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Lowest zero Conductor Analytic conductor Central character Analytic rank
Degree Bad \(p\) Root analytic conductor Motivic weight Spectral label
Root number Primitive Origin Exclude origin
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e.g. 3,7,19 e.g. F3=1-T,F5=1+T+5T^2

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$L(s) = \prod_p F_p(p^{-s})^{-1}$
Label Origin \(F_{ 2 }(T)\) \(F_{ 3 }(T)\) \(F_{ 5 }(T)\) \(F_{ 7 }(T)\) \(F_{ 11 }(T)\) \(F_{ 13 }(T)\) \(F_{ 17 }(T)\) \(F_{ 19 }(T)\) \(F_{ 23 }(T)\) \(F_{ 29 }(T)\) \(F_{ 31 }(T)\) \(F_{ 37 }(T)\) \(F_{ 41 }(T)\) \(F_{ 43 }(T)\) \(F_{ 47 }(T)\)
6-2416e3-1.1-c1e3-0-4 Modular form 2416.2.a.i $1$ $1 - T + 3 T^{2} - 9 T^{3} + 9 T^{4} - 9 T^{5} + 27 T^{6}$ $1 + 3 T + 9 T^{2} + 21 T^{3} + 45 T^{4} + 75 T^{5} + 125 T^{6}$ $( 1 - T + 7 T^{2} )^{3}$ $1 - T + 8 T^{2} + 27 T^{3} + 88 T^{4} - 121 T^{5} + 1331 T^{6}$ $1 + 9 T + 57 T^{2} + 235 T^{3} + 741 T^{4} + 1521 T^{5} + 2197 T^{6}$ $1 + 8 T + 60 T^{2} + 245 T^{3} + 1020 T^{4} + 2312 T^{5} + 4913 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} + 65 T^{3} + 399 T^{4} + 1083 T^{5} + 6859 T^{6}$ $1 + 36 T^{2} - 9 T^{3} + 828 T^{4} + 12167 T^{6}$ $1 + 5 T + 55 T^{2} + 323 T^{3} + 1595 T^{4} + 4205 T^{5} + 24389 T^{6}$ $1 + 5 T + 19 T^{2} - 11 T^{3} + 589 T^{4} + 4805 T^{5} + 29791 T^{6}$ $1 + 19 T + 191 T^{2} + 1309 T^{3} + 7067 T^{4} + 26011 T^{5} + 50653 T^{6}$ $( 1 - 5 T + 41 T^{2} )^{3}$ $1 + 48 T^{2} + 27 T^{3} + 2064 T^{4} + 79507 T^{6}$ $1 + 15 T + 180 T^{2} + 1347 T^{3} + 8460 T^{4} + 33135 T^{5} + 103823 T^{6}$
6-5292e3-1.1-c1e3-0-0 Modular form 5292.2.a.v $1$ $1$ $1 + T + 3 T^{2} + 19 T^{3} + 15 T^{4} + 25 T^{5} + 125 T^{6}$ $1$ $1 - 5 T + 21 T^{2} - 47 T^{3} + 231 T^{4} - 605 T^{5} + 1331 T^{6}$ $1 - 2 T + 28 T^{2} - 31 T^{3} + 364 T^{4} - 338 T^{5} + 2197 T^{6}$ $1 - 4 T + 36 T^{2} - 145 T^{3} + 612 T^{4} - 1156 T^{5} + 4913 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} + 65 T^{3} + 399 T^{4} + 1083 T^{5} + 6859 T^{6}$ $1 - 14 T + 108 T^{2} - 581 T^{3} + 2484 T^{4} - 7406 T^{5} + 12167 T^{6}$ $1 + 5 T + 75 T^{2} + 227 T^{3} + 2175 T^{4} + 4205 T^{5} + 24389 T^{6}$ $1 - 2 T + 82 T^{2} - 103 T^{3} + 2542 T^{4} - 1922 T^{5} + 29791 T^{6}$ $1 + 54 T^{2} - 137 T^{3} + 1998 T^{4} + 50653 T^{6}$ $1 + 12 T + 132 T^{2} + 903 T^{3} + 5412 T^{4} + 20172 T^{5} + 68921 T^{6}$ $1 + 9 T + 99 T^{2} + 493 T^{3} + 4257 T^{4} + 16641 T^{5} + 79507 T^{6}$ $1 - 9 T + 87 T^{2} - 603 T^{3} + 4089 T^{4} - 19881 T^{5} + 103823 T^{6}$
