# Properties

 Label 18.9.d.a Level $18$ Weight $9$ Character orbit 18.d Analytic conductor $7.333$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [18,9,Mod(5,18)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(18, base_ring=CyclotomicField(6))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([5]))

N = Newforms(chi, 9, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("18.5");

S:= CuspForms(chi, 9);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$18 = 2 \cdot 3^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$9$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 18.d (of order $$6$$, degree $$2$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$7.33281498110$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Relative dimension: $$8$$ over $$\Q(\zeta_{6})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{16} - 8 x^{15} + 5476 x^{14} - 38192 x^{13} + 11414542 x^{12} - 67991120 x^{11} + \cdots + 19\!\cdots\!29$$ x^16 - 8*x^15 + 5476*x^14 - 38192*x^13 + 11414542*x^12 - 67991120*x^11 + 11330952892*x^10 - 56032421816*x^9 + 5575009041895*x^8 - 21964587980304*x^7 + 1366797007396500*x^6 - 4023749554164360*x^5 + 166750774096111110*x^4 - 326820812596206264*x^3 + 9443577280676906808*x^2 - 9280833855293027160*x + 190324219382219227329 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{5}]$$ Coefficient ring index: $$2^{28}\cdot 3^{22}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{6}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{4} q^{2} + (\beta_{4} + \beta_{3} + 2 \beta_1 + 7) q^{3} + 128 \beta_1 q^{4} + ( - \beta_{10} - \beta_{6} + \beta_{5} + \cdots - 73) q^{5}+ \cdots + (2 \beta_{15} - \beta_{13} + \cdots - 2382) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b4 * q^2 + (b4 + b3 + 2*b1 + 7) * q^3 + 128*b1 * q^4 + (-b10 - b6 + b5 + 2*b3 + 37*b1 - 73) * q^5 + (-b14 - 2*b5 + 9*b4 + 112*b1 - 32) * q^6 + (b15 + b14 - b13 + b12 + b11 + 2*b10 - b9 + b8 + b6 - 62*b5 + 32*b4 + 2*b3 - b2 + 232*b1 - 232) * q^7 + (-128*b5 + 128*b4) * q^8 + (2*b15 - b13 - b12 + 3*b11 - 3*b10 + 6*b9 + 3*b8 - 2*b7 - 5*b6 - 100*b5 - 20*b4 + 12*b3 - 3*b2 + 1186*b1 - 2382) * q^9 $$q + \beta_{4} q^{2} + (\beta_{4} + \beta_{3} + 2 \beta_1 + 7) q^{3} + 128 \beta_1 q^{4} + ( - \beta_{10} - \beta_{6} + \beta_{5} + \cdots - 73) q^{5}+ \cdots + (16401 \beta_{15} - 13995 \beta_{14} + \cdots + 1076400) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b4 * q^2 + (b4 + b3 + 2*b1 + 7) * q^3 + 128*b1 * q^4 + (-b10 - b6 + b5 + 2*b3 + 37*b1 - 73) * q^5 + (-b14 - 2*b5 + 9*b4 + 112*b1 - 32) * q^6 + (b15 + b14 - b13 + b12 + b11 + 2*b10 - b9 + b8 + b6 - 62*b5 + 32*b4 + 2*b3 - b2 + 232*b1 - 232) * q^7 + (-128*b5 + 128*b4) * q^8 + (2*b15 - b13 - b12 + 3*b11 - 3*b10 + 6*b9 + 3*b8 - 2*b7 - 5*b6 - 100*b5 - 20*b4 + 12*b3 - 3*b2 + 1186*b1 - 2382) * q^9 + (-6*b14 + 4*b13 - 2*b12 - 6*b11 - 4*b10 - 4*b9 + 4*b8 - 2*b7 - 16*b6 - 37*b5 - 43*b4 - 4*b3 - 4*b1 + 4) * q^10 + (b15 - 5*b14 + 3*b13 - 5*b12 - 3*b11 + b9 + 4*b8 - 2*b7 + 42*b6 - 7*b5 - 51*b4 - 17*b3 - 9*b2 + 1908*b1 + 1899) * q^11 + (128*b6 - 128*b5 + 128*b4 + 1152*b1 - 256) * q^12 + (3*b15 - 7*b14 + 14*b13 - 17*b11 - 14*b10 + 28*b9 - 14*b8 + 7*b7 + 66*b6 - 378*b5 + 843*b4 + 143*b3 + 7*b2 - 376*b1 - 7) * q^13 + (4*b15 - 6*b13 + 6*b12 + 22*b11 + 20*b10 - 17*b7 - 120*b6 - 165*b5 - 24*b4 + 190*b3 - 20*b2 + 3950*b1 - 7844) * q^14 + (18*b15 - 3*b14 - 39*b13 - 3*b12 - 3*b11 + 9*b10 - 45*b9 + 54*b8 - 21*b7 - 3*b6 - 1062*b5 + 840*b4 - 54*b3 - 18*b2 - 6753*b1 + 11403) * q^15 + (16384*b1 - 16384) * q^16 + (-6*b15 - b14 + 33*b13 - 13*b12 + 28*b11 - 52*b10 + 52*b9 - 25*b8 + 24*b7 - 68*b6 + 165*b5 - 335*b4 - 485*b3 + 7*b2 + 3422*b1 - 1737) * q^17 + (-14*b15 - 20*b14 + 18*b13 + 12*b12 + 14*b11 - 12*b10 - 12*b9 + 24*b8 - 28*b7 + 86*b6 - 1186*b5 - 1157*b4 + 16*b3 - 2070*b1 - 13768) * q^18 + (-12*b15 + 30*b14 - b13 + 11*b12 - 60*b11 + b10 + b9 - 22*b8 + 113*b7 - 710*b6 - 371*b5 - 668*b4 + 19*b3 + 48*b2 - 170*b1 + 22804) * q^19 + (-128*b9 + 128*b6 + 128*b4 + 128*b3 - 4608*b1 - 4736) * q^20 + (33*b15 + 75*b14 - 90*b13 + 54*b12 + 111*b11 + 9*b10 + 171*b9 - 54*b8 - 3*b7 + 356*b6 + 8485*b5 - 3168*b4 - 260*b3 + 27*b2 - 2665*b1 - 17451) * q^21 + (-54*b15 - 68*b14 + 46*b13 + 30*b12 - 70*b11 + 92*b10 - 184*b9 - 16*b8 - 49*b7 - 30*b6 - 1881*b5 + 3948*b4 + 526*b3 + 56*b2 - 7546*b1 - 50) * q^22 + (-50*b15 + 213*b14 - 153*b13 - 60*b12 + 112*b11 + 100*b10 - 153*b8 + 31*b7 - 469*b6 + 3879*b5 - 51*b4 + 678*b3 + 31*b2 - 54639*b1 + 109440) * q^23 + (-128*b14 - 128*b7 - 1152*b5 + 896*b4 + 10240*b1 - 14336) * q^24 + (-52*b15 + 248*b14 + 85*b13 + 68*b12 - 234*b11 + 66*b10 - 33*b9 - 44*b8 + 62*b7 - 23*b6 + 17673*b5 - 9297*b4 - 1332*b3 - 6*b2 - 120802*b1 + 120390) * q^25 + (-204*b15 - 224*b14 + 222*b13 - 122*b12 - 100*b11 - 40*b10 + 40*b9 - 140*b8 + 78*b7 + 292*b6 + 313*b5 - 419*b4 - 500*b3 + 140*b2 + 105138*b1 - 52626) * q^26 + (97*b15 + 65*b14 + 230*b13 - 79*b12 - 59*b11 - 144*b10 + 135*b9 - 75*b8 + 38*b7 + 1622*b6 + 5160*b5 - 17241*b4 - 2599*b3 + 357*b2 - 182936*b1 + 78034) * q^27 + (-128*b14 + 128*b12 + 128*b10 + 128*b9 + 384*b6 - 4096*b5 - 3840*b4 - 128*b3 - 128*b2 - 29696) * q^28 + (-159*b15 + 453*b14 - 162*b13 - 249*b12 + 172*b9 + 3*b8 + 975*b7 - 1978*b6 + 582*b5 - 8173*b4 + 752*b3 - 119295*b1 - 118226) * q^29 + (174*b15 + 141*b14 - 168*b13 + 30*b12 + 360*b11 + 576*b10 - 828*b9 + 216*b8 - 333*b7 - 162*b6 + 6603*b5 + 4959*b4 + 138*b3 - 108*b2 + 103980*b1 - 130332) * q^30 + (8*b15 - 585*b14 - 255*b13 + 168*b12 - 54*b11 - 252*b10 + 504*b9 + 423*b8 - 1127*b7 - 2479*b6 - 11049*b5 + 18463*b4 - 4636*b3 - 539*b2 + 65703*b1 + 524) * q^31 - 16384*b5 * q^32 + (564*b15 + 111*b14 + 369*b13 + 315*b12 + 354*b11 + 198*b10 - 288*b9 - 333*b8 - 252*b7 + 2268*b6 - 29145*b5 + 24933*b4 + 1173*b3 + 243*b2 - 101061*b1 + 292926) * q^33 + (-118*b15 + 302*b14 + 10*b13 + 50*b12 - 280*b11 - 752*b10 + 376*b9 + 308*b8 - 6*b7 + 950*b6 - 2860*b5 + 2314*b4 + 2392*b3 - 56*b2 - 26846*b1 + 27308) * q^34 + (78*b15 - 674*b14 - 1023*b13 - 311*b12 + 323*b11 + 341*b10 - 341*b9 + 232*b8 + 714*b7 - 2153*b6 - 30643*b5 + 35439*b4 + 12949*b3 - 25*b2 + 980043*b1 - 488205) * q^35 + (384*b15 - 256*b14 - 128*b13 + 256*b12 + 256*b11 - 768*b10 + 384*b9 - 384*b7 + 1152*b6 + 2432*b5 - 15488*b4 + 512*b3 - 384*b2 - 153088*b1 - 151808) * q^36 + (-240*b15 - 772*b14 + 272*b13 + 279*b12 - 261*b11 - 553*b10 - 553*b9 + 581*b8 + 8*b7 + 6388*b6 + 11183*b5 + 14449*b4 + 1746*b3 - 1351*b2 + 1654*b1 + 207347) * q^37 + (-42*b15 + 1008*b14 + 228*b13 - 378*b12 + 24*b11 + 284*b9 - 480*b8 + 1278*b7 - 3794*b6 + 2982*b5 + 21906*b4 + 7966*b3 + 396*b2 - 53760*b1 - 53500) * q^38 + (585*b15 - 1404*b14 + 1569*b13 - 87*b12 - 888*b11 - 1980*b10 + 1233*b9 - 624*b7 - 1016*b6 + 4877*b5 + 12433*b4 - 447*b3 + 567*b2 + 1391004*b1 - 1063253) * q^39 + (256*b15 - 512*b14 - 512*b13 - 256*b11 + 512*b10 - 1024*b9 + 512*b8 - 512*b7 - 2816*b6 + 4992*b5 - 9472*b4 + 2816*b3 - 512*b2 + 512) * q^40 + (-757*b15 - 609*b14 + 630*b13 - 1398*b12 - 757*b11 - 1537*b10 + 936*b8 - 667*b7 + 13579*b6 - 69015*b5 + 4461*b4 - 3531*b3 + 557*b2 - 381654*b1 + 765108) * q^41 + (-162*b15 + 402*b14 + 366*b13 - 300*b12 + 636*b11 - 504*b10 + 2844*b9 + 108*b8 - 272*b7 + 4614*b6 + 853*b5 - 21244*b4 - 10026*b3 - 72*b2 - 415474*b1 + 1095686) * q^42 + (30*b15 + 1530*b14 - 435*b13 + 630*b12 + 687*b11 + 2424*b10 - 1212*b9 + 771*b8 - 1257*b7 - 17433*b6 - 108741*b5 + 49755*b4 + 4272*b3 - 1887*b2 - 45949*b1 + 45970) * q^43 + (768*b15 - 256*b14 - 768*b13 + 128*b12 + 256*b11 - 128*b10 + 128*b9 - 640*b8 + 384*b7 + 3200*b6 + 6016*b5 - 6912*b4 - 4864*b3 - 512*b2 + 487296*b1 - 244224) * q^44 + (1167*b15 - 285*b14 - 1140*b13 + 948*b12 + 1131*b11 + 5508*b10 - 3186*b9 + 36*b8 - 1815*b7 - 3462*b6 + 78120*b5 - 25731*b4 + 13917*b3 - 423*b2 - 1582716*b1 - 1253667) * q^45 + (-186*b15 + 679*b14 - 662*b13 - 438*b12 - 1668*b11 + 1384*b10 + 1384*b9 + 700*b8 + 2095*b7 - 6334*b6 + 48301*b5 + 49493*b4 - 21732*b3 + 1696*b2 - 7078*b1 + 464220) * q^46 + (-877*b15 + 2153*b14 - 1047*b13 + 317*b12 + 1803*b11 + 309*b9 - 925*b8 + 2384*b7 + 9563*b6 - 3518*b5 - 8434*b4 - 12710*b3 + 387*b2 - 1458378*b1 - 1459928) * q^47 + (16384*b6 - 16384*b5 - 16384*b3 + 114688*b1 - 147456) * q^48 + (-1599*b15 - 2012*b14 + 3520*b13 + 708*b12 - 1564*b11 - 814*b10 + 1628*b9 - 2812*b8 - 1327*b7 + 24000*b6 + 146088*b5 - 300132*b4 - 16244*b3 + 1151*b2 - 293911*b1 - 5432) * q^49 + (-470*b15 + 1212*b14 + 2124*b13 - 420*b12 - 1010*b11 + 612*b10 - 2988*b8 + 1492*b7 - 47654*b6 + 129330*b5 - 18456*b4 + 8282*b3 + 1132*b2 - 1166000*b1 + 2325128) * q^50 + (-1083*b15 + 525*b14 - 147*b13 - 354*b12 - 1161*b11 - 2439*b10 - 3060*b9 - 333*b8 + 2253*b7 + 2976*b6 - 60885*b5 - 115092*b4 - 3507*b3 + 3357*b2 - 438168*b1 + 3398817) * q^51 + (384*b15 + 384*b14 - 768*b13 + 384*b12 - 1792*b11 - 3584*b10 + 1792*b9 - 896*b8 + 2176*b7 + 26368*b6 - 110080*b5 + 62080*b4 - 5888*b3 + 1792*b2 - 49024*b1 + 48128) * q^52 + (-2430*b15 - 1890*b14 + 270*b13 - 675*b12 + 405*b11 + 2809*b10 - 2809*b9 + 1485*b8 - 3780*b7 - 27862*b6 + 132761*b5 - 139511*b4 + 296*b3 - 1485*b2 + 4253318*b1 - 2124621) * q^53 + (-620*b15 + 2579*b14 - 3622*b13 - 1006*b12 + 3934*b11 - 2556*b10 + 72*b9 + 2400*b8 - 1846*b7 - 2080*b6 + 182394*b5 - 104853*b4 - 12406*b3 - 2100*b2 - 2218322*b1 + 754768) * q^54 + (840*b15 + 1075*b14 + 476*b13 + 778*b12 + 1269*b11 - 2424*b10 - 2424*b9 - 3589*b8 - 256*b7 - 33989*b6 + 324567*b5 + 302539*b4 + 37067*b3 + 2746*b2 + 2692*b1 - 276485) * q^55 + (-256*b15 - 640*b14 + 2304*b13 + 512*b12 + 2560*b9 - 2560*b8 - 256*b7 + 11008*b6 + 3328*b5 - 26496*b4 + 13056*b3 - 498432*b1 - 505600) * q^56 + (-1974*b15 + 3576*b14 - 1659*b13 + 114*b12 - 1278*b11 + 2610*b10 - 1413*b9 - 864*b8 + 3762*b7 - 7803*b6 - 191157*b5 + 432593*b4 + 22946*b3 + 3348*b2 + 4660510*b1 - 4455832) * q^57 + (-50*b15 + 2650*b14 - 32*b13 - 2536*b11 + 32*b10 - 64*b9 + 32*b8 + 5236*b7 - 36926*b6 + 144177*b5 - 239044*b4 + 90848*b3 + 5236*b2 - 966132*b1 + 7886) * q^58 + (3272*b15 + 1308*b14 - 7587*b13 + 5712*b12 + 6404*b11 + 4390*b10 + 2475*b8 - 1408*b7 + 38736*b6 + 56947*b5 + 20652*b4 + 16280*b3 - 5872*b2 - 3900122*b1 + 7814429) * q^59 + (2688*b15 + 1152*b14 - 8064*b13 + 2304*b12 + 5376*b11 + 5760*b10 - 4608*b9 + 4608*b8 - 4608*b7 - 12672*b6 - 104832*b5 - 25728*b4 + 3072*b3 - 6912*b2 + 595200*b1 + 864384) * q^60 + (-1351*b15 - 6991*b14 + 6172*b13 - 3607*b12 + 606*b11 + 2448*b10 - 1224*b9 - 4859*b8 + 299*b7 - 19166*b6 - 733032*b5 + 348639*b4 - 41988*b3 + 3906*b2 + 91455*b1 - 98146) * q^61 + (-234*b15 + 4259*b14 + 9486*b13 + 998*b12 - 2396*b11 - 840*b10 + 840*b9 - 4876*b8 + 1197*b7 + 55122*b6 - 96605*b5 + 68193*b4 - 105156*b3 + 3544*b2 + 2569126*b1 - 1302240) * q^62 + (-5350*b15 - 1966*b14 + 8715*b13 - 2052*b12 - 13115*b11 - 12930*b10 + 13368*b9 - 4254*b8 + 15367*b7 + 11194*b6 + 416050*b5 - 508156*b4 - 19969*b3 + 6759*b2 - 3248961*b1 + 744253) * q^63 - 2097152 * q^64 + (6355*b15 - 13397*b14 - 3957*b13 + 265*b12 - 3468*b11 - 8626*b9 + 15223*b8 - 25949*b7 + 10964*b6 - 32101*b5 - 22507*b4 - 88707*b3 - 6354*b2 - 5290524*b1 - 5280980) * q^65 + (-2286*b15 - 3834*b14 - 7086*b13 - 786*b12 + 8196*b11 + 3384*b10 - 720*b9 + 6156*b8 - 9438*b7 - 18498*b6 + 107895*b5 + 188796*b4 + 7944*b3 - 13608*b2 + 3094218*b1 - 3746028) * q^66 + (8055*b15 + 15423*b14 - 10245*b13 - 5580*b12 + 16419*b11 + 1425*b10 - 2850*b9 + 4665*b8 + 10479*b7 + 34371*b6 + 538812*b5 - 1118871*b4 - 109911*b3 - 9051*b2 + 3723961*b1 - 4215) * q^67 + (896*b15 - 6144*b14 + 6912*b13 - 768*b12 - 2560*b11 - 6656*b10 - 2304*b8 - 1408*b7 - 62976*b6 + 39424*b5 - 26112*b4 + 4352*b3 + 3200*b2 + 215680*b1 - 438016) * q^68 + (-5031*b15 - 10509*b14 + 11208*b13 - 4407*b12 - 19968*b11 + 4851*b10 + 8631*b9 - 5103*b8 + 6219*b7 - 62430*b6 - 1312779*b5 + 368730*b4 + 109341*b3 - 3654*b2 - 1866972*b1 + 5359476) * q^69 + (1398*b15 - 5727*b14 - 4698*b13 - 1452*b12 + 428*b11 + 10408*b10 - 5204*b9 + 5596*b8 + 3820*b7 + 159262*b6 - 999988*b5 + 559075*b4 + 27838*b3 + 5272*b2 + 4345974*b1 - 4340402) * q^70 + (10218*b15 + 19106*b14 - 5628*b13 + 7673*b12 - 503*b11 - 24499*b10 + 