# Properties

 Label 13.16.a.a Level $13$ Weight $16$ Character orbit 13.a Self dual yes Analytic conductor $18.550$ Analytic rank $1$ Dimension $7$ CM no Inner twists $1$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [13,16,Mod(1,13)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(13, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([0]))

N = Newforms(chi, 16, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("13.1");

S:= CuspForms(chi, 16);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$13$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$16$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 13.a (trivial)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: yes Analytic conductor: $$18.5501556630$$ Analytic rank: $$1$$ Dimension: $$7$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{7} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{7} - 2 x^{6} - 172505 x^{5} + 9594016 x^{4} + 7133274223 x^{3} - 680104282298 x^{2} + \cdots + 23\!\cdots\!32$$ x^7 - 2*x^6 - 172505*x^5 + 9594016*x^4 + 7133274223*x^3 - 680104282298*x^2 - 31010911692567*x + 2307108268997532 Coefficient ring: $$\Z[a_1, a_2, a_3]$$ Coefficient ring index: $$2^{8}\cdot 3^{2}\cdot 5$$ Twist minimal: yes Fricke sign: $$-1$$ Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{6}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_1 - 49) q^{2} + (\beta_{4} + 7 \beta_1 - 149) q^{3} + (\beta_{4} + \beta_{3} + 17 \beta_1 + 18944) q^{4} + (\beta_{6} - \beta_{5} - 13 \beta_{4} + \cdots - 24149) q^{5}+ \cdots + (71 \beta_{6} - 453 \beta_{5} + \cdots + 6742948) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b1 - 49) * q^2 + (b4 + 7*b1 - 149) * q^3 + (b4 + b3 + 17*b1 + 18944) * q^4 + (b6 - b5 - 13*b4 - 2*b3 - b2 - 218*b1 - 24149) * q^5 + (-5*b6 + 8*b5 - 74*b4 - 18*b3 + 9*b2 - 127*b1 - 355258) * q^6 + (-14*b6 - 24*b5 - 161*b4 - 16*b3 - 26*b2 + 5549*b1 - 527985) * q^7 + (48*b6 + 130*b5 - 1111*b4 - 50*b3 + 47*b2 - 19024*b1 - 165434) * q^8 + (71*b6 - 453*b5 - 1631*b4 + 85*b3 + 26*b2 + 10725*b1 + 6742948) * q^9 $$q + ( - \beta_1 - 49) q^{2} + (\beta_{4} + 7 \beta_1 - 149) q^{3} + (\beta_{4} + \beta_{3} + 17 \beta_1 + 18944) q^{4} + (\beta_{6} - \beta_{5} - 13 \beta_{4} + \cdots - 24149) q^{5}+ \cdots + ( - 1433702926 \beta_{6} + \cdots - 618683833154858) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b1 - 49) * q^2 + (b4 + 7*b1 - 149) * q^3 + (b4 + b3 + 17*b1 + 18944) * q^4 + (b6 - b5 - 13*b4 - 2*b3 - b2 - 218*b1 - 24149) * q^5 + (-5*b6 + 8*b5 - 74*b4 - 18*b3 + 9*b2 - 127*b1 - 355258) * q^6 + (-14*b6 - 24*b5 - 161*b4 - 16*b3 - 26*b2 + 5549*b1 - 527985) * q^7 + (48*b6 + 130*b5 - 1111*b4 - 50*b3 + 47*b2 - 19024*b1 - 165434) * q^8 + (71*b6 - 453*b5 - 1631*b4 + 85*b3 + 26*b2 + 10725*b1 + 6742948) * q^9 + (-77*b6 + 22*b5 - 512*b4 + 687*b3 - 442*b2 + 91768*b1 + 12115536) * q^10 + (-162*b6 + 3026*b5 + 1778*b4 + 187*b3 + 635*b2 + 138001*b1 - 12562204) * q^11 + (-578*b6 - 5696*b5 + 12325*b4 + 109*b3 - 286*b2 + 755957*b1 + 29727126) * q^12 + 62748517 * q^13 + (2121*b6 + 3424*b5 + 40138*b4 - 9370*b3 + 3679*b2 + 1116839*b1 - 245213534) * q^14 + (2060*b6 + 26752*b5 + 17237*b4 - 6636*b3 + 3936*b2 - 280265*b1 - 327909089) * q^15 + (-1888*b6 - 39222*b5 + 16815*b4 + 19784*b3 - 34021*b2 + 1662450*b1 + 343893934) * q^16 + (-5035*b6 - 51061*b5 - 2837*b4 - 1906*b3 + 20995*b2 + 3031210*b1 - 289811481) * q^17 + (1337*b6 + 69786*b5 - 182696*b4 + 19777*b3 - 8506*b2 - 7627887*b1 - 829957403) * q^18 + (-15514*b6 - 9392*b5 - 255506*b4 + 17134*b3 + 59940*b2 - 4901120*b1 - 1198185268) * q^19 + (34894*b6 + 168460*b5 - 467199*b4 - 73689*b3 + 78540*b2 - 26848773*b1 - 4312678838) * q^20 + (-31647*b6 + 59241*b5 - 461965*b4 + 184401*b3 - 158256*b2 - 21415387*b1 - 1050705019) * q^21 + (11370*b6 - 544472*b5 + 599660*b4 - 130632*b3 - 95966*b2 + 10512738*b1 - 6213527756) * q^22 + (6356*b6 - 158518*b5 + 594384*b4 + 16965*b3 - 83421*b2 + 1940141*b1 - 8348995112) * q^23 + (110124*b6 + 753330*b5 + 1979241*b4 - 630186*b3 + 312603*b2 - 13768104*b1 - 27296937726) * q^24 + (-115549*b6 - 587203*b5 + 1534541*b4 + 290958*b3 - 116519*b2 + 58413818*b1 - 5774467406) * q^25 + (-62748517*b1 - 3074677333) * q^26 + (46816*b6 + 2418846*b5 + 341423*b4 + 523715*b3 + 303121*b2 + 34358100*b1 - 26574827779) * q^27 + (-555254*b6 - 973744*b5 + 8083103*b4 + 60383*b3 + 846*b2 + 415793351*b1 - 26568421630) * q^28 + (739020*b6 - 1573478*b5 - 11337160*b4 + 64237*b3 + 1147835*b2 - 76140243*b1 + 5420439350) * q^29 + (-529729*b6 - 5337208*b5 + 3983646*b4 + 1625318*b3 - 2218619*b2 + 548422553*b1 + 29491496074) * q^30 + (-84270*b6 + 5358934*b5 - 18646068*b4 + 1529329*b3 - 1625495*b2 - 212044867*b1 - 28470179342) * q^31 + (879840*b6 + 9327862*b5 - 9361635*b4 - 3122460*b3 + 2237829*b2 - 474430214*b1 - 93674735022) * q^32 + (1314118*b6 - 14753188*b5 - 32467850*b4 - 358305*b3 - 2011053*b2 - 344045521*b1 + 96902229530) * q^33 + (-1280493*b6 + 4414830*b5 + 28500872*b4 - 5149213*b3 + 4177194*b2 + 533305384*b1 - 134976698980) * q^34 + (-1031212*b6 - 1373736*b5 - 12856809*b4 - 5789490*b3 + 1336062*b2 - 642440981*b1 - 87512296879) * q^35 + (663850*b6 + 6099060*b5 + 44514470*b4 + 8151008*b3 - 5960708*b2 - 382517412*b1 + 199140119438) * q^36 + (-2103251*b6 + 10479013*b5 - 18126857*b4 - 2490135*b3 + 5906756*b2 - 2381748971*b1 + 68310523271) * q^37 + (229350*b6 - 8244928*b5 + 95501340*b4 + 3700212*b3 + 3406650*b2 + 778107546*b1 + 305718219388) * q^38 + (62748517*b4 + 439239619*b1 - 9349529033) * q^39 + (-4054164*b6 - 49229062*b5 + 118579481*b4 + 28700986*b3 - 12848329*b2 + 3608290052*b1 + 1145581386138) * q^40 + (1559990*b6 + 19019800*b5 - 25513018*b4 - 1505963*b3 - 