# Properties

 Label 13.8.c.a Level $13$ Weight $8$ Character orbit 13.c Analytic conductor $4.061$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [13,8,Mod(3,13)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(13, base_ring=CyclotomicField(6))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([2]))

N = Newforms(chi, 8, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("13.3");

S:= CuspForms(chi, 8);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$13$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$8$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 13.c (of order $$3$$, degree $$2$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$4.06100533129$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Relative dimension: $$8$$ over $$\Q(\zeta_{3})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{16} - x^{15} + 796 x^{14} - 475 x^{13} + 449889 x^{12} - 92038 x^{11} + 116806037 x^{10} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$ x^16 - x^15 + 796*x^14 - 475*x^13 + 449889*x^12 - 92038*x^11 + 116806037*x^10 + 198490961*x^9 + 21546318357*x^8 + 32373621530*x^7 + 2116860322049*x^6 + 2147931692741*x^5 + 148294262896076*x^4 + 71847528967407*x^3 + 4924011367741489*x^2 - 2411116235274240*x + 113340278793830400 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{9}]$$ Coefficient ring index: $$2^{12}\cdot 3\cdot 13^{2}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{3}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_{2} - \beta_1 - 1) q^{2} + ( - \beta_{8} + \beta_{6} - 4 \beta_{2} - 4) q^{3} + (\beta_{5} + 2 \beta_{3} + 72 \beta_{2}) q^{4} + (\beta_{9} - 4 \beta_{3} + 4 \beta_1 + 23) q^{5} + (\beta_{12} + 5 \beta_{8} + \cdots - 41 \beta_{2}) q^{6}+ \cdots + ( - \beta_{13} + \beta_{12} + \cdots + 747 \beta_{2}) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b2 - b1 - 1) * q^2 + (-b8 + b6 - 4*b2 - 4) * q^3 + (b5 + 2*b3 + 72*b2) * q^4 + (b9 - 4*b3 + 4*b1 + 23) * q^5 + (b12 + 5*b8 - b7 - b5 - b3 - 41*b2) * q^6 + (b10 - 5*b8 + b5 + 3*b3 - 27*b2) * q^7 + (b14 + b13 - b11 - b9 + 8*b6 - 81*b3 + 81*b1 + 357) * q^8 + (-b13 + b12 - b10 + 12*b8 + 2*b7 + 4*b5 + 70*b3 + 747*b2) * q^9 $$q + ( - \beta_{2} - \beta_1 - 1) q^{2} + ( - \beta_{8} + \beta_{6} - 4 \beta_{2} - 4) q^{3} + (\beta_{5} + 2 \beta_{3} + 72 \beta_{2}) q^{4} + (\beta_{9} - 4 \beta_{3} + 4 \beta_1 + 23) q^{5} + (\beta_{12} + 5 \beta_{8} + \cdots - 41 \beta_{2}) q^{6}+ \cdots + ( - 4750 \beta_{15} - 1325 \beta_{14} + \cdots + 1732779) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b2 - b1 - 1) * q^2 + (-b8 + b6 - 4*b2 - 4) * q^3 + (b5 + 2*b3 + 72*b2) * q^4 + (b9 - 4*b3 + 4*b1 + 23) * q^5 + (b12 + 5*b8 - b7 - b5 - b3 - 41*b2) * q^6 + (b10 - 5*b8 + b5 + 3*b3 - 27*b2) * q^7 + (b14 + b13 - b11 - b9 + 8*b6 - 81*b3 + 81*b1 + 357) * q^8 + (-b13 + b12 - b10 + 12*b8 + 2*b7 + 4*b5 + 70*b3 + 747*b2) * q^9 + (2*b15 - b14 + 4*b9 - 13*b8 - 4*b7 + 13*b6 - 4*b5 - 4*b4 - 849*b2 - 91*b1 - 849) * q^10 + (-3*b15 - b14 - b12 - b11 - 3*b9 - 13*b8 + 3*b7 + 13*b6 + 12*b5 + 12*b4 + 634*b2 - 54*b1 + 634) * q^11 + (-2*b15 - b14 - b13 + 9*b11 + 2*b10 + 9*b9 - 92*b6 - 17*b4 + 137*b3 - 137*b1 - 935) * q^12 + (b15 + b14 - 7*b12 + b11 - 3*b10 + 11*b9 - 42*b8 - 8*b7 + 46*b6 - 17*b5 + 6*b4 + 19*b3 - 476*b2 + 64*b1 + 811) * q^13 + (6*b15 - 7*b11 - 6*b10 - 27*b9 + 51*b6 + 27*b4 - 71*b3 + 71*b1 + 891) * q^14 + (-3*b15 - 16*b12 - 16*b11 - 46*b9 + 46*b7 + 13*b5 + 13*b4 + 25*b2 - 161*b1 + 25) * q^15 + (b14 + 15*b12 + 15*b11 - 13*b9 + 156*b8 + 13*b7 - 156*b6 - 114*b5 - 114*b4 - 7595*b2 - 83*b1 - 7595) * q^16 + (b13 - 9*b12 + 6*b10 + 182*b8 - 51*b7 + 21*b5 + 213*b3 + 2898*b2) * q^17 + (-4*b15 + b14 + b13 + 8*b11 + 4*b10 + 68*b9 - 265*b6 + 156*b4 - 1161*b3 + 1161*b1 + 14115) * q^18 + (b13 + 15*b12 + 2*b10 - 283*b8 - 43*b7 - 103*b5 + 737*b3 - 8233*b2) * q^19 + (-b13 + 7*b12 - 6*b10 + 88*b8 + 37*b7 + 168*b5 + 703*b3 + 15239*b2) * q^20 + (5*b15 - 14*b14 - 14*b13 - 6*b11 - 5*b10 + 51*b9 + 364*b6 - 157*b4 + 955*b3 - 955*b1 - 17061) * q^21 + (14*b13 + 21*b12 + 10*b10 + 391*b8 + 19*b7 + 255*b5 - 2341*b3 + 9739*b2) * q^22 + (-18*b15 + 15*b14 - b12 - b11 + 29*b9 - 261*b8 - 29*b7 + 261*b6 - 123*b5 - 123*b4 - 9017*b2 - 1619*b1 - 9017) * q^23 + (28*b15 + 14*b14 - 14*b12 - 14*b11 - 26*b9 - 1604*b8 + 26*b7 + 1604*b6 + 366*b5 + 366*b4 + 27026*b2 + 2910*b1 + 27026) * q^24 + (21*b15 + 14*b14 + 14*b13 - 42*b11 - 21*b10 - 23*b9 - 882*b6 - 153*b4 + 823*b3 - 823*b1 + 4211) * q^25 + (-12*b15 - 15*b14 - b13 + 54*b12 + 6*b11 + 30*b10 + 46*b9 - 92*b8 - 86*b7 + 1173*b6 - 246*b5 + 102*b4 + 1917*b3 - 16177*b2 - 4398*b1 + 1420) * q^26 + (-69*b15 + 48*b11 + 69*b10 + 18*b9 - 973*b6 + 51*b4 - 3657*b3 + 3657*b1 + 22411) * q^27 + (38*b15 - b14 + 105*b12 + 105*b11 + 145*b9 + 1508*b8 - 145*b7 - 1508*b6 - 157*b5 - 157*b4 - 20663*b2 - 2353*b1 - 20663) * q^28 + (-3*b15 - 15*b14 - 111*b12 - 111*b11 - 71*b9 + 198*b8 + 71*b7 - 198*b6 - 318*b5 - 318*b4 - 27923*b2 + 2556*b1 - 27923) * q^29 + (-14*b13 + 58*b12 - 74*b10 + 3432*b8 + 122*b7 + 42*b5 + 1146*b3 + 33874*b2) * q^30 + (51*b15 - 15*b14 - 15*b13 - 63*b11 - 51*b10 - 273*b9 - 1464*b6 + 428*b4 - 8422*b3 + 8422*b1 + 3546) * q^31 + (-15*b13 - 183*b12 - 24*b10 - 3180*b8 + 323*b7 + 66*b5 + 14371*b3 - 12901*b2) * q^32 + (15*b13 - 63*b12 - 15*b10 + 52*b8 - 222*b7 - 210*b5 + 4860*b3 + 43336*b2) * q^33 + (-64*b15 + 76*b14 + 76*b13 + 132*b11 + 64*b10 - 256*b9 + 340*b6 + 92*b4 - 7975*b3 + 7975*b1 + 39151) * q^34 + (-77*b13 - 259*b12 - 36*b10 + 236*b8 + 7*b7 - 15*b5 - 7947*b3 - 2757*b2) * q^35 + (34*b15 - 91*b14 - 5*b12 - 5*b11 - 257*b9 - 960*b8 + 257*b7 + 960*b6 - 24*b5 - 24*b4 - 141917*b2 - 30597*b1 - 141917) * q^36 + (-67*b15 - 76*b14 + 204*b12 + 204*b11 + 304*b9 - 1420*b8 - 304*b7 + 1420*b6 - 1027*b5 - 1027*b4 - 47378*b2 + 1523*b1 - 47378) * q^37 + (-72*b15 - 76*b14 - 76*b13 - 133*b11 + 72*b10 - 313*b9 - 2471*b6 + 933*b4 + 17275*b3 - 17275*b1 + 151445) * q^38 + (59*b15 + 91*b14 + 15*b13 - 132*b12 - 133*b11 - 87*b10 - 721*b9 - 1611*b8 + 750*b7 + 2943*b6 + 560*b5 - 306*b4 + 16760*b3 + 141196*b2 - 17304*b1 + 29744) * q^39 + (292*b15 + b14 + b13 - 57*b11 - 292*b10 + 779*b9 + 1652*b6 - 310*b4 - 24489*b3 + 24489*b1 + 43649) * q^40 + (-192*b15 + 15*b14 - 41*b12 - 41*b11 + 599*b9 + 1542*b8 - 599*b7 - 1542*b6 + 471*b5 + 471*b4 - 47062*b2 - 5357*b1 - 47062) * q^41 + (44*b15 + 91*b14 + 174*b12 + 174*b11 + 894*b9 + 2029*b8 - 894*b7 - 2029*b6 + 2054*b5 + 2054*b4 + 191756*b2 + 33422*b1 + 191756) * q^42 + (75*b13 + 21*b12 + 353*b10 - 625*b8 + 789*b7 - 522*b5 - 9244*b3 - 47700*b2) * q^43 + (-258*b15 + 91*b14 + 91*b13 + 117*b11 + 258*b10 - 571*b9 - 484*b6 - 3729*b4 - 32147*b3 + 32147*b1 - 388379) * q^44 + (91*b13 + 573*b12 + 106*b10 + 2842*b8 - 612*b7 + 1327*b5 + 42187*b3 - 33144*b2) * q^45 + (-90*b13 + 183*b12 + 196*b10 - 1271*b8 + 477*b7 - 623*b5 + 24021*b3 + 321433*b2) * q^46 + (315*b15 - 168*b14 - 168*b13 - 664*b11 - 315*b10 + 246*b9 + 4950*b6 + 1875*b4 - 1569*b3 + 1569*b1 + 65767) * q^47 + (184*b13 + 944*b12 + 64*b10 + 1456*b8 - 1064*b7 - 4336*b5 - 65296*b3 - 565664*b2) * q^48 + (175*b15 + 259*b14 + 147*b12 + 147*b11 + 350*b9 + 364*b8 - 350*b7 - 364*b6 + 2870*b5 + 2870*b4 - 134149*b2 - 32088*b1 - 134149) * q^49 + (-144*b15 + 169*b14 - 832*b12 - 832*b11 - 728*b9 + 1357*b8 + 728*b7 - 1357*b6 - 1548*b5 - 1548*b4 + 201226*b2 + 25592*b1 + 201226) * q^50 + (14*b15 + 169*b14 + 169*b13 + 1145*b11 - 14*b10 + 1913*b9 + 2615*b6 - 2001*b4 + 9561*b3 - 9561*b1 + 500985) * q^51 + (-158*b15 - 259*b14 - 90*b13 + 161*b12 + 643*b11 - 92*b10 + 2023*b9 + 6400*b8 - 1141*b7 - 11216*b6 + 2915*b5 - 498*b4 + 37792*b3 + 654641*b2 - 56857*b1 + 254051) * q^52 + (-426*b15 - 16*b14 - 16*b13 - 224*b11 + 426*b10 - 2139*b9 - 524*b6 - 1026*b4 - 19030*b3 + 19030*b1 + 206853) * q^53 + (450*b15 - 90*b14 - 1135*b12 - 1135*b11 - 2635*b9 - 14285*b8 + 2635*b7 + 14285*b6 - 509*b5 - 509*b4 - 703381*b2 - 33773*b1 - 703381) * q^54 + (-266*b15 - 259*b14 + 477*b12 + 477*b11 - 2183*b9 - 6332*b8 + 2183*b7 + 6332*b6 + 3163*b5 + 3163*b4 - 54859*b2 + 5219*b1 - 54859) * q^55 + (-154*b13 - 1050*b12 - 708*b10 - 21668*b8 - 2458*b7 + 798*b5 + 35674*b3 + 434846*b2) * q^56 + (599*b15 - 260*b14 - 260*b13 + 260*b11 - 599*b10 + 3095*b9 + 7558*b6 + 1119*b4 - 39381*b3 + 39381*b1 - 764381) * q^57 + (-260*b13 - 246*b12 - 154*b10 + 17714*b8 - 274*b7 - 2274*b5 + 72637*b3 - 461191*b2) * q^58 + (244*b13 - 68*b12 - 429*b10 + 6125*b8 - 1334*b7 - 5577*b5 - 19123*b3 + 793803*b2) * q^59 + (-612*b15 - 78*b14 - 78*b13 + 1534*b11 + 612*b10 + 286*b9 - 27656*b6 - 1054*b4 + 1054*b3 - 1054*b1 + 103678) * q^60 + (-27*b13 - 1077*b12 - 195*b10 - 6438*b8 + 3393*b7 + 4460*b5 - 18482*b3 - 218871*b2) * q^61 + (-882*b15 - 182*b14 - 856*b12 - 856*b11 - 256*b9 + 12598*b8 + 256*b7 - 12598*b6 - 5892*b5 - 5892*b4 - 1613824*b2 - 42688*b1 - 1613824) * q^62 + (804*b15 + 63*b14 + 1183*b12 + 1183*b11 - 497*b9 + 38028*b8 + 497*b7 - 38028*b6 + 299*b5 + 299*b4 + 845825*b2 + 28295*b1 + 845825) * q^63 + (472*b15 + 63*b14 + 63*b13 - 1911*b11 - 472*b10 - 4035*b9 + 31004*b6 + 6802*b4 + 4749*b3 - 4749*b1 + 2002763) * q^64 + (291*b15 + 181*b14 + 245*b13 - 888*b12 - 1259*b11 + 948*b10 - 1578*b9 - 11542*b8 - 1483*b7 - 13948*b6 - 6237*b5 - 324*b4 + 771*b3 + 750144*b2 + 2342*b1 + 980299) * q^65 + (-504*b15 + 105*b14 + 105*b13 + 148*b11 + 504*b10 - 1112*b9 + 6931*b6 + 3632*b4 - 35816*b3 + 35816*b1 + 1008250) * q^66 + (-274*b15 + 245*b14 + 2277*b12 + 2277*b11 + 337*b9 - 2215*b8 - 337*b7 + 2215*b6 + 2651*b5 + 2651*b4 - 1081055*b2 + 28307*b1 - 1081055) * q^67 + (792*b15 + 180*b14 - 876*b12 - 876*b11 + 1844*b9 - 456*b8 - 1844*b7 + 456*b6 - 13023*b5 - 13023*b4 - 1265044*b2 - 16266*b1 - 1265044) * q^68 + (-154*b13 + 2914*b12 - 7*b10 - 4304*b8 - 1117*b7 - 2177*b5 - 19343*b3 + 576055*b2) * q^69 + (-356*b15 + 196*b14 + 196*b13 - 798*b11 + 356*b10 + 1070*b9 + 37742*b6 + 5238*b4 + 17974*b3 - 17974*b1 - 1602710) * q^70 + (196*b13 - 1428*b12 - 276*b10 + 1445*b8 + 490*b7 + 4104*b5 - 78184*b3 - 1172660*b2) * q^71 + (-91*b13 - 403*b12 - 388*b10 - 18028*b8 + 5863*b7 + 21582*b5 + 34275*b3 + 4389163*b2) * q^72 + (-407*b15 + 1119*b14 + 1119*b13 - 1665*b11 + 407*b10 + 1650*b9 + 14912*b6 - 4892*b4 - 60402*b3 + 60402*b1 + 297957) * q^73 + (-784*b13 - 590*b12 + 858*b10 - 36374*b8 - 598*b7 + 9702*b5 + 147761*b3 - 310963*b2) * q^74 + (953*b15 - 923*b14 + 2149*b12 + 2149*b11 + 5611*b9 - 4579*b8 - 5611*b7 + 4579*b6 + 2926*b5 + 2926*b4 - 2739052*b2 + 35356*b1 - 2739052) * q^75 + (-90*b15 - 1029*b14 + 405*b12 + 405*b11 + 3957*b9 - 9804*b8 - 3957*b7 + 9804*b6 + 18851*b5 + 18851*b4 + 2350901*b2 - 143573*b1 + 2350901) * q^76 + (-891*b15 - 1028*b14 - 1028*b13 - 1036*b11 + 891*b10 + 3249*b9 + 15260*b6 - 18531*b4 + 7433*b3 - 7433*b1 + 2193137) * q^77 + (-434*b15 + 938*b14 - 106*b13 + 3459*b12 + 616*b11 - 1180*b10 + 2056*b9 + 39383*b8 + 261*b7 - 30*b6 - 1959*b5 + 9756*b4 - 172371*b3 + 3303437*b2 + 243372*b1 + 3391372) * q^78 + (1998*b15 - 335*b14 - 335*b13 + 1809*b11 - 1998*b10 + 6869*b9 - 11802*b6 - 6329*b4 + 223857*b3 - 223857*b1 + 819897) * q^79 + (-960*b15 - 105*b14 + 2705*b12 + 2705*b11 + 6229*b9 + 22020*b8 - 6229*b7 - 22020*b6 - 12270*b5 - 12270*b4 - 3081573*b2 + 24691*b1 - 3081573) * q^80 + (-836*b15 + 953*b14 - 3727*b12 - 3727*b11 - 7171*b9 - 56046*b8 + 7171*b7 + 56046*b6 - 4963*b5 - 4963*b4 - 1179990*b2 - 69127*b1 - 1179990) * q^81 + (1288*b13 - 1080*b12 + 2380*b10 - 9116*b8 + 2780*b7 + 9240*b5 - 53121*b3 + 1173639*b2) * q^82 + (-1122*b15 + 848*b14 + 848*b13 - 1680*b11 + 1122*b10 - 12640*b9 - 60836*b6 + 30078*b4 + 109398*b3 - 