24499*b9 + 9407*b8 + 1680*b7 - 1352*b6 - 130503*b5 + 168529*b4 + 105322*b3 + 1699*b2 + 425048*b1 - 199467) * q^71 + (-3328*b15 - 7680*b14 + 7424*b13 - 1792*b12 - 3840*b11 + 1536*b10 - 3072*b9 + 3072*b8 - 7424*b7 + 17152*b6 + 147584*b5 - 303488*b4 - 14592*b3 - 3072*b2 - 2027264*b1 + 264960) * q^72 + (420*b15 + 3737*b14 + 4567*b13 - 9511*b12 + 16956*b11 + 10308*b10 + 10308*b9 + 577*b8 - 23150*b7 + 124328*b6 + 467199*b5 + 488963*b4 + 56149*b3 - 11749*b2 + 39920*b1 - 497885) * q^73 + (1180*b15 - 21932*b14 + 15378*b13 + 4924*b12 - 14424*b11 - 11228*b9 - 7220*b8 - 12920*b7 - 33192*b6 + 38078*b5 + 213608*b4 + 165598*b3 + 468*b2 + 1499622*b1 + 1473144) * q^74 + (2709*b15 + 13005*b14 - 3546*b13 + 882*b12 - 6120*b11 + 4455*b10 - 810*b9 - 13068*b8 + 26208*b7 - 104780*b6 + 756281*b5 + 1943811*b4 + 77870*b3 + 1836*b2 + 6996928*b1 + 3683664) * q^75 + (-2944*b15 - 1408*b14 - 4864*b13 - 1536*b12 - 1280*b11 - 128*b10 + 256*b9 + 3328*b8 + 8192*b7 - 96256*b6 + 87168*b5 - 126848*b4 + 97024*b3 + 2816*b2 + 2897152*b1 + 21760) * q^76 + (1664*b15 - 4326*b14 - 8028*b13 + 3768*b12 - 6328*b11 + 14341*b10 + 18000*b8 + 3446*b7 + 315855*b6 - 200393*b5 + 103146*b4 - 176974*b3 - 982*b2 - 351389*b1 + 683003) * q^77 + (-8778*b15 - 4975*b14 + 4974*b13 - 4710*b12 + 4446*b11 - 12780*b10 - 11376*b9 + 3528*b8 - 5353*b7 + 75462*b6 - 1400823*b5 + 356623*b4 - 40578*b3 - 6768*b2 + 1839182*b1 + 507266) * q^78 + (10342*b15 - 7958*b14 - 12469*b13 + 3022*b12 + 27557*b11 - 43232*b10 + 21616*b9 - 2982*b8 - 9895*b7 - 270948*b6 - 1171546*b5 + 548998*b4 + 136753*b3 - 12917*b2 - 4265669*b1 + 4310965) * q^79 + (16384*b10 - 16384*b9 + 32768*b6 - 16384*b5 + 16384*b4 - 16384*b3 - 1196032*b1 + 589824) * q^80 + (-2292*b15 + 12339*b14 + 4404*b13 - 3048*b12 - 8847*b11 - 99*b10 - 22968*b9 - 11646*b8 + 13506*b7 - 173217*b6 + 2233119*b5 - 3207171*b4 + 114921*b3 + 8946*b2 + 9562128*b1 - 7614189) * q^81 + (5280*b15 - 9658*b14 - 7786*b13 + 2076*b12 - 3462*b11 - 18004*b10 - 18004*b9 + 7448*b8 - 9400*b7 + 45832*b6 + 338081*b5 + 402061*b4 - 127920*b3 + 12284*b2 - 8990*b1 - 8597598) * q^82 + (-3577*b15 - 763*b14 - 18840*b13 + 6797*b12 + 1587*b11 + 23559*b9 + 11441*b8 + 3194*b7 - 126979*b6 - 35675*b5 - 428296*b4 - 160727*b3 + 6057*b2 + 4682907*b1 + 4778560) * q^83 + (-2688*b15 + 7296*b14 + 5376*b13 + 4224*b12 + 4608*b11 - 21888*b10 + 23040*b9 - 3456*b8 - 1152*b7 + 14976*b6 + 412800*b5 + 670592*b4 - 55552*b3 + 6912*b2 - 2574848*b1 + 341120) * q^84 + (-9787*b15 + 3291*b14 + 22458*b13 + 3360*b12 + 7023*b11 + 4419*b10 - 8838*b9 - 19098*b8 - 5705*b7 + 263111*b6 + 1585425*b5 - 3306293*b4 - 295201*b3 + 6055*b2 - 15713893*b1 - 62974) * q^85 + (4530*b15 + 9948*b14 + 2406*b13 + 12594*b12 + 2496*b11 + 16896*b10 - 11700*b8 + 10215*b7 - 255930*b6 + 90475*b5 - 90792*b4 + 75132*b3 - 7680*b2 + 7094358*b1 - 14219268) * q^86 + (6486*b15 + 38568*b14 - 14085*b13 + 6813*b12 + 9840*b11 - 2637*b10 + 5949*b9 - 19719*b8 + 38295*b7 - 192816*b6 - 4472499*b5 + 2412057*b4 - 96603*b3 + 31482*b2 + 1478079*b1 - 10695354) * q^87 + (-10752*b15 - 1152*b14 + 7680*b13 - 6912*b12 - 9728*b11 + 23552*b10 - 11776*b9 + 5120*b8 - 4864*b7 + 60416*b6 - 504320*b5 + 266624*b4 + 5888*b3 + 2048*b2 - 972288*b1 + 965888) * q^88 + (-13398*b15 - 18682*b14 - 8040*b13 - 3133*b12 - 9047*b11 + 46295*b10 - 46295*b9 + 9455*b8 - 20766*b7 - 64658*b6 + 974925*b5 - 944435*b4 + 149332*b3 - 6935*b2 - 18712600*b1 + 9367731) * q^89 + (3876*b15 + 8436*b14 - 32262*b13 + 7302*b12 + 35124*b11 + 49032*b10 - 1296*b9 - 180*b8 - 4362*b7 + 109740*b6 + 1539207*b5 - 2797047*b4 - 91248*b3 - 28044*b2 - 3499914*b1 + 9820950) * q^90 + (-912*b15 + 18294*b14 - 18681*b13 + 11178*b12 + 6054*b11 + 12876*b10 + 12876*b9 - 9423*b8 + 24330*b7 - 1815*b6 + 2447142*b5 + 2478654*b4 - 105609*b3 + 9048*b2 - 28497*b1 + 16780012) * q^91 + (1280*b15 + 55808*b14 - 6528*b13 - 6400*b12 + 27264*b11 + 12800*b9 - 15616*b8 + 28544*b7 + 21504*b6 + 32512*b5 + 469248*b4 + 39296*b3 + 19584*b2 + 7014528*b1 + 6993792) * q^92 + (-26955*b15 - 59769*b14 + 67140*b13 - 18315*b12 - 59562*b11 + 18765*b10 - 31941*b9 - 4185*b8 - 21087*b7 + 230608*b6 + 2237741*b5 + 2656828*b4 - 150183*b3 + 26028*b2 - 43653168*b1 + 29322034) * q^93 + (10876*b15 + 4134*b14 - 3126*b13 + 2058*b12 - 8562*b11 - 19548*b10 + 39096*b9 + 5184*b8 - 5383*b7 - 99608*b6 + 1519089*b5 - 2951902*b4 + 174322*b3 + 1820*b2 - 1467650*b1 + 28432) * q^94 + (-11524*b15 - 6918*b14 + 19530*b13 - 25248*b12 - 24052*b11 - 90890*b10 - 12294*b8 + 6710*b7 - 62952*b6 + 744412*b5 - 26814*b4 - 29140*b3 + 35258*b2 + 5979094*b1 - 11950234) * q^95 + (-16384*b7 - 114688*b5 - 32768*b4 - 524288*b1 - 1310720) * q^96 + (-14733*b15 + 20817*b14 + 7932*b13 - 513*b12 - 15814*b11 + 84058*b10 - 42029*b9 - 413*b8 - 13139*b7 - 82103*b6 - 6442714*b5 + 3150322*b4 - 112691*b3 - 12626*b2 + 11126546*b1 - 11177488) * q^97 + (-6156*b15 - 18856*b14 + 19998*b13 - 958*b12 - 23696*b11 - 43376*b10 + 43376*b9 - 29620*b8 - 2682*b7 + 106580*b6 + 241702*b5 - 313644*b4 - 234340*b3 + 4636*b2 - 39056526*b1 + 19499766) * q^98 + (16401*b15 - 13995*b14 - 30741*b13 + 12918*b12 + 26955*b11 - 8253*b10 + 34650*b9 + 9387*b8 - 41223*b7 - 96051*b6 + 5980278*b5 - 6927312*b4 + 347454*b3 - 15435*b2 + 43809207*b1 + 1076400) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q + 126 q^{3} + 1024 q^{4} - 882 q^{5} + 384 q^{6} - 1846 q^{7} - 28662 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q + 126 * q^3 + 1024 * q^4 - 882 * q^5 + 384 * q^6 - 1846 * q^7 - 28662 * q^9 $$16 q + 126 q^{3} + 1024 q^{4} - 882 q^{5} + 384 q^{6} - 1846 q^{7} - 28662 q^{9} + 45756 q^{11} + 5376 q^{12} - 3370 q^{13} - 94464 q^{14} + 128754 q^{15} - 131072 q^{16} - 236544 q^{18} + 362180 q^{19} - 112896 q^{20} - 299166 q^{21} - 61824 q^{22} + 1311138 q^{23} - 147456 q^{24} + 963394 q^{25} - 208656 q^{27} - 472576 q^{28} - 2851290 q^{29} - 1253376 q^{30} + 542438 q^{31} + 3875796 q^{33} + 220416 q^{34} - 3655680 q^{36} + 3343328 q^{37} - 1314432 q^{38} - 5896002 q^{39} + 9218592 q^{41} + 14237952 q^{42} + 339512 q^{43} - 32740578 q^{45} + 