20890363*b2 - 2292408635*b1 + 74990459692) * q^41 + (23183363*b6 + 30457798*b5 - 170566144*b4 + 8615607*b3 + 9971598*b2 - 6400988930*b1 + 1116862388446) * q^42 + (-11578924*b6 + 41496310*b5 - 100450121*b4 - 22804307*b3 + 24245715*b2 - 1429282454*b1 - 175353782527) * q^43 + (-6039324*b6 - 9507760*b5 - 98640546*b4 - 31337898*b3 + 6453108*b2 + 5889915286*b1 + 185150119844) * q^44 + (5374960*b6 - 39594582*b5 - 266339248*b4 - 16035433*b3 + 23300221*b2 - 2428362981*b1 + 676369966310) * q^45 + (107104*b6 + 44469608*b5 - 147712152*b4 - 12641652*b3 + 13088652*b2 + 7288323172*b1 + 302692304200) * q^46 + (-21282118*b6 - 111848342*b5 + 30166371*b4 - 34882665*b3 - 57893373*b2 + 6218470028*b1 - 67690743757) * q^47 + (-41245160*b6 - 31800230*b5 + 80985655*b4 + 64598872*b3 - 73364005*b2 + 23614604402*b1 + 1000683846582) * q^48 + (47178271*b6 - 13325469*b5 + 306747385*b4 + 59764577*b3 + 14894854*b2 - 5538887335*b1 + 1220833351672) * q^49 + (16715781*b6 + 149936818*b5 - 241423864*b4 - 136470179*b3 + 93218606*b2 - 3711419433*b1 - 2619702288757) * q^50 + (-584848*b6 + 179118436*b5 + 397306385*b4 + 151590936*b3 + 17472624*b2 - 14908814981*b1 + 702089162995) * q^51 + (62748517*b4 + 62748517*b3 + 1066724789*b1 + 1188707906048) * q^52 + (28754178*b6 - 100007224*b5 + 1181703170*b4 + 2748007*b3 - 743353*b2 - 5089602793*b1 - 3053911235532) * q^53 + (31174237*b6 - 356718864*b5 - 418246798*b4 + 27959366*b3 - 125694365*b2 + 10946793471*b1 - 391278384562) * q^54 + (2353120*b6 - 11352990*b5 + 1643498814*b4 + 30655081*b3 - 3103373*b2 - 7640717301*b1 - 4873191942834) * q^55 + (-73742172*b6 + 76915190*b5 - 787486469*b4 - 405297166*b3 + 179059777*b2 - 5887736744*b1 - 11299323080890) * q^56 + (-60812546*b6 + 64390630*b5 - 420980926*b4 + 30060838*b3 + 74643464*b2 - 33382282962*b1 - 6613646900426) * q^57 + (-71088544*b6 + 46940568*b5 - 464943368*b4 + 444200148*b3 - 245261644*b2 + 6168355358*b1 + 3690057790714) * q^58 + (-5249994*b6 + 109877630*b5 - 259627530*b4 - 49334247*b3 - 302479827*b2 - 35092004757*b1 - 11570658002336) * q^59 + (99288166*b6 + 485783552*b5 - 3454527035*b4 - 768709491*b3 + 434217498*b2 - 69320886283*b1 - 17800201404130) * q^60 + (35227786*b6 + 434566200*b5 + 1349660322*b4 + 54949483*b3 + 280665307*b2 - 10502434173*b1 - 8276862658804) * q^61 + (317263152*b6 - 577541528*b5 - 999031704*b4 + 426201660*b3 - 371984340*b2 - 29263564384*b1 + 12177788659588) * q^62 + (-225808394*b6 - 931925382*b5 - 2714334742*b4 - 191086513*b3 + 14407087*b2 + 45240139677*b1 - 6155528418952) * q^63 + (-145414560*b6 - 913062494*b5 + 3300598927*b4 + 560916932*b3 + 118917487*b2 + 143208836038*b1 + 16840141143670) * q^64 + (62748517*b6 - 62748517*b5 - 815730721*b4 - 125497034*b3 - 62748517*b2 - 13679176706*b1 - 1515313937033) * q^65 + (-2806178*b6 + 2407893220*b5 - 2856042264*b4 + 763785202*b3 + 