# Properties

 Label 138.5.b.a Level $138$ Weight $5$ Character orbit 138.b Analytic conductor $14.265$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$138 = 2 \cdot 3 \cdot 23$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$5$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 138.b (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$14.2650549056$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} + \cdots)$$ Defining polynomial: $$x^{16} + 1428 x^{14} - 600 x^{13} + 788282 x^{12} - 529464 x^{11} + 213396724 x^{10} - 175079484 x^{9} + 29130946113 x^{8} - 26553654912 x^{7} + \cdots + 274129967370817$$ x^16 + 1428*x^14 - 600*x^13 + 788282*x^12 - 529464*x^11 + 213396724*x^10 - 175079484*x^9 + 29130946113*x^8 - 26553654912*x^7 + 1790717926120*x^6 - 1672125302460*x^5 + 32715955056348*x^4 - 11255739266544*x^3 + 140972261417692*x^2 - 70961983286748*x + 274129967370817 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{23}]$$ Coefficient ring index: $$2^{22}\cdot 3^{4}\cdot 7^{2}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{3} q^{2} - \beta_1 q^{3} + 8 q^{4} + \beta_{4} q^{5} + \beta_{7} q^{6} + ( - \beta_{10} - \beta_{2}) q^{7} + 8 \beta_{3} q^{8} + 27 q^{9}+O(q^{10})$$ q + b3 * q^2 - b1 * q^3 + 8 * q^4 + b4 * q^5 + b7 * q^6 + (-b10 - b2) * q^7 + 8*b3 * q^8 + 27 * q^9 $$q + \beta_{3} q^{2} - \beta_1 q^{3} + 8 q^{4} + \beta_{4} q^{5} + \beta_{7} q^{6} + ( - \beta_{10} - \beta_{2}) q^{7} + 8 \beta_{3} q^{8} + 27 q^{9} + (\beta_{11} - \beta_{6} - \beta_{4}) q^{10} + (\beta_{11} + \beta_{9} + \beta_{8} - \beta_{6}) q^{11} - 8 \beta_1 q^{12} + (\beta_{12} + 2 \beta_{7} + 15 \beta_{3} + 5 \beta_1 - 13) q^{13} + ( - \beta_{11} - 2 \beta_{10} + \beta_{9} - 2 \beta_{6} - \beta_{5} - 3 \beta_{4} + \beta_{2}) q^{14} + (\beta_{11} - 3 \beta_{9} - \beta_{6} - \beta_{5} + \beta_{4} - \beta_{2}) q^{15} + 64 q^{16} + (\beta_{11} - \beta_{10} + 5 \beta_{9} - \beta_{8} - \beta_{6} - 3 \beta_{5} + 3 \beta_{4} + \beta_{2}) q^{17} + 27 \beta_{3} q^{18} + ( - \beta_{11} - \beta_{10} + 4 \beta_{9} - 3 \beta_{8} - 3 \beta_{6} + 5 \beta_{5} + \cdots - 2 \beta_{2}) q^{19}+ \cdots + (27 \beta_{11} + 27 \beta_{9} + 27 \beta_{8} - 27 \beta_{6}) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b3 * q^2 - b1 * q^3 + 8 * q^4 + b4 * q^5 + b7 * q^6 + (-b10 - b2) * q^7 + 8*b3 * q^8 + 27 * q^9 + (b11 - b6 - b4) * q^10 + (b11 + b9 + b8 - b6) * q^11 - 8*b1 * q^12 + (b12 + 2*b7 + 15*b3 + 5*b1 - 13) * q^13 + (-b11 - 2*b10 + b9 - 2*b6 - b5 - 3*b4 + b2) * q^14 + (b11 - 3*b9 - b6 - b5 + b4 - b2) * q^15 + 64 * q^16 + (b11 - b10 + 5*b9 - b8 - b6 - 3*b5 + 3*b4 + b2) * q^17 + 27*b3 * q^18 + (-b11 - b10 + 4*b9 - 3*b8 - 3*b6 + 5*b5 - b4 - 2*b2) * q^19 + 8*b4 * q^20 + (b11 + 2*b10 - 2*b9 + 4*b8 - 2*b6 - 4*b5 + 8*b4 + b2) * q^21 + (4*b11 + 2*b9 + b8 + b6 - 3*b5 + 6*b4 + 2*b2) * q^22 + (b14 - b12 - b11 + 5*b10 + 3*b9 - b8 + 6*b7 + b6 - b5 + b4 + 10*b3 - 3*b2 - 25*b1 + 52) * q^23 + 8*b7 * q^24 + (b13 + b12 - 10*b7 + 57*b3 + 10*b1 + 66) * q^25 + (2*b14 - b13 + b12 - 4*b7 - 13*b3 - 16*b1 + 119) * q^26 - 27*b1 * q^27 + (-8*b10 - 8*b2) * q^28 + (-2*b15 - b13 - 2*b12 - 6*b7 + 22*b3 + 17*b1 + 224) * q^29 + (-3*b11 - 5*b10 + 2*b9 - b8 - 2*b6 + 6*b5 - b4 + b2) * q^30 + (-2*b15 + b12 + 12*b7 - b3 + 27*b1 + 13) * q^31 + 64*b3 * q^32 + (-5*b11 - 10*b10 + b9 + b8 - 5*b6 + 5*b5 - 10*b4 - 5*b2) * q^33 + (5*b11 - 2*b10 + 10*b9 + b8 - 8*b6 - 5*b5 + b4 - 8*b2) * q^34 + (-2*b15 + 2*b14 + b13 + 2*b12 + 14*b7 + 152*b3 + 91*b1 - 206) * q^35 + 216 * q^36 + (-17*b11 + 10*b9 + 12*b8 - 14*b6 - 10*b5 + 9*b4 - 7*b2) * q^37 + (3*b11 + 11*b10 - 11*b9 - 8*b8 - 6*b6 - 12*b5 + 27*b4 - 2*b2) * q^38 + (3*b13 + 14*b7 + 54*b3 + 13*b1 - 126) * q^39 + (8*b11 - 8*b6 - 8*b4) * q^40 + (-2*b15 + 2*b14 - b13 + 2*b12 + 6*b7 - 154*b3 - 99*b1 - 386) * q^41 + (13*b11 - 11*b10 + 14*b9 + 2*b8 + 3*b6 + 5*b5 - 15*b4 + 3*b2) * q^42 + (-13*b11 + 27*b10 - 36*b9 + 17*b8 + 3*b6 + 19*b5 + 53*b4 - 4*b2) * q^43 + (8*b11 + 8*b9 + 8*b8 - 8*b6) * q^44 + 27*b4 * q^45 + (b15 - 3*b14 + 2*b13 + 2*b12 - 3*b11 + 12*b10 + 16*b9 - 9*b8 + 23*b7 + 8*b6 - 7*b5 + b4 + 53*b3 + 8*b2 - 45*b1 + 82) * q^46 + (2*b15 + 2*b14 + 3*b13 - 3*b12 - 70*b7 - 165*b3 - 54*b1 + 555) * q^47 - 64*b1 * q^48 + (-2*b15 - 6*b14 + 2*b13 - b12 - 4*b7 + 167*b3 - 9*b1 - 866) * q^49 + (2*b15 + 2*b14 - 10*b7 + 67*b3 + 78*b1 + 456) * q^50 + (8*b11 - 13*b10 - 17*b9 + 4*b8 + 6*b6 + b5 - 21*b4 + 6*b2) * q^51 + (8*b12 + 16*b7 + 120*b3 + 40*b1 - 104) * q^52 + (-42*b11 - 10*b10 - 8*b9 - 10*b8 + 30*b6 + 22*b5 - 5*b4 + 14*b2) * q^53 + 27*b7 * q^54 + (2*b15 + 2*b13 - b12 - 395*b3 - 101*b1 + 53) * q^55 + (-8*b11 - 16*b10 + 8*b9 - 16*b6 - 8*b5 - 24*b4 + 8*b2) * q^56 + (11*b10 - 26*b9 + 4*b8 - 16*b6 + 24*b5 - 17*b4 + 8*b2) * q^57 + (-6*b14 - 5*b13 - 3*b12 - 18*b7 + 225*b3 + 56*b1 + 187) * q^58 + (-2*b15 + 2*b14 + b13 - 10*b12 + 98*b7 - 336*b3 + 199*b1 - 1142) * q^59 + (8*b11 - 24*b9 - 8*b6 - 8*b5 + 8*b4 - 8*b2) * q^60 + (-7*b11 + 28*b10 - 92*b9 - 14*b8 - 2*b6 - 44*b5 + b4 - 29*b2) * q^61 + (2*b15 - 7*b13 - b12 - 26*b7 + 15*b3 - 90*b1 + 1) * q^62 + (-27*b10 - 27*b2) * q^63 + 512 * q^64 + (28*b11 + 8*b10 + 104*b9 - 20*b8 + 44*b6 + 50*b5 - 126*b4 + 36*b2) * q^65 + (-2*b11 - 20*b10 - 13*b9 - 4*b8 - 3*b6 - 13*b5 - 