109398*b1 - 1330378) * q^83 + (847*b13 + 679*b12 + 1066*b10 + 5312*b8 + 5405*b7 - 18591*b5 - 417879*b3 - 4636425*b2) * q^84 + (-1182*b13 - 498*b12 + 2192*b10 + 22316*b8 - 10689*b7 - 11778*b5 - 86206*b3 + 4630063*b2) * q^85 + (3846*b15 - 1610*b14 - 1610*b13 - 93*b11 - 3846*b10 - 6013*b9 + 17231*b6 - 10935*b4 + 192159*b3 - 192159*b1 - 1863871) * q^86 + (1260*b13 - 540*b12 - 1218*b10 + 70865*b8 - 8250*b7 + 8322*b5 + 264342*b3 - 651178*b2) * q^87 + (1868*b15 + 2458*b14 - 1770*b12 - 1770*b11 - 17350*b9 - 6244*b8 + 17350*b7 + 6244*b6 - 12282*b5 - 12282*b4 - 4652610*b2 + 588810*b1 - 4652610) * q^88 + (-4125*b15 + 1366*b14 - 1394*b12 - 1394*b11 - 3447*b9 - 3014*b8 + 3447*b7 + 3014*b6 - 15771*b5 - 15771*b4 + 2296539*b2 + 80779*b1 + 2296539) * q^89 + (-406*b15 + 1351*b14 + 1351*b13 + 3492*b11 + 406*b10 - 1332*b9 - 102883*b6 + 18728*b4 - 213563*b3 + 213563*b1 + 8293589) * q^90 + (-104*b15 - 2548*b14 - 1092*b13 - 2912*b12 + 1196*b11 - 2171*b10 - 11180*b9 - 47151*b8 + 12194*b7 + 31824*b6 - 17563*b5 - 17212*b4 - 25909*b3 + 2377141*b2 - 15964*b1 + 583544) * q^91 + (-354*b15 + 351*b14 + 351*b13 - 783*b11 + 354*b10 + 4297*b9 + 6276*b6 + 25131*b4 - 10727*b3 + 10727*b1 + 4004673) * q^92 + (2230*b15 - 1108*b14 - 9828*b12 - 9828*b11 + 4392*b9 - 9100*b8 - 4392*b7 + 9100*b6 + 18730*b5 + 18730*b4 - 3320678*b2 + 211390*b1 - 3320678) * q^93 + (-1734*b15 - 2638*b14 + 8460*b12 + 8460*b11 + 23104*b9 + 169686*b8 - 23104*b7 - 169686*b6 + 5504*b5 + 5504*b4 - 638464*b2 - 352248*b1 - 638464) * q^94 + (-1546*b13 - 7078*b12 - 3111*b10 + 78508*b8 + 20340*b7 - 10557*b5 - 89659*b3 + 2094075*b2) * q^95 + (2208*b15 - 2304*b14 - 2304*b13 + 7504*b11 - 2208*b10 - 944*b9 - 528*b6 - 47920*b4 + 772624*b3 - 772624*b1 - 10174096) * q^96 + (-2288*b13 + 1704*b12 - 15*b10 - 126930*b8 - 10489*b7 + 11125*b5 - 236945*b3 - 2495173*b2) * q^97 + (2639*b13 + 3276*b12 + 168*b10 - 24227*b8 - 336*b7 + 168*b5 - 211399*b3 + 6456059*b2) * q^98 + (-4750*b15 - 1325*b14 - 1325*b13 + 4867*b11 + 4750*b10 + 2587*b9 + 10860*b6 + 18397*b4 + 226139*b3 - 226139*b1 + 1732779) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q - 9 q^{2} - 28 q^{3} - 577 q^{4} + 384 q^{5} + 342 q^{6} + 196 q^{7} + 5922 q^{8} - 5988 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q - 9 * q^2 - 28 * q^3 - 577 * q^4 + 384 * q^5 + 342 * q^6 + 196 * q^7 + 5922 * q^8 - 5988 * q^9 $$16 q - 9 q^{2} - 28 q^{3} - 577 q^{4} + 384 q^{5} + 342 q^{6} + 196 q^{7} + 5922 q^{8} - 5988 q^{9} - 6813 q^{10} + 5052 q^{11} - 15816 q^{12} + 17064 q^{13} + 14484 q^{14} - 184 q^{15} - 61377 q^{16} - 22824 q^{17} + 226318 q^{18} + 63692 q^{19} - 121971 q^{20} - 271240 q^{21} - 73726 q^{22} - 72468 q^{23} + 224952 q^{24} + 58488 q^{25} + 154443 q^{26} + 358616 q^{27} - 172816 q^{28} - 221772 q^{29} - 258116 q^{30} + 58432 q^{31} + 77823 q^{32} - 352372 q^{33} + 643334 q^{34} + 31560 q^{35} - 1162993 q^{36} - 368884 q^{37} + 2364492 q^{38} - 672996 q^{39} + 766030 q^{40} - 385824 q^{41} + 1560954 q^{42} + 391492 q^{43} - 6149616 q^{44} + 232096 q^{45} - 2599078 q^{46} + 1089984 q^{47} + 4585712 q^{48} - 1108780 q^{49} + 1626894 q^{50} + 8040712 q^{51} - 1312478 q^{52} + 3329328 q^{53} - 5616702 q^{54} - 418216 q^{55} - 3609156 q^{56} - 12068664 q^{57} + 3685081 q^{58} - 6318924 q^{59} + 1448784 q^{60} + 1763548 q^{61} - 12998388 q^{62} + 6641128 q^{63} + 32227074 q^{64} + 9500508 q^{65} + 16245108 q^{66} - 8607964 q^{67} - 10118091 q^{68} - 4618492 q^{69} - 25381840 q^{70} + 9473220 q^{71} - 35174445 q^{72} + 5020888 q^{73} + 2206221 q^{74} - 21834988 q^{75} + 18702876 q^{76} + 35263992 q^{77} + 28395902 q^{78} + 12644416 q^{79} - 24671247 q^{80} - 9316272 q^{81} - 9347751 q^{82} - 22158432 q^{83} + 37532636 q^{84} - 36911824 q^{85} - 30103956 q^{86} + 5199988 q^{87} - 36676404 q^{88} + 18469860 q^{89} + 132263562 q^{90} - 9614540 q^{91} + 64127424 q^{92} - 26340696 q^{93} - 6026128 q^{94} - 16267080 q^{95} - 164216320 q^{96} + 19660916 q^{97} - 51546651 q^{98} + 27386736 q^{99}+O(q^{100})$$ 16 * q - 9 * q^2 - 28 * q^3 - 577 * q^4 + 384 * q^5 + 342 * q^6 + 196 * q^7 + 5922 * q^8 - 5988 * q^9 - 6813 * q^10 + 5052 * q^11 - 15816 * q^12 + 17064 * q^13 + 14484 * q^14 - 184 * q^15 - 61377 * q^16 - 22824 * q^17 + 226318 * q^18 + 63692 * q^19 - 121971 * q^20 - 271240 * q^21 - 73726 * q^22 - 72468 * q^23 + 224952 * q^24 + 58488 * q^25 + 154443 * q^26 + 358616 * q^27 - 172816 * q^28 - 221772 * q^29 - 258116 * q^30 + 58432 * q^31 + 77823 * q^32 - 352372 * q^33 + 643334 * q^34 + 31560 * q^35 - 1162993 * q^36 - 368884 * q^37 + 2364492 * q^38 - 672996 * q^39 + 766030 * q^40 - 385824 * q^41 + 1560954 * q^42 + 391492 * q^43 - 6149616 * q^44 + 232096 * q^45 - 2599078 * q^46 + 1089984 * q^47 + 4585712 * q^48 - 1108780 * q^49 + 1626894 * q^50 + 8040712 * q^51 - 1312478 * q^52 + 3329328 * q^53 - 5616702 * q^54 - 418216 * q^55 - 3609156 * q^56 - 12068664 * q^57 + 3685081 * q^58 - 6318924 * q^59 + 1448784 * q^60 + 1763548 * q^61 - 12998388 * q^62 + 6641128 * q^63 + 32227074 * q^64 + 9500508 * q^65 + 16245108 * q^66 - 8607964 * q^67 - 10118091 * q^68 - 4618492 * q^69 - 25381840 * q^70 + 9473220 * q^71 - 35174445 * q^72 + 5020888 * q^73 + 2206221 * q^74 - 21834988 * q^75 + 18702876 * q^76 + 35263992 * q^77 + 28395902 * q^78 + 12644416 * q^79 - 24671247 * q^80 - 9316272 * q^81 - 9347751 * q^82 - 22158432 * q^83 + 37532636 * q^84 - 36911824 * q^85 - 30103956 * q^86 + 5199988 * q^87 - 36676404 * q^88 + 18469860 * q^89 + 132263562 * q^90 - 9614540 * q^91 + 64127424 * q^92 - 26340696 * q^93 - 6026128 * q^94 - 16267080 * q^95 - 164216320 * q^96 + 19660916 * q^97 - 51546651 * q^98 + 27386736 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - x^{15} + 796 x^{14} - 475 x^{13} + 449889 x^{12} - 92038 x^{11} + 116806037 x^{10} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 29\!