# Properties

 Label 13.16.a.b Level $13$ Weight $16$ Character orbit 13.a Self dual yes Analytic conductor $18.550$ Analytic rank $0$ Dimension $8$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [13,16,Mod(1,13)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(13, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0]))

N = Newforms(chi, 16, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("13.1");

S:= CuspForms(chi, 16);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$13$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$16$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 13.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$18.5501556630$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$8$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{8} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{8} - x^{7} - 190031 x^{6} + 1830023 x^{5} + 9448447947 x^{4} - 41019276251 x^{3} + \cdots - 35\!\cdots\!40$$ x^8 - x^7 - 190031*x^6 + 1830023*x^5 + 9448447947*x^4 - 41019276251*x^3 - 83484823364573*x^2 - 3410302722139307*x - 35362729610318240 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: $$2^{11}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$+1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{7}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 + 5) q^{2} + ( - \beta_{4} - 6 \beta_1 + 966) q^{3} + (\beta_{2} - 23 \beta_1 + 14767) q^{4} + (\beta_{7} - 17 \beta_{4} + \cdots + 20194) q^{5}+ \cdots + ( - 58 \beta_{7} + 29 \beta_{6} + \cdots + 3088559) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 + 5) * q^2 + (-b4 - 6*b1 + 966) * q^3 + (b2 - 23*b1 + 14767) * q^4 + (b7 - 17*b4 - 2*b3 + b2 + 204*b1 + 20194) * q^5 + (-2*b7 - 2*b6 - 3*b5 - 12*b4 - 4*b3 + 6*b2 - 1181*b1 + 269537) * q^6 + (2*b7 + 8*b6 + 8*b5 - 367*b4 + 12*b3 + 18*b2 - 502*b1 + 90016) * q^7 + (10*b7 - 6*b6 + 20*b5 - 372*b4 + 85*b3 + 76*b2 - 25444*b1 + 1011497) * q^8 + (-58*b7 + 29*b6 - 8*b5 - 1659*b4 - 129*b3 - 197*b2 - 15235*b1 + 3088559) * q^9 $$q + ( - \beta_1 + 5) q^{2} + ( - \beta_{4} - 6 \beta_1 + 966) q^{3} + (\beta_{2} - 23 \beta_1 + 14767) q^{4} + (\beta_{7} - 17 \beta_{4} + \cdots + 20194) q^{5}+ \cdots + ( - 5116358386 \beta_{7} + \cdots + 270265408243034) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 + 5) * q^2 + (-b4 - 6*b1 + 966) * q^3 + (b2 - 23*b1 + 14767) * q^4 + (b7 - 17*b4 - 2*b3 + b2 + 204*b1 + 20194) * q^5 + (-2*b7 - 2*b6 - 3*b5 - 12*b4 - 4*b3 + 6*b2 - 1181*b1 + 269537) * q^6 + (2*b7 + 8*b6 + 8*b5 - 367*b4 + 12*b3 + 18*b2 - 502*b1 + 90016) * q^7 + (10*b7 - 6*b6 + 20*b5 - 372*b4 + 85*b3 + 76*b2 - 25444*b1 + 1011497) * q^8 + (-58*b7 + 29*b6 - 8*b5 - 1659*b4 - 129*b3 - 197*b2 - 15235*b1 + 3088559) * q^9 + (-53*b7 - 149*b6 - 309*b5 - 1710*b4 - 93*b3 - 452*b2 - 60788*b1 - 9933079) * q^10 + (93*b7 + 71*b6 + 456*b5 - 1346*b4 - 233*b3 - 316*b2 - 142729*b1 + 9396308) * q^11 + (721*b7 + 361*b6 + 242*b5 + 12726*b4 + 662*b3 + 1002*b2 - 455331*b1 + 25518351) * q^12 - 62748517 * q^13 + (-2420*b7 - 1780*b6 - 865*b5 + 38248*b4 + 74*b3 + 2574*b2 - 649415*b1 + 17238421) * q^14 + (1754*b7 + 3854*b6 - 1984*b5 + 49129*b4 - 1186*b3 + 1544*b2 - 533908*b1 + 238137510) * q^15 + (-3832*b7 - 2296*b6 + 5256*b5 + 116736*b4 + 1839*b3 + 11332*b2 - 3189542*b1 + 723910449) * q^16 + (3085*b7 - 4526*b6 - 2976*b5 - 165819*b4 + 2868*b3 - 12625*b2 + 1863622*b1 - 256583302) * q^17 + (655*b7 + 1807*b6 - 6917*b5 - 153494*b4 - 4369*b3 - 14556*b2 + 3141317*b1 + 702900976) * q^18 + (13658*b7 - 1960*b6 + 21608*b5 - 612448*b4 + 3756*b3 - 31798*b2 + 7908676*b1 + 476453794) * q^19 + (1811*b7 + 25115*b6 - 30234*b5 - 369534*b4 - 21648*b3 - 31856*b2 + 17685909*b1 + 2130502565) * q^20 + (-2182*b7 + 8501*b6 + 32104*b5 - 234715*b4 - 33137*b3 - 25017*b2 + 8735901*b1 + 5814753378) * q^21 + (-43558*b7 - 33094*b6 + 23944*b5 + 933628*b4 + 60798*b3 + 166796*b2 + 1479984*b1 + 6806691178) * q^22 + (-20695*b7 - 67191*b6 - 90704*b5 + 462162*b4 + 40757*b3 + 8666*b2 + 12022749*b1 + 3645854106) * q^23 + (-32686*b7 - 15934*b6 + 524*b5 + 3241276*b4 + 78341*b3 + 312056*b2 - 11649280*b1 + 13207912389) * q^24 + (170851*b7 + 163258*b6 + 9696*b5 + 2017959*b4 - 16032*b3 - 7027*b2 - 23872714*b1 + 20677081131) * q^25 + (62748517*b1 - 313742585) * q^26 + (-301057*b7 - 89965*b6 + 30832*b5 - 4698081*b4 - 738081*b3 - 1121030*b2 + 37422077*b1 + 17740536632) * q^27 + (485283*b7 + 182379*b6 + 590358*b5 + 2952066*b4 + 484398*b3 + 579680*b2 - 191536399*b1 + 28758337663) * q^28 + (60597*b7 + 27805*b6 - 98760*b5 - 6887314*b4 + 242081*b3 - 601526*b2 - 217737119*b1 + 29592491980) * q^29 + (-289570*b7 - 242914*b6 - 1219337*b5 + 4991220*b4 - 735296*b3 - 869238*b2 - 220891971*b1 + 27544909155) * q^30 + (-225357*b7 - 856491*b6 - 905800*b5 - 17206936*b4 + 1321677*b3 - 178984*b2 - 269566511*b1 - 25514521080) * q^31 + (207884*b7 + 686956*b6 + 2046768*b5 + 11501272*b4 + 819391*b3 + 3301812*b2 - 524451130*b1 + 124576583629) * q^32 + (-1221257*b7 + 178777*b6 + 702872*b5 - 24835040*b4 - 776895*b3 + 131720*b2 + 153638965*b1 + 69632569354) * q^33 + (-128647*b7 - 172903*b6 - 1022011*b5 - 3782650*b4 - 3062535*b3 - 1994452*b2 + 832128808*b1 - 93359935289) * q^34 + (1152086*b7 + 2703298*b6 + 1064960*b5 - 29563899*b4 + 1797874*b3 + 3445320*b2 + 1122363416*b1 - 28747965990) * q^35 + (1757075*b7 - 1090405*b6 - 2200794*b5 + 43872514*b4 + 796760*b3 + 227819*b2 + 476231352*b1 - 250337567086) * q^36 + (2261874*b7 - 1602951*b6 + 2032104*b5 + 43011777*b4 + 3363867*b3 + 5531267*b2 + 128796689*b1 - 100129923188) * q^37 + (-3960558*b7 - 3125614*b6 - 1438308*b5 + 65675788*b4 - 3635666*b3 - 5354476*b2 + 1192597224*b1 - 385600950126) * q^38 + (62748517*b4 + 376491102*b1 - 60615067422) * q^39 + (348722*b7 + 3762338*b6 - 1918388*b5 + 31578460*b4 - 8766465*b3 - 18666488*b2 + 1804967780*b1 - 512532871709) * q^40 + (412237*b7 + 3009775*b6 + 2566280*b5 - 115138924*b4 + 5142543*b3 + 1115684*b2 + 3833524131*b1 - 752974650672) * q^41 + (-2538453*b7 - 1985109*b6 + 1940755*b5 + 37939154*b4 + 6501635*b3 - 9358868*b2 - 4868377458*b1 - 390441049793) * q^42 + (-7394979*b7 - 2781795*b6 - 