Properties

Label 36-98e18-1.1-c1e18-0-1
Degree $36$
Conductor $6.951\times 10^{35}$
Sign $1$
Analytic cond. $0.0121075$
Root an. cond. $0.884609$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 3·2-s + 3·3-s + 3·4-s − 6·5-s − 9·6-s − 7·7-s − 8-s + 14·9-s + 18·10-s − 11-s + 9·12-s + 21·14-s − 18·15-s − 11·17-s − 42·18-s + 36·19-s − 18·20-s − 21·21-s + 3·22-s + 5·23-s − 3·24-s + 14·25-s + 33·27-s − 21·28-s − 13·29-s + 54·30-s − 4·31-s + ⋯
L(s)  = 1  − 2.12·2-s + 1.73·3-s + 3/2·4-s − 2.68·5-s − 3.67·6-s − 2.64·7-s − 0.353·8-s + 14/3·9-s + 5.69·10-s − 0.301·11-s + 2.59·12-s + 5.61·14-s − 4.64·15-s − 2.66·17-s − 9.89·18-s + 8.25·19-s − 4.02·20-s − 4.58·21-s + 0.639·22-s + 1.04·23-s − 0.612·24-s + 14/5·25-s + 6.35·27-s − 3.96·28-s − 2.41·29-s + 9.85·30-s − 0.718·31-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{18} \cdot 7^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{18} \cdot 7^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(36\)
Conductor: \(2^{18} \cdot 7^{36}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(0.0121075\)
Root analytic conductor: \(0.884609\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((36,\ 2^{18} \cdot 7^{36} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(0.2025727895\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.2025727895\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} )^{3} \)
7 \( 1 + p T - 22 p T^{3} - 10 p^{2} T^{4} + 90 p T^{5} + 1037 p T^{6} + 38 p^{3} T^{7} - 592 p^{2} T^{8} - 502 p^{3} T^{9} - 592 p^{3} T^{10} + 38 p^{5} T^{11} + 1037 p^{4} T^{12} + 90 p^{5} T^{13} - 10 p^{7} T^{14} - 22 p^{7} T^{15} + p^{9} T^{17} + p^{9} T^{18} \)
good3 \( 1 - p T - 5 T^{2} + 8 p T^{3} + 2 p T^{4} - 125 T^{5} + 64 T^{6} + 557 T^{7} - 523 T^{8} - 724 p T^{9} + 2989 T^{10} + 6859 T^{11} - 14717 T^{12} - 17891 T^{13} + 60020 T^{14} + 13132 p T^{15} - 208781 T^{16} - 43613 T^{17} + 644245 T^{18} - 43613 p T^{19} - 208781 p^{2} T^{20} + 13132 p^{4} T^{21} + 60020 p^{4} T^{22} - 17891 p^{5} T^{23} - 14717 p^{6} T^{24} + 6859 p^{7} T^{25} + 2989 p^{8} T^{26} - 724 p^{10} T^{27} - 523 p^{10} T^{28} + 557 p^{11} T^{29} + 64 p^{12} T^{30} - 125 p^{13} T^{31} + 2 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} - 5 p^{16} T^{34} - p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
5 \( 1 + 6 T + 22 T^{2} + 81 T^{3} + 2 p^{3} T^{4} + 598 T^{5} + 1128 T^{6} + 1616 T^{7} + 1198 T^{8} - 3883 T^{9} - 3836 p T^{10} - 40456 T^{11} - 8073 p T^{12} + 30812 T^{13} + 284754 T^{14} + 1259888 T^{15} + 29972 p^{3} T^{16} + 8025442 T^{17} + 16755249 T^{18} + 8025442 p T^{19} + 29972 p^{5} T^{20} + 1259888 p^{3} T^{21} + 284754 p^{4} T^{22} + 30812 p^{5} T^{23} - 8073 p^{7} T^{24} - 40456 p^{7} T^{25} - 3836 p^{9} T^{26} - 3883 p^{9} T^{27} + 1198 p^{10} T^{28} + 1616 p^{11} T^{29} + 1128 p^{12} T^{30} + 598 p^{13} T^{31} + 2 p^{17} T^{32} + 81 p^{15} T^{33} + 22 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