\cdots\!41 \nu^{15} + \cdots + 12\!\cdots\!60 ) / 25\!\cdots\!40$$ (2933322722477505131609978892248152654275987702364341*v^15 + 88398426188085090801737458175915095910195300257777483*v^14 + 2152003477740488514538670686001860162047451923536687820*v^13 + 68007267360417729372668527659676446901372771217912576041*v^12 + 1209278442744399709891939088425657676275698158372167179669*v^11 + 38462568964530893950932591599078042329666763372520367087170*v^10 + 296404766166626475589512194550357263109979528059496026441305*v^9 + 9942093674646495193008884252193609012495645756914578968211525*v^8 + 71972397397454606920066986524236211787283652735990353264462041*v^7 + 1765626552906397725861627100986561137658065412139625124321755490*v^6 + 6802634659562134873589035341417928910911322949327519076037545397*v^5 + 149070582637979740714898150351900194954926860130634723523583396169*v^4 + 435844567208319676530095247923942618791948174874688271327314692412*v^3 + 11591118797198086829540879830381743136515156522749640408241871957243*v^2 + 8816137466022630492011982135651556272095557028629317616917823476389*v + 122269899946184755338954184682409207698561627849462858053803186677760) / 254091247660894846870364427779463913394060206647952677736619881175040 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!48 \nu^{15} + \cdots - 57\!\cdots\!00 ) / 44\!\cdots\!55$$ (158703133532867055322348054291598171576942156848*v^15 - 317854428505208744965789924772835142967766986532*v^14 + 120594340201002530565682112630488071709842542983582*v^13 - 191821868654572460699341611691245470285864645408460*v^12 + 67303829308799277427567057586540080425067102578456156*v^11 - 80323197508934539870532260458601168064372671045127224*v^10 + 16264206427482065479303109821024170341820688178811893473*v^9 + 15239400604586579708520763862682306586963871288769358308*v^8 + 2903039287115564096544589643498440962777450876640951093020*v^7 + 1030777664494748647289057797402225960498466457637651224776*v^6 + 248085113499035591616618616553718479588102038119483960172126*v^5 + 1476375254057685946583886979193057392324073479347460298292*v^4 + 19775159183030977388309734312420276627011648482264082512340212*v^3 - 9778791155872959488301246495045539127044904561748217318145220*v^2 + 666275803572870240001271052157947130465822300380121206920206155*v - 577707293910347445084013019992666840745569422325964562927052800) / 441523103280858761382278045379684569259585267890820795110618955 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 15\!\cdots\!84 \nu^{15} + \cdots - 69\!\cdots\!45 ) / 44\!\cdots\!55$$ (159151294972341689643441870481236971390824829684*v^15 + 5733354091159645470906938585624072865403413867426*v^14 + 116437880226460609421226285902736338786817120905660*v^13 + 4094964733168749224348786210652729387511827423733716*v^12 + 65716478504836521832773990237711055548774068813151000*v^11 + 2273277659973944500760123935438254476527965740835397903*v^10 + 16261736884063527187652266210137188715186262865402892620*v^9 + 516428952237071600387852791027853352338453555380284565716*v^8 + 4107017516123341217522210263165865504973462202861398512664*v^7 + 87867252861534814239349385160862562451163294208417990569426*v^6 + 339407114998494407750859262682127172897117846803820704742076*v^5 + 3759605023523064408428421970916562124938488078178343803388236*v^4 + 21181219139593886467481516739733423082240172701000170191998356*v^3 + 115180230039162636285940676288127935404080031685342947234860517*v^2 + 195055592060356034559603006717932334751160753720574718553057280*v - 69875640152821247354147755271026714574314052681008791335502592845) / 441523103280858761382278045379684569259585267890820795110618955 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 58\!\cdots\!59 \nu^{15} + \cdots - 24\!\cdots\!40 ) / 25\!\cdots\!40$$ (-583731221773023521190385799557382378200921552770503859*v^15 - 17591286811428933069545754177007104086128864751297719117*v^14 - 428248692070357214393195466514370172247442932783800876180*v^13 - 13533446204723128145161037004275612933373181472364602632159*v^12 - 240646410106135542268495878596705877578863933516061268754131*v^11 - 7654051223941647896235585728216530423603685911131553050346830*v^10 - 58984548467158668642312926715521095358885926083839709261819695*v^9 - 1978476641254652543408767966186528193486633505626001214674093475*v^8 - 14322507082093466777093330318323006145669446894462080299627946159*v^7 - 351359684028373147446463793096325666393955017015785399740029342510*v^6 - 1353724297252864839844218032942167853271353266916176296131471534003*v^5 - 29665045944957968402264731920028138796030445165996309981193095837631*v^4 - 86733068874455615629488954336864581139597686800062965994135623789988*v^3 - 2052541392981524432208270658466502970772455941379225763503512638316317*v^2 - 1754411355738503467910384444994659698147015848697234205766646871801411*v - 24331710089290766312451882751799432332013763942043108752706834148874240) / 254091247660894846870364427779463913394060206647952677736619881175040 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 76\!\cdots\!37 \nu^{15} + \cdots - 58\!\cdots\!60 ) / 13\!