LMFDB - Newform orbit 2034.2.f.j

Show commands: Magma / Pari/GP / SageMath

Newspace parameters

comment:Compute space of new eigenforms

gp:[N,k,chi] = [2034,2,Mod(919,2034)] mf = mfinit([N,k,chi],0) lf = mfeigenbasis(mf)

magma://Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code chi := DirichletCharacter("2034.919"); S:= CuspForms(chi, 2); N := Newforms(S);

sage:from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter H = DirichletGroup(2034, base_ring=CyclotomicField(4)) chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 3])) N = Newforms(chi, 2, names="a")

Level:	$ N $	$=$	$ 2034 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 113 $
Weight:	$ k $	$=$	$ 2 $
Character orbit:	$[\chi]$	$=$	2034.f (of order $4$, degree $2$, minimal)

Newform invariants

comment:select newform

sage:traces = [20,20,0,20,0] f = next(g for g in N if [g.coefficient(i+1).trace() for i in range(5)] == traces)

gp:f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

Self dual:	no
Analytic conductor:	$16.2415717711$
Analytic rank:	$0$
Dimension:	$20$
Relative dimension:	$10$ over $\Q(i)$
Coefficient field:	$\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)$
comment:defining polynomial gp:f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	$ x^{20} - 8 x^{17} + 301 x^{16} - 92 x^{15} + 32 x^{14} - 1420 x^{13} + 24136 x^{12} - 16952 x^{11} + \cdots + 5184 $ x^20 - 8x^17 + 301x^16 - 92x^15 + 32x^14 - 1420x^13 + 24136x^12 - 16952x^11 + 5960x^10 - 14216x^9 + 358852x^8 - 313776x^7 + 115200x^6 + 341280x^5 + 411120x^4 + 34560*x^3 + 5184
Coefficient ring:	$\Z[a_1, \ldots, a_{17}]$
Coefficient ring index:	$ 2^{3} $
Twist minimal:	yes
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{4}]$

$q$-expansion

comment:q-expansion

sage:f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp:mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $q$-expansion are expressed in terms of a basis $1,\beta_1,\ldots,\beta_{19}$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $q$-expansion of the trace form.

$f(q)$	$=$	$ q + q^{2} + q^{4} - \beta_1 q^{5} + \beta_{11} q^{7} + q^{8} - \beta_1 q^{10} + \beta_{3} q^{11} + ( - \beta_{12} - \beta_{4}) q^{13} + \beta_{11} q^{14} + q^{16} + ( - \beta_{18} - \beta_{15} - \beta_{12} + \cdots - 1) q^{17}+ \cdots + ( - \beta_{19} + \beta_{17} - \beta_{15} + \cdots + 1) q^{98}+O(q^{100}) $ q + q^2 + q^4 - b1 * q^5 + b11 * q^7 + q^8 - b1 * q^10 + b3 * q^11 + (-b12 - b4) * q^13 + b11 * q^14 + q^16 + (-b18 - b15 - b12 - b4 - b2 - 1) * q^17 - b5 * q^19 - b1 * q^20 + b3 * q^22 + (b18 + b16 + b14 - b8 + b7 - b3) * q^23 + (b16 - b12 - b4) * q^25 + (-b12 - b4) * q^26 + b11 * q^28 - b17 * q^29 + (-b16 - b12 + b8 - b3 - b1) * q^31 + q^32 + (-b18 - b15 - b12 - b4 - b2 - 1) * q^34 + (-b16 + b15 + b14 + b13 - b12 + b11 - b10 - b6 + b5 - b1) * q^35 + (-b10 + b6) * q^37 - b5 * q^38 - b1 * q^40 + (b18 + b16 - 2b13 + b9 + b6 - b4 - 2b3 - b2) * q^41 + (2b16 - 2b14 - b13 - b11 + b10 + b9 - 2b7 + 2b6 - b5 - b4 - 2b3 + b1 + 1) q^43 + b3 * q^44 + (b18 + b16 + b14 - b8 + b7 - b3) * q^46 + (-b15 + b12 - b9 + b6 + b4 + b1 - 1) * q^47 + (-b19 + b17 - b15 - b14 + b10 - b7 - b5 + 1) * q^49 + (b16 - b12 - b4) * q^50 + (-b12 - b4) * q^52 + (b15 - 2b14 - b11 + b9 - 2b7 + b2 + 3) * q^53 + (-b19 - b18 - 2b15 - b13 - 2b12 + b11 + 2b8 + b7 - 2b4 - b3 - 2b2 - 2) q^55 + b11 * q^56 - b17 * q^58 + (b10 + b7 - b6 - b5 + b3 + b1) * q^59 + (-b12 + b9 + b8 + b4 - b2 - b1) * q^61 + (-b16 - b12 + b8 - b3 - b1) * q^62 + q^64 + (-b19 - b18 + b17 - b16 - b14 + b13 - b11 + 3b8 - b7 + b4 + b3 + 1) q^65 + (-b19 - 2b18 + b17 - 2b15 + b13 - 2b12 - b11 + b8 - b4 - b2 - 1) q^67 + (-b18 - b15 - b12 - b4 - b2 - 1) * q^68 + (-b16 + b15 + b14 + b13 - b12 + b11 - b10 - b6 + b5 - b1) * q^70 + (-b18 + b17 + b15 + b13 + b12 - b11 - b7 + b4 + b3 + b2 + 1) * q^71 + (b16 - b14 - b13 - b11 - b7 + 2b6 - 2b4 - b3 + 2) * q^73 + (-b10 + b6) * q^74 - b5 * q^76 + (b19 + b18 + b16 - b13 + b12 - b9 - 2b8 + b6 - b5 - b3 + b2 + 2b1) * q^77 + (-b17 + b16 - b15 + b14 - b12 - 2b8 + b7 - b4 - b3 - 1) q^79 - b1 * q^80 + (b18 + b16 - 2b13 + b9 + b6 - b4 - 2b3 - b2) * q^82 + (b17 - b15 - b14 + b11 + b10 + b8 + b1 - 2) * q^83 + (-b17 + b15 - b10 - 2b7 + 3) q^85 + (2b16 - 2b14 - b13 - b11 + b10 + b9 - 2b7 + 2b6 - b5 - b4 - 2b3 + b1 + 1) q^86 + b3 * q^88 + (-b19 - 2b18 - b16 - b15 - b14 + b13 - b12 - b11 - b4 - 1) q^89 + (b19 + b12 - b9 - b5 + b4 + 2b3 + b2) q^91 + (b18 + b16 + b14 - b8 + b7 - b3) * q^92 + (-b15 + b12 - b9 + b6 + b4 + b1 - 1) * q^94 + (-2b16 + 2b12 - b9 + 2b4 + b2) q^95 + (b19 - b17 + b15 - b14 + b11 - b10 + b9 - 2b8 + b5 + b2 - 2b1 + 2) * q^97 + (-b19 + b17 - b15 - b14 + b10 - b7 - b5 + 1) * q^98
$\operatorname{Tr}(f)(q)$	$=$	$ 20 q + 20 q^{2} + 20 q^{4} + 20 q^{8} + 20 q^{16} - 8 q^{17} + 4 q^{19} + 4 q^{23} - 8 q^{29} + 20 q^{32} - 8 q^{34} - 20 q^{35} - 12 q^{37} + 4 q^{38} + 16 q^{43} + 4 q^{46} - 8 q^{47} + 52 q^{49} + 36 q^{53}+ \cdots + 52 q^{98}+O(q^{100}) $ 20 * q + 20 * q^2 + 20 * q^4 + 20 * q^8 + 20 * q^16 - 8 * q^17 + 4 * q^19 + 4 * q^23 - 8 * q^29 + 20 * q^32 - 8 * q^34 - 20 * q^35 - 12 * q^37 + 4 * q^38 + 16 * q^43 + 4 * q^46 - 8 * q^47 + 52 * q^49 + 36 * q^53 - 4 * q^55 - 8 * q^58 + 20 * q^59 + 20 * q^64 + 28 * q^65 + 8 * q^67 - 8 * q^68 - 20 * q^70 + 4 * q^71 + 32 * q^73 - 12 * q^74 + 4 * q^76 - 20 * q^79 - 12 * q^83 + 28 * q^85 + 16 * q^86 - 12 * q^89 + 4 * q^92 - 8 * q^94 - 4 * q^97 + 52 * q^98

Basis of coefficient ring in terms of a root $\nu$ of $ x^{20} - 8 x^{17} + 301 x^{16} - 92 x^{15} + 32 x^{14} - 1420 x^{13} + 24136 x^{12} - 16952 x^{11} + \cdots + 5184 $ x^20 - 8*x^17 + 301*x^16 - 92*x^15 + 32*x^14 - 1420*x^13 + 24136*x^12 - 16952*x^11 + 5960*x^10 - 14216*x^9 + 358852*x^8 - 313776*x^7 + 115200*x^6 + 341280*x^5 + 411120*x^4 + 34560*x^3 + 5184 :