11 \( 1 + T + 5 T^{2} + 79 T^{3} - 95 T^{4} - 76 T^{5} + 1326 T^{6} - 16865 T^{7} - 30267 T^{8} + 2498 T^{9} - 691459 T^{10} - 433967 T^{11} + 4314741 T^{12} - 10810333 T^{13} + 25601767 T^{14} + 238148631 T^{15} - 110120853 T^{16} + 326664502 T^{17} + 7013995437 T^{18} + 326664502 p T^{19} - 110120853 p^{2} T^{20} + 238148631 p^{3} T^{21} + 25601767 p^{4} T^{22} - 10810333 p^{5} T^{23} + 4314741 p^{6} T^{24} - 433967 p^{7} T^{25} - 691459 p^{8} T^{26} + 2498 p^{9} T^{27} - 30267 p^{10} T^{28} - 16865 p^{11} T^{29} + 1326 p^{12} T^{30} - 76 p^{13} T^{31} - 95 p^{14} T^{32} + 79 p^{15} T^{33} + 5 p^{16} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
13 \( 1 - 25 T^{2} + 6 T^{4} + 315 T^{5} + 6611 T^{6} - 4879 T^{7} - 86232 T^{8} - 133112 T^{9} - 58583 T^{10} + 269136 p T^{11} + 9691052 T^{12} + 4709460 T^{13} - 66963514 T^{14} - 992799661 T^{15} + 112996493 T^{16} + 654722299 p T^{17} - 22518701 p T^{18} + 654722299 p^{2} T^{19} + 112996493 p^{2} T^{20} - 992799661 p^{3} T^{21} - 66963514 p^{4} T^{22} + 4709460 p^{5} T^{23} + 9691052 p^{6} T^{24} + 269136 p^{8} T^{25} - 58583 p^{8} T^{26} - 133112 p^{9} T^{27} - 86232 p^{10} T^{28} - 4879 p^{11} T^{29} + 6611 p^{12} T^{30} + 315 p^{13} T^{31} + 6 p^{14} T^{32} - 25 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \)
17 \( 1 + 11 T + 2 T^{2} - 487 T^{3} - 2500 T^{4} + 722 T^{5} + 58773 T^{6} + 207960 T^{7} - 361793 T^{8} - 2998886 T^{9} + 8869448 T^{10} + 84079050 T^{11} - 81902649 T^{12} - 2573938814 T^{13} - 8082484317 T^{14} + 17290780045 T^{15} + 157286643438 T^{16} + 97701633159 T^{17} - 1376017537517 T^{18} + 97701633159 p T^{19} + 157286643438 p^{2} T^{20} + 17290780045 p^{3} T^{21} - 8082484317 p^{4} T^{22} - 2573938814 p^{5} T^{23} - 81902649 p^{6} T^{24} + 84079050 p^{7} T^{25} + 8869448 p^{8} T^{26} - 2998886 p^{9} T^{27} - 361793 p^{10} T^{28} + 207960 p^{11} T^{29} + 58773 p^{12} T^{30} + 722 p^{13} T^{31} - 2500 p^{14} T^{32} - 487 p^{15} T^{33} + 2 p^{16} T^{34} + 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
19 \( ( 1 - 18 T + 220 T^{2} - 1974 T^{3} + 15076 T^{4} - 99865 T^{5} + 596888 T^{6} - 3212338 T^{7} + 15876577 T^{8} - 71853703 T^{9} + 15876577 p T^{10} - 3212338 p^{2} T^{11} + 596888 p^{3} T^{12} - 99865 p^{4} T^{13} + 15076 p^{5} T^{14} - 1974 p^{6} T^{15} + 220 p^{7} T^{16} - 18 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \)
