# Properties

 Label 100.9.b.f Level $100$ Weight $9$ Character orbit 100.b Analytic conductor $40.738$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [100,9,Mod(51,100)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(100, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([1, 0]))

N = Newforms(chi, 9, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("100.51");

S:= CuspForms(chi, 9);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$9$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 100.b (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$40.7378610061$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{16} - 8 x^{15} + 17288 x^{14} - 120876 x^{13} + 118671360 x^{12} - 710457136 x^{11} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$ x^16 - 8*x^15 + 17288*x^14 - 120876*x^13 + 118671360*x^12 - 710457136*x^11 + 410470899998*x^10 - 2045844856168*x^9 + 746949532452816*x^8 - 2975530870765820*x^7 + 676967836191085024*x^6 - 2020497735264125872*x^5 + 260807303204721500937*x^4 - 518250577548900536064*x^3 + 31858950056943102500120*x^2 - 31600161022482546265600*x + 1184806906684617643658000 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$2^{56}\cdot 5^{8}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{2} q^{2} - \beta_1 q^{3} + (\beta_{4} - 21) q^{4} + (\beta_{3} + \beta_1 - 30) q^{6} + ( - \beta_{8} + \beta_{4} - 5 \beta_{2} + 1) q^{7} + (\beta_{5} - 21 \beta_{2} - 5 \beta_1 - 43) q^{8} + (\beta_{6} + \beta_{4} + 32 \beta_{2} - 2074) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b2 * q^2 - b1 * q^3 + (b4 - 21) * q^4 + (b3 + b1 - 30) * q^6 + (-b8 + b4 - 5*b2 + 1) * q^7 + (b5 - 21*b2 - 5*b1 - 43) * q^8 + (b6 + b4 + 32*b2 - 2074) * q^9 $$q + \beta_{2} q^{2} - \beta_1 q^{3} + (\beta_{4} - 21) q^{4} + (\beta_{3} + \beta_1 - 30) q^{6} + ( - \beta_{8} + \beta_{4} - 5 \beta_{2} + 1) q^{7} + (\beta_{5} - 21 \beta_{2} - 5 \beta_1 - 43) q^{8} + (\beta_{6} + \beta_{4} + 32 \beta_{2} - 2074) q^{9} + (\beta_{15} - \beta_{7} + \beta_{4} + \cdots + 31) q^{11}+ \cdots + ( - 2777 \beta_{15} - 1070 \beta_{14} + \cdots - 1003605) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b2 * q^2 - b1 * q^3 + (b4 - 21) * q^4 + (b3 + b1 - 30) * q^6 + (-b8 + b4 - 5*b2 + 1) * q^7 + (b5 - 21*b2 - 5*b1 - 43) * q^8 + (b6 + b4 + 32*b2 - 2074) * q^9 + (b15 - b7 + b4 - 164*b2 - 6*b1 + 31) * q^11 + (-b13 - b8 + 2*b7 + b6 - b3 - 26*b2 + 29*b1 - 1189) * q^12 + (b9 + 2*b7 + b6 - b5 + 11*b4 - b3 - 277*b2 + b1 + 1655) * q^13 + (-b15 + b11 - 2*b8 + 2*b7 - b6 + b5 - 5*b4 - b3 - b2 - 12*b1 + 1273) * q^14 + (-2*b15 + b13 - b12 + b10 + 2*b9 + 3*b8 + 5*b7 - b6 - 21*b4 + 4*b3 - 48*b2 + 31*b1 + 7975) * q^16 + (2*b13 - 2*b11 + b10 - 5*b7 - b6 + 2*b5 + 11*b4 - b3 + 542*b2 + 3*b1 + 757) * q^17 + (5*b15 + b14 - b12 + b11 - b10 + 2*b9 - 7*b8 - 2*b7 - b6 + 3*b5 + 35*b4 + b3 - 2088*b2 - 101*b1 + 8277) * q^18 + (-2*b15 + b14 + 6*b13 - 2*b12 + 2*b11 + b10 + 2*b9 + 5*b8 - 3*b7 - 3*b5 - 54*b4 - 8*b3 + 100*b2 - 154*b1 - 4) * q^19 + (-2*b14 - 2*b13 + 2*b11 + 3*b10 + b9 - 2*b8 + 13*b7 + b6 + 31*b5 - 129*b4 - 34*b3 - 363*b2 - 10*b1 + 3159) * q^21 + (5*b15 + 2*b14 - 4*b13 - 2*b12 - b11 + 2*b10 - 4*b9 + 28*b8 - 4*b7 - 27*b6 + 3*b5 - 143*b4 - 6*b3 + 11*b2 + 87*b1 + 41925) * q^22 + (-b14 + 6*b13 + 6*b12 + 2*b11 - 3*b10 + 2*b9 + b8 - 7*b7 + 23*b5 + 110*b4 + 78*b3 - 1406*b2 - 307*b1 + 236) * q^23 + (8*b15 + 2*b13 + 2*b12 + 4*b11 + 2*b10 + 4*b9 + 78*b8 + 26*b6 + 5*b5 - 42*b4 - 12*b3 - 1157*b2 + 37*b1 - 45677) * q^24 + (9*b15 - b14 + 4*b13 - 11*b12 + b11 + 9*b10 - 2*b9 - 41*b8 - 12*b7 + 27*b6 + 19*b5 - 313*b4 + 5*b3 + 1676*b2 - 427*b1 - 70103) * q^26 + (-5*b15 + 3*b14 - 6*b13 + 2*b12 - 2*b11 + 7*b10 - 2*b9 + b8 + 14*b7 - 65*b5 - 531*b4 + 60*b3 + 4210*b2 + 1021*b1 - 599) * q^27 + (-20*b15 + 12*b14 + 2*b13 - 12*b12 + 4*b11 - 8*b10 + 118*b8 - 2*b7 + 26*b6 - 8*b5 - 48*b4 + 26*b3 + 1188*b2 - 910*b1 - 65830) * q^28 + (12*b14 - 4*b13 - 16*b12 + 4*b11 + 6*b10 + 7*b9 + 12*b8 + 36*b7 + 9*b6 + 57*b5 + 183*b4 + 199*b3 - 4495*b2 + 113*b1 - 26295) * q^29 + (-18*b15 - 21*b14 + 6*b13 + 6*b12 + 2*b11 + 21*b10 + 2*b9 + 3*b8 + 55*b7 - 149*b5 + 134*b4 + 266*b3 + 13672*b2 + 1959*b1 - 2520) * q^31 + (-10*b15 + 24*b14 + 11*b13 - 19*b12 - 4*b11 + 15*b10 - 2*b9 - 167*b8 - 3*b7 + 89*b6 - 14*b5 - 119*b4 - 12*b3 + 8354*b2 + 1667*b1 - 234649) * q^32 + (-8*b14 - 4*b13 + 48*b12 + 4*b11 - 18*b10 - 14*b9 - 8*b8 - 10*b7 + 8*b6 - 158*b5 + 1508*b4 - 696*b3 + 2810*b2 - 52*b1 - 43355) * q^33 + (-5*b15 + 3*b14 + 8*b13 + 21*b12 - 9*b11 + 13*b10 + 6*b9 - 405*b8 - 26*b7 - 63*b6 - 11*b5 + 589*b4 - 33*b3 + 709*b2 - 207*b1 + 139003) * q^34 + (4*b15 - 12*b14 - 12*b13 - 48*b12 + 4*b11 + 28*b10 - 24*b9 + 184*b8 - 10*b7 - 88*b6 + 76*b5 - 1970*b4 + 16*b3 + 8756*b2 + 4892*b1 + 115870) * q^36 + (34*b14 - 26*b13 + 16*b12 + 26*b11 + 15*b10 - 7*b9 + 34*b8 + 29*b7 - 9*b6 + 155*b5 + 3093*b4 - 554*b3 + 3349*b2 + 410*b1 - 122325) * q^37 + (-30*b15 + 60*b14 + 8*b13 - 60*b12 - 10*b11 - 20*b10 - 24*b9 - 320*b8 - 152*b7 - 62*b6 - 50*b5 + 154*b4 + 97*b3 + 358*b2 + 2635*b1 - 27860) * q^38 + (36*b15 + 63*b14 - 66*b13 - 50*b12 - 22*b11 + 9*b10 - 22*b9 + 44*b8 + 93*b7 - 129*b5 - 3289*b4 - 854*b3 + 13481*b2 + 1777*b1 - 1643) * q^39 + (-92*b14 + 28*b13 + 48*b12 - 28*b11 + 38*b10 - 14*b9 - 92*b8 + 34*b7 + 8*b6 + 278*b5 - 4188*b4 - 988*b3 + 13802*b2 - 724*b1 + 107315) * q^41 + (-55*b15 + 123*b14 + 60*b13 - 63*b12 + 9*b11 + 29*b10 + 54*b9 + 627*b8 + 112*b7 + 27*b6 - 133*b5 - 617*b4 + 69*b3 + 2250*b2 - 6807*b1 - 101543) * q^42 + (-5*b15 - 16*b14 - 72*b13 + 136*b12 - 24*b11 - 20*b10 - 24*b9 + 4*b8 + 189*b7 - 8*b5 - 665*b4 + 1612*b3 + 24120*b2 + 5139*b1 - 4087) * q^43 + (-76*b15 + 36*b14 - 19*b13 + 84*b12 - 52*b11 + 16*b10 - 48*b9 + 793*b8 - 236*b7 - 89*b6 - 208*b5 + 216*b4 - 83*b3 + 43082*b2 + 10883*b1 - 38087) * q^44 + (-86*b15 - 64*b14 - 64*b13 - 96*b12 - 10*b11 + 16*b10 + 32*b9 - 396*b8 + 196*b7 - 54*b6 + 54*b5 - 1742*b4 + 240*b3 - 2214*b2 - 19138*b1 + 345730) * q^46 + (90*b15 + 165*b14 + 66*b13 + 50*b12 + 22*b11 - b10 + 22*b9 + 334*b8 - 439*b7 - 163*b5 - 9855*b4 + 682*b3 - 48163*b2 + 665*b1 + 12183) * q^47 + (210*b15 + 160*b14 - 21*b13 - 155*b12 - 56*b11 + 3*b10 + 6*b9 + 545*b8 - 549*b7 - 115*b6 - 8*b5 - 1303*b4 + 44*b3 - 47760*b2 - 17667*b1 + 242085) * q^48 + (192*b14 + 46*b13 - 80*b12 - 46*b11 - 9*b10 - 98*b9 + 192*b8 - 7*b7 - 244*b6 - 224*b5 + 8908*b4 + 1611*b3 - 28724*b2 + 1635*b1 - 341083) * q^49 + (143*b15 - 224*b14 - 72*b13 + 136*b12 - 24*b11 - 52*b10 - 24*b9 - 632*b8 + 217*b7 + 456*b5 + 12967*b4 + 1596*b3 + 460*b2 - 848*b1 - 3679) * q^51 + (100*b15 + 356*b14 - 36*b13 - 56*b12 + 52*b11 - 44*b10 + 24*b9 + 160*b8 + 246*b7 - 496*b6 - 188*b5 + 2512*b4 + 192*b3 - 67812*b2 + 26444*b1 + 713964) * q^52 + (42*b14 + 50*b13 + 128*b12 - 50*b11 + 69*b10 + 88*b9 + 42*b8 + 565*b7 - 252*b6 + 144*b5 + 10272*b4 - 2855*b3 - 62258*b2 + 971*b1 + 586768) * q^53 + (125*b15 + 182*b14 - 108*b13 + 138*b12 + 15*b11 - 58*b10 - 76*b9 + 128*b8 - 1040*b7 + 381*b6 - 677*b5 + 3801*b4 - 622*b3 - 1393*b2 - 14925*b1 - 1027411) * q^54 + (120*b15 - 208*b14 + 48*b13 - 40*b12 - 56*b11 - 112*b10 + 96*b9 - 432*b8 - 532*b7 + 584*b6 + 154*b5 + 2080*b4 + 1032*b3 - 59082*b2 + 56286*b1 - 327094) * q^56 + (460*b14 + 126*b13 + 80*b12 - 126*b11 - 57*b10 + 98*b9 + 460*b8 - 1227*b7 + 245*b6 - 1472*b5 + 38461*b4 - 981*b3 + 87224*b2 + 4687*b1 - 1308821) * q^57 + (-55*b15 + 243*b14 - 116*b13 - 183*b12 + 25*b11 + 101*b10 + 102*b9 + 779*b8 - 352*b7 + 443*b6 + 347*b5 - 4009*b4 - 91*b3 - 18948*b2 + 54449*b1 - 1137623) * q^58 + (-279*b15 + 382*b14 + 228*b13 - 60*b12 + 76*b11 - 42*b10 + 76*b9 + 164*b8 + 1329*b7 + 166*b5 - 17885*b4 - 984*b3 + 203450*b2 - 6665*b1 - 33243) * q^59 + (-362*b14 - 154*b13 + 128*b12 + 154*b11 - 249*b10 + 87*b9 - 362*b8 + 1261*b7 - 253*b6 - 1383*b5 - 20915*b4 - 404*b3 - 171457*b2 - 4024*b1 + 2071785) * q^61 + (230*b15 + 668*b14 - 376*b13 + 132*b12 - 14*b11 - 212*b10 - 280*b9 - 856*b8 + 672*b7 + 838*b6 - 86*b5 + 11822*b4 - 1340*b3 - 7318*b2 - 65798*b1 - 3476442) * q^62 + (90*b15 + 266*b14 + 300*b13 - 116*b12 + 100*b11 + 162*b10 + 100*b9 - 336*b8 + 1092*b7 - 1246*b5 - 18476*b4 - 56*b3 + 212310*b2 + 1896*b1 - 33668) * q^63 + (198*b15 + 504*b14 + 39*b13 - 15*b12 + 260*b11 - 141*b10 + 198*b9 - 2259*b8 - 2595*b7 - 395*b6 - 78*b5 + 9677*b4 - 1676*b3 - 228774*b2 + 40135*b1 + 396475) * q^64 + (240*b15 - 484*b14 + 440*b13 + 220*b12 + 24*b11 - 300*b10 - 200*b9 + 988*b8 - 2764*b7 - 784*b6 + 968*b5 + 320*b4 + 656*b3 - 64441*b2 - 190316*b1 + 781936) * q^66 + (-695*b15 + 867*b14 - 222*b13 + 58*b12 - 74*b11 - 149*b10 - 74*b9 - 619*b8 - 1800*b7 + 119*b5 - 42873*b4 - 1616*b3 - 235650*b2 + 4843*b1 + 57039) * q^67 + (-740*b15 + 204*b14 + 60*b13 + 96*b12 + 316*b11 + 180*b10 - 72*b9 - 2216*b8 - 1382*b7 - 280*b6 - 60*b5 - 981*b4 + 272*b3 + 127868*b2 - 100252*b1 + 737669) * q^68 + (518*b14 - 174*b13 + 128*b12 + 174*b11 - 99*b10 + 552*b9 + 518*b8 + 5361*b7 + 1668*b6 - 1468*b5 + 49536*b4 - 3179*b3 - 646930*b2 + 5691*b1 - 2814892) * q^69 + (-654*b15 - 453*b14 + 294*b13 - 122*b12 + 98*b11 - 251*b10 + 98*b9 + 2648*b8 + 2147*b7 + 2779*b5 + 35589*b4 - 2326*b3 + 231313*b2 - 42461*b1 - 57089) * q^71 + (-280*b15 + 912*b14 - 36*b13 + 308*b12 - 256*b11 - 148*b10 - 104*b9 + 4484*b8 + 2572*b7 - 220*b6 - 1714*b5 + 11524*b4 - 5168*b3 + 132330*b2 + 159054*b1 - 186982) * q^72 + (612*b14 - 224*b13 - 512*b12 + 224*b11 + 72*b10 - 336*b9 + 612*b8 + 3300*b7 + 1921*b6 + 1484*b5 + 17441*b4 + 7396*b3 - 338368*b2 + 4976*b1 - 6847639) * q^73 + (-521*b15 + 849*b14 + 572*b13 - 405*b12 + 95*b11 + 7*b10 + 354*b9 + 7705*b8 - 6556*b7 - 59*b6 + 2429*b5 + 1625*b4 + 859*b3 - 135622*b2 - 130501*b1 + 970407) * q^74 + (-760*b15 - 856*b14 - 11*b13 + 552*b12 + 312*b11 - 256*b10 - 32*b9 - 3283*b8 - 1566*b7 - 365*b6 + 512*b5 + 6800*b4 - 3819*b3 + 4146*b2 + 287991*b1 + 3299193) * q^76 + (1234*b14 - 202*b13 - 144*b12 + 202*b11 - 233*b10 - 545*b9 + 1234*b8 - 6287*b7 - 1659*b6 - 1803*b5 + 73087*b4 + 3192*b3 + 596999*b2 + 10808*b1 - 1419331) * q^77 + (745*b15 + 8*b14 + 688*b13 + 792*b12 + 71*b11 + 88*b10 - 112*b9 + 5114*b8 - 7362*b7 - 503*b6 - 2985*b5 + 17229*b4 - 1309*b3 + 25585*b2 + 213822*b1 - 3222077) * q^78 + (1182*b15 + 410*b14 + 60*b13 + 636*b12 + 20*b11 - 150*b10 + 20*b9 + 2805*b8 + 7680*b7 + 194*b5 - 27549*b4 + 7584*b3 + 1054799*b2 - 14188*b1 - 189677) * q^79 + (-348*b14 + 354*b13 - 560*b12 - 354*b11 + 9*b10 - 322*b9 - 348*b8 + 2475*b7 + 1913*b6 + 240*b5 - 51791*b4 + 12085*b3 - 276632*b2 - 4895*b1 - 4164243) * q^81 + (-400*b15 + 860*b14 + 1208*b13 + 220*b12 - 104*b11 + 212*b10 + 568*b9 - 3044*b8 + 5940*b7 - 2448*b6 - 4856*b5 + 9408*b4 + 464*b3 + 73269*b2 - 241644*b1 + 3297392) * q^82 + (-685*b15 + 945*b14 - 234*b13 - 1170*b12 - 78*b11 + 9*b10 - 78*b9 + 5721*b8 + 7880*b7 - 3*b5 - 40837*b4 - 