# Properties

 Label 100.9.b.e Level $100$ Weight $9$ Character orbit 100.b Analytic conductor $40.738$ Analytic rank $0$ Dimension $16$ CM no Inner twists $2$

# Related objects

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

## Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [100,9,Mod(51,100)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(100, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([1, 0]))

N = Newforms(chi, 9, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("100.51");

S:= CuspForms(chi, 9);

N := Newforms(S);

 Level: $$N$$ $$=$$ $$100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$9$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 100.b (of order $$2$$, degree $$1$$, minimal)

## Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

 Self dual: no Analytic conductor: $$40.7378610061$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$16$$ Coefficient field: $$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$$ comment: defining polynomial  gp: f.mod \\ as an extension of the character field Defining polynomial: $$x^{16} - 8 x^{15} + 17288 x^{14} - 120876 x^{13} + 118671360 x^{12} - 710457136 x^{11} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$ x^16 - 8*x^15 + 17288*x^14 - 120876*x^13 + 118671360*x^12 - 710457136*x^11 + 410470899998*x^10 - 2045844856168*x^9 + 746949532452816*x^8 - 2975530870765820*x^7 + 676967836191085024*x^6 - 2020497735264125872*x^5 + 260807303204721500937*x^4 - 518250577548900536064*x^3 + 31858950056943102500120*x^2 - 31600161022482546265600*x + 1184806906684617643658000 Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$2^{56}\cdot 5^{8}$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