108894968*b2 - 74510321864*b1 + 12758941725308) * q^66 + (228494710*b6 - 250940876*b5 - 267981158*b4 - 486727716*b3 - 194309986*b2 + 52393074298*b1 - 1865134532560) * q^67 + (-320716402*b6 - 118956164*b5 + 9997832237*b4 - 879215765*b3 - 492258988*b2 + 216532373103*b1 - 10704815814438) * q^68 + (-52893516*b6 + 201852378*b5 - 9069479184*b4 + 133195713*b3 - 28796001*b2 - 7571001759*b1 + 12794498853144) * q^69 + (-245032123*b6 - 855247008*b5 + 11389821282*b4 + 576364670*b3 + 52112627*b2 + 263764623423*b1 + 36139473960030) * q^70 + (-53246362*b6 + 971092600*b5 + 6017771677*b4 + 278920748*b3 + 1530256582*b2 + 190578864315*b1 + 5827176457653) * q^71 + (479490516*b6 - 985782924*b5 - 11399219946*b4 - 752135832*b3 + 473021874*b2 - 276647023764*b1 + 35570006176032) * q^72 + (614670428*b6 + 1127317570*b5 + 5442340152*b4 - 1621166067*b3 - 1213537317*b2 - 12898917883*b1 - 16499695797662) * q^73 + (-75846969*b6 - 3105696322*b5 + 17088665488*b4 + 2337378995*b3 - 209938274*b2 - 44839867536*b1 + 114444242879560) * q^74 + (-438320744*b6 - 1283603396*b5 - 7461673904*b4 + 2104708324*b3 - 880362964*b2 + 79188280496*b1 + 50124956651352) * q^75 + (-46881092*b6 + 2343658464*b5 - 802680454*b4 - 2477695878*b3 - 594789164*b2 - 269661464342*b1 - 15666838240628) * q^76 + (-51653406*b6 + 3608239748*b5 + 368111282*b4 + 1892490001*b3 + 266751797*b2 - 270173032119*b1 + 14419475356966) * q^77 + (-313742585*b6 + 501988136*b5 - 4643390258*b4 - 1129473306*b3 + 564736653*b2 - 7969061659*b1 - 22291912652386) * q^78 + (-500778220*b6 - 6143279504*b5 - 4067555928*b4 - 455174388*b3 + 552783504*b2 + 402921597188*b1 + 28104502902604) * q^79 + (259993048*b6 + 8316531866*b5 - 25800064673*b4 - 5935122400*b3 + 3591928315*b2 - 1216846994822*b1 - 94459240658762) * q^80 + (-226044112*b6 - 5234202942*b5 - 20460266768*b4 - 3749864201*b3 - 1142118835*b2 - 85916523453*b1 - 59717814324815) * q^81 + (1183236334*b6 - 240007692*b5 - 14827539368*b4 + 2938274762*b3 - 1729848224*b2 - 177097934938*b1 + 109584739553122) * q^82 + (-406161874*b6 + 4720542388*b5 + 1626031696*b4 + 2854072928*b3 - 575591966*b2 - 340704106864*b1 - 21829874548630) * q^83 + (357374318*b6 - 6992717620*b5 - 32868817597*b4 + 10724528969*b3 - 4877510708*b2 - 638253920003*b1 + 298235131076778) * q^84 + (359925227*b6 - 1685703067*b5 - 32383796815*b4 - 1345521450*b3 + 1894380841*b2 + 275289958070*b1 - 77706719462829) * q^85 + (-636368883*b6 - 14446226776*b5 + 84774800154*b4 + 796191402*b3 - 583586073*b2 + 947560273287*b1 + 80810623658962) * q^86 + (1687277132*b6 + 17740159210*b5 + 64587650006*b4 - 1474676367*b3 + 5735195583*b2 + 269060565451*b1 - 248750802354878) * q^87 + (-1499436184*b6 + 13390387500*b5 + 35203116806*b4 - 1868011628*b3 + 3423235010*b2 + 733134554656*b1 - 94469338141204) * q^88 + (922225096*b6 - 2869343700*b5 + 28809931216*b4 + 