17808*b3 + 1119524*b2 - 3297*b1 - 203853) * q^83 + (324*b15 + 932*b14 + 172*b13 - 744*b12 - 524*b11 + 132*b10 - 136*b9 - 5744*b8 - 15002*b7 + 1920*b6 - 844*b5 + 3666*b4 + 7968*b3 - 69908*b2 + 181324*b1 - 8357326) * q^84 + (155*b15 - 1034*b14 - 1644*b13 + 714*b12 + 81*b11 + 246*b10 + 532*b9 + 1372*b8 - 564*b7 + 3259*b6 - 2435*b5 + 14287*b4 - 2279*b3 - 46595*b2 - 410620*b1 - 6036991) * q^86 + (2910*b15 + 1141*b14 - 126*b13 - 686*b12 - 42*b11 + 63*b10 - 42*b9 + 7840*b8 - 13227*b7 - 1043*b5 - 59901*b4 - 10598*b3 - 1821641*b2 + 1061*b1 + 358417) * q^87 + (400*b15 - 432*b14 + 114*b13 + 1642*b12 - 836*b11 - 206*b10 + 292*b9 - 3938*b8 - 11244*b7 + 2226*b6 - 2221*b5 + 40150*b4 - 7220*b3 - 71555*b2 - 302177*b1 + 4806801) * q^88 + (-132*b14 + 42*b13 + 1024*b12 - 42*b11 + 157*b10 - 1456*b9 - 132*b8 + 15427*b7 - 5527*b6 + 1694*b5 + 20357*b4 - 18089*b3 - 1761162*b2 - 257*b1 + 5353813) * q^89 + (1868*b15 + 189*b14 - 162*b13 - 1306*b12 - 54*b11 + 533*b10 - 54*b9 - 13729*b8 + 6419*b7 - 3255*b5 + 2106*b4 - 15120*b3 + 864658*b2 + 20999*b1 - 159064) * q^91 + (-440*b15 + 8*b14 + 470*b13 + 312*b12 + 472*b11 + 400*b10 + 128*b9 + 590*b8 + 14080*b7 + 4882*b6 + 208*b5 - 32*b4 + 18982*b3 + 387804*b2 + 387850*b1 - 8124274) * q^92 + (1022*b14 + 262*b13 - 1552*b12 - 262*b11 - 345*b10 + 846*b9 + 1022*b8 + 13891*b7 - 7440*b6 - 3862*b5 - 224*b4 + 30221*b3 - 2267092*b2 + 6927*b1 + 16500250) * q^93 + (163*b15 + 500*b14 - 1320*b13 - 980*b12 - 347*b11 + 100*b10 - 520*b9 - 1286*b8 - 23330*b7 - 2621*b6 - 11827*b5 - 45889*b4 + b3 - 10673*b2 - 141218*b1 + 12891409) * q^94 + (1298*b15 - 472*b14 - 471*b13 + 479*b12 - 780*b11 + 1109*b10 - 822*b9 + 1475*b8 - 11489*b7 - 4605*b6 + 94*b5 - 28397*b4 + 14332*b3 + 316190*b2 + 730617*b1 + 14944821) * q^96 + (-196*b14 - 468*b13 - 1104*b12 + 468*b11 + 894*b10 + 1358*b9 - 196*b8 - 12438*b7 + 5282*b6 + 8498*b5 - 46538*b4 + 8792*b3 + 1761198*b2 - 128*b1 - 5497420) * q^97 + (-1100*b15 - 980*b14 - 2000*b13 + 1940*b12 - 428*b11 - 716*b10 - 424*b9 - 7764*b8 - 14792*b7 - 2180*b6 + 7500*b5 - 20244*b4 - 2908*b3 - 274427*b2 + 424292*b1 - 6857212) * q^98 + (-2777*b15 - 1070*b14 - 2124*b13 + 676*b12 - 708*b11 + 646*b10 - 708*b9 - 11036*b8 + 37751*b7 - 6190*b5 + 20789*b4 + 10100*b3 + 5328382*b2 + 248203*b1 - 1003605) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q + 3 q^{2} - 331 q^{4} - 483 q^{6} - 747 q^{8} - 33088 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q + 3 * q^2 - 331 * q^4 - 483 * q^6 - 747 * q^8 - 33088 * q^9 $$16 q + 3 q^{2} - 331 q^{4} - 483 q^{6} - 747 q^{8} - 33088 q^{9} - 19105 q^{12} + 25696 q^{13} + 20358 q^{14} + 127361 q^{16} + 13776 q^{17} + 126278 q^{18} + 49024 q^{21} + 670415 q^{22} - 734177 q^{24} - 1118700 q^{26} - 1049270 q^{28} - 433632 q^{29} - 3731427 q^{32} - 675920 q^{33} + 2226965 q^{34} + 1871778 q^{36} - 1928704 q^{37} - 445905 q^{38} + 1740432 q^{41} - 1617750 q^{42} - 473955 q^{44} + 5513602 q^{46} + 3724275 q^{48} - 5501488 q^{49} + 11236516 q^{52} + 9264096 q^{53} - 16426009 q^{54} - 5411718 q^{56} - 20489520 q^{57} - 18275784 q^{58} + 32528192 q^{61} - 55584390 q^{62} + 5696249 q^{64} + 12325505 q^{66} + 12173691 q^{68} - 46720224 q^{69} - 2487342 q^{72} - 110501904 q^{73} + 15172110 q^{74} + 52834005 q^{76} - 20554560 q^{77} - 51381220 q^{78} - 67764240 q^{81} + 53011531 q^{82} - 134015234 q^{84} - 96677688 q^{86} + 76847405 q^{88} + 80609808 q^{89} - 128870010 q^{92} + 257159200 q^{93} + 205910268 q^{94} + 239873127 q^{96} - 82969824 q^{97} - 110647377 q^{98}+O(q^{100})$$ 16 * q + 3 * q^2 - 331 * q^4 - 483 * q^6 - 747 * q^8 - 33088 * q^9 - 19105 * q^12 + 25696 * q^13 + 20358 * q^14 + 127361 * q^16 + 13776 * q^17 + 126278 * q^18 + 49024 * q^21 + 670415 * q^22 - 734177 * q^24 - 1118700 * q^26 - 1049270 * q^28 - 433632 * q^29 - 3731427 * q^32 - 675920 * q^33 + 2226965 * q^34 + 1871778 * q^36 - 1928704 * q^37 - 445905 * q^38 + 1740432 * q^41 - 1617750 * q^42 - 473955 * q^44 + 5513602 * q^46 + 3724275 * q^48 - 5501488 * q^49 + 11236516 * q^52 + 9264096 * q^53 - 16426009 * q^54 - 5411718 * q^56 - 20489520 * q^57 - 18275784 * q^58 + 32528192 * q^61 - 55584390 * q^62 + 5696249 * q^64 + 12325505 * q^66 + 12173691 * q^68 - 46720224 * q^69 - 2487342 * q^72 - 110501904 * q^73 + 15172110 * q^74 + 52834005 * q^76 - 20554560 * q^77 - 51381220 * q^78 - 67764240 * q^81 + 53011531 * q^82 - 134015234 * q^84 - 96677688 * q^86 + 76847405 * q^88 + 80609808 * q^89 - 128870010 * q^92 + 257159200 * q^93 + 205910268 * q^94 + 239873127 * q^96 - 82969824 * q^97 - 110647377 * q^98

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 8 x^{15} + 17288 x^{14} - 120876 x^{13} + 118671360 x^{12} - 710457136 x^{11} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$2\nu - 1$$ 2*v - 1 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!75 \nu^{15} + \cdots - 13\!\cdots\!00 ) / 11\!