30363417234) q^{45} + ( - 10361664 \beta + 31589275584) q^{46} + (3805894 \beta - 14205804872) q^{47} + (16777216 \beta - 5553258496) q^{48} + ( - 111239700 \beta + 65064860109) q^{49} + (80813824 \beta - 28862898432) q^{50} + (66073173 \beta - 78436677294) q^{51} + ( - 30298112 \beta + 58257309696) q^{52} + ( - 2675630 \beta - 24589271486) q^{53} + (80597696 \beta + 36495519808) q^{54} + ( - 46060586 \beta + 43018815763) q^{55} + (72089600 \beta - 53019672576) q^{56} + ( - 56612023 \beta + 108156136660) q^{57} + ( - 47283328 \beta + 304524780032) q^{58} + ( - 69545559 \beta + 55163068359) q^{59} + ( - 134713344 \beta + 203382362112) q^{60} + (289075630 \beta - 80908447740) q^{61} + (48086720 \beta + 219710093760) q^{62} + ( - 165754198 \beta + 314827152148) q^{63} + 68719476736 q^{64} + (549418727 \beta - 653211735136) q^{65} + (113379904 \beta - 37528748224) q^{66} + ( - 7666987 \beta - 241830873053) q^{67} + ( - 155389952 \beta + 219201642496) q^{68} + ( - 547171662 \beta + 422518410885) q^{69} + ( - 763931456 \beta + 1046770910848) q^{70} + ( - 1133327023 \beta + 159356852387) q^{71} + (173539328 \beta - 30372528128) q^{72} + (617615807 \beta - 536921769584) q^{73} + (105524864 \beta + 132647464512) q^{74} + (868941784 \beta - 2170408837612) q^{75} + (245633024 \beta - 150578315264) q^{76} + (487179275 \beta - 358305298494) q^{77} + ( - 1066968512 \beta + 1059047730176) q^{78} + (222761212 \beta - 371054398110) q^{79} + (436207616 \beta - 407401136128) q^{80} + (902040538 \beta - 2011699412455) q^{81} + (950271808 \beta - 1262448756992) q^{82} + (554613826 \beta - 3452624718578) q^{83} + (1201270784 \beta - 2077153992704) q^{84} + (2312640847 \beta - 2878324349246) q^{85} + (340451072 \beta - 177041575296) q^{86} + ( - 5002743150 \beta + 2757508309176) q^{87} + 464404086784 q^{88} + ( - 397804442 \beta - 4116963875681) q^{89} + ( - 1221616512 \beta + 1943258702976) q^{90} + ( - 5407391238 \beta + 6132603113104) q^{91} + (663146496 \beta - 2021713637376) q^{92} + ( - 3184271710 \beta - 66323704355) q^{93} + ( - 243577216 \beta + 909171511808) q^{94} + ( - 2412046611 \beta + 3388381879428) q^{95} + ( - 1073741824 \beta + 355408543744) q^{96} + (8716782820 \beta - 2340444390327) q^{97} + (7119340800 \beta - 4164151046976) q^{98} + (1172773382 \beta - 205256600582) q^{99}+O(q^{100})$$ q - 64 * q^2 + (b - 331) * q^3 + 4096 * q^4 + (26*b - 24283) * q^5 + (-64*b + 21184) * q^6 + (-275*b + 202254) * q^7 - 262144 * q^8 + (-662*b + 115862) * q^9 + (-1664*b + 1554112) * q^10 - 1771561 * q^11 + (4096*b - 1355776) * q^12 + (-7397*b + 14222976) * q^13 + (17600*b - 12944256) * q^14 + (-32889*b + 49653897) * q^15 + 16777216 * q^16 + (-37937*b + 53516026) * q^17 + (42368*b - 7415168) * q^18 + (59969*b - 36762284) * q^19 + (106496*b - 99463168) * q^20 + (293279*b - 507117674) * q^21 + 113379904 * q^22 + (161901*b - 493582431) * q^23 + (-262144*b + 86769664) * q^24 + (-1262716*b + 450982788) * q^25 + (473408*b - 