408073130*b3 - 2798166074*b2 + 877765679506*b1 - 227187704512926) * q^89 + (-1516310720*b6 - 878177760*b5 + 38757027440*b4 + 7305361520*b3 - 2577386240*b2 + 60850211610*b1 + 91197637574090) * q^90 + (-878479238*b6 - 1505964408*b5 - 10102511237*b4 - 1003976272*b3 - 1631461442*b2 + 348191520833*b1 - 33130275748245) * q^91 + (-370792384*b6 - 6459733328*b5 + 7440499472*b4 - 4547714360*b3 - 1607423896*b2 + 397680017656*b1 - 98171570574128) * q^92 + (-2565326164*b6 - 22496249146*b5 - 78068751964*b4 - 10505748349*b3 - 6189760307*b2 + 946980576439*b1 - 372366915805620) * q^93 + (1473188589*b6 + 20705496544*b5 + 38961600130*b4 - 17009398114*b3 + 11884080715*b2 + 1050387816571*b1 - 304461142962942) * q^94 + (-291789532*b6 - 9258562528*b5 - 35209051838*b4 + 7989846848*b3 - 2310937460*b2 + 1159228904262*b1 - 111797408703838) * q^95 + (6009707984*b6 - 3142769306*b5 - 102147950779*b4 - 21838486428*b3 + 7686230877*b2 - 2536418648150*b1 - 319759985502254) * q^96 + (3669982000*b6 + 12149490254*b5 - 81555828652*b4 + 9802360805*b3 + 2290035303*b2 + 1279982335613*b1 - 95979110555122) * q^97 + (-2891833455*b6 + 12789798778*b5 - 198808488536*b4 + 16699000097*b3 - 8825805698*b2 - 3144848728907*b1 + 208390640661057) * q^98 + (-1433702926*b6 + 37720974384*b5 + 237858249952*b4 + 4228824502*b3 - 205263520*b2 + 39571627230*b1 - 618683833154858) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$7 q - 345 q^{2} - 1027 q^{3} + 132641 q^{4} - 169503 q^{5} - 2487127 q^{6} - 3685093 q^{7} - 1198077 q^{8} + 47218000 q^{9}+O(q^{10})$$ 7 * q - 345 * q^2 - 1027 * q^3 + 132641 * q^4 - 169503 * q^5 - 2487127 * q^6 - 3685093 * q^7 - 1198077 * q^8 + 47218000 * q^9 $$7 q - 345 q^{2} - 1027 q^{3} + 132641 q^{4} - 169503 q^{5} - 2487127 q^{6} - 3685093 q^{7} - 1198077 q^{8} + 47218000 q^{9} + 84988937 q^{10} - 87652446 q^{11} + 209621293 q^{12} + 439239619 q^{13} - 1714149813 q^{14} - 2295843203 q^{15} + 2410487249 q^{16} - 2022637899 q^{17} - 5825323712 q^{18} - 8397579954 q^{19} - 30242985531 q^{20} - 7399278761 q^{21} - 43472740778 q^{22} - 58438202280 q^{23} - 191099405565 q^{24} - 40302720622 q^{25} - 21648238365 q^{26} - 185953338217 q^{27} - 185131242041 q^{28} + 37766024250 q^{29} + 207533912593 q^{30} - 199753323272 q^{31} - 656671555461 q^{32} + 677544262406 q^{33} - 943686679699 q^{34} - 613877280513 q^{35} + 1393279187810 q^{36} + 473401973917 q^{37} + 2141758355874 q^{38} - 64442726959 q^{39} + 8026383370011 q^{40} + 520296901884 q^{41} + 7804861824823 q^{42} - 1230378630045 q^{43} + 1307736426078 q^{44} + 4729221421730 q^{45} + 2133222620448 q^{46} - 461360462985 q^{47} + 7051961635657 q^{48} + 8535097100916 q^{49} - 18345202573494 q^{50} + 4885344111721 q^{51} + 8323026043397 q^{52} - 21385360950924 q^{53} - 2718520238389 q^{54} - 34124449164658 q^{55} - 79106992661847 