\cdots\!00$$ (1692106197608166993435517218507470766875*v^15 - 19422309238678889261272961619887018302366*v^14 + 29186506539676445862453177377359543644767437*v^13 - 309626655972615015638380299898688529585469697*v^12 + 199407869165318809245203881944099014574656160376*v^11 - 1941538007421484105194022853997607677046076709201*v^10 + 683259299993163350924953875787204150415661598661661*v^9 - 6049117053375599135433895175637517958640353875393818*v^8 + 1219176522330710482457757103191039596106453417440538891*v^7 - 9696920336118572482568676665581490496456900163540290463*v^6 + 1055713342547782470454987437641347115427011155173197410808*v^5 - 7439451487582321391768810559302629566188422235205870283919*v^4 + 356930512796775896677474759947978026089417125376029983526496*v^3 - 2214108625210615268720997836230503492807001179657327582983480*v^2 + 24470847158787979950497642422148334635283056475191081450606400*v - 132056646545032046018637266676356715317413334778246003093030000) / 1167373105002701347512682084516238711108170313153520785856000 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( 88\!\cdots\!73 \nu^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!00 ) / 76\!\cdots\!00$$ (883478957101361300627190665873*v^15 + 7469723970190193873134839853640*v^14 + 15708069973025939086951995450617009*v^13 + 162988367397254932041554056485930089*v^12 + 110124333504049778256418231186839485142*v^11 + 1355800634415534371856129142924383314303*v^10 + 384412028812681294059238102221424929839783*v^9 + 5475137981889137271002618961635171520507600*v^8 + 691871628916341492855692105158351843047897063*v^7 + 11147926542281895265370339981367559829627138519*v^6 + 596957314351931874499637248068247059167351076794*v^5 + 10586688737211617684916895491104679025466074393121*v^4 + 198920375604740540218009972454720338088508544190384*v^3 + 3718285763692389716053890528068107900123008687967080*v^2 + 11766642846848831534891998371242401392308853298661600*v + 256831836020800109252834680125562158034009051379834000) / 76606077314646854871621106869573901641509073984000 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!61 \nu^{15} + \cdots + 41\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!00$$ (-21079299498974422813643437262302158977561*v^15 + 411003555038490692985274631669039045077395*v^14 - 364161024629068735165110372284008099476386788*v^13 + 6836425998039207960219203789289054715590259777*v^12 - 2496510301039710314221459668818597213681700676069*v^11 + 45069132082810258138389514747971063371548966217754*v^10 - 8611077016452806523895578024191963956707734843617231*v^9 + 149015420341098015084899956183331352975646556942070525*v^8 - 15560127570927579980809757818738778264427655866858670116*v^7 + 256309560778601176950220218381737864214007625438857128967*v^6 - 13816809407710412416876724041322283064105365208780591166883*v^5 + 213165338986356457326599534976864281482841376409787304861278*v^4 - 4942915340907988742749939923308590190682357988234249261306088*v^3 + 68349128997934557980615182422951448364527235295466562315810240*v^2 - 396698480109396452746785477354133704241381925437383846188017200*v + 4142337330542845597888869773881001330441230308074586549939356000) / 1751059657504052021269023126774358066662255469730281178784000 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( 34\!\cdots\!75 \nu^{15} + \cdots + 14\!\cdots\!00 ) / 11\!\cdots\!00$$ (34593947102116741509057014894460972884875*v^15 + 881781988229991901899169382197466291939938*v^14 + 591407285522450371187651174675035754175343809*v^13 + 14975133174277624225570107221553304358074808271*v^12 + 4006918352892905911493353984944222279643977873232*v^11 + 100951374370738937960350028701470732070568277789443*v^10 + 13637147818717239317465168761750698212317033294942877*v^9 + 344529262115797053316362550589816281696162760573831574*v^8 + 24282892313690945287219667939193203337895883072246446887*v^7 + 625393950080852181927650699018752450002250899552427034209*v^6 + 21281261783540496523861948800764390556690242342577031515856*v^5 + 571647912283845725009955285997111299006507378352927584550317*v^4 + 7708147855727564711967454107205939693703994707448571212759072*v^3 + 212081296741959386591250145170003408850448233552361770392676840*v^2 + 893640300499363699228488992492168867466051954967025433916452800*v + 14998419657043917587043431372262622241054009979500694066908594000) / 1167373105002701347512682084516238711108170313153520785856000 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( - 60\!\cdots\!39 \nu^{15} + \cdots + 17\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!00$$ (-60141797986217592871261389226056437832439*v^15 + 521267288418095991555827526085537833436173*v^14 - 1036791289275400666232642141829249995472450188*v^13 + 8025653488646312790423050605847994704512285679*v^12 - 7075067418895592529548326664498155485901795021979*v^11 + 48124692273420978910923582243914105126662715823894*v^10 - 24185369383219034320502208013593835263244021892142497*v^9 + 141342198220930743415927012247269509039090429076832739*v^8 - 42960345500946523177162583134431122348682108170287196652*v^7 + 209142615355090302213076261566173679615923582411076813257*v^6 - 36857431034583146164962672965462378476391170239532884551901*v^5 + 143928332417594969478303371869661937694202890880094468766834*v^4 - 12189749273337254297768848554194355061609664029815189947965720*v^3 + 44932323642191183003068806223210151556857843207006286382532800*v^2 - 784906422142442792962177451416083790518853807250709188156226000*v + 17318532905823685866685002749407477268489847997871929858504708000) / 1751059657504052021269023126774358066662255469730281178784000 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 99\!\cdots\!25 \nu^{15} + \cdots + 76\!\cdots\!00 ) / 58\!