Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2-s + 28·4-s + 10·5-s + 196·7-s − 52·8-s + 10·10-s + 692·11-s + 1.16e3·13-s + 196·14-s + 2.01e3·16-s + 22·17-s − 3.23e3·19-s + 280·20-s + 692·22-s + 1.08e4·23-s + 1.41e4·25-s + 1.16e3·26-s + 5.48e3·28-s − 1.30e4·29-s − 1.47e4·31-s + 7.85e3·32-s + 22·34-s + 1.96e3·35-s + 4.63e3·37-s − 3.23e3·38-s − 520·40-s + 1.48e4·41-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.176·2-s + 7/8·4-s + 0.178·5-s + 1.51·7-s − 0.287·8-s + 0.0316·10-s + 1.72·11-s + 1.90·13-s + 0.267·14-s + 1.96·16-s + 0.0184·17-s − 2.05·19-s + 0.156·20-s + 0.304·22-s + 4.27·23-s + 4.52·25-s + 0.337·26-s + 1.32·28-s − 2.88·29-s − 2.75·31-s + 1.35·32-s + 0.00326·34-s + 0.270·35-s + 0.556·37-s − 0.363·38-s − 0.0513·40-s + 1.37·41-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{32} \cdot 11^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{32} \cdot 11^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(32\) |
| Conductor: | \(3^{32} \cdot 11^{16}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.63204\times 10^{19}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.98472\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((32,\ 3^{32} \cdot 11^{16} ,\ ( \ : [5/2]^{16} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(\approx\) | \(563.1973747\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(563.1973747\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( 1 \) |
| 11 | \( 1 - 692 T - 3901 p T^{2} + 1253544 p^{2} T^{3} - 18594531 p^{3} T^{4} - 610987040 p^{4} T^{5} + 1159926347 p^{6} T^{6} - 3058295212 p^{8} T^{7} + 20925998248 p^{10} T^{8} - 3058295212 p^{13} T^{9} + 1159926347 p^{16} T^{10} - 610987040 p^{19} T^{11} - 18594531 p^{23} T^{12} + 1253544 p^{27} T^{13} - 3901 p^{31} T^{14} - 692 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} \) | |
| good | 2 | \( 1 - T - 27 T^{2} + 107 T^{3} - 1419 T^{4} - 2205 p^{2} T^{5} + 21813 p^{2} T^{6} - 16471 p^{4} T^{7} - 5313 p^{6} T^{8} + 349659 p^{6} T^{9} - 629949 p^{7} T^{10} + 93979 p^{8} T^{11} + 7657771 p^{9} T^{12} - 26985509 p^{10} T^{13} + 32409201 p^{10} T^{14} + 27686021 p^{14} T^{15} - 1292752791 p^{12} T^{16} + 27686021 p^{19} T^{17} + 32409201 p^{20} T^{18} - 26985509 p^{25} T^{19} + 7657771 p^{29} T^{20} + 93979 p^{33} T^{21} - 629949 p^{37} T^{22} + 349659 p^{41} T^{23} - 5313 p^{46} T^{24} - 16471 p^{49} T^{25} + 21813 p^{52} T^{26} - 2205 p^{57} T^{27} - 1419 p^{60} T^{28} + 107 p^{65} T^{29} - 27 p^{70} T^{30} - p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) |
| 5 | \( 1 - 2 p T - 14043 T^{2} + 36004 p T^{3} + 75055968 T^{4} - 369632922 p T^{5} - 100342386816 T^{6} + 86742947254 p^{3} T^{7} - 157883512439964 p T^{8} - 189639259329276 p^{3} T^{9} + 4246287590163916179 T^{10} - 20417565378304945198 p T^{11} - \)\(60\!\cdots\!77\)\( T^{12} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( p T^{13} - \)\(20\!\cdots\!88\)\( T^{14} - \)\(28\!\cdots\!28\)\( p T^{15} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( T^{16} - \)\(28\!\cdots\!28\)\( p^{6} T^{17} - \)\(20\!\cdots\!88\)\( p^{10} T^{18} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( p^{16} T^{19} - \)\(60\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{20} - 20417565378304945198 p^{26} T^{21} + 4246287590163916179 p^{30} T^{22} - 189639259329276 p^{38} T^{23} - 157883512439964 p^{41} T^{24} + 86742947254 p^{48} T^{25} - 100342386816 p^{50} T^{26} - 369632922 p^{56} T^{27} + 75055968 p^{60} T^{28} + 36004 p^{66} T^{29} - 14043 p^{70} T^{30} - 2 p^{76} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 7 | \( 1 - 4 p^{2} T - 30529 T^{2} + 7524960 T^{3} + 181603532 T^{4} - 65266983916 T^{5} + 1646601296492 T^{6} - 323456036783468 p T^{7} + 21886279502655524 p T^{8} + 10279977561365329024 p T^{9} - \)\(69\!