7417344 q^{46} - 34980606 q^{47} - 1376256 q^{48} - 2364654 q^{49} + 27744768 q^{50} + 50877810 q^{51} + 431360 q^{52} - 5648256 q^{54} - 4584276 q^{55} - 12091392 q^{56} - 34049898 q^{57} - 7852800 q^{58} + 93924216 q^{59} + 18604800 q^{60} - 841954 q^{61} - 14043234 q^{63} - 33554432 q^{64} - 126568134 q^{65} - 35179776 q^{66} + 29946644 q^{67} - 5476608 q^{68} + 70499610 q^{69} - 34359552 q^{70} - 11894784 q^{72} - 7547764 q^{73} + 35124480 q^{74} + 114494910 q^{75} + 23179520 q^{76} + 9309294 q^{77} + 23014656 q^{78} + 33813002 q^{79} - 46018134 q^{81} - 137346048 q^{82} + 114200226 q^{83} - 15040512 q^{84} - 125696772 q^{85} - 171379584 q^{86} - 159599970 q^{87} + 7913472 q^{88} + 129745152 q^{90} + 268578316 q^{91} + 167825664 q^{92} + 120711534 q^{93} - 11832576 q^{94} - 143949240 q^{95} - 25165824 q^{96} - 89415484 q^{97} + 366888330 q^{99}+O(q^{100})$$ 16 * q + 126 * q^3 + 1024 * q^4 - 882 * q^5 + 384 * q^6 - 1846 * q^7 - 28662 * q^9 + 45756 * q^11 + 5376 * q^12 - 3370 * q^13 - 94464 * q^14 + 128754 * q^15 - 131072 * q^16 - 236544 * q^18 + 362180 * q^19 - 112896 * q^20 - 299166 * q^21 - 61824 * q^22 + 1311138 * q^23 - 147456 * q^24 + 963394 * q^25 - 208656 * q^27 - 472576 * q^28 - 2851290 * q^29 - 1253376 * q^30 + 542438 * q^31 + 3875796 * q^33 + 220416 * q^34 - 3655680 * q^36 + 3343328 * q^37 - 1314432 * q^38 - 5896002 * q^39 + 9218592 * q^41 + 14237952 * q^42 + 339512 * q^43 - 32740578 * q^45 + 7417344 * q^46 - 34980606 * q^47 - 1376256 * q^48 - 2364654 * q^49 + 27744768 * q^50 + 50877810 * q^51 + 431360 * q^52 - 5648256 * q^54 - 4584276 * q^55 - 12091392 * q^56 - 34049898 * q^57 - 7852800 * q^58 + 93924216 * q^59 + 18604800 * q^60 - 841954 * q^61 - 14043234 * q^63 - 33554432 * q^64 - 126568134 * q^65 - 35179776 * q^66 + 29946644 * q^67 - 5476608 * q^68 + 70499610 * q^69 - 34359552 * q^70 - 11894784 * q^72 - 7547764 * q^73 + 35124480 * q^74 + 114494910 * q^75 + 23179520 * q^76 + 9309294 * q^77 + 23014656 * q^78 + 33813002 * q^79 - 46018134 * q^81 - 137346048 * q^82 + 114200226 * q^83 - 15040512 * q^84 - 125696772 * q^85 - 171379584 * q^86 - 159599970 * q^87 + 7913472 * q^88 + 129745152 * q^90 + 268578316 * q^91 + 167825664 * q^92 + 120711534 * q^93 - 11832576 * q^94 - 143949240 * q^95 - 25165824 * q^96 - 89415484 * q^97 + 366888330 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 8 x^{15} + 5476 x^{14} - 38192 x^{13} + 11414542 x^{12} - 67991120 x^{11} + \cdots + 19\!\cdots\!29$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( 34\!\cdots\!96 \nu^{15} + \cdots + 63\!\cdots\!32 ) / 19\!\cdots\!00$$ (349698698674522096*v^15 - 2622740240058915720*v^14 + 1847143687743157443986*v^13 - 11966655743356296497489*v^12 + 3637264295444670611821800*v^11 - 19873407923868112402702045*v^10 + 3273520770067065613019205772*v^9 - 14581990168166622630245895225*v^8 + 1340602512856566167823342637520*v^7 - 4624198358398114369418745153399*v^6 + 236292952492669239800342935316688*v^5 - 579205810809614844986726793419991*v^4 + 18663531337061663144700429036228852*v^3 - 27418393602385639169035789114827543*v^2 + 726716333097578417571614356127412534*v + 630047019569720790213381555933616332) / 1977709302192817871307576515114410500 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 81\!\cdots\!41 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!72 ) / 37\!\cdots\!00$$ (-814059211242269738624535337779139941*v^15 - 349973838478274881046117836788587735305*v^14 - 1944518013482332617499832881917934308206*v^13 - 1903013849625447133159877973577722008214831*v^12 + 2129557901320115293678358781040033941023825*v^11 - 3910580315311510794306490089968458406682644930*v^10 + 9204736390554825226681365242227287958079884563*v^9 - 3768400454767483716271729891157757921959561881075*v^8 + 7570140952631882352815558810009391319701372914905*v^7 - 1737133916889871885119436325529265813677671717800446*v^6 + 1224647804347729556080188412170045775428833022517527*v^5 - 368342527273134737210772280079215130044013729184929739*v^4 - 432668476807935939140993847214588652733223798242341142*v^3 - 32736112639019441643340045935983794104618243267656763297*v^2 - 60062144035221906081767743390872020180512715626470141939*v - 1143937391841385201871996369635839972695240113387353041472) / 373609881429217440481251264057643972158061762317240000 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 38\!\cdots\!49 \nu^{15} + \cdots - 62\!\cdots\!12 ) / 12\!\cdots\!00$$ (386731843889169293203476193739630949*v^15 - 36433830941627713167898550698185453575*v^14 + 2148017468963506678237671869805303006074*v^13 - 193412724028753268723063113005792363617841*v^12 + 4415809641643409214405384087543453901615555*v^11 - 386870744486980043321249377214191567498978990*v^10 + 4080253328893909654989941690484978460671375813*v^9 - 361048067628664228361153163244486736306503074605*v^8 + 1621228348557020688488145919713026178435855272315*v^7 - 159695976681313540540228336787329670431656156743826*v^6 + 211180991678289817480114244450934913320409693858017*v^5 - 32021579215278945309835882465572181608860608635555429*v^4 - 4376312705830653034004055027890526827048774993304342*v^3 - 2624134561167106362966141539605229793968697126902903247*v^2 - 1086077827863036759051835919564770905647513087089445409*v - 62723165480642274607711786111880058248443946461557644112) / 124536627143072480160417088019214657386020587439080000 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 47\!\cdots\!81 \nu^{15} + \cdots + 18\!\cdots\!72 ) / 87\!\cdots\!00$$ (4714981679356403860299499995260781*v^15 + 65473738244533849160149117973446525*v^14 + 24663624957148615334678143725205350506*v^13 + 375184587920081477078228235650670600771*v^12 + 48185232605868273254942797958355486839995*v^11 + 803086505970441489648441542299687830474290*v^10 + 43188991303883116263181406185382098726517997*v^9 + 793137773558512077508509274229244490541997055*v^8 + 17734415903057626808942945455865030542562739635*v^7 + 365252458723681397482836248797946082954704301006*v^6 + 3122461986769128716040665502531863790400275150873*v^5 + 75063299120565068077601982562338595851614408158599*v^4 + 211947348620821112890838276978906852797528208333802*v^3 + 6481631444780202492525940396497498315828061095525357*v^2 + 3843145017916373312802229313092741148460266034750279*v + 182640386827772412687198210270292224433168232559888072) / 877018501007552677186035831121229981591694277740000 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 47\!