$\beta_{1}$	$=$	$ \nu $ v
$\beta_{2}$	$=$	$ ( - 31\!\cdots\!36 \nu^{19} + \cdots + 50\!\cdots\!24 ) / 13\!\cdots\!84 $ (-31848851901275689042439771234236v^19 - 776415541388858934082877903912885v^18 + 79419750795578125456851950680344v^17 - 208570556979101566218828079685662v^16 - 4638412818920636995761780702682044v^15 - 233463655471920217776758403115224153v^14 + 97254521135371111451698871385388796v^13 - 111887917763533866826926954760472670v^12 + 27039974318142643159115852470730620v^11 - 18805101699587353998841353998395887888v^10 + 15436165907696196030827466869985642824v^9 - 13723646519236992014005726537388021696v^8 - 16710551737113234796550717150619922632v^7 - 295204325478320432825387366070941754356v^6 + 278640488905854891676523514997065514176v^5 - 195625847357439839516561140435367804184v^4 - 385773214850710587219592285050337433280v^3 - 459089105574900024368876836925238838032v^2 - 17045808661237672889500099418017945632*v + 50376028876335686394733256520511233024) / 13969376749356695569816396650300072384
$\beta_{3}$	$=$	$ ( 16\!\cdots\!34 \nu^{19} + \cdots + 32\!\cdots\!52 ) / 69\!\cdots\!92 $ (16169092622447179319134345069534v^19 - 434331456234794635242662110242066v^18 - 18969313008774059208714780281415v^17 - 137394823955564240042813572083740v^16 + 8406377953650229582550139112827604v^15 - 131742837214610465528560774958954318v^14 + 35211928668014336625931124194608941v^13 - 37911287357092318880337936068789872v^12 + 1023430566870421232673632542551171094v^11 - 10643631893490558904145889400021025192v^10 + 7096897593820198789103944357206501560v^9 - 2760812211979370905030135759702517744v^8 + 12923555453517610882124449894911221032v^7 - 155130303027891335068520072039261743152v^6 + 134877605925058702289723819660356280148v^5 - 42684942890621666289467810208808879488v^4 - 135666841445261922694900788440745687720v^3 - 133189096574051873810636281946985660912v^2 - 13671476310021232623919944277065991344*v + 32621887701170544834061013820910752) / 6984688374678347784908198325150036192
$\beta_{4}$	$=$	$ ( 61\!\cdots\!76 \nu^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!60 ) / 92\!\cdots\!56 $ (61662149876616115118596252876v^19 - 181148577835556435845887064523v^18 + 426316611903523633394298222v^17 - 495439686327728651983630396820v^16 + 20015320561627722986142425421380v^15 - 60216755954502242137199934218035v^14 + 18779677956913581000652202042154v^13 - 94089631317210764652340627456412v^12 + 1747593118506468792189211126919628v^11 - 5423146354029530342140605169720612v^10 + 3451797404085100776744271300868520v^9 - 2024097333620313075973103332879320v^8 + 24904355267677619677749727440264992v^7 - 84835717737428685111523782137868908v^6 + 64296834685626435313156104258358296v^5 - 870938952700478282261326991894112v^4 - 33311877259342707640702943314577136v^3 - 81479844025559355509278443152587872v^2 - 3151486562341860739483851347424288*v + 108934924633372986745508488676160) / 9226801023353167483366180086063456
$\beta_{5}$	$=$	$ ( 24\!\cdots\!26 \nu^{19} + \cdots - 88\!\cdots\!00 ) / 13\!\cdots\!84 $ (242876357031949138786774543113026v^19 - 662732316526859985793059101897579v^18 + 1148950165999748487003412589073516v^17 - 1501823120196452812608462751205488v^16 + 78600980643589993007770361980689102v^15 - 232100584441109688801035515183133019v^14 + 407727723736436402647391003698988384v^13 - 345234436341021434880211635805980432v^12 + 6864431987604145701505281758296747120v^11 - 22037737738303132216042130057168602956v^10 + 38964216361205536455347805556548359384v^9 - 17592617908962398003546020441092772448v^8 + 101890212419644246136520975946039406208v^7 - 349851084527169525567869676416784397292v^6 + 596358485720429473761645315178996500288v^5 - 249988903341305531526041750269585675104v^4 - 41174452108782147578414737117952605680v^3 - 54028084969110620375980966798888167072v^2 + 295109945512428102979100391231381092160*v - 8894227617807594797748058478972992800) / 13969376749356695569816396650300072384
$\beta_{6}$	$=$	$ ( 25\!\cdots\!48 \nu^{19} + \cdots - 78\!\cdots\!08 ) / 13\!\cdots\!84 $ (256700851642189180757796854443448v^19 - 731939782242696000122326575610791v^18 + 988398945030050337591956291996124v^17 - 1878830471773483323982176953897596v^16 + 83218015990830035961826122514517804v^15 - 252490666762474452474746974153321879v^14 + 368911906919812194029153444027720800v^13 - 430527983679034654257393884772628100v^12 + 7283328391765682793735010085573499872v^11 - 23591733952296994657745883989533701220v^10 + 36833934345720908924937420150823538296v^9 - 21460253158745863915018721584216846864v^8 + 108484621271853870066403865085598292312v^7 - 367809071915237414440845020451778436124v^6 + 567776191403156190030049374285594285792v^5 - 277884550807392676143324404289998168016v^4 - 38238867958060116913148922693309927696v^3 - 41556245403104652473489458979270659008v^2 + 60327757452560352325351389150347559744*v - 7821356337609483463841872023621607008) / 13969376749356695569816396650300072384
$\beta_{7}$	$=$	$ ( 12\!\cdots\!71 \nu^{19} + \cdots - 15\!\cdots\!52 ) / 69\!\cdots\!92 $ (129535765633539559963863580822471v^19 - 13510939538118523822990269806649v^18 + 26474323341687687276571614495585v^17 - 1219440236256281215000821881648210v^16 + 38978171277082562469123842064311521v^15 - 16242403159321472699404670291677805v^14 + 15067450507858112859815820629242745v^13 - 240091108335482742058629253878592090v^12 + 3128551278880285680087417235249454938v^11 - 2569986348447989982499221086261472128v^10 + 1966889272384250342051800794907603760v^9 - 6393350391188175859715083063550353928v^8 + 47337208459627476208390711798436548948v^7 - 46341330844465086525619464246892896684v^6 + 35734668267705475468655690470942715940v^5 - 16212982070781371130448388359350168888v^4 + 77976259967285274869436125692543848840v^3 + 2884848974732314554833387995415497152v^2 - 8527427824645961132719494243123811728*v - 15273283925842609830682986639231013152) / 6984688374678347784908198325150036192
$\beta_{8}$	$=$	$ ( - 18\!\cdots\!23 \nu^{19} + \cdots - 31\!\cdots\!84 ) / 92\!\cdots\!56 $ (-181148577835556435845887064523v^19 + 426316611903523633394298222v^18 - 2142487314799731034860373812v^17 + 1455013448766272335444953305704v^16 - 54543838165853559546289078953443v^15 + 16806489160861865316857121950122v^14 - 6529378492415881183933948372492v^13 + 259315469084462237686771967504492v^12 - 4377849589321133958650161490966660v^11 + 3084290990820468730637437633727560v^10 - 1147508210974338383447139001994104v^9 + 2776769460154173535211224903206640v^8 - 65487614997743586974071124295449132v^7 + 57193355019840258851493815927043096v^6 - 21914997462592026049935856173415392v^5 - 58662420316617124888260234796958256v^4 - 83610887925295208447777129651982432v^3 - 3151486562341860739483851347424288v^2 + 108934924633372986745508488676160*v - 319656584960377940774802974909184) / 9226801023353167483366180086063456
$\beta_{9}$	$=$	$ ( - 30\!\cdots\!97 \nu^{19} + \cdots + 49\!\cdots\!08 ) / 13\!\cdots\!84 $ (-302681484506383686144927937879297v^19 + 817223761041717017620439663891819v^18 - 368222418767781520038471318099456v^17 + 1797189117049407991862111624500862v^16 - 97914406527793994973305844365640617v^15 + 278262349367829697974234382626454195v^14 - 186719793776646847095183682947339252v^13 + 310260866098015822261818759208853426v^12 - 8511022105972264455256812606775851096v^11 + 25784660827124615792988778991579453368v^10 - 22684159172756020682527567088965755144v^9 + 2187641165759314171617700321561083048v^8 - 120120177766639744121770883219280350396v^7 + 420829311676000926789673807684017607676v^6 - 361935841765360205353467737131279898880v^5 - 41414051601797520806691162495511093704v^4 + 180990498723872789073102171741234751392v^3 + 451467033960927123922865607872960307120v^2 + 39561925510425693504033468460958767488*v + 49985825152240043710876897233452097408) / 13969376749356695569816396650300072384
$\beta_{10}$	$=$	$ ( - 22\!\cdots\!41 \nu^{19} + \cdots + 19\!\cdots\!00 ) / 69\!\cdots\!92 $ (-227592602392387856562819012776141v^19 + 737189528816212390529235203675000v^18 + 160158329225864156373805531430598v^17 + 2460253251624248901502472161801186v^16 - 74188231080214349487023011126602489v^15 + 240374768214252212525355291344595960v^14 - 35489467077338464308672222492735458v^13 + 517848919253756076178115090337522150v^12 - 6521511714158684085746164644273772720v^11 + 21107992932298421752153345655962997028v^10 - 11753332553118779965774120606963839776v^9 + 18889584168227282696203734134222993096v^8 - 95460593131899953277352690434672543396v^7 + 313110179618362490870688217884228766640v^6 - 256500619039770866284966851087307400664v^5 + 127984891995058876772551838829203268072v^4 + 76564105821632986211569548226099786704v^3 + 163518507777143773106751142347598380528v^2 - 31030115091562206204986812494416033664*v + 19747397939042022555478405870102154400) / 6984688374678347784908198325150036192
$\beta_{11}$	$=$	$ ( 25\!\cdots\!63 \nu^{19} + \cdots + 20\!\cdots\!48 ) / 46\!\cdots\!28 $ (253899356216952127040968068212763v^19 + 29209502093577682409695160264564v^18 - 89713548485349550387472025225098v^17 - 1980526210272772527586465893343404v^16 + 76151190098923449854012719234062911v^15 - 13860120604187926341606828501802776v^14 - 21911487236627554582139568868535322v^13 - 335578451613515959206528748623926608v^12 + 6067779072350588919821719049302505064v^11 - 3470250962607116816971657666446205640v^10 - 1203638562912786215047471353517743024v^9 - 581062809005015859773933479274395144v^8 + 88442799219793662035975297922099278572v^7 - 67289330938254463624723434669019741488v^6 - 11881758531289687405220111198368747880v^5 + 140338173714822537900624621301985145552v^4 + 76775998184360783898943329795560178768v^3 + 3006174480297444529121233227522657888v^2 - 8947775708293790044778407186911421248*v + 20551690662723947316829609776993205248) / 4656458916452231856605465550100024128
$\beta_{12}$	$=$	$ ( 60\!\cdots\!06 \nu^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!56 ) / 69\!\cdots\!92 $ (607463258485677898245545593870106v^19 + 392858489253612161599478535895247v^18 - 68879103706978847799522989760009v^17 - 4909287210310188799488096980783836v^16 + 179971754331194422507019374688116408v^15 + 63650301475098065617806344234588599v^14 - 35939748756393549967420270318832097v^13 - 860349015237501050830197209617297120v^12 + 14178822694163319177911006153922366786v^11 - 537912135712945430336833226117850080v^10 - 4371602106175359105845670298978442184v^9 - 6643917430484538348368405995090176336v^8 + 217650562623297136212084368648324215048v^7 - 38860662265004205127206658585748938060v^6 - 64363842937113341258892232373180537700v^5 + 250887933346802067146852204612279806656v^4 + 436156028300529558526386183021119122632v^3 + 230714895193217164063277203457135264256v^2 + 46386345029456427521877023163861216240*v + 1088453499798143350809755118255481056) / 6984688374678347784908198325150036192
$\beta_{13}$	$=$	$ ( - 13\!\cdots\!45 \nu^{19} + \cdots - 22\!\cdots\!76 ) / 13\!\cdots\!84 $ (-1307966494982495146581593153926645v^19 + 1525532068836453248709286084803746v^18 - 199885244756231556960882234131370v^17 + 10438630702784561296935548355469988v^16 - 405800808707603138447164419117697385v^15 + 581288492330014416518774979867848614v^14 - 241899628085746553789912569080109842v^13 + 1916248687143824056022544786225805040v^12 - 33710823908888493698567592279687120648v^11 + 59314539873223267436150212454794116688v^10 - 38380164081999312069840713098477676592v^9 + 30337949607491529174043033277461619448v^8 - 489755519256977974359663032017439006564v^7 + 962112821549471253479455231073248905608v^6 - 697272599770180874502278745100741740552v^5 - 218967558269621639355394305220405605744v^4 - 6536679776857016437841967329541802512v^3 + 501511686037524929286283483411846010784v^2 - 5296147961780987821137911314411052928*v - 2276398230555983378521310846802403776) / 13969376749356695569816396650300072384
$\beta_{14}$	$=$	$ ( 75\!\cdots\!76 \nu^{19} + \cdots + 18\!\cdots\!80 ) / 69\!\cdots\!92 $ (751656442486960123753384880842676v^19 - 2431083998422025521524475219983v^18 + 49080716973129089456250946297425v^17 - 5811574880412418497787877823740800v^16 + 226646234730236792801806206116473646v^15 - 70134622238841601842272023413434743v^14 + 36660780009729727276159497966222913v^13 - 1016414401958813857848880595251096028v^12 + 18237963666919966122040180492480738790v^11 - 12850981767881708412070052986597739464v^10 + 5208394187936176510155266798200691392v^9 - 7726860702041604846936076334071959112v^8 + 274816078340283055716420804582853315352v^7 - 238273799322093764643018063451843038420v^6 + 88026256052119240112486037239922579780v^5 + 279580539778377232357232565078733546080v^4 + 346722556115045846142617011245530460648v^3 + 13080774921226715262847241002502935584v^2 - 38746850535000673039138022038986172272*v + 18218879289705091049336161420213574880) / 6984688374678347784908198325150036192
$\beta_{15}$	$=$	$ ( 75\!\cdots\!30 \nu^{19} + \cdots - 22\!\cdots\!48 ) / 69\!\cdots\!92 $ (751979164162171091143864364596730v^19 - 4052946895725421914913778195667v^18 + 53490110317067471905388535964065v^17 - 5825288872087180271792421730479940v^16 + 226752835470229732428616088711076188v^15 - 70689218608111904796579254080406035v^14 + 38238737848114606056868036228769737v^13 - 1020689570573196731915770890592221752v^12 + 18248153113529517956884896300242522438v^11 - 12902353821997045885604931624357566632v^10 + 5360976075112611265277420254419079096v^9 - 8091799459075560912368540912923801864v^8 + 275083510437992457613019475154393921088v^7 - 239066137063117259595868740871499942964v^6 + 90418350561735132794164682895595126068v^5 + 272663766731982508724320823036971535376v^4 + 349076075388800658192912965486615838792v^3 + 13163238659174178613813590928430788704v^2 - 38988830569815679140304547890992424560*v - 22978371768147855565600244074023807648) / 6984688374678347784908198325150036192
$\beta_{16}$	$=$	$ ( 88\!\cdots\!98 \nu^{19} + \cdots + 15\!\cdots\!76 ) / 69\!\cdots\!92 $ (887532743225268293114209774432898v^19 - 429918351275485170012540511168219v^18 - 66942773655713043456646087235685v^17 - 7159574265610732336797746243140276v^16 + 270881340322107540310078270952024368v^15 - 209854204070251118169355756983726371v^14 + 49357548523907934937542031356631371v^13 - 1287704120680272343881128339524320424v^12 + 22116390638419700432034403092391317162v^11 - 25169842875715072244339461906988869784v^10 + 11306461703179168622126809949566375656v^9 - 15837367519788000339438241333028047776v^8 + 330766144249088884788423630682007808712v^7 - 424184492228405292903747677055949518196v^6 + 227672380205001927933462793168282842732v^5 + 246932128623636494788821257415096749952v^4 + 284853481788594980422313414486309770920v^3 - 132381867996195080874957287016768814176v^2 + 32072293063299696043141370343860100144*v + 1583235927482923456607854673822599776) / 6984688374678347784908198325150036192
$\beta_{17}$	$=$	$ ( 10\!\cdots\!31 \nu^{19} + \cdots + 22\!\cdots\!32 ) / 69\!\cdots\!92 $ (1067043392622364745047654675018731v^19 - 706267504214393960663401767523388v^18 - 103463339123618250084848728629258v^17 - 8047788453504348444161044408006410v^16 + 327941621486633362342391989221775999v^15 - 308247125154309657692584667190140156v^14 + 64691026609169379073199598231831766v^13 - 1393556729785890364400870192133196846v^12 + 27019252880249080347516014866594177232v^11 - 34588780654507446441482384058270200588v^10 + 15230969752145634298459830013127621560v^9 - 8336235654783023558126214872827827520v^8 + 405867959627996318625347565279704275132v^7 - 566470006291327946559400927461493972832v^6 + 297642211062569891733295479564537997848v^5 + 414040473684932298417685572138074046216v^4 + 262660260351560520233312165837309474736v^3 - 150557932202434754305866818418312585264v^2 - 7404758551516960565426270459207611584*v + 22091215023170063309048836800043004832) / 6984688374678347784908198325150036192
$\beta_{18}$	$=$	$ ( 78\!\cdots\!00 \nu^{19} + \cdots + 40\!\cdots\!08 ) / 46\!\cdots\!28 $ (785696299504414832545485506764100v^19 - 140007637051217311984325171460019v^18 - 21731130736263638906358453354842v^17 - 6261446580209998471763157403808732v^16 + 237223396307819619069862206540338980v^15 - 114617474771721323293638743984769571v^14 + 31150120644621407004844537390324770v^13 - 1107000741161768276830890291410141980v^12 + 19047268031481852973423525896231834796v^11 - 16735896165007377755180891916791749340v^10 + 6471755714770907194103719023975155480v^9 - 10291917023650846568099146241474429280v^8 + 275138595994141244578106210070586241768v^7 - 297505234932263540409310332371498423324v^6 + 125898548830061108515095508321970720712v^5 + 286258513491844616408489671902011293232v^4 + 167997755926532200692166990405591310688v^3 - 6652314328194515735148980766626570112v^2 - 1370646444219061769180439390363755808*v + 4090433626740978518064557328875776608) / 4656458916452231856605465550100024128
$\beta_{19}$	$=$	$ ( - 70\!\cdots\!68 \nu^{19} + \cdots - 21\!\cdots\!04 ) / 13\!\cdots\!84 $ (-7038656771628600542921040687188668v^19 + 333239449706815505625449774097317v^18 - 34320768063644497964004548076198v^17 + 56580419267625254208153394506261896v^16 - 2120169450853580022748858354761647708v^15 + 749682839376574123410563837911269949v^14 - 267817325110943485753720358833382250v^13 + 10078046057000348991468528434319671720v^12 - 170066292113904853163109568649069568708v^11 + 127762533937863950876316315252480285820v^10 - 48724465269982371135817312937788718088v^9 + 106699210381826270949377000803180665792v^8 - 2512840299430853059924183408147793579480v^7 + 2344322568287451135287519380747049340452v^6 - 933308895325201296697387619098582788744v^5 - 2328425808200367050337863126212224415488v^4 - 2629025580807134000350798976219078247456v^3 - 47887338995665884818044869804479196768v^2 + 7292216662183047042145829348567118432*v - 21548196709927996209867265634915812704) / 13969376749356695569816396650300072384