6*b4 - 3*b2) * q^66 + (79*b11 - 9*b10 + 54*b9 + 35*b8 + 55*b6 + b5 - 75*b4 + 20*b2) * q^67 + (8*b11 - 8*b10 + 40*b9 - 8*b8 - 8*b6 - 24*b5 + 24*b4 + 8*b2) * q^68 + (3*b15 - 3*b13 + 3*b12 - 26*b11 + 19*b10 - 25*b9 + 8*b8 + 10*b7 + 18*b6 + 17*b5 - 3*b4 + 159*b3 - 50*b1 + 663) * q^69 + (6*b15 - 5*b13 + 5*b12 - 92*b7 - 201*b3 - 102*b1 + 1227) * q^70 + (2*b14 - 10*b13 - 11*b12 - 100*b7 + 97*b3 + 53*b1 - 1879) * q^71 + 216*b3 * q^72 + (6*b15 - 6*b14 + 7*b13 - 6*b12 + 30*b7 - 402*b3 + 203*b1 + 602) * q^73 + (40*b11 - 53*b10 + 66*b9 - 26*b8 + 32*b6 - 29*b5 - 86*b4 - 3*b2) * q^74 + (3*b13 + 9*b12 + 56*b7 - 261*b3 - 63*b1 - 261) * q^75 + (-8*b11 - 8*b10 + 32*b9 - 24*b8 - 24*b6 + 40*b5 - 8*b4 - 16*b2) * q^76 + (2*b14 - 10*b13 - 2*b12 - 172*b7 - 4*b3 + 464*b1 + 884) * q^77 + (6*b15 + 3*b13 - 3*b12 - 16*b7 - 123*b3 - 118*b1 + 435) * q^78 + (-60*b11 + 7*b10 - 114*b9 - 64*b8 + 8*b6 + 28*b5 + 40*b4 - 27*b2) * q^79 + 64*b4 * q^80 + 729 * q^81 + (2*b15 - 7*b13 + 7*b12 + 100*b7 - 383*b3 - 34*b1 - 1223) * q^82 + (-59*b11 + 182*b10 - 73*b9 - 29*b8 + 113*b6 - 82*b5 + 238*b4 + 78*b2) * q^83 + (8*b11 + 16*b10 - 16*b9 + 32*b8 - 16*b6 - 32*b5 + 64*b4 + 8*b2) * q^84 + (4*b15 + 2*b13 - b12 + 2*b7 - 55*b3 - 315*b1 - 2029) * q^85 + (63*b11 + 29*b10 - 41*b9 - 24*b8 + 48*b6 + 32*b5 - 77*b4 + 78*b2) * q^86 + (-18*b14 - 9*b12 + 20*b7 - 189*b3 - 225*b1 - 495) * q^87 + (32*b11 + 16*b9 + 8*b8 + 8*b6 - 24*b5 + 48*b4 + 16*b2) * q^88 + (-77*b11 + 159*b10 + 31*b9 - 39*b8 - 43*b6 - 85*b5 - 27*b4 + 29*b2) * q^89 + (27*b11 - 27*b6 - 27*b4) * q^90 + (-106*b11 - 230*b10 + 118*b9 + 38*b8 - 4*b6 + 150*b5 - 390*b4 + 80*b2) * q^91 + (8*b14 - 8*b12 - 8*b11 + 40*b10 + 24*b9 - 8*b8 + 48*b7 + 8*b6 - 8*b5 + 8*b4 + 80*b3 - 24*b2 - 200*b1 + 416) * q^92 + (-18*b14 + 9*b13 - 6*b7 + 306*b3 - 11*b1 - 738) * q^93 + (6*b15 - 6*b14 + 14*b13 + 2*b12 + 46*b7 + 558*b3 + 554*b1 - 1322) * q^94 + (2*b15 + 16*b14 - 3*b13 - 5*b12 - 334*b7 - 1393*b3 - 350*b1 - 1261) * q^95 + 64*b7 * q^96 + (206*b11 + 24*b10 - 62*b9 + 48*b8 + 12*b6 - 88*b5 - 70*b4 + 32*b2) * q^97 + (2*b14 - 9*b13 - 23*b12 + 12*b7 - 868*b3 + 16*b1 + 1343) * q^98 + (27*b11 + 27*b9 + 27*b8 - 27*b6) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q + 128 q^{4} + 432 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q + 128 * q^4 + 432 * q^9 $$16 q + 128 q^{4} + 432 q^{9} - 208 q^{13} + 1024 q^{16} + 840 q^{23} + 1056 q^{25} + 1920 q^{26} + 3600 q^{29} + 224 q^{31} - 3264 q^{35} + 3456 q^{36} - 2016 q^{39} - 6144 q^{41} + 1280 q^{46} + 8880 q^{47} - 13888 q^{49} + 7296 q^{50} - 1664 q^{52} + 832 q^{55} + 2944 q^{58} - 18240 q^{59} + 8192 q^{64} + 10584 q^{69} + 19584 q^{70} - 30048 q^{71} + 9536 q^{73} - 4176 q^{75} + 14160 q^{77} + 6912 q^{78} + 11664 q^{81} - 19584 q^{82} - 32496 q^{85} - 8064 q^{87} + 6720 q^{92} - 11952 q^{93} - 21248 q^{94} - 20064 q^{95} + 21504 q^{98}+O(q^{100})$$ 16 * q + 128 * q^4 + 432 * q^9 - 208 * q^13 + 1024 * q^16 + 840 * q^23 + 1056 * q^25 + 1920 * q^26 + 3600 * q^29 + 224 * q^31 - 3264 * q^35 + 3456 * q^36 - 2016 * q^39 - 6144 * q^41 + 1280 * q^46 + 8880 * q^47 - 13888 * q^49 + 7296 * q^50 - 1664 * q^52 + 832 * q^55 + 2944 * q^58 - 18240 * q^59 + 8192 * q^64 + 10584 * q^69 + 19584 * q^70 - 30048 * q^71 + 9536 * q^73 - 4176 * q^75 + 14160 * q^77 + 6912 * q^78 + 11664 * q^81 - 19584 * q^82 - 32496 * q^85 - 8064 * q^87 + 6720 * q^92 - 11952 * q^93 - 21248 * q^94 - 20064 * q^95 + 21504 * q^98

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} + 1428 x^{14} - 600 x^{13} + 788282 x^{12} - 529464 x^{11} + 213396724 x^{10} - 175079484 x^{9} + 29130946113 x^{8} - 26553654912 x^{7} + \cdots + 274129967370817$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$( - 83\!\cdots\!48 \nu^{15} + \cdots + 94\!\cdots\!30 ) / 19\!\cdots\!73$$ (-83286912539009664439469714008848*v^15 - 902130305625942226938457509239160*v^14 - 119250914637407661834647687204738812*v^13 - 1183489326150675975813198362536022002*v^12 - 65172016924813452585501744440838011388*v^11 - 596956958208964236930142645556423124382*v^10 - 17138870989146161093988038133011497194478*v^9 - 145062958109329789729936943655562615268427*v^8 - 2188192192691564637222359384514216469046624*v^7 - 17001413582982515874061884667644917799427320*v^6 - 111747415283798381369189266442057979287567710*v^5 - 785709602012324318265501992160884170306098815*v^4 - 485718419191723182382745061760931124824296152*v^3 - 3436193763730798806646815650152902907878939188*v^2 + 435772253246348662959239620418707309294970814*v + 94737966427549139307384726784829043409838310130) / 19774466244634692533869575401536106039340000573 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 46\!\cdots\!24 \nu^{15} + \cdots - 28\!\cdots\!74 ) / 29\!