\cdots\!00$$ (99834265658881852612695515891940775245625*v^15 - 284282612234996954670262177994967673336746*v^14 + 1715972450410980903302523567361164510195758847*v^13 - 2855092782368650850303991417882347325187518907*v^12 + 11672665409894305017266435137717739835725574062056*v^11 - 5642465139631214273714948702665948228164547601131*v^10 + 39768604159005790344933027240986867930167111056105391*v^9 + 27325010224068350960922983162418773503683064856261442*v^8 + 70397784303121396513801661644580114046038184216289816521*v^7 + 130083450237747127615228440719588903278527830607760841947*v^6 + 60185847384412362220728836308905456526181967503854138102248*v^5 + 182093583273197918747469003013405462614570969177854221710411*v^4 + 19820358091156460377271670907161176933401171730132493503487776*v^3 + 86431609255508381860152570588636350165393549825708630841220120*v^2 + 1227334885356287196342885603278787535866874444128453525883198400*v + 7680218745164713999191333302900760947912551377656979526482814000) / 583686552501350673756341042258119355554085156576760392928000 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 88\!\cdots\!47 \nu^{15} + \cdots + 15\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (-881107137744370025707570370406466583490247*v^15 + 7215093842024404788730274219668259894930280*v^14 - 15137868296397565401560402660005634908187421131*v^13 + 109041074814372732762119526836707920018914309009*v^12 - 103010782175516345139207820070523772859200698925778*v^11 + 640910115267069486913732309996410195726015176321523*v^10 - 351650644931052973388993929871317031090848366770519377*v^9 + 1843664933424332536189597466230847830998769558572424320*v^8 - 625694874099021817637842702268479647598405000361951919597*v^7 + 2668291454167128541661438268123739410761231690399801654879*v^6 - 541149527476735087580214189349639060728943043260366039175886*v^5 + 1777100817428976619670707197770987951581640036069183940461341*v^4 - 182606351985856000293622747685536023586979575035153448561461616*v^3 + 419721558565132638450558044409818717531618780943821219776436680*v^2 - 11761122991000351838272191180572092528427132022044569899839834400*v + 15527764119875881496441078047918012828735724445299185908654898000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 93\!\cdots\!91 \nu^{15} + \cdots - 20\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (936328165101733073225457555669048121456291*v^15 - 169707038391279167584789147645996033806367512*v^14 + 17288938755561655338314950491242813697091498247*v^13 - 2863680796182847727963448972960459238272701122901*v^12 + 126910266125661049151428915856717213156696149803626*v^11 - 19123503875405428772248192898400485168593983185097711*v^10 + 471000358099379670415878392883382324779133295589320693*v^9 - 64025734751853187386300295418028098309674353315545204016*v^8 + 926154907196691257488297419382454856478290235592971069713*v^7 - 111664124135160264197885228044650749846885891528764938933083*v^6 + 918220265719478146399025986216138405030606829699692328029494*v^5 - 94605911993772145391501706856483430749973993974057178551780321*v^4 + 390536647899231599759828836393528339850688743021762203610859280*v^3 - 31348039137874528028923050713881002416080569949142244069744821800*v^2 + 46716727693058809837487994967311424790774980959852864047128884000*v - 2088067804898776189334705405146946632036156777147784314195348090000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( - 16\!\cdots\!23 \nu^{15} + \cdots + 76\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (-1638266754107322284741795042448189597038123*v^15 + 63399412337235065702858433181236971531564880*v^14 - 28418976878473622187275946409926458955035426899*v^13 + 1051476563338305345918119340312716661679265807101*v^12 - 195728450617686640952092944527963878029668982316762*v^11 + 6909960464265742759202465389225700098619982568864467*v^10 - 679306164026154961923517669510157409403977891930437053*v^9 + 22843159631157461935035869734374886909339178926740038760*v^8 - 1240044124703964627929008471528753118682494447096594634933*v^7 + 39641435616238882957403310596398596240300352997526317020291*v^6 - 1123677860069936267340380218768495895314731963159213031730454*v^5 + 33928986276567462046818410467534469649647120621050873034980109*v^4 - 424287202867895116819682575173054695588091667058292578956458704*v^3 + 11573216878741970768027265672257552454580758512155390861010142920*v^2 - 46721943444838761969218977340604438018319784239537392826631565600*v + 763631324473322622343491583399410638472740933858697369207383474000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( 17\!\cdots\!69 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (1768988388162651402616759469158905727981969*v^15 + 96564699018812192063051557855260514396567278*v^14 + 30222317409949813125934920200429184310761231071*v^13 + 1669312789950372926164322877268366353297841098253*v^12 + 203908693815571195812040662995802106905950878474688*v^11 + 11403433292738188545726535679795483520429042696114597*v^10 + 685536984327578099690309755110436447665808804052805431*v^9 + 38957748279160395952820401229818056748268880151585584234*v^8 + 1183492988477084032321899784189927766044662046612005235881*v^7 + 69049145436108690889317162912066567082549018969945952903251*v^6 + 957212326841325671829740604703867643899671440872755862882128*v^5 + 58995324643504358665016775498749443059448036813807628029968635*v^4 + 267017509652233600316654516793330311963779195029479748533715904*v^3 + 19300428516247077734655102784036464025840937860228614525734709080*v^2 + 559503838629037433282835556954665206952140057641420165753425600*v + 1196061223233856643788415629940846734503457669518884232279638462000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( 20\!