q^{56} - 46362964354086 q^{57} + 25840422614546 q^{58} - 81065343380394 q^{59} - 124743933102355 q^{60} - 57955864231844 q^{61} + 85181132767788 q^{62} - 43003539964762 q^{63} + 118171820808937 q^{64} - 10636061877051 q^{65} + 89158090393838 q^{66} - 12951133598774 q^{67} - 74477982425439 q^{68} + 89528090266392 q^{69} + 253524584445475 q^{70} + 41185199555217 q^{71} + 248414735410218 q^{72} - 115509235801498 q^{73} + 801044021675181 q^{74} + 351010548322804 q^{75} - 110199520254870 q^{76} + 100395018485442 q^{77} - 156063530840659 q^{78} + 197526004984352 q^{79} - 663670784889039 q^{80} - 418232128495097 q^{81} + 766696174770372 q^{82} - 153490882935360 q^{83} + 20\!\cdots\!75 q^{84}+ \cdots - 43\!\cdots\!32 q^{99}+O(q^{100})$$ 7 * q - 345 * q^2 - 1027 * q^3 + 132641 * q^4 - 169503 * q^5 - 2487127 * q^6 - 3685093 * q^7 - 1198077 * q^8 + 47218000 * q^9 + 84988937 * q^10 - 87652446 * q^11 + 209621293 * q^12 + 439239619 * q^13 - 1714149813 * q^14 - 2295843203 * q^15 + 2410487249 * q^16 - 2022637899 * q^17 - 5825323712 * q^18 - 8397579954 * q^19 - 30242985531 * q^20 - 7399278761 * q^21 - 43472740778 * q^22 - 58438202280 * q^23 - 191099405565 * q^24 - 40302720622 * q^25 - 21648238365 * q^26 - 185953338217 * q^27 - 185131242041 * q^28 + 37766024250 * q^29 + 207533912593 * q^30 - 199753323272 * q^31 - 656671555461 * q^32 + 677544262406 * q^33 - 943686679699 * q^34 - 613877280513 * q^35 + 1393279187810 * q^36 + 473401973917 * q^37 + 2141758355874 * q^38 - 64442726959 * q^39 + 8026383370011 * q^40 + 520296901884 * q^41 + 7804861824823 * q^42 - 1230378630045 * q^43 + 1307736426078 * q^44 + 4729221421730 * q^45 + 2133222620448 * q^46 - 461360462985 * q^47 + 7051961635657 * q^48 + 8535097100916 * q^49 - 18345202573494 * q^50 + 4885344111721 * q^51 + 8323026043397 * q^52 - 21385360950924 * q^53 - 2718520238389 * q^54 - 34124449164658 * q^55 - 79106992661847 * q^56 - 46362964354086 * q^57 + 25840422614546 * q^58 - 81065343380394 * q^59 - 124743933102355 * q^60 - 57955864231844 * q^61 + 85181132767788 * q^62 - 43003539964762 * q^63 + 118171820808937 * q^64 - 10636061877051 * q^65 + 89158090393838 * q^66 - 12951133598774 * q^67 - 74477982425439 * q^68 + 89528090266392 * q^69 + 253524584445475 * q^70 + 41185199555217 * q^71 + 248414735410218 * q^72 - 115509235801498 * q^73 + 801044021675181 * q^74 + 351010548322804 * q^75 - 110199520254870 * q^76 + 100395018485442 * q^77 - 156063530840659 * q^78 + 197526004984352 * q^79 - 663670784889039 * q^80 - 418232128495097 * q^81 + 766696174770372 * q^82 - 153490882935360 * q^83 + 2086258913498375 * q^84 - 543457698525623 * q^85 + 567722890110327 * q^86 - 1740563795223602 * q^87 - 659723275115742 * q^88 - 1588509516548394 * q^89 + 638560338469610 * q^90 - 231234120757081 * q^91 - 686384435414016 * q^92 - 2604822625102468 * q^93 - 2128968630512769 * q^94 - 780368776683486 * q^95 - 2243538992208749 * q^96 - 669479228392790 * q^97 + 1452006820852212 * q^98 - 4330204275686432 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{7} - 2 x^{6} - 172505 x^{5} + 9594016 x^{4} + 7133274223 x^{3} - 680104282298 x^{2} + \cdots + 23\!