\cdots\!15$$ (-46272646822348380677884008804281062462031621082801281442705581090824*v^15 - 446802041121453042071441173871490251720503923350113280679759710197209*v^14 - 67016018262023399879090381913373945644583871336617851875788436866362264*v^13 - 599338987570192711780237321391681760282599714796155995642662902196725859*v^12 - 37443087801306600733838359150723697816074925930543700956391533102626752600*v^11 - 313243335391853151187731929250716443229488455791161498649115054934696143969*v^10 - 10226013163377528529560232602749017649203466134930050456615722972312423039560*v^9 - 80410391412011390314498131788170160809464162528521723711353258596338670107617*v^8 - 1386449448341817007411757601337653233064980881775586592073591136083639083365186*v^7 - 10388115655806373468219940713225836362259381779560624252268749494954191416190865*v^6 - 77577189181087856392233001074962609012584110388703198748937534158945065271213030*v^5 - 608964636310899619355661881547641476314015797068921036935603511610140187762837185*v^4 - 393829328839466898106435583899825648506814027148968548808694801615766073469540142*v^3 - 11839793604533309707348166090904823322510140598959231179670272340072341902166844136*v^2 + 10216253013568256309847472383957305181185146580968095342048265286989634059497017302*v - 28667651306964149985560185065580863937331052753193662084907258342495491329725107874) / 2962369141121471164742651211822667652024479165537644632750645570790107938014824415 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 25\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots + 26\!\cdots\!84 ) / 10\!\cdots\!93$$ (-258522368857238579551945552397167895044123880383576*v^15 + 365670585221505705375530009529798821419734002149704*v^14 - 368930399676422756394864474566350213974460883689866024*v^13 + 667046420227964013200472359813010217194618747373732218*v^12 - 203552341410432770490975846582680653797818596142144551320*v^11 + 411659436970886970995836698225806477910601806592687897734*v^10 - 55034868575117468369911539777147518253560871137840976198404*v^9 + 116663760090590216416013139846860134773214735089649761211986*v^8 - 7484985949499095504237830214713838038680615204317749243492960*v^7 + 15998099471505062546991198651930023933472810682943353099156518*v^6 - 454647334563426755025855828692256098248666015511981331555727752*v^5 + 926334397371662197748871550388710737257365226473786345714601502*v^4 - 7785548136115956591233669047613636021713276395358265003246900268*v^3 + 8339210575681332050832079438698430230408572017122260143005565638*v^2 - 14762178463322411585793027552844754849122701030669244629466532124*v + 26545509059046491027690536414052286610221766236534093376226724384) / 10576882407535791182933958347752969086565211179845383678850934693 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 89\!\cdots\!10 \nu^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!47 ) / 29\!\cdots\!15$$ (-89444206052823940081403427702828446090147687796596869226501696399610*v^15 + 78546469847482766777591103224036140085215920087875528371947834464527*v^14 - 131929108177259523890776722655609203147786622949687193955741194026067670*v^13 + 163428123403468421137213306604662528701965418265897509871854232345677887*v^12 - 76117760971382027843736079478483860172821563096516365862866048873786826740*v^11 + 109770970867761071694316072919902123186826584386673164595868680206003063650*v^10 - 21897348244883448802441250487294426247944105720150270668590216793355913329808*v^9 + 33998275316521467141723839512101070897048601764041296404773891755026725983378*v^8 - 3271951180681892485446544275475358046605683357644961722133955430576698676509512*v^7 + 5254729431352124255968686829476314379778349307735846852195382993911143113456530*v^6 - 236131848420471319058399719252121982549286693620708059759420406659305201919351840*v^5 + 371902660426316835390701492249174813501027180776800294829979142174186395019562550*v^4 - 6550523276405190095138129772418660465341046401112923521930573572613710908292153820*v^3 + 7363432306138495235913722969459700342064038241544830861760186018678716991511668811*v^2 - 54347997803143324862899675318802671451671188274735944206391552374385838224204236208*v + 25562607204445307189692443382320779977954314365493907539170999689711094170053561547) / 2962369141121471164742651211822667652024479165537644632750645570790107938014824415 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!50 \nu^{15} + \cdots + 69\!\cdots\!94 ) / 29\!\cdots\!15$$ (154158658183198710430191833593271409116031410420149241764165612001150*v^15 + 420118908834537557831628441417027775653051168950190494925385062198179*v^14 + 213273245468977862228199215356526206251026472905186898102036889375503790*v^13 + 539836664417740471653876564810392214566462539757530765181876777242366819*v^12 + 111766727575399506673686378279777314918802407924934709210043677511250510410*v^11 + 291038730659193278906039930709396036890332722799372059759606148561746363505*v^10 + 27631160279227201437517561071583646159289022661911205605734536800966988843814*v^9 + 81488961140680023801552656692146436246474949697885539678490386397565791391491*v^8 + 3123846549364613073005298087383574267060789400754017536667337435489332536604396*v^7 + 12012279581478486238107240690280530115239162470468027165989474778781020012660385*v^6 + 102129600502070692390891501432996709969119586478186295181464733707979589341646680*v^5 + 859286979261642708148738768335928950651434433790631077144984155986248441615466775*v^4 - 4266857153635268236373888934301464306275155617599626467487803293841643496478742450*v^3 + 25248593021847695167580272602926270318981252864974009628567468831156173060967378812*v^2 - 64008590515025908443323084917238954550150360298849057316247999572938449214000605926*v + 69410881754292697976504724167653032704227479428765993098183776793425319753798755094) / 2962369141121471164742651211822667652024479165537644632750645570790107938014824415 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 24\!