\cdots\!81 \nu^{15} + \cdots + 19\!\cdots\!43 ) / 87\!\cdots\!00$$ (-4714981679356403860299499995260781*v^15 + 136198463434879907064641617902358240*v^14 - 26075330368904511628251678876335983861*v^13 + 703915139207373220459053946311767446479*v^12 - 54641478798280174788350035093165416889880*v^11 + 1365019742477428262589495121165528363706705*v^10 - 53970373935004336109176519998226857285393987*v^9 + 1226145836856981601591084683667003151777124430*v^8 - 25746933009962741056869883803891285009236355580*v^7 + 515420401931522792812675006022843105882723290509*v^6 - 5736481969709478141816219245768849589339421170963*v^5 + 96836246701642186432455304700441464062647306107026*v^4 - 551399066703006600366520565384296112215027179849867*v^3 + 7604952916325686496805321453898082691697588144148853*v^2 - 17760437857787847695139972675437322176788946832724794*v + 193255680224250207060608253372697225702722226279335543) / 877018501007552677186035831121229981591694277740000 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 42\!\cdots\!02 \nu^{15} + \cdots - 27\!\cdots\!59 ) / 12\!\cdots\!00$$ (-4202709390316089639886908478722422702*v^15 - 7303354753101075180355973770438842635*v^14 - 22288308325266082879460659296448192860557*v^13 - 60135392217593631229515612081368346925532*v^12 - 44321965093477507577792869249092510178318025*v^11 - 161150145401645057372429987732787761762708735*v^10 - 40752733510065488388543660424175690472989377064*v^9 - 184245446572529717211439500642374163361280402975*v^8 - 17466682190787373842969210664207798965722249185565*v^7 - 92045660620525658791624680883863400228472851709487*v^6 - 3333144639686704129236896003582194516859009319685356*v^5 - 18919211284345670655176006221845624471780102628577883*v^4 - 266713379366876952545519549050275188109821063272355199*v^3 - 1431489351117591176750432840001027826929321200631489984*v^2 - 6476041805032355003880683827265458152426276305779983483*v - 27712789684359569915371846783338338491652544580085834559) / 124536627143072480160417088019214657386020587439080000 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 47\!\cdots\!09 \nu^{15} + \cdots + 62\!\cdots\!98 ) / 62\!\cdots\!00$$ (4781749097377177489794987392403767209*v^15 + 249138201852551721999681091674844486715*v^14 + 22547132240900046333848551478980694292804*v^13 + 1376619018019413995197380504945904192969819*v^12 + 36690557187383982741162725904002712666965645*v^11 + 2868966051576830768601909658422577498138233480*v^10 + 21471763592719162900979720268753095282569217293*v^9 + 2795499584583677220658207393413955608848045660405*v^8 - 624294397817922117528955686758699336092778462355*v^7 + 1295923775277288843132313289664028853948704300178724*v^6 - 3795164555797324132000087253525320836709480344418143*v^5 + 273591271819891611114428372729831113237726725746211861*v^4 - 831514432407061310452179516898894300536212886227743512*v^3 + 23731279171356738432210412478457568394462985855912265533*v^2 - 43989813012266730999958719401141735498268553808951651859*v + 620220758666243392877305899695584048299915505222285330398) / 62268313571536240080208544009607328693010293719540000 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 54\!\cdots\!84 \nu^{15} + \cdots + 26\!\cdots\!27 ) / 37\!\cdots\!00$$ (-54798719366763242779481085107179757484*v^15 + 962619504419888607797055479680428973285*v^14 - 302620397888329456907463390525623231074579*v^13 + 5000954845049561802172575334246090356600906*v^12 - 636847148848031753306202087802522677545821145*v^11 + 9900399921285749928243492552292346626197492395*v^10 - 639684227280393508534223797395632769794099902218*v^9 + 9355760364222856790566862528328730099674185255845*v^8 - 319922900775107237403190422477950901355419204790645*v^7 + 4376463661890637680544178144240218569937349733115251*v^6 - 80175809767739843248660779073697688121820999772841182*v^5 + 983199738288524657979030032262853804005663480112616289*v^4 - 9807141264287792747496592966753409457021577593785282913*v^3 + 92999723413358277684436171547811834798084382276747209042*v^2 - 440130544159675185063706922706827343074613374042362484991*v + 2648103731790738089526281077399049131906321016117084868927) / 373609881429217440481251264057643972158061762317240000 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 99\!\cdots\!79 \nu^{15} + \cdots - 36\!\cdots\!53 ) / 37\!\cdots\!00$$ (-99744805442827052607854813152786105579*v^15 - 1706614014518701997886332130480936972930*v^14 - 518491069012769989403821041093883960267169*v^13 - 9630637793030182920623744479032084120809239*v^12 - 1003874152646141950688715129286700762064734610*v^11 - 20299947698563917894631185638395488572589693875*v^10 - 886650496807552379319329495173345421591099952793*v^9 - 19697413556828344737865758071128088899111467758040*v^8 - 354061117019445531998553518766504862076017128454550*v^7 - 8844444041595319656398398528560344386539294906542559*v^6 - 58892615995096319565190352626917173139709202208441777*v^5 - 1739442903906893654175533082755835532586556430161361716*v^4 - 3616112984941351619510199190975668854652296177113081263*v^3 - 140154769721236190483729524148488162700448746385819297933*v^2 - 57129947323930586399960061256185839040288867464861151756*v - 3656055113752274819909916658523871659155577984740690941153) / 373609881429217440481251264057643972158061762317240000 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 20\!\cdots\!20 \nu^{15} + \cdots - 76\!\cdots\!19 ) / 74\!