## $q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a basis $$1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + \beta_{2} q^{2} - \beta_1 q^{3} + ( - \beta_{4} - 21) q^{4} + (\beta_{3} - \beta_1 - 30) q^{6} + ( - \beta_{8} + \beta_{4} - 5 \beta_{2} - 1) q^{7} + ( - \beta_{5} - 21 \beta_{2} + \cdots + 43) q^{8}+ \cdots + (\beta_{6} - \beta_{4} - 32 \beta_{2} - 2074) q^{9}+O(q^{10})$$ q + b2 * q^2 - b1 * q^3 + (-b4 - 21) * q^4 + (b3 - b1 - 30) * q^6 + (-b8 + b4 - 5*b2 - 1) * q^7 + (-b5 - 21*b2 - 5*b1 + 43) * q^8 + (b6 - b4 - 32*b2 - 2074) * q^9 $$q + \beta_{2} q^{2} - \beta_1 q^{3} + ( - \beta_{4} - 21) q^{4} + (\beta_{3} - \beta_1 - 30) q^{6} + ( - \beta_{8} + \beta_{4} - 5 \beta_{2} - 1) q^{7} + ( - \beta_{5} - 21 \beta_{2} + \cdots + 43) q^{8}+ \cdots + (2777 \beta_{15} + 1070 \beta_{14} + \cdots - 1003605) q^{99}+O(q^{100})$$ q + b2 * q^2 - b1 * q^3 + (-b4 - 21) * q^4 + (b3 - b1 - 30) * q^6 + (-b8 + b4 - 5*b2 - 1) * q^7 + (-b5 - 21*b2 - 5*b1 + 43) * q^8 + (b6 - b4 - 32*b2 - 2074) * q^9 + (-b15 + b7 - b4 + 164*b2 + 6*b1 + 31) * q^11 + (-b13 - b8 + 2*b7 - b6 + b3 - 26*b2 + 29*b1 + 1189) * q^12 + (b9 + 2*b7 - b6 + b5 + 11*b4 + b3 - 277*b2 + b1 - 1655) * q^13 + (b15 + b11 + 2*b8 - 2*b7 - b6 + b5 + 5*b4 - b3 + b2 + 12*b1 + 1273) * q^14 + (2*b15 - b13 - b12 + b10 - 2*b9 - 3*b8 - 5*b7 - b6 + 21*b4 + 4*b3 + 48*b2 - 31*b1 + 7975) * q^16 + (2*b13 + 2*b11 - b10 - 5*b7 + b6 - 2*b5 + 11*b4 + b3 + 542*b2 + 3*b1 - 757) * q^17 + (5*b15 + b14 + b12 - b11 + b10 + 2*b9 - 7*b8 - 2*b7 + b6 - 3*b5 + 35*b4 - b3 - 2088*b2 - 101*b1 - 8277) * q^18 + (2*b15 - b14 - 6*b13 - 2*b12 + 2*b11 + b10 - 2*b9 - 5*b8 + 3*b7 - 3*b5 + 54*b4 - 8*b3 - 100*b2 + 154*b1 - 4) * q^19 + (2*b14 + 2*b13 + 2*b11 + 3*b10 - b9 + 2*b8 - 13*b7 + b6 + 31*b5 + 129*b4 - 34*b3 + 363*b2 + 10*b1 + 3159) * q^21 + (5*b15 + 2*b14 - 4*b13 + 2*b12 + b11 - 2*b10 - 4*b9 + 28*b8 - 4*b7 + 27*b6 - 3*b5 - 143*b4 + 6*b3 + 11*b2 + 87*b1 - 41925) * q^22 + (-b14 + 6*b13 - 6*b12 - 2*b11 + 3*b10 + 2*b9 + b8 - 7*b7 - 23*b5 + 110*b4 - 78*b3 - 1406*b2 - 307*b1 - 236) * q^23 + (-8*b15 - 2*b13 + 2*b12 + 4*b11 + 2*b10 - 4*b9 - 78*b8 + 26*b6 + 5*b5 + 42*b4 - 12*b3 + 1157*b2 - 37*b1 - 45677) * q^24 + (-9*b15 + b14 - 4*b13 - 11*b12 + b11 + 9*b10 + 2*b9 + 41*b8 + 12*b7 + 27*b6 + 19*b5 + 313*b4 + 5*b3 - 1676*b2 + 427*b1 - 70103) * q^26 + (-5*b15 + 3*b14 - 6*b13 - 2*b12 + 2*b11 - 7*b10 - 2*b9 + b8 + 14*b7 + 65*b5 - 531*b4 - 60*b3 + 4210*b2 + 1021*b1 + 599) * q^27 + (-20*b15 + 12*b14 + 2*b13 + 12*b12 - 4*b11 + 8*b10 + 118*b8 - 2*b7 - 26*b6 + 8*b5 - 48*b4 - 26*b3 + 1188*b2 - 910*b1 + 65830) * q^28 + (-12*b14 + 4*b13 - 16*b12 + 4*b11 + 6*b10 - 7*b9 - 12*b8 - 36*b7 + 9*b6 + 57*b5 - 183*b4 + 199*b3 + 4495*b2 - 113*b1 - 26295) * q^29 + (18*b15 + 21*b14 - 6*b13 + 6*b12 + 2*b11 + 21*b10 - 2*b9 - 3*b8 - 55*b7 - 149*b5 - 134*b4 + 266*b3 - 13672*b2 - 1959*b1 - 2520) * q^31 + (-10*b15 + 24*b14 + 11*b13 + 19*b12 + 4*b11 - 15*b10 - 2*b9 - 167*b8 - 3*b7 - 89*b6 + 14*b5 - 119*b4 + 12*b3 + 8354*b2 + 1667*b1 + 234649) * q^32 + (-8*b14 - 4*b13 - 48*b12 - 4*b11 + 18*b10 - 14*b9 - 8*b8 - 10*b7 - 8*b6 + 158*b5 + 1508*b4 + 696*b3 + 2810*b2 - 52*b1 + 43355) * q^33 + (5*b15 - 3*b14 - 8*b13 + 21*b12 - 9*b11 + 13*b10 - 6*b9 + 405*b8 + 26*b7 - 63*b6 - 11*b5 - 589*b4 - 33*b3 - 709*b2 + 207*b1 + 139003) * q^34 + (-4*b15 + 12*b14 + 12*b13 - 48*b12 + 4*b11 + 28*b10 + 24*b9 - 184*b8 + 10*b7 - 88*b6 + 76*b5 + 1970*b4 + 16*b3 - 8756*b2 - 4892*b1 + 115870) * q^36 + (34*b14 - 26*b13 - 16*b12 - 26*b11 - 15*b10 - 7*b9 + 34*b8 + 29*b7 + 9*b6 - 155*b5 + 3093*b4 + 554*b3 + 3349*b2 + 410*b1 + 122325) * q^37 + (-30*b15 + 60*b14 + 8*b13 + 60*b12 + 10*b11 + 20*b10 - 24*b9 - 320*b8 - 152*b7 + 62*b6 + 50*b5 + 154*b4 - 97*b3 + 358*b2 + 2635*b1 + 27860) * q^38 + (-36*b15 - 63*b14 + 66*b13 - 50*b12 - 22*b11 + 9*b10 + 22*b9 - 44*b8 - 93*b7 - 129*b5 + 3289*b4 - 854*b3 - 13481*b2 - 1777*b1 - 1643) * q^39 + (92*b14 - 28*b13 + 48*b12 - 28*b11 + 38*b10 + 14*b9 + 92*b8 - 34*b7 + 8*b6 + 278*b5 + 4188*b4 - 988*b3 - 13802*b2 + 724*b1 + 107315) * q^41 + (-55*b15 + 123*b14 + 60*b13 + 63*b12 - 9*b11 - 29*b10 + 54*b9 + 627*b8 + 112*b7 - 27*b6 + 133*b5 - 617*b4 - 69*b3 + 2250*b2 - 6807*b1 + 101543) * q^42 + (-5*b15 - 16*b14 - 72*b13 - 136*b12 + 24*b11 + 20*b10 - 24*b9 + 4*b8 + 189*b7 + 8*b5 - 665*b4 - 1612*b3 + 24120*b2 + 5139*b1 + 4087) * q^43 + (76*b15 - 36*b14 + 19*b13 + 84*b12 - 52*b11 + 16*b10 + 48*b9 - 793*b8 + 236*b7 - 89*b6 - 208*b5 - 216*b4 - 83*b3 - 43082*b2 - 10883*b1 - 38087) * q^44 + (86*b15 + 64*b14 + 64*b13 - 96*b12 - 10*b11 + 16*b10 - 32*b9 + 396*b8 - 196*b7 - 54*b6 + 54*b5 + 1742*b4 + 240*b3 + 2214*b2 + 19138*b1 + 345730) * q^46 + (90*b15 + 165*b14 + 66*b13 - 50*b12 - 22*b11 + b10 + 22*b9 + 334*b8 - 439*b7 + 163*b5 - 9855*b4 - 682*b3 - 48163*b2 + 665*b1 - 12183) * q^47 + (210*b15 + 160*b14 - 21*b13 + 155*b12 + 56*b11 - 3*b10 + 6*b9 + 545*b8 - 549*b7 + 115*b6 + 8*b5 - 1303*b4 - 44*b3 - 47760*b2 - 17667*b1 - 242085) * q^48 + (-192*b14 - 46*b13 - 80*b12 - 46*b11 - 9*b10 + 98*b9 - 192*b8 + 7*b7 - 244*b6 - 224*b5 - 8908*b4 + 1611*b3 + 28724*b2 - 1635*b1 - 341083) * q^49 + (-143*b15 + 224*b14 + 72*b13 + 136*b12 - 24*b11 - 52*b10 + 24*b9 + 632*b8 - 217*b7 + 456*b5 - 12967*b4 + 1596*b3 - 460*b2 + 848*b1 - 3679) * q^51 + (100*b15 + 356*b14 - 36*b13 + 56*b12 - 52*b11 + 44*b10 + 24*b9 + 160*b8 + 246*b7 + 496*b6 + 188*b5 + 2512*b4 - 192*b3 - 67812*b2 + 26444*b1 - 713964) * q^52 + (42*b14 + 50*b13 - 128*b12 + 50*b11 - 69*b10 + 88*b9 + 42*b8 + 565*b7 + 252*b6 - 144*b5 + 10272*b4 + 2855*b3 - 62258*b2 + 971*b1 - 586768) * q^53 + (-125*b15 - 182*b14 + 108*b13 + 138*b12 + 15*b11 - 58*b10 + 76*b9 - 128*b8 + 1040*b7 + 381*b6 - 677*b5 - 3801*b4 - 622*b3 + 1393*b2 + 14925*b1 - 1027411) * q^54 + (-120*b15 + 208*b14 - 48*b13 - 40*b12 - 56*b11 - 112*b10 - 96*b9 + 432*b8 + 532*b7 + 584*b6 + 154*b5 - 2080*b4 + 1032*b3 + 59082*b2 - 56286*b1 - 327094) * q^56 + (460*b14 + 126*b13 - 80*b12 + 126*b11 + 57*b10 + 98*b9 + 460*b8 - 1227*b7 - 245*b6 + 1472*b5 + 38461*b4 + 981*b3 + 87224*b2 + 4687*b1 + 1308821) * q^57 + (-55*b15 + 243*b14 - 116*b13 + 183*b12 - 25*b11 - 101*b10 + 102*b9 + 779*b8 - 352*b7 - 443*b6 - 347*b5 - 4009*b4 + 91*b3 - 18948*b2 + 54449*b1 + 1137623) * q^58 + (279*b15 - 382*b14 - 228*b13 - 60*b12 + 76*b11 - 42*b10 - 76*b9 - 164*b8 - 1329*b7 + 166*b5 + 17885*b4 - 984*b3 - 203450*b2 + 6665*b1 - 33243) * q^59 + (362*b14 + 154*b13 + 128*b12 + 154*b11 - 249*b10 - 87*b9 + 362*b8 - 1261*b7 - 253*b6 - 1383*b5 + 20915*b4 - 404*b3 + 171457*b2 + 4024*b1 + 2071785) * q^61 + (230*b15 + 668*b14 - 376*b13 - 132*b12 + 14*b11 + 212*b10 - 280*b9 - 856*b8 + 672*b7 - 838*b6 + 86*b5 + 11822*b4 + 1340*b3 - 7318*b2 - 65798*b1 + 3476442) * q^62 + (90*b15 + 266*b14 + 300*b13 + 116*b12 - 100*b11 - 162*b10 + 100*b9 - 336*b8 + 1092*b7 + 1246*b5 - 18476*b4 + 56*b3 + 212310*b2 + 1896*b1 + 33668) * q^63 + (-198*b15 - 504*b14 - 39*b13 - 15*b12 + 260*b11 - 141*b10 - 198*b9 + 2259*b8 + 2595*b7 - 395*b6 - 78*b5 - 9677*b4 - 1676*b3 + 