23 \( 1 - 5 T + 20 T^{2} + 37 T^{3} + 258 T^{4} - 129 T^{5} - 3189 T^{6} + 120795 T^{7} - 136839 T^{8} - 714190 T^{9} + 5712919 T^{10} - 5435984 T^{11} + 107367096 T^{12} - 1641952414 T^{13} + 224810163 p T^{14} - 4076640736 T^{15} - 118253194072 T^{16} - 72635970262 T^{17} - 597214939565 T^{18} - 72635970262 p T^{19} - 118253194072 p^{2} T^{20} - 4076640736 p^{3} T^{21} + 224810163 p^{5} T^{22} - 1641952414 p^{5} T^{23} + 107367096 p^{6} T^{24} - 5435984 p^{7} T^{25} + 5712919 p^{8} T^{26} - 714190 p^{9} T^{27} - 136839 p^{10} T^{28} + 120795 p^{11} T^{29} - 3189 p^{12} T^{30} - 129 p^{13} T^{31} + 258 p^{14} T^{32} + 37 p^{15} T^{33} + 20 p^{16} T^{34} - 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
29 \( 1 + 13 T + 14 T^{2} - 105 T^{3} + 3094 T^{4} + 16940 T^{5} + 42693 T^{6} + 803658 T^{7} + 2075225 T^{8} - 2407524 T^{9} + 204229046 T^{10} + 936885852 T^{11} - 280158823 T^{12} + 27808933488 T^{13} + 140261496763 T^{14} + 49426230347 T^{15} + 6405725290328 T^{16} + 27514135369805 T^{17} - 40336836526861 T^{18} + 27514135369805 p T^{19} + 6405725290328 p^{2} T^{20} + 49426230347 p^{3} T^{21} + 140261496763 p^{4} T^{22} + 27808933488 p^{5} T^{23} - 280158823 p^{6} T^{24} + 936885852 p^{7} T^{25} + 204229046 p^{8} T^{26} - 2407524 p^{9} T^{27} + 2075225 p^{10} T^{28} + 803658 p^{11} T^{29} + 42693 p^{12} T^{30} + 16940 p^{13} T^{31} + 3094 p^{14} T^{32} - 105 p^{15} T^{33} + 14 p^{16} T^{34} + 13 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
31 \( ( 1 + 2 T + 237 T^{2} + 14 p T^{3} + 25997 T^{4} + 42566 T^{5} + 1732533 T^{6} + 2478803 T^{7} + 77321509 T^{8} + 94038425 T^{9} + 77321509 p T^{10} + 2478803 p^{2} T^{11} + 1732533 p^{3} T^{12} + 42566 p^{4} T^{13} + 25997 p^{5} T^{14} + 14 p^{7} T^{15} + 237 p^{7} T^{16} + 2 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \)
37 \( 1 - 33 T + 594 T^{2} - 7684 T^{3} + 79211 T^{4} - 675181 T^{5} + 4760822 T^{6} - 27260293 T^{7} + 119538780 T^{8} - 315292636 T^{9} - 431460111 T^{10} + 9839885600 T^{11} - 40620061618 T^{12} - 188056914546 T^{13} + 4611267559928 T^{14} - 47372345261297 T^{15} + 369141656659028 T^{16} - 2485377313954698 T^{17} + 15489636837749194 T^{18} - 2485377313954698 p T^{19} + 369141656659028 p^{2} T^{20} - 47372345261297 p^{3} T^{21} + 4611267559928 p^{4} T^{22} - 188056914546 p^{5} T^{23} - 40620061618 p^{6} T^{24} + 9839885600 p^{7} T^{25} - 431460111 p^{8} T^{26} - 315292636 p^{9} T^{27} + 119538780 p^{10} T^{28} - 27260293 p^{11} T^{29} + 4760822 p^{12} T^{30} - 675181 p^{13} T^{31} + 79211 p^{14} T^{32} - 7684 p^{15} T^{33} + 594 p^{16} T^{34} - 33 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
