# Properties

 Label 13.10.c.a Level $13$ Weight $10$ Character orbit 13.c Analytic conductor $6.695$ Analytic rank $0$ Dimension $18$ Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [13,10,Mod(3,13)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(13, base_ring=CyclotomicField(6))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([2]))

N = Newforms(chi, 10, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("13.3");

S:= CuspForms(chi, 10);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$13$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$10$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 13.c (of order $$3$$, degree $$2$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$6.69546587013$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$18$$ Relative dimension: $$9$$ over $$\Q(\zeta_{3})$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{18} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{18} - 3 x^{17} + 3193 x^{16} + 896 x^{15} + 6827472 x^{14} + 3327136 x^{13} + 8054385232 x^{12} + \cdots + 15\!\cdots\!00$$ x^18 - 3*x^17 + 3193*x^16 + 896*x^15 + 6827472*x^14 + 3327136*x^13 + 8054385232*x^12 + 694281600*x^11 + 6899832636736*x^10 - 1285276575488*x^9 + 3495304064394496*x^8 - 764853454571520*x^7 + 1234658135287256064*x^6 + 1254918535240499200*x^5 + 146439647836867215360*x^4 + 1052079877442940928000*x^3 + 12856821885420326502400*x^2 + 44600611845158952960000*x + 152210992401321984000000 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{9}]$$ Coefficient ring index: $$2^{16}\cdot 3^{3}\cdot 13^{4}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{3}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{17}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( - \beta_{3} - 2 \beta_{2}) q^{2} + ( - \beta_{8} - \beta_{6} - 18 \beta_{2}) q^{3} + (\beta_{12} - 200 \beta_{2} + \cdots - 200) q^{4}+ \cdots + (\beta_{17} - \beta_{16} - \beta_{15} + \cdots - 3745) q^{9}+O(q^{10})$$ q + (-b3 - 2*b2) * q^2 + (-b8 - b6 - 18*b2) * q^3 + (b12 - 200*b2 + 2*b1 - 200) * q^4 + (b6 - b5 - 7*b3 - 7*b1 - 124) * q^5 + (b12 - 2*b8 - b7 + 230*b2 + 14*b1 + 230) * q^6 + (b16 - b15 - 2*b12 + 5*b8 - 214*b2 - 2*b1 - 214) * q^7 + (-b13 + 21*b6 - b5 - 3*b4 + 87*b3 + 87*b1 - 835) * q^8 + (b17 - b16 - b15 + b14 - b13 - 6*b12 + b11 - 39*b8 + b7 - 3745*b2 + 8*b1 - 3745) * q^9 $$q + ( - \beta_{3} - 2 \beta_{2}) q^{2} + ( - \beta_{8} - \beta_{6} - 18 \beta_{2}) q^{3} + (\beta_{12} - 200 \beta_{2} + \cdots - 200) q^{4}+ \cdots + (3409 \beta_{13} - 19573 \beta_{11} + \cdots + 125070211) q^{99}+O(q^{100})$$ q + (-b3 - 2*b2) * q^2 + (-b8 - b6 - 18*b2) * q^3 + (b12 - 200*b2 + 2*b1 - 200) * q^4 + (b6 - b5 - 7*b3 - 7*b1 - 124) * q^5 + (b12 - 2*b8 - b7 + 230*b2 + 14*b1 + 230) * q^6 + (b16 - b15 - 2*b12 + 5*b8 - 214*b2 - 2*b1 - 214) * q^7 + (-b13 + 21*b6 - b5 - 3*b4 + 87*b3 + 87*b1 - 835) * q^8 + (b17 - b16 - b15 + b14 - b13 - 6*b12 + b11 - 39*b8 + b7 - 3745*b2 + 8*b1 - 3745) * q^9 + (2*b17 - 4*b16 + b15 - b14 + 5*b12 - 4*b10 + b9 - 27*b8 + b7 - 27*b6 - b5 - 5*b4 + 238*b3 - 5137*b2) * q^10 + (b17 + 3*b16 - 3*b14 - 6*b12 + 3*b10 - b9 + 73*b8 - b7 + 73*b6 + 6*b4 + 319*b3 + 717*b2) * q^11 + (-5*b13 + 4*b10 + 10*b9 + 125*b6 - b5 - 2*b4 + 587*b3 + 587*b1 + 273) * q^12 + (b17 + 4*b16 - 30*b15 + 7*b14 - 2*b13 - 4*b12 + 4*b11 + b10 + b9 - 167*b8 - 9*b7 - 32*b6 + 14*b5 + 14*b4 - 479*b3 - 13479*b2 + 85*b1 - 18491) * q^13 + (2*b13 - 4*b11 - 24*b10 - 11*b9 - 228*b6 - 46*b5 - 23*b4 - 356*b3 - 356*b1 - 388) * q^14 + (-8*b17 + 21*b16 + 45*b15 - 4*b14 + 42*b12 + 21*b10 - 44*b9 + 200*b8 - 44*b7 + 200*b6 - 45*b5 - 42*b4 - 1052*b3 + 38230*b2) * q^15 + (45*b15 + 11*b14 + 77*b12 + 44*b9 - 159*b8 + 44*b7 - 159*b6 - 45*b5 - 77*b4 - 1217*b3 - 44897*b2) * q^16 + (-5*b17 - 24*b16 - 91*b15 - 15*b14 + 15*b13 + 92*b12 - 5*b11 - 310*b8 - 35*b7 + 28110*b2 - 1471*b1 + 28110) * q^17 + (15*b13 - 2*b11 + 20*b10 + 33*b9 - 731*b6 + 247*b5 + 463*b4 + 742*b3 + 742*b1 - 2479) * q^18 + (-7*b17 - 4*b16 - 47*b15 - 19*b14 + 19*b13 + 164*b12 - 7*b11 + 1299*b8 + 127*b7 - 33789*b2 - 1711*b1 - 33789) * q^19 + (-84*b16 + 203*b15 + 17*b14 - 17*b13 - 359*b12 - 625*b8 + 34*b7 + 102261*b2 + 2021*b1 + 102261) * q^20 + (48*b13 + 10*b11 - 25*b10 - 100*b9 - 611*b6 + 202*b5 - 522*b4 - 6439*b3 - 6439*b1 + 88485) * q^21 + (-16*b17 + 64*b16 + 248*b15 + 24*b14 - 24*b13 - 1355*b12 - 16*b11 - 146*b8 + 179*b7 + 207326*b2 - 2718*b1 + 207326) * q^22 + (-19*b17 - 72*b16 - 249*b15 + b14 + 816*b12 - 72*b10 - 17*b9 + 507*b8 - 17*b7 + 507*b6 + 249*b5 - 816*b4 + 5881*b3 - 63663*b2) * q^23 + (-16*b17 + 136*b16 + 46*b15 + 2*b14 - 1744*b12 + 136*b10 - 168*b9 + 5318*b8 - 168*b7 + 5318*b6 - 46*b5 + 1744*b4 - 4046*b3 + 498506*b2) * q^24 + (28*b13 + 6*b11 + 51*b10 + 448*b9 - 4251*b6 + 156*b5 - 406*b4 + 7175*b3 + 7175*b1 + 387319) * q^25 + (-8*b17 + 72*b16 - 1008*b15 - 56*b14 + 3*b13 + 2034*b12 - 58*b11 - 60*b10 + 135*b9 + 1700*b8 - 214*b7 + 5157*b6 + 707*b5 + 733*b4 + 27869*b3 - 317762*b2 + 19704*b1 - 378871) * q^26 + (-32*b13 + 64*b11 + 87*b10 - 264*b9 + 1053*b6 - 1311*b5 + 874*b4 - 24704*b3 - 24704*b1 - 635940) * q^27 + (128*b17 - 220*b16 + 1513*b15 + 35*b14 + 662*b12 - 220*b10 - 398*b9 - 9435*b8 - 398*b7 - 9435*b6 - 1513*b5 - 662*b4 - 3461*b3 - 302729*b2) * q^28 + (13*b17 + 21*b16 + 1468*b15 - 139*b14 + 6322*b12 + 21*b10 + 297*b9 - 670*b8 + 297*b7 - 670*b6 - 1468*b5 - 6322*b4 - 23313*b3 - 1232896*b2) * q^29 + (72*b17 + 112*b16 - 2732*b15 + 172*b14 - 172*b13 - 2058*b12 + 72*b11 - 26704*b8 - 150*b7 - 733312*b2 - 4368*b1 - 733312) * q^30 + (-201*b13 + 21*b11 - 159*b10 + 33*b9 - 13962*b6 + 1908*b5 + 8002*b4 + 1565*b3 + 1565*b1 - 1286825) * q^31 + (112*b17 - 48*b16 - 1061*b15 + 269*b14 - 269*b13 + 3403*b12 + 112*b11 + 14135*b8 - 60*b7 - 1349447*b2 + 96959*b1 - 1349447) * q^32 + (17*b17 + 573*b16 + 237*b15 - 227*b14 + 227*b13 - 7138*b12 + 17*b11 + 5817*b8 - 75*b7 + 1569864*b2 + 4100*b1 + 1569864) * q^33 + (-472*b13 - 144*b11 + 176*b10 + 524*b9 + 26896*b6 + 440*b5 - 6172*b4 + 29771*b3 + 29771*b1 + 1201930) * q^34 + (91*b17 - 414*b16 + 1613*b15 - 345*b14 + 345*b13 - 9000*b12 + 91*b11 - 15342*b8 - 715*b7 + 2394367*b2 - 149937*b1 + 2394367) * q^35 + (940*b16 - 1457*b15 + 13*b14 + 4101*b12 + 940*b10 - 126*b9 + 20387*b8 - 126*b7 + 20387*b6 + 1457*b5 - 4101*b4 + 167511*b3 - 1141375*b2) * q^36 + (104*b17 - 1357*b16 + 1219*b15 + 254*b14 - 11134*b12 - 1357*b10 + 970*b9 + 56016*b8 + 970*b7 + 56016*b6 - 1219*b5 + 11134*b4 - 56546*b3 + 3235117*b2) * q^37 + (136*b13 - 96*b11 - 720*b10 - 2539*b9 - 75022*b6 - 824*b5 - 8171*b4 + 54270*b3 + 54270*b1 + 801670) * q^38 + (-20*b17 - 964*b16 + 1718*b15 + 16*b14 + 209*b13 + 10220*b12 + 323*b11 + 461*b10 - 969*b9 + 15703*b8 + 1064*b7 + 63573*b6 - 644*b5 + 2398*b4 + 159925*b3 - 710256*b2 + 115651*b1 - 4383487) * q^39 + (255*b13 - 416*b11 + 376*b10 + 1760*b9 - 24539*b6 + 3199*b5 + 9675*b4 - 169849*b3 - 169849*b1 + 1574541) * q^40 + (-837*b17 + 1110*b16 - 2849*b15 - 3*b14 - 3064*b12 + 1110*b10 + 3425*b9 - 32658*b8 + 3425*b7 - 32658*b6 + 2849*b5 + 3064*b4 + 137223*b3 - 325080*b2) * q^41 + (-218*b17 - 244*b16 - 4225*b15 + 697*b14 + 18605*b12 - 244*b10 - 2935*b9 - 66769*b8 - 2935*b7 - 66769*b6 + 4225*b5 - 18605*b4 - 366885*b3 - 4556121*b2) * q^42 + (-405*b17 + 203*b16 + 8530*b15 - 633*b14 + 633*b13 - 1758*b12 - 405*b11 - 103655*b8 + 2277*b7 + 655979*b2 + 14275*b1 + 655979) * q^43 + (1095*b13 - 32*b11 + 564*b10 - 1198*b9 - 103887*b6 - 6405*b5 + 14546*b4 - 678705*b3 - 678705*b1 + 2007829) * q^44 + (-747*b17 + 832*b16 + 4498*b15 - 1589*b14 + 1589*b13 + 11612*b12 - 747*b11 + 167533*b8 - 3509*b7 + 3415377*b2 + 749200*b1 + 3415377) * q^45 + (-276*b17 - 440*b16 - 2326*b15 + 1158*b14 - 1158*b13 - 8831*b12 - 276*b11 - 31300*b8 - 597*b7 + 3933844*b2 + 425164*b1 + 3933844) * q^46 + (1804*b13 + 784*b11 - 189*b10 - 1004*b9 + 56218*b6 - 2179*b5 - 846*b4 - 417044*b3 - 417044*b1 - 2398014) * q^47 + (-112*b17 - 128*b16 - 9080*b15 + 1256*b14 - 1256*b13 + 600*b12 - 112*b11 - 101960*b8 - 808*b7 - 3107384*b2 - 790856*b1 - 3107384) * q^48 + (723*b17 - 3605*b16 + 8303*b15 + 431*b14 - 5294*b12 - 3605*b10 + 2159*b9 + 35471*b8 + 2159*b7 + 35471*b6 - 8303*b5 + 5294*b4 + 1314472*b3 - 702747*b2) * q^49 + (-334*b17 + 3348*b16 - 5727*b15 - 1545*b14 + 8153*b12 + 3348*b10 - 1167*b9 + 271741*b8 - 1167*b7 + 271741*b6 + 5727*b5 - 8153*b4 - 369379*b3 + 5418453*b2) * q^50 + (-1437*b13 + 625*b11 + 2516*b10 + 33*b9 - 126665*b6 + 2173*b5 - 572*b4 + 791821*b3 + 791821*b1 - 7838293) * q^51 + (448*b17 + 3716*b16 + 9245*b15 + 1095*b14 - 1754*b13 - 34942*b12 - 704*b11 - 644*b10 + 2346*b9 + 49113*b8 + 3326*b7 + 169939*b6 - 7807*b5 + 669*b4 + 1386995*b3 + 9168171*b2 + 1101428*b1 + 2195514) * q^52 + (-1396*b13 + 1288*b11 - 726*b10 - 276*b9 - 14327*b6 + 10865*b5 - 22772*b4 - 1124663*b3 - 1124663*b1 - 1264556) * q^53 + (2640*b17 - 4176*b16 - 15888*b15 - 1056*b14 + 8801*b12 - 4176*b10 - 1529*b9 - 174946*b8 - 1529*b7 - 174946*b6 + 15888*b5 - 8801*b4 + 1007018*b3 - 16673546*b2) * q^54 + (1519*b17 + 1204*b16 - 9181*b15 - 1641*b14 - 65076*b12 + 1204*b10 + 1105*b9 - 48270*b8 + 1105*b7 - 48270*b6 + 9181*b5 + 65076*b4 - 787755*b3 + 1821703*b2) * q^55 + (976*b17 - 408*b16 + 16970*b15 - 122*b14 + 122*b13 + 12300*b12 + 976*b11 - 221774*b8 - 5656*b7 - 986882*b2 + 298474*b1 - 986882) * q^56 + (-2998*b13 - 504*b11 - 2875*b10 + 1158*b9 - 85131*b6 - 28616*b5 - 81762*b4 - 2395119*b3 - 2395119*b1 + 29903597) * q^57 + (2564*b17 - 3760*b16 + 3838*b15 + 4922*b14 - 4922*b13 - 48588*b12 + 2564*b11 - 5934*b8 + 5380*b7 - 19304096*b2 + 3433603*b1 - 19304096) * q^58 + (1828*b17 - 5961*b16 - 14469*b15 - 2220*b14 + 2220*b13 + 98446*b12 + 1828*b11 - 57379*b8 + 1020*b7 - 3964108*b2 + 961660*b1 - 3964108) * q^59 + (-1806*b13 - 1536*b11 - 840*b10 + 6716*b9 + 84190*b6 - 19638*b5 + 64820*b4 - 327374*b3 - 327374*b1 - 10380746) * q^60 + (-1081*b17 + 8793*b16 - 14742*b15 + 955*b14 - 955*b13 + 81010*b12 - 1081*b11 - 41518*b8 - 1449*b7 - 23583916*b2 - 2782437*b1 - 23583916) * q^61 + (-3816*b17 + 5472*b16 + 17932*b15 - 4300*b14 - 4188*b12 + 5472*b10 - 10596*b9 + 168684*b8 - 10596*b7 + 168684*b6 - 17932*b5 + 4188*b4 + 4361840*b3 + 8125892*b2) * q^62 + (509*b17 + 4878*b16 - 2301*b15 + 2269*b14 + 109176*b12 + 4878*b10 + 2915*b9 - 26642*b8 + 2915*b7 - 26642*b6 + 2301*b5 - 109176*b4 - 2118313*b3 - 19229911*b2) * q^63 + (3077*b13 - 1936*b11 - 1520*b10 + 12324*b9 - 63489*b6 - 10787*b5 + 115429*b4 + 2302153*b3 + 2302153*b1 - 52138833) * q^64 + (-1892*b17 - 5163*b16 + 10740*b15 - 3234*b14 + 5695*b13 - 10918*b12 - 561*b11 - 5493*b10 - 5363*b9 + 33045*b8 - 26054*b7 - 122171*b6 - 18363*b5 - 65618*b4 + 3248816*b3 + 61297950*b2 + 2345515*b1 + 36858311) * q^65 + (5571*b13 - 1194*b11 - 11052*b10 - 14335*b9 - 169607*b6 - 4773*b5 - 52729*b4 - 4372979*b3 - 4372979*b1 - 1188281) * q^66 + (-2605*b17 + 12092*b16 - 3749*b15 + 4847*b14 - 44596*b12 + 12092*b10 - 24707*b9 + 67947*b8 - 24707*b7 + 67947*b6 + 3749*b5 + 44596*b4 + 813493*b3 - 12245327*b2) * q^67 + (-5312*b17 - 3600*b16 - 4444*b15 + 1196*b14 - 179819*b12 - 3600*b10 + 28968*b9 + 84852*b8 + 28968*b7 + 84852*b6 + 4444*b5 + 179819*b4 - 2772446*b3 + 25669876*b2) * q^68 + (-66*b17 - 11773*b16 - 9748*b15 + 7040*b14 - 7040*b13 + 48890*b12 - 66*b11 + 131811*b8 + 3844*b7 + 9301649*b2 + 820957*b1 + 9301649) * q^69 + (4052*b13 + 3000*b11 + 16576*b10 + 13154*b9 + 417224*b6 + 68308*b5 - 193526*b4 - 6033604*b3 - 6033604*b1 + 115299808) * q^70 + (-4116*b17 + 5028*b16 - 23318*b15 - 7904*b14 + 7904*b13 - 128828*b12 - 4116*b11 - 82125*b8 + 28528*b7 - 28231252*b2 + 5953458*b1 - 28231252) * q^71 + (-5792*b17 + 13832*b16 + 76115*b15 - 2675*b14 + 2675*b13 + 7135*b12 - 5792*b11 + 433663*b8 + 7824*b7 + 109407721*b2 + 3551083*b1 + 109407721) * q^72 + (-6185*b13 - 2543*b11 - 1319*b10 - 38409*b9 - 309293*b6 + 72559*b5 + 30594*b4 - 391680*b3 - 391680*b1 - 11629241) * q^73 + (5244*b17 - 29568*b16 + 89362*b15 - 16954*b14 + 16954*b13 + 186760*b12 + 5244*b11 + 740662*b8 + 52600*b7 - 47861940*b2 - 8118181*b1 - 47861940) * q^74 + (7003*b17 - 4525*b16 - 106318*b15 + 14623*b14 - 219174*b12 - 4525*b10 + 27013*b9 - 659473*b8 + 27013*b7 - 659473*b6 + 106318*b5 + 219174*b4 + 9075661*b3 - 104631817*b2) * q^75 + (-608*b17 - 30828*b16 + 19269*b15 + 7463*b14 + 95034*b12 - 30828*b10 - 35166*b9 - 1317647*b8 - 35166*b7 - 1317647*b6 - 19269*b5 - 95034*b4 - 3805481*b3 + 39210699*b2) * q^76 + (5494*b13 + 1664*b11 - 6525*b10 + 32442*b9 + 946145*b6 + 53620*b5 - 75418*b4 + 3539239*b3 + 3539239*b1 - 134604773) * q^77 + (2188*b17 + 3240*b16 - 112206*b15 - 2338*b14 - 5026*b13 - 178883*b12 + 5476*b11 + 25120*b10 + 26628*b9 - 369348*b8 + 44151*b7 - 645916*b6 + 143420*b5 + 110244*b4 + 8015964*b3 + 103614636*b2 + 4114060*b1 + 25295848) * q^78 + (-14445*b13 - 3731*b11 + 43620*b10 + 10709*b9 + 775016*b6 - 95415*b5 - 13460*b4 - 4296543*b3 - 4296543*b1 - 44011887) * q^79 + (-8304*b17 - 18336*b16 + 181427*b15 - 6651*b14 + 168331*b12 - 18336*b10 + 14572*b9 + 1120335*b8 + 14572*b7 + 1120335*b6 - 181427*b5 - 168331*b4 + 1732241*b3 - 63871631*b2) * q^80 + (7301*b17 + 8926*b16 + 174913*b15 + 3467*b14 + 22152*b12 + 8926*b10 - 51673*b9 + 894150*b8 - 51673*b7 + 894150*b6 - 174913*b5 - 22152*b4 - 6342211*b3 - 21776948*b2) * q^81 + (-4576*b17 + 50656*b16 - 254368*b15 - 16672*b14 + 16672*b13 - 101232*b12 - 4576*b11 + 2273632*b8 - 21128*b7 + 105625646*b2 - 1892431*b1 + 105625646) * q^82 + (-2312*b13 - 5328*b11 - 48954*b10 - 39632*b9 + 250320*b6 + 103358*b5 + 206660*b4 - 5567876*b3 - 5567876*b1 + 125402336) * q^83 + (-576*b17 + 11164*b16 + 6547*b15 + 3529*b14 - 3529*b13 + 255378*b12 - 576*b11 - 1862441*b8 - 62430*b7 - 205801723*b2 + 10278087*b1 - 205801723) * q^84 + (5262*b17 + 20588*b16 - 156887*b15 + 19410*b14 - 19410*b13 + 25584*b12 + 5262*b11 - 756113*b8 - 27486*b7 + 200187190*b2 + 3413503*b1 + 200187190) * q^85 + (14712*b13 + 17008*b11 + 16800*b10 + 80597*b9 - 904206*b6 - 67512*b5 - 68323*b4 - 3738818*b3 - 3738818*b1 + 17543462) * q^86 + (-6140*b17 + 24054*b16 - 23748*b15 + 34832*b14 - 34832*b13 - 372704*b12 - 6140*b11 - 425385*b8 - 145152*b7 + 7772472*b2 - 295694*b1 + 7772472) * q^87 + (5552*b17 + 9128*b16 + 77698*b15 - 14226*b14 + 465988*b12 + 9128*b10 - 42760*b9 - 691158*b8 - 42760*b7 - 691158*b6 - 77698*b5 - 465988*b4 + 5656126*b3 - 351449786*b2) * q^88 + (3354*b17 + 18957*b16 + 76710*b15 - 28408*b14 - 253934*b12 + 18957*b10 + 105724*b9 - 2031315*b8 + 105724*b7 - 2031315*b6 - 76710*b5 + 253934*b4 + 687203*b3 + 128290307*b2) * q^89 + (-33125*b13 + 7142*b11 + 6044*b10 - 160831*b9 + 2297393*b6 - 152309*b5 - 68549*b4 + 2854308*b3 + 2854308*b1 - 569182479) * q^90 + (6256*b17 - 18799*b16 + 6969*b15 + 21744*b14 - 17140*b13 + 602850*b12 - 5812*b11 - 29312*b10 - 69196*b9 - 742463*b8 - 21672*b7 - 2303176*b6 - 159780*b5 - 187704*b4 + 1698508*b3 + 145261096*b2 + 4705956*b1 - 20281432) * q^91 + (15163*b13 + 9376*b11 - 31452*b10 + 64098*b9 + 395181*b6 + 33455*b5 + 440026*b4 - 3873581*b3 - 3873581*b1 - 251382447) * q^92 + (27876*b17 - 4766*b16 - 123398*b15 - 11096*b14 - 385756*b12 - 4766*b10 + 105304*b9 + 1102928*b8 + 105304*b7 + 1102928*b6 + 123398*b5 + 385756*b4 + 5567972*b3 - 346439700*b2) * q^93 + (11480*b17 - 20592*b16 - 264300*b15 - 14932*b14 + 880856*b12 - 20592*b10 - 15608*b9 - 476836*b8 - 15608*b7 - 476836*b6 + 264300*b5 - 880856*b4 + 1289516*b3 - 305728772*b2) * q^94 + (7910*b17 - 51267*b16 + 304475*b15 - 2694*b14 + 2694*b13 + 55178*b12 + 7910*b11 + 2319576*b8 + 75342*b7 + 198214012*b2 - 1012150*b1 + 198214012) * q^95 + (-488*b13 - 6752*b11 + 43680*b10 + 55088*b9 + 3061384*b6 - 113352*b5 + 589872*b4 + 2462360*b3 + 2462360*b1 + 326992648) * q^96 + (14644*b17 - 47229*b16 - 115272*b15 + 12834*b14 - 12834*b13 + 194310*b12 + 14644*b11 - 2019401*b8 - 47258*b7 - 401301333*b2 - 2178335*b1 - 401301333) * q^97 + (21786*b17 - 101292*b16 + 337741*b15 - 21061*b14 + 21061*b13 - 1047751*b12 + 21786*b11 + 837521*b8 + 40721*b7 + 919447939*b2 - 3570798*b1 + 919447939) * q^98 + (3409*b13 - 19573*b11 - 22876*b10 - 47309*b9 - 973242*b6 + 162511*b5 - 497220*b4 + 2131759*b3 + 2131759*b1 + 125070211) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$18 q + 15 q^{2} + 161 q^{3} - 1793 q^{4} - 2280 q^{5} + 2118 q^{6} - 1939 q^{7} - 14478 q^{8} - 33654 q^{9}+O(q^{10})$$ 18 * q + 15 * q^2 + 161 * q^3 - 1793 * q^4 - 2280 * q^5 + 2118 * q^6 - 1939 * q^7 - 14478 * q^8 - 33654 * q^9 $$18 q + 15 q^{2} + 161 q^{3} - 1793 q^{4} - 2280 q^{5} + 2118 q^{6} - 1939 q^{7} - 14478 q^{8} - 33654 q^{9} + 46923 q^{10} - 5433 q^{11} + 8712 q^{12} - 212524 q^{13} - 9900 q^{14} - 347428 q^{15} + 400127 q^{16} + 248589 q^{17} - 38738 q^{18} - 311001 q^{19} + 927069 q^{20} + 1553030 q^{21} + 1857242 q^{22} + 591609 q^{23} - 4492800 q^{24} + 7008998 q^{25} - 3801525 q^{26} - 11603482 q^{27} + 2697168 q^{28} + 11014155 q^{29} - 6597836 q^{30} - 23148076 q^{31} - 11868417 q^{32} + 14131427 q^{33} + 21859862 q^{34} + 21112794 q^{35} + 10792871 q^{36} - 29215749 q^{37} + 14572188 q^{38} - 71569875 q^{39} + 27322222 q^{40} + 3328377 q^{41} + 39828306 q^{42} + 6074381 q^{43} + 31824624 q^{44} + 32857342 q^{45} + 36693338 q^{46} - 45575052 q^{47} - 30270064 q^{48} + 10293266 q^{49} - 49601730 q^{50} - 136587494 q^{51} - 35278230 q^{52} - 29480016 q^{53} + 152965386 q^{54} - 18710998 q^{55} - 7665444 q^{56} + 523363230 q^{57} - 163479359 q^{58} - 32715855 q^{59} - 188638416 q^{60} - 220502845 q^{61} - 59980476 q^{62} + 166572574 q^{63} - 924604030 q^{64} + 128091756 q^{65} - 48128076 q^{66} + 112659045 q^{67} - 238942419 q^{68} + 86003951 q^{69} + 2040150992 q^{70} - 236450709 q^{71} + 995206683 q^{72} - 211881220 q^{73} - 455580507 q^{74} + 968954813 q^{75} - 365789708 q^{76} - 2399230890 q^{77} - 441111970 q^{78} - 817519096 q^{79} + 580424625 q^{80} + 176914851 q^{81} + 941792217 q^{82} + 2225691456 q^{83} - 1819004068 q^{84} + 1812284636 q^{85} + 291320076 q^{86} + 69564799 q^{87} + 3178375740 q^{88} - 1154379039 q^{89} - 10225809510 q^{90} - 1658338903 q^{91} - 4545506592 q^{92} + 3136878060 q^{93} + 2755131560 q^{94} + 1779441012 q^{95} + 5906965568 q^{96} - 3616470111 q^{97} + 8263323501 q^{98} + 2262149268 q^{99}+O(q^{100})$$ 18 * q + 15 * q^2 + 161 * q^3 - 1793 * q^4 - 2280 * q^5 + 2118 * q^6 - 1939 * q^7 - 14478 * q^8 - 33654 * q^9 + 46923 * q^10 - 5433 * q^11 + 8712 * q^12 - 212524 * q^13 - 9900 * q^14 - 347428 * q^15 + 400127 * q^16 + 248589 * q^17 - 38738 * q^18 - 311001 * q^19 + 927069 * q^20 + 1553030 * q^21 + 1857242 * q^22 + 591609 * q^23 - 4492800 * q^24 + 7008998 * q^25 - 3801525 * q^26 - 11603482 * q^27 + 2697168 * q^28 + 11014155 * q^29 - 6597836 * q^30 - 23148076 * q^31 - 11868417 * q^32 + 14131427 * q^33 + 21859862 * q^34 + 21112794 * q^35 + 10792871 * q^36 - 29215749 * q^37 + 14572188 * q^38 - 71569875 * q^39 + 27322222 * q^40 + 3328377 * q^41 + 39828306 * q^42 + 6074381 * q^43 + 31824624 * q^44 + 32857342 * q^45 + 36693338 * q^46 - 45575052 * q^47 - 30270064 * q^48 + 10293266 * q^49 - 49601730 * q^50 - 136587494 * q^51 - 35278230 * q^52 - 29480016 * q^53 + 152965386 * q^54 - 18710998 * q^55 - 7665444 * q^56 + 523363230 * q^57 - 163479359 * q^58 - 32715855 * q^59 - 188638416 * q^60 - 220502845 * q^61 - 59980476 * q^62 + 166572574 * q^63 - 924604030 * q^64 + 128091756 * q^65 - 48128076 * q^66 + 112659045 * q^67 - 238942419 * q^68 + 86003951 * q^69 + 2040150992 * q^70 - 236450709 * q^71 + 995206683 * q^72 - 211881220 * q^73 - 455580507 * q^74 + 968954813 * q^75 - 365789708 * q^76 - 2399230890 * q^77 - 441111970 * q^78 - 817519096 * q^79 + 580424625 * q^80 + 176914851 * q^81 + 941792217 * q^82 + 2225691456 * q^83 - 1819004068 * q^84 + 1812284636 * q^85 + 291320076 * q^86 + 69564799 * q^87 + 3178375740 * q^88 - 1154379039 * q^89 - 10225809510 * q^90 - 1658338903 * q^91 - 4545506592 * q^92 + 3136878060 * q^93 + 2755131560 * q^94 + 1779441012 * q^95 + 5906965568 * q^96 - 3616470111 * q^97 + 8263323501 * q^98 + 2262149268 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{18} - 3 x^{17} + 3193 x^{16} + 896 x^{15} + 6827472 x^{14} + 3327136 x^{13} + 8054385232 x^{12} + \cdots + 15\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$\nu$$ v $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( - 82\!\cdots\!57 \nu^{17} + \cdots - 39\!\cdots\!00 ) / 37\!\cdots\!00$$ (-8250103941694704394914442782851112520289040933655070990959037999247857*v^17 + 15442821750992326486656424683908397599339628578320990991278195110014821*v^16 - 26390034131762791043456030511802120429984757236085521579849145850775035151*v^15 - 32957196811125330983887900864785760248805814290278304911214102128126529622*v^14 - 56576457670737533308948297218331570829602217929088855229392925149805021488504*v^13 - 79140304591244328348553890073514805631495718808763658874976818008953375918552*v^12 - 66955572653068091139603819538920789312826943410528098762582706938972164188765824*v^11 - 55699229682793259161441274901594073202925513743108191026412741293028599382423200*v^10 - 57455355914795493440500667723818539769174474289721813238655344723867183991333418752*v^9 - 25256052060169258489282179083869966722386063564452604016298649980204776397966470784*v^8 - 29267926778461765487805233677231279429333154370618453194385481833586498772124065667072*v^7 - 2196425652260070605681954772012505012563211823575243481595889247510646139200479823360*v^6 - 10387038841347113559191633273341045339489793618920770954844822399856623908354367504078848*v^5 - 10600269910503696619692969830614959882883711279360380958064652889097407315656488887654400*v^4 - 1290927052592273465758947780507503243733374181104997061297982354280817801413019052529643520*v^3 - 5887093222849817036197853732330105894157934747693835974547936350486493523283993630701568000*v^2 - 114596595859568696519631615596781002195273605717432980263212232615882116235599037829655756800*v - 398409632209365501238456518153760915196245109858902458142043224255397944689692209095966720000) / 377260019684347467870220929361839429620336573031580491323411961387313652051117089326366720000 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 23\!\cdots\!45 \nu^{17} + \cdots - 32\!\cdots\!00 ) / 96\!\cdots\!40$$ (238184856061258592336540363890163331431797532359887195879875345*v^17 + 1214334506620942388868437271741333470717230448409345856984972373*v^16 + 654227991820375948512723297903514581704641087442618981960239888957*v^15 + 6374737196089912912230334478008532656358552021470577276970066932492*v^14 + 1322809260316939774850155925729511449268204758914860130343524682996612*v^13 + 12950342661999142932803666763889161064842694007388106510664928913059496*v^12 + 1278799652427265652404896612517871886494122616164974172383734953813968624*v^11 + 13589141405722185366235947162718050620829999619106233787845231452124980768*v^10 + 917673998010855011564735482520029465997917508892030372704076284459708782400*v^9 + 11037380011879523358501584217217355849244234890250179283452645668732906451584*v^8 + 217688168863566680453174939695421260230290330890473287774665457247737551487232*v^7 + 5143234602885058396825672257167147266841776714700998187364452156529407924080128*v^6 + 6322469407264149789182897554292797586313190685085862090835113687886009858503680*v^5 + 2118516426083306832879426204960371463192486388445222725764728931253737595157227520*v^4 - 71466412150956039875010150883697135568845763985060244094754042658148230422532694016*v^3 + 218198262265815855521273808510795292998092904101638158053772877502661822049071308800*v^2 - 8875100182607902839494049695288867830487629770549937102676602644385673109847261347840*v - 32135643531752492189955054633908708193109833865146991556768760630905557919573262336000) / 9654334602656246178871603430731558525730429808814205155838496328054755117841608867840 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 72\!