Display $\nu^j$ in terms of $\beta_i$

$\nu$	$=$	$ \beta_1 $ b1
$\nu^{2}$	$=$	$ \beta_{16} - \beta_{12} - 6\beta_{4} $ b16 - b12 - 6*b4
$\nu^{3}$	$=$	$ 2 \beta_{19} + 2 \beta_{18} - \beta_{17} + \beta_{16} + \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{13} + \beta_{12} + \cdots + 2 $ 2b19 + 2b18 - b17 + b16 + b15 + b14 - b13 + b12 + b11 - 11b8 + b7 + 2b4 - b3 + 2
$\nu^{4}$	$=$	$ \beta_{18} - 13\beta_{15} + 14\beta_{14} - 4\beta_{11} + 2\beta_{8} - \beta_{6} + 2\beta _1 - 63 $ b18 - 13b15 + 14b14 - 4b11 + 2b8 - b6 + 2*b1 - 63
$\nu^{5}$	$=$	$ - 17 \beta_{16} + 22 \beta_{15} + 17 \beta_{14} + 17 \beta_{13} - 22 \beta_{12} + 17 \beta_{11} + \cdots + 41 $ -17b16 + 22b15 + 17b14 + 17b13 - 22b12 + 17b11 - 19b10 + 2b9 + 13b7 - 33b6 + 33b5 - 41b4 + 13b3 - 137b1 + 41
$\nu^{6}$	$=$	$ 2 \beta_{19} - 17 \beta_{18} - 4 \beta_{17} - 172 \beta_{16} - 86 \beta_{13} + 153 \beta_{12} + \cdots + 40 \beta_1 $ 2b19 - 17b18 - 4b17 - 172b16 - 86b13 + 153b12 + 4b10 + 10b9 - 40b8 - 17b6 - 2b5 + 735b4 - 18b3 - 10b2 + 40*b1
$\nu^{7}$	$=$	$ - 463 \beta_{19} - 455 \beta_{18} + 293 \beta_{17} - 233 \beta_{16} - 354 \beta_{15} - 233 \beta_{14} + \cdots - 641 $ -463b19 - 455b18 + 293b17 - 233b16 - 354b15 - 233b14 + 249b13 - 354b12 - 249b11 + 1753b8 - 135b7 - 641b4 + 135b3 - 38b2 - 641
$\nu^{8}$	$=$	$ 50 \beta_{19} - 243 \beta_{18} - 110 \beta_{17} + 1793 \beta_{15} - 2090 \beta_{14} + 1446 \beta_{11} + \cdots + 8961 $ 50b19 - 243b18 - 110b17 + 1793b15 - 2090b14 + 1446b11 - 110b10 - 270b9 - 638b8 + 438b7 + 243b6 + 50b5 - 270b2 - 638b1 + 8961
$\nu^{9}$	$=$	$ 3097 \beta_{16} - 5146 \beta_{15} - 3097 \beta_{14} - 3561 \beta_{13} + 5146 \beta_{12} - 3561 \beta_{11} + \cdots - 9221 $ 3097b16 - 5146b15 - 3097b14 - 3561b13 + 5146b12 - 3561b11 + 4265b10 - 482b9 - 1355b7 + 6033b6 - 6253b5 + 9221b4 - 1355b3 + 22705b1 - 9221
$\nu^{10}$	$=$	$ - 932 \beta_{19} + 3333 \beta_{18} + 2192 \beta_{17} + 25598 \beta_{16} + 22270 \beta_{13} + \cdots - 9496 \beta_1 $ -932b19 + 3333b18 + 2192b17 + 25598b16 + 22270b13 - 21445b12 - 2192b10 - 5118b9 + 9496b8 + 3333b6 + 932b5 - 112005b4 + 7582b3 + 5118b2 - 9496*b1
$\nu^{11}$	$=$	$ 83561 \beta_{19} + 79177 \beta_{18} - 60617 \beta_{17} + 41213 \beta_{16} + 71556 \beta_{15} + \cdots + 127895 $ 83561b19 + 79177b18 - 60617b17 + 41213b16 + 71556b15 + 41213b14 - 50753b13 + 71556b12 + 50753b11 - 296261b8 + 13863b7 + 127895b4 - 13863b3 + 4690b2 + 127895
$\nu^{12}$	$=$	$ - 15782 \beta_{19} + 44835 \beta_{18} + 38442 \beta_{17} - 263017 \beta_{15} + 316502 \beta_{14} + \cdots - 1423209 $ -15782b19 + 44835b18 + 38442b17 - 263017b15 + 316502b14 - 328746b11 + 38442b10 + 84434b9 + 137290b8 - 115386b7 - 44835b6 - 15782b5 + 84434b2 + 137290b1 - 1423209
$\nu^{13}$	$=$	$ - 551021 \beta_{16} + 973226 \beta_{15} + 551021 \beta_{14} + 722129 \beta_{13} - 973226 \beta_{12} + \cdots + 1741673 $ -551021b16 + 973226b15 + 551021b14 + 722129b13 - 973226b12 + 722129b11 - 850301b10 + 29370b9 + 147631b7 - 1036437b6 + 1113321b5 - 1741673b4 + 147631b3 - 3885673b1 + 1741673
$\nu^{14}$	$=$	$ 255528 \beta_{19} - 594773 \beta_{18} - 629548 \beta_{17} - 3944178 \beta_{16} - 4737310 \beta_{13} + \cdots + 1957276 \beta_1 $ 255528b19 - 594773b18 - 629548b17 - 3944178b16 - 4737310b13 + 3300949b12 + 629548b10 + 1299086b9 - 1957276b8 - 594773b6 - 255528b5 + 18298353b4 - 1651190b3 - 1299086b2 + 1957276*b1
$\nu^{15}$	$=$	$ - 14823173 \beta_{19} - 13564077 \beta_{18} + 11825977 \beta_{17} - 7389021 \beta_{16} + \cdots - 23499119 $ -14823173b19 - 13564077b18 + 11825977b17 - 7389021b16 - 13083564b15 - 7389021b14 + 10244337b13 - 13083564b12 - 10244337b11 + 51158365b8 - 1649759b7 - 23499119b4 + 1649759b3 + 113382b2 - 23499119
$\nu^{16}$	$=$	$ 4024562 \beta_{19} - 7801415 \beta_{18} - 9877206 \beta_{17} + 42220889 \beta_{15} - 49451086 \beta_{14} + \cdots + 237329769 $ 4024562b19 - 7801415b18 - 9877206b17 + 42220889b15 - 49451086b14 + 67235002b11 - 9877206b10 - 19206722b9 - 27705726b8 + 22867610b7 + 7801415b6 + 4024562b5 - 19206722b2 - 27705726b1 + 237329769
$\nu^{17}$	$=$	$ 99181077 \beta_{16} - 174817854 \beta_{15} - 99181077 \beta_{14} - 144756137 \beta_{13} + \cdots - 315726173 $ 99181077b16 - 174817854b15 - 99181077b14 - 144756137b13 + 174817854b12 - 144756137b11 + 163472165b10 + 8535094b9 - 19353279b7 + 177623005b6 - 197377417b5 + 315726173b4 - 19353279b3 + 675524745b1 - 315726173
$\nu^{18}$	$=$	$ - 62123188 \beta_{19} + 101348977 \beta_{18} + 150486080 \beta_{17} + 622905442 \beta_{16} + \cdots - 390728528 \beta_1 $ -62123188b19 + 101348977b18 + 150486080b17 + 622905442b16 + 944455942b13 - 548117381b12 - 150486080b10 - 277018454b9 + 390728528b8 + 101348977b6 + 62123188b5 - 3098712849b4 + 310929150b3 + 277018454b2 - 390728528*b1
$\nu^{19}$	$=$	$ 2629105869 \beta_{19} + 2328133709 \beta_{18} - 2249308185 \beta_{17} + 1330782453 \beta_{16} + \cdots + 4236635003 $ 2629105869b19 + 2328133709b18 - 2249308185b17 + 1330782453b16 + 2328901928b15 + 1330782453b14 - 2036653241b13 + 2328901928b12 + 2036653241b11 - 8940749949b8 + 237188231b7 + 4236635003b4 - 237188231b3 - 207178598b2 + 4236635003

Display $\beta_i$ in terms of $\nu^j$

Character values

We give the values of $\chi$ on generators for $\left(\mathbb{Z}/2034\mathbb{Z}\right)^\times$.