\cdots\!00$$ (20658290752697009946194477092421060120*v^15 - 619408786764117822191421366732579021249*v^14 + 113899795391830685126918981210210354089063*v^13 - 3198154698442823486640086079085209650932630*v^12 + 237433384980366334432593134101752463610734041*v^11 - 6188279135877863604541856671181394235271827667*v^10 + 232292221318712562789517266829559972558384101574*v^9 - 5531584654640647803239408771331286533188661817401*v^8 + 108778954941711540854115137405968085237123010472837*v^7 - 2298620031918154022645130547697793691798099161163179*v^6 + 23384927351561041298768406195789716531532214610588154*v^5 - 420633689560364836271605391352696275756371348894657845*v^4 + 2119118620976888876451191410901039390953424453897574069*v^3 - 31599049793302894955883159203072966468697277340905665246*v^2 + 63704361454432126058675406231351562421501219059290266679*v - 768941548364532656425368699102293020909294194752649800919) / 74721976285843488096250252811528794431612352463448000 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!21 \nu^{15} + \cdots - 56\!\cdots\!48 ) / 37\!\cdots\!00$$ (130484875021701279372328582926342477321*v^15 - 1780654270620075077447596640910383164975*v^14 + 701123463869223024710934505426960641426046*v^13 - 8788094987501403855160629477894069268559589*v^12 + 1413717889007626568503936830238461263870699795*v^11 - 16154390291009025948075566261196279700596436610*v^10 + 1318505045480917979868861140449770395784700810977*v^9 - 13597473482767051139936726805994171444231265543245*v^8 + 571045608309252874189672703893729769855425608827035*v^7 - 5236212082498830231396804755326059551151759074630454*v^6 + 106942104050760436469044403508460132808492112918381693*v^5 - 851529778330301337166735934549974374169986294208878741*v^4 + 7323903455779808845284301596199417307698896842833712982*v^3 - 48640854749527850652893386554870664935229457405938898763*v^2 + 75846745209773176598652382848038120059455290201041089639*v - 560062182967442244743882249032833619813418066279774229948) / 373609881429217440481251264057643972158061762317240000 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 13\!\cdots\!19 \nu^{15} + \cdots + 54\!\cdots\!65 ) / 24\!\cdots\!00$$ (-13157414419835943912616897375211489719*v^15 + 288987584572945703946150530381447345648*v^14 - 71515850500624787934578323169864575227955*v^13 + 1483009800981728010265552982837019647486321*v^12 - 146436992031217288411945866720308157181249012*v^11 + 2866055150568057078052499326987024690493096399*v^10 - 139890131195283288155087108154788430896718541921*v^9 + 2587856067653610390603386009817528782009973756482*v^8 - 63439857490071317163265041736564932223496061426064*v^7 + 1115694331645158583632632348316083491174782064956579*v^6 - 13232608312860509940255414035543007257153914527706065*v^5 + 223573596546441969596550674574981743763114447254386974*v^4 - 1223984459259599818728363556674601338207970112969114781*v^3 + 19493126632823279683677975475827691730442785460698703579*v^2 - 40391064481518553728104051029619851957101780137017885794*v + 541158136567657626777246899018829571739421598347998883465) / 24907325428614496032083417603842931477204117487816000 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!81 \nu^{15} + \cdots - 33\!\cdots\!92 ) / 37\!\cdots\!00$$ (-218407949399035565727858218243927010681*v^15 + 1118380430705138244832052032095288432355*v^14 - 1164816585421032060765716557660710792886066*v^13 + 4790759730608735850367517666471352740849829*v^12 - 2330205463329906598024756798482773077603828415*v^11 + 7252064597642467581361280372343503150146667750*v^10 - 2156684525443577777001428483920478237795126122377*v^9 + 4575765389109705860474800455749786257264323188065*v^8 - 931535093170361271613260747238128449618436537611575*v^7 + 1076523736031341778471077461714151389576423742872474*v^6 - 179716130229287368266610714752277927806816703405832853*v^5 + 48813694696657463341841600674272737999355894512007801*v^4 - 14833887867938147652185188864694619769264177541872622082*v^3 - 4970411090483556153267664462272346946453711929153230837*v^2 - 419603458357058215299568336085311699274533972880201303259*v - 33644177129485568182760491638646715936369262280216317792) / 373609881429217440481251264057643972158061762317240000 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 37\!\cdots\!96 \nu^{15} + \cdots - 30\!\cdots\!27 ) / 62\!\cdots\!00$$ (-37994654069889925062854797312472087096*v^15 + 241108488692570269530473264212620739075*v^14 - 202678985809839541289845844545684082951021*v^13 + 1067386986516708684255361852359771518319814*v^12 - 405243819022659720604349814035408228800088195*v^11 + 1681774027287385497931488661486382182619413285*v^10 - 374122135100606610469653829148012692687519266002*v^9 + 1104034121420850999782619803819930567589724211395*v^8 - 160173463037717168022203244987427397126330413449335*v^7 + 249985424632857562352572932493322378198747312602029*v^6 - 29951004260924817634885779776717392010600523885203118*v^5 - 6834030533703294438190941597517540504083960560373609*v^4 - 2219576323346243413497672171403074808961221998823280007*v^3 - 5940581776584692206646043395468316428422433995027920762*v^2 - 45491002865857378055554423730518968434395669859065850589*v - 308815229178515436901498632632501167138347985762546301127) / 62268313571536240080208544009607328693010293719540000 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 64\!\cdots\!87 \nu^{15} + \cdots - 59\!\cdots\!74 ) / 74\!\cdots\!00$$ (-64043180540110326057975866530482613587*v^15 + 174688960654663879336252577783677210195*v^14 - 344029405645756982795717291897759966848852*v^13 + 595785727448372471743190526805917313300383*v^12 - 696862652315688710695861998567627071107565495*v^11 + 516899169360487413351730717653487622065862180*v^10 - 659674470936780781749754783168409099445207157239*v^9 - 158271186846602051943433991545823886453557601155*v^8 - 297248867491847382353080832520749265960806101754455*v^7 - 359315339411665914302263120348648903163125075900992*v^6 - 61485195933027849383062142798650704694759819177795491*v^5 - 133460438768970478191796386827108139274328975869200723*v^4 - 5369698381270009861880135915715705324078089284684909824*v^3 - 16978340409410691548767020978991896598623202147827627759*v^2 - 140726096657906649295460297997768423921897619344554024703*v - 592463691291908580376229378077428381989090258397153024174) / 74721976285843488096250252811528794431612352463448000
