LMFDB - L-function 10-3e10-1.1-c73e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 9.20e10·2^-s − 1.89e22·4^-s − 2.30e25·5^-s − 4.35e30·7^-s − 2.16e33·8^-s − 2.12e36·10^-s − 5.00e37·11^-s + 4.75e39·13^-s − 4.01e41·14^-s + 1.70e44·16^-s − 6.63e44·17^-s + 3.13e46·19^-s + 4.37e47·20^-s − 4.61e48·22^-s + 4.11e49·23^-s − 2.21e51·25^-s + 4.37e50·26^-s + 8.24e52·28^-s + 2.17e53·29^-s − 3.95e54·31^-s + 2.71e55·32^-s − 6.10e55·34^-s + 1.00e56·35^-s − 6.71e57·37^-s + 2.89e57·38^-s + 5.00e58·40^-s + 8.99e58·41^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.947·2^-s − 2.00·4^-s − 0.709·5^-s − 0.620·7^-s − 2.35·8^-s − 0.672·10^-s − 0.488·11^-s + 0.104·13^-s − 0.588·14^-s + 1.91·16^-s − 0.813·17^-s + 0.664·19^-s + 1.42·20^-s − 0.462·22^-s + 0.815·23^-s − 2.09·25^-s + 0.0987·26^-s + 1.24·28^-s + 0.911·29^-s − 1.45·31^-s + 3.12·32^-s − 0.770·34^-s + 0.440·35^-s − 3.86·37^-s + 0.629·38^-s + 1.67·40^-s + 1.22·41^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 59049 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(74-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 59049 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+73/2)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$59049$ = $3^{10}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$2.58510\times 10^{12}$
Root analytic conductor:	$17.4280$
Motivic weight:	$73$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(10,\ 59049,\ (\ :73/2, 73/2, 73/2, 73/2, 73/2),\ 1)$

Particular Values

$L(37)$	$\approx$	$0.08776499078$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.08776499078$
$L(\frac{75}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	3		$ 1 $
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 5755583343 p^{4} T + 3345520000714170341 p^{13} T^{2} - $$62\!\cdots\!45$$ p^{25} T^{3} + $$15\!\cdots\!69$$ p^{41} T^{4} - $$10\!\cdots\!57$$ p^{61} T^{5} + $$15\!\cdots\!69$$ p^{114} T^{6} - $$62\!\cdots\!45$$ p^{171} T^{7} + 3345520000714170341 p^{232} T^{8} - 5755583343 p^{296} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	5	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$18\!\cdots\!14$$ p^{3} T + $$70\!\cdots\!57$$ p^{8} T^{2} + $$22\!\cdots\!16$$ p^{14} T^{3} + $$61\!\cdots\!74$$ p^{21} T^{4} - $$16\!\cdots\!96$$ p^{30} T^{5} + $$61\!\cdots\!74$$ p^{94} T^{6} + $$22\!\cdots\!16$$ p^{160} T^{7} + $$70\!\cdots\!57$$ p^{227} T^{8} + $$18\!\cdots\!14$$ p^{295} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$88\!\cdots\!92$$ p^{2} T + $$93\!\cdots\!01$$ p^{5} T^{2} + $$97\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{3} + $$45\!\cdots\!14$$ p^{17} T^{4} + $$52\!\cdots\!12$$ p^{25} T^{5} + $$45\!\cdots\!14$$ p^{90} T^{6} + $$97\!\cdots\!00$$ p^{156} T^{7} + $$93\!\cdots\!01$$ p^{224} T^{8} + $$88\!\cdots\!92$$ p^{294} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$45\!\cdots\!60$$ p T + $$25\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$47\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{3} + $$18\!\cdots\!10$$ p^{9} T^{4} + $$19\!\cdots\!72$$ p^{14} T^{5} + $$18\!\cdots\!10$$ p^{82} T^{6} + $$47\!\cdots\!20$$ p^{151} T^{7} + $$25\!\cdots\!95$$ p^{221} T^{8} + $$45\!\cdots\!60$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$36\!\cdots\!22$$ p T + $$15\!\cdots\!09$$ p^{3} T^{2} - $$15\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{3} + $$76\!\cdots\!22$$ p^{10} T^{4} - $$13\!\cdots\!64$$ p^{15} T^{5} + $$76\!\cdots\!22$$ p^{83} T^{6} - $$15\!\cdots\!80$$ p^{152} T^{7} + $$15\!\cdots\!09$$ p^{222} T^{8} - $$36\!\cdots\!22$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$39\!\cdots\!06$$ p T + $$24\!\cdots\!29$$ p^{3} T^{2} + $$34\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{3} + $$10\!\cdots\!98$$ p^{8} T^{4} + $$25\!\cdots\!16$$ p^{12} T^{5} + $$10\!\cdots\!98$$ p^{81} T^{6} + $$34\!\cdots\!40$$ p^{151} T^{7} + $$24\!\cdots\!29$$ p^{222} T^{8} + $$39\!\cdots\!06$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$31\!\cdots\!00$$ T + $$21\!\cdots\!05$$ p T^{2} - $$61\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$33\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{4} - $$86\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{5} + $$33\!\cdots\!90$$ p^{78} T^{6} - $$61\!