6618864*b5 - 96270141*b4 - 23103783*b3 - 14560270*b2 + 3039444599*b1 - 351392759936) * q^43 + (4520464*b7 + 4201232*b6 + 12032640*b5 - 12396640*b4 + 39826220*b3 + 39651786*b2 - 10023498910*b1 - 323249021814) * q^44 + (543909*b7 - 8930583*b6 - 12261496*b5 - 126522674*b4 + 15160997*b3 + 27630502*b2 - 3168191291*b1 - 614719206156) * q^45 + (14532652*b7 + 10627276*b6 + 4155564*b5 - 279614712*b4 - 11456004*b3 - 8630000*b2 - 4702448288*b1 - 545458058012) * q^46 + (984687*b7 - 2120351*b6 - 7969688*b5 + 49483659*b4 - 37955335*b3 + 17995072*b2 - 317807265*b1 + 1011000800938) * q^47 + (-11765928*b7 - 2684712*b6 + 20362344*b5 - 471277152*b4 + 21712083*b3 + 10300380*b2 - 11737519446*b1 - 147811837707) * q^48 + (25288370*b7 + 7634021*b6 + 31261624*b5 - 26728679*b4 - 26702241*b3 + 13490191*b2 + 8391385925*b1 + 293142999975) * q^49 + (-28187245*b7 - 23252365*b6 - 57671425*b5 + 596946050*b4 - 41847165*b3 - 23176940*b2 - 14880824565*b1 + 1279955246590) * q^50 + (-9981032*b7 + 12845272*b6 - 15562416*b5 + 529157859*b4 + 2640776*b3 - 33236064*b2 + 5691391642*b1 + 1607353042910) * q^51 + (-62748517*b2 + 1443215891*b1 - 926607350539) * q^52 + (-15093739*b7 - 6457985*b6 + 542536*b5 + 1160685212*b4 + 90728239*b3 + 47955900*b2 + 16150130323*b1 + 187040682484) * q^53 + (33333490*b7 + 28889938*b6 + 24761527*b5 - 1145973908*b4 + 21948476*b3 - 138675246*b2 + 16707916145*b1 - 1798808615405) * q^54 + (32173385*b7 - 17695267*b6 + 22007488*b5 + 785325712*b4 + 44631633*b3 - 133848802*b2 + 27235208877*b1 - 922326646366) * q^55 + (-20519814*b7 - 20107222*b6 + 24713100*b5 + 1363241644*b4 + 31355461*b3 + 240072080*b2 - 20002318480*b1 + 8760634536965) * q^56 + (-59070368*b7 + 64707082*b6 + 53014544*b5 - 461869538*b4 + 2702630*b3 - 128294982*b2 + 36573208554*b1 + 7430152543332) * q^57 + (-28472156*b7 - 13106300*b6 - 58695208*b5 + 410384216*b4 - 134261796*b3 + 184965784*b2 - 4382207886*b1 + 10346601605306) * q^58 + (54793887*b7 - 61176303*b6 - 5782744*b5 + 986317994*b4 - 15482775*b3 + 196771776*b2 + 35210869129*b1 + 4771978228464) * q^59 + (91826755*b7 - 22898549*b6 - 54712266*b5 - 5366486142*b4 - 159309862*b3 - 130968450*b2 + 9859601719*b1 + 2893067765861) * q^60 + (-48238095*b7 + 29573295*b6 - 141746552*b5 - 759858728*b4 + 119975175*b3 + 6513608*b2 + 1900061187*b1 + 5639428910764) * q^61 + (94654614*b7 + 80566966*b6 + 35896426*b5 - 2174907420*b4 - 268555738*b3 + 438958888*b2 + 22065600482*b1 + 12311401252416) * q^62 + (-95546655*b7 - 66044049*b6 + 13985896*b5 - 2963823658*b4 - 213610073*b3 - 495046240*b2 - 799979833*b1 + 5801883709644) * q^63 + (-61476124*b7 - 59646076*b6 + 123464768*b5 + 1656048680*b4 + 585506451*b3 + 664752756*b2 - 151305911530*b1 + 2129718012465) * q^64 + (-62748517*b7 + 1066724789*b4 + 125497034*b3 - 62748517*b2 - 12800697468*b1 - 1267143552298) * q^65 + (13796950*b7 + 31819126*b6 + 247733258*b5 - 1431523612*b4 + 411577214*b3 - 59457312*b2 - 103709921856*b1 - 7449013559934) * q^66 + (131867784*b7 + 68146686*b6 + 120900296*b5 + 6407543564*b4 - 187057206*b3 - 796332274*b2 - 