\cdots\!59 \nu^{17} + \cdots + 34\!\cdots\!60 ) / 48\!\cdots\!20$$ (-726259681341100490602488817815748401074513990384616526432423859*v^17 + 54362461298232310797793479270629801249261447139659763099086016187*v^16 - 2426433790709136658235673858077958573993189628795440192770609422729*v^15 + 158070324828756687455724327278203418410914953492152388619389866173106*v^14 - 4756125366054515857615563676139037850209809687466320302313447305602176*v^13 + 332766810021289763454624900949372021193877115851659790159177064390527704*v^12 - 5433087368952836873962496477688031012916977852566705592451384141084945760*v^11 + 376469964114163931933951716932882608325251962100500425049489897827444426528*v^10 - 4754082715994664989438818645743765708820025078344901608171479173125705715072*v^9 + 318457543314163764994699643993368010419376433084615348229289121253728822758528*v^8 - 2445017387571499457395616858100146297910729654077044515164270599467945404140032*v^7 + 149020435018381495313995175556833524443278215324801125974967097743902194702499328*v^6 - 903484448291957381507539553490155555472728013135342053934850258624296341933998080*v^5 + 55291575722404134705578387564249456913724628023556405068045293713084532823458224128*v^4 - 55270796197017234900676637946785203901071007120846518888254169278837978027758268416*v^3 + 6186898488661807164303099506109069763565517044276133127912796884580826886628623646720*v^2 + 22158651342216214537790700739705822474718471174751114295202825681312694725540364288000*v + 3403625982466583756181256125069718167041332812954036172343033074783227973360398516879360) / 4827167301328123089435801715365779262865214904407102577919248164027377558920804433920 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 51\!\cdots\!85 \nu^{17} + \cdots + 58\!\cdots\!00 ) / 24\!\cdots\!00$$ (-51115460007320428871611649913543511004847041301291613236835413607744764385*v^17 + 114098076575266460911033275699445001119296586247659065599762163302718535817864*v^16 - 1128556687910648006894796755919630698850515710370362841976962341422861706531382*v^15 + 366183326733299723208428207862692217546155988167116930655586432773239792057570367*v^14 - 2078107907277833771085342920753261861999315616867593080787197204378444623904282606*v^13 + 777831925699012510859969786243468021674914507574686720834650701558675880373053120608*v^12 - 3923918910951796152281063091740257776655340365888339202794156287459222992086816882296*v^11 + 919303999126426154590383147788720760952444423624765209510613756979116739235346749012768*v^10 - 4656064088802753719451743607867157521354617027652991322416567120536258628900136483483680*v^9 + 789043339286882586285088105689535039298196239450667880663967521928947478258593273786685824*v^8 - 4176330469422197522764967775311472940254191854357557041673209550653607034216361932074225792*v^7 + 401430970535802572683663448912760982159662905696338231225302249201115723328533416137061686784*v^6 - 2053463161559484685254409624810251353616178067279106977057701206724400118299588791216351802880*v^5 + 141211905578143025364495548869276873674945376483572999582509012822370848156368088707732223246336*v^4 - 586025878399861504553694233745695223597661784202316137826344568758987443000460911104595294955520*v^3 + 15695497716195664769079947349929769218731163813561059953169585954536829788308385573759867223920640*v^2 + 56207860222759829711853390544048793959758109360429208470070652818261114086329973938328966035456000*v + 586810797497292715924103790889009743657295126943971206381261106389793645571143620162035825958912000) / 246057781638530912103390431186637177114637643512740879985529908803495799569301508883918539980800 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 13\!\cdots\!55 \nu^{17} + \cdots + 19\!\cdots\!00 ) / 21\!\cdots\!00$$ (135381125325482269093904709882382264320131058138735927268935601422591396755*v^17 + 4894384357933150393908565245243216669881352477178225831123657555316962408649*v^16 + 340945061504705199797169192712037624541658039761275463828506301876442903995253*v^15 + 16873502938322846351350643165801075903663180282515434188323292977891746452610602*v^14 + 691321652997702497375225590297520436552943515086816019641478246283138883696124824*v^13 + 35378625661753930064692240443316142559285032950799563922299994674372627805239761928*v^12 + 601865082602752808497111308547189119608813776738595094041240388009460644295123009344*v^11 + 40179626236548424648909496853894801022138071167504520652564999732620208511283537977568*v^10 + 350091144446105118753461492123053169315042623152921317977783684921480132183184566192640*v^9 + 33938280572181339682413270267749007248790022661216262549589219440240171104082930503257984*v^8 - 19012007565756592841575799901182370859251480812703486036959650871659686549141949918589952*v^7 + 16763025750964726922006761869992618554021957220254164735973779503919813947152877793916445184*v^6 - 67311815267983207255057277756617615054868445748627437349540673250504424120136536681279457280*v^5 + 6119498250388840560982557388938942843699602168228963756810892509135585965871914137953591085056*v^4 - 44022780183951872788012347176613035936651662323167902737231369915053104008035094646411752632320*v^3 + 669947925493268683404078735837168198926998354572857369469578990677823604887187199309012460093440*v^2 + 2397821050170449784726360659802830480715132500205110584696078088021177947384554840284442648576000*v + 19027010593961871175085071533650731540139604003072742997080748219844427362659843474262059542118400) / 218718028123138588536347049943677490768566794233547448876026585603107377394934674563483146649600 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 25\!\cdots\!08 \nu^{17} + \cdots - 13\!\cdots\!00 ) / 91\!\cdots\!00$$ (250435839823136987396183626464015046701267888398651300876882619400284277714718708*v^17 - 33577456887332338044805480688104420602838873623526748228908769080798304272770130999*v^16 + 716226914478167988730407302461536335276926869209095136567646719481807740723146560019*v^15 - 102461824379050859959704340232403228516557718680758633615712196963820962790893150543757*v^14 + 1132586166687074102953400930335561406062110707282065324378552561024807228888627741545926*v^13 - 217187800846696094596876815241135589980633714687668681532735889232298175913187884628978712*v^12 + 826061321496425896275715467768074589236553958629476285206234347776782806728557829914979256*v^11 - 250799955138052586977088799240251121890738786215372426407129591578335128558372619054968091200*v^10 + 590915845350378933030548524578243245883582853199634822531476855741597873020200365026933357088*v^9 - 206217495039214568751498382450522644873426023564110034015007555350459795314758627723045556181504*v^8 + 91648765536325666518396393486759697688719675506712807412902448399602852528585975263182214231168*v^7 - 95953986725311687055256474117545706180511311499363504707730896520706602966529818163889230745308160*v^6 + 18013673533425835183452898174360539660410698205737595025471887307335234191353905356429842681933312*v^5 - 28229232008872447110624954220752776693817584616499692356426898903097997823064686964034813233406310400*v^4 - 84033694036726751662173861135599583336327389182854155948601768912733130684672450141455314641160325120*v^3 - 1094994929160570099344268255162743829176040045346533696212074979688396124457344669253093248147716608000*v^2 - 21432313575062839615088104558627429326557276313918089484380369689860518021448731021588568551543612620800*v - 13283832459416889676070163043236057999058782759232446826165494407036420694554174810329128789273600000000) / 91572746844223455424153924113070707722042062248919020780710055846066709388759073688377750544711680000 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( 52\!