$n$	$227$	$1585$
$\chi(n)$	$1$	$\beta_{4}$

Embeddings

For each embedding $\iota_m$ of the coefficient field, the values $\iota_m(a_n)$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment:embeddings in the coefficient field

gp:mfembed(f)

Label

$\iota_m(\nu)$

$ a_{2} $

$ a_{3} $

$ a_{4} $

$ a_{5} $

$ a_{6} $

$ a_{7} $

$ a_{8} $

$ a_{9} $

$ a_{10} $

919.1

2.55481	+	2.55481i
2.06934	+	2.06934i
1.23917	+	1.23917i
1.20519	+	1.20519i
0.218549	+	0.218549i
−0.272826	−	0.272826i
−0.513478	−	0.513478i
−1.47767	−	1.47767i
−2.41746	−	2.41746i
−2.60563	−	2.60563i
2.55481	−	2.55481i
2.06934	−	2.06934i
1.23917	−	1.23917i
1.20519	−	1.20519i
0.218549	−	0.218549i
−0.272826	+	0.272826i
−0.513478	+	0.513478i
−1.47767	+	1.47767i
−2.41746	+	2.41746i
−2.60563	+	2.60563i

1.00000

−2.55481

−

2.55481i

3.17380

1.00000

−2.55481

−

2.55481i

919.2

1.00000

−2.06934

−

2.06934i

−2.19510

1.00000

−2.06934

−

2.06934i

919.3

1.00000

−1.23917

−

1.23917i

−1.76031

1.00000

−1.23917

−

1.23917i

919.4

1.00000

−1.20519

−

1.20519i

−0.927487

1.00000

−1.20519

−

1.20519i

919.5

1.00000

−0.218549

−

0.218549i

3.38306

1.00000

−0.218549

−

0.218549i

919.6

1.00000

0.272826

0.272826i

4.90707

1.00000

0.272826

0.272826i

919.7

1.00000

0.513478

0.513478i

−0.280847

1.00000

0.513478

0.513478i

919.8

1.00000

1.47767

1.47767i

−4.93079

1.00000

1.47767

1.47767i

919.9

1.00000

2.41746

2.41746i

−3.53917

1.00000

2.41746

2.41746i

919.10

1.00000

2.60563

2.60563i

2.16977

1.00000

2.60563

2.60563i

1567.1

1.00000

−2.55481

2.55481i

3.17380

1.00000

−2.55481

2.55481i

1567.2

1.00000

−2.06934

2.06934i

−2.19510

1.00000

−2.06934

2.06934i

1567.3

1.00000

−1.23917

1.23917i

−1.76031

1.00000

−1.23917

1.23917i

1567.4

1.00000

−1.20519

1.20519i

−0.927487

1.00000

−1.20519

1.20519i

1567.5

1.00000

−0.218549

0.218549i

3.38306

1.00000

−0.218549

0.218549i

1567.6

1.00000

0.272826

−

0.272826i

4.90707

1.00000

0.272826

−

0.272826i

1567.7

1.00000

0.513478

−

0.513478i

−0.280847

1.00000

0.513478

−

0.513478i

1567.8

1.00000

1.47767

−

1.47767i

−4.93079

1.00000

1.47767

−

1.47767i

1567.9

1.00000

2.41746

−

2.41746i

−3.53917

1.00000

2.41746

−

2.41746i

1567.10

1.00000

2.60563

−

2.60563i

2.16977

1.00000

2.60563

−

2.60563i

Inner twists

Char	Parity	Ord	Mult	Type
1.a	even	1	1	trivial
113.c	even	4	1	inner

Twists

By twisting character orbit
Char	Parity	Ord	Mult	Type	Twist	Min	Dim
1.a	even	1	1	trivial	2034.2.f.j	yes	20
3.b	odd	2	1		2034.2.f.i	✓	20
113.c	even	4	1	inner	2034.2.f.j	yes	20
339.e	odd	4	1		2034.2.f.i	✓	20

By twisted newform orbit
Twist	Min	Dim	Char	Parity	Ord	Mult	Type
2034.2.f.i	✓	20	3.b	odd	2	1
2034.2.f.i	✓	20	339.e	odd	4	1
2034.2.f.j	yes	20	1.a	even	1	1	trivial
2034.2.f.j	yes	20	113.c	even	4	1	inner

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $ T_{5}^{20} + 8 T_{5}^{17} + 301 T_{5}^{16} + 92 T_{5}^{15} + 32 T_{5}^{14} + 1420 T_{5}^{13} + \cdots + 5184 $ T5^20 + 8*T5^17 + 301*T5^16 + 92*T5^15 + 32*T5^14 + 1420*T5^13 + 24136*T5^12 + 16952*T5^11 + 5960*T5^10 + 14216*T5^9 + 358852*T5^8 + 313776*T5^7 + 115200*T5^6 - 341280*T5^5 + 411120*T5^4 - 34560*T5^3 + 5184 acting on $S_{2}^{\mathrm{new}}(2034, [\chi])$.

Hecke characteristic polynomials

$p$	$F_p(T)$
$2$	$ (T - 1)^{20} $ (T - 1)^20
$3$	$ T^{20} $ T^20
$5$	$ T^{20} + 8 T^{17} + \cdots + 5184 $ T^20 + 8T^17 + 301T^16 + 92T^15 + 32T^14 + 1420T^13 + 24136T^12 + 16952T^11 + 5960T^10 + 14216T^9 + 358852T^8 + 313776T^7 + 115200T^6 - 341280T^5 + 411120T^4 - 34560*T^3 + 5184
$7$	$ (T^{10} - 48 T^{8} + \cdots + 2008)^{2} $ (T^10 - 48T^8 - 6T^7 + 748T^6 + 264T^5 - 4533T^4 - 3184T^3 + 8844T^2 + 9784T + 2008)^2
$11$	$ T^{20} + 130 T^{18} + \cdots + 1218816 $ T^20 + 130T^18 + 6747T^16 + 179026T^14 + 2599529T^12 + 20808680T^10 + 89989048T^8 + 194981536T^6 + 170988176T^4 + 27667840*T^2 + 1218816
$13$	$ T^{20} + 110 T^{18} + \cdots + 26873856 $ T^20 + 110T^18 + 5109T^16 + 130660T^14 + 2011548T^12 + 19117584T^10 + 110153616T^8 + 358652416T^6 + 553195008T^4 + 233238528*T^2 + 26873856
$17$	$ T^{20} + \cdots + 360417721104 $ T^20 + 8T^19 + 32T^18 - 284T^17 + 1464T^16 + 9472T^15 + 69256T^14 - 624448T^13 + 1904928T^12 - 1211732T^11 + 50160288T^10 - 423352408T^9 + 1702249097T^8 - 4053888560T^7 + 11456775936T^6 - 50818828160T^5 + 194774591848T^4 - 487173266944T^3 + 784232841728T^2 - 751866229632*T + 360417721104
$19$	$ T^{20} + \cdots + 2684068864 $ T^20 - 4T^19 + 8T^18 + 64T^17 + 5755T^16 - 18372T^15 + 29496T^14 + 86848T^13 + 8680077T^12 - 24356452T^11 + 32559176T^10 - 116288488T^9 + 3171987780T^8 - 11553150304T^7 + 21236650368T^6 - 5820767488T^5 + 13651744896T^4 - 47665362432T^3 + 88321001472T^2 - 21774280704*T + 2684068864
$23$	$ T^{20} + \cdots + 195500159716 $ T^20 - 4T^19 + 8T^18 + 4T^17 + 4120T^16 - 15024T^15 + 27144T^14 - 85456T^13 + 4217276T^12 - 16928272T^11 + 34660064T^10 - 65333568T^9 + 1503917745T^8 - 6518722044T^7 + 14490731016T^6 - 12588265628T^5 + 133331961488T^4 - 587351493568T^3 + 1340807927048T^2 - 724055472856*T + 195500159716
$29$	$ T^{20} + \cdots + 944099835904 $ T^20 + 8T^19 + 32T^18 - 204T^17 + 5060T^16 + 36112T^15 + 147784T^14 - 972760T^13 + 5222772T^12 + 19013456T^11 + 87673216T^10 - 665435232T^9 + 2726034032T^8 + 1302737280T^7 + 3213918208T^6 - 27203275776T^5 + 133637942848T^4 + 92170073088T^3 + 95536947200T^2 - 424726773760*T + 944099835904
$31$	$ T^{20} + \cdots + 210482758656 $ T^20 + 416T^18 + 70944T^16 + 6473902T^14 + 346833072T^12 + 11233148016T^10 + 217292238201T^8 + 2370548352832T^6 + 12686490396288T^4 + 22410682200576*T^2 + 210482758656
$37$	$ T^{20} + \cdots + 865748367936 $ T^20 + 12T^19 + 72T^18 + 204T^17 + 15655T^16 + 203752T^15 + 1338672T^14 + 1637952T^13 + 3330349T^12 + 97182824T^11 + 1061079560T^10 + 202879956T^9 - 2157203532T^8 - 4685031864T^7 + 213678447432T^6 - 410877649080T^5 + 393602631300T^4 + 378530058528T^3 + 1244208955392T^2 - 1467768287232*T + 865748367936
$41$	$ T^{20} + \cdots + 72\!\cdots\!00 $ T^20 + 572T^18 + 139300T^16 + 18948928T^14 + 1586193888T^12 + 84647500672T^10 + 2873788061568T^8 + 59720536771584T^6 + 693479960232192T^4 + 3740567547350016*T^2 + 7257158905881600
$43$	$ T^{20} + \cdots + 39\!\cdots\!00 $ T^20 - 16T^19 + 128T^18 - 760T^17 + 34831T^16 - 547320T^15 + 4587552T^14 - 23471912T^13 + 321528049T^12 - 4556178416T^11 + 39572484992T^10 - 179664306912T^9 + 544282908048T^8 - 2375967831552T^7 + 20669174438400T^6 - 91364541608448T^5 + 209424489348096T^4 - 83894752899072T^3 + 315375384010752T^2 - 1581867723571200*T + 3967185807360000
$47$	$ T^{20} + \cdots + 20927672896 $ T^20 + 8T^19 + 32T^18 - 356T^17 + 3343T^16 + 15408T^15 + 79656T^14 - 957724T^13 + 5367989T^12 + 1937912T^11 + 37090616T^10 - 423440340T^9 + 2051649180T^8 - 2595538200T^7 + 1218198792T^6 + 24875032T^5 + 20818064228T^4 - 17823989248T^3 + 6425244800T^2 + 16399111040*T + 20927672896
$53$	$ (T^{10} - 18 T^{9} + \cdots + 52379136)^{2} $ (T^10 - 18T^9 - 157T^8 + 3658T^7 + 2661T^6 - 203304T^5 + 207756T^4 + 4053816T^3 - 6590808T^2 - 26034048*T + 52379136)^2
$59$	$ T^{20} + \cdots + 196191790895104 $ T^20 - 20T^19 + 200T^18 + 104T^17 + 7677T^16 - 184460T^15 + 2159208T^14 + 4286608T^13 + 27747964T^12 - 572320256T^11 + 6779125536T^10 + 21709594272T^9 + 81911869584T^8 - 714763843840T^7 + 2971426666496T^6 + 1611423175168T^5 + 14132213480960T^4 - 102725154369536T^3 + 293407289376768T^2 - 339305471705088*T + 196191790895104
$61$	$ T^{20} + \cdots + 361731185869824 $ T^20 + 614T^18 + 148533T^16 + 18823644T^14 + 1390458892T^12 + 62577599760T^10 + 1728940950096T^8 + 28468753720704T^6 + 255399777619200T^4 + 976687843341312*T^2 + 361731185869824
$67$	$ T^{20} + \cdots + 97\!\cdots\!76 $ T^20 - 8T^19 + 32T^18 - 312T^17 + 55063T^16 - 504112T^15 + 2319552T^14 - 6393912T^13 + 832511233T^12 - 8348242008T^11 + 41483439648T^10 + 30791716512T^9 + 1604296477312T^8 - 16301539758080T^7 + 83102112842240T^6 + 102481200073728T^5 + 71401805243392T^4 - 551152812015616T^3 + 5114594779987968T^2 + 9985030822035456*T + 9746699866341376
$71$	$ T^{20} + \cdots + 20\!\cdots\!96 $ T^20 - 4T^19 + 8T^18 - 1716T^17 + 86408T^16 - 628376T^15 + 3294568T^14 - 90251392T^13 + 2314641564T^12 - 22062612400T^11 + 137355872704T^10 - 1322675858760T^9 + 21315354566129T^8 - 221003250225708T^7 + 1425084669605608T^6 - 5662431522365700T^5 + 14164581722988880T^4 - 20488902388974384T^3 + 18066972507959432T^2 - 8646874825707688*T + 2069202358572196
$73$	$ T^{20} + \cdots + 119519118950400 $ T^20 - 32T^19 + 512T^18 - 5536T^17 + 72216T^16 - 1208320T^15 + 17015296T^14 - 173479296T^13 + 1345195536T^12 - 9036450816T^11 + 62049689600T^10 - 441589137408T^9 + 2843689519872T^8 - 14825418350592T^7 + 59658530979840T^6 - 180842802315264T^5 + 403261974982656T^4 - 635193027330048T^3 + 660808402993152T^2 - 397439902679040*T + 119519118950400
$79$	$ T^{20} + \cdots + 36827145216 $ T^20 + 20T^19 + 200T^18 + 180T^17 + 35144T^16 + 691952T^15 + 6826440T^14 + 7089000T^13 + 278977908T^12 + 5271788608T^11 + 50406588352T^10 + 70427000512T^9 + 43538798688T^8 + 33071921664T^7 + 1667078840448T^6 + 1799504380800T^5 + 894215574592T^4 - 1766691918848T^3 + 1102980810752T^2 - 285025032192*T + 36827145216
$83$	$ (T^{10} + 6 T^{9} + \cdots - 605931264)^{2} $ (T^10 + 6T^9 - 335T^8 - 1602T^7 + 41429T^6 + 150288T^5 - 2348572T^4 - 5906672T^3 + 61387052T^2 + 80923584*T - 605931264)^2
$89$	$ T^{20} + \cdots + 32\!\cdots\!36 $ T^20 + 12T^19 + 72T^18 - 480T^17 + 34903T^16 + 369936T^15 + 2041416T^14 - 11094364T^13 + 342343177T^12 + 3134592176T^11 + 15466471488T^10 - 66560358560T^9 + 772684287288T^8 + 4312250901568T^7 + 10512568381568T^6 + 6303257936448T^5 + 217701164084496T^4 + 1228406671072256T^3 + 3445355285086208T^2 + 4744183643570176*T + 3266321842241536
$97$	$ (T^{10} + 2 T^{9} + \cdots - 12021732544)^{2} $ (T^10 + 2T^9 - 781T^8 - 1366T^7 + 214317T^6 + 331564T^5 - 24618716T^4 - 34365192T^3 + 1101559124T^2 + 1177173792*T - 12021732544)^2
show more
show less