228774*b2 - 40135*b1 + 396475) * q^64 + (-240*b15 + 484*b14 - 440*b13 + 220*b12 + 24*b11 - 300*b10 + 200*b9 - 988*b8 + 2764*b7 - 784*b6 + 968*b5 - 320*b4 + 656*b3 + 64441*b2 + 190316*b1 + 781936) * q^66 + (-695*b15 + 867*b14 - 222*b13 - 58*b12 + 74*b11 + 149*b10 - 74*b9 - 619*b8 - 1800*b7 - 119*b5 - 42873*b4 + 1616*b3 - 235650*b2 + 4843*b1 - 57039) * q^67 + (-740*b15 + 204*b14 + 60*b13 - 96*b12 - 316*b11 - 180*b10 - 72*b9 - 2216*b8 - 1382*b7 + 280*b6 + 60*b5 - 981*b4 - 272*b3 + 127868*b2 - 100252*b1 - 737669) * q^68 + (-518*b14 + 174*b13 + 128*b12 + 174*b11 - 99*b10 - 552*b9 - 518*b8 - 5361*b7 + 1668*b6 - 1468*b5 - 49536*b4 - 3179*b3 + 646930*b2 - 5691*b1 - 2814892) * q^69 + (654*b15 + 453*b14 - 294*b13 - 122*b12 + 98*b11 - 251*b10 - 98*b9 - 2648*b8 - 2147*b7 + 2779*b5 - 35589*b4 - 2326*b3 - 231313*b2 + 42461*b1 - 57089) * q^71 + (-280*b15 + 912*b14 - 36*b13 - 308*b12 + 256*b11 + 148*b10 - 104*b9 + 4484*b8 + 2572*b7 + 220*b6 + 1714*b5 + 11524*b4 + 5168*b3 + 132330*b2 + 159054*b1 + 186982) * q^72 + (612*b14 - 224*b13 + 512*b12 - 224*b11 - 72*b10 - 336*b9 + 612*b8 + 3300*b7 - 1921*b6 - 1484*b5 + 17441*b4 - 7396*b3 - 338368*b2 + 4976*b1 + 6847639) * q^73 + (521*b15 - 849*b14 - 572*b13 - 405*b12 + 95*b11 + 7*b10 - 354*b9 - 7705*b8 + 6556*b7 - 59*b6 + 2429*b5 - 1625*b4 + 859*b3 + 135622*b2 + 130501*b1 + 970407) * q^74 + (760*b15 + 856*b14 + 11*b13 + 552*b12 + 312*b11 - 256*b10 + 32*b9 + 3283*b8 + 1566*b7 - 365*b6 + 512*b5 - 6800*b4 - 3819*b3 - 4146*b2 - 287991*b1 + 3299193) * q^76 + (1234*b14 - 202*b13 + 144*b12 - 202*b11 + 233*b10 - 545*b9 + 1234*b8 - 6287*b7 + 1659*b6 + 1803*b5 + 73087*b4 - 3192*b3 + 596999*b2 + 10808*b1 + 1419331) * q^77 + (745*b15 + 8*b14 + 688*b13 - 792*b12 - 71*b11 - 88*b10 - 112*b9 + 5114*b8 - 7362*b7 + 503*b6 + 2985*b5 + 17229*b4 + 1309*b3 + 25585*b2 + 213822*b1 + 3222077) * q^78 + (-1182*b15 - 410*b14 - 60*b13 + 636*b12 + 20*b11 - 150*b10 - 20*b9 - 2805*b8 - 7680*b7 + 194*b5 + 27549*b4 + 7584*b3 - 1054799*b2 + 14188*b1 - 189677) * q^79 + (348*b14 - 354*b13 - 560*b12 - 354*b11 + 9*b10 + 322*b9 + 348*b8 - 2475*b7 + 1913*b6 + 240*b5 + 51791*b4 + 12085*b3 + 276632*b2 + 4895*b1 - 4164243) * q^81 + (-400*b15 + 860*b14 + 1208*b13 - 220*b12 + 104*b11 - 212*b10 + 568*b9 - 3044*b8 + 5940*b7 + 2448*b6 + 4856*b5 + 9408*b4 - 464*b3 + 73269*b2 - 241644*b1 - 3297392) * q^82 + (-685*b15 + 945*b14 - 234*b13 + 1170*b12 + 78*b11 - 9*b10 - 78*b9 + 5721*b8 + 7880*b7 + 3*b5 - 40837*b4 + 17808*b3 + 1119524*b2 - 3297*b1 + 203853) * q^83 + (-324*b15 - 932*b14 - 172*b13 - 744*b12 - 524*b11 + 132*b10 + 136*b9 + 5744*b8 + 15002*b7 + 1920*b6 - 844*b5 - 3666*b4 + 7968*b3 + 69908*b2 - 181324*b1 - 8357326) * q^84 + (-155*b15 + 1034*b14 + 1644*b13 + 714*b12 + 81*b11 + 246*b10 - 532*b9 - 1372*b8 + 564*b7 + 3259*b6 - 2435*b5 - 14287*b4 - 2279*b3 + 46595*b2 + 410620*b1 - 6036991) * q^86 + (2910*b15 + 1141*b14 - 126*b13 + 686*b12 + 42*b11 - 63*b10 - 42*b9 + 7840*b8 - 13227*b7 + 1043*b5 - 59901*b4 + 10598*b3 - 1821641*b2 + 1061*b1 - 358417) * q^87 + (400*b15 - 432*b14 + 114*b13 - 1642*b12 + 836*b11 + 206*b10 + 292*b9 - 3938*b8 - 11244*b7 - 2226*b6 + 2221*b5 + 40150*b4 + 7220*b3 - 71555*b2 - 302177*b1 - 4806801) * q^88 + (132*b14 - 42*b13 + 1024*b12 - 42*b11 + 157*b10 + 1456*b9 + 132*b8 - 15427*b7 - 5527*b6 + 1694*b5 - 20357*b4 - 18089*b3 + 1761162*b2 + 257*b1 + 5353813) * q^89 + (-1868*b15 - 189*b14 + 162*b13 - 1306*b12 - 54*b11 + 533*b10 + 54*b9 + 13729*b8 - 6419*b7 - 3255*b5 - 2106*b4 - 15120*b3 - 864658*b2 - 20999*b1 - 159064) * q^91 + (-440*b15 + 8*b14 + 470*b13 - 312*b12 - 472*b11 - 400*b10 + 128*b9 + 590*b8 + 14080*b7 - 4882*b6 - 208*b5 - 32*b4 - 18982*b3 + 387804*b2 + 387850*b1 + 8124274) * q^92 + (1022*b14 + 262*b13 + 1552*b12 + 262*b11 + 345*b10 + 846*b9 + 1022*b8 + 13891*b7 + 7440*b6 + 3862*b5 - 224*b4 - 30221*b3 - 2267092*b2 + 6927*b1 - 16500250) * q^93 + (-163*b15 - 500*b14 + 1320*b13 - 980*b12 - 347*b11 + 100*b10 + 520*b9 + 1286*b8 + 23330*b7 - 2621*b6 - 11827*b5 + 45889*b4 + b3 + 10673*b2 + 141218*b1 + 12891409) * q^94 + (-1298*b15 + 472*b14 + 471*b13 + 479*b12 - 780*b11 + 1109*b10 + 822*b9 - 1475*b8 + 11489*b7 - 4605*b6 + 94*b5 + 28397*b4 + 14332*b3 - 316190*b2 - 730617*b1 + 14944821) * q^96 + (-196*b14 - 468*b13 + 1104*b12 - 468*b11 - 894*b10 + 1358*b9 - 196*b8 - 12438*b7 - 5282*b6 - 8498*b5 - 46538*b4 - 8792*b3 + 1761198*b2 - 128*b1 + 5497420) * q^97 + (-1100*b15 - 980*b14 - 2000*b13 - 1940*b12 + 428*b11 + 716*b10 - 424*b9 - 7764*b8 - 14792*b7 + 2180*b6 - 7500*b5 - 20244*b4 + 2908*b3 - 274427*b2 + 424292*b1 + 6857212) * q^98 + (2777*b15 + 1070*b14 + 2124*b13 + 676*b12 - 708*b11 + 646*b10 + 708*b9 + 11036*b8 - 37751*b7 - 6190*b5 - 20789*b4 + 10100*b3 - 5328382*b2 - 248203*b1 - 1003605) * q^99 $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$16 q - 3 q^{2} - 331 q^{4} - 483 q^{6} + 747 q^{8} - 33088 q^{9}+O(q^{10})$$ 16 * q - 3 * q^2 - 331 * q^4 - 483 * q^6 + 747 * q^8 - 33088 * q^9 $$16 q - 3 q^{2} - 331 q^{4} - 483 q^{6} + 747 q^{8} - 33088 q^{9} + 19105 q^{12} - 25696 q^{13} + 20358 q^{14} + 127361 q^{16} - 13776 q^{17} - 126278 q^{18} + 49024 q^{21} - 670415 q^{22} - 734177 q^{24} - 1118700 q^{26} + 1049270 q^{28} - 433632 q^{29} + 3731427 q^{32} + 675920 q^{33} + 2226965 q^{34} + 1871778 q^{36} + 1928704 q^{37} + 445905 q^{38} + 1740432 q^{41} + 1617750 q^{42} - 473955 q^{44} + 5513602 q^{46} - 3724275 q^{48} - 5501488 q^{49} - 11236516 q^{52} - 9264096 q^{53} - 16426009 q^{54} - 5411718 q^{56} + 20489520 q^{57} + 18275784 q^{58} + 32528192 q^{61} + 55584390 q^{62} + 5696249 q^{64} + 12325505 q^{66} - 12173691 q^{68} - 46720224 q^{69} + 2487342 q^{72} + 110501904 q^{73} + 15172110 q^{74} + 52834005 q^{76} + 20554560 q^{77} + 51381220 q^{78} - 67764240 q^{81} - 53011531 q^{82} - 134015234 q^{84} - 96677688 q^{86} - 76847405 q^{88} + 80609808 q^{89} + 128870010 q^{92} - 257159200 q^{93} + 205910268 q^{94} + 239873127 q^{96} + 82969824 q^{97} + 110647377 q^{98}+O(q^{100})$$ 16 * q - 3 * q^2 - 331 * q^4 - 483 * q^6 + 747 * q^8 - 33088 * q^9 + 19105 * q^12 - 25696 * q^13 + 20358 * q^14 + 127361 * q^16 - 13776 * q^17 - 126278 * q^18 + 49024 * q^21 - 670415 * q^22 - 734177 * q^24 - 1118700 * q^26 + 1049270 * q^28 - 433632 * q^29 + 3731427 * q^32 + 675920 * q^33 + 2226965 * q^34 + 1871778 * q^36 + 1928704 * q^37 + 445905 * q^38 + 1740432 * q^41 + 1617750 * q^42 - 473955 * q^44 + 5513602 * q^46 - 3724275 * q^48 - 5501488 * q^49 - 11236516 * q^52 - 9264096 * q^53 - 16426009 * q^54 - 5411718 * q^56 + 20489520 * q^57 + 18275784 * q^58 + 32528192 * q^61 + 55584390 * q^62 + 5696249 * q^64 + 12325505 * q^66 - 12173691 * q^68 - 46720224 * q^69 + 2487342 * q^72 + 110501904 * q^73 + 15172110 * q^74 + 52834005 * q^76 + 20554560 * q^77 + 51381220 * q^78 - 67764240 * q^81 - 53011531 * q^82 - 134015234 * q^84 - 96677688 * q^86 - 76847405 * q^88 + 80609808 * q^89 + 128870010 * q^92 - 257159200 * q^93 + 205910268 * q^94 + 239873127 * q^96 + 82969824 * q^97 + 110647377 * q^98