78895952078*b1 - 3560189176978) * q^67 + (50974189*b7 + 203512293*b6 - 160016550*b5 - 264749570*b4 - 265535960*b3 - 1040799152*b2 + 101154156283*b1 - 31723258846909) * q^68 + (89267633*b7 + 3246269*b6 - 214696040*b5 + 2362335794*b4 + 279753513*b3 - 77370266*b2 - 105878879311*b1 - 7726028098174) * q^69 + (-529287746*b7 - 389996930*b6 - 501243469*b5 + 9741728180*b4 - 163150104*b3 - 1182019758*b2 - 22308692779*b1 - 53995425307053) * q^70 + (75458342*b7 + 116083008*b6 + 265055064*b5 + 5140646027*b4 - 295175812*b3 + 1820508158*b2 + 84260430278*b1 + 8671565963488) * q^71 + (152222880*b7 + 3053664*b6 - 156666520*b5 + 2719621600*b4 - 577216642*b3 - 203226260*b2 + 177512791528*b1 - 46052877696114) * q^72 + (40729831*b7 - 139520717*b6 + 332546632*b5 - 7314518066*b4 - 182776809*b3 - 21558014*b2 - 256194416593*b1 + 10543185118112) * q^73 + (-101618137*b7 - 146835801*b6 + 468171799*b5 + 6666388218*b4 + 439710095*b3 + 1164042764*b2 - 86795951492*b1 - 5636300878835) * q^74 + (546929868*b7 - 234148956*b6 - 500244432*b5 - 20359766868*b4 - 348199116*b3 + 2482620384*b2 + 77452587948*b1 - 2218022619552) * q^75 + (493761652*b7 + 853682644*b6 + 417704712*b5 + 3508688952*b4 + 773067156*b3 - 207962730*b2 + 229066650906*b1 - 72982642029838) * q^76 + (-590064957*b7 + 210437377*b6 - 111610184*b5 - 14223265788*b4 + 213088289*b3 + 1843265116*b2 - 29822557731*b1 + 34154656199422) * q^77 + (125497034*b7 + 125497034*b6 + 188245551*b5 + 752982204*b4 + 250994068*b3 - 376491102*b2 + 74105998577*b1 - 16913047026629) * q^78 + (-164802228*b7 - 4631208*b6 - 437068016*b5 + 883227208*b4 + 257218560*b3 + 507778516*b2 - 222137847808*b1 + 16713373441196) * q^79 + (-248742880*b7 - 865260064*b6 - 600941048*b5 + 12557834032*b4 - 942016875*b3 - 4005656156*b2 + 762537940334*b1 - 157713177303541) * q^80 + (-919394221*b7 - 285177481*b6 + 725612344*b5 - 56345328894*b4 - 159661941*b3 - 3635224430*b2 - 29507951893*b1 + 30673218354167) * q^81 + (-881873922*b7 - 535699362*b6 - 348704374*b5 + 16254343892*b4 - 422269290*b3 - 3344942000*b2 + 860849469918*b1 - 188142776877452) * q^82 + (1358368328*b7 + 427750638*b6 - 213176376*b5 + 19677998642*b4 + 1331927450*b3 - 810993250*b2 - 320625851738*b1 + 43668731746746) * q^83 + (177651227*b7 + 177293027*b6 + 281778550*b5 + 16020056626*b4 + 1205234992*b3 + 6939389382*b2 + 399466994931*b1 + 39547572978567) * q^84 + (254803223*b7 + 1053169388*b6 + 864643328*b5 + 48870509141*b4 - 1173741018*b3 - 448141629*b2 - 674423788816*b1 + 143994690910716) * q^85 + (1651976654*b7 + 971560686*b6 - 330598601*b5 - 54148306476*b4 + 393666368*b3 - 6754196566*b2 + 637212004417*b1 - 148522785528785) * q^86 + (-861708427*b7 - 624608227*b6 - 1218870512*b5 - 45347212540*b4 - 1940118807*b3 + 349933018*b2 - 134958130867*b1 + 184196043879422) * q^87 + (-907928620*b7 - 192687436*b6 + 1504984328*b5 + 43313693528*b4 + 43261086*b3 + 12519697544*b2 - 1115577173936*b1 + 252105158562238) * q^88 + (-53679662*b7 - 1717056994*b6 + 764112432*b5 + 19798611896*b4 + 2965876622*b3 - 4733601504*b2 - 564751700042*b1 - 35207524727770) * q^89 + (1280566120*b7 + 591983560*b6 + 91495320*b5 - 32355532240*b4 - 1527793640*b3 + 5917603840*b2 - 619119617730*b1 + 144904621599250) * q^90 + (-125497034*b7 - 501988136*b6 - 501988136*b5 + 23028705739*b4 - 752982204*b3 - 1129473306*b2 + 31499755534*b1 - 5648370506272) * q^91 + (-2280822036*b7 - 608432884*b6 - 2670525224*b5 + 19949056712*b4 - 5722196816*b3 + 166559888*b2 + 742900289764*b1 + 95580246079988) * q^92 + (-1324057039*b7 - 192855391*b6 - 3027324536*b5 + 90392503386*b4 + 533159893*b3 - 2863510230*b2 - 845137078419*b1 + 283348443273474) * q^93 + (1986936924*b7 + 175640700*b6 - 1843330405*b5 - 72770451064*b4 + 2339294850*b3 - 4378980122*b2 - 2135521667211*b1 + 20987559480257) * q^94 + (4094184388*b7 + 4718399552*b6 + 7346694032*b5 + 139031440402*b4 + 303223976*b3 - 483573420*b2 + 1406037783620*b1 + 376846785485768) * q^95 + (-371893588*b7 + 157242380*b6 + 5748171152*b5 - 71822076968*b4 + 2702737499*b3 + 9981448676*b2 - 277235373682*b1 + 115063380163473) * q^96 + (328906363*b7 - 1033840865*b6 - 2172340280*b5 + 82858087102*b4 + 4744569219*b3 + 10039210722*b2 - 1075200745685*b1 + 299775499569864) * q^97 + (-4106726709*b7 - 4464943413*b6 - 2325233633*b5 + 70696351762*b4 + 3337133499*b3 - 7976690940*b2 - 421996080051*b1 - 396991767464324) * q^98 + (-5116358386*b7 - 199678576*b6 - 188528936*b5 - 194535541554*b4 - 836520036*b3 - 15181410842*b2 + 1149900180920*b1 + 270265408243034) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$8 q + 39 q^{2} + 7721 q^{3} + 118109 q^{4} + 161733 q^{5} + 2155075 q^{6} + 719199 q^{7} + 8065941 q^{8} + 24692237 q^{9}+O(q^{10})$$ 8 * q + 39 * q^2 + 7721 * q^3 + 118109 * q^4 + 161733 * q^5 + 2155075 * q^6 + 719199 * q^7 + 8065941 * q^8 + 24692237 * q^9 $$8 q + 39 q^{2} + 7721 q^{3} + 118109 q^{4} + 161733 q^{5} + 2155075 q^{6} + 719199 q^{7} + 8065941 q^{8} + 24692237 q^{9} - 79525415 q^{10} + 75027420 q^{11} + 203700857 q^{12} - 501988136 q^{13} + 137285979 q^{14} + 1904607939 q^{15} + 5788167297 q^{16} - 2050915245 q^{17} + 5626249486 q^{18} + 3819057528 q^{19} + 17061442671 q^{20} + 46526595141 q^{21} + 54455336650 q^{22} + 29179323852 q^{23} + 105653721225 q^{24} + 165394806369 q^{25} - 2447192163 q^{26} + 141960763091 q^{27} + 229876282649 q^{28} + 236517959592 q^{29} + 220146114145 q^{30} - 204400904474 q^{31} + 996087331317 q^{32} + 557188054982 q^{33} - 746046220881 q^{34} - 228902911809 q^{35} - 2002180547338 q^{36} - 800886338239 q^{37} - 3083531545758 q^{38} - 484481299757 q^{39} - 4098360527945 q^{40} - 6020078140362 q^{41} - 3128314899541 q^{42} - 2808163767733 q^{43} - 2596146850986 q^{44} - 4921143724224 q^{45} - 4368623463100 q^{46} + 8087628148275 q^{47} - 1194722987691 q^{48} + 2353427994041 q^{49} + 10225408954800 q^{50} + 12865180477813 q^{51} - 7411164594353 q^{52} + 1513535180046 q^{53} - 14374330331543 q^{54} - 7350012609498 q^{55} + 70065508286025 q^{56} + 59477847568230 q^{57} + 82767966893846 q^{58} + 38211220444956 q^{59} + 23149399806403 q^{60} + 45116665409314 q^{61} + 98509076321100 q^{62} + 46413072448548 q^{63} + 16886020732297 q^{64} - 10148505899961 q^{65} - 59696600518478 q^{66} - 28551003552448 q^{67} - 253681283707911 q^{68} - 61911152094332 q^{69} - 431971404492095 q^{70} + 69454351575765 q^{71} - 368242553467386 q^{72} + 84081875465484 q^{73} - 45174753054915 q^{74} - 17697366815988 q^{75} - 583626955980770 q^{76} + 273186043799682 q^{77} - 135227760273775 q^{78} + 133483959013464 q^{79} - 12\!