41 \( 1 + 28 T + 339 T^{2} + 2576 T^{3} + 13887 T^{4} + 20839 T^{5} - 600800 T^{6} - 8454299 T^{7} - 69339479 T^{8} - 349092128 T^{9} - 426409074 T^{10} + 11047502900 T^{11} + 146817087557 T^{12} + 1146851972791 T^{13} + 5817185018496 T^{14} + 12785477699127 T^{15} - 112878494729510 T^{16} - 1709486039383024 T^{17} - 13192203880991413 T^{18} - 1709486039383024 p T^{19} - 112878494729510 p^{2} T^{20} + 12785477699127 p^{3} T^{21} + 5817185018496 p^{4} T^{22} + 1146851972791 p^{5} T^{23} + 146817087557 p^{6} T^{24} + 11047502900 p^{7} T^{25} - 426409074 p^{8} T^{26} - 349092128 p^{9} T^{27} - 69339479 p^{10} T^{28} - 8454299 p^{11} T^{29} - 600800 p^{12} T^{30} + 20839 p^{13} T^{31} + 13887 p^{14} T^{32} + 2576 p^{15} T^{33} + 339 p^{16} T^{34} + 28 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
43 \( 1 + 20 T + 77 T^{2} - 63 T^{3} + 7637 T^{4} + 39578 T^{5} - 214578 T^{6} + 1909476 T^{7} + 4295128 T^{8} - 209128990 T^{9} + 554833132 T^{10} + 1652084175 T^{11} - 93064174280 T^{12} + 245197794716 T^{13} + 1580145249728 T^{14} - 29314076973548 T^{15} + 85205967739165 T^{16} + 15039295174008 p T^{17} - 177387866433141 p T^{18} + 15039295174008 p^{2} T^{19} + 85205967739165 p^{2} T^{20} - 29314076973548 p^{3} T^{21} + 1580145249728 p^{4} T^{22} + 245197794716 p^{5} T^{23} - 93064174280 p^{6} T^{24} + 1652084175 p^{7} T^{25} + 554833132 p^{8} T^{26} - 209128990 p^{9} T^{27} + 4295128 p^{10} T^{28} + 1909476 p^{11} T^{29} - 214578 p^{12} T^{30} + 39578 p^{13} T^{31} + 7637 p^{14} T^{32} - 63 p^{15} T^{33} + 77 p^{16} T^{34} + 20 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
47 \( 1 - 36 T + 484 T^{2} - 2418 T^{3} - 2438 T^{4} + 458 T^{5} + 971769 T^{6} - 6200468 T^{7} + 5796904 T^{8} - 66847814 T^{9} + 881180006 T^{10} + 1965825838 T^{11} - 35807762427 T^{12} + 111410889196 T^{13} - 888932098200 T^{14} - 3661950587498 T^{15} + 66341502588244 T^{16} + 1221587255706956 T^{17} - 18008846763710985 T^{18} + 1221587255706956 p T^{19} + 66341502588244 p^{2} T^{20} - 3661950587498 p^{3} T^{21} - 888932098200 p^{4} T^{22} + 111410889196 p^{5} T^{23} - 35807762427 p^{6} T^{24} + 1965825838 p^{7} T^{25} + 881180006 p^{8} T^{26} - 66847814 p^{9} T^{27} + 5796904 p^{10} T^{28} - 6200468 p^{11} T^{29} + 971769 p^{12} T^{30} + 458 p^{13} T^{31} - 2438 p^{14} T^{32} - 2418 p^{15} T^{33} + 484 p^{16} T^{34} - 36 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
53 \( 1 - 48 T + 1027 T^{2} - 13032 T^{3} + 113452 T^{4} - 745996 T^{5} + 3093303 T^{6} + 11125840 T^{7} - 385128365 T^{8} + 4672252360 T^{9} - 45099050107 T^{10} + 381474795658 T^{11} - 2560106414904 T^{12} + 12125964585208 T^{13} - 21254028685230 T^{14} - 434572667544596 T^{15} + 7486489637890813 T^{16} - 74556033723244882 T^{17} + 584471007089854893 T^{18} - 74556033723244882 p T^{19} + 7486489637890813 p^{2} T^{20} - 434572667544596 p^{3} T^{21} - 21254028685230 p^{4} T^{22} + 12125964585208 p^{5} T^{23} - 2560106414904 p^{6} T^{24} + 381474795658 p^{7} T^{25} - 45099050107 p^{8} T^{26} + 4672252360 p^{9} T^{27} - 385128365 p^{10} T^{28} + 11125840 p^{11} T^{29} + 3093303 p^{12} T^{30} - 745996 p^{13} T^{31} + 113452 p^{14} T^{32} - 13032 p^{15} T^{33} + 1027 p^{16} T^{34} - 48 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