Basis of coefficient ring in terms of a root $$\nu$$ of $$x^{16} - 8 x^{15} + 17288 x^{14} - 120876 x^{13} + 118671360 x^{12} - 710457136 x^{11} + \cdots + 11\!\cdots\!00$$ :

 $$\beta_{1}$$ $$=$$ $$2\nu - 1$$ 2*v - 1 $$\beta_{2}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!75 \nu^{15} + \cdots + 10\!\cdots\!00 ) / 11\!\cdots\!00$$ (1692106197608166993435517218507470766875*v^15 - 5959283725443615640259796657725043200759*v^14 + 29092265361083798947106085222624409819056188*v^13 - 68800407222370717632748326833996718329919803*v^12 + 197964136808139047867069602303722420446857107249*v^11 - 239846174636541168745079108947718540834295799174*v^10 + 674764072796431360930590572186295135660084672647089*v^9 - 45633985043900698691351448683887754523729758136057*v^8 + 1195213545543358576970163236883364250415163301617070484*v^7 + 1274982008705535393787266521745022668691302027969677963*v^6 + 1022881470267988665203183960892378001614328488745626955567*v^5 + 2264005091176348621697264847138942418494200906278513598294*v^4 + 337578291486567810322797573545329172872629021203322553455004*v^3 + 1177516658272739148696055959491934885958727248865968639473480*v^2 + 21088892517972298376490215865461393891301401976631389580253600*v + 109449369719914353930945032850316660438766851401480527200024000) / 1167373105002701347512682084516238711108170313153520785856000 $$\beta_{3}$$ $$=$$ $$( - 88\!\cdots\!73 \nu^{15} + \cdots + 27\!\cdots\!00 ) / 76\!\cdots\!00$$ (-883478957101361300627190665873*v^15 + 20721908326710613382542699841735*v^14 - 15905411399104244737741738228484634*v^13 + 368275004853360567206170639523604661*v^12 - 113309348299014453278444312706784414517*v^11 + 2582428173501588512542393315834828611572*v^10 - 404073981586617053826480152590157700128283*v^9 + 9014128708424821274684974348241423148116025*v^8 - 749710758988053650254350637507418768142006438*v^7 + 16176958191767905862903720446447465067602676731*v^6 - 678729614144005239066322480975213931544622649419*v^5 + 13763341730843022554731077958130282999376713663004*v^4 - 247484216814208389844981630214814333528778580211884*v^3 + 4384718511485518213440756960868753821666624825962920*v^2 - 19845378820504678472151093767001214739844386365453600*v + 272526880498656821906169282478518779411436249651372000) / 76606077314646854871621106869573901641509073984000 $$\beta_{4}$$ $$=$$ $$( - 21\!\cdots\!61 \nu^{15} + \cdots - 38\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!00$$ (-21079299498974422813643437262302158977561*v^15 - 94814062553874350780623072734506660413980*v^14 - 360620301305922179858749088353183279537947163*v^13 - 2130142920097783693754221177124484493164484223*v^12 - 2442756916934089269516601815711216701088371927194*v^11 - 17954920947622316858062673163250547330529682161621*v^10 - 8296449406267705973496876813345406539904571915773981*v^9 - 73134830391306381085386032521718075359609216633368600*v^8 - 14673413742516511676230930720264322457861227295278268741*v^7 - 150846085905341181273500201617465045784496953026158980033*v^6 - 12598444645213196631980545506155042858992236653853034480758*v^5 - 147390685622014127829359015268903257853435128345573164436347*v^4 - 4223832865758236105973119964970942966815395274139901953812338*v^3 - 54664728660108538580987460568212855603665154446655757432997260*v^2 - 274043960775825777535899037802727047934380577759245516909362200*v - 3809244653509934490517538108022413876909681535220155637881964000) / 1751059657504052021269023126774358066662255469730281178784000 $$\beta_{5}$$ $$=$$ $$( - 34\!\cdots\!75 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!00 ) / 11\!\cdots\!00$$ (-34593947102116741509057014894460972884875*v^15 + 1400691194761743024535024605614380885213063*v^14 - 607384597803392515672690532589718684415414816*v^13 + 22759410292929871431469017847885718337583430271*v^12 - 4233117908636498637557283223707965537724806381393*v^11 + 146185964075116012870292770615204063190038925227818*v^10 - 14870761395811473834083906967083434842030832437063373*v^9 + 472475722561863883931567512868778566467853394985306449*v^8 - 27543513058481349478296026278057033231435315496078107488*v^7 + 806189601872299345238166764978619665461177633477105116209*v^6 - 25564605445482698799992936168566132458000348784956799517519*v^5 + 688310889542621588933878535938506745320897726732382758895942*v^4 - 10220930354868814522059481000891646244619803046581411160934928*v^3 + 238858341393191247979693573838348282868949079764579402736701840*v^2 - 1343324260732487137422436804381469479049105052931033798760437200*v + 16112442981350149402134493756350271558834850717983270017359444000) / 1167373105002701347512682084516238711108170313153520785856000 $$\beta_{6}$$ $$=$$ $$( 60\!\cdots\!39 \nu^{15} + \cdots + 16\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!00$$ (60141797986217592871261389226056437832439*v^15 - 380859681375167901513093312305308734050412*v^14 + 1035808436026100169602343002332788391776749861*v^13 - 5432562466771578140126140865156326973000634767*v^12 + 7059521649856585028102739094867459480360769220758*v^11 - 29467537330176292957826470392741037290575880521973*v^10 + 24092226087960999351171470651596759971779492371286291*v^9 - 75325261673413614622570902058544687576748245023899336*v^8 + 42696836443564700018336904650137161562066611182341114491*v^7 - 89646949487475482371711408573703957687314455683614437809*v^6 + 36499865927650259297772284616679101218495530805937059386458*v^5 - 38718441245549393987890302606234021765713484844204511718235*v^4 + 11979925125597018789521163565204857331070797743619580612027854*v^3 + 8860309566999148641499317994497451189002775377831861976865780*v^2 + 731218641456828336450555231232322426581437695240140058227674600*v + 16566476295250947753847107191616142087846365568641617927697812000) / 1751059657504052021269023126774358066662255469730281178784000 $$\beta_{7}$$ $$=$$ $$( 99\!\cdots\!25 \nu^{15} + \cdots - 90\!\cdots\!00 ) / 58\!\cdots\!00$$ (99834265658881852612695515891940775245625*v^15 - 1213231372648230834520170560384143955347629*v^14 + 1722475091733873540461472926037888744169835028*v^13 - 19472103946135507412692597559346082301820461593*v^12 + 11772282942539708552357700432903724830543708727819*v^11 - 123059201601792276888692067111108298626777430392994*v^10 + 40354774835580297654544095189449589948301918951110859*v^9 - 386915321490818841174312533997381710580363999234524067*v^8 + 72051229701448677992445638419809712898737202208109136604*v^7 - 626977811555116315853331639205940505116698120606426979447*v^6 + 62451246571718134783103276204584325379257071487356499513877*v^5 - 487444920661150312181690200031063004328530027584568266162286*v^4 + 21155661361560818335744396768943947805359550918049306178420724*v^3 - 147590535304843072941624141316211897969441711742398808508310120*v^2 + 1460689755572569224949398035690186447201608604529072264937541600*v - 9014048077846657832365175098637124185752693896886142604170168000) / 583686552501350673756341042258119355554085156576760392928000 $$\beta_{8}$$ $$=$$ $$( - 88\!