\cdots\!11\)\( T^{10} - \)\(58\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(70\!\cdots\!87\)\( T^{12} - \)\(70\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( T^{14} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( T^{15} - \)\(58\!\cdots\!88\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{17} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( p^{10} T^{18} - \)\(70\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{19} + \)\(70\!\cdots\!87\)\( p^{20} T^{20} - \)\(58\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{21} - \)\(69\!\cdots\!11\)\( p^{30} T^{22} + 10279977561365329024 p^{36} T^{23} + 21886279502655524 p^{41} T^{24} - 323456036783468 p^{46} T^{25} + 1646601296492 p^{50} T^{26} - 65266983916 p^{55} T^{27} + 181603532 p^{60} T^{28} + 7524960 p^{65} T^{29} - 30529 p^{70} T^{30} - 4 p^{77} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 13 | \( 1 - 1162 T - 94551 T^{2} + 579290788 T^{3} + 146427987596 T^{4} - 600870003540266 T^{5} + 125052452572816140 T^{6} + \)\(30\!\cdots\!46\)\( T^{7} - \)\(11\!\cdots\!28\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!64\)\( T^{9} + \)\(84\!\cdots\!75\)\( T^{10} + \)\(52\!\cdots\!34\)\( T^{11} - \)\(38\!\cdots\!61\)\( p T^{12} - \)\(13\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( T^{14} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{15} - \)\(91\!\cdots\!84\)\( T^{16} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( p^{10} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{19} - \)\(38\!\cdots\!61\)\( p^{21} T^{20} + \)\(52\!\cdots\!34\)\( p^{25} T^{21} + \)\(84\!\cdots\!75\)\( p^{30} T^{22} - \)\(13\!\cdots\!64\)\( p^{35} T^{23} - \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{40} T^{24} + \)\(30\!\cdots\!46\)\( p^{45} T^{25} + 125052452572816140 p^{50} T^{26} - 600870003540266 p^{55} T^{27} + 146427987596 p^{60} T^{28} + 579290788 p^{65} T^{29} - 94551 p^{70} T^{30} - 1162 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 17 | \( 1 - 22 T - 4363527 T^{2} - 2994827912 T^{3} + 8715016018952 T^{4} + 7089763996838630 T^{5} - 2533784024596431108 T^{6} - \)\(31\!\cdots\!86\)\( T^{7} - \)\(40\!\cdots\!24\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!52\)\( T^{9} - \)\(84\!\cdots\!97\)\( T^{10} + \)\(30\!\cdots\!66\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( T^{12} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( T^{13} + \)\(63\!\cdots\!68\)\( T^{14} - \)\(53\!\cdots\!56\)\( T^{15} - \)\(17\!\cdots\!84\)\( T^{16} - \)\(53\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{17} + \)\(63\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{18} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( p^{15} T^{19} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( p^{20} T^{20} + \)\(30\!\cdots\!66\)\( p^{25} T^{21} - \)\(84\!\cdots\!97\)\( p^{30} T^{22} - \)\(31\!\cdots\!52\)\( p^{35} T^{23} - \)\(40\!\cdots\!24\)\( p^{40} T^{24} - \)\(31\!\cdots\!86\)\( p^{45} T^{25} - 2533784024596431108 p^{50} T^{26} + 7089763996838630 p^{55} T^{27} + 8715016018952 p^{60} T^{28} - 2994827912 p^{65} T^{29} - 4363527 p^{70} T^{30} - 22 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 19 | \( 1 + 3236 T + 2242450 T^{2} - 5377355164 T^{3} - 6608264663933 T^{4} + 931336596121708 p T^{5} + 42919893614145313944 T^{6} - \)\(12\!