\cdots\!40$$ (76628049107637600858319863881196293533147376303498040037*v^15 - 2154180967349290701725880408630586896289961347196800345074*v^14 + 73091252127111023137867213163871506563676141079708059642866*v^13 - 1549167820760998902770378812027022252697523024246571658260358*v^12 + 40554471867522874960039520773773111211566195116730731533631268*v^11 - 812100395003736055108005296429273549902924717894235648614397881*v^10 + 11584585854515621063012572635352881548413412101244361212924208364*v^9 - 153692060564727441897958417967356507885874087990950770449561642424*v^8 + 1336031673103319218308178087510271271110149498091344256069201053668*v^7 - 19849563207167097339597814637064144772560760914141793714145845653955*v^6 + 117929409622319230971330187816080873652928774140204696654021821468850*v^5 - 1219548939498780461761180916278962354755787226409584052273829676790832*v^4 + 3376962446103539761113290804534783795793113507975677699074262475894693*v^3 - 46397003853074092611596176035779049157901139406388908517294460640910911*v^2 + 143349126435630232959615403680866410534335876006017904328580748232181760*v - 583967807817130510261258331153383719477214315590089119260633255246447360) / 13218292763333623787881972362265001026332067187779676702535063785144640 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 10\!\cdots\!07 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!80 ) / 14\!\cdots\!60$$ (-105672389295166433357853134044162740434324914418730732868107*v^15 - 7422879295653298333828313387908794540370146914341346064667517*v^14 - 5355823765194154693598645974047112104878451466586094915837540*v^13 - 6223188900776841862535633271972661951166317737502860403023297419*v^12 + 7786733025742729469353187738601704683989378272231039972863864005*v^11 - 3483911354015642765562311178527864258580601600493761361277336417126*v^10 + 16052682829854968126570475436192800274760323543378117563537176959133*v^9 - 934187977508797785999325480432653148747261928702651002177857573760583*v^8 + 2098866035992820744534692542170334969696126967942040497992229198545873*v^7 - 141004993450535297458377243620503710077021836161098335437839865737648838*v^6 + 367301613801124977419007354833956544849393768689252295344412538644597633*v^5 - 12103649369815550931527683244894358720357428692704787178419721992053861611*v^4 + 22967954120414208604488877802514562913633563914200625499949135461832341812*v^3 - 557691439435247710338347315679488595995883346167121898731069495953035507725*v^2 + 1272175203783479752570675145516935803834882468557105977787097944620438308953*v - 11663097225193985227899882495611227049774616105704243515110520486788815124480) / 14857361065986993137579336935185861153597243519064356613649411694502575360 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 65\!\cdots\!33 \nu^{15} + \cdots - 13\!\cdots\!40 ) / 89\!\cdots\!60$$ (-652872982327501225579445261788574306897842892287938904448033*v^15 - 8082027082720199213886027547372112811577196782557350231189999*v^14 - 361176752058666091968090388169156847237416919047843205409075964*v^13 - 7449165031930171708534163692939071476744300906652106421362668221*v^12 - 180303969824719686802452212936752720311677304406269359308340971809*v^11 - 4253633645548769625839634146592604873552576037552209526272696851754*v^10 - 17359664144788422126168852911545157515728658920436484103023305305405*v^9 - 1309226544776940680110935454691203403416132804344658470011737555399097*v^8 - 3580122364382721524364589326023269111495463722494697839757732189605477*v^7 - 178117555031335556206121454441643803720286968133443874608774186794451658*v^6 - 43097277635402509203605904870624048052156285656306957802211144820032697*v^5 - 15081882537479347720994849103343786518700958926941482387701032271649676893*v^4 - 11013661496521435727707070094028172989570459699388137019029907322761836156*v^3 - 583901252900035118404932645032401262798044803388271782507398515070577620959*v^2 + 262849175816131089135280825223975768520301181944990398911442864403257246599*v - 13388597719696198526395374415457815154104411013188632690036136244789208483840) / 89144166395921958825476021611115166921583461114386139681896470167015452160 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 17\!\cdots\!03 \nu^{15} + \cdots - 64\!\cdots\!60 ) / 39\!\cdots\!20$$ (1732323319425340306190659643311210786631190691316382902503*v^15 - 25365537774687577756918170285827848036109691006600858177894*v^14 + 1448369884360966460388765257184809668383652115186953321179418*v^13 - 17957410237265551455273195443089766105413433502096100583373906*v^12 + 805724096792174877754795372580893345911275801262877020697110324*v^11 - 9351071219970958148070351746115263835681617669700922144999041919*v^10 + 210079908032668159919232335493977290080443009768453072207358743152*v^9 - 1606790046987890067680166847289814464689823703183285634007606111424*v^8 + 30214246817661347995655274296592454596282106765619951347321716960756*v^7 - 228302894957589943268332965834838324112105056680677753407369934543797*v^6 + 2623281800250750660773070395865459482098621395834344625406014751742938*v^5 - 13389212223778630468615891673515098779454795294035017086073000729564008*v^4 + 134185514187358037225982160878454553152440494539187726131961807356731287*v^3 - 562022791016052573080687137681448246840861950781782534141044787851869377*v^2 + 2777646238435846751047406612365880321599367797516660373883582304944568320*v - 64000234101400435784774034350720858401743925456313879266707056407349760) / 39654878290000871363645917086795003078996201563339030107605191355433920 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 69\!\cdots\!75 \nu^{15} + \cdots + 49\!\cdots\!60 ) / 13\!