LMFDB - L-function 10-3e10-1.1-c63e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 5.07e8·2^-s − 1.95e19·4^-s + 5.01e20·5^-s + 3.76e26·7^-s + 9.06e27·8^-s − 2.54e29·10^-s + 5.40e32·11^-s + 1.08e35·13^-s − 1.91e35·14^-s + 1.72e38·16^-s − 2.33e38·17^-s − 7.86e39·19^-s − 9.79e39·20^-s − 2.74e41·22^-s − 1.57e43·23^-s − 1.24e44·25^-s − 5.48e43·26^-s − 7.36e45·28^-s − 5.07e46·29^-s + 1.59e47·31^-s + 1.02e45·32^-s + 1.18e47·34^-s + 1.88e47·35^-s − 1.71e49·37^-s + 3.99e48·38^-s + 4.54e48·40^-s − 1.55e51·41^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.167·2^-s − 2.11·4^-s + 0.0481·5^-s + 0.902·7^-s + 0.323·8^-s − 0.00804·10^-s + 0.848·11^-s + 0.880·13^-s − 0.150·14^-s + 2.02·16^-s − 0.406·17^-s − 0.412·19^-s − 0.101·20^-s − 0.141·22^-s − 2.00·23^-s − 1.15·25^-s − 0.147·26^-s − 1.91·28^-s − 4.36·29^-s + 1.67·31^-s + 0.00398·32^-s + 0.0679·34^-s + 0.0434·35^-s − 0.685·37^-s + 0.0688·38^-s + 0.0155·40^-s − 2.45·41^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 59049 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(64-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 59049 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+63/2)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$59049$ = $3^{10}$
Sign:	$-1$
Analytic conductor:	$5.92518\times 10^{11}$
Root analytic conductor:	$15.0407$
Motivic weight:	$63$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$5$
Selberg data:	$(10,\ 59049,\ (\ :63/2, 63/2, 63/2, 63/2, 63/2),\ -1)$

Particular Values

$L(32)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{65}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	3		$ 1 $
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 63414387 p^{3} T + 19336575150992617 p^{10} T^{2} + $$12\!\cdots\!25$$ p^{23} T^{3} + $$78\!\cdots\!87$$ p^{38} T^{4} + $$15\!\cdots\!91$$ p^{55} T^{5} + $$78\!\cdots\!87$$ p^{101} T^{6} + $$12\!\cdots\!25$$ p^{149} T^{7} + 19336575150992617 p^{199} T^{8} + 63414387 p^{255} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	5	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$10\!\cdots\!86$$ p T + $$20\!\cdots\!49$$ p^{4} T^{2} + $$14\!\cdots\!72$$ p^{9} T^{3} + $$27\!\cdots\!94$$ p^{17} T^{4} - $$75\!\cdots\!76$$ p^{27} T^{5} + $$27\!\cdots\!94$$ p^{80} T^{6} + $$14\!\cdots\!72$$ p^{135} T^{7} + $$20\!\cdots\!49$$ p^{193} T^{8} - $$10\!\cdots\!86$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$53\!\cdots\!08$$ p T + $$20\!\cdots\!49$$ p^{5} T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{3} + $$75\!\cdots\!98$$ p^{16} T^{4} + $$30\!\cdots\!84$$ p^{23} T^{5} + $$75\!\cdots\!98$$ p^{79} T^{6} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{136} T^{7} + $$20\!\cdots\!49$$ p^{194} T^{8} - $$53\!\cdots\!08$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$49\!\cdots\!40$$ p T + $$10\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} - $$26\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{3} + $$29\!\cdots\!10$$ p^{9} T^{4} - $$47\!\cdots\!28$$ p^{14} T^{5} + $$29\!\cdots\!10$$ p^{72} T^{6} - $$26\!\cdots\!80$$ p^{131} T^{7} + $$10\!\cdots\!95$$ p^{191} T^{8} - $$49\!\cdots\!40$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$83\!\cdots\!74$$ p T + $$15\!\cdots\!13$$ p^{2} T^{2} - $$99\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$12\!\cdots\!02$$ p^{6} T^{4} - $$45\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{5} + $$12\!\cdots\!02$$ p^{69} T^{6} - $$99\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + $$15\!\cdots\!13$$ p^{191} T^{8} - $$83\!\cdots\!74$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$23\!\cdots\!26$$ T + $$48\!\cdots\!89$$ p T^{2} + $$59\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$32\!\cdots\!34$$ p^{5} T^{4} + $$15\!\cdots\!68$$ p^{8} T^{5} + $$32\!\cdots\!34$$ p^{68} T^{6} + $$59\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + $$48\!\cdots\!89$$ p^{190} T^{8} + $$23\!\cdots\!26$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$41\!\cdots\!00$$ p T + $$40\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$86\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$10\!\cdots\!90$$ p^{7} T^{4} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{5} + $$10\!\cdots\!90$$ p^{70} T^{6} + $$86\!\cdots\!00$$ p^{130} T^{7} + $$40\!\cdots\!95$$ p^{191} T^{8} + $$41\!\cdots\!00$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$15\!\cdots\!72$$ T + $$11\!