# Properties

 Degree 8 Conductor $2^{24} \cdot 3^{4} \cdot 7^{8}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 4

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 4·3-s − 4·5-s + 10·9-s − 4·11-s − 8·13-s + 16·15-s + 4·17-s − 8·19-s + 12·23-s + 4·25-s − 20·27-s − 8·31-s + 16·33-s + 32·39-s + 20·41-s + 8·43-s − 40·45-s − 16·47-s − 16·51-s + 16·55-s + 32·57-s − 16·61-s + 32·65-s + 8·67-s − 48·69-s + 12·71-s + 8·73-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.30·3-s − 1.78·5-s + 10/3·9-s − 1.20·11-s − 2.21·13-s + 4.13·15-s + 0.970·17-s − 1.83·19-s + 2.50·23-s + 4/5·25-s − 3.84·27-s − 1.43·31-s + 2.78·33-s + 5.12·39-s + 3.12·41-s + 1.21·43-s − 5.96·45-s − 2.33·47-s − 2.24·51-s + 2.15·55-s + 4.23·57-s − 2.04·61-s + 3.96·65-s + 0.977·67-s − 5.77·69-s + 1.42·71-s + 0.936·73-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 3^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 3^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$8$$ $$N$$ = $$2^{24} \cdot 3^{4} \cdot 7^{8}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{9408} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = $$4$$ Selberg data = $$(8,\ 2^{24} \cdot 3^{4} \cdot 7^{8} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$ $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{2,\;3,\;7\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 8. If $p \in \{2,\;3,\;7\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 7.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
3$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
7 $$1$$
good5$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 4 T + 12 T^{2} + 36 T^{3} + 98 T^{4} + 36 p T^{5} + 12 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
11$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 4 T + 24 T^{2} + 84 T^{3} + 302 T^{4} + 84 p T^{5} + 24 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 8 T + 48 T^{2} + 232 T^{3} + 978 T^{4} + 232 p T^{5} + 48 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 4 T + 44 T^{2} - 84 T^{3} + 818 T^{4} - 84 p T^{5} + 44 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
19$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 8 T + 68 T^{2} + 392 T^{3} + 1926 T^{4} + 392 p T^{5} + 68 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 12 T + 120 T^{2} - 780 T^{3} + 4350 T^{4} - 780 p T^{5} + 120 p^{2} T^{6} - 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 60 T^{2} - 128 T^{3} + 1862 T^{4} - 128 p T^{5} + 60 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 8 T + 84 T^{2} + 616 T^{3} + 3222 T^{4} + 616 p T^{5} + 84 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2^2$ $$( 1 + 42 T^{2} + p^{2} T^{4} )^{2}$$
41$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 20 T + 220 T^{2} - 1540 T^{3} + 9874 T^{4} - 1540 p T^{5} + 220 p^{2} T^{6} - 20 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 8 T + 124 T^{2} - 648 T^{3} + 6710 T^{4} - 648 p T^{5} + 124 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 16 T + 164 T^{2} + 1232 T^{3} + 170 p T^{4} + 1232 p T^{5} + 164 p^{2} T^{6} + 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 140 T^{2} + 128 T^{3} + 9494 T^{4} + 128 p T^{5} + 140 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 84 T^{2} - 960 T^{3} + 1350 T^{4} - 960 p T^{5} + 84 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 16 T + 288 T^{2} + 2768 T^{3} + 27282 T^{4} + 2768 p T^{5} + 288 p^{2} T^{6} + 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 8 T + 124 T^{2} + 56 T^{3} + 3286 T^{4} + 56 p T^{5} + 124 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 12 T + 248 T^{2} - 2380 T^{3} + 25406 T^{4} - 2380 p T^{5} + 248 p^{2} T^{6} - 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 8 T + 256 T^{2} - 1608 T^{3} + 27170 T^{4} - 1608 p T^{5} + 256 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 16 T + 284 T^{2} - 2768 T^{3} + 31366 T^{4} - 2768 p T^{5} + 284 p^{2} T^{6} - 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 204 T^{2} - 256 T^{3} + 21878 T^{4} - 256 p T^{5} + 204 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 28 T + 524 T^{2} - 76 p T^{3} + 72658 T^{4} - 76 p^{2} T^{5} + 524 p^{2} T^{6} - 28 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 40 T + 896 T^{2} - 13608 T^{3} + 153858 T^{4} - 13608 p T^{5} + 896 p^{2} T^{6} - 40 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}