\cdots\!40$$ (-699668954693443647042938210881784730679462120406678660466575*v^15 + 1955723357368848968839828563546213081764409651558967450219519*v^14 - 703504691668882292260640447555146610154736679666814758812323332*v^13 + 1790575645959749716650622409534387138286720808173682636189159429*v^12 - 420493593759995084011532045328781922107314779375272251509323660623*v^11 + 860932248159718434191699269907940981964135349097537497514080049722*v^10 - 138244473238722677176918120060347061319949842240866199095987578775707*v^9 + 101761715986562461354052608393247868827359713656681236428191109081841*v^8 - 26745995970851818798679179611951343444830977731532657815657039753038747*v^7 - 18360081830348963184370686460333488192205287057155197974244826920396582*v^6 - 3168846085358489297381300947660226334049574879655100164875891990993787951*v^5 - 862865927892274199206461777131817780817332315600646489145129830476594011*v^4 - 192540783032374122988595207682771431696220569924436298949167093106481802324*v^3 - 11334508823441305573969693011746844974681586258530363707242003313923754769*v^2 - 6508107005495620595783792132887107672604028457514202614359445079344421803231*v + 4923375192788015857225758536031849749226073442607783896992428030072346920960) / 13714487137834147511611695632479256449474378632982483027984072333386992640 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 10\!\cdots\!77 \nu^{15} + \cdots - 14\!\cdots\!80 ) / 13\!\cdots\!40$$ (1005290093759718786198678977472975829769074320385950521677*v^15 - 23446196572417949104744906877618668970887271228048110253826*v^14 + 945554851595916387348277719837745043195580850034323497288967*v^13 - 16876938200395511051562924713899479622619602815241006259165814*v^12 + 525174521667934340393523710789751120756047127423394146914443806*v^11 - 8784962746421338513943099787545382055101652142406456361446300556*v^10 + 149280508021311229327277843013121065367117830971454921487552544923*v^9 - 1620986992765615662615282440136760183612914193244266330134897885246*v^8 + 18238349506503774985075073091409786455434455038820551594362652573054*v^7 - 199359518503689598446669972537019794049093763273295387194477209979308*v^6 + 1598719643925310547978669801581557662085876525303118093037396557576807*v^5 - 13025753247676522600204985741255408385450058703913335995114805436595542*v^4 + 46078765671352493902522844286355454118239087874610464482296078069642973*v^3 - 508993873647162343263461655108117366074823480304851673533348901279373218*v^2 + 1838386737792726454723263864170288721909162875768035109328477302045306880*v - 14697413483652666678241891445954131858426977691222551379342666659735281280) / 13218292763333623787881972362265001026332067187779676702535063785144640 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 14\!\cdots\!95 \nu^{15} + \cdots + 21\!\cdots\!40 ) / 17\!\cdots\!20$$ (14510605980559081861036086496319497047375623357206986025742295*v^15 + 119266360516292135492061134026314439830370514917469393898561593*v^14 + 7721761876020749724236463549498298191812268699624149008316265444*v^13 + 122000055389084610271922246183543254803209330427718668060230853059*v^12 + 3772126543196037332116468595289719854332151784413743751814906980503*v^11 + 70176534215647163328663118040490906665341627308904936630120398814422*v^10 + 251194832948578210783200971876367626223026859176544234790530462086371*v^9 + 23442782121257767519588765615476875569742293889700808474686784298512631*v^8 + 39139086819701763417945459380800802812980740534621588928727590024361539*v^7 + 2819328608061666121396028719783673563124974199592417163147931703084918582*v^6 - 4171610383234060474870115431865112526534006526785523036362929385499801705*v^5 + 238635822121816931282313770651478386876286246763377234796466770032688104995*v^4 - 17371516191473188668625901333314679082113871697695917973478526025223422348*v^3 + 6995923251330383539679217115134340976985170429847818155483733337060089353417*v^2 - 10985092040820948775540746467871098375999689278757786462456990093950872438009*v + 217910556697894092036806919124103038959834274786064118192534484547464107325440) / 178288332791843917650952043222230333843166922228772279363792940334030904320 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 49\!\cdots\!41 \nu^{15} + \cdots - 53\!\cdots\!00 ) / 59\!\cdots\!40$$ (4983945829018318087606796543922653841031061258729190833320941*v^15 - 26599905922130025315648277440997763087976895941509039416799677*v^14 + 4499136894626991132945084509707549476687290290765718940916180236*v^13 - 23927646940217682304723851946849408240210805530404682075718875807*v^12 + 2626292607842431288088235066488112859479541955068348406260076981037*v^11 - 12433919479915835930350581962595169904425012762171782992268556623054*v^10 + 781417334649849898189482140418816205517142839243512631632179245388865*v^9 - 2551483454045362936368638322448851415050789290504527076820908299020547*v^8 + 144122909240072980104935694911725544904091591359396950566652565662639217*v^7 - 255099642901222908279689015946037714582211282526302054337950774389123758*v^6 + 14756391278866808616879191937336999510124664087618796262972571152523469661*v^5 - 25792976846557181155511869226793253555483243792934536271310282775514565247*v^4 + 1034421744605668212412744351630967468748881742375492530027568267778874379612*v^3 - 328122037052300164574816362671753992391227300131726334179731595060549581197*v^2 + 36091285054355572514328853712362138028876924432114670728357391535946658980365*v - 53925441142939481988058979585978627697144772163139066492997421918327385446400) / 59429444263947972550317347740743444614388974076257426454597646778010301440 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 19\!