\cdots\!82 \nu^{15} + \cdots + 13\!\cdots\!00 ) / 29\!\cdots\!00$$ (202755293976513834067184011867731384586282*v^15 - 1226909448581724289235233595996751715123589*v^14 + 3526205905919544371374797517170214869766920674*v^13 - 18870668219015571561024871746903640293001869532*v^12 + 24300987383962380415176209258783135341623023924567*v^11 - 112787362615770199977364310612062461360970111935462*v^10 + 84035365454345229809149510188486461754208882145231226*v^9 - 327420176094010225302561498880637307970641035867391327*v^8 + 151590452374373842303706138688786577108632764286355379466*v^7 - 466427995808105127370295125596677006429427257756994955136*v^6 + 133502221126686858480914159274221668516729922414095767018133*v^5 - 282165983141616487602383024433195932761110598943495926490902*v^4 + 46907292982907710654312337660194289479799999294108103677724200*v^3 - 44260463294439862955674732643394110631720072305589207892231600*v^2 + 3546751744515450316243950799026100902962755151407951757141370000*v + 139781674459376695217046393904394571500616580765352285126964000) / 291843276250675336878170521129059677777042578288380196464000 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 69\!\cdots\!37 \nu^{15} + \cdots + 49\!\cdots\!00 ) / 87\!\cdots\!00$$ (699524151227526078124544838383666444158637*v^15 - 2050220666097273147299996506515798010704072*v^14 + 12135849686536100361036665226300200258095125070*v^13 - 26057167024953755430379173327518953376016242203*v^12 + 83427543569227605511435643173589413576351841580700*v^11 - 111900560018337199368305777042499377373345541348620*v^10 + 287604775151669029187034686943461581717746279659070799*v^9 - 142349975398695331731981362715711401521989815602720836*v^8 + 515823083114415630476556105588225833797263328672660500654*v^7 + 214472820821415865525710707895910306758268579223985261935*v^6 + 447490247988883366695262356455298694176284187358643653851552*v^5 + 646181137659569872712765440384506826377630040028061441083536*v^4 + 149680411861309687116079702355157701794790047965488798046282488*v^3 + 418200785448878941818656561724779586213425627097225151966740160*v^2 + 9306755659538414481190653062736549925716321483656989532561335200*v + 49313480425798495128123957855895350331230726951023903881042888000) / 875529828752026010634511563387179033331127734865140589392000 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 44\!\cdots\!27 \nu^{15} + \cdots + 48\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (4416039484940458024883894491634415181262227*v^15 - 161903292910523427933754244878803048449382*v^14 + 75727246464232531393480102861017045604003905485*v^13 + 87828011965855722075130291898859572634138711847*v^12 + 514281481444793860980951481242179139696665837238320*v^11 + 1220051335117300222930581845417721309091722493743135*v^10 + 1751711973686940836082176444612497023348070609141782149*v^9 + 6299589699302723441194987576452846265690476903198116334*v^8 + 3108758295581447010627304732311829880693441350738389698379*v^7 + 14995126410029710359788346255152240041851332312486409112825*v^6 + 2681349728907901371548327862258491176349801038133165540189952*v^5 + 16177964599549730035469480223074329096823147250280140943384001*v^4 + 905801662224930701523385685864729035923647695864224145839453568*v^3 + 6476235731537755579125276152052517069049042281576877413682045960*v^2 + 60824269991810376072234966767696972985981848162797756864966939200*v + 481165991455265139276446626052326060875975892290835332423270938000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 31\!\cdots\!70 \nu^{15} + \cdots - 28\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!00$$ (3138717892429033167885304188732764219858870*v^15 - 24055821999522019116632486984459663016168549*v^14 + 53872547777112611449710887223137146394936667103*v^13 - 358970475280479587237104431453503500683731155048*v^12 + 366009566924107699156337287728621997007301491871469*v^11 - 2073598056830991018600053495350951283643376598241969*v^10 + 1245987486489614329687132697207616243267301353946290874*v^9 - 5818572363165347128331345576711038875440655326354751027*v^8 + 2205847102135063647707176590362423314883410316465002557969*v^7 - 8108732938651026444522264676034872064027353803406332484672*v^6 + 1890088115956479063378529181627454963418268591504104758994347*v^5 - 5072377222501782910999291287729644858838708051575764071326951*v^4 + 627600170967980725172561652278129930655945482946800886547936904*v^3 - 1063239474049888862616973770821030113834100285631774245989998920*v^2 + 40141973550589656167160295775958711223638277476781012252259535600*v - 28545486632950901823136894792747659125785589187535894369053926000) / 1751059657504052021269023126774358066662255469730281178784000