\cdots\!12\)\( T^{7} - \)\(79\!\cdots\!53\)\( T^{8} + \)\(63\!\cdots\!04\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!08\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!68\)\( T^{11} - \)\(43\!\cdots\!59\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(31\!\cdots\!86\)\( T^{14} + \)\(74\!\cdots\!36\)\( T^{15} - \)\(65\!\cdots\!88\)\( T^{16} + \)\(74\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{17} + \)\(31\!\cdots\!86\)\( p^{10} T^{18} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{19} - \)\(43\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{20} - \)\(18\!\cdots\!68\)\( p^{25} T^{21} + \)\(19\!\cdots\!08\)\( p^{30} T^{22} + \)\(63\!\cdots\!04\)\( p^{35} T^{23} - \)\(79\!\cdots\!53\)\( p^{40} T^{24} - \)\(12\!\cdots\!12\)\( p^{45} T^{25} + 42919893614145313944 p^{50} T^{26} + 931336596121708 p^{56} T^{27} - 6608264663933 p^{60} T^{28} - 5377355164 p^{65} T^{29} + 2242450 p^{70} T^{30} + 3236 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 23 | \( ( 1 - 5424 T + 55274044 T^{2} - 9698047248 p T^{3} + 1278967597796756 T^{4} - 176486809215694416 p T^{5} + \)\(16\!\cdots\!28\)\( T^{6} - \)\(42\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!98\)\( T^{8} - \)\(42\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{9} + \)\(16\!\cdots\!28\)\( p^{10} T^{10} - 176486809215694416 p^{16} T^{11} + 1278967597796756 p^{20} T^{12} - 9698047248 p^{26} T^{13} + 55274044 p^{30} T^{14} - 5424 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} )^{2} \) | |
| 29 | \( 1 + 13070 T + 47857613 T^{2} - 326036461272 T^{3} - 3615673984576960 T^{4} - 10457250674731621870 T^{5} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{7} + \)\(53\!\cdots\!04\)\( T^{8} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!23\)\( T^{10} - \)\(76\!\cdots\!14\)\( T^{11} - \)\(39\!\cdots\!21\)\( T^{12} - \)\(17\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(58\!\cdots\!92\)\( T^{14} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{15} - \)\(28\!\cdots\!24\)\( T^{16} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{17} + \)\(58\!\cdots\!92\)\( p^{10} T^{18} - \)\(17\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{19} - \)\(39\!\cdots\!21\)\( p^{20} T^{20} - \)\(76\!\cdots\!14\)\( p^{25} T^{21} + \)\(22\!\cdots\!23\)\( p^{30} T^{22} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{23} + \)\(53\!\cdots\!04\)\( p^{40} T^{24} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( p^{45} T^{25} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{50} T^{26} - 10457250674731621870 p^{55} T^{27} - 3615673984576960 p^{60} T^{28} - 326036461272 p^{65} T^{29} + 47857613 p^{70} T^{30} + 13070 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 31 | \( 1 + 14764 T + 23868303 T^{2} - 736989794128 T^{3} - 4108642278550732 T^{4} + 13702752669168442004 T^{5} + \)\(19\!\cdots\!64\)\( T^{6} + \)\(41\!\cdots\!60\)\( T^{7} - \)\(23\!\cdots\!76\)\( T^{8} - \)\(16\!\cdots\!24\)\( T^{9} - \)\(56\!\cdots\!07\)\( T^{10} - \)\(25\!\cdots\!32\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!25\)\( p T^{12} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( T^{13} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{14} - \)\(43\!\cdots\!36\)\( T^{15} - \)\(59\!