\cdots\!13 q^{80}+ \cdots + 21\!\cdots\!70 q^{99}+O(q^{100})$$ 8 * q + 39 * q^2 + 7721 * q^3 + 118109 * q^4 + 161733 * q^5 + 2155075 * q^6 + 719199 * q^7 + 8065941 * q^8 + 24692237 * q^9 - 79525415 * q^10 + 75027420 * q^11 + 203700857 * q^12 - 501988136 * q^13 + 137285979 * q^14 + 1904607939 * q^15 + 5788167297 * q^16 - 2050915245 * q^17 + 5626249486 * q^18 + 3819057528 * q^19 + 17061442671 * q^20 + 46526595141 * q^21 + 54455336650 * q^22 + 29179323852 * q^23 + 105653721225 * q^24 + 165394806369 * q^25 - 2447192163 * q^26 + 141960763091 * q^27 + 229876282649 * q^28 + 236517959592 * q^29 + 220146114145 * q^30 - 204400904474 * q^31 + 996087331317 * q^32 + 557188054982 * q^33 - 746046220881 * q^34 - 228902911809 * q^35 - 2002180547338 * q^36 - 800886338239 * q^37 - 3083531545758 * q^38 - 484481299757 * q^39 - 4098360527945 * q^40 - 6020078140362 * q^41 - 3128314899541 * q^42 - 2808163767733 * q^43 - 2596146850986 * q^44 - 4921143724224 * q^45 - 4368623463100 * q^46 + 8087628148275 * q^47 - 1194722987691 * q^48 + 2353427994041 * q^49 + 10225408954800 * q^50 + 12865180477813 * q^51 - 7411164594353 * q^52 + 1513535180046 * q^53 - 14374330331543 * q^54 - 7350012609498 * q^55 + 70065508286025 * q^56 + 59477847568230 * q^57 + 82767966893846 * q^58 + 38211220444956 * q^59 + 23149399806403 * q^60 + 45116665409314 * q^61 + 98509076321100 * q^62 + 46413072448548 * q^63 + 16886020732297 * q^64 - 10148505899961 * q^65 - 59696600518478 * q^66 - 28551003552448 * q^67 - 253681283707911 * q^68 - 61911152094332 * q^69 - 431971404492095 * q^70 + 69454351575765 * q^71 - 368242553467386 * q^72 + 84081875465484 * q^73 - 45174753054915 * q^74 - 17697366815988 * q^75 - 583626955980770 * q^76 + 273186043799682 * q^77 - 135227760273775 * q^78 + 133483959013464 * q^79 - 1260915242046213 * q^80 + 245314274788328 * q^81 - 1504252153707096 * q^82 + 349053482021322 * q^83 + 316769518557557 * q^84 + 1151332592831551 * q^85 - 1187571810079707 * q^86 + 1473384705841090 * q^87 + 2015718969488406 * q^88 - 282183250627668 * q^89 + 1158560299435030 * q^90 - 45128670677883 * q^91 + 765398429550012 * q^92 + 2266044788813572 * q^93 + 165712038939119 * q^94 + 3016321590627822 * q^95 + 920120760799929 * q^96 + 2397176241626660 * q^97 - 3176250195545622 * q^98 + 2163138519706970 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{8} - x^{7} - 190031 x^{6} + 1830023 x^{5} + 9448447947 x^{4} - 41019276251 x^{3} + \cdots - 35\!\cdots\!40$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$\nu^{2} + 13\nu - 47510$$ v^2 + 13*v - 47510 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 196412982119 \nu^{7} + \cdots - 52\!