\cdots\!47 \nu^{15} + \cdots - 40\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (-881107137744370025707570370406466583490247*v^15 + 6001513224141145596883281336428738857423425*v^14 - 15129373232072382587217473709822958260924873146*v^13 + 87495543246845084984088197307910464432571572599*v^12 - 102881619421947406629126090169703362922097055631123*v^11 + 489336631714430192874093777998218637278681165912368*v^10 - 350893961302731792438281077895610281035908387024614297*v^9 + 1309312185934548267297887332916444521266508649662679655*v^8 - 623562001790389402446371140076915605799902791481439090742*v^7 + 1689401625626882207068658280315435893286999500597119910489*v^6 - 538220319867543748931644780128070043611526546154097368975021*v^5 + 910436919530855399156798966182829293138847679436197243632896*v^4 - 180877903715903373724748949972820996340993828044374142495401736*v^3 + 122819463996796129066096951491653533913748075031727136941967280*v^2 - 11465084632720975264240306903118975104653404509209897863227232400*v - 4004994330833890887700548301296015654575451055865117546098688000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{9}$$ $$=$$ $$( 93\!\cdots\!91 \nu^{15} + \cdots + 20\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (936328165101733073225457555669048121456291*v^15 + 155662115914753171486407284310960311984523147*v^14 + 15011354675419428964816575467544119276555263634*v^13 + 2653941903539031324267252845822258882391628476877*v^12 + 93834138520371623780900183819328987460177143254927*v^11 + 17911716309039084418143637858239244656757287083508288*v^10 + 286127400731118347473420517432588336235711345692728829*v^9 + 60627744784176177222555182218205645087095509723101114541*v^8 + 428649863052435286938376429248534415091678168324888039454*v^7 + 106938156247904032516836261999929711155266691281907024934179*v^6 + 264153916122108900755375458789181822357004149801993228918577*v^5 + 91661783536298538644970996856900958617842887002138741374017360*v^4 + 19090787368765057513339162064931934519170556472346873036495976*v^3 + 30736539752709573033783407999048160454307866690409139426538309520*v^2 - 15182237195456251156191974601765052812689833478218624172883447600*v + 2072402378188963690391122390756043337731024457100954991540830496000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{10}$$ $$=$$ $$( 16\!\cdots\!23 \nu^{15} + \cdots + 72\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (1638266754107322284741795042448189597038123*v^15 + 38825411025625231431731507544514127575993035*v^14 + 27703403114933600107333816824846201261282521494*v^13 + 687053799067717816822934637658851333406525315529*v^12 + 185306570902176522262685868344740513409173023351247*v^11 + 4818275676360961393626425436886599718998458365517148*v^10 + 620760500165905586210166541623853680078765199104800713*v^9 + 17008541266983905957761984163752361653761763291211849685*v^8 + 1080988480483120081482569624206216654396595943270953842218*v^7 + 31545035083338222025308806524059631098475708485523276874279*v^6 + 910674896948799674013583845934261289103998325350537674127409*v^5 + 28863331781695770268241664524287987423456167402093475067749876*v^4 + 299057386242019645079297887439867211759435387077359900955991764*v^3 + 10493261605258313737108552679223838520001485907158250199561515880*v^2 + 24718044395149280697382330955594329957171116818214153586114701600*v + 728091154436336493808442299295087042968582208247858299607092284000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{11}$$ $$=$$ $$( - 17\!\cdots\!69 \nu^{15} + \cdots + 12\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (-1768988388162651402616759469158905727981969*v^15 + 123099524841251963102302949892644100316296813*v^14 - 31759966976970262212092401754664516613751279708*v^13 + 2071795193607046412667405157197241758254056520369*v^12 - 226335352272544446006910983942390696255323393554139*v^11 + 13765349125161289442786262842564440622393849677605354*v^10 - 811175355361867915493457323200202715586307239129336067*v^9 + 45675246078082150053227488800046310100409921677837843459*v^8 - 1521271382310267536133046254097085659090436386609026506772*v^7 + 78484488935361656743765196573513407176819268900659749534687*v^6 - 1398631533011851638622594468857941116616643573300711324389061*v^5 + 64861361596747760129258266473917372960304448486280549829360934*v^4 - 513995577279426337911830726462668497073204458447230955570168100*v^3 + 20466086822888282863016482171112419787700279350339136357900848200*v^2 - 40202603657559770605108552670997753541459255175905071451257492000*v + 1216248195907648657131889959813779307310407473201401424639451160000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{12}$$ $$=$$ $$( - 20\!\cdots\!82 \nu^{15} + \cdots + 36\!\cdots\!00 ) / 29\!\cdots\!00$$ (-202755293976513834067184011867731384586282*v^15 + 1814419961065983221772526582019219053670641*v^14 - 3530318479506934183902558568072372141136750038*v^13 + 26950613456876882151027658444473266387878610941*v^12 - 24349413591932912211153365085306825053664476591289*v^11 + 154285910132243727721789721073925114639179441050684*v^10 - 84242414383037538072532378557357687699654516455628893*v^9 + 427827539462294725142938507067709762742561460748223473*v^8 - 151990840066795086122766607205330065538632178977171199118*v^7 + 592583906901868841988712799606556971002564551422598502547*v^6 - 133879288372117663920828456131699282317416422929824612307559*v^5 + 383642021758678971630229389141271362420246621780884937381620*v^4 - 47109617081437927169072755803394113134667621027357885931714937*v^3 + 96099622800031557142383936510208990767980770389423001012677510*v^2 - 3598489804749648599574279185534119675076882327862268652253496300*v + 3689031269820263183438844991929543194258031552830794122879121000) / 291843276250675336878170521129059677777042578288380196464000 $$\beta_{13}$$ $$=$$ $$( 69\!\cdots\!37 \nu^{15} + \cdots - 59\!\cdots\!00 ) / 87\!\cdots\!00$$ (699524151227526078124544838383666444158637*v^15 - 8442641602315618024568176069239198651675483*v^14 + 12180596633089628775177542483239264062581924947*v^13 - 131840592308209221772239842833755280592338492990*v^12 + 84061662410621942440102975786286623710191446687021*v^11 - 807553547630008210992729919393736422154045943434541*v^10 + 291077228400150162349071227463842666229776925558089530*v^9 - 2454825739339917784600389608819078267603787388231619439*v^8 + 525052158424168656439005288035277055068890914740120328665*v^7 - 3845422445577067177121979680242902101511284757153318077938*v^6 + 459637646601824936241765576188246622621850475710229057896995*v^5 - 2904929555556453204285497491102520418311040483205169033974163*v^4 + 156762398343699938886510572911875314199450027382178757508838129*v^3 - 875608066083236790738577743037282422860493715756131541727019470*v^2 + 10597025540858632567521507295914077828452795699518688821710345100*v - 59189211684473876940134107765704162472294156296847976186226863000) / 875529828752026010634511563387179033331127734865140589392000 $$\beta_{14}$$ $$=$$ $$( 44\!\cdots\!27 \nu^{15} + \cdots - 54\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!00$$ (4416039484940458024883894491634415181262227*v^15 - 66078688981196346945324663129637424670484023*v^14 + 76188663964050532158101839223210355955358147972*v^13 - 1074276780766871680959751829449490853316254902675*v^12 + 521248111773692591389220691397560729217800593773121*v^11 - 6904615371589926748118039412412426707058582807951566*v^10 + 1792271457439579144904361973293273397798775107658132585*v^9 - 22204897180767001525860184889843745613504752149454579609*v^8 + 3222532962813291497821777054440269499219961806656322355020*v^7 - 37080460816417474919681658235787755312328196746295679632413*v^6 + 2837178449525150093955310433524923043789010104954283585919135*v^5 - 29919108793593963903554876918988312219391868705706166507762018*v^4 + 997736227132887117646810985397310605113247995924593099706616364*v^3 - 9317812453452624862255186895883769667152375956160947988584181720*v^2 + 76572376846849932016152171171274958557439443726586009312270421600*v - 549391176267104401041260381819317959208872874013746977129988072000) / 3502119315008104042538046253548716133324510939460562357568000 $$\beta_{15}$$ $$=$$ $$( 31\!