\cdots\!92\)\( T^{16} - \)\(43\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{18} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( p^{15} T^{19} + \)\(29\!\cdots\!25\)\( p^{21} T^{20} - \)\(25\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{21} - \)\(56\!\cdots\!07\)\( p^{30} T^{22} - \)\(16\!\cdots\!24\)\( p^{35} T^{23} - \)\(23\!\cdots\!76\)\( p^{40} T^{24} + \)\(41\!\cdots\!60\)\( p^{45} T^{25} + \)\(19\!\cdots\!64\)\( p^{50} T^{26} + 13702752669168442004 p^{55} T^{27} - 4108642278550732 p^{60} T^{28} - 736989794128 p^{65} T^{29} + 23868303 p^{70} T^{30} + 14764 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 37 | \( 1 - 4638 T - 119292171 T^{2} + 271516931476 T^{3} + 9768318205415568 T^{4} + 23159902741520564482 T^{5} - \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{6} - \)\(28\!\cdots\!78\)\( T^{7} + \)\(98\!\cdots\!12\)\( T^{8} + \)\(81\!\cdots\!96\)\( T^{9} - \)\(70\!\cdots\!13\)\( T^{10} + \)\(96\!\cdots\!26\)\( T^{11} + \)\(44\!\cdots\!51\)\( T^{12} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( p T^{13} - \)\(38\!\cdots\!24\)\( T^{14} - \)\(44\!\cdots\!16\)\( T^{15} + \)\(33\!\cdots\!44\)\( T^{16} - \)\(44\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{17} - \)\(38\!\cdots\!24\)\( p^{10} T^{18} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( p^{16} T^{19} + \)\(44\!\cdots\!51\)\( p^{20} T^{20} + \)\(96\!\cdots\!26\)\( p^{25} T^{21} - \)\(70\!\cdots\!13\)\( p^{30} T^{22} + \)\(81\!\cdots\!96\)\( p^{35} T^{23} + \)\(98\!\cdots\!12\)\( p^{40} T^{24} - \)\(28\!\cdots\!78\)\( p^{45} T^{25} - \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{50} T^{26} + 23159902741520564482 p^{55} T^{27} + 9768318205415568 p^{60} T^{28} + 271516931476 p^{65} T^{29} - 119292171 p^{70} T^{30} - 4638 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 41 | \( 1 - 14806 T + 116461329 T^{2} - 2057638142512 T^{3} + 26494339964805888 T^{4} + 71982306131587525038 T^{5} - \)\(91\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( T^{7} - \)\(45\!\cdots\!68\)\( T^{8} + \)\(37\!\cdots\!52\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!83\)\( T^{10} + \)\(24\!\cdots\!54\)\( T^{11} - \)\(11\!\cdots\!93\)\( T^{12} - \)\(39\!\cdots\!24\)\( T^{13} - \)\(13\!\cdots\!04\)\( T^{14} + \)\(46\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(21\!\cdots\!96\)\( T^{16} + \)\(46\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{17} - \)\(13\!\cdots\!04\)\( p^{10} T^{18} - \)\(39\!\cdots\!24\)\( p^{15} T^{19} - \)\(11\!\cdots\!93\)\( p^{20} T^{20} + \)\(24\!\cdots\!54\)\( p^{25} T^{21} + \)\(16\!\cdots\!83\)\( p^{30} T^{22} + \)\(37\!\cdots\!52\)\( p^{35} T^{23} - \)\(45\!\cdots\!68\)\( p^{40} T^{24} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( p^{45} T^{25} - \)\(91\!\cdots\!00\)\( p^{50} T^{26} + 71982306131587525038 p^{55} T^{27} + 26494339964805888 p^{60} T^{28} - 2057638142512 p^{65} T^{29} + 116461329 p^{70} T^{30} - 14806 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 43 | \( ( 1 + 12188 T + 699074717 T^{2} + 6483619268984 T^{3} + 212300340532873551 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(40\!\cdots\!95\)\( T^{6} + \)\(26\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(63\!\cdots\!24\)\( T^{8} + \)\(26\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{9} + \)\(40\!\cdots\!95\)\( p^{10} T^{10} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( p^{15} T^{11} + 212300340532873551 p^{20} T^{12} + 6483619268984 p^{25} T^{13} + 699074717 p^{30} T^{14} + 12188 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 + 40364 T - 192282453 T^{2} - 29504805032296 T^{3} - 228545046034285440 T^{4} + \)\(90\!