\cdots\!32$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 41041543 \nu^{6} + 14123740235 \nu^{5} - 5785749609114 \nu^{4} + \cdots - 14\!\cdots\!64 ) / 41\!\cdots\!80$$ (41041543*v^6 + 14123740235*v^5 - 5785749609114*v^4 - 1767228177876806*v^3 + 200896386715360655*v^2 + 41144226063683030331*v - 1429279103841621544764) / 41470982246522880 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 25853207 \nu^{6} - 3848269423 \nu^{5} + 3853554298314 \nu^{4} + 319114537852750 \nu^{3} + \cdots - 57\!\cdots\!20 ) / 20\!\cdots\!40$$ (-25853207*v^6 - 3848269423*v^5 + 3853554298314*v^4 + 319114537852750*v^3 - 111387074204778175*v^2 + 749249115089087841*v - 572341822919257501620) / 20735491123261440 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( 25853207 \nu^{6} + 3848269423 \nu^{5} - 3853554298314 \nu^{4} - 319114537852750 \nu^{3} + \cdots - 45\!\cdots\!20 ) / 20\!\cdots\!40$$ (25853207*v^6 + 3848269423*v^5 - 3853554298314*v^4 - 319114537852750*v^3 + 132122565328039615*v^2 + 930325665895088799*v - 450145979859887366220) / 20735491123261440 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 23661403 \nu^{6} - 5201947975 \nu^{5} + 3187138376114 \nu^{4} + 513969319377406 \nu^{3} + \cdots + 15\!\cdots\!64 ) / 92\!\cdots\!40$$ (-23661403*v^6 - 5201947975*v^5 + 3187138376114*v^4 + 513969319377406*v^3 - 90022628758617475*v^2 - 6673200215265119991*v + 154782273862326832364) / 9215773832560640 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 463704677 \nu^{6} + 73231607569 \nu^{5} - 67845749579310 \nu^{4} + \cdots - 65\!\cdots\!08 ) / 13\!\cdots\!60$$ (463704677*v^6 + 73231607569*v^5 - 67845749579310*v^4 - 6501696937816882*v^3 + 2219184069419143165*v^2 + 50834880664646245089*v - 6567181240624668865908) / 13823660748840960
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$\beta_{4} + \beta_{3} - 81\beta _1 + 49311$$ b4 + b3 - 81*b1 + 49311 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$-48\beta_{6} - 130\beta_{5} + 964\beta_{4} - 97\beta_{3} - 47\beta_{2} + 89264\beta _1 - 3989668$$ -48*b6 - 130*b5 + 964*b4 - 97*b3 - 47*b2 + 89264*b1 - 3989668 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$7520 \beta_{6} - 13742 \beta_{5} - 88231 \beta_{4} + 122694 \beta_{3} - 24809 \beta_{2} + \cdots + 4419484419$$ 7520*b6 - 13742*b5 - 88231*b4 + 122694*b3 - 24809*b2 - 13465836*b1 + 4419484419 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$- 7861216 \beta_{6} - 19879132 \beta_{5} + 152277092 \beta_{4} - 19231490 \beta_{3} + \cdots - 666852880464$$ -7861216*b6 - 19879132*b5 + 152277092*b4 - 19231490*b3 - 1191538*b2 + 9559025927*b1 - 666852880464 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$1698563264 \beta_{6} - 693924636 \beta_{5} - 28227325375 \beta_{4} + 14843004603 \beta_{3} + \cdots + 474171031456999$$ 1698563264*b6 - 693924636*b5 - 28227325375*b4 + 14843004603*b3 - 4100684786*b2 - 1950241420887*b1 + 474171031456999