\cdots\!23 \nu^{17} + \cdots + 19\!\cdots\!00 ) / 12\!\cdots\!00$$ (5248344863553344004286697696715395357489346966912056092943773336412038831974551423*v^17 - 39681149768029569200219066195514311818666037656574291340886399639512672886646230444*v^16 + 17012144786340684423753824678351420147321619681560639789100459840806001431269130020414*v^15 - 70706690223370187699141003829746833368415003780614336481380957044484453568471602531517*v^14 + 36318167199301530942533510034938873569751514423739872978494168614271289966326613764140106*v^13 - 141622815296036863895414046816473249251187012931425124682012924417483827417083945105123072*v^12 + 43221114603667730770328569102928565024580723757716681705300469200927678344248951578928463336*v^11 - 181108027118150669391568763468076819612654636266888386036230518403133338653545919886928408800*v^10 + 37201399678145040932284570305406600230543068538158569636923643657688065387007991430154496415328*v^9 - 165355575280549113993673833292765263303829499167332080002640593098274882875929447721605574468224*v^8 + 19085375422956001199443540411542007047885314246678468427913171183780591888511851983715029930062208*v^7 - 83131915318769056419970114530302954712692143898229828172471038716216123612936901803451840408629760*v^6 + 6690370189669800857917538263118993990598029506396055830487948702868509493644312378455568972964291072*v^5 - 21520142443119010863363028421521754881382409700153740739307676576603443562300161710098857565336985600*v^4 + 756112883146827753551853056036313713230518160579775243651024003705619321797738649776978202161274337280*v^3 + 2823367493303281370343207848455228863952445998441128225209769822459143240762298333710233797625334272000*v^2 + 20083818630268365496836107919818137832527664661254242635785009689109348940897819846507855513873320755200*v + 1933589061538076508086452623469974934274964139195311619432846002349217129408736195662942859033600000000) / 1282018455819128375938154937582989908108588871484866290929940781844933931442627031637288507625963520000 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!12 \nu^{17} + \cdots - 87\!\cdots\!60 ) / 32\!\cdots\!40$$ (-174364430330988433529697017484176356995227835905788814896942820436205033412*v^17 + 6841438397993016956029282682658775055804524847572272935492506774146093128587*v^16 - 557674422058455749107444419049047740620818802694391262574386134999862551255655*v^15 + 21543105685868304572985239230281076826866308429099784459967764677460307858521945*v^14 - 1117838354264870939097006236757122114435744227449364788721621806162534745233565310*v^13 + 46912814912533982621413315416638724846730697421204585671476428297902963684780891768*v^12 - 1230613791581507636042757316411674335738571702985088882625544637277201205634326766616*v^11 + 59926991845366733977302213192091340275169851808038354000987911579937359549438824692032*v^10 - 1013122222294424051899503420594638582992093570565940129375383230982543404752699344805536*v^9 + 52859243709313694561028090133449565380509274000705355728472610213056523755504127933946368*v^8 - 485734822871503206040576589456455947742930022324295903995578767127781516520144127042836096*v^7 + 28840508978229144262098015818229131509257263448108854554633602875000130652169653967478070272*v^6 - 166953309466029612809629457430004840278422519764402562295016826370420288550359959649566000640*v^5 + 9548878678202882222765460256830799257005415817354116965946807597124756319586787505440728635392*v^4 - 10671658128898053635735814807634532364497422723490780934084662146832286620551366006057759545344*v^3 + 1075153276492953212343892491735694781965376294654944869088985719273434677942257464028553836974080*v^2 + 3852417380489063257164810611939985631292066523722101738944671769104357965980682837565642668032000*v - 8762089135931372177314113698375239093282813973799930220808767368867007112654721112014992610754560) / 32807704218470788280452057491551623615285019135032117331403987840466106609240201184522471997440 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!75 \nu^{17} + \cdots - 64\!\cdots\!00 ) / 32\!\cdots\!00$$ (-2101874724663692865191707493889710606211327718772226790381390291162353601175*v^17 - 1126599168867656641252026936072173467613908288874034098353532340379490597299889*v^16 + 3368189765510253187452849370899981505955691411237141081597011784319940353516187*v^15 - 3661055263045548990767976419004065457590980609244675822262463776425248938409316582*v^14 + 6213077551998567738499894008272516221026512647194087480072005968831948737410266816*v^13 - 7801423836888860169606870505373623949837521068901465447876216403470436708526865826248*v^12 + 24967649717989917087602068027315503708852550530364916873026270514017667446712134280736*v^11 - 9219946848167764560970526696412934217457133646566629793469469616493955846174577616988768*v^10 + 38097164376875949201973970193882197912049595485643119341568450835263190978306997861660800*v^9 - 7919779241374014579094613003710743293811479676257692791396135326016788460873572559658670464*v^8 + 39009184507712719606912692398613897990475524733177451014667637468297549998523733060567875072*v^7 - 4029606747831861122193317262125715607794358527289722375566329075490876656354860610730763569664*v^6 + 20285316054885395753799577945196600924995840351776460771686534501895256526537502020542572462080*v^5 - 1421509118165558476715032057354059527132487417473864304637307541418192180234353888860727502309376*v^4 + 5638355965636496752894814344885594236388108419991470348221526168524275463667266853329174624112640*v^3 - 157829110063269679045777141890966144304663335123374016102286238427709674701922685266406969317130240*v^2 - 565193195756997903803497233879464715511933829088477838838306232309928495963963698179646550327296000*v - 6428816247336799027154794436008962764141959136746440742241940943102542446846749593073564633104384000) / 328077042184707882804520574915516236152850191350321173314039878404661066092402011845224719974400 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 28\!\cdots\!41 \nu^{17} + \cdots + 19\!\cdots\!00 ) / 39\!\cdots\!80$$ (-2874373172461644308269294817423052999512934219209230907835621160676536935241*v^17 + 3331572328328409744644159439015226868406198745542211956146831659535307815528729*v^16 - 34927158514964113693503140554100376697886260664233345478907623375209811886003107*v^15 + 10580859049556130751252813733676251018373005863603128373831844620424842224156903902*v^14 - 66458629680817563756220035848974243578211592537108350934476003700773473943128856528*v^13 + 22438126150859036978358282900833158351106547655656233042564728139394710078040781017352*v^12 - 118820494952444665673203427266707210476279328986119790655087670673503872502409284048224*v^11 + 26284779032415445416113235224891776750283095065547936293074161407831300519612706237037664*v^10 - 142658557817769095984943124088414850615886648341912210403105581964211866263335171071067008*v^9 + 22494665372077983195581835321633266296268790812901424359287391046157622017512396964097685888*v^8 - 120102806604549469756540150633967855119679586770329527637082124380798305866396806142475700736*v^7 + 11367046871560079386328289004615781955038808227402277678114455597126996449377516331269986265600*v^6 - 58442855587790033639685713288031879282123565124831476648739757483350975832287857781948845117440*v^5 + 4011315768524178874115261122537322744159699642833419468967771327117762632622011969592770323695616*v^4 - 14219291521954772194226738338534254410923552932028350979982013214125369475289966043154784712773632*v^3 + 445851129179674831406278983416823576089790904182165078333729503100679084538489194569318386639011840*v^2 + 1596628763838103505101640400967919298722072144526224403938651705406354623696111645751789115047936000*v + 19804667212968748280973820013203235490240621072919234596694601740141913375041403322094886657989017600) / 393692450621649459365424689898619483383420229620385407976847854085593279310882414214269663969280 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 14\!