\cdots\!64\)\( T^{5} + \)\(14\!\cdots\!72\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{7} - \)\(35\!\cdots\!88\)\( T^{8} - \)\(65\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(41\!\cdots\!01\)\( T^{10} + \)\(83\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(84\!\cdots\!75\)\( T^{12} - \)\(26\!\cdots\!80\)\( T^{13} - \)\(69\!\cdots\!16\)\( T^{14} + \)\(31\!\cdots\!28\)\( T^{15} + \)\(22\!\cdots\!32\)\( T^{16} + \)\(31\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{17} - \)\(69\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{18} - \)\(26\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{19} + \)\(84\!\cdots\!75\)\( p^{20} T^{20} + \)\(83\!\cdots\!92\)\( p^{25} T^{21} + \)\(41\!\cdots\!01\)\( p^{30} T^{22} - \)\(65\!\cdots\!12\)\( p^{35} T^{23} - \)\(35\!\cdots\!88\)\( p^{40} T^{24} - \)\(11\!\cdots\!56\)\( p^{45} T^{25} + \)\(14\!\cdots\!72\)\( p^{50} T^{26} + \)\(90\!\cdots\!64\)\( p^{55} T^{27} - 228545046034285440 p^{60} T^{28} - 29504805032296 p^{65} T^{29} - 192282453 p^{70} T^{30} + 40364 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 53 | \( 1 - 11654 T - 311337711 T^{2} + 419332324384 T^{3} + 580390322613555156 T^{4} - \)\(59\!\cdots\!86\)\( T^{5} - \)\(26\!\cdots\!80\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!54\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!08\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{9} - \)\(99\!\cdots\!13\)\( T^{10} + \)\(17\!\cdots\!30\)\( T^{11} + \)\(52\!\cdots\!27\)\( T^{12} - \)\(61\!\cdots\!28\)\( T^{13} - \)\(24\!\cdots\!24\)\( T^{14} + \)\(41\!\cdots\!84\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{16} + \)\(41\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{17} - \)\(24\!\cdots\!24\)\( p^{10} T^{18} - \)\(61\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{19} + \)\(52\!\cdots\!27\)\( p^{20} T^{20} + \)\(17\!\cdots\!30\)\( p^{25} T^{21} - \)\(99\!\cdots\!13\)\( p^{30} T^{22} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( p^{35} T^{23} + \)\(19\!\cdots\!08\)\( p^{40} T^{24} + \)\(24\!\cdots\!54\)\( p^{45} T^{25} - \)\(26\!\cdots\!80\)\( p^{50} T^{26} - \)\(59\!\cdots\!86\)\( p^{55} T^{27} + 580390322613555156 p^{60} T^{28} + 419332324384 p^{65} T^{29} - 311337711 p^{70} T^{30} - 11654 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 59 | \( 1 + 70804 T + 650956378 T^{2} - 77911949681268 T^{3} - 2676199163934843125 T^{4} - \)\(30\!\cdots\!04\)\( T^{5} - \)\(16\!\cdots\!64\)\( T^{6} + \)\(34\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!19\)\( T^{8} + \)\(65\!\cdots\!44\)\( T^{9} - \)\(22\!\cdots\!08\)\( T^{10} - \)\(48\!\cdots\!08\)\( T^{11} - \)\(15\!\cdots\!95\)\( T^{12} - \)\(35\!\cdots\!28\)\( T^{13} - \)\(16\!\cdots\!18\)\( T^{14} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( T^{15} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( T^{16} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{17} - \)\(16\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{18} - \)\(35\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{19} - \)\(15\!\cdots\!95\)\( p^{20} T^{20} - \)\(48\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{21} - \)\(22\!\cdots\!08\)\( p^{30} T^{22} + \)\(65\!\cdots\!44\)\( p^{35} T^{23} + \)\(27\!\cdots\!19\)\( p^{40} T^{24} + \)\(34\!\cdots\!60\)\( p^{45} T^{25} - \)\(16\!\cdots\!64\)\( p^{50} T^{26} - \)\(30\!