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$
Belyi maps

Level:	\( N \)	\(=\)	\( 2034 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 113 \)
Weight:	\( k \)	\(=\)	\( 2 \)
Character orbit:	\([\chi]\)	\(=\)	2034.f (of order \(4\), degree \(2\), minimal)

\(f(q)\)	\(=\)	\( q + q^{2} + q^{4} - \beta_1 q^{5} + \beta_{11} q^{7} + q^{8} - \beta_1 q^{10} + \beta_{3} q^{11} + ( - \beta_{12} - \beta_{4}) q^{13} + \beta_{11} q^{14} + q^{16} + ( - \beta_{18} - \beta_{15} - \beta_{12} + \cdots - 1) q^{17}+ \cdots + ( - \beta_{19} + \beta_{17} - \beta_{15} + \cdots + 1) q^{98}+O(q^{100}) \) q + q^2 + q^4 - b1 * q^5 + b11 * q^7 + q^8 - b1 * q^10 + b3 * q^11 + (-b12 - b4) * q^13 + b11 * q^14 + q^16 + (-b18 - b15 - b12 - b4 - b2 - 1) * q^17 - b5 * q^19 - b1 * q^20 + b3 * q^22 + (b18 + b16 + b14 - b8 + b7 - b3) * q^23 + (b16 - b12 - b4) * q^25 + (-b12 - b4) * q^26 + b11 * q^28 - b17 * q^29 + (-b16 - b12 + b8 - b3 - b1) * q^31 + q^32 + (-b18 - b15 - b12 - b4 - b2 - 1) * q^34 + (-b16 + b15 + b14 + b13 - b12 + b11 - b10 - b6 + b5 - b1) * q^35 + (-b10 + b6) * q^37 - b5 * q^38 - b1 * q^40 + (b18 + b16 - 2b13 + b9 + b6 - b4 - 2b3 - b2) * q^41 + (2b16 - 2b14 - b13 - b11 + b10 + b9 - 2b7 + 2b6 - b5 - b4 - 2b3 + b1 + 1) q^43 + b3 * q^44 + (b18 + b16 + b14 - b8 + b7 - b3) * q^46 + (-b15 + b12 - b9 + b6 + b4 + b1 - 1) * q^47 + (-b19 + b17 - b15 - b14 + b10 - b7 - b5 + 1) * q^49 + (b16 - b12 - b4) * q^50 + (-b12 - b4) * q^52 + (b15 - 2b14 - b11 + b9 - 2b7 + b2 + 3) * q^53 + (-b19 - b18 - 2b15 - b13 - 2b12 + b11 + 2b8 + b7 - 2b4 - b3 - 2b2 - 2) q^55 + b11 * q^56 - b17 * q^58 + (b10 + b7 - b6 - b5 + b3 + b1) * q^59 + (-b12 + b9 + b8 + b4 - b2 - b1) * q^61 + (-b16 - b12 + b8 - b3 - b1) * q^62 + q^64 + (-b19 - b18 + b17 - b16 - b14 + b13 - b11 + 3b8 - b7 + b4 + b3 + 1) q^65 + (-b19 - 2b18 + b17 - 2b15 + b13 - 2b12 - b11 + b8 - b4 - b2 - 1) q^67 + (-b18 - b15 - b12 - b4 - b2 - 1) * q^68 + (-b16 + b15 + b14 + b13 - b12 + b11 - b10 - b6 + b5 - b1) * q^70 + (-b18 + b17 + b15 + b13 + b12 - b11 - b7 + b4 + b3 + b2 + 1) * q^71 + (b16 - b14 - b13 - b11 - b7 + 2b6 - 2b4 - b3 + 2) * q^73 + (-b10 + b6) * q^74 - b5 * q^76 + (b19 + b18 + b16 - b13 + b12 - b9 - 2b8 + b6 - b5 - b3 + b2 + 2b1) * q^77 + (-b17 + b16 - b15 + b14 - b12 - 2b8 + b7 - b4 - b3 - 1) q^79 - b1 * q^80 + (b18 + b16 - 2b13 + b9 + b6 - b4 - 2b3 - b2) * q^82 + (b17 - b15 - b14 + b11 + b10 + b8 + b1 - 2) * q^83 + (-b17 + b15 - b10 - 2b7 + 3) q^85 + (2b16 - 2b14 - b13 - b11 + b10 + b9 - 2b7 + 2b6 - b5 - b4 - 2b3 + b1 + 1) q^86 + b3 * q^88 + (-b19 - 2b18 - b16 - b15 - b14 + b13 - b12 - b11 - b4 - 1) q^89 + (b19 + b12 - b9 - b5 + b4 + 2b3 + b2) q^91 + (b18 + b16 + b14 - b8 + b7 - b3) * q^92 + (-b15 + b12 - b9 + b6 + b4 + b1 - 1) * q^94 + (-2b16 + 2b12 - b9 + 2b4 + b2) q^95 + (b19 - b17 + b15 - b14 + b11 - b10 + b9 - 2b8 + b5 + b2 - 2b1 + 2) * q^97 + (-b19 + b17 - b15 - b14 + b10 - b7 - b5 + 1) * q^98
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\)	\(=\)	\( 20 q + 20 q^{2} + 20 q^{4} + 20 q^{8} + 20 q^{16} - 8 q^{17} + 4 q^{19} + 4 q^{23} - 8 q^{29} + 20 q^{32} - 8 q^{34} - 20 q^{35} - 12 q^{37} + 4 q^{38} + 16 q^{43} + 4 q^{46} - 8 q^{47} + 52 q^{49} + 36 q^{53}+ \cdots + 52 q^{98}+O(q^{100}) \) 20 * q + 20 * q^2 + 20 * q^4 + 20 * q^8 + 20 * q^16 - 8 * q^17 + 4 * q^19 + 4 * q^23 - 8 * q^29 + 20 * q^32 - 8 * q^34 - 20 * q^35 - 12 * q^37 + 4 * q^38 + 16 * q^43 + 4 * q^46 - 8 * q^47 + 52 * q^49 + 36 * q^53 - 4 * q^55 - 8 * q^58 + 20 * q^59 + 20 * q^64 + 28 * q^65 + 8 * q^67 - 8 * q^68 - 20 * q^70 + 4 * q^71 + 32 * q^73 - 12 * q^74 + 4 * q^76 - 20 * q^79 - 12 * q^83 + 28 * q^85 + 16 * q^86 - 12 * q^89 + 4 * q^92 - 8 * q^94 - 4 * q^97 + 52 * q^98

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Newspace parameters

Newform invariants

$q$-expansion

Character values

Embeddings

Inner twists

Twists

Hecke kernels

Hecke characteristic polynomials

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2034.2.f.j

Level	$2034$
Weight	$2$
Character orbit	2034.f
Analytic conductor	$16.242$
Analytic rank	$0$
Dimension	$20$
Inner twists	$2$

Self dual:	no
Analytic conductor:	\(16.2415717711\)
Analytic rank:	\(0\)
Dimension:	\(20\)
Relative dimension:	\(10\) over \(\Q(i)\)
Coefficient field:	\(\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)\)
comment:defining polynomial gp:f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	\( x^{20} - 8 x^{17} + 301 x^{16} - 92 x^{15} + 32 x^{14} - 1420 x^{13} + 24136 x^{12} - 16952 x^{11} + \cdots + 5184 \) x^20 - 8x^17 + 301x^16 - 92x^15 + 32x^14 - 1420x^13 + 24136x^12 - 16952x^11 + 5960x^10 - 14216x^9 + 358852x^8 - 313776x^7 + 115200x^6 + 341280x^5 + 411120x^4 + 34560*x^3 + 5184
Coefficient ring:	\(\Z[a_1, \ldots, a_{17}]\)
Coefficient ring index:	\( 2^{3} \)
Twist minimal:	yes
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{4}]$