59 \( 1 + 25 T + 282 T^{2} + 3370 T^{3} + 54501 T^{4} + 679351 T^{5} + 6708661 T^{6} + 72121396 T^{7} + 815515241 T^{8} + 8027067641 T^{9} + 73518733596 T^{10} + 702948989693 T^{11} + 6585717674890 T^{12} + 57072728770037 T^{13} + 482396086609999 T^{14} + 4107164871912858 T^{15} + 33936817067694696 T^{16} + 267212451488138097 T^{17} + 2056595036207731957 T^{18} + 267212451488138097 p T^{19} + 33936817067694696 p^{2} T^{20} + 4107164871912858 p^{3} T^{21} + 482396086609999 p^{4} T^{22} + 57072728770037 p^{5} T^{23} + 6585717674890 p^{6} T^{24} + 702948989693 p^{7} T^{25} + 73518733596 p^{8} T^{26} + 8027067641 p^{9} T^{27} + 815515241 p^{10} T^{28} + 72121396 p^{11} T^{29} + 6708661 p^{12} T^{30} + 679351 p^{13} T^{31} + 54501 p^{14} T^{32} + 3370 p^{15} T^{33} + 282 p^{16} T^{34} + 25 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
61 \( 1 - T - 104 T^{2} - 1039 T^{3} + 1965 T^{4} + 113382 T^{5} + 553582 T^{6} - 1719789 T^{7} - 33834660 T^{8} - 61300405 T^{9} - 1432537967 T^{10} - 14153643444 T^{11} - 32883927380 T^{12} + 1868993049229 T^{13} + 16611121509004 T^{14} - 24347779588048 T^{15} - 705952959985019 T^{16} - 38244477405217 p T^{17} + 21649393309133541 T^{18} - 38244477405217 p^{2} T^{19} - 705952959985019 p^{2} T^{20} - 24347779588048 p^{3} T^{21} + 16611121509004 p^{4} T^{22} + 1868993049229 p^{5} T^{23} - 32883927380 p^{6} T^{24} - 14153643444 p^{7} T^{25} - 1432537967 p^{8} T^{26} - 61300405 p^{9} T^{27} - 33834660 p^{10} T^{28} - 1719789 p^{11} T^{29} + 553582 p^{12} T^{30} + 113382 p^{13} T^{31} + 1965 p^{14} T^{32} - 1039 p^{15} T^{33} - 104 p^{16} T^{34} - p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
67 \( ( 1 - 17 T + 306 T^{2} - 3687 T^{3} + 48666 T^{4} - 513254 T^{5} + 5520487 T^{6} - 50739092 T^{7} + 475083883 T^{8} - 3873616303 T^{9} + 475083883 p T^{10} - 50739092 p^{2} T^{11} + 5520487 p^{3} T^{12} - 513254 p^{4} T^{13} + 48666 p^{5} T^{14} - 3687 p^{6} T^{15} + 306 p^{7} T^{16} - 17 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \)