\cdots\!86 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!57 ) / 29\!\cdots\!15$$ (247160432601876735224950360906253326335091873185863082298290311965186*v^15 + 1709514099817803500547733388771314594875220222870253065192673246169617*v^14 + 357174783710656089389611399245484078447413393012923560203546548213804986*v^13 + 2299052532140405306865150867475890853872691378939062983407817886771097957*v^12 + 198675375532789876842858432097829496162888934870534066798324864923566060510*v^11 + 1219478198615288241953756674923523311227514895198049159617801177924320180946*v^10 + 53739088453567106420678174420813232307090871907748446394271473075306982356646*v^9 + 320934454168315756845120247665583756129070612483506490682759868098006352866632*v^8 + 7175418431651986756871819026752796461686849651531113801420188579305497703121418*v^7 + 42767696158069253801308515438185797353006107723213090955789292109284250042622240*v^6 + 400344746558665565665951176422714722953243443540594243755830324605648336354505530*v^5 + 2574289444776564616154266085441379249911401354024500139736689684385777697710791130*v^4 + 3481319986419386220572990279745936048264351472305439429763397323871592382526570218*v^3 + 49803114646688234185335808423452514272705181223712887232991540217915804233787978447*v^2 - 29974316349832367814534493999925975843999975568764849401125501448874521157335077322*v + 118490998167306734836441896338141224507200158925363298489784706937664745642238965657) / 2962369141121471164742651211822667652024479165537644632750645570790107938014824415 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 22\!\cdots\!48 \nu^{15} + \cdots - 19\!\cdots\!56 ) / 16\!\cdots\!89$$ (225449726432696082240696672376248*v^15 - 67256675812132370107491253667200*v^14 + 321365142064479345498505488526134732*v^13 - 239347491695671329608906280659478502*v^12 + 176891450322174405776202336598973723492*v^11 - 181785575961530428627199947530630158202*v^10 + 47646106226714936114835815715638220617744*v^9 - 57759307275952287510970027667133571578338*v^8 + 6439100162168804620960169270933509005776780*v^7 - 8662545635382602237607429141792254516718146*v^6 + 385865330406745475005247746084544352064464372*v^5 - 550633526229031536917954602775624649727401250*v^4 + 6277386394384728336620726951250725290855204656*v^3 - 5803928128147336964501024613937602282647243958*v^2 + 11586938566437621561797944149533711169059161700*v - 19158130121033057963422086732696260930350050356) / 1611915968905338516148252026714428122609882689 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 61\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots - 52\!\cdots\!55 ) / 29\!\cdots\!15$$ (-610234946324348089914040931524517199617622778983422002423651174261576*v^15 - 941576290737987566357426876456684305890563301263948916164957172279550*v^14 - 862903958449027982814166668195458566838937173854771206855503741562204116*v^13 - 907846116835527065838546404959406712821847203282654469309624643172342270*v^12 - 469168413841261384903783601172068579379686965347817563447923487282306109420*v^11 - 344080464842414990664914932952171653105544677735150721343834686300988155381*v^10 - 124096073196840503382936651116866277796502338444677708237351856459527933812404*v^9 - 66022530557273258209684317872136098925578264182990131811888152414595920207309*v^8 - 16280598724338463205269815635494927152987512278167904902834366613606437723641990*v^7 - 6827599646988799291421399702869087436137786424030958149062467651693196017777315*v^6 - 915888049150206213649212428187702589986240260405641496132724347169768069502230070*v^5 - 427809586710728569661542928716526721048974598102200973571934964028804713748323015*v^4 - 11412688232213352904902197192140931622876707432109494718350991648202335603901015888*v^3 - 24721306830962571210522887050340841429342688465947655158566714124028585578979492511*v^2 - 40930894438394584561424857519724631382710068667577976219391482587982882183249463056*v - 52797818087025253844561441578537316301092194881961849635957229767422721741477621155) / 2962369141121471164742651211822667652024479165537644632750645570790107938014824415 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 61\!\cdots\!84 \nu^{15} + \cdots - 25\!\cdots\!77 ) / 29\!