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
1.1
 299.737 170.106 159.673 49.0235 −63.8141 −249.146 −363.580
−348.737 4816.93 88849.8 −293140. −1.67985e6 2.09132e6 −1.95578e7 8.85394e6 1.02229e8
1.2 −219.106 −3377.01 15239.6 −113774. 739926. 714392. 3.84058e6 −2.94468e6 2.49287e7
1.3 −208.673 5348.59 10776.4 82594.0 −1.11610e6 −3.96367e6 4.58906e6 1.42585e7 −1.72351e7
1.4 −98.0235 −6818.66 −23159.4 151115. 668388. 1.60747e6 5.48220e6 3.21452e7 −1.48128e7
1.5 14.8141 1585.00 −32548.5 102776. 23480.3 1.31907e6 −967607. −1.18367e7 1.52254e6
1.6 200.146 2715.74 7290.37 −170608. 543544. −1.73233e6 −5.09924e6 −6.97367e6 −3.41464e7
1.7 314.580 −5297.58 66192.8 71533.9 −1.66652e6 −3.72135e6 1.05148e7 1.37155e7 2.25031e7
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 1.7 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Atkin-Lehner signs

$$p$$ Sign
$$13$$ $$-1$$

## Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 13.16.a.a 7
3.b odd 2 1 117.16.a.c 7

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
13.16.a.a 7 1.a even 1 1 trivial
117.16.a.c 7 3.b odd 2 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $$T_{2}^{7} + 345 T_{2}^{6} - 121496 T_{2}^{5} - 47667996 T_{2}^{4} + 1317476032 T_{2}^{3} + \cdots - 14\!\cdots\!00$$ acting on $$S_{16}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(13))$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{7} + \cdots - 14\!\cdots\!00$$
$3$ $$T^{7} + \cdots + 13\!\cdots\!24$$
$5$ $$T^{7} + \cdots + 52\!\cdots\!00$$
$7$ $$T^{7} + \cdots + 80\!\cdots\!68$$
$11$ $$T^{7} + \cdots - 10\!\cdots\!52$$
$13$ $$(T - 62748517)^{7}$$
$17$ $$T^{7} + \cdots - 23\!\cdots\!28$$
$19$ $$T^{7} + \cdots - 13\!\cdots\!04$$
$23$ $$T^{7} + \cdots + 40\!\cdots\!72$$
$29$ $$T^{7} + \cdots - 46\!\cdots\!76$$
$31$ $$T^{7} + \cdots - 10\!\cdots\!20$$
$37$ $$T^{7} + \cdots + 99\!\cdots\!52$$
$41$ $$T^{7} + \cdots + 82\!\cdots\!64$$
$43$ $$T^{7} + \cdots + 55\!\cdots\!20$$
$47$ $$T^{7} + \cdots - 12\!\cdots\!00$$
$53$ $$T^{7} + \cdots + 11\!\cdots\!76$$
$59$ $$T^{7} + \cdots + 32\!\cdots\!04$$
$61$ $$T^{7} + \cdots - 67\!\cdots\!88$$
$67$ $$T^{7} + \cdots - 20\!\cdots\!92$$
$71$ $$T^{7} + \cdots + 63\!\cdots\!64$$
$73$ $$T^{7} + \cdots + 36\!\cdots\!96$$
$79$ $$T^{7} + \cdots - 91\!\cdots\!76$$
$83$ $$T^{7} + \cdots + 10\!\cdots\!16$$
$89$ $$T^{7} + \cdots + 90\!\cdots\!00$$
$97$ $$T^{7} + \cdots + 34\!\cdots\!00$$