\cdots\!89 \nu^{17} + \cdots - 33\!\cdots\!00 ) / 94\!\cdots\!00$$ (-1479112076718431495546975226852760159237768249655150708315183294826824189*v^17 + 3771807481727691558374917986516818841715728118157725276438876516401985567*v^16 - 4731227166477244080569595114871474831675759634007515109061380673507394171977*v^15 - 2869538558556777893076919011489571813083948198794527233597444631690564180844*v^14 - 10132805512051073785126826011870846453758781323957540271838461916593227647954708*v^13 - 7759139842209166239955999586533336919501119307249595863864898492575169639101704*v^12 - 11982275725174409592408489572357831466432650343784228814602399498243868637739036848*v^11 - 2768662059468356361480112054399012016779680471332739579983318600475180014637866400*v^10 - 10280414906505809940818226004006697668192665468278666334133835446988091989448059607104*v^9 + 1536169218511309117075705568333863435624373436987718646917246702161749163833621647232*v^8 - 5232447979463944476692617748312190431280761874948255941059227319321942564634113467327744*v^7 + 2422359355218092698445795699386405664940967808455796988019628443668800406233311308065280*v^6 - 1856282023654040627463468688900790598679893414729671412291311915210872467636426869796996096*v^5 - 837332601730401846398411090870548014330875963626871982280587531451037831152443048513996800*v^4 - 228177652290968364340693363598999337477907871440437648006511329744167269897470621529964503040*v^3 - 1019711802079594705686855239298576914712165797964922242169118416198641923290391634055361536000*v^2 - 19677248392194823869613390024849898006371446959428491076482522697598017726045287995816413593600*v - 3389305841692450722436940479973831241326631095479977241180860007195814975853202398259200000000) / 94315004921086866967555232340459857405084143257895122830852990346828413012779272331591680000 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 82\!\cdots\!45 \nu^{17} + \cdots - 18\!\cdots\!00 ) / 19\!\cdots\!00$$ (82616553588139295804471192354737581241726911796586244528566643521725055010745*v^17 + 87817471299384832349657664553303799273320728088030304776253725587572555029519*v^16 + 230572216570983164502677801507730659412076269638926923465286279532984867272687163*v^15 + 1123538610734355402280841180400119535978577234648631951692036005428320337922768682*v^14 + 464391291433455260549545965620385723935205631127549353686483446571428236464831623584*v^13 + 2176213566874460362893126229700222389733294136129257380212286683835326191249096090168*v^12 + 454765664607258877629967151654437503233392908099048384663046187742165011337945926622624*v^11 + 1936136154790446385257935660435285879597753920648043564079593706331044189869374956524448*v^10 + 328741049710543714167540328309851550598066237242798568543641288241904667108452723204434560*v^9 + 1433476874720629790107319742810805889631035299633537876319071992579494878331678566978899584*v^8 + 88102934239149057774512163208797962222077206146911596459176686967100950427677587811293644288*v^7 + 574923386502353548643282084484856472195268284209721684162965356089017658233674448249980409344*v^6 + 8453851702103505709547573375531153267485697592320478920594470056106204131523127481869032120320*v^5 + 303864493104490898356451170273806737548307190402047543713806605344126705863591829585655156832256*v^4 - 17649815462619617010980281089549297336361441081473194070722219620426683134287853420455679466598400*v^3 + 27777338532127128199542053831719490353239672515362079816856985265710909878331515521633988815421440*v^2 + 98718111715368487383570908823091593696888171554940552168681707986635473705006975951207014219776000*v - 18166883095737769274244382474729222271898999303037533177630100793156742845215397624906153343025152000) / 1968462253108247296827123449493097416917101148101927039884239270427966396554412071071348319846400 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( - 39\!\cdots\!89 \nu^{17} + \cdots - 48\!\cdots\!00 ) / 51\!\cdots\!00$$ (-39477128745853255535057886375175841694194194109088853133962286267050870877285510189*v^17 + 219987005765355150514537945289123303003726995359831346006186894645197379516041489067*v^16 - 132326187069203625257537713744890265321241897411303315766755705624575681770297200883877*v^15 + 302882411644821954744237040865290691901142236452261211401041875124372617659267942804056*v^14 - 288802653489751733699939754882827414264625187707115822437185386866670636577416896189915308*v^13 + 542500491311893019536548295846122229880647119212625711201268941126697100766317037520820696*v^12 - 359329983726865317145002609813433157011563042169512818248159502446465543343284289139708309648*v^11 + 740142959566838684581522254844582395716533290122482194409750143903048142331766276417872450400*v^10 - 322244888789752898773391158866191247535435356246507116055872998306766611008461520838965220877504*v^9 + 711231592539468841461737514217453007484298683615325234529505847594025085713240772013313661583232*v^8 - 181150442862301985260526073653013491879725238235355772411279163080125310746212449636579705005618944*v^7 + 373775569840559257025713454899834158951948766463197623210262484983857768704684784729945535767943680*v^6 - 70951446953826483910926083671171287411640472474063571584626415652435547495793965667536879047498218496*v^5 + 77782687546736279157663086356968915657547222077744753411951253366501890753755745958514636350900787200*v^4 - 13469105049825050925029546361853754357583785419859504894528909750726365504602511897287660651598900183040*v^3 - 31423124195168980871253964368218841925918722687311653768761086683986377157088872226307485506039078707200*v^2 - 1369377530802330403065196050628522319575182993043079646794695776842180190117315449392040667268265683353600*v - 4847995252034805049194984806856999696569273464000947861014774277832408327956706474517205282865463869440000) / 512807382327651350375261975033195963243435548593946516371976312737973572577050812654915403050385408000 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( - 12\!\cdots\!01 \nu^{17} + \cdots + 31\!\cdots\!00 ) / 15\!\cdots\!00$$ (-128293696170718425694895299634941087054372779635053565860707341274101831124679825001*v^17 + 1123661917033094187536952738488474863519703016657583583202503413351270471314412634773*v^16 - 410457955799306066418249480493667489526410698744844038465887792947576284660414740412303*v^15 + 2210298647166771316492677907950698055114102468888588234081743370454233086790861065093314*v^14 - 870849034286213579059995384721241824121642264772240426335725277670217749008858825136930152*v^13 + 4528165709056893407879605036070383539164905490382058089869819485088827651659547299925262504*v^12 - 1022549899016834197956614709920930656747957653484383126355659593994973422002534931119802357312*v^11 + 5678989754521748153275649110092561659878266481751300932449285354429158803287816490064437638240*v^10 - 876037488265098142053959524835014429892587889138213749042587153027345006949937506409241145972736*v^9 + 5039163122574739449197678280706648734693961124629229536526644256447249384221148337095573810791808*v^8 - 443365644249428755786772432092242652811882440207043673954815114239912148020935723960529018035526656*v^7 + 2488558825243898342825668378289890786111182943087893441541046989147794728390276986489857792468503040*v^6 - 156373745877863399597783450865127740714787171094979098367350689472700024689719371936614975737346033664*v^5 + 651920907478594822850113271750739398908274129015424107683752856952273759463410773959642840052712826880*v^4 - 17172276752746356331870707498931911504416369628936855058721415442600857466232704372430972791597510799360*v^3 - 59625659326164981561659560569025695987648371106339947213802347426722027161606999072075360535374948352000*v^2 - 715647682959709947169641347606948301836359913594204733006187942085883290962931149379013484717631899238400*v + 31275406649233413255614911931778663257916181444856601992790118380163233303919267458981670710558720000000) / 1538422146982954051125785925099587889730306645781839549115928938213920717731152437964746209151156224000 $$\beta_{16}$$ $$=$$ $$( - 37\!