6-5292e3-1.1-c1e3-0-3 Modular form 5292.2.a.w $1$ $1$ $1 - T + 3 T^{2} - 19 T^{3} + 15 T^{4} - 25 T^{5} + 125 T^{6}$ $1$ $1 + 5 T + 21 T^{2} + 47 T^{3} + 231 T^{4} + 605 T^{5} + 1331 T^{6}$ $1 - 2 T + 28 T^{2} - 31 T^{3} + 364 T^{4} - 338 T^{5} + 2197 T^{6}$ $1 + 4 T + 36 T^{2} + 145 T^{3} + 612 T^{4} + 1156 T^{5} + 4913 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} + 65 T^{3} + 399 T^{4} + 1083 T^{5} + 6859 T^{6}$ $1 + 14 T + 108 T^{2} + 581 T^{3} + 2484 T^{4} + 7406 T^{5} + 12167 T^{6}$ $1 - 5 T + 75 T^{2} - 227 T^{3} + 2175 T^{4} - 4205 T^{5} + 24389 T^{6}$ $1 - 2 T + 82 T^{2} - 103 T^{3} + 2542 T^{4} - 1922 T^{5} + 29791 T^{6}$ $1 + 54 T^{2} - 137 T^{3} + 1998 T^{4} + 50653 T^{6}$ $1 - 12 T + 132 T^{2} - 903 T^{3} + 5412 T^{4} - 20172 T^{5} + 68921 T^{6}$ $1 + 9 T + 99 T^{2} + 493 T^{3} + 4257 T^{4} + 16641 T^{5} + 79507 T^{6}$ $1 + 9 T + 87 T^{2} + 603 T^{3} + 4089 T^{4} + 19881 T^{5} + 103823 T^{6}$
6-7938e3-1.1-c1e3-0-1 Modular form 7938.2.a.bw $( 1 + T )^{3}$ $1$ $1 - T + 9 T^{2} - 13 T^{3} + 45 T^{4} - 25 T^{5} + 125 T^{6}$ $1$ $1 - T + 27 T^{2} - 25 T^{3} + 297 T^{4} - 121 T^{5} + 1331 T^{6}$ $1 - 8 T + 40 T^{2} - 139 T^{3} + 520 T^{4} - 1352 T^{5} + 2197 T^{6}$ $1 + 4 T + 39 T^{2} + 112 T^{3} + 663 T^{4} + 1156 T^{5} + 4913 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} + 65 T^{3} + 399 T^{4} + 1083 T^{5} + 6859 T^{6}$ $1 - 7 T + 81 T^{2} - 325 T^{3} + 1863 T^{4} - 3703 T^{5} + 12167 T^{6}$ $1 - 5 T + 21 T^{2} + 73 T^{3} + 609 T^{4} - 4205 T^{5} + 24389 T^{6}$ $1 - 20 T + 214 T^{2} - 1441 T^{3} + 6634 T^{4} - 19220 T^{5} + 29791 T^{6}$ $( 1 + T + 37 T^{2} )^{3}$ $1 + 90 T^{2} - 9 T^{3} + 3690 T^{4} + 68921 T^{6}$ $1 - 6 T + 60 T^{2} - 389 T^{3} + 2580 T^{4} - 11094 T^{5} + 79507 T^{6}$ $1 + 9 T + 87 T^{2} + 657 T^{3} + 4089 T^{4} + 19881 T^{5} + 103823 T^{6}$
6-7938e3-1.1-c1e3-0-2 Modular form 7938.2.a.bz $( 1 - T )^{3}$ $1$ $1 + T + 9 T^{2} + 13 T^{3} + 45 T^{4} + 25 T^{5} + 125 T^{6}$ $1$ $1 + T + 27 T^{2} + 25 T^{3} + 297 T^{4} + 121 T^{5} + 1331 T^{6}$ $1 - 8 T + 40 T^{2} - 139 T^{3} + 520 T^{4} - 1352 T^{5} + 2197 T^{6}$ $1 - 4 T + 39 T^{2} - 112 T^{3} + 663 T^{4} - 1156 T^{5} + 4913 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} + 65 T^{3} + 399 T^{4} + 1083 T^{5} + 6859 T^{6}$ $1 + 7 T + 81 T^{2} + 325 T^{3} + 1863 T^{4} + 3703 T^{5} + 12167 T^{6}$ $1 + 5 T + 21 T^{2} - 73 T^{3} + 609 T^{4} + 4205 T^{5} + 24389 T^{6}$ $1 - 20 T + 214 T^{2} - 1441 T^{3} + 6634 T^{4} - 19220 T^{5} + 29791 T^{6}$ $( 1 + T + 37 T^{2} )^{3}$ $1 + 90 T^{2} + 9 T^{3} + 3690 T^{4} + 68921 T^{6}$ $1 - 6 T + 60 T^{2} - 389 T^{3} + 2580 T^{4} - 11094 T^{5} + 79507 T^{6}$ $1 - 9 T + 87 T^{2} - 657 T^{3} + 4089 T^{4} - 19881 T^{5} + 103823 T^{6}$