\cdots\!04\)\( p^{55} T^{27} - 2676199163934843125 p^{60} T^{28} - 77911949681268 p^{65} T^{29} + 650956378 p^{70} T^{30} + 70804 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 61 | \( 1 + 31446 T - 822013127 T^{2} - 8661690172160 T^{3} + 2725823414585587092 T^{4} + \)\(42\!\cdots\!82\)\( T^{5} - \)\(26\!\cdots\!64\)\( T^{6} - \)\(18\!\cdots\!62\)\( T^{7} + \)\(38\!\cdots\!68\)\( T^{8} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( T^{9} - \)\(35\!\cdots\!81\)\( T^{10} - \)\(41\!\cdots\!46\)\( T^{11} + \)\(39\!\cdots\!67\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( T^{13} - \)\(29\!\cdots\!56\)\( T^{14} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{15} + \)\(32\!\cdots\!68\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{17} - \)\(29\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{18} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( p^{15} T^{19} + \)\(39\!\cdots\!67\)\( p^{20} T^{20} - \)\(41\!\cdots\!46\)\( p^{25} T^{21} - \)\(35\!\cdots\!81\)\( p^{30} T^{22} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( p^{35} T^{23} + \)\(38\!\cdots\!68\)\( p^{40} T^{24} - \)\(18\!\cdots\!62\)\( p^{45} T^{25} - \)\(26\!\cdots\!64\)\( p^{50} T^{26} + \)\(42\!\cdots\!82\)\( p^{55} T^{27} + 2725823414585587092 p^{60} T^{28} - 8661690172160 p^{65} T^{29} - 822013127 p^{70} T^{30} + 31446 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 67 | \( ( 1 + 32100 T + 9230620865 T^{2} + 244904972239352 T^{3} + 38707469935726110055 T^{4} + \)\(85\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(97\!\cdots\!71\)\( T^{6} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!56\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{9} + \)\(97\!\cdots\!71\)\( p^{10} T^{10} + \)\(85\!\cdots\!84\)\( p^{15} T^{11} + 38707469935726110055 p^{20} T^{12} + 244904972239352 p^{25} T^{13} + 9230620865 p^{30} T^{14} + 32100 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} )^{2} \) | |
| 71 | \( 1 - 184380 T + 9105023403 T^{2} + 197336579903880 T^{3} - 24287550568222943480 T^{4} + \)\(40\!\cdots\!60\)\( T^{5} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( T^{6} + \)\(83\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!16\)\( p T^{8} - \)\(77\!\cdots\!20\)\( T^{9} - \)\(13\!\cdots\!67\)\( T^{10} - \)\(52\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{13} + \)\(35\!\cdots\!44\)\( T^{14} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( T^{15} - \)\(86\!\cdots\!52\)\( T^{16} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{17} + \)\(35\!\cdots\!44\)\( p^{10} T^{18} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( p^{20} T^{20} - \)\(52\!\cdots\!20\)\( p^{25} T^{21} - \)\(13\!\cdots\!67\)\( p^{30} T^{22} - \)\(77\!\cdots\!20\)\( p^{35} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!16\)\( p^{41} T^{24} + \)\(83\!\cdots\!20\)\( p^{45} T^{25} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( p^{50} T^{26} + \)\(40\!\cdots\!60\)\( p^{55} T^{27} - 24287550568222943480 p^{60} T^{28} + 197336579903880 p^{65} T^{29} + 9105023403 p^{70} T^{30} - 184380 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 73 | \( 1 + 1750 T - 9685718607 T^{2} - 212498950812584 T^{3} + 43813058702423151592 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!34\)\( T^{5} - \)\(11\!\cdots\!52\)\( T^{6} - \)\(51\!\cdots\!14\)\( T^{7} + \)\(20\!\cdots\!12\)\( T^{8} + \)\(86\!\cdots\!36\)\( T^{9} - \)\(48\!\cdots\!49\)\( T^{10} - \)\(52\!