\cdots\!70 \nu^{15} + \cdots - 11\!\cdots\!00 ) / 17\!\cdots\!00$$ (3138717892429033167885304188732764219858870*v^15 - 23024946386913478401647075846531800281714501*v^14 + 53865331647824351664705989345171651355795488767*v^13 - 340611682661083067960911359537566980836009965182*v^12 + 365899507978072067417885192969539929323724000050641*v^11 - 1944208022321945669082092501382783996629038494371541*v^10 + 1245341545018756681526953827156334234275030690903879316*v^9 - 5362286272768006493128100382654797869144851212206259223*v^8 + 2204025832211945855088581602477949520594883573376306888721*v^7 - 7273673100518943879120662471729935140588069339472427607058*v^6 + 1887589308175069889188812667499077927774460838958501954553823*v^5 - 4333386391321824195318155796632656012099809244302512630623019*v^4 + 626126351861732857167952422050088978156623784169970949467654966*v^3 - 807952230335994943776106029796690713094044487177243373565369980*v^2 + 39887422800264273910563119700696513878315991603659045940037121400*v - 11157659417990171616484086998036238683277027528534514688015660000) / 1751059657504052021269023126774358066662255469730281178784000
 $$\nu$$ $$=$$ $$( \beta _1 + 1 ) / 2$$ (b1 + 1) / 2 $$\nu^{2}$$ $$=$$ $$( \beta_{6} - \beta_{4} - 32\beta_{2} + 2\beta _1 - 8634 ) / 4$$ (b6 - b4 - 32*b2 + 2*b1 - 8634) / 4 $$\nu^{3}$$ $$=$$ $$( 5 \beta_{15} - 3 \beta_{14} + 6 \beta_{13} + 2 \beta_{12} - 2 \beta_{11} + 7 \beta_{10} + 2 \beta_{9} + \cdots - 26503 ) / 8$$ (5*b15 - 3*b14 + 6*b13 + 2*b12 - 2*b11 + 7*b10 + 2*b9 - b8 - 14*b7 + 3*b6 - 65*b5 + 528*b4 + 60*b3 - 4306*b2 - 14140*b1 - 26503) / 8 $$\nu^{4}$$ $$=$$ $$( 20 \beta_{15} + 336 \beta_{14} - 330 \beta_{13} - 552 \beta_{12} - 362 \beta_{11} + 37 \beta_{10} + \cdots + 122697536 ) / 16$$ (20*b15 + 336*b14 - 330*b13 - 552*b12 - 362*b11 + 37*b10 + 330*b9 + 344*b8 - 2531*b7 - 17764*b6 - 20*b5 + 73592*b4 + 12325*b3 + 889456*b2 - 51673*b1 + 122697536) / 16 $$\nu^{5}$$ $$=$$ $$( - 181560 \beta_{15} + 84605 \beta_{14} - 183540 \beta_{13} - 45470 \beta_{12} + 58820 \beta_{11} + \cdots + 643610198 ) / 32$$ (-181560*b15 + 84605*b14 - 183540*b13 - 45470*b12 + 58820*b11 - 148620*b10 - 58980*b9 + 402261*b8 + 937116*b7 - 88840*b6 + 1437235*b5 - 12612176*b4 - 1070615*b3 + 187101848*b2 + 223362654*b1 + 643610198) / 32 $$\nu^{6}$$ $$=$$ $$( - 544780 \beta_{15} - 3803637 \beta_{14} + 3929676 \beta_{13} + 10430734 \beta_{12} + \cdots - 968365531058 ) / 32$$ (-544780*b15 - 3803637*b14 + 3929676*b13 + 10430734*b12 + 4656916*b11 - 1059056*b10 - 4506308*b9 - 2850709*b8 + 22522660*b7 + 153677460*b6 - 6104219*b5 - 1014076216*b4 - 214213357*b3 - 7433140336*b2 + 606171162*b1 - 968365531058) / 32 $$\nu^{7}$$ $$=$$ $$( 1255371760 \beta_{15} - 431274115 \beta_{14} + 1074029760 \beta_{13} + 205641906 \beta_{12} + \cdots - 3607725937802 ) / 32$$ (1255371760*b15 - 431274115*b14 + 1074029760*b13 + 205641906*b12 - 337117832*b11 + 717692474*b10 + 337645520*b9 - 2532112547*b8 - 7218543214*b7 + 538182064*b6 - 7086489885*b5 + 61198226520*b4 + 3775662647*b3 - 1289111100952*b2 - 931289397640*b1 - 3607725937802) / 32 $$\nu^{8}$$ $$=$$ $$( 2512014720 \beta_{15} + 9303759227 \beta_{14} - 9411421476 \beta_{13} - 35080124610 \beta_{12} + \cdots + 20\!\cdots\!54 ) / 16$$ (2512014720*b15 + 9303759227*b14 - 9411421476*b13 - 35080124610*b12 - 12235413628*b11 + 4932809112*b10 + 12063220748*b9 + 5099858883*b8 - 46619442084*b7 - 338170238116*b6 + 36151868485*b5 + 2950998238788*b4 + 682739935947*b3 + 14171426482544*b2 - 1690592307146*b1 + 2014542492085554) / 16 $$\nu^{9}$$ $$=$$ $$( - 3787990680550 \beta_{15} + 1009031447597 \beta_{14} - 2915691185160 \beta_{13} + \cdots + 97\!\cdots\!84 ) / 16$$ (-3787990680550*b15 + 1009031447597*b14 - 2915691185160*b13 - 496433197694*b12 + 902657886960*b11 - 1693075841090*b10 - 903434338320*b9 + 6014246520281*b8 + 22322081203192*b7 - 1523380804290*b6 + 17106144325931*b5 - 140157868159688*b4 - 5999407862941*b3 + 3787273884546476*b2 + 2015043259908110*b1 + 9726371839183484) / 16 $$\nu^{10}$$ $$=$$ $$( - 18958795419980 \beta_{15} - 45732708829265 \beta_{14} + 41212319876754 \beta_{13} + \cdots - 86\!\cdots\!66 ) / 16$$ (-18958795419980*b15 - 45732708829265*b14 + 41212319876754*b13 + 206289691888238*b12 + 60325247723994*b11 - 35213337029419*b10 - 60035723449602*b9 - 20675100878057*b8 + 220531628638433*b7 + 1518588864471548*b6 - 275912430799835*b5 - 16130550360467568*b4 - 3876893525907596*b3 - 53198327408499744*b2 + 9188504489569181*b1 - 8697567363969040366) / 16 $$\nu^{11}$$ $$=$$ $$( 42\!\cdots\!40 \beta_{15} + \cdots - 10\!\cdots\!66 ) / 32$$ (42363964121076440*b15 - 9117017270819957*b14 + 30659220720464676*b13 + 5253317309660142*b12 - 9403781060933332*b11 + 15878000524966276*b10 + 9406980068699572*b9 - 51443640936343309*b8 - 250927847300514620*b7 + 16732412078245688*b6 - 164895217928218011*b5 + 1253910797662714368*b4 + 33803581181685655*b3 - 41379373716717787400*b2 - 17945012668458711686*b1 - 103053441646047163766) / 32 $$\nu^{12}$$ $$=$$ $$( 25\!\cdots\!80 \beta_{15} + \cdots + 77\!\cdots\!82 ) / 32$$ (254600961134169780*b15 + 458437647478188209*b14 - 339604125681647916*b13 - 2266735492902466422*b12 - 580402713990416596*b11 + 437610210635082072*b10 + 582104242510698308*b9 + 203926499360446017*b8 - 2370955678110423948*b7 - 13887157258924957948*b6 + 3511471732323577471*b5 + 170591059323049328952*b4 + 41627999475997768689*b3 + 400219715754112176176*b2 - 98663874812861387266*b1 + 77281648833630633493282) / 32 $$\nu^{13}$$ $$=$$ $$( - 22\!\cdots\!00 \beta_{15} + \cdots + 54\!\cdots\!30 ) / 32$$ (-226529423974748700400*b15 + 40608255663851379359*b14 - 158156269846286193048*b13 - 29195213774772780602*b12 + 48199719264929883216*b11 - 74475814622490078230*b10 - 48188700953681428056*b9 + 208847881807901182751*b8 + 1341350077747335722890*b7 - 90484116176506818064*b6 + 797482357106412816113*b5 - 5546790553127765676568*b4 - 70697713093819932631*b3 + 217497019544994707904232*b2 + 81724028961400225773948*b1 + 541866388898043087413330) / 32 $$\nu^{14}$$ $$=$$ $$( - 19\!\cdots\!50 \beta_{15} + \cdots - 43\!\cdots\!76 ) / 4$$ (-198696085159582851450*b15 - 290017775409601220098*b14 + 165365222207615747652*b13 + 1497323532801110026952*b12 + 346383386154426273980*b11 - 314477919050880883986*b10 - 349718440566817024676*b9 - 142325382717881454222*b8 + 1689898165236638439258*b7 + 8058052392424331564323*b6 - 2537092291894347642986*b5 - 110414377661006325543273*b4 - 27082303486158861168988*b3 - 188159444440593850147748*b2 + 65850702479853810914342*b1 - 43902191199897730071644776) / 4 $$\nu^{15}$$ $$=$$ $$( 29\!\cdots\!45 \beta_{15} + \cdots - 71\!\cdots\!31 ) / 8$$ (294605753674944828865445*b15 - 45111137843121775748923*b14 + 201281871217735857554970*b13 + 41035647638448753326898*b12 - 61051600095153428930766*b11 + 87594726018624308730685*b10 + 61001526110290860886550*b9 - 205673715283340225966641*b8 - 1740834785379385602836252*b7 + 121266844316621552160491*b6 - 968538157926480116522377*b5 + 6102266468917467188042080*b4 - 6589303891565291288414*b3 - 279468169913305166556841706*b2 - 94705446657623632481420970*b1 - 710285966318257707315558231) / 8