\cdots\!15$$ (-612630059284432664278235465588894795748223164640272745370196235602284*v^15 - 911374781178182785050315726417636041942748209081250103175255897495857*v^14 - 876087797752108045392310504723043447213036753064679487252608304939712464*v^13 - 942637757286102319362909122105690908028849347611104212384280859342239327*v^12 - 484112344233691310210789336668420094487023812145845319816485632541213421740*v^11 - 402935039575177956685664340480699931094472261035485016169465195693731727284*v^10 - 131170742365179061071404794896568199775781747219089374731985787603437865621868*v^9 - 90162797687069732943336066714314421642486963947548725304312915992333855524284*v^8 - 17926978617881643434728083399462776434220453333012191328882963194003555853067908*v^7 - 10582453097008554299236644134006718225509461282040598298245590602889708665548870*v^6 - 1104893132984658319771257446571534288497376394909614573688903423705798546526279680*v^5 - 588965948429085026735764178337822691632675547146748947063658029980726952122029450*v^4 - 20493424104673567659599192373267618472944147413759347890462562958951319335358782422*v^3 - 19022438188406073596644832921089503444284201577273931230942228678300327263916716995*v^2 - 117843051095264254879101958491055813014470063888246306304495129383697783874490099746*v - 25878177846823614929004275305654003339943033318158598668668650536631651933394598077) / 2962369141121471164742651211822667652024479165537644632750645570790107938014824415 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!66 \nu^{15} + \cdots - 52\!\cdots\!78 ) / 98\!\cdots\!05$$ (-210905102080128469536913989620899441017496145159885244231238765603466*v^15 - 960688820629860558460345959256321663488325277244335411598943059910328*v^14 - 301255600850112324588388636263523053436630554313585401853277716039205686*v^13 - 1240134140386223639226174204344795249776508882239382101836106354243674538*v^12 - 165893773265109432543789837779683394016204062183970180775552234953468238730*v^11 - 639318209975068878345454737693555660673532292167616736242514902849781923316*v^10 - 44683948722785685699236239531680345271697216571369623647918615223788809951642*v^9 - 165153118334009849220611290670320465194002475375301446335700196059697978198806*v^8 - 6044536540121774635314814898245251613567117681490508938593666504027744873367002*v^7 - 21706858329792939223741401722675833979395831399174249371901583719553218036259040*v^6 - 363506643588811526340320543805088589440016518414067334416372432033847603951114830*v^5 - 1284161143517362297536991996570190865295640234517501505650788966424260503484747370*v^4 - 5946039878108275725008120598092188452849745568257538489431505654481766994577121928*v^3 - 24119007862463461589023170693921510711423760859573555572280118512474379972315294130*v^2 - 15960568712268069087268416595094483729082065764571601779383762416740512680823577824*v - 52386698620309412292017027763780120528327651882473190311796610747865736612627709978) / 987456380373823721580883737274222550674826388512548210916881856930035979338274805 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 69\!\cdots\!16 \nu^{15} + \cdots - 84\!\cdots\!76 ) / 29\!\cdots\!15$$ (-690004789689773946136111422095569556661189491646166489708253681115616*v^15 - 1815034532221869720269184010099633581093710930408916639121191100193916*v^14 - 985904785775282704497087743479449199591610883629506824603187480225274796*v^13 - 2178333241296491244392003461911310468695129276275536607171636883318653076*v^12 - 543622247019761780607024925255037287857631959951347375310779622116966069850*v^11 - 1064607722807653556634826799765954764189542680471580468733476519804971436096*v^10 - 146713502495559544066649140507040563300491143388340490004921273248792308520050*v^9 - 265227994924625684324712310044796754716281437232679645737360791891028315098818*v^8 - 19904124142849959363642679047294184759687864630373442707189442692417383710897354*v^7 - 33966871867561880265227226222789131513795944916108586533800168884559931689295790*v^6 - 1206528767015202455600390415684364437626937491587215648326175671237836769441726670*v^5 - 1984672691376503525578543430095961389647030961882380763537744775476521227217007060*v^4 - 21021712268430769690690946514552181768680183308279519260741823234879483439602466558*v^3 - 43317215214436029433841623143277695362005550110169142448957564803804123164190960494*v^2 - 96838137945650241480241139089997368826132695858804429716541918993164800567206312442*v - 84262122396813186420068355992869252440397152450244311947575339610753541554832147376) / 2962369141121471164742651211822667652024479165537644632750645570790107938014824415 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 45\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots + 19\!\cdots\!51 ) / 75\!\cdots\!21$$ (-45552972998183621123244100902791374141908343392222070442391175368*v^15 + 38937917598547215664842965845664863064125471831893206653339223172*v^14 - 64692768665865920502348499841583691604003604484499739287583978450236*v^13 + 82990384444605419032991039252548596827694642465093584737260495322360*v^12 - 35483689894536725040724904167168844679415558888602856669374401685364164*v^11 + 54560480593165524720505592203676668834487165951001119234186487645558964*v^10 - 9530365982913119349905771108743833801595638120892209886240160671989646250*v^9 + 16035249321974920850732708780162986095699155378184380010020042795992051929*v^8 - 1286114989407171282237545700351369423133424922864120239353613060567123792488*v^7 + 2257150363745318473689837580708239048776304463487357434786125906141559121730*v^6 - 77251726669055432570083871193504498904855341306276292708101546823797119708006*v^5 + 133243000171105083622951296393942905366722369426192433963976274671534489900455*v^4 - 1284947023303540628345853248894299091306452629218146569042932263991731713447732*v^3 + 1283412810167634166214682406702073754697559783163200847177428370634861578339122*v^2 - 2405013914765156297567592206068297255242204020204763099079996669918000974512406*v + 19140758270837509057539562243547848982939218080235142270415397301567731117434251) / 75734862357700911791963472116136204832531743973862830953614868229326548332221 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!88 \nu^{15} + \cdots - 31\!