\cdots\!87 \nu^{17} + \cdots + 45\!\cdots\!00 ) / 56\!\cdots\!00$$ (-37058996946453595583107031642948858360867936101964767201586359849541414434237850287*v^17 + 315274567286706077404254858755458539305095914449807140404603423709225428368713757231*v^16 - 119037024708631487175474024669103562514800499036800875612023546232004242856031263542901*v^15 + 614712608263643296238527718996235775064785870408826802147839440495798570018243179752258*v^14 - 253078892420295063905003663517553218763455688302369431483733204860222649844811930619512944*v^13 + 1253659019183805811662955217649644143541533212624390087334543920580560757775535901497436408*v^12 - 298215885437808135113844623473605336087636161633989965556793572825985556368985698443915541664*v^11 + 1579683120178683101672995290993084794368094662937673252986136048184363355101380682706917595040*v^10 - 255846798576167391544632286468318056182895989971989650139827103551027692550099846572157007816832*v^9 + 1405103352463969800771465083479635738509903640893845239042455077608764702980659882070882654350976*v^8 - 129828462044621506039558311898646206596606037119117223919256490116508201027118966611719728773658112*v^7 + 695968312915375144629582112480663965749405568201288878154327196283579909875046700222075972426216960*v^6 - 45761704305641915417369248633607125873504828038284406942286679449407257871136200830341599678621216768*v^5 + 180620188833716779971967543735225742909520598010640673297112876299374602136017309954093916941339310080*v^4 - 5055315519547362217609887272632124963836162966619193578274809668891465153456975897964425439336197304320*v^3 - 17828703017107964486044395534313862191412216586029733785542615688376488860346418309363766027711901696000*v^2 - 227388333956414095737664034999966054176643074518677035516550655378775725703502394859137308137669283020800*v + 4599642478038453983828172179905507905245789789286184068221435014357822897064751687557684285829120000000) / 56978598036405705597251330559243995915937283177105168485775145859774841397450090294990600338931712000 $$\beta_{17}$$ $$=$$ $$( - 80\!\cdots\!11 \nu^{17} + \cdots - 25\!\cdots\!00 ) / 51\!\cdots\!00$$ (-808430431619473723820060409435703035252060109577305113941542650731189820126517528111*v^17 + 2408955345559074031659141792620164581984639285345412593898726044343063263268874234333*v^16 - 2560521126276707389217364768846422737723681346815441213343507515972463506361959116222923*v^15 - 963611096442172315426969599414500536573518547942949697326892441398495392153236522160156*v^14 - 5452769952654647581431282230125093323935569107711353338473110747158765525478676460737707692*v^13 - 3110007183899522562316797587982680984049870913131104830496522947475762757500165763526201496*v^12 - 6369745733598612082227836078982291390668657459218909494331107652551409265514118571589286175952*v^11 - 1318590386006859444321327616601300741910886317319841684142882943742668873225996560547763935200*v^10 - 5410067081538560589099357579976044340792022714079040064372390291660420970419332501028632769768896*v^9 + 208074988101345915874381307140621943567603994801443021769666474802257972351766595098663364887168*v^8 - 2681457956088756845539714489106363386779614976682543251629433755795194371777853544933112086608294656*v^7 - 153833813139583027965659645256279390051720139477103031092147121395954500444800462901143632815034880*v^6 - 924833887122326380403459555513424719652814576605424164573920307426126306319106905175202461326910536704*v^5 - 1391245940503231081731190246258601508581094743402374864507727450447754256264522097593050099083293235200*v^4 - 92561188236795596786151711894949431650057207021608348604761217868289404109402122979547789427653444853760*v^3 - 977235950647018950886788192418795145649482116186038325695210336301015816020332721820496746866833435648000*v^2 - 7522821829100934709309880663744514900838551161931561357934270504270212310094298722284639827930774795878400*v - 25774833104158329192872088022613374274990698318620986103364385771148930612835525272004518257403927183360000) / 512807382327651350375261975033195963243435548593946516371976312737973572577050812654915403050385408000
 $$\nu$$ $$=$$ $$\beta_1$$ b1 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$-\beta_{12} + \beta_{4} - 2\beta_{3} + 708\beta_{2}$$ -b12 + b4 - 2*b3 + 708*b2 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$\beta_{13} - 21\beta_{6} + \beta_{5} + 9\beta_{4} - 1111\beta_{3} - 1111\beta _1 - 1373$$ b13 - 21*b6 + b5 + 9*b4 - 1111*b3 - 1111*b1 - 1373 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$- 37 \beta_{15} - 19 \beta_{14} + 19 \beta_{13} + 1507 \beta_{12} + 327 \beta_{8} - 44 \beta_{7} + \cdots - 780567$$ -37*b15 - 19*b14 + 19*b13 + 1507*b12 + 327*b8 - 44*b7 - 780567*b2 - 7017*b1 - 780567 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$112 \beta_{17} - 48 \beta_{16} + 577 \beta_{15} - 1929 \beta_{14} + 24337 \beta_{12} + \cdots - 4825349 \beta_{2}$$ 112*b17 - 48*b16 + 577*b15 - 1929*b14 + 24337*b12 - 48*b10 - 500*b9 + 59573*b8 - 500*b7 + 59573*b6 - 577*b5 - 24337*b4 + 1417747*b3 - 4825349*b2 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$- 47251 \beta_{13} - 3280 \beta_{11} - 2096 \beta_{10} - 103676 \beta_{9} + 1042167 \beta_{6} + \cdots + 986992551$$ -47251*b13 - 3280*b11 - 2096*b10 - 103676*b9 + 1042167*b6 + 95109*b5 - 2249571*b4 + 17468497*b3 + 17468497*b1 + 986992551 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$- 300208 \beta_{17} + 103888 \beta_{16} + 958607 \beta_{15} + 3287801 \beta_{14} - 3287801 \beta_{13} + \cdots + 12016457973$$ -300208*b17 + 103888*b16 + 958607*b15 + 3287801*b14 - 3287801*b13 - 50037289*b12 - 300208*b11 - 113128613*b8 + 1582868*b7 + 12016457973*b2 + 1971875155*b1 + 12016457973 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$- 10086288 \beta_{17} + 7583344 \beta_{16} + 182981037 \beta_{15} + 94197483 \beta_{14} + \cdots + 1364356391391 \beta_{2}$$ -10086288*b17 + 7583344*b16 + 182981037*b15 + 94197483*b14 - 3464377531*b12 + 7583344*b10 + 186733116*b9 - 2341323887*b8 + 186733116*b7 - 2341323887*b6 - 182981037*b5 + 3464377531*b4 - 36654775865*b3 + 1364356391391*b2 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$5458219265 \beta_{13} + 599708080 \beta_{11} + 184936272 \beta_{10} + 3614297012 \beta_{9} + \cdots - 25223627132381$$ 5458219265*b13 + 599708080*b11 + 184936272*b10 + 3614297012*b9 - 192301519245*b6 - 3943184071*b5 + 94239025073*b4 - 2915142387435*b3 - 2915142387435*b1 - 25223627132381 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$22031182608 \beta_{17} - 17420740080 \beta_{16} - 320061824597 \beta_{15} - 174064161539 \beta_{14} + \cdots - 20\!\cdots\!99$$ 22031182608*b17 - 17420740080*b16 - 320061824597*b15 - 174064161539*b14 + 174064161539*b13 + 5482282596627*b12 + 22031182608*b11 + 4650771845287*b8 - 311237280796*b7 - 2009945686203799*b2 - 70562026835393*b1 - 2009945686203799 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$1085597587760 \beta_{17} - 329856769488 \beta_{16} - 9169115795199 \beta_{15} + \cdots - 48\!