\cdots\!29 \nu^{15} + \cdots - 13\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!20$$ (19724686389910362189847960382233697981979214018869900177189529*v^15 - 153964946361786120211319773053914889317750939673905279901657225*v^14 + 14286900682487523244719178343674839742226685657376093294646523724*v^13 - 90338688113491519254423979892395210068249088534651425322533709923*v^12 + 7608111446760760927437093257845180167889298634770184930391963403865*v^11 - 43682690176710514216362626916796067153919803802136541459553973981894*v^10 + 1576995764141507348523084391739757293442863041930354579358926842121933*v^9 - 2168614739877476267035785809696717293101115792584530202417780351037335*v^8 + 201818949068917121496692681373420242952589187918819548136549744240842893*v^7 - 562800460298391841108726806885245095005681410036837525332543398446704774*v^6 + 10234022916161276549390207971314470015601232324693734034721663770688330329*v^5 - 22162580821503032329784902929425782577743729393150991359297664011099004451*v^4 + 271605658471717432913186958648777272628765530333941592363577566197127858252*v^3 - 4580712454327436740155473774186341705528257842381388068251668903230794445257*v^2 - 55908610884533697827037707761937262955760902825461859480435378171044605093415*v - 138975457096359207268189092524314292192515602373326024097484188914579878707200) / 178288332791843917650952043222230333843166922228772279363792940334030904320 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 25\!\cdots\!17 \nu^{15} + \cdots - 96\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!20$$ (25173713799886685450824148289322348747697922931649576348523117*v^15 - 85937100927573366449903424367912632865808479296569145501930989*v^14 + 18140877428053937054851005027038581448114826763375091485261028796*v^13 - 49610206678518321493834818250868461426015117441697825104715983967*v^12 + 9757391266938394710483081847074247593441595357410047676587775844317*v^11 - 22332821982987550098765997729227453717461211380130542217343340974830*v^10 + 2055620428534706333478804184560768895205343165900723427393790501189777*v^9 + 1494959476275026875706981302438790246928988972310590341840662815226077*v^8 + 300646974028107807688484697458330991111404509944114564043307911016594433*v^7 - 155646518554709848191720134555901369312337162697233700708203704591723534*v^6 + 14286158363008708977427665864967127588102304510690921444131290739643669389*v^5 - 35423429190607010451948100811706928480240713304762892510637458748096349055*v^4 + 425161306603067414386093985315508256004084623602573290896008235214142528876*v^3 - 3173718552431710248750053264979725787796662332724869000123150003415122225245*v^2 - 33608089161392928981278928758520523104749342593007670857018282474953967210323*v - 96177370712821463360078444499847611146490687699911114708120354567999717376000) / 178288332791843917650952043222230333843166922228772279363792940334030904320
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{5} + 199\beta_{2}$$ b5 + 199*b2 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$-\beta_{14} - \beta_{13} + \beta_{11} + \beta_{9} - 8\beta_{6} + 3\beta_{4} + 334\beta_{3} - 334\beta _1 - 15$$ -b14 - b13 + b11 + b9 - 8*b6 + 3*b4 + 334*b3 - 334*b1 - 15 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$5 \beta_{14} + 11 \beta_{12} + 11 \beta_{11} - 17 \beta_{9} + 124 \beta_{8} + 17 \beta_{7} + \cdots - 66756$$ 5*b14 + 11*b12 + 11*b11 - 17*b9 + 124*b8 + 17*b7 - 124*b6 - 504*b5 - 504*b4 - 66756*b2 + 489*b1 - 66756 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$542 \beta_{13} + 630 \beta_{12} + 24 \beta_{10} + 6576 \beta_{8} - 910 \beta_{7} + \cdots + 84118 \beta_{2}$$ 542*b13 + 630*b12 + 24*b10 + 6576*b8 - 910*b7 + 2434*b5 - 136863*b3 + 84118*b2 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$616 \beta_{15} - 3774 \beta_{14} - 3774 \beta_{13} - 7546 \beta_{11} - 616 \beta_{10} + 9510 \beta_{9} + \cdots + 27466237$$ 616*b15 - 3774*b14 - 3774*b13 - 7546*b11 - 616*b10 + 9510*b9 + 89368*b6 + 234307*b4 + 477246*b3 - 477246*b1 + 27466237 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 8392 \beta_{15} + 258295 \beta_{14} - 324287 \beta_{12} - 324287 \beta_{11} - 527559 \beta_{9} + \cdots - 87425103$$ -8392*b15 + 258295*b14 - 324287*b12 - 324287*b11 - 527559*b9 - 3700344*b8 + 527559*b7 + 3700344*b6 - 1508125*b5 - 1508125*b4 - 87425103*b2 + 60384852*b1 - 87425103 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$2219595 \beta_{13} - 3865581 \beta_{12} + 496568 \beta_{10} - 47530580 \beta_{8} + \cdots + 12143482322 \beta_{2}$$ 2219595*b13 - 3865581*b12 + 496568*b10 - 47530580*b8 - 4550879*b7 + 108810370*b5 - 325176671*b3 + 12143482322*b2 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$2179728 \beta_{15} - 121169452 \beta_{14} - 121169452 \beta_{13} + 155690300 \beta_{11} + \cdots + 60937775228$$ 2179728*b15 - 121169452*b14 - 121169452*b13 + 155690300*b11 - 2179728*b10 + 269852620*b9 - 1840584416*b6 + 854140020*b4 + 27489898957*b3 - 27489898957*b1 + 60937775228 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$- 286467696 \beta_{15} + 1208461516 \beta_{14} + 1780323076 \beta_{12} + 1780323076 \beta_{11} + \cdots - 5531905738659$$ -286467696*b15 + 1208461516*b14 + 1780323076*b12 + 1780323076*b11 - 2226827740*b9 + 22485147568*b8 + 2226827740*b7 - 22485147568*b6 - 50834826325*b5 - 50834826325*b4 - 5531905738659*b2 + 193294870956*b1 - 5531905738659 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$56972432477 \beta_{13} + 72333241677 \beta_{12} + 604393968 \beta_{10} + 868403841640 \beta_{8} + \cdots + 36688056060797 \beta_{2}$$ 56972432477*b13 + 72333241677*b12 + 604393968*b10 + 868403841640*b8 - 131935272125*b7 + 463338792999*b5 - 12718575434602*b3 + 36688056060797*b2 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$146903709456 \beta_{15} - 636281294433 \beta_{14} - 636281294433 \beta_{13} - 777016867935 \beta_{11} + \cdots + 25\!\cdots\!40$$ 146903709456*b15 - 636281294433*b14 - 636281294433*b13 - 777016867935*b11 - 146903709456*b10 + 1128309273021*b9 + 10012125814700*b6 + 23880776070492*b4 + 107589638960517*b3 - 107589638960517*b1 + 2558987708703440 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 249537409896 \beta_{15} + 26911761090858 \beta_{14} - 33048714152786 \beta_{12} + \cdots - 20\!