\(\beta_{1}\)	\(=\)	\( \nu \) v
\(\beta_{2}\)	\(=\)	\( ( - 31\!\cdots\!36 \nu^{19} + \cdots + 50\!\cdots\!24 ) / 13\!\cdots\!84 \) (-31848851901275689042439771234236v^19 - 776415541388858934082877903912885v^18 + 79419750795578125456851950680344v^17 - 208570556979101566218828079685662v^16 - 4638412818920636995761780702682044v^15 - 233463655471920217776758403115224153v^14 + 97254521135371111451698871385388796v^13 - 111887917763533866826926954760472670v^12 + 27039974318142643159115852470730620v^11 - 18805101699587353998841353998395887888v^10 + 15436165907696196030827466869985642824v^9 - 13723646519236992014005726537388021696v^8 - 16710551737113234796550717150619922632v^7 - 295204325478320432825387366070941754356v^6 + 278640488905854891676523514997065514176v^5 - 195625847357439839516561140435367804184v^4 - 385773214850710587219592285050337433280v^3 - 459089105574900024368876836925238838032v^2 - 17045808661237672889500099418017945632*v + 50376028876335686394733256520511233024) / 13969376749356695569816396650300072384
\(\beta_{3}\)	\(=\)	\( ( 16\!\cdots\!34 \nu^{19} + \cdots + 32\!\cdots\!52 ) / 69\!\cdots\!92 \) (16169092622447179319134345069534v^19 - 434331456234794635242662110242066v^18 - 18969313008774059208714780281415v^17 - 137394823955564240042813572083740v^16 + 8406377953650229582550139112827604v^15 - 131742837214610465528560774958954318v^14 + 35211928668014336625931124194608941v^13 - 37911287357092318880337936068789872v^12 + 1023430566870421232673632542551171094v^11 - 10643631893490558904145889400021025192v^10 + 7096897593820198789103944357206501560v^9 - 2760812211979370905030135759702517744v^8 + 12923555453517610882124449894911221032v^7 - 155130303027891335068520072039261743152v^6 + 134877605925058702289723819660356280148v^5 - 42684942890621666289467810208808879488v^4 - 135666841445261922694900788440745687720v^3 - 133189096574051873810636281946985660912v^2 - 13671476310021232623919944277065991344*v + 32621887701170544834061013820910752) / 6984688374678347784908198325150036192
\(\beta_{4}\)	\(=\)	\( ( 61\!\cdots\!76 \nu^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!60 ) / 92\!\cdots\!56 \) (61662149876616115118596252876v^19 - 181148577835556435845887064523v^18 + 426316611903523633394298222v^17 - 495439686327728651983630396820v^16 + 20015320561627722986142425421380v^15 - 60216755954502242137199934218035v^14 + 18779677956913581000652202042154v^13 - 94089631317210764652340627456412v^12 + 1747593118506468792189211126919628v^11 - 5423146354029530342140605169720612v^10 + 3451797404085100776744271300868520v^9 - 2024097333620313075973103332879320v^8 + 24904355267677619677749727440264992v^7 - 84835717737428685111523782137868908v^6 + 64296834685626435313156104258358296v^5 - 870938952700478282261326991894112v^4 - 33311877259342707640702943314577136v^3 - 81479844025559355509278443152587872v^2 - 3151486562341860739483851347424288*v + 108934924633372986745508488676160) / 9226801023353167483366180086063456
\(\beta_{5}\)	\(=\)	\( ( 24\!\cdots\!26 \nu^{19} + \cdots - 88\!\cdots\!00 ) / 13\!\cdots\!84 \) (242876357031949138786774543113026v^19 - 662732316526859985793059101897579v^18 + 1148950165999748487003412589073516v^17 - 1501823120196452812608462751205488v^16 + 78600980643589993007770361980689102v^15 - 232100584441109688801035515183133019v^14 + 407727723736436402647391003698988384v^13 - 345234436341021434880211635805980432v^12 + 6864431987604145701505281758296747120v^11 - 22037737738303132216042130057168602956v^10 + 38964216361205536455347805556548359384v^9 - 17592617908962398003546020441092772448v^8 + 101890212419644246136520975946039406208v^7 - 349851084527169525567869676416784397292v^6 + 596358485720429473761645315178996500288v^5 - 249988903341305531526041750269585675104v^4 - 41174452108782147578414737117952605680v^3 - 54028084969110620375980966798888167072v^2 + 295109945512428102979100391231381092160*v - 8894227617807594797748058478972992800) / 13969376749356695569816396650300072384
\(\beta_{6}\)	\(=\)	\( ( 25\!\cdots\!48 \nu^{19} + \cdots - 78\!\cdots\!08 ) / 13\!\cdots\!84 \) (256700851642189180757796854443448v^19 - 731939782242696000122326575610791v^18 + 988398945030050337591956291996124v^17 - 1878830471773483323982176953897596v^16 + 83218015990830035961826122514517804v^15 - 252490666762474452474746974153321879v^14 + 368911906919812194029153444027720800v^13 - 430527983679034654257393884772628100v^12 + 7283328391765682793735010085573499872v^11 - 23591733952296994657745883989533701220v^10 + 36833934345720908924937420150823538296v^9 - 21460253158745863915018721584216846864v^8 + 108484621271853870066403865085598292312v^7 - 367809071915237414440845020451778436124v^6 + 567776191403156190030049374285594285792v^5 - 277884550807392676143324404289998168016v^4 - 38238867958060116913148922693309927696v^3 - 41556245403104652473489458979270659008v^2 + 60327757452560352325351389150347559744*v - 7821356337609483463841872023621607008) / 13969376749356695569816396650300072384
\(\beta_{7}\)	\(=\)	\( ( 12\!\cdots\!71 \nu^{19} + \cdots - 15\!\cdots\!52 ) / 69\!\cdots\!92 \) (129535765633539559963863580822471v^19 - 13510939538118523822990269806649v^18 + 26474323341687687276571614495585v^17 - 1219440236256281215000821881648210v^16 + 38978171277082562469123842064311521v^15 - 16242403159321472699404670291677805v^14 + 15067450507858112859815820629242745v^13 - 240091108335482742058629253878592090v^12 + 3128551278880285680087417235249454938v^11 - 2569986348447989982499221086261472128v^10 + 1966889272384250342051800794907603760v^9 - 6393350391188175859715083063550353928v^8 + 47337208459627476208390711798436548948v^7 - 46341330844465086525619464246892896684v^6 + 35734668267705475468655690470942715940v^5 - 16212982070781371130448388359350168888v^4 + 77976259967285274869436125692543848840v^3 + 2884848974732314554833387995415497152v^2 - 8527427824645961132719494243123811728*v - 15273283925842609830682986639231013152) / 6984688374678347784908198325150036192
\(\beta_{8}\)	\(=\)	\( ( - 18\!\cdots\!23 \nu^{19} + \cdots - 31\!\cdots\!84 ) / 92\!\cdots\!56 \) (-181148577835556435845887064523v^19 + 426316611903523633394298222v^18 - 2142487314799731034860373812v^17 + 1455013448766272335444953305704v^16 - 54543838165853559546289078953443v^15 + 16806489160861865316857121950122v^14 - 6529378492415881183933948372492v^13 + 259315469084462237686771967504492v^12 - 4377849589321133958650161490966660v^11 + 3084290990820468730637437633727560v^10 - 1147508210974338383447139001994104v^9 + 2776769460154173535211224903206640v^8 - 65487614997743586974071124295449132v^7 + 57193355019840258851493815927043096v^6 - 21914997462592026049935856173415392v^5 - 58662420316617124888260234796958256v^4 - 83610887925295208447777129651982432v^3 - 3151486562341860739483851347424288v^2 + 108934924633372986745508488676160*v - 319656584960377940774802974909184) / 9226801023353167483366180086063456
\(\beta_{9}\)	\(=\)	\( ( - 30\!\cdots\!97 \nu^{19} + \cdots + 49\!\cdots\!08 ) / 13\!\cdots\!84 \) (-302681484506383686144927937879297v^19 + 817223761041717017620439663891819v^18 - 368222418767781520038471318099456v^17 + 1797189117049407991862111624500862v^16 - 97914406527793994973305844365640617v^15 + 278262349367829697974234382626454195v^14 - 186719793776646847095183682947339252v^13 + 310260866098015822261818759208853426v^12 - 8511022105972264455256812606775851096v^11 + 25784660827124615792988778991579453368v^10 - 22684159172756020682527567088965755144v^9 + 2187641165759314171617700321561083048v^8 - 120120177766639744121770883219280350396v^7 + 420829311676000926789673807684017607676v^6 - 361935841765360205353467737131279898880v^5 - 41414051601797520806691162495511093704v^4 + 180990498723872789073102171741234751392v^3 + 451467033960927123922865607872960307120v^2 + 39561925510425693504033468460958767488*v + 49985825152240043710876897233452097408) / 13969376749356695569816396650300072384
\(\beta_{10}\)	\(=\)	\( ( - 22\!\cdots\!41 \nu^{19} + \cdots + 19\!\cdots\!00 ) / 69\!\cdots\!92 \) (-227592602392387856562819012776141v^19 + 737189528816212390529235203675000v^18 + 160158329225864156373805531430598v^17 + 2460253251624248901502472161801186v^16 - 74188231080214349487023011126602489v^15 + 240374768214252212525355291344595960v^14 - 35489467077338464308672222492735458v^13 + 517848919253756076178115090337522150v^12 - 6521511714158684085746164644273772720v^11 + 21107992932298421752153345655962997028v^10 - 11753332553118779965774120606963839776v^9 + 18889584168227282696203734134222993096v^8 - 95460593131899953277352690434672543396v^7 + 313110179618362490870688217884228766640v^6 - 256500619039770866284966851087307400664v^5 + 127984891995058876772551838829203268072v^4 + 76564105821632986211569548226099786704v^3 + 163518507777143773106751142347598380528v^2 - 31030115091562206204986812494416033664*v + 19747397939042022555478405870102154400) / 6984688374678347784908198325150036192
\(\beta_{11}\)	\(=\)	\( ( 25\!\cdots\!63 \nu^{19} + \cdots + 20\!\cdots\!48 ) / 46\!\cdots\!28 \) (253899356216952127040968068212763v^19 + 29209502093577682409695160264564v^18 - 89713548485349550387472025225098v^17 - 1980526210272772527586465893343404v^16 + 76151190098923449854012719234062911v^15 - 13860120604187926341606828501802776v^14 - 21911487236627554582139568868535322v^13 - 335578451613515959206528748623926608v^12 + 6067779072350588919821719049302505064v^11 - 3470250962607116816971657666446205640v^10 - 1203638562912786215047471353517743024v^9 - 581062809005015859773933479274395144v^8 + 88442799219793662035975297922099278572v^7 - 67289330938254463624723434669019741488v^6 - 11881758531289687405220111198368747880v^5 + 140338173714822537900624621301985145552v^4 + 76775998184360783898943329795560178768v^3 + 3006174480297444529121233227522657888v^2 - 8947775708293790044778407186911421248*v + 20551690662723947316829609776993205248) / 4656458916452231856605465550100024128
\(\beta_{12}\)	\(=\)	\( ( 60\!\cdots\!06 \nu^{19} + \cdots + 10\!\cdots\!56 ) / 69\!\cdots\!92 \) (607463258485677898245545593870106v^19 + 392858489253612161599478535895247v^18 - 68879103706978847799522989760009v^17 - 4909287210310188799488096980783836v^16 + 179971754331194422507019374688116408v^15 + 63650301475098065617806344234588599v^14 - 35939748756393549967420270318832097v^13 - 860349015237501050830197209617297120v^12 + 14178822694163319177911006153922366786v^11 - 537912135712945430336833226117850080v^10 - 4371602106175359105845670298978442184v^9 - 6643917430484538348368405995090176336v^8 + 217650562623297136212084368648324215048v^7 - 38860662265004205127206658585748938060v^6 - 64363842937113341258892232373180537700v^5 + 250887933346802067146852204612279806656v^4 + 436156028300529558526386183021119122632v^3 + 230714895193217164063277203457135264256v^2 + 46386345029456427521877023163861216240*v + 1088453499798143350809755118255481056) / 6984688374678347784908198325150036192
\(\beta_{13}\)	\(=\)	\( ( - 13\!\cdots\!45 \nu^{19} + \cdots - 22\!\cdots\!76 ) / 13\!\cdots\!84 \) (-1307966494982495146581593153926645v^19 + 1525532068836453248709286084803746v^18 - 199885244756231556960882234131370v^17 + 10438630702784561296935548355469988v^16 - 405800808707603138447164419117697385v^15 + 581288492330014416518774979867848614v^14 - 241899628085746553789912569080109842v^13 + 1916248687143824056022544786225805040v^12 - 33710823908888493698567592279687120648v^11 + 59314539873223267436150212454794116688v^10 - 38380164081999312069840713098477676592v^9 + 30337949607491529174043033277461619448v^8 - 489755519256977974359663032017439006564v^7 + 962112821549471253479455231073248905608v^6 - 697272599770180874502278745100741740552v^5 - 218967558269621639355394305220405605744v^4 - 6536679776857016437841967329541802512v^3 + 501511686037524929286283483411846010784v^2 - 5296147961780987821137911314411052928*v - 2276398230555983378521310846802403776) / 13969376749356695569816396650300072384
\(\beta_{14}\)	\(=\)	\( ( 75\!\cdots\!76 \nu^{19} + \cdots + 18\!\cdots\!80 ) / 69\!\cdots\!92 \) (751656442486960123753384880842676v^19 - 2431083998422025521524475219983v^18 + 49080716973129089456250946297425v^17 - 5811574880412418497787877823740800v^16 + 226646234730236792801806206116473646v^15 - 70134622238841601842272023413434743v^14 + 36660780009729727276159497966222913v^13 - 1016414401958813857848880595251096028v^12 + 18237963666919966122040180492480738790v^11 - 12850981767881708412070052986597739464v^10 + 5208394187936176510155266798200691392v^9 - 7726860702041604846936076334071959112v^8 + 274816078340283055716420804582853315352v^7 - 238273799322093764643018063451843038420v^6 + 88026256052119240112486037239922579780v^5 + 279580539778377232357232565078733546080v^4 + 346722556115045846142617011245530460648v^3 + 13080774921226715262847241002502935584v^2 - 38746850535000673039138022038986172272*v + 18218879289705091049336161420213574880) / 6984688374678347784908198325150036192
\(\beta_{15}\)	\(=\)	\( ( 75\!\cdots\!30 \nu^{19} + \cdots - 22\!\cdots\!48 ) / 69\!\cdots\!92 \) (751979164162171091143864364596730v^19 - 4052946895725421914913778195667v^18 + 53490110317067471905388535964065v^17 - 5825288872087180271792421730479940v^16 + 226752835470229732428616088711076188v^15 - 70689218608111904796579254080406035v^14 + 38238737848114606056868036228769737v^13 - 1020689570573196731915770890592221752v^12 + 18248153113529517956884896300242522438v^11 - 12902353821997045885604931624357566632v^10 + 5360976075112611265277420254419079096v^9 - 8091799459075560912368540912923801864v^8 + 275083510437992457613019475154393921088v^7 - 239066137063117259595868740871499942964v^6 + 90418350561735132794164682895595126068v^5 + 272663766731982508724320823036971535376v^4 + 349076075388800658192912965486615838792v^3 + 13163238659174178613813590928430788704v^2 - 38988830569815679140304547890992424560*v - 22978371768147855565600244074023807648) / 6984688374678347784908198325150036192
\(\beta_{16}\)	\(=\)	\( ( 88\!\cdots\!98 \nu^{19} + \cdots + 15\!\cdots\!76 ) / 69\!\cdots\!92 \) (887532743225268293114209774432898v^19 - 429918351275485170012540511168219v^18 - 66942773655713043456646087235685v^17 - 7159574265610732336797746243140276v^16 + 270881340322107540310078270952024368v^15 - 209854204070251118169355756983726371v^14 + 49357548523907934937542031356631371v^13 - 1287704120680272343881128339524320424v^12 + 22116390638419700432034403092391317162v^11 - 25169842875715072244339461906988869784v^10 + 11306461703179168622126809949566375656v^9 - 15837367519788000339438241333028047776v^8 + 330766144249088884788423630682007808712v^7 - 424184492228405292903747677055949518196v^6 + 227672380205001927933462793168282842732v^5 + 246932128623636494788821257415096749952v^4 + 284853481788594980422313414486309770920v^3 - 132381867996195080874957287016768814176v^2 + 32072293063299696043141370343860100144*v + 1583235927482923456607854673822599776) / 6984688374678347784908198325150036192
\(\beta_{17}\)	\(=\)	\( ( 10\!\cdots\!31 \nu^{19} + \cdots + 22\!\cdots\!32 ) / 69\!\cdots\!92 \) (1067043392622364745047654675018731v^19 - 706267504214393960663401767523388v^18 - 103463339123618250084848728629258v^17 - 8047788453504348444161044408006410v^16 + 327941621486633362342391989221775999v^15 - 308247125154309657692584667190140156v^14 + 64691026609169379073199598231831766v^13 - 1393556729785890364400870192133196846v^12 + 27019252880249080347516014866594177232v^11 - 34588780654507446441482384058270200588v^10 + 15230969752145634298459830013127621560v^9 - 8336235654783023558126214872827827520v^8 + 405867959627996318625347565279704275132v^7 - 566470006291327946559400927461493972832v^6 + 297642211062569891733295479564537997848v^5 + 414040473684932298417685572138074046216v^4 + 262660260351560520233312165837309474736v^3 - 150557932202434754305866818418312585264v^2 - 7404758551516960565426270459207611584*v + 22091215023170063309048836800043004832) / 6984688374678347784908198325150036192
\(\beta_{18}\)	\(=\)	\( ( 78\!\cdots\!00 \nu^{19} + \cdots + 40\!\cdots\!08 ) / 46\!\cdots\!28 \) (785696299504414832545485506764100v^19 - 140007637051217311984325171460019v^18 - 21731130736263638906358453354842v^17 - 6261446580209998471763157403808732v^16 + 237223396307819619069862206540338980v^15 - 114617474771721323293638743984769571v^14 + 31150120644621407004844537390324770v^13 - 1107000741161768276830890291410141980v^12 + 19047268031481852973423525896231834796v^11 - 16735896165007377755180891916791749340v^10 + 6471755714770907194103719023975155480v^9 - 10291917023650846568099146241474429280v^8 + 275138595994141244578106210070586241768v^7 - 297505234932263540409310332371498423324v^6 + 125898548830061108515095508321970720712v^5 + 286258513491844616408489671902011293232v^4 + 167997755926532200692166990405591310688v^3 - 6652314328194515735148980766626570112v^2 - 1370646444219061769180439390363755808*v + 4090433626740978518064557328875776608) / 4656458916452231856605465550100024128
\(\beta_{19}\)	\(=\)	\( ( - 70\!\cdots\!68 \nu^{19} + \cdots - 21\!\cdots\!04 ) / 13\!\cdots\!84 \) (-7038656771628600542921040687188668v^19 + 333239449706815505625449774097317v^18 - 34320768063644497964004548076198v^17 + 56580419267625254208153394506261896v^16 - 2120169450853580022748858354761647708v^15 + 749682839376574123410563837911269949v^14 - 267817325110943485753720358833382250v^13 + 10078046057000348991468528434319671720v^12 - 170066292113904853163109568649069568708v^11 + 127762533937863950876316315252480285820v^10 - 48724465269982371135817312937788718088v^9 + 106699210381826270949377000803180665792v^8 - 2512840299430853059924183408147793579480v^7 + 2344322568287451135287519380747049340452v^6 - 933308895325201296697387619098582788744v^5 - 2328425808200367050337863126212224415488v^4 - 2629025580807134000350798976219078247456v^3 - 47887338995665884818044869804479196768v^2 + 7292216662183047042145829348567118432*v - 21548196709927996209867265634915812704) / 13969376749356695569816396650300072384