6-9072e3-1.1-c1e3-0-3 Modular form 9072.2.a.bt $1$ $1$ $1 + 3 T + 9 T^{2} + 21 T^{3} + 45 T^{4} + 75 T^{5} + 125 T^{6}$ $( 1 + T )^{3}$ $1 - 6 T + 36 T^{2} - 123 T^{3} + 396 T^{4} - 726 T^{5} + 1331 T^{6}$ $( 1 + T + 13 T^{2} )^{3}$ $1 + 18 T^{2} + 9 T^{3} + 306 T^{4} + 4913 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} + 65 T^{3} + 399 T^{4} + 1083 T^{5} + 6859 T^{6}$ $1 - 6 T + 54 T^{2} - 177 T^{3} + 1242 T^{4} - 3174 T^{5} + 12167 T^{6}$ $1 + 15 T + 135 T^{2} + 807 T^{3} + 3915 T^{4} + 12615 T^{5} + 24389 T^{6}$ $1 - 3 T + 15 T^{2} - 133 T^{3} + 465 T^{4} - 2883 T^{5} + 29791 T^{6}$ $1 + 3 T + 33 T^{2} + 115 T^{3} + 1221 T^{4} + 4107 T^{5} + 50653 T^{6}$ $1 + 6 T + 126 T^{2} + 483 T^{3} + 5166 T^{4} + 10086 T^{5} + 68921 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} - 205 T^{3} + 903 T^{4} + 5547 T^{5} + 79507 T^{6}$ $1 - 15 T + 177 T^{2} - 1329 T^{3} + 8319 T^{4} - 33135 T^{5} + 103823 T^{6}$
6-9072e3-1.1-c1e3-0-9 Modular form 9072.2.a.bz $1$ $1$ $1 - 3 T + 9 T^{2} - 21 T^{3} + 45 T^{4} - 75 T^{5} + 125 T^{6}$ $( 1 + T )^{3}$ $1 + 6 T + 36 T^{2} + 123 T^{3} + 396 T^{4} + 726 T^{5} + 1331 T^{6}$ $( 1 + T + 13 T^{2} )^{3}$ $1 + 18 T^{2} - 9 T^{3} + 306 T^{4} + 4913 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} + 65 T^{3} + 399 T^{4} + 1083 T^{5} + 6859 T^{6}$ $1 + 6 T + 54 T^{2} + 177 T^{3} + 1242 T^{4} + 3174 T^{5} + 12167 T^{6}$ $1 - 15 T + 135 T^{2} - 807 T^{3} + 3915 T^{4} - 12615 T^{5} + 24389 T^{6}$ $1 - 3 T + 15 T^{2} - 133 T^{3} + 465 T^{4} - 2883 T^{5} + 29791 T^{6}$ $1 + 3 T + 33 T^{2} + 115 T^{3} + 1221 T^{4} + 4107 T^{5} + 50653 T^{6}$ $1 - 6 T + 126 T^{2} - 483 T^{3} + 5166 T^{4} - 10086 T^{5} + 68921 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} - 205 T^{3} + 903 T^{4} + 5547 T^{5} + 79507 T^{6}$ $1 + 15 T + 177 T^{2} + 1329 T^{3} + 8319 T^{4} + 33135 T^{5} + 103823 T^{6}$
6-9664e3-1.1-c1e3-0-6 Modular form 9664.2.a.s $1$ $1 - T + 3 T^{2} - 9 T^{3} + 9 T^{4} - 9 T^{5} + 27 T^{6}$ $1 - 3 T + 9 T^{2} - 21 T^{3} + 45 T^{4} - 75 T^{5} + 125 T^{6}$ $( 1 + T + 7 T^{2} )^{3}$ $1 - T + 8 T^{2} + 27 T^{3} + 88 T^{4} - 121 T^{5} + 1331 T^{6}$ $1 - 9 T + 57 T^{2} - 235 T^{3} + 741 T^{4} - 1521 T^{5} + 2197 T^{6}$ $1 + 8 T + 60 T^{2} + 245 T^{3} + 1020 T^{4} + 2312 T^{5} + 4913 T^{6}$ $1 + 3 T + 21 T^{2} + 65 T^{3} + 399 T^{4} + 1083 T^{5} + 6859 T^{6}$ $1 + 36 T^{2} + 9 T^{3} + 828 T^{4} + 12167 T^{6}$ $1 - 5 T + 55 T^{2} - 323 T^{3} + 1595 T^{4} - 4205 T^{5} + 24389 T^{6}$ $1 - 5 T + 19 T^{2} + 11 T^{3} + 589 T^{4} - 4805 T^{5} + 29791 T^{6}$ $1 - 19 T + 191 T^{2} - 1309 T^{3} + 7067 T^{4} - 26011 T^{5} + 50653 T^{6}$ $( 1 - 5 T + 41 T^{2} )^{3}$ $1 + 48 T^{2} + 27 T^{3} + 2064 T^{4} + 79507 T^{6}$ $1 - 15 T + 180 T^{2} - 1347 T^{3} + 8460 T^{4} - 33135 T^{5} + 103823 T^{6}$