\cdots\!84 ) / 75\!\cdots\!21$$ (102749779625151077483314738885897484388487515029617779356287106088*v^15 + 50074382021648809668312420794959975388084987218151040760132502804*v^14 + 146146187690098882058657507700012171515344459273722219640220666376048*v^13 + 18895738423805092457884205891304412081736317644610366846781354163884*v^12 + 80181376573337467493434066411519462324423716931300901296139422974676892*v^11 - 4220731111099907425829286687499631229244017266839180945482889388365506*v^10 + 21486852035522115800118051594887623645226196580717711327444562913852471146*v^9 - 2989539662027637106255525998612431382803434437447915538024729948903956869*v^8 + 2876750217784068669625552784017012392382802303013751292459606616054135231224*v^7 - 595772600532374760022330033453438037209067304776160804907866182328816824360*v^6 + 168432888403258280550571603396744470824021509579578849562759931047374463591674*v^5 - 58628423820448635576480330031254449280651528300803674671063538154396866156855*v^4 + 2450069810313472327139496378552967848952842403855861730770284926268230487693504*v^3 - 1522808774493514495740337398597541905473078427932563754146055643377419040862972*v^2 + 4271622556207119035393321373435021058940458983317172706502442095337416438950442*v - 31810698375817538480751649802126805714904871037677356872279027326500290242802884) / 75734862357700911791963472116136204832531743973862830953614868229326548332221 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!56 \nu^{15} + \cdots + 55\!\cdots\!67 ) / 10\!\cdots\!03$$ (-17036644046371470114294383255410382746850540788547827532065032756*v^15 + 28282716502347042975396949409460726174011965642956398577148496882*v^14 - 24298675512672646308332058108690467906832173152919719855919019317798*v^13 + 51308551120070351273973225979248280376507295997434242523112037520063*v^12 - 13401334629487674147671453867405327759079960856205228409599681369794564*v^11 + 32091329478045784944308284699428404734057920803668826307247759030358818*v^10 - 3624577478072959416933938739547100023914869220840728810674789556313940560*v^9 + 9300612885288810426766860337676380038229619227396985184028440248261528686*v^8 - 494173077782306186051522988845467124576109836799606831386734426715676414260*v^7 + 1307958879779211648667531434351885132446343757882021510448223743121645158596*v^6 - 30307233115212930334933508264305782979301003599816724764519448581335580821320*v^5 + 76949600194264301252978164133329854767797582497746608947683919046283701218676*v^4 - 544657090734776587001261960552669022791166578319663047249864800493920338696468*v^3 + 641548728827273107778728803043748167283045794904549989512433603673898410617424*v^2 - 1052171649384819355429579757114639031481643870111164182142325618533812904517050*v + 55953031432842109959241472733242953583235637998611019621329843240783329027167) / 10819266051100130255994781730876600690361677710551832993373552604189506904603 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 29\!\cdots\!64 \nu^{15} + \cdots - 16\!\cdots\!87 ) / 75\!\cdots\!21$$ (292025759640879893617507419257309253034551831131009452564222061664*v^15 - 150973673451717900980946327912329652564143889683539958175746549278*v^14 + 415620089089893100058331750469533193735357076792736521430192768451986*v^13 - 388244448200404972999831478842886739776483983223465684706906852507613*v^12 + 228444900413692927240545014686666263358112321700983831775427918187345132*v^11 - 270252179143048592285034809880841278204048952543091932336032407113501710*v^10 + 61462676450443405923895013020683518044329707007128179369624541407669504718*v^9 - 81973499139880296076719146309087418632831588155599710059462166675075938859*v^8 + 8301915296117228055712420632931741587481691939190607905474390357004413320720*v^7 - 11942217695864814623899397744021584221105571236091291448340222899409594623474*v^6 + 497941758987418464385537841129559258483924967640485707666839606611329248973786*v^5 - 747444928840712007795390258820294030934106355564149926876309989100991176626825*v^4 + 8153448964842380590077956941239337230113567348551637671758311524335282811644336*v^3 - 7689713516503714135206099333949630770719721302372584333356543523283892517003422*v^2 + 15101300789554094224983916646708922336337290985239768029559491050812877181023196*v - 16802881573940935116548069345306153650882299067488484656229441228699378847750987) / 75734862357700911791963472116136204832531743973862830953614868229326548332221