\cdots\!17 \beta_{2}$$ 1085597587760*b17 - 329856769488*b16 - 9169115795199*b15 - 9023482426633*b14 + 170229333730617*b12 - 329856769488*b10 - 7277141365844*b9 + 316094705253877*b8 - 7277141365844*b7 + 316094705253877*b6 + 9169115795199*b5 - 170229333730617*b4 + 4498205507120963*b3 - 48562454125752517*b2 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$- 310266373627163 \beta_{13} - 42239068431248 \beta_{11} - 33382015222128 \beta_{10} + \cdots + 30\!\cdots\!63$$ -310266373627163*b13 - 42239068431248*b11 - 33382015222128*b10 - 507303947123964*b9 + 8707722888775647*b6 + 541261340520189*b5 - 8851825854372779*b4 + 129472645226685385*b3 + 129472645226685385*b1 + 3095799595697117263 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$- 18\!\cdots\!36 \beta_{17} + 607062520370256 \beta_{16} + \cdots + 89\!\cdots\!33$$ -1889725808437936*b17 + 607062520370256*b16 + 18062764322426103*b15 + 14953093245372241*b14 - 14953093245372241*b13 - 300352238528549633*b12 - 1889725808437936*b11 - 516008845195122589*b8 + 13740188555767540*b7 + 89101823086085073133*b2 + 7148518848444924763*b1 + 89101823086085073133 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$- 76\!\cdots\!92 \beta_{17} + \cdots + 49\!\cdots\!55 \beta_{2}$$ -76155944945483792*b17 + 58616647447706864*b16 + 906351492425754341*b15 + 542246296910386675*b14 - 14497323684016326915*b12 + 58616647447706864*b10 + 824869080209681628*b9 - 15760519529443886807*b8 + 824869080209681628*b7 - 15760519529443886807*b6 - 906351492425754341*b5 + 14497323684016326915*b4 - 230855814732888185361*b3 + 4915566445916411706055*b2 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$24\!\cdots\!41 \beta_{13} + \cdots - 15\!\cdots\!69$$ 24878789300633735641*b13 + 3236897953449771056*b11 + 1135191402665178832*b10 + 24987480505966511764*b9 - 844608499114727498885*b6 - 33079324870046901423*b5 + 522381193330642189065*b4 - 11590147629805203709491*b3 - 11590147629805203709491*b1 - 158852792963066683408469 $$\nu^{16}$$ $$=$$ $$13\!\cdots\!00 \beta_{17} + \cdots - 79\!\cdots\!27$$ 133067233256729542800*b17 - 98501497597084198000*b16 - 1516684529329298288141*b15 - 936686109841090950539*b14 + 936686109841090950539*b13 + 23979781178149784023323*b12 + 133067233256729542800*b11 + 27922752042048507817359*b8 - 1347480866320657093564*b7 - 7966877560194679244112127*b2 - 404313830995288625732249*b1 - 7966877560194679244112127 $$\nu^{17}$$ $$=$$ $$55\!\cdots\!60 \beta_{17} + \cdots - 27\!\cdots\!57 \beta_{2}$$ 5508141682686987338160*b17 - 2118263201624494845264*b16 - 58392991348902295603751*b15 - 41554572345124254425249*b14 + 900221171811954073457489*b12 - 2118263201624494845264*b10 - 44383453682818849585972*b9 + 1390182971037749882685613*b8 - 44383453682818849585972*b7 + 1390182971037749882685613*b6 + 58392991348902295603751*b5 - 900221171811954073457489*b4 + 19047524010017608002736075*b3 - 278169296925537073014588157*b2

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$2$$ $$\chi(n)$$ $$-1 - \beta_{2}$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
3.1
 20.5607 − 35.6122i 14.5861 − 25.2639i 12.1287 − 21.0076i 7.02454 − 12.1669i −2.19214 + 3.79690i −3.59372 + 6.22451i −13.4651 + 23.3223i −16.2753 + 28.1897i −17.2738 + 29.9191i 20.5607 + 35.6122i 14.5861 + 25.2639i 12.1287 + 21.0076i 7.02454 + 12.1669i −2.19214 − 3.79690i −3.59372 − 6.22451i −13.4651 − 23.3223i −16.2753 − 28.1897i −17.2738 − 29.9191i
−19.5607 33.8802i −36.0748 62.4834i −509.244 + 882.037i −1007.31 −1411.30 + 2444.44i 190.054 329.184i 19814.6 7238.71 12537.8i 19703.7 + 34127.8i
3.2 −13.5861 23.5319i 40.2079 + 69.6421i −113.166 + 196.010i 1952.16 1092.54 1892.33i 540.093 935.468i −7762.23 6608.15 11445.7i −26522.3 45938.0i
3.3 −11.1287 19.2755i 128.264 + 222.159i 8.30313 14.3814i −2488.59 2854.82 4944.69i −83.9480 + 145.402i −11765.4 −23061.6 + 39943.8i 27694.8 + 47968.9i
3.4 −6.02454 10.4348i −96.9066 167.847i 183.410 317.675i −26.3134 −1167.64 + 2022.40i −1348.09 + 2334.97i −10589.0 −8940.28 + 15485.0i 158.526 + 274.576i
3.5 3.19214 + 5.52895i 2.91217 + 5.04403i 235.621 408.107i −1063.81 −18.5921 + 32.2025i 3237.60 5607.69i 6277.28 9824.54 17016.6i −3395.82 5881.73i
3.6 4.59372 + 7.95656i 74.2673 + 128.635i 213.795 370.305i 1229.19 −682.327 + 1181.82i −4166.53 + 7216.65i 8632.44 −1189.76 + 2060.73i 5646.55 + 9780.12i
3.7 14.4651 + 25.0544i −95.3768 165.198i −162.481 + 281.425i 1752.49 2759.28 4779.21i 2202.24 3814.40i 5411.06 −8351.99 + 14466.1i 25350.1 + 43907.6i
3.8 17.2753 + 29.9218i −28.8997 50.0557i −340.875 + 590.413i −2017.22 998.503 1729.46i −5878.83 + 10182.4i −5865.01 8171.12 14152.8i −34848.1 60358.7i
3.9 18.2738 + 31.6511i 92.1071 + 159.534i −411.862 + 713.365i 529.393 −3366.29 + 5830.58i 4337.92 7513.49i −11392.7 −7125.92 + 12342.5i 9674.01 + 16755.9i
9.1 −19.5607 + 33.8802i −36.0748 + 62.4834i −509.244 882.037i −1007.31 −1411.30 2444.44i 190.054 + 329.184i 19814.6 7238.71 + 12537.8i 19703.7 34127.8i
9.2 −13.5861 + 23.5319i 40.2079 69.6421i −113.166 196.010i 1952.16 1092.54 + 1892.33i 540.093 + 935.468i −7762.23 6608.15 + 11445.7i −26522.3 + 45938.0i
9.3 −11.1287 + 19.2755i 128.264 222.159i 8.30313 + 14.3814i −2488.59 2854.82 + 4944.69i −83.9480 145.402i −11765.4 −23061.6 39943.8i 27694.8 47968.9i
9.4 −6.02454 + 10.4348i −96.9066 + 167.847i 183.410 + 317.675i −26.3134 −1167.64 2022.40i −1348.09 2334.97i −10589.0 −8940.28 15485.0i 158.526 274.576i
9.5 3.19214 5.52895i 2.91217 5.04403i 235.621 + 408.107i −1063.81 −18.5921 32.2025i 3237.60 + 5607.69i 6277.28 9824.54 + 17016.6i −3395.82 + 5881.73i
9.6 4.59372 7.95656i 74.2673 128.635i 213.795 + 370.305i 1229.19 −682.327 1181.82i −4166.53 7216.65i 8632.44 −1189.76 2060.73i 5646.55 9780.12i
9.7 14.4651 25.0544i −95.3768 + 165.198i −162.481 281.425i 1752.49 2759.28 + 4779.21i 2202.24 + 3814.40i 5411.06 −8351.99 14466.1i 25350.1 43907.6i
9.8 17.2753 29.9218i −28.8997 + 50.0557i −340.875 590.413i −2017.22 998.503 + 1729.46i −5878.83 10182.4i −5865.01 8171.12 + 14152.8i −34848.1 + 60358.7i
9.9 18.2738 31.6511i 92.1071 159.534i −411.862 713.365i 529.393 −3366.29 5830.58i 4337.92 + 7513.49i −11392.7 −7125.92 12342.5i 9674.01 16755.9i
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 3.9 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
13.c even 3 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 13.10.c.a 18
13.c even 3 1 inner 13.10.c.a 18
13.c even 3 1 169.10.a.c 9
13.e even 6 1 169.10.a.d 9

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
13.10.c.a 18 1.a even 1 1 trivial
13.10.c.a 18 13.c even 3 1 inner
169.10.a.c 9 13.c even 3 1
169.10.a.d 9 13.e even 6 1

## Hecke kernels

This newform subspace is the entire newspace $$S_{10}^{\mathrm{new}}(13, [\chi])$$.

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{18} + \cdots + 37\!\cdots\!56$$
$3$ $$T^{18} + \cdots + 25\!\cdots\!00$$
$5$ $$(T^{9} + \cdots + 31\!\cdots\!00)^{2}$$
$7$ $$T^{18} + \cdots + 20\!\cdots\!00$$
$11$ $$T^{18} + \cdots + 28\!\cdots\!04$$
$13$ $$T^{18} + \cdots + 16\!\cdots\!13$$
$17$ $$T^{18} + \cdots + 20\!\cdots\!49$$
$19$ $$T^{18} + \cdots + 58\!\cdots\!00$$
$23$ $$T^{18} + \cdots + 10\!\cdots\!76$$
$29$ $$T^{18} + \cdots + 19\!\cdots\!21$$
$31$ $$(T^{9} + \cdots - 33\!\cdots\!00)^{2}$$
$37$ $$T^{18} + \cdots + 94\!\cdots\!49$$
$41$ $$T^{18} + \cdots + 42\!\cdots\!25$$
$43$ $$T^{18} + \cdots + 11\!\cdots\!56$$
$47$ $$(T^{9} + \cdots + 79\!\cdots\!00)^{2}$$
$53$ $$(T^{9} + \cdots - 17\!\cdots\!00)^{2}$$
$59$ $$T^{18} + \cdots + 42\!\cdots\!76$$
$61$ $$T^{18} + \cdots + 22\!\cdots\!25$$
$67$ $$T^{18} + \cdots + 58\!\cdots\!36$$
$71$ $$T^{18} + \cdots + 23\!\cdots\!76$$
$73$ $$(T^{9} + \cdots + 12\!\cdots\!00)^{2}$$
$79$ $$(T^{9} + \cdots - 35\!\cdots\!00)^{2}$$
$83$ $$(T^{9} + \cdots - 95\!\cdots\!00)^{2}$$
$89$ $$T^{18} + \cdots + 54\!\cdots\!64$$
$97$ $$T^{18} + \cdots + 25\!\cdots\!76$$