910270464) * q^26 + (-1259339*b - 570242497) * q^27 + (-1126400*b + 828432384) * q^28 + (738802*b - 4758199688) * q^29 + (2104896*b - 3177849408) * q^30 + (-751355*b - 3432970215) * q^31 - 1073741824 * q^32 + (-1771561*b + 586386691) * q^33 + (2427968*b - 3425025664) * q^34 + (11936429*b - 16355795482) * q^35 + (-2711552*b + 474570752) * q^36 + (-1648826*b - 2072616633) * q^37 + (-3838016*b + 2352786176) * q^38 + (16671383*b - 16547620784) * q^39 + (-6815744*b + 6365642752) * q^40 + (-14847997*b + 19725761828) * q^41 + (-18769856*b + 32455531136) * q^42 + (-5319548*b + 2766274614) * q^43 - 7256313856 * q^44 + (19087758*b - 30363417234) * q^45 + (-10361664*b + 31589275584) * q^46 + (3805894*b - 14205804872) * q^47 + (16777216*b - 5553258496) * q^48 + (-111239700*b + 65064860109) * q^49 + (80813824*b - 28862898432) * q^50 + (66073173*b - 78436677294) * q^51 + (-30298112*b + 58257309696) * q^52 + (-2675630*b - 24589271486) * q^53 + (80597696*b + 36495519808) * q^54 + (-46060586*b + 43018815763) * q^55 + (72089600*b - 53019672576) * q^56 + (-56612023*b + 108156136660) * q^57 + (-47283328*b + 304524780032) * q^58 + (-69545559*b + 55163068359) * q^59 + (-134713344*b + 203382362112) * q^60 + (289075630*b - 80908447740) * q^61 + (48086720*b + 219710093760) * q^62 + (-165754198*b + 314827152148) * q^63 + 68719476736 * q^64 + (549418727*b - 653211735136) * q^65 + (113379904*b - 37528748224) * q^66 + (-7666987*b - 241830873053) * q^67 + (-155389952*b + 219201642496) * q^68 + (-547171662*b + 422518410885) * q^69 + (-763931456*b + 1046770910848) * q^70 + (-1133327023*b + 159356852387) * q^71 + (173539328*b - 30372528128) * q^72 + (617615807*b - 536921769584) * q^73 + (105524864*b + 132647464512) * q^74 + (868941784*b - 2170408837612) * q^75 + (245633024*b - 150578315264) * q^76 + (487179275*b - 358305298494) * q^77 + (-1066968512*b + 1059047730176) * q^78 + (222761212*b - 371054398110) * q^79 + (436207616*b - 407401136128) * q^80 + (902040538*b - 2011699412455) * q^81 + (950271808*b - 1262448756992) * q^82 + (554613826*b - 3452624718578) * q^83 + (1201270784*b - 2077153992704) * q^84 + (2312640847*b - 2878324349246) * q^85 + (340451072*b - 177041575296) * q^86 + (-5002743150*b + 2757508309176) * q^87 + 464404086784 * q^88 + (-397804442*b - 4116963875681) * q^89 + (-1221616512*b + 1943258702976) * q^90 + (-5407391238*b + 6132603113104) * q^91 + (663146496*b - 2021713637376) * q^92 + (-3184271710*b - 66323704355) * q^93 + (-243577216*b + 909171511808) * q^94 + (-2412046611*b + 3388381879428) * q^95 + (-1073741824*b + 355408543744) * q^96 + (8716782820*b - 2340444390327) * q^97 + (7119340800*b - 4164151046976) * q^98 + (1172773382*b - 205256600582) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$2 q - 128 q^{2} - 662 q^{3} + 8192 q^{4} - 48566 q^{5} + 42368 q^{6} + 404508 q^{7} - 524288 q^{8} + 231724 q^{9}+O(q^{10})$$ 2 * q - 128 * q^2 - 662 * q^3 + 8192 * q^4 - 48566 * q^5 + 42368 * q^6 + 404508 * q^7 - 524288 * q^8 + 