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta _1 + 1 ) / 2$$ (b1 + 1) / 2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( \beta_{6} + \beta_{4} + 32\beta_{2} + 2\beta _1 - 8634 ) / 4$$ (b6 + b4 + 32*b2 + 2*b1 - 8634) / 4 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 5 \beta_{15} - 3 \beta_{14} + 6 \beta_{13} - 2 \beta_{12} + 2 \beta_{11} - 7 \beta_{10} + 2 \beta_{9} + \cdots - 25305 ) / 8$$ (5*b15 - 3*b14 + 6*b13 - 2*b12 + 2*b11 - 7*b10 + 2*b9 - b8 - 14*b7 + 3*b6 + 65*b5 + 534*b4 - 60*b3 - 4114*b2 - 14140*b1 - 25305) / 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 20 \beta_{15} - 360 \beta_{14} + 378 \beta_{13} - 568 \beta_{12} - 346 \beta_{11} - 19 \beta_{10} + \cdots + 122702328 ) / 16$$ (20*b15 - 360*b14 + 378*b13 - 568*b12 - 346*b11 - 19*b10 - 314*b9 - 352*b8 + 2419*b7 - 17764*b6 + 500*b5 - 69344*b4 + 11845*b3 - 923136*b2 - 61463*b1 + 122702328) / 16 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 181560 \beta_{15} + 81125 \beta_{14} - 180000 \beta_{13} + 39870 \beta_{12} - 62360 \beta_{11} + \cdots + 583734514 ) / 32$$ (-181560*b15 + 81125*b14 - 180000*b13 + 39870*b12 - 62360*b11 + 148710*b10 - 62200*b9 + 398781*b8 + 961866*b7 - 88840*b6 - 1434835*b5 - 13326896*b4 + 1191465*b3 + 178037608*b2 + 223313704*b1 + 583734514) / 32 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 544780 \beta_{15} + 4300947 \beta_{14} - 5020536 \beta_{13} + 10686834 \beta_{12} + \cdots - 968545182070 ) / 32$$ (-544780*b15 + 4300947*b14 - 5020536*b13 + 10686834*b12 + 4293296*b11 - 166786*b10 + 4142688*b9 + 5253875*b8 - 16825154*b7 + 153677460*b6 - 14723029*b5 + 936237760*b4 - 207424717*b3 + 8528727104*b2 + 734423608*b1 - 968545182070) / 32 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 1255371760 \beta_{15} - 402895891 \beta_{14} + 1042691628 \beta_{13} - 131710818 \beta_{12} + \cdots - 3175757506414 ) / 32$$ (1255371760*b15 - 402895891*b14 + 1042691628*b13 - 131710818*b12 + 368455964*b11 - 721983236*b10 + 367928276*b9 - 2503734323*b8 - 7356347188*b7 + 538182064*b6 + 7013586117*b5 + 68026826984*b4 - 5251818881*b3 - 1233212839176*b2 - 930840342754*b1 - 3175757506414) / 32 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( 2512014720 \beta_{15} - 10973259685 \beta_{14} + 13647409704 \beta_{13} - 35755427662 \beta_{12} + \cdots + 20\!\cdots\!06 ) / 16$$ (2512014720*b15 - 10973259685*b14 + 13647409704*b13 - 35755427662*b12 - 10823417552*b11 + 2051375598*b10 - 10651224672*b9 - 15177160029*b8 + 17456366838*b7 - 338170238116*b6 + 64372132259*b5 - 2692366498804*b4 + 664669131611*b3 - 19218630810512*b2 - 2036795492100*b1 + 2015406848145206) / 16 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 3787990680550 \beta_{15} + 917699720513 \beta_{14} - 2811832423020 \beta_{13} + \cdots + 84\!\cdots\!16 ) / 16$$ (-3787990680550*b15 + 917699720513*b14 - 2811832423020*b13 + 177451407446*b12 - 1006516649100*b11 + 1724517544760*b10 - 1005740197740*b9 + 5922914793197*b8 + 22610835807238*b7 - 1523380804290*b6 - 16653567606239*b5 - 165573496781180*b4 + 12067177389439*b3 + 3636850912906724*b2 + 2013483998308364*b1 + 8428753219818716) / 16 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 18958795419980 \beta_{15} + 55378887663955 \beta_{14} - 69881711647614 \beta_{13} + \cdots - 87\!\cdots\!98 ) / 16$$ (-18958795419980*b15 + 55378887663955*b14 - 69881711647614*b13 + 209664180583258*b12 + 50768783800374*b11 - 18103756225589*b10 + 50479259525982*b9 + 80436495615163*b8 + 4351699419893*b7 + 1518588864471548*b6 - 444922672607425*b5 + 14599953525257512*b4 - 3786425044850536*b3 + 90356809262947592*b2 + 10982091902654933*b1 - 8704061940365114098) / 16 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 42\!\cdots\!40 \beta_{15} + \cdots - 88\!\cdots\!82 ) / 32$$ (42363964121076440*b15 - 8003114982199253*b14 + 29435281951632336*b13 - 671975899682238*b12 + 10627719829765672*b11 - 16465065029204686*b10 + 10624520821999432*b9 - 50329738647722605*b8 - 253311121872442034*b7 + 16732412078245688*b6 + 156957733748909283*b5 + 1592412368719551424*b4 - 118211344140392161*b3 - 39797508843871214184*b2 - 17925254615511964208*b1 - 88697399292863393682) / 32 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( 25\!\cdots\!80 \beta_{15} + \cdots + 77\!\cdots\!06 ) / 32$$ (254600961134169780*b15 - 561370712035123375*b14 + 700802008144800936*b13 - 2302361513200446586*b12 - 460003419836032256*b11 + 243175311425434290*b10 - 461704948356313968*b9 - 815881860152865567*b8 - 659426532651431094*b7 - 13887157258924957948*b6 + 5446308599164443737*b5 - 153479438657821107280*b4 + 40713919020996137465*b3 - 888098664300290881616*b2 - 117001605044885792312*b1 + 77367927996958152184806) / 32 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!00 \beta_{15} + \cdots + 46\!\cdots\!06 ) / 32$$ (-226529423974748700400*b15 + 33965016242624191463*b14 - 151377713820537921348*b13 - 563489411045388454*b12 - 54978275290678154916*b11 + 78908553853335054320*b10 - 54989293601926610076*b9 + 202204642386673994855*b8 + 1352506013531855030776*b7 - 90484116176506818064*b6 - 739153576081607283521*b5 - 7657650522184487784936*b4 + 607017773533407647545*b3 + 209102378658848202275880*b2 + 81604576785860607303126*b1 + 465849487104490745573606) / 32 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( - 19\!\cdots\!50 \beta_{15} + \cdots - 43\!\cdots\!12 ) / 4$$ (-198696085159582851450*b15 + 355464612757713523925*b14 - 436892468127831537144*b13 + 1522443860777120526910*b12 + 255874304181021010816*b11 - 179897837697512274150*b10 + 259209358593411761512*b9 + 503157005449433289801*b8 + 672972890663678969109*b7 + 8058052392424331564323*b6 - 3885318271992229851787*b5 + 98828038166910991830557*b4 - 26487568736183083046699*b3 + 562359165096143816067254*b2 + 77470861677598468774076*b1 - 43968869614071940841396012) / 4 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 29\!\cdots\!45 \beta_{15} + \cdots - 61\!\cdots\!61 ) / 8$$ (294605753674944828865445*b15 - 35399825172062281862083*b14 + 192218335751598072173634*b13 + 4391109723431161178014*b12 + 70115135561291214312102*b11 - 95029762283717520192601*b10 + 70165209546153782356318*b9 - 195962402612280732079801*b8 - 1756137498843997875504992*b7 + 121266844316621552160491*b6 + 871946720735345451109537*b5 + 9250141570670934975775990*b4 - 799306140207907823524710*b3 - 268173646213698581851681914*b2 - 94530621441548694426458726*b1 - 612190885096720824216736761) / 8