 $$\nu$$ $$=$$ $$( 4\beta_{11} - 2\beta_{10} - \beta_{9} - \beta_{8} + 2\beta_{5} - 6\beta_{4} + 6\beta_{3} + 3\beta_{2} ) / 24$$ (4*b11 - 2*b10 - b9 - b8 + 2*b5 - 6*b4 + 6*b3 + 3*b2) / 24 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( 6 \beta_{12} - \beta_{11} + \beta_{10} - 4 \beta_{9} + 2 \beta_{8} + 69 \beta_{7} - \beta_{6} + \beta_{5} + 7 \beta_{4} + 225 \beta_{3} - \beta_{2} + 178 \beta _1 - 2142 ) / 12$$ (6*b12 - b11 + b10 - 4*b9 + 2*b8 + 69*b7 - b6 + b5 + 7*b4 + 225*b3 - b2 + 178*b1 - 2142) / 12 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 6 \beta_{14} - 3 \beta_{13} + 3 \beta_{12} - 314 \beta_{11} + 294 \beta_{10} - 218 \beta_{9} + 104 \beta_{8} - 86 \beta_{7} + 24 \beta_{6} - 284 \beta_{5} + 934 \beta_{4} - 1073 \beta_{3} - 444 \beta_{2} - 276 \beta _1 + 897 ) / 8$$ (6*b14 - 3*b13 + 3*b12 - 314*b11 + 294*b10 - 218*b9 + 104*b8 - 86*b7 + 24*b6 - 284*b5 + 934*b4 - 1073*b3 - 444*b2 - 276*b1 + 897) / 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 207 \beta_{15} + 225 \beta_{14} - 273 \beta_{13} - 1056 \beta_{12} + 130 \beta_{11} - 445 \beta_{10} + 1444 \beta_{9} - 695 \beta_{8} - 16942 \beta_{7} + 133 \beta_{6} + 128 \beta_{5} - 2554 \beta_{4} - 61047 \beta_{3} + \cdots + 346956 ) / 6$$ (207*b15 + 225*b14 - 273*b13 - 1056*b12 + 130*b11 - 445*b10 + 1444*b9 - 695*b8 - 16942*b7 + 133*b6 + 128*b5 - 2554*b4 - 61047*b3 + 613*b2 - 41360*b1 + 346956) / 6 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 2640 \beta_{15} - 10710 \beta_{14} + 8175 \beta_{13} + 465 \beta_{12} + 232858 \beta_{11} - 364995 \beta_{10} + 502551 \beta_{9} - 149754 \beta_{8} + 202620 \beta_{7} - 81121 \beta_{6} + \cdots - 2450985 ) / 24$$ (-2640*b15 - 10710*b14 + 8175*b13 + 465*b12 + 232858*b11 - 364995*b10 + 502551*b9 - 149754*b8 + 202620*b7 - 81121*b6 + 419162*b5 - 1414400*b4 + 1744239*b3 + 557774*b2 + 683440*b1 - 2450985) / 24 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 95779 \beta_{15} - 129999 \beta_{14} + 140836 \beta_{13} + 285468 \beta_{12} - 38759 \beta_{11} + 229578 \beta_{10} - 601124 \beta_{9} + 233506 \beta_{8} + 5079826 \beta_{7} + \cdots - 87285308 ) / 4$$ (-95779*b15 - 129999*b14 + 140836*b13 + 285468*b12 - 38759*b11 + 229578*b10 - 601124*b9 + 233506*b8 + 5079826*b7 + 37567*b6 - 179610*b5 + 1127649*b4 + 20940637*b3 - 304332*b2 + 12847659*b1 - 87285308) / 4 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 2616726 \beta_{15} + 6429192 \beta_{14} - 5957931 \beta_{13} - 3585225 \beta_{12} - 64199360 \beta_{11} + 166503866 \beta_{10} - 289108556 \beta_{9} + 73428808 \beta_{8} + \cdots + 1778327733 ) / 24$$ (2616726*b15 + 6429192*b14 - 5957931*b13 - 3585225*b12 - 64199360*b11 + 166503866*b10 - 289108556*b9 + 73428808*b8 - 133436338*b7 + 57269572*b6 - 210572134*b5 + 711037112*b4 - 927600969*b3 - 237600830*b2 - 435528814*b1 + 1778327733) / 24 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( 78997806 \beta_{15} + 120304872 \beta_{14} - 125610711 \beta_{13} - 191939826 \beta_{12} + 32215660 \beta_{11} - 232020092 \beta_{10} + 537300314 \beta_{9} + \cdots + 54619049958 ) / 6$$ (78997806*b15 + 120304872*b14 - 125610711*b13 - 191939826*b12 + 32215660*b11 - 232020092*b10 + 537300314*b9 - 172078414*b8 - 3444805946*b7 - 84010896*b6 + 241395536*b5 - 1071770412*b4 - 15692807394*b3 + 289796982*b2 - 9086128373*b1 + 54619049958) / 6 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 640224756 \beta_{15} - 1301336994 \beta_{14} + 1294759767 \beta_{13} + 1135093377 \beta_{12} + 6618013706 \beta_{11} - 26451671015 \beta_{10} + \cdots - 384379493385 ) / 8$$ (-640224756*b15 - 1301336994*b14 + 1294759767*b13 + 1135093377*b12 + 6618013706*b11 - 26451671015*b10 + 50552317816*b9 - 11895261841*b8 + 27233364558*b7 - 11350247777*b6 + 35063271694*b5 - 117607208710*b4 + 167324427731*b3 + 34957065081*b2 + 85546717500*b1 - 384379493385) / 8 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 80923832097 \beta_{15} - 130981645953 \beta_{14} + 135072607956 \beta_{13} + 180487318938 \beta_{12} - 36500348570 \beta_{11} + 287999473976 \beta_{10} + \cdots - 48562971684354 ) / 12$$ (-80923832097*b15 - 130981645953*b14 + 135072607956*b13 + 180487318938*b12 - 36500348570*b11 + 287999473976*b10 - 627039220517*b9 + 173111673262*b8 + 3173585412663*b7 + 131130956689*b6 - 342190390051*b5 + 1306184488724*b4 + 15400172599134*b3 - 345564349547*b2 + 8657894375467*b1 - 48562971684354) / 12 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 622904220576 \beta_{15} + 1166267923854 \beta_{14} - 1188448924542 \beta_{13} - 1209542625060 \beta_{12} - 3440004036319 \beta_{11} + \cdots + 350041077130668 ) / 12$$ (622904220576*b15 + 1166267923854*b14 - 1188448924542*b13 - 1209542625060*b12 - 3440004036319*b11 + 19168178746017*b10 - 38178516899244*b9 + 8611965964146*b8 - 24075981602376*b7 + 9258455269087*b6 - 26011489465253*b5 + 86578091702117*b4 - 137936287320351*b3 - 23883072657365*b2 - 73336901859606*b1 + 350041077130668) / 12 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( 6704932938032 \beta_{15} + 11208157141704 \beta_{14} - 11515164797807 \beta_{13} - 14407096601019 \beta_{12} + 3369791447932 \beta_{11} + \cdots + 37\!\cdots\!57 ) / 2$$ (6704932938032*b15 + 11208157141704*b14 - 11515164797807*b13 - 14407096601019*b12 + 3369791447932*b11 - 28390449289867*b10 + 60012138202265*b9 - 14948966240044*b8 - 247561972670171*b7 - 14271564164473*b6 + 36196766936678*b5 - 128361574554076*b4 - 1246606559700704*b3 + 33256080528740*b2 - 691202249066274*b1 + 3731622318183057) / 2 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 755132091143586 \beta_{15} + \cdots - 40\!