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$51$$ $$77$$ $$\chi(n)$$ $$-1$$ $$1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label   $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
51.1
 0.5 − 38.0948i 0.5 + 38.0948i 0.5 + 61.3929i 0.5 − 61.3929i 0.5 − 24.1578i 0.5 + 24.1578i 0.5 + 9.75682i 0.5 − 9.75682i 0.5 − 70.1071i 0.5 + 70.1071i 0.5 + 53.5585i 0.5 − 53.5585i 0.5 − 8.86333i 0.5 + 8.86333i 0.5 + 59.1340i 0.5 − 59.1340i
−15.7955 2.55014i 76.1896i 242.994 + 80.5612i 0 194.294 1203.45i 2180.40i −3632.76 1892.17i 756.150 0
51.2 −15.7955 + 2.55014i 76.1896i 242.994 80.5612i 0 194.294 + 1203.45i 2180.40i −3632.76 + 1892.17i 756.150 0
51.3 −11.6558 10.9610i 122.786i 15.7140 + 255.517i 0 −1345.85 + 1431.16i 1671.99i 2617.56 3150.49i −8515.34 0
51.4 −11.6558 + 10.9610i 122.786i 15.7140 255.517i 0 −1345.85 1431.16i 1671.99i 2617.56 + 3150.49i −8515.34 0
51.5 −10.0150 12.4780i 48.3156i −55.3985 + 249.934i 0 602.880 483.882i 2732.84i 3673.48 1811.84i 4226.60 0
51.6 −10.0150 + 12.4780i 48.3156i −55.3985 249.934i 0 602.880 + 483.882i 2732.84i 3673.48 + 1811.84i 4226.60 0
51.7 −0.948150 15.9719i 19.5136i −254.202 + 30.2875i 0 −311.670 + 18.5019i 3691.10i 724.770 + 4031.37i 6180.22 0
51.8 −0.948150 + 15.9719i 19.5136i −254.202 30.2875i 0 −311.670 18.5019i 3691.10i 724.770 4031.37i 6180.22 0
51.9 2.90464 15.7341i 140.214i −239.126 91.4039i 0 2206.15 + 407.271i 132.843i −2132.74 + 3496.95i −13099.0 0
51.10 2.90464 + 15.7341i 140.214i −239.126 + 91.4039i 0 2206.15 407.271i 132.843i −2132.74 3496.95i −13099.0 0
51.11 5.23963 15.1177i 107.117i −201.093 158.423i 0 −1619.37 561.253i 4212.76i −3448.65 + 2209.99i −4913.04 0
51.12 5.23963 + 15.1177i 107.117i −201.093 + 158.423i 0 −1619.37 + 561.253i 4212.76i −3448.65 2209.99i −4913.04 0
51.13 12.8126 9.58313i 17.7267i 72.3273 245.570i 0 169.877 + 227.125i 536.344i −1426.63 3839.52i 6246.77 0
51.14 12.8126 + 9.58313i 17.7267i 72.3273 + 245.570i 0 169.877 227.125i 536.344i −1426.63 + 3839.52i 6246.77 0
51.15 15.9575 1.16525i 118.268i 253.284 37.1889i 0 −137.812 1887.26i 1474.52i 3998.45 888.582i −7426.34 0
51.16 15.9575 + 1.16525i 118.268i 253.284 + 37.1889i 0 −137.812 + 1887.26i 1474.52i 3998.45 + 888.582i −7426.34 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 51.16 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
4.b odd 2 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 100.9.b.e 16
4.b odd 2 1 inner 100.9.b.e 16
5.b even 2 1 100.9.b.f yes 16
5.c odd 4 2 100.9.d.d 32
20.d odd 2 1 100.9.b.f yes 16
20.e even 4 2 100.9.d.d 32