\cdots\!86\)\( T^{11} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( T^{12} - \)\(52\!\cdots\!80\)\( T^{13} - \)\(49\!\cdots\!88\)\( T^{14} + \)\(79\!\cdots\!72\)\( T^{15} + \)\(11\!\cdots\!64\)\( T^{16} + \)\(79\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{17} - \)\(49\!\cdots\!88\)\( p^{10} T^{18} - \)\(52\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{19} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( p^{20} T^{20} - \)\(52\!\cdots\!86\)\( p^{25} T^{21} - \)\(48\!\cdots\!49\)\( p^{30} T^{22} + \)\(86\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{23} + \)\(20\!\cdots\!12\)\( p^{40} T^{24} - \)\(51\!\cdots\!14\)\( p^{45} T^{25} - \)\(11\!\cdots\!52\)\( p^{50} T^{26} + \)\(15\!\cdots\!34\)\( p^{55} T^{27} + 43813058702423151592 p^{60} T^{28} - 212498950812584 p^{65} T^{29} - 9685718607 p^{70} T^{30} + 1750 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 79 | \( 1 - 24324 T - 12402045505 T^{2} + 275159567550064 T^{3} + 65785434916137516948 T^{4} - \)\(60\!\cdots\!48\)\( T^{5} - \)\(18\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(63\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(35\!\cdots\!12\)\( T^{8} + \)\(52\!\cdots\!80\)\( T^{9} - \)\(57\!\cdots\!31\)\( T^{10} - \)\(17\!\cdots\!40\)\( T^{11} - \)\(19\!\cdots\!49\)\( T^{12} + \)\(31\!\cdots\!76\)\( T^{13} + \)\(27\!\cdots\!16\)\( T^{14} - \)\(24\!\cdots\!92\)\( T^{15} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{16} - \)\(24\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{17} + \)\(27\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{18} + \)\(31\!\cdots\!76\)\( p^{15} T^{19} - \)\(19\!\cdots\!49\)\( p^{20} T^{20} - \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{25} T^{21} - \)\(57\!\cdots\!31\)\( p^{30} T^{22} + \)\(52\!\cdots\!80\)\( p^{35} T^{23} + \)\(35\!\cdots\!12\)\( p^{40} T^{24} - \)\(63\!\cdots\!40\)\( p^{45} T^{25} - \)\(18\!\cdots\!32\)\( p^{50} T^{26} - \)\(60\!\cdots\!48\)\( p^{55} T^{27} + 65785434916137516948 p^{60} T^{28} + 275159567550064 p^{65} T^{29} - 12402045505 p^{70} T^{30} - 24324 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 83 | \( 1 - 46028 T - 1440977818 T^{2} + 472279336812396 T^{3} + 7484936123526321167 T^{4} - \)\(23\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(69\!\cdots\!52\)\( T^{6} + \)\(37\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(61\!\cdots\!31\)\( T^{8} + \)\(34\!\cdots\!88\)\( T^{9} - \)\(12\!\cdots\!48\)\( T^{10} + \)\(99\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( T^{12} - \)\(60\!\cdots\!04\)\( T^{13} - \)\(15\!\cdots\!10\)\( T^{14} + \)\(16\!\cdots\!32\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!48\)\( T^{16} + \)\(16\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{17} - \)\(15\!\cdots\!10\)\( p^{10} T^{18} - \)\(60\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{19} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( p^{20} T^{20} + \)\(99\!\cdots\!88\)\( p^{25} T^{21} - \)\(12\!\cdots\!48\)\( p^{30} T^{22} + \)\(34\!\cdots\!88\)\( p^{35} T^{23} + \)\(61\!\cdots\!31\)\( p^{40} T^{24} + \)\(37\!\cdots\!04\)\( p^{45} T^{25} + \)\(69\!\cdots\!52\)\( p^{50} T^{26} - \)\(23\!\cdots\!36\)\( p^{55} T^{27} + 7484936123526321167 p^{60} T^{28} + 472279336812396 p^{65} T^{29} - 1440977818 p^{70} T^{30} - 46028 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| 89 | \( ( 1 + 74182 T + 30909376975 T^{2} + 1846418512823988 T^{3} + \)\(45\!\cdots\!91\)\( T^{4} + \)\(22\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( T^{6} + \)\(18\!\cdots\!10\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!76\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!10\)\( p^{5} T^{9} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( p^{10} T^{10} + \)\(22\!\cdots\!92\)\( p^{15} T^{11} + \)\(45\!\cdots\!91\)\( p^{20} T^{12} + 1846418512823988 p^{25} T^{13} + 30909376975 p^{30} T^{14} + 74182 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} )^{2} \) | |