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$51$$ $$77$$ $$\chi(n)$$ $$-1$$ $$1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
51.1
 0.5 + 59.1340i 0.5 − 59.1340i 0.5 − 8.86333i 0.5 + 8.86333i 0.5 + 53.5585i 0.5 − 53.5585i 0.5 − 70.1071i 0.5 + 70.1071i 0.5 + 9.75682i 0.5 − 9.75682i 0.5 − 24.1578i 0.5 + 24.1578i 0.5 + 61.3929i 0.5 − 61.3929i 0.5 − 38.0948i 0.5 + 38.0948i
−15.9575 1.16525i 118.268i 253.284 + 37.1889i 0 −137.812 + 1887.26i 1474.52i −3998.45 888.582i −7426.34 0
51.2 −15.9575 + 1.16525i 118.268i 253.284 37.1889i 0 −137.812 1887.26i 1474.52i −3998.45 + 888.582i −7426.34 0
51.3 −12.8126 9.58313i 17.7267i 72.3273 + 245.570i 0 169.877 227.125i 536.344i 1426.63 3839.52i 6246.77 0
51.4 −12.8126 + 9.58313i 17.7267i 72.3273 245.570i 0 169.877 + 227.125i 536.344i 1426.63 + 3839.52i 6246.77 0
51.5 −5.23963 15.1177i 107.117i −201.093 + 158.423i 0 −1619.37 + 561.253i 4212.76i 3448.65 + 2209.99i −4913.04 0
51.6 −5.23963 + 15.1177i 107.117i −201.093 158.423i 0 −1619.37 561.253i 4212.76i 3448.65 2209.99i −4913.04 0
51.7 −2.90464 15.7341i 140.214i −239.126 + 91.4039i 0 2206.15 407.271i 132.843i 2132.74 + 3496.95i −13099.0 0
51.8 −2.90464 + 15.7341i 140.214i −239.126 91.4039i 0 2206.15 + 407.271i 132.843i 2132.74 3496.95i −13099.0 0
51.9 0.948150 15.9719i 19.5136i −254.202 30.2875i 0 −311.670 18.5019i 3691.10i −724.770 + 4031.37i 6180.22 0
51.10 0.948150 + 15.9719i 19.5136i −254.202 + 30.2875i 0 −311.670 + 18.5019i 3691.10i −724.770 4031.37i 6180.22 0
51.11 10.0150 12.4780i 48.3156i −55.3985 249.934i 0 602.880 + 483.882i 2732.84i −3673.48 1811.84i 4226.60 0
51.12 10.0150 + 12.4780i 48.3156i −55.3985 + 249.934i 0 602.880 483.882i 2732.84i −3673.48 + 1811.84i 4226.60 0
51.13 11.6558 10.9610i 122.786i 15.7140 255.517i 0 −1345.85 1431.16i 1671.99i −2617.56 3150.49i −8515.34 0
51.14 11.6558 + 10.9610i 122.786i 15.7140 + 255.517i 0 −1345.85 + 1431.16i 1671.99i −2617.56 + 3150.49i −8515.34 0
51.15 15.7955 2.55014i 76.1896i 242.994 80.5612i 0 194.294 + 1203.45i 2180.40i 3632.76 1892.17i 756.150 0
51.16 15.7955 + 2.55014i 76.1896i 242.994 + 80.5612i 0 194.294 1203.45i 2180.40i 3632.76 + 1892.17i 756.150 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 51.16 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
4.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 100.9.b.f yes 16
4.b odd 2 1 inner 100.9.b.f yes 16
5.b even 2 1 100.9.b.e 16
5.c odd 4 2 100.9.d.d 32
20.d odd 2 1 100.9.b.e 16
20.e even 4 2 100.9.d.d 32

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
100.9.b.e 16 5.b even 2 1
100.9.b.e 16 20.d odd 2 1
100.9.b.f yes 16 1.a even 1 1 trivial
100.9.b.f yes 16 4.b odd 2 1 inner
100.9.d.d 32 5.c odd 4 2
100.9.d.d 32 20.e even 4 2

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{9}^{\mathrm{new}}(100, [\chi])$$:

 $$T_{3}^{16} + 69032 T_{3}^{14} + 1892458028 T_{3}^{12} + 26145166260984 T_{3}^{10} + \cdots + 77\!\cdots\!25$$ T3^16 + 69032*T3^14 + 1892458028*T3^12 + 26145166260984*T3^10 + 190041610852136790*T3^8 + 687888406922057898840*T3^6 + 1057935079418526999146700*T3^4 + 515619103607999037248517000*T3^2 + 77130827709717209650554200625 $$T_{13}^{8} - 12848 T_{13}^{7} - 3306571168 T_{13}^{6} + 13816363581184 T_{13}^{5} + \cdots + 17\!\cdots\!00$$ T13^8 - 12848*T13^7 - 3306571168*T13^6 + 13816363581184*T13^5 + 3224893214705602816*T13^4 + 10101684642788657733632*T13^3 - 646743715585272585887088640*T13^2 - 1390148068501682227640899993600*T13 + 17437200130096475085595884912640000

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16} + \cdots + 18\!\cdots\!16$$
$3$ $$T^{16} + \cdots + 77\!\cdots\!25$$
$5$ $$T^{16}$$
$7$ $$T^{16} + \cdots + 26\!\cdots\!00$$
$11$ $$T^{16} + \cdots + 18\!\cdots\!25$$
$13$ $$(T^{8} + \cdots + 17\!\cdots\!00)^{2}$$
$17$ $$(T^{8} + \cdots - 17\!\cdots\!75)^{2}$$
$19$ $$T^{16} + \cdots + 88\!\cdots\!25$$
$23$ $$T^{16} + \cdots + 21\!\cdots\!00$$
$29$ $$(T^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!24)^{2}$$
$31$ $$T^{16} + \cdots + 27\!\cdots\!00$$
$37$ $$(T^{8} + \cdots + 12\!\cdots\!00)^{2}$$
$41$ $$(T^{8} + \cdots + 45\!\cdots\!41)^{2}$$
$43$ $$T^{16} + \cdots + 63\!\cdots\!00$$
$47$ $$T^{16} + \cdots + 67\!\cdots\!00$$
$53$ $$(T^{8} + \cdots - 26\!\cdots\!00)^{2}$$
$59$ $$T^{16} + \cdots + 34\!\cdots\!00$$
$61$ $$(T^{8} + \cdots - 28\!\cdots\!44)^{2}$$
$67$ $$T^{16} + \cdots + 61\!\cdots\!25$$
$71$ $$T^{16} + \cdots + 13\!\cdots\!00$$
$73$ $$(T^{8} + \cdots + 97\!\cdots\!25)^{2}$$
$79$ $$T^{16} + \cdots + 83\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{16} + \cdots + 29\!\cdots\!25$$
$89$ $$(T^{8} + \cdots - 15\!\cdots\!31)^{2}$$
$97$ $$(T^{8} + \cdots + 37\!\cdots\!00)^{2}$$