 $$\nu$$ $$=$$ $$( - 2 \beta_{15} - 3 \beta_{14} - 8 \beta_{11} + \beta_{7} + 34 \beta_{6} + 10 \beta_{5} + 24 \beta_{4} + \cdots + 206 ) / 432$$ (-2*b15 - 3*b14 - 8*b11 + b7 + 34*b6 + 10*b5 + 24*b4 + 80*b3 + 4*b2 + 28*b1 + 206) / 432 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( - 20 \beta_{15} - 59 \beta_{14} + 92 \beta_{13} - 38 \beta_{12} - 58 \beta_{11} + 32 \beta_{8} + \cdots - 146924 ) / 216$$ (-20*b15 - 59*b14 + 92*b13 - 38*b12 - 58*b11 + 32*b8 - 22*b7 - 196*b6 + 1256*b5 + 992*b4 + 596*b3 - 68*b2 + 68*b1 - 146924) / 216 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 3672 \beta_{15} + 5635 \beta_{14} + 1302 \beta_{13} + 262 \beta_{12} + 9944 \beta_{11} + \cdots - 1593186 ) / 432$$ (3672*b15 + 5635*b14 + 1302*b13 + 262*b12 + 9944*b11 - 1296*b10 + 1296*b9 - 716*b8 + 1212*b7 - 24168*b6 - 354224*b5 + 319768*b4 - 107496*b3 - 3772*b2 + 2289626*b1 - 1593186) / 432 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 22378 \beta_{15} + 34620 \beta_{14} - 71740 \beta_{13} + 28764 \beta_{12} + 47418 \beta_{11} + \cdots + 94798366 ) / 108$$ (22378*b15 + 34620*b14 - 71740*b13 + 28764*b12 + 47418*b11 - 6966*b10 - 5670*b9 - 19214*b8 - 1945*b7 + 199214*b6 - 1068614*b5 - 482384*b4 - 564022*b3 + 59366*b2 + 1102368*b1 + 94798366) / 108 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 6032470 \beta_{15} - 9352216 \beta_{14} - 1843886 \beta_{13} - 600646 \beta_{12} + \cdots + 2860174232 ) / 432$$ (-6032470*b15 - 9352216*b14 - 1843886*b13 - 600646*b12 - 14939876*b11 + 4321512*b10 - 4447872*b9 + 619540*b8 - 2374025*b7 + 39479518*b6 + 730701634*b5 - 686592860*b4 + 151926388*b3 + 5846888*b2 - 3791735006*b1 + 2860174232) / 432 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 81622314 \beta_{15} - 86641573 \beta_{14} + 215082324 \beta_{13} - 81614740 \beta_{12} + \cdots - 279461384412 ) / 216$$ (-81622314*b15 - 86641573*b14 + 215082324*b13 - 81614740*b12 - 143913842*b11 + 27853956*b10 + 14693400*b9 + 45238604*b8 + 37167243*b7 - 599511234*b6 + 3232024640*b5 + 307696970*b4 + 1965587202*b3 - 196315724*b2 - 5534706392*b1 - 279461384412) / 216 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 10020101254 \beta_{15} + 15541382265 \beta_{14} + 1962435236 \beta_{13} + 1432177632 \beta_{12} + \cdots - 4875666715538 ) / 432$$ (10020101254*b15 + 15541382265*b14 + 1962435236*b13 + 1432177632*b12 + 23365107456*b11 - 8878145616*b10 + 9176419368*b9 + 123721816*b8 + 3197199785*b7 - 71748317470*b6 - 1308687588770*b5 + 1242433672732*b4 - 221263087252*b3 - 10318712788*b2 + 5766637668024*b1 - 4875666715538) / 432 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( 35633514154 \beta_{15} + 29773148095 \beta_{14} - 82097391760 \beta_{13} + 29468779843 \beta_{12} + \cdots + 106744244912947 ) / 54$$ (35633514154*b15 + 29773148095*b14 - 82097391760*b13 + 29468779843*b12 + 55890725195*b11 - 10954220085*b10 - 1911582099*b9 - 13514435665*b8 - 22454417200*b7 + 215064364184*b6 - 1200711380143*b5 + 390987287717*b4 - 837838894552*b3 + 79779605803*b2 + 2816802899528*b1 + 106744244912947) / 54 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 16589997986976 \beta_{15} - 25883898471449 \beta_{14} - 1650338438634 \beta_{13} + \cdots + 83\!\cdots\!86 ) / 432$$ (-16589997986976*b15 - 25883898471449*b14 - 1650338438634*b13 - 3065967478970*b12 - 37041782697340*b11 + 16132473548424*b10 - 16597432600272*b9 - 1947665835188*b8 - 3810478286796*b7 + 129209948644152*b6 + 2251427938890892*b5 - 2138501805235196*b4 + 327039898481964*b3 + 18433568443892*b2 - 8814344753055958*b1 + 8330633872585386) / 432 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 244807683855094 \beta_{15} - 177684355620726 \beta_{14} + 511525743001360 \beta_{13} + \cdots - 66\!\cdots\!96 ) / 216$$ (-244807683855094*b15 - 177684355620726*b14 + 511525743001360*b13 - 173059793471142*b12 - 357151744257216*b11 + 65976675298740*b10 - 16119461349432*b9 + 62335140067100*b8 + 179689318809505*b7 - 1243076943194318*b6 + 7287200878266416*b5 - 5722732559688718*b4 + 5668686579855814*b3 - 513442983733880*b2 - 21601141206228516*b1 - 662737632706182496) / 216 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 27\!\cdots\!38 \beta_{15} + \cdots - 14\!\cdots\!12 ) / 432$$ (27242794794697538*b15 + 43046553578256512*b14 + 758766419194678*b13 + 6037278132687314*b12 + 59079685001590456*b11 - 28019989193448672*b10 + 28572683953934232*b9 + 5675108252155252*b8 + 4109552220098659*b7 - 228942000977467562*b6 - 3803370583112901302*b5 + 3595969575952393828*b4 - 487623508715923868*b3 - 32568565910336368*b2 + 13818109211221094878*b1 - 14378438750778316612) / 432 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( 20\!\cdots\!82 \beta_{15} + \cdots + 51\!\cdots\!56 ) / 108$$ (208239283320818382*b15 + 141736987423968649*b14 - 405141023189144520*b13 + 128509779158156176*b12 + 291770518353134162*b11 - 50244238415205252*b10 + 35096598609275088*b9 - 32098735171340588*b8 - 167347017310682049*b7 + 919705912815438030*b6 - 5712747576438130124*b5 + 7060911386848357366*b4 - 4778320004036644194*b3 + 410073974007917804*b2 + 20396720429309942492*b1 + 519113136603323722056) / 108 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 44\!\cdots\!86 \beta_{15} + \cdots + 25\!\cdots\!90 ) / 432$$ (-44385575587401623186*b15 - 71389083093487890447*b14 + 964956872441907248*b13 - 11277331845424503624*b12 - 94528191471829126968*b11 + 47626410286643660352*b10 - 48027445047200260080*b9 - 12763071608087568704*b8 - 3763602199926406111*b7 + 400706816255096783522*b6 + 6357244406524914057394*b5 - 5963727530768821564976*b4 + 731067151980562910456*b3 + 56814500323527451748*b2 - 22270612350771945230676*b1 + 25028048793440411649190) / 432 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( - 70\!