\cdots\!80 ) / 82\!\cdots\!88$$ (196412982119*v^7 + 1962615372091924*v^6 - 108747228338714565*v^5 - 359180751247108253808*v^4 + 13831364335797738494973*v^3 + 15677038592086072646879612*v^2 - 335340629596314537301855135*v - 52460169225145061497794120480) / 823100842054268040665088 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 254837805504061 \nu^{7} + \cdots + 32\!\cdots\!24 ) / 13\!\cdots\!08$$ (-254837805504061*v^7 + 8773335474401124*v^6 + 48118763065350877927*v^5 - 2047369347246090530352*v^4 - 2332882586158911836342223*v^3 + 85115383045030177493388908*v^2 + 17991047590007984593216399141*v + 325648565193638800109852745824) / 13169613472868288650641408 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 118943434869293 \nu^{7} + \cdots + 11\!\cdots\!68 ) / 16\!\cdots\!76$$ (118943434869293*v^7 - 9259100823733956*v^6 - 22691805441851493719*v^5 + 1986421542609692793840*v^4 + 1091117851211133392624607*v^3 - 92563048135585128807216844*v^2 - 6629481851243093206570599605*v + 115905473011969097993608446368) / 1646201684108536081330176 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 41\!\cdots\!87 \nu^{7} + \cdots - 10\!\cdots\!52 ) / 13\!\cdots\!08$$ (4130531586990187*v^7 - 22399488881145308*v^6 - 793753399576466792369*v^5 + 10280777147935054830864*v^4 + 40460722217994870913844649*v^3 - 301050520097901314785054868*v^2 - 400648768294167782465370438243*v - 10541265190821082183457894856352) / 13169613472868288650641408 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( - 89\!\cdots\!29 \nu^{7} + \cdots + 14\!\cdots\!20 ) / 13\!\cdots\!08$$ (-8931454536033829*v^7 + 194158308894276260*v^6 + 1691624456408861663807*v^5 - 52927835940941897014128*v^4 - 83162711390648053345998087*v^3 + 2254258816677541434053964140*v^2 + 698972958080774416826582025453*v + 14061214585461204277211179642720) / 13169613472868288650641408
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{2} - 13\beta _1 + 47510$$ b2 - 13*b1 + 47510 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$-10\beta_{7} + 6\beta_{6} - 20\beta_{5} + 372\beta_{4} - 85\beta_{3} - 61\beta_{2} + 90710\beta _1 - 626402$$ -10*b7 + 6*b6 - 20*b5 + 372*b4 - 85*b3 - 61*b2 + 90710*b1 - 626402 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- 4032 \beta_{7} - 2176 \beta_{6} + 4856 \beta_{5} + 124176 \beta_{4} + 139 \beta_{3} + \cdots + 4303394100$$ -4032*b7 - 2176*b6 + 4856*b5 + 124176*b4 + 139*b3 + 108266*b2 - 3633884*b1 + 4303394100 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 1616904 \beta_{7} + 43576 \beta_{6} - 4541808 \beta_{5} + 40268912 \beta_{4} - 11935786 \beta_{3} + \cdots - 176198220388$$ -1616904*b7 + 43576*b6 - 4541808*b5 + 40268912*b4 - 11935786*b3 - 10540134*b2 + 9114612243*b1 - 176198220388 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 736331124 \beta_{7} - 433684436 \beta_{6} + 846482568 \beta_{5} + 21944506280 \beta_{4} + \cdots + 432458845229842$$ -736331124*b7 - 433684436*b6 + 846482568*b5 + 21944506280*b4 + 528470006*b3 + 11828098407*b2 - 621117040963*b1 + 432458845229842 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 206718470490 \beta_{7} - 44146729418 \beta_{6} - 684372873876 \beta_{5} + 3904368416948 \beta_{4} + \cdots - 30\!\cdots\!38$$ -206718470490*b7 - 44146729418*b6 - 684372873876*b5 + 3904368416948*b4 - 1458529191391*b3 - 1560387021211*b2 + 964704860924984*b1 - 30074691289289638