\cdots\!00$$ p^{149} T^{7} + $$21\!\cdots\!05$$ p^{220} T^{8} - $$31\!\cdots\!00$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$17\!\cdots\!88$$ p T + $$14\!\cdots\!47$$ p^{2} T^{2} - $$81\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{3} + $$19\!\cdots\!62$$ p^{6} T^{4} - $$36\!\cdots\!44$$ p^{9} T^{5} + $$19\!\cdots\!62$$ p^{79} T^{6} - $$81\!\cdots\!20$$ p^{150} T^{7} + $$14\!\cdots\!47$$ p^{221} T^{8} - $$17\!\cdots\!88$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$21\!\cdots\!50$$ T + $$71\!\cdots\!05$$ p T^{2} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$27\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$47\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{5} + $$27\!\cdots\!10$$ p^{77} T^{6} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{148} T^{7} + $$71\!\cdots\!05$$ p^{220} T^{8} - $$21\!\cdots\!50$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$12\!\cdots\!40$$ p T + $$32\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$31\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{5} T^{4} + $$35\!\cdots\!68$$ p^{7} T^{5} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{78} T^{6} + $$31\!\cdots\!80$$ p^{149} T^{7} + $$32\!\cdots\!95$$ p^{221} T^{8} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$18\!\cdots\!94$$ p T + $$24\!\cdots\!17$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$10\!\cdots\!82$$ p^{2} T^{4} + $$52\!\cdots\!68$$ p^{3} T^{5} + $$10\!\cdots\!82$$ p^{75} T^{6} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{147} T^{7} + $$24\!\cdots\!17$$ p^{219} T^{8} + $$18\!\cdots\!94$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$89\!\cdots\!90$$ T + $$21\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$38\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$11\!\cdots\!10$$ p^{2} T^{4} - $$17\!\cdots\!88$$ p^{3} T^{5} + $$11\!\cdots\!10$$ p^{75} T^{6} - $$38\!\cdots\!80$$ p^{147} T^{7} + $$21\!\cdots\!45$$ p^{219} T^{8} - $$89\!\cdots\!90$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$11\!\cdots\!56$$ T + $$12\!\cdots\!43$$ T^{2} - $$19\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$27\!\cdots\!02$$ p^{2} T^{4} - $$28\!\cdots\!84$$ p^{3} T^{5} + $$27\!\cdots\!02$$ p^{75} T^{6} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{147} T^{7} + $$12\!\cdots\!43$$ p^{219} T^{8} - $$11\!\cdots\!56$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$26\!\cdots\!32$$ T + $$64\!\cdots\!87$$ T^{2} + $$21\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$66\!\cdots\!42$$ p^{2} T^{4} + $$16\!\cdots\!72$$ p^{3} T^{5} + $$66\!\cdots\!42$$ p^{75} T^{6} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{147} T^{7} + $$64\!\cdots\!87$$ p^{219} T^{8} + $$26\!\cdots\!32$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$22\!\cdots\!54$$ T + $$10\!\cdots\!61$$ p T^{2} - $$25\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{3} + $$61\!\cdots\!94$$ p^{3} T^{4} - $$10\!\cdots\!72$$ p^{4} T^{5} + $$61\!\cdots\!94$$ p^{76} T^{6} - $$25\!\cdots\!60$$ p^{148} T^{7} + $$10\!\cdots\!61$$ p^{220} T^{8} - $$22\!\cdots\!54$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$84\!\cdots\!00$$ p T + $$13\!\cdots\!05$$ p T^{2} + $$93\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$13\!\cdots\!90$$ p^{3} T^{4} + $$72\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$13\!\cdots\!90$$ p^{76} T^{6} + $$93\!\cdots\!00$$ p^{148} T^{7} + $$13\!\cdots\!05$$ p^{220} T^{8} + $$84\!\cdots\!00$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$32\!\cdots\!90$$ p T + $$29\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} + $$70\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$33\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$58\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{5} + $$33\!\cdots\!10$$ p^{77} T^{6} + $$70\!\cdots\!80$$ p^{149} T^{7} + $$29\!\cdots\!45$$ p^{221} T^{8} + $$32\!\cdots\!90$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$25\!\cdots\!56$$ p T + $$10\!\cdots\!43$$ p^{2} T^{2} - $$43\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$71\!\cdots\!58$$ p^{4} T^{4} - $$20\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{5} + $$71\!\cdots\!58$$ p^{77} T^{6} - $$43\!\cdots\!60$$ p^{149} T^{7} + $$10\!\cdots\!43$$ p^{221} T^{8} - $$25\!