\cdots\!80 \beta_{15} + \cdots - 16\!\cdots\!04 ) / 216$$ (-703859913473525186780*b15 - 475504336653139743125*b14 + 1300639015773998828612*b13 - 384983764267901142530*b12 - 969455852772970385350*b11 + 157317788870529878808*b10 - 180062118716271272568*b9 + 47574583504450733960*b8 + 600893649936239202038*b7 - 2796788982886364635276*b6 + 18495280282555629936632*b5 - 30262269861699687883600*b4 + 16082522566852143648644*b3 - 1302847390620529218836*b2 - 77040956765148045679924*b1 - 1636546963324686714337604) / 216 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 71\!\cdots\!24 \beta_{15} + \cdots - 43\!\cdots\!94 ) / 432$$ (71857310673289923607824*b15 + 118028649542403055067371*b14 - 3852344236676225152482*b13 + 20377628195486842669582*b12 + 151512462445728877736960*b11 - 79941549235743383353632*b10 + 79607427599450233847376*b9 + 25736421921789891417652*b8 + 2092693917956119499208*b7 - 695424901383383451297072*b6 - 10551878494597363588227056*b5 + 9798769174104587369677648*b4 - 1099664374398633568442736*b3 - 98071527826293863976220*b2 + 36739442464600460958914402*b1 - 43785004599147706219450794) / 432

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$11$$ $$\chi(n)$$ $$\beta_{1}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
5.1
 0.5 + 14.2466i 0.5 − 39.6902i 0.5 + 35.1177i 0.5 − 9.67409i 0.5 + 40.7320i 0.5 − 11.5235i 0.5 − 22.4281i 0.5 − 6.78035i 0.5 − 14.2466i 0.5 + 39.6902i 0.5 − 35.1177i 0.5 + 9.67409i 0.5 − 40.7320i 0.5 + 11.5235i 0.5 + 22.4281i 0.5 + 6.78035i
−9.79796 + 5.65685i −69.4086 + 41.7547i 64.0000 110.851i −719.139 415.195i 443.862 801.745i 1343.41 + 2326.85i 1448.15i 3074.10 5796.26i 9394.80
5.2 −9.79796 + 5.65685i −24.1444 77.3178i 64.0000 110.851i −69.6596 40.2180i 673.941 + 620.976i 370.849 + 642.329i 1448.15i −5395.10 + 3733.58i 910.029
5.3 −9.79796 + 5.65685i 22.8219 + 77.7185i 64.0000 110.851i 683.343 + 394.528i −663.250 632.382i 89.7132 + 155.388i 1448.15i −5519.32 + 3547.36i −8927.15
5.4 −9.79796 + 5.65685i 77.7361 22.7616i 64.0000 110.851i −115.044 66.4206i −632.896 + 662.760i −1060.32 1836.53i 1448.15i 5524.82 3538.80i 1502.93
5.5 9.79796 5.65685i −47.1686 + 65.8492i 64.0000 110.851i −476.096 274.874i −89.6569 + 912.014i −1631.36 2825.60i 1448.15i −2111.24 6212.04i −6219.69
5.6 9.79796 5.65685i 7.38176 80.6629i 64.0000 110.851i 935.250 + 539.967i −383.972 832.090i −2056.09 3561.25i 1448.15i −6452.02 1190.87i 12218.1
5.7 9.79796 5.65685i 36.7596 72.1785i 64.0000 110.851i −944.709 545.428i −48.1341 915.145i 1250.70 + 2166.27i 1448.15i −3858.46 5306.50i −12341.6
5.8 9.79796 5.65685i 59.0222 + 55.4742i 64.0000 110.851i 265.055 + 153.030i 892.106 + 209.654i 770.107 + 1333.86i 1448.15i 406.233 + 6548.41i 3462.67
11.1 −9.79796 5.65685i −69.4086 41.7547i 64.0000 + 110.851i −719.139 + 415.195i 443.862 + 801.745i 1343.41 2326.85i 1448.15i 3074.10 + 5796.26i 9394.80
11.2 −9.79796 5.65685i −24.1444 + 77.3178i 64.0000 + 110.851i −69.6596 + 40.2180i 673.941 620.976i 370.849 642.329i 1448.15i −5395.10 3733.58i 910.029
11.3 −9.79796 5.65685i 22.8219 77.7185i 64.0000 + 110.851i 683.343 394.528i −663.250 + 632.382i 89.7132 155.388i 1448.15i −5519.32 3547.36i −8927.15
11.4 −9.79796 5.65685i 77.7361 + 22.7616i 64.0000 + 110.851i −115.044 + 66.4206i −632.896 662.760i −1060.32 + 1836.53i 1448.15i 5524.82 + 3538.80i 1502.93
11.5 9.79796 + 5.65685i −47.1686 65.8492i 64.0000 + 110.851i −476.096 + 274.874i −89.6569 912.014i −1631.36 + 2825.60i 1448.15i −2111.24 + 6212.04i −6219.69
11.6 9.79796 + 5.65685i 7.38176 + 80.6629i 64.0000 + 110.851i 935.250 539.967i −383.972 + 832.090i −2056.09 + 3561.25i 1448.15i −6452.02 + 1190.87i 12218.1
11.7 9.79796 + 5.65685i 36.7596 + 72.1785i 64.0000 + 110.851i −944.709 + 545.428i −48.1341 + 915.145i 1250.70 2166.27i 1448.15i −3858.46 + 5306.50i −12341.6
11.8 9.79796 + 5.65685i 59.0222 55.4742i 64.0000 + 110.851i 265.055 153.030i 892.106 209.654i 770.107 1333.86i 1448.15i 406.233 6548.41i 3462.67
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 5.8 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
9.d odd 6 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 18.9.d.a 16
3.b odd 2 1 54.9.d.a 16
4.b odd 2 1 144.9.q.b 16
9.c even 3 1 54.9.d.a 16
9.c even 3 1 162.9.b.c 16
9.d odd 6 1 inner 18.9.d.a 16
9.d odd 6 1 162.9.b.c 16
12.b even 2 1 432.9.q.c 16
36.f odd 6 1 432.9.q.c 16
36.h even 6 1 144.9.q.b 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
18.9.d.a 16 1.a even 1 1 trivial
18.9.d.a 16 9.d odd 6 1 inner
54.9.d.a 16 3.b odd 2 1
54.9.d.a 16 9.c even 3 1
144.9.q.b 16 4.b odd 2 1
144.9.q.b 16 36.h even 6 1
162.9.b.c 16 9.c even 3 1
162.9.b.c 16 9.d odd 6 1
432.9.q.c 16 12.b even 2 1
432.9.q.c 16 36.f odd 6 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{9}^{\mathrm{new}}(18, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{4} - 128 T^{2} + 16384)^{4}$$
$3$ $$T^{16} + \cdots + 34\!\cdots\!81$$
$5$ $$T^{16} + \cdots + 19\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{16} + \cdots + 15\!\cdots\!00$$
$11$ $$T^{16} + \cdots + 52\!\cdots\!49$$
$13$ $$T^{16} + \cdots + 22\!\cdots\!16$$
$17$ $$T^{16} + \cdots + 12\!\cdots\!00$$
$19$ $$(T^{8} + \cdots - 11\!\cdots\!40)^{2}$$
$23$ $$T^{16} + \cdots + 12\!\cdots\!24$$
$29$ $$T^{16} + \cdots + 73\!\cdots\!00$$
$31$ $$T^{16} + \cdots + 20\!\cdots\!00$$
$37$ $$(T^{8} + \cdots - 17\!\cdots\!56)^{2}$$
$41$ $$T^{16} + \cdots + 24\!\cdots\!25$$
$43$ $$T^{16} + \cdots + 23\!\cdots\!25$$
$47$ $$T^{16} + \cdots + 18\!\cdots\!44$$
$53$ $$T^{16} + \cdots + 73\!\cdots\!00$$
$59$ $$T^{16} + \cdots + 23\!\cdots\!25$$
$61$ $$T^{16} + \cdots + 11\!\cdots\!16$$
$67$ $$T^{16} + \cdots + 63\!\cdots\!25$$
$71$ $$T^{16} + \cdots + 26\!\cdots\!64$$
$73$ $$(T^{8} + \cdots + 79\!\cdots\!00)^{2}$$
$79$ $$T^{16} + \cdots + 10\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{16} + \cdots + 27\!\cdots\!84$$
$89$ $$T^{16} + \cdots + 23\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{16} + \cdots + 23\!\cdots\!25$$