71 \( 1 + 6 T - 210 T^{2} - 952 T^{3} + 16583 T^{4} + 16324 T^{5} - 643363 T^{6} - 258984 T^{7} - 737382 T^{8} + 912139347 T^{9} + 4305537152 T^{10} - 93236145114 T^{11} - 280821494149 T^{12} + 2783232492873 T^{13} - 967685856540 T^{14} - 71237200972668 T^{15} - 1759207347557296 T^{16} + 4294552003410998 T^{17} + 288918929416291839 T^{18} + 4294552003410998 p T^{19} - 1759207347557296 p^{2} T^{20} - 71237200972668 p^{3} T^{21} - 967685856540 p^{4} T^{22} + 2783232492873 p^{5} T^{23} - 280821494149 p^{6} T^{24} - 93236145114 p^{7} T^{25} + 4305537152 p^{8} T^{26} + 912139347 p^{9} T^{27} - 737382 p^{10} T^{28} - 258984 p^{11} T^{29} - 643363 p^{12} T^{30} + 16324 p^{13} T^{31} + 16583 p^{14} T^{32} - 952 p^{15} T^{33} - 210 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
73 \( 1 + 39 T + 597 T^{2} + 3307 T^{3} - 24123 T^{4} - 505273 T^{5} - 1772091 T^{6} + 38400548 T^{7} + 603319642 T^{8} + 3158577623 T^{9} - 11348234520 T^{10} - 270795790210 T^{11} - 1070092084582 T^{12} + 12896721225256 T^{13} + 217613983286184 T^{14} + 1524753240729012 T^{15} + 4162169837040916 T^{16} - 37984817936832784 T^{17} - 587124083192237451 T^{18} - 37984817936832784 p T^{19} + 4162169837040916 p^{2} T^{20} + 1524753240729012 p^{3} T^{21} + 217613983286184 p^{4} T^{22} + 12896721225256 p^{5} T^{23} - 1070092084582 p^{6} T^{24} - 270795790210 p^{7} T^{25} - 11348234520 p^{8} T^{26} + 3158577623 p^{9} T^{27} + 603319642 p^{10} T^{28} + 38400548 p^{11} T^{29} - 1772091 p^{12} T^{30} - 505273 p^{13} T^{31} - 24123 p^{14} T^{32} + 3307 p^{15} T^{33} + 597 p^{16} T^{34} + 39 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
79 \( ( 1 + T + 468 T^{2} - 110 T^{3} + 108679 T^{4} - 88683 T^{5} + 16473653 T^{6} - 207450 p T^{7} + 1776040263 T^{8} - 1663289107 T^{9} + 1776040263 p T^{10} - 207450 p^{3} T^{11} + 16473653 p^{3} T^{12} - 88683 p^{4} T^{13} + 108679 p^{5} T^{14} - 110 p^{6} T^{15} + 468 p^{7} T^{16} + p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \)
83 \( 1 - 35 T + 479 T^{2} - 3409 T^{3} + 19375 T^{4} - 31353 T^{5} - 2406555 T^{6} + 24156524 T^{7} + 6883395 T^{8} + 39695271 T^{9} - 10338428590 T^{10} - 5145435974 T^{11} + 135323329869 T^{12} + 3436306060467 T^{13} + 132406605120235 T^{14} - 1752923865830333 T^{15} - 3875663600835921 T^{16} + 115332104316949660 T^{17} - 705090040524994983 T^{18} + 115332104316949660 p T^{19} - 3875663600835921 p^{2} T^{20} - 1752923865830333 p^{3} T^{21} + 132406605120235 p^{4} T^{22} + 3436306060467 p^{5} T^{23} + 135323329869 p^{6} T^{24} - 5145435974 p^{7} T^{25} - 10338428590 p^{8} T^{26} + 39695271 p^{9} T^{27} + 6883395 p^{10} T^{28} + 24156524 p^{11} T^{29} - 2406555 p^{12} T^{30} - 31353 p^{13} T^{31} + 19375 p^{14} T^{32} - 3409 p^{15} T^{33} + 479 p^{16} T^{34} - 35 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