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 321.281 262.549 132.292 −17.7136 −30.7395 −66.2217 −252.803 −347.643
−316.281 −3494.95 67265.4 68758.4 1.10538e6 −2.07774e6 −1.09108e7 −2.13426e6 −2.17469e7
1.2 −257.549 2729.54 33563.3 309705. −702989. 3.79395e6 −204823. −6.89851e6 −7.97641e7
1.3 −127.292 1455.66 −16564.8 −180021. −185293. 148892. 6.27966e6 −1.22300e7 2.29152e7
1.4 22.7136 −2447.20 −32252.1 226424. −55584.8 −3.54342e6 −1.47684e6 −8.36010e6 5.14290e6
1.5 35.7395 7402.21 −31490.7 −84298.2 264551. 1.89011e6 −2.29657e6 4.04438e7 −3.01277e6
1.6 71.2217 −5204.44 −27695.5 −315056. −370669. −872980. −4.30631e6 1.27373e7 −2.24388e7
1.7 257.803 4930.69 33694.3 302173. 1.27115e6 −680487. 238799. 9.96284e6 7.79011e7
1.8 352.643 2349.49 91589.2 −165953. 828530. 2.06088e6 2.07429e7 −8.82882e6 −5.85220e7
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.8 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$13$$ $$+1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 13.16.a.b 8
3.b odd 2 1 117.16.a.e 8

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
13.16.a.b 8 1.a even 1 1 trivial
117.16.a.e 8 3.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{8} - 39 T_{2}^{7} - 189366 T_{2}^{6} + 3864432 T_{2}^{5} + 9422976272 T_{2}^{4} + \cdots - 54\!\cdots\!00$$ acting on $$S_{16}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(13))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{8} + \cdots - 54\!\cdots\!00$$
$3$ $$T^{8} + \cdots - 15\!\cdots\!92$$
$5$ $$T^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{8} + \cdots + 96\!\cdots\!32$$
$11$ $$T^{8} + \cdots - 17\!\cdots\!48$$
$13$ $$(T + 62748517)^{8}$$
$17$ $$T^{8} + \cdots - 21\!\cdots\!84$$
$19$ $$T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!20$$
$23$ $$T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!08$$
$29$ $$T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!40$$
$31$ $$T^{8} + \cdots - 19\!\cdots\!04$$
$37$ $$T^{8} + \cdots + 13\!\cdots\!56$$
$41$ $$T^{8} + \cdots + 14\!\cdots\!64$$
$43$ $$T^{8} + \cdots - 24\!\cdots\!84$$
$47$ $$T^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!20$$
$53$ $$T^{8} + \cdots + 17\!\cdots\!08$$
$59$ $$T^{8} + \cdots + 12\!\cdots\!20$$
$61$ $$T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!68$$
$67$ $$T^{8} + \cdots + 12\!\cdots\!76$$
$71$ $$T^{8} + \cdots - 82\!\cdots\!52$$
$73$ $$T^{8} + \cdots + 71\!\cdots\!24$$
$79$ $$T^{8} + \cdots - 17\!\cdots\!20$$
$83$ $$T^{8} + \cdots - 81\!\cdots\!84$$
$89$ $$T^{8} + \cdots + 76\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{8} + \cdots - 62\!\cdots\!60$$