\cdots\!56$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$41\!\cdots\!60$$ p T + $$87\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$36\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$73\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{5} + $$36\!\cdots\!10$$ p^{77} T^{6} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{149} T^{7} + $$87\!\cdots\!95$$ p^{221} T^{8} + $$41\!\cdots\!60$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$23\!\cdots\!74$$ T + $$55\!\cdots\!13$$ T^{2} + $$77\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!18$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!18$$ p^{73} T^{6} + $$77\!\cdots\!20$$ p^{146} T^{7} + $$55\!\cdots\!13$$ p^{219} T^{8} + $$23\!\cdots\!74$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$12\!\cdots\!00$$ T + $$10\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$55\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$42\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$55\!\cdots\!10$$ p^{73} T^{6} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{146} T^{7} + $$10\!\cdots\!95$$ p^{219} T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$10\!\cdots\!16$$ T + $$23\!\cdots\!03$$ T^{2} + $$14\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$46\!\cdots\!58$$ T^{4} + $$38\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$46\!\cdots\!58$$ p^{73} T^{6} + $$14\!\cdots\!40$$ p^{146} T^{7} + $$23\!\cdots\!03$$ p^{219} T^{8} + $$10\!\cdots\!16$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$44\!\cdots\!50$$ T + $$62\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$39\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$17\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$17\!\cdots\!10$$ p^{73} T^{6} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{146} T^{7} + $$62\!\cdots\!45$$ p^{219} T^{8} - $$44\!\cdots\!50$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$47\!\cdots\!18$$ T + $$59\!\cdots\!37$$ T^{2} + $$20\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!78$$ T^{4} + $$32\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!78$$ p^{73} T^{6} + $$20\!\cdots\!80$$ p^{146} T^{7} + $$59\!\cdots\!37$$ p^{219} T^{8} + $$47\!\cdots\!18$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.03724265028262815430698340197, −5.03297364147280585586696733663, −4.84953834992039891161849930578, −4.77179411794378891864422554027, −4.75502574496530545684349066472, −4.10882420042452174534608622033, −4.03928393009269085365317674770, −3.79621746887754504044977974530, −3.76508213916819610081304633118, −3.71672667187815653337027533302, −3.21555813335174562667940214041, −3.13108721745011984555811917587, −2.83575456804906773712840148775, −2.73402088522352699972097092082, −2.42525346487783307427463597595, −2.13978547170171206507836890188, −1.68576416220614287017538143374, −1.68012090942245453567952240979, −1.34595218439293030615013927962, −1.33110489219966294890544414313, −0.938680030947599359062599285687, −0.58117725758071626489719431015, −0.37736176993508001987274472342, −0.17530830120959532772922126499, −0.07320174362944979745615103274, 0.07320174362944979745615103274, 0.17530830120959532772922126499, 0.37736176993508001987274472342, 0.58117725758071626489719431015, 0.938680030947599359062599285687, 1.33110489219966294890544414313, 1.34595218439293030615013927962, 1.68012090942245453567952240979, 1.68576416220614287017538143374, 2.13978547170171206507836890188, 2.42525346487783307427463597595, 2.73402088522352699972097092082, 2.83575456804906773712840148775, 3.13108721745011984555811917587, 3.21555813335174562667940214041, 3.71672667187815653337027533302, 3.76508213916819610081304633118, 3.79621746887754504044977974530, 4.03928393009269085365317674770, 4.10882420042452174534608622033, 4.75502574496530545684349066472, 4.77179411794378891864422554027, 4.84953834992039891161849930578, 5.03297364147280585586696733663, 5.03724265028262815430698340197

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(37)\)	\(\approx\)	\(0.08776499078\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.08776499078\)
\(L(\frac{75}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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