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
100.9.b.e 16 1.a even 1 1 trivial
100.9.b.e 16 4.b odd 2 1 inner
100.9.b.f yes 16 5.b even 2 1
100.9.b.f yes 16 20.d odd 2 1
100.9.d.d 32 5.c odd 4 2
100.9.d.d 32 20.e even 4 2

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{9}^{\mathrm{new}}(100, [\chi])$$:

 $$T_{3}^{16} + 69032 T_{3}^{14} + 1892458028 T_{3}^{12} + 26145166260984 T_{3}^{10} + \cdots + 77\!\cdots\!25$$ T3^16 + 69032*T3^14 + 1892458028*T3^12 + 26145166260984*T3^10 + 190041610852136790*T3^8 + 687888406922057898840*T3^6 + 1057935079418526999146700*T3^4 + 515619103607999037248517000*T3^2 + 77130827709717209650554200625 $$T_{13}^{8} + 12848 T_{13}^{7} - 3306571168 T_{13}^{6} - 13816363581184 T_{13}^{5} + \cdots + 17\!\cdots\!00$$ T13^8 + 12848*T13^7 - 3306571168*T13^6 - 13816363581184*T13^5 + 3224893214705602816*T13^4 - 10101684642788657733632*T13^3 - 646743715585272585887088640*T13^2 + 1390148068501682227640899993600*T13 + 17437200130096475085595884912640000

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{16} + \cdots + 18\!\cdots\!16$$
$3$ $$T^{16} + \cdots + 77\!\cdots\!25$$
$5$ $$T^{16}$$
$7$ $$T^{16} + \cdots + 26\!\cdots\!00$$
$11$ $$T^{16} + \cdots + 18\!\cdots\!25$$
$13$ $$(T^{8} + \cdots + 17\!\cdots\!00)^{2}$$
$17$ $$(T^{8} + \cdots - 17\!\cdots\!75)^{2}$$
$19$ $$T^{16} + \cdots + 88\!\cdots\!25$$
$23$ $$T^{16} + \cdots + 21\!\cdots\!00$$
$29$ $$(T^{8} + \cdots + 11\!\cdots\!24)^{2}$$
$31$ $$T^{16} + \cdots + 27\!\cdots\!00$$
$37$ $$(T^{8} + \cdots + 12\!\cdots\!00)^{2}$$
$41$ $$(T^{8} + \cdots + 45\!\cdots\!41)^{2}$$
$43$ $$T^{16} + \cdots + 63\!\cdots\!00$$
$47$ $$T^{16} + \cdots + 67\!\cdots\!00$$
$53$ $$(T^{8} + \cdots - 26\!\cdots\!00)^{2}$$
$59$ $$T^{16} + \cdots + 34\!\cdots\!00$$
$61$ $$(T^{8} + \cdots - 28\!\cdots\!44)^{2}$$
$67$ $$T^{16} + \cdots + 61\!\cdots\!25$$
$71$ $$T^{16} + \cdots + 13\!\cdots\!00$$
$73$ $$(T^{8} + \cdots + 97\!\cdots\!25)^{2}$$
$79$ $$T^{16} + \cdots + 83\!\cdots\!00$$
$83$ $$T^{16} + \cdots + 29\!\cdots\!25$$
$89$ $$(T^{8} + \cdots - 15\!\cdots\!31)^{2}$$
$97$ $$(T^{8} + \cdots + 37\!\cdots\!00)^{2}$$