\cdots\!46 ) / 24$$ (-755132091143586*b15 - 1360399502034534*b14 + 1396552220980878*b13 + 1523283455215626*b12 + 2639963686754418*b11 - 18547509018484474*b10 + 37626552229861429*b9 - 8278398935647307*b8 + 27666767784197542*b7 - 9563157948185350*b6 + 25480481074027782*b5 - 84271796501844824*b4 + 152480650845438468*b3 + 22225596932807345*b2 + 82502523642447506*b1 - 408011456569930746) / 24 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( - 19\!\cdots\!18 \beta_{15} + \cdots - 10\!\cdots\!63 ) / 12$$ (-19684460430633918*b15 - 33469163387564688*b14 + 34360320531518139*b13 + 41598231241341171*b12 - 11000621494406805*b11 + 97689243413309689*b10 - 203667502975242499*b9 + 47494161796584401*b8 + 702103815373512261*b7 + 51580052164887133*b6 - 129535541527571913*b5 + 442271240491357085*b4 + 3609503716618684272*b3 - 112845935370956546*b2 + 1988995200613233692*b1 - 10518033885121829463) / 12 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!92 \beta_{15} + \cdots + 77\!\cdots\!09 ) / 8$$ (146225912054910492*b15 + 258466996286493714*b14 - 265839687360889407*b13 - 300054584083075053*b12 - 365658139546992502*b11 + 2982131118224309726*b10 - 6100395840488906220*b9 + 1322094100260895750*b8 - 5196446608490715584*b7 + 1594887137428592156*b6 - 4124593063149883664*b5 + 13578353521473721438*b4 - 28039483446296968551*b3 - 3488732840191577630*b2 - 15288772890001831708*b1 + 77137336195332475209) / 8

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/138\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$47$$ $$97$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
91.1
 −0.707107 + 1.93510i −0.707107 + 11.7850i −0.707107 − 11.7850i −0.707107 − 1.93510i −0.707107 + 22.2857i −0.707107 − 16.9956i −0.707107 + 16.9956i −0.707107 − 22.2857i 0.707107 + 1.47108i 0.707107 + 16.3207i 0.707107 − 16.3207i 0.707107 − 1.47108i 0.707107 − 14.6559i 0.707107 − 4.53246i 0.707107 + 4.53246i 0.707107 + 14.6559i
−2.82843 −5.19615 8.00000 30.1826i 14.6969 56.6877i −22.6274 27.0000 85.3694i
91.2 −2.82843 −5.19615 8.00000 26.7045i 14.6969 66.7315i −22.6274 27.0000 75.5318i
91.3 −2.82843 −5.19615 8.00000 26.7045i 14.6969 66.7315i −22.6274 27.0000 75.5318i
91.4 −2.82843 −5.19615 8.00000 30.1826i 14.6969 56.6877i −22.6274 27.0000 85.3694i
91.5 −2.82843 5.19615 8.00000 34.5847i −14.6969 81.5113i −22.6274 27.0000 97.8202i
91.6 −2.82843 5.19615 8.00000 7.78845i −14.6969 25.8071i −22.6274 27.0000 22.0291i
91.7 −2.82843 5.19615 8.00000 7.78845i −14.6969 25.8071i −22.6274 27.0000 22.0291i
91.8 −2.82843 5.19615 8.00000 34.5847i −14.6969 81.5113i −22.6274 27.0000 97.8202i
91.9 2.82843 −5.19615 8.00000 19.9722i −14.6969 58.9751i 22.6274 27.0000 56.4898i
91.10 2.82843 −5.19615 8.00000 3.47446i −14.6969 45.9507i 22.6274 27.0000 9.82724i
91.11 2.82843 −5.19615 8.00000 3.47446i −14.6969 45.9507i 22.6274 27.0000 9.82724i
91.12 2.82843 −5.19615 8.00000 19.9722i −14.6969 58.9751i 22.6274 27.0000 56.4898i
91.13 2.82843 5.19615 8.00000 33.4782i 14.6969 19.6774i 22.6274 27.0000 94.6906i
91.14 2.82843 5.19615 8.00000 7.70519i 14.6969 72.1011i 22.6274 27.0000 21.7936i
91.15 2.82843 5.19615 8.00000 7.70519i 14.6969 72.1011i 22.6274 27.0000 21.7936i
91.16 2.82843 5.19615 8.00000 33.4782i 14.6969 19.6774i 22.6274 27.0000 94.6906i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 91.16 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
23.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 138.5.b.a 16
3.b odd 2 1 414.5.b.b 16
4.b odd 2 1 1104.5.c.a 16
23.b odd 2 1 inner 138.5.b.a 16
69.c even 2 1 414.5.b.b 16
92.b even 2 1 1104.5.c.a 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
138.5.b.a 16 1.a even 1 1 trivial
138.5.b.a 16 23.b odd 2 1 inner
414.5.b.b 16 3.b odd 2 1
414.5.b.b 16 69.c even 2 1
1104.5.c.a 16 4.b odd 2 1
1104.5.c.a 16 92.b even 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{5}^{\mathrm{new}}(138, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$(T^{2} - 8)^{8}$$
$3$ $$(T^{2} - 27)^{8}$$
$5$ $$T^{16} + 4472 T^{14} + \cdots + 15\!\cdots\!84$$
$7$ $$T^{16} + 26152 T^{14} + \cdots + 93\!\cdots\!64$$
$11$ $$T^{16} + 66016 T^{14} + \cdots + 10\!\cdots\!44$$
$13$ $$(T^{8} + 104 T^{7} + \cdots + 14\!\cdots\!84)^{2}$$
$17$ $$T^{16} + 465080 T^{14} + \cdots + 11\!\cdots\!56$$
$19$ $$T^{16} + 1100968 T^{14} + \cdots + 34\!\cdots\!76$$
$23$ $$T^{16} - 840 T^{15} + \cdots + 37\!\cdots\!21$$
$29$ $$(T^{8} - 1800 T^{7} + \cdots + 39\!\cdots\!32)^{2}$$
$31$ $$(T^{8} - 112 T^{7} + \cdots + 33\!\cdots\!68)^{2}$$
$37$ $$T^{16} + 17417984 T^{14} + \cdots + 36\!\cdots\!00$$
$41$ $$(T^{8} + 3072 T^{7} + \cdots - 16\!\cdots\!96)^{2}$$
$43$ $$T^{16} + 37879432 T^{14} + \cdots + 56\!\cdots\!96$$
$47$ $$(T^{8} - 4440 T^{7} + \cdots - 54\!\cdots\!12)^{2}$$
$53$ $$T^{16} + 44427608 T^{14} + \cdots + 58\!\cdots\!64$$
$59$ $$(T^{8} + 9120 T^{7} + \cdots - 23\!\cdots\!28)^{2}$$
$61$ $$T^{16} + 130838848 T^{14} + \cdots + 33\!\cdots\!04$$
$67$ $$T^{16} + 231747432 T^{14} + \cdots + 81\!\cdots\!76$$
$71$ $$(T^{8} + 15024 T^{7} + \cdots - 14\!\cdots\!36)^{2}$$
$73$ $$(T^{8} - 4768 T^{7} + \cdots - 11\!\cdots\!76)^{2}$$
$79$ $$T^{16} + 314445032 T^{14} + \cdots + 11\!\cdots\!84$$
$83$ $$T^{16} + 630785248 T^{14} + \cdots + 10\!\cdots\!56$$
$89$ $$T^{16} + 693317560 T^{14} + \cdots + 31\!\cdots\!84$$
$97$ $$T^{16} + 720094784 T^{14} + \cdots + 75\!\cdots\!24$$