89 \( 1 + 6 T - 237 T^{2} - 192 T^{3} + 39940 T^{4} - 65671 T^{5} - 3663806 T^{6} + 14387533 T^{7} + 201443985 T^{8} - 921675767 T^{9} - 6410096406 T^{10} - 27660200711 T^{11} + 758551978909 T^{12} + 10643035282150 T^{13} - 193758610734576 T^{14} - 1060042884622694 T^{15} + 28600180947878871 T^{16} + 31300409832430604 T^{17} - 3133414544394990373 T^{18} + 31300409832430604 p T^{19} + 28600180947878871 p^{2} T^{20} - 1060042884622694 p^{3} T^{21} - 193758610734576 p^{4} T^{22} + 10643035282150 p^{5} T^{23} + 758551978909 p^{6} T^{24} - 27660200711 p^{7} T^{25} - 6410096406 p^{8} T^{26} - 921675767 p^{9} T^{27} + 201443985 p^{10} T^{28} + 14387533 p^{11} T^{29} - 3663806 p^{12} T^{30} - 65671 p^{13} T^{31} + 39940 p^{14} T^{32} - 192 p^{15} T^{33} - 237 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
97 \( ( 1 - 28 T + 1111 T^{2} - 21952 T^{3} + 495167 T^{4} - 7490854 T^{5} + 121190909 T^{6} - 1456448147 T^{7} + 18272521659 T^{8} - 176700396733 T^{9} + 18272521659 p T^{10} - 1456448147 p^{2} T^{11} + 121190909 p^{3} T^{12} - 7490854 p^{4} T^{13} + 495167 p^{5} T^{14} - 21952 p^{6} T^{15} + 1111 p^{7} T^{16} - 28 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.09368425996753466616905179664, −3.89219699608964899627256023990, −3.79921478374821276234375927021, −3.79083971535151921980422814011, −3.74460418474842040313896121743, −3.69447799902218817388611534207, −3.61915382838095152992075560236, −3.37072127918611308395112629026, −3.30626689341149075080673669030, −3.09113984392995477379737988006, −3.08056250067361754221766295148, −2.90511231420836474517133802064, −2.80799365082870152970926286776, −2.71635044611318517500586803665, −2.69887134038102981899322905485, −2.60522072788790551476555136573, −2.44136407474295386461113696168, −2.15937343091426082518745113355, −2.15533754452796691484369735323, −1.98003956830233001687235643341, −1.45343752279839804166114308586, −1.43424991273567971812973133769, −1.08671803123315267187964156584, −1.02501078577428850261542856816, −0.930845905287256265163621887188, 0.930845905287256265163621887188, 1.02501078577428850261542856816, 1.08671803123315267187964156584, 1.43424991273567971812973133769, 1.45343752279839804166114308586, 1.98003956830233001687235643341, 2.15533754452796691484369735323, 2.15937343091426082518745113355, 2.44136407474295386461113696168, 2.60522072788790551476555136573, 2.69887134038102981899322905485, 2.71635044611318517500586803665, 2.80799365082870152970926286776, 2.90511231420836474517133802064, 3.08056250067361754221766295148, 3.09113984392995477379737988006, 3.30626689341149075080673669030, 3.37072127918611308395112629026, 3.61915382838095152992075560236, 3.69447799902218817388611534207, 3.74460418474842040313896121743, 3.79083971535151921980422814011, 3.79921478374821276234375927021, 3.89219699608964899627256023990, 4.09368425996753466616905179664

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.