\cdots\!38$$ -249537409896*b15 + 26911761090858*b14 - 33048714152786*b12 - 33048714152786*b11 - 63329295290810*b9 - 399447864969104*b8 + 63329295290810*b7 + 399447864969104*b6 - 245113025396182*b5 - 245113025396182*b4 - 20597172828623538*b2 + 5941923958572171*b1 - 20597172828623538 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$328967591306026 \beta_{13} - 327829774832030 \beta_{12} + 71587381350424 \beta_{10} + \cdots + 11\!\cdots\!37 \beta_{2}$$ 328967591306026*b13 - 327829774832030*b12 + 71587381350424*b10 - 4295417647243208*b8 - 582093189600034*b7 + 11268750450828343*b5 - 57751565934107466*b3 + 1194790095982385337*b2 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$148314289835896 \beta_{15} + \cdots + 11\!\cdots\!07$$ 148314289835896*b15 - 12765021216522035*b14 - 12765021216522035*b13 + 14975544663861931*b11 - 148314289835896*b10 + 30167999669599459*b9 - 181452115398607832*b6 + 127552740341017633*b4 + 2794165051408866192*b3 - 2794165051408866192*b1 + 11126353563263888507

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$2$$ $$\chi(n)$$ $$\beta_{2}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
3.1
 10.3972 + 18.0085i 8.10170 + 14.0326i 4.62264 + 8.00665i 2.89297 + 5.01078i −3.54173 − 6.13445i −5.36984 − 9.30084i −5.55707 − 9.62513i −11.0459 − 19.1321i 10.3972 − 18.0085i 8.10170 − 14.0326i 4.62264 − 8.00665i 2.89297 − 5.01078i −3.54173 + 6.13445i −5.36984 + 9.30084i −5.55707 + 9.62513i −11.0459 + 19.1321i
−10.8972 18.8745i 33.9160 + 58.7442i −173.499 + 300.509i 157.804 739.180 1280.30i −421.054 + 729.287i 4772.94 −1207.09 + 2090.74i −1719.62 2978.47i
3.2 −8.60170 14.8986i −43.0086 74.4931i −83.9785 + 145.455i 289.904 −739.895 + 1281.54i 484.274 838.787i 687.398 −2605.99 + 4513.70i −2493.67 4319.16i
3.3 −5.12264 8.87268i −4.84859 8.39800i 11.5171 19.9481i −294.418 −49.6752 + 86.0399i −715.408 + 1239.12i −1547.39 1046.48 1812.56i 1508.20 + 2612.27i
3.4 −3.39297 5.87680i 15.0885 + 26.1340i 40.9755 70.9716i 93.2351 102.389 177.344i 809.227 1401.62i −1424.72 638.177 1105.35i −316.344 547.924i
3.5 3.04173 + 5.26843i −12.8141 22.1946i 45.4958 78.8010i 442.310 77.9538 135.020i −380.773 + 659.518i 1332.23 765.099 1325.19i 1345.39 + 2330.28i
3.6 4.86984 + 8.43482i −34.7632 60.2115i 16.5693 28.6988i −459.709 338.582 586.442i 430.545 745.725i 1569.44 −1323.45 + 2292.29i −2238.71 3877.56i
3.7 5.05707 + 8.75910i 35.2053 + 60.9774i 12.8521 22.2605i −163.930 −356.071 + 616.734i −123.469 + 213.855i 1554.59 −1385.33 + 2399.46i −829.005 1435.88i
3.8 10.5459 + 18.2660i −2.77530 4.80695i −158.432 + 274.412i 126.804 58.5360 101.387i 14.6580 25.3884i −3983.49 1078.10 1867.32i 1337.27 + 2316.22i
9.1 −10.8972 + 18.8745i 33.9160 58.7442i −173.499 300.509i 157.804 739.180 + 1280.30i −421.054 729.287i 4772.94 −1207.09 2090.74i −1719.62 + 2978.47i
9.2 −8.60170 + 14.8986i −43.0086 + 74.4931i −83.9785 145.455i 289.904 −739.895 1281.54i 484.274 + 838.787i 687.398 −2605.99 4513.70i −2493.67 + 4319.16i
9.3 −5.12264 + 8.87268i −4.84859 + 8.39800i 11.5171 + 19.9481i −294.418 −49.6752 86.0399i −715.408 1239.12i −1547.39 1046.48 + 1812.56i 1508.20 2612.27i
9.4 −3.39297 + 5.87680i 15.0885 26.1340i 40.9755 + 70.9716i 93.2351 102.389 + 177.344i 809.227 + 1401.62i −1424.72 638.177 + 1105.35i −316.344 + 547.924i
9.5 3.04173 5.26843i −12.8141 + 22.1946i 45.4958 + 78.8010i 442.310 77.9538 + 135.020i −380.773 659.518i 1332.23 765.099 + 1325.19i 1345.39 2330.28i
9.6 4.86984 8.43482i −34.7632 + 60.2115i 16.5693 + 28.6988i −459.709 338.582 + 586.442i 430.545 + 745.725i 1569.44 −1323.45 2292.29i −2238.71 + 3877.56i
9.7 5.05707 8.75910i 35.2053 60.9774i 12.8521 + 22.2605i −163.930 −356.071 616.734i −123.469 213.855i 1554.59 −1385.33 2399.46i −829.005 + 1435.88i
9.8 10.5459 18.2660i −2.77530 + 4.80695i −158.432 274.412i 126.804 58.5360 + 101.387i 14.6580 + 25.3884i −3983.49 1078.10 + 1867.32i 1337.27 2316.22i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 3.8 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
13.c even 3 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 13.8.c.a 16
3.b odd 2 1 117.8.g.d 16
4.b odd 2 1 208.8.i.d 16
13.c even 3 1 inner 13.8.c.a 16
13.c even 3 1 169.8.a.f 8
13.e even 6 1 169.8.a.e 8
13.f odd 12 2 169.8.b.e 16
39.i odd 6 1 117.8.g.d 16
52.j odd 6 1 208.8.i.d 16

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
13.8.c.a 16 1.a even 1 1 trivial
13.8.c.a 16 13.c even 3 1 inner
117.8.g.d 16 3.b odd 2 1
117.8.g.d 16 39.i odd 6 1
169.8.a.e 8 13.e even 6 1
169.8.a.f 8 13.c even 3 1
169.8.b.e 16 13.f odd 12 2
208.8.i.d 16 4.b odd 2 1
208.8.i.d 16 52.j odd 6 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{8}^{\mathrm{new}}(13, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16} + \cdots + 10\!\cdots\!04$$
$3$ $$T^{16} + \cdots + 14\!\cdots\!44$$
$5$ $$(T^{8} + \cdots - 53\!\cdots\!00)^{2}$$
$7$ $$T^{16} + \cdots + 80\!\cdots\!00$$
$11$ $$T^{16} + \cdots + 10\!\cdots\!56$$
$13$ $$T^{16} + \cdots + 24\!\cdots\!41$$
$17$ $$T^{16} + \cdots + 33\!\cdots\!89$$
$19$ $$T^{16} + \cdots + 50\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{16} + \cdots + 44\!\cdots\!24$$
$29$ $$T^{16} + \cdots + 25\!\cdots\!49$$
$31$ $$(T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!00)^{2}$$
$37$ $$T^{16} + \cdots + 85\!\cdots\!69$$
$41$ $$T^{16} + \cdots + 50\!\cdots\!25$$
$43$ $$T^{16} + \cdots + 66\!\cdots\!84$$
$47$ $$(T^{8} + \cdots - 26\!\cdots\!00)^{2}$$
$53$ $$(T^{8} + \cdots + 57\!\cdots\!00)^{2}$$
$59$ $$T^{16} + \cdots + 62\!\cdots\!44$$
$61$ $$T^{16} + \cdots + 15\!\cdots\!25$$
$67$ $$T^{16} + \cdots + 45\!\cdots\!44$$
$71$ $$T^{16} + \cdots + 29\!\cdots\!16$$
$73$ $$(T^{8} + \cdots - 72\!\cdots\!00)^{2}$$
$79$ $$(T^{8} + \cdots + 20\!\cdots\!00)^{2}$$
$83$ $$(T^{8} + \cdots + 92\!\cdots\!00)^{2}$$
$89$ $$T^{16} + \cdots + 16\!\cdots\!44$$
$97$ $$T^{16} + \cdots + 11\!\cdots\!44$$