\(\nu\)	\(=\)	\( \beta_1 \) b1
\(\nu^{2}\)	\(=\)	\( \beta_{16} - \beta_{12} - 6\beta_{4} \) b16 - b12 - 6*b4
\(\nu^{3}\)	\(=\)	\( 2 \beta_{19} + 2 \beta_{18} - \beta_{17} + \beta_{16} + \beta_{15} + \beta_{14} - \beta_{13} + \beta_{12} + \cdots + 2 \) 2b19 + 2b18 - b17 + b16 + b15 + b14 - b13 + b12 + b11 - 11b8 + b7 + 2b4 - b3 + 2
\(\nu^{4}\)	\(=\)	\( \beta_{18} - 13\beta_{15} + 14\beta_{14} - 4\beta_{11} + 2\beta_{8} - \beta_{6} + 2\beta _1 - 63 \) b18 - 13b15 + 14b14 - 4b11 + 2b8 - b6 + 2*b1 - 63
\(\nu^{5}\)	\(=\)	\( - 17 \beta_{16} + 22 \beta_{15} + 17 \beta_{14} + 17 \beta_{13} - 22 \beta_{12} + 17 \beta_{11} + \cdots + 41 \) -17b16 + 22b15 + 17b14 + 17b13 - 22b12 + 17b11 - 19b10 + 2b9 + 13b7 - 33b6 + 33b5 - 41b4 + 13b3 - 137b1 + 41
\(\nu^{6}\)	\(=\)	\( 2 \beta_{19} - 17 \beta_{18} - 4 \beta_{17} - 172 \beta_{16} - 86 \beta_{13} + 153 \beta_{12} + \cdots + 40 \beta_1 \) 2b19 - 17b18 - 4b17 - 172b16 - 86b13 + 153b12 + 4b10 + 10b9 - 40b8 - 17b6 - 2b5 + 735b4 - 18b3 - 10b2 + 40*b1
\(\nu^{7}\)	\(=\)	\( - 463 \beta_{19} - 455 \beta_{18} + 293 \beta_{17} - 233 \beta_{16} - 354 \beta_{15} - 233 \beta_{14} + \cdots - 641 \) -463b19 - 455b18 + 293b17 - 233b16 - 354b15 - 233b14 + 249b13 - 354b12 - 249b11 + 1753b8 - 135b7 - 641b4 + 135b3 - 38b2 - 641
\(\nu^{8}\)	\(=\)	\( 50 \beta_{19} - 243 \beta_{18} - 110 \beta_{17} + 1793 \beta_{15} - 2090 \beta_{14} + 1446 \beta_{11} + \cdots + 8961 \) 50b19 - 243b18 - 110b17 + 1793b15 - 2090b14 + 1446b11 - 110b10 - 270b9 - 638b8 + 438b7 + 243b6 + 50b5 - 270b2 - 638b1 + 8961
\(\nu^{9}\)	\(=\)	\( 3097 \beta_{16} - 5146 \beta_{15} - 3097 \beta_{14} - 3561 \beta_{13} + 5146 \beta_{12} - 3561 \beta_{11} + \cdots - 9221 \) 3097b16 - 5146b15 - 3097b14 - 3561b13 + 5146b12 - 3561b11 + 4265b10 - 482b9 - 1355b7 + 6033b6 - 6253b5 + 9221b4 - 1355b3 + 22705b1 - 9221
\(\nu^{10}\)	\(=\)	\( - 932 \beta_{19} + 3333 \beta_{18} + 2192 \beta_{17} + 25598 \beta_{16} + 22270 \beta_{13} + \cdots - 9496 \beta_1 \) -932b19 + 3333b18 + 2192b17 + 25598b16 + 22270b13 - 21445b12 - 2192b10 - 5118b9 + 9496b8 + 3333b6 + 932b5 - 112005b4 + 7582b3 + 5118b2 - 9496*b1
\(\nu^{11}\)	\(=\)	\( 83561 \beta_{19} + 79177 \beta_{18} - 60617 \beta_{17} + 41213 \beta_{16} + 71556 \beta_{15} + \cdots + 127895 \) 83561b19 + 79177b18 - 60617b17 + 41213b16 + 71556b15 + 41213b14 - 50753b13 + 71556b12 + 50753b11 - 296261b8 + 13863b7 + 127895b4 - 13863b3 + 4690b2 + 127895
\(\nu^{12}\)	\(=\)	\( - 15782 \beta_{19} + 44835 \beta_{18} + 38442 \beta_{17} - 263017 \beta_{15} + 316502 \beta_{14} + \cdots - 1423209 \) -15782b19 + 44835b18 + 38442b17 - 263017b15 + 316502b14 - 328746b11 + 38442b10 + 84434b9 + 137290b8 - 115386b7 - 44835b6 - 15782b5 + 84434b2 + 137290b1 - 1423209
\(\nu^{13}\)	\(=\)	\( - 551021 \beta_{16} + 973226 \beta_{15} + 551021 \beta_{14} + 722129 \beta_{13} - 973226 \beta_{12} + \cdots + 1741673 \) -551021b16 + 973226b15 + 551021b14 + 722129b13 - 973226b12 + 722129b11 - 850301b10 + 29370b9 + 147631b7 - 1036437b6 + 1113321b5 - 1741673b4 + 147631b3 - 3885673b1 + 1741673
\(\nu^{14}\)	\(=\)	\( 255528 \beta_{19} - 594773 \beta_{18} - 629548 \beta_{17} - 3944178 \beta_{16} - 4737310 \beta_{13} + \cdots + 1957276 \beta_1 \) 255528b19 - 594773b18 - 629548b17 - 3944178b16 - 4737310b13 + 3300949b12 + 629548b10 + 1299086b9 - 1957276b8 - 594773b6 - 255528b5 + 18298353b4 - 1651190b3 - 1299086b2 + 1957276*b1
\(\nu^{15}\)	\(=\)	\( - 14823173 \beta_{19} - 13564077 \beta_{18} + 11825977 \beta_{17} - 7389021 \beta_{16} + \cdots - 23499119 \) -14823173b19 - 13564077b18 + 11825977b17 - 7389021b16 - 13083564b15 - 7389021b14 + 10244337b13 - 13083564b12 - 10244337b11 + 51158365b8 - 1649759b7 - 23499119b4 + 1649759b3 + 113382b2 - 23499119
\(\nu^{16}\)	\(=\)	\( 4024562 \beta_{19} - 7801415 \beta_{18} - 9877206 \beta_{17} + 42220889 \beta_{15} - 49451086 \beta_{14} + \cdots + 237329769 \) 4024562b19 - 7801415b18 - 9877206b17 + 42220889b15 - 49451086b14 + 67235002b11 - 9877206b10 - 19206722b9 - 27705726b8 + 22867610b7 + 7801415b6 + 4024562b5 - 19206722b2 - 27705726b1 + 237329769
\(\nu^{17}\)	\(=\)	\( 99181077 \beta_{16} - 174817854 \beta_{15} - 99181077 \beta_{14} - 144756137 \beta_{13} + \cdots - 315726173 \) 99181077b16 - 174817854b15 - 99181077b14 - 144756137b13 + 174817854b12 - 144756137b11 + 163472165b10 + 8535094b9 - 19353279b7 + 177623005b6 - 197377417b5 + 315726173b4 - 19353279b3 + 675524745b1 - 315726173
\(\nu^{18}\)	\(=\)	\( - 62123188 \beta_{19} + 101348977 \beta_{18} + 150486080 \beta_{17} + 622905442 \beta_{16} + \cdots - 390728528 \beta_1 \) -62123188b19 + 101348977b18 + 150486080b17 + 622905442b16 + 944455942b13 - 548117381b12 - 150486080b10 - 277018454b9 + 390728528b8 + 101348977b6 + 62123188b5 - 3098712849b4 + 310929150b3 + 277018454b2 - 390728528*b1
\(\nu^{19}\)	\(=\)	\( 2629105869 \beta_{19} + 2328133709 \beta_{18} - 2249308185 \beta_{17} + 1330782453 \beta_{16} + \cdots + 4236635003 \) 2629105869b19 + 2328133709b18 - 2249308185b17 + 1330782453b16 + 2328901928b15 + 1330782453b14 - 2036653241b13 + 2328901928b12 + 2036653241b11 - 8940749949b8 + 237188231b7 + 4236635003b4 - 237188231b3 - 207178598b2 + 4236635003