| 97 | \( 1 - 484296 T + 85937368298 T^{2} - 5038221560960800 T^{3} - \)\(39\!\cdots\!13\)\( T^{4} + \)\(77\!\cdots\!88\)\( T^{5} - \)\(26\!\cdots\!88\)\( T^{6} - \)\(51\!\cdots\!72\)\( T^{7} + \)\(68\!\cdots\!99\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( T^{9} - \)\(88\!\cdots\!96\)\( T^{10} + \)\(59\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{12} - \)\(59\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(41\!\cdots\!14\)\( T^{14} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{15} - \)\(49\!\cdots\!68\)\( T^{16} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( p^{5} T^{17} + \)\(41\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{18} - \)\(59\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( p^{20} T^{20} + \)\(59\!\cdots\!56\)\( p^{25} T^{21} - \)\(88\!\cdots\!96\)\( p^{30} T^{22} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{35} T^{23} + \)\(68\!\cdots\!99\)\( p^{40} T^{24} - \)\(51\!\cdots\!72\)\( p^{45} T^{25} - \)\(26\!\cdots\!88\)\( p^{50} T^{26} + \)\(77\!\cdots\!88\)\( p^{55} T^{27} - \)\(39\!\cdots\!13\)\( p^{60} T^{28} - 5038221560960800 p^{65} T^{29} + 85937368298 p^{70} T^{30} - 484296 p^{75} T^{31} + p^{80} T^{32} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.18445788737342610338957718405, −2.98263429517978846550039940522, −2.92280367368220250518873751010, −2.73955219569218093458704790612, −2.68861513399010444503455791280, −2.66662622835525954425342179136, −2.45311609416268930302475892130, −2.22215955867311683647018424101, −1.95397504340154764900767862214, −1.87119263438346437976537095731, −1.78757003991464294639018728681, −1.78321792224277210702385402676, −1.77623510103940345914917780263, −1.73481955317494585966957029120, −1.63149801416322970061897310093, −1.31612341923266761563710048371, −1.07675001977714696671810436599, −0.938379614423412318790593413967, −0.930472822201354547862985175004, −0.864242938243612456124736813673, −0.77548144059864585118021537942, −0.57364619199044314774649097623, −0.49697840351641493056743061555, −0.36702956233267733188902768004, −0.36253267686757176462946942269, 0.36253267686757176462946942269, 0.36702956233267733188902768004, 0.49697840351641493056743061555, 0.57364619199044314774649097623, 0.77548144059864585118021537942, 0.864242938243612456124736813673, 0.930472822201354547862985175004, 0.938379614423412318790593413967, 1.07675001977714696671810436599, 1.31612341923266761563710048371, 1.63149801416322970061897310093, 1.73481955317494585966957029120, 1.77623510103940345914917780263, 1.78321792224277210702385402676, 1.78757003991464294639018728681, 1.87119263438346437976537095731, 1.95397504340154764900767862214, 2.22215955867311683647018424101, 2.45311609416268930302475892130, 2.66662622835525954425342179136, 2.68861513399010444503455791280, 2.73955219569218093458704790612, 2.92280367368220250518873751010, 2.98263429517978846550039940522, 3.18445788737342610338957718405
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.