231724 * q^9 $$2 q - 128 q^{2} - 662 q^{3} + 8192 q^{4} - 48566 q^{5} + 42368 q^{6} + 404508 q^{7} - 524288 q^{8} + 231724 q^{9} + 3108224 q^{10} - 3543122 q^{11} - 2711552 q^{12} + 28445952 q^{13} - 25888512 q^{14} + 99307794 q^{15} + 33554432 q^{16} + 107032052 q^{17} - 14830336 q^{18} - 73524568 q^{19} - 198926336 q^{20} - 1014235348 q^{21} + 226759808 q^{22} - 987164862 q^{23} + 173539328 q^{24} + 901965576 q^{25} - 1820540928 q^{26} - 1140484994 q^{27} + 1656864768 q^{28} - 9516399376 q^{29} - 6355698816 q^{30} - 6865940430 q^{31} - 2147483648 q^{32} + 1172773382 q^{33} - 6850051328 q^{34} - 32711590964 q^{35} + 949141504 q^{36} - 4145233266 q^{37} + 4705572352 q^{38} - 33095241568 q^{39} + 12731285504 q^{40} + 39451523656 q^{41} + 64911062272 q^{42} + 5532549228 q^{43} - 14512627712 q^{44} - 60726834468 q^{45} + 63178551168 q^{46} - 28411609744 q^{47} - 11106516992 q^{48} + 130129720218 q^{49} - 57725796864 q^{50} - 156873354588 q^{51} + 116514619392 q^{52} - 49178542972 q^{53} + 72991039616 q^{54} + 86037631526 q^{55} - 106039345152 q^{56} + 216312273320 q^{57} + 609049560064 q^{58} + 110326136718 q^{59} + 406764724224 q^{60} - 161816895480 q^{61} + 439420187520 q^{62} + 629654304296 q^{63} + 137438953472 q^{64} - 1306423470272 q^{65} - 75057496448 q^{66} - 483661746106 q^{67} + 438403284992 q^{68} + 845036821770 q^{69} + 2093541821696 q^{70} + 318713704774 q^{71} - 60745056256 q^{72} - 1073843539168 q^{73} + 265294929024 q^{74} - 4340817675224 q^{75} - 301156630528 q^{76} - 716610596988 q^{77} + 2118095460352 q^{78} - 742108796220 q^{79} - 814802272256 q^{80} - 4023398824910 q^{81} - 2524897513984 q^{82} - 6905249437156 q^{83} - 4154307985408 q^{84} - 5756648698492 q^{85} - 354083150592 q^{86} + 5515016618352 q^{87} + 928808173568 q^{88} - 8233927751362 q^{89} + 3886517405952 q^{90} + 12265206226208 q^{91} - 4043427274752 q^{92} - 132647408710 q^{93} + 1818343023616 q^{94} + 6776763758856 q^{95} + 710817087488 q^{96} - 4680888780654 q^{97} - 8328302093952 q^{98} - 410513201164 q^{99}+O(q^{100})$$ 2 * q - 128 * q^2 - 662 * q^3 + 8192 * q^4 - 48566 * q^5 + 42368 * q^6 + 404508 * q^7 - 524288 * q^8 + 231724 * q^9 + 3108224 * q^10 - 3543122 * q^11 - 2711552 * q^12 + 28445952 * q^13 - 25888512 * q^14 + 99307794 * q^15 + 33554432 * q^16 + 107032052 * q^17 - 14830336 * q^18 - 73524568 * q^19 - 198926336 * q^20 - 1014235348 * q^21 + 226759808 * q^22 - 987164862 * q^23 + 173539328 * q^24 + 901965576 * q^25 - 1820540928 * q^26 - 1140484994 * q^27 + 1656864768 * q^28 - 9516399376 * q^29 - 6355698816 * q^30 - 6865940430 * q^31 - 2147483648 * q^32 + 1172773382 * q^33 - 6850051328 * q^34 - 32711590964 * q^35 + 949141504 * q^36 - 4145233266 * q^37 + 4705572352 * q^38 - 33095241568 * q^39 + 12731285504 * q^40 + 39451523656 * q^41 + 64911062272 * q^42 + 5532549228 * q^43 - 14512627712 * q^44 - 60726834468 * q^45 + 63178551168 * q^46 - 28411609744 * q^47 - 11106516992 * q^48 + 130129720218 * q^49 - 57725796864 * q^50 - 156873354588 * q^51 + 116514619392 * q^52 - 49178542972 * q^53 + 72991039616 * q^54 + 86037631526 * q^55 - 106039345152 * q^56 + 216312273320 * q^57 + 609049560064 * q^58 + 110326136718 * q^59 + 406764724224 * q^60 - 161816895480 * q^61 + 439420187520 * q^62 + 629654304296 * q^63 + 137438953472 * q^64 - 1306423470272 * q^65 - 75057496448 * q^66 - 483661746106 * q^67 + 438403284992 * q^68 + 845036821770 * q^69 + 2093541821696 * q^70 + 318713704774 * q^71 - 60745056256 * q^72 - 1073843539168 * q^73 + 265294929024 * q^74 - 4340817675224 * q^75 - 301156630528 * q^76 - 716610596988 * q^77 + 2118095460352 * q^78 - 742108796220 * q^79 - 814802272256 * q^80 - 4023398824910 * q^81 - 2524897513984 * q^82 - 6905249437156 * q^83 - 4154307985408 * q^84 - 5756648698492 * q^85 - 354083150592 * q^86 + 5515016618352 * q^87 + 928808173568 * q^88 - 8233927751362 * q^89 + 3886517405952 * q^90 + 12265206226208 * q^91 - 4043427274752 * q^92 - 132647408710 * q^93 + 1818343023616 * q^94 + 6776763758856 * q^95 + 710817087488 * q^96 - 4680888780654 * q^97 - 8328302093952 * q^98 - 410513201164 * q^99

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 −316.289 316.289
−64.0000 −1596.16 4096.00 −57177.1 102154. 550172. −262144. 953396. 3.65933e6
1.2 −64.0000 934.158 4096.00 8611.10 −59786.1 −145664. −262144. −721672. −551110.
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$2$$ $$1$$
$$11$$ $$1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 22.14.a.a 2
3.b odd 2 1 198.14.a.e 2
4.b odd 2 1 176.14.a.b 2

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
22.14.a.a 2 1.a even 1 1 trivial
176.14.a.b 2 4.b odd 2 1
198.14.a.e 2 3.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{3}^{2} + 662T_{3} - 1491063$$ acting on $$S_{14}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(22))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T + 64)^{2}$$
$3$ $$T^{2} + 662 T - 1491063$$
$5$ $$T^{2} + 48566 T - 492357735$$
$7$ $$T^{2} - 404508 T - 80140509484$$
$11$ $$(T + 1771561)^{2}$$
$13$ $$T^{2} + \cdots + 114713929356560$$
$17$ $$T^{2} + \cdots + 560321417668020$$
$19$ $$T^{2} + 73524568 T - 44\!\cdots\!08$$
$23$ $$T^{2} + 987164862 T + 20\!\cdots\!37$$
$29$ $$T^{2} + 9516399376 T + 21\!\cdots\!48$$
$31$ $$T^{2} + 6865940430 T + 10\!\cdots\!25$$
$37$ $$T^{2} + 4145233266 T - 55\!\cdots\!35$$
$41$ $$T^{2} - 39451523656 T + 36\!\cdots\!68$$
$43$ $$T^{2} - 5532549228 T - 37\!\cdots\!00$$
$47$ $$T^{2} + 28411609744 T + 17\!\cdots\!20$$
$53$ $$T^{2} + 49178542972 T + 59\!\cdots\!96$$
$59$ $$T^{2} - 110326136718 T - 46\!\cdots\!63$$
$61$ $$T^{2} + 161816895480 T - 12\!\cdots\!00$$
$67$ $$T^{2} + 483661746106 T + 58\!\cdots\!53$$
$71$ $$T^{2} - 318713704774 T - 20\!\cdots\!27$$
$73$ $$T^{2} + 1073843539168 T - 32\!\cdots\!20$$
$79$ $$T^{2} + 742108796220 T + 58\!\cdots\!44$$
$83$ $$T^{2} + 6905249437156 T + 11\!\cdots\!60$$
$89$ $$T^{2} + 8233927751362 T + 16\!\cdots\!25$$
$97$ $$T^{2} + 4680888780654 T - 11\!\cdots\!71$$