\(n\):		e.g. 2-40 or 990-1000
Embeddings:		e.g. 1-3 or 919.10
Significant digits:
Format:

$p$	$F_p(T)$
$2$	\( (T - 1)^{20} \) (T - 1)^20
$3$	\( T^{20} \) T^20
$5$	\( T^{20} + 8 T^{17} + \cdots + 5184 \) T^20 + 8T^17 + 301T^16 + 92T^15 + 32T^14 + 1420T^13 + 24136T^12 + 16952T^11 + 5960T^10 + 14216T^9 + 358852T^8 + 313776T^7 + 115200T^6 - 341280T^5 + 411120T^4 - 34560*T^3 + 5184
$7$	\( (T^{10} - 48 T^{8} + \cdots + 2008)^{2} \) (T^10 - 48T^8 - 6T^7 + 748T^6 + 264T^5 - 4533T^4 - 3184T^3 + 8844T^2 + 9784T + 2008)^2
$11$	\( T^{20} + 130 T^{18} + \cdots + 1218816 \) T^20 + 130T^18 + 6747T^16 + 179026T^14 + 2599529T^12 + 20808680T^10 + 89989048T^8 + 194981536T^6 + 170988176T^4 + 27667840*T^2 + 1218816
$13$	\( T^{20} + 110 T^{18} + \cdots + 26873856 \) T^20 + 110T^18 + 5109T^16 + 130660T^14 + 2011548T^12 + 19117584T^10 + 110153616T^8 + 358652416T^6 + 553195008T^4 + 233238528*T^2 + 26873856
$17$	\( T^{20} + \cdots + 360417721104 \) T^20 + 8T^19 + 32T^18 - 284T^17 + 1464T^16 + 9472T^15 + 69256T^14 - 624448T^13 + 1904928T^12 - 1211732T^11 + 50160288T^10 - 423352408T^9 + 1702249097T^8 - 4053888560T^7 + 11456775936T^6 - 50818828160T^5 + 194774591848T^4 - 487173266944T^3 + 784232841728T^2 - 751866229632*T + 360417721104
$19$	\( T^{20} + \cdots + 2684068864 \) T^20 - 4T^19 + 8T^18 + 64T^17 + 5755T^16 - 18372T^15 + 29496T^14 + 86848T^13 + 8680077T^12 - 24356452T^11 + 32559176T^10 - 116288488T^9 + 3171987780T^8 - 11553150304T^7 + 21236650368T^6 - 5820767488T^5 + 13651744896T^4 - 47665362432T^3 + 88321001472T^2 - 21774280704*T + 2684068864
$23$	\( T^{20} + \cdots + 195500159716 \) T^20 - 4T^19 + 8T^18 + 4T^17 + 4120T^16 - 15024T^15 + 27144T^14 - 85456T^13 + 4217276T^12 - 16928272T^11 + 34660064T^10 - 65333568T^9 + 1503917745T^8 - 6518722044T^7 + 14490731016T^6 - 12588265628T^5 + 133331961488T^4 - 587351493568T^3 + 1340807927048T^2 - 724055472856*T + 195500159716
$29$	\( T^{20} + \cdots + 944099835904 \) T^20 + 8T^19 + 32T^18 - 204T^17 + 5060T^16 + 36112T^15 + 147784T^14 - 972760T^13 + 5222772T^12 + 19013456T^11 + 87673216T^10 - 665435232T^9 + 2726034032T^8 + 1302737280T^7 + 3213918208T^6 - 27203275776T^5 + 133637942848T^4 + 92170073088T^3 + 95536947200T^2 - 424726773760*T + 944099835904
$31$	\( T^{20} + \cdots + 210482758656 \) T^20 + 416T^18 + 70944T^16 + 6473902T^14 + 346833072T^12 + 11233148016T^10 + 217292238201T^8 + 2370548352832T^6 + 12686490396288T^4 + 22410682200576*T^2 + 210482758656
$37$	\( T^{20} + \cdots + 865748367936 \) T^20 + 12T^19 + 72T^18 + 204T^17 + 15655T^16 + 203752T^15 + 1338672T^14 + 1637952T^13 + 3330349T^12 + 97182824T^11 + 1061079560T^10 + 202879956T^9 - 2157203532T^8 - 4685031864T^7 + 213678447432T^6 - 410877649080T^5 + 393602631300T^4 + 378530058528T^3 + 1244208955392T^2 - 1467768287232*T + 865748367936
$41$	\( T^{20} + \cdots + 72\!\cdots\!00 \) T^20 + 572T^18 + 139300T^16 + 18948928T^14 + 1586193888T^12 + 84647500672T^10 + 2873788061568T^8 + 59720536771584T^6 + 693479960232192T^4 + 3740567547350016*T^2 + 7257158905881600
$43$	\( T^{20} + \cdots + 39\!\cdots\!00 \) T^20 - 16T^19 + 128T^18 - 760T^17 + 34831T^16 - 547320T^15 + 4587552T^14 - 23471912T^13 + 321528049T^12 - 4556178416T^11 + 39572484992T^10 - 179664306912T^9 + 544282908048T^8 - 2375967831552T^7 + 20669174438400T^6 - 91364541608448T^5 + 209424489348096T^4 - 83894752899072T^3 + 315375384010752T^2 - 1581867723571200*T + 3967185807360000
$47$	\( T^{20} + \cdots + 20927672896 \) T^20 + 8T^19 + 32T^18 - 356T^17 + 3343T^16 + 15408T^15 + 79656T^14 - 957724T^13 + 5367989T^12 + 1937912T^11 + 37090616T^10 - 423440340T^9 + 2051649180T^8 - 2595538200T^7 + 1218198792T^6 + 24875032T^5 + 20818064228T^4 - 17823989248T^3 + 6425244800T^2 + 16399111040*T + 20927672896
$53$	\( (T^{10} - 18 T^{9} + \cdots + 52379136)^{2} \) (T^10 - 18T^9 - 157T^8 + 3658T^7 + 2661T^6 - 203304T^5 + 207756T^4 + 4053816T^3 - 6590808T^2 - 26034048*T + 52379136)^2
$59$	\( T^{20} + \cdots + 196191790895104 \) T^20 - 20T^19 + 200T^18 + 104T^17 + 7677T^16 - 184460T^15 + 2159208T^14 + 4286608T^13 + 27747964T^12 - 572320256T^11 + 6779125536T^10 + 21709594272T^9 + 81911869584T^8 - 714763843840T^7 + 2971426666496T^6 + 1611423175168T^5 + 14132213480960T^4 - 102725154369536T^3 + 293407289376768T^2 - 339305471705088*T + 196191790895104
$61$	\( T^{20} + \cdots + 361731185869824 \) T^20 + 614T^18 + 148533T^16 + 18823644T^14 + 1390458892T^12 + 62577599760T^10 + 1728940950096T^8 + 28468753720704T^6 + 255399777619200T^4 + 976687843341312*T^2 + 361731185869824
$67$	\( T^{20} + \cdots + 97\!\cdots\!76 \) T^20 - 8T^19 + 32T^18 - 312T^17 + 55063T^16 - 504112T^15 + 2319552T^14 - 6393912T^13 + 832511233T^12 - 8348242008T^11 + 41483439648T^10 + 30791716512T^9 + 1604296477312T^8 - 16301539758080T^7 + 83102112842240T^6 + 102481200073728T^5 + 71401805243392T^4 - 551152812015616T^3 + 5114594779987968T^2 + 9985030822035456*T + 9746699866341376
$71$	\( T^{20} + \cdots + 20\!\cdots\!96 \) T^20 - 4T^19 + 8T^18 - 1716T^17 + 86408T^16 - 628376T^15 + 3294568T^14 - 90251392T^13 + 2314641564T^12 - 22062612400T^11 + 137355872704T^10 - 1322675858760T^9 + 21315354566129T^8 - 221003250225708T^7 + 1425084669605608T^6 - 5662431522365700T^5 + 14164581722988880T^4 - 20488902388974384T^3 + 18066972507959432T^2 - 8646874825707688*T + 2069202358572196
$73$	\( T^{20} + \cdots + 119519118950400 \) T^20 - 32T^19 + 512T^18 - 5536T^17 + 72216T^16 - 1208320T^15 + 17015296T^14 - 173479296T^13 + 1345195536T^12 - 9036450816T^11 + 62049689600T^10 - 441589137408T^9 + 2843689519872T^8 - 14825418350592T^7 + 59658530979840T^6 - 180842802315264T^5 + 403261974982656T^4 - 635193027330048T^3 + 660808402993152T^2 - 397439902679040*T + 119519118950400
$79$	\( T^{20} + \cdots + 36827145216 \) T^20 + 20T^19 + 200T^18 + 180T^17 + 35144T^16 + 691952T^15 + 6826440T^14 + 7089000T^13 + 278977908T^12 + 5271788608T^11 + 50406588352T^10 + 70427000512T^9 + 43538798688T^8 + 33071921664T^7 + 1667078840448T^6 + 1799504380800T^5 + 894215574592T^4 - 1766691918848T^3 + 1102980810752T^2 - 285025032192*T + 36827145216
$83$	\( (T^{10} + 6 T^{9} + \cdots - 605931264)^{2} \) (T^10 + 6T^9 - 335T^8 - 1602T^7 + 41429T^6 + 150288T^5 - 2348572T^4 - 5906672T^3 + 61387052T^2 + 80923584*T - 605931264)^2
$89$	\( T^{20} + \cdots + 32\!\cdots\!36 \) T^20 + 12T^19 + 72T^18 - 480T^17 + 34903T^16 + 369936T^15 + 2041416T^14 - 11094364T^13 + 342343177T^12 + 3134592176T^11 + 15466471488T^10 - 66560358560T^9 + 772684287288T^8 + 4312250901568T^7 + 10512568381568T^6 + 6303257936448T^5 + 217701164084496T^4 + 1228406671072256T^3 + 3445355285086208T^2 + 4744183643570176*T + 3266321842241536
$97$	\( (T^{10} + 2 T^{9} + \cdots - 12021732544)^{2} \) (T^10 + 2T^9 - 781T^8 - 1366T^7 + 214317T^6 + 331564T^5 - 24618716T^4 - 34365192T^3 + 1101559124T^2 + 1177173792*T - 12021732544)^2
show more
show less

\(n\)	\(227\)	\(1585\)
\(\chi(n)\)	\(1\)	\(\beta_{4}\)