\cdots\!29$$ p T^{2} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$66\!\cdots\!58$$ p^{4} T^{4} + $$66\!\cdots\!44$$ p^{6} T^{5} + $$66\!\cdots\!58$$ p^{67} T^{6} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{7} + $$11\!\cdots\!29$$ p^{190} T^{8} + $$15\!\cdots\!72$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!50$$ p T + $$19\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$29\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{4} + $$45\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{5} + $$29\!\cdots\!90$$ p^{68} T^{6} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + $$19\!\cdots\!45$$ p^{191} T^{8} + $$17\!\cdots\!50$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$16\!\cdots\!60$$ p^{2} T + $$38\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$65\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$17\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{5} + $$65\!\cdots\!10$$ p^{67} T^{6} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{129} T^{7} + $$38\!\cdots\!95$$ p^{191} T^{8} - $$16\!\cdots\!60$$ p^{254} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!34$$ T + $$27\!\cdots\!53$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$23\!\cdots\!22$$ p^{2} T^{4} + $$67\!\cdots\!04$$ p^{3} T^{5} + $$23\!\cdots\!22$$ p^{65} T^{6} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{127} T^{7} + $$27\!\cdots\!53$$ p^{189} T^{8} + $$17\!\cdots\!34$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$15\!\cdots\!10$$ T + $$26\!\cdots\!45$$ T^{2} + $$61\!\cdots\!20$$ p T^{3} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{2} T^{4} + $$21\!\cdots\!12$$ p^{3} T^{5} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} + $$61\!\cdots\!20$$ p^{127} T^{7} + $$26\!\cdots\!45$$ p^{189} T^{8} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$29\!\cdots\!08$$ T + $$83\!\cdots\!49$$ p T^{2} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$70\!\cdots\!14$$ p^{3} T^{4} + $$30\!\cdots\!84$$ p^{4} T^{5} + $$70\!\cdots\!14$$ p^{66} T^{6} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{7} + $$83\!\cdots\!49$$ p^{190} T^{8} + $$29\!\cdots\!08$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$48\!\cdots\!64$$ T + $$23\!\cdots\!09$$ p T^{2} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$47\!\cdots\!46$$ p^{3} T^{4} - $$27\!\cdots\!52$$ p^{4} T^{5} + $$47\!\cdots\!46$$ p^{66} T^{6} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{7} + $$23\!\cdots\!09$$ p^{190} T^{8} - $$48\!\cdots\!64$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$69\!\cdots\!98$$ T + $$24\!\cdots\!09$$ p T^{2} - $$88\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$48\!\cdots\!54$$ p^{3} T^{4} + $$49\!\cdots\!36$$ p^{4} T^{5} + $$48\!\cdots\!54$$ p^{66} T^{6} - $$88\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{7} + $$24\!\cdots\!09$$ p^{190} T^{8} - $$69\!\cdots\!98$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!00$$ p T + $$51\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$63\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$94\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{67} T^{6} + $$63\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + $$51\!\cdots\!95$$ p^{191} T^{8} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$64\!\cdots\!10$$ p T + $$26\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} - $$57\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$12\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$23\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{5} + $$12\!\cdots\!10$$ p^{67} T^{6} - $$57\!\cdots\!20$$ p^{129} T^{7} + $$26\!\cdots\!45$$ p^{191} T^{8} - $$64\!\cdots\!10$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$47\!\cdots\!24$$ T + $$56\!\cdots\!63$$ T^{2} + $$19\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!38$$ T^{4} + $$31\!\cdots\!12$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!38$$ p^{63} T^{6} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$56\!\cdots\!63$$ p^{189} T^{8} + $$47\!\cdots\!24$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$50\!\cdots\!60$$ T + $$23\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$62\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$32\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!10$$ p^{63} T^{6} + $$62\!\cdots\!20$$ p^{126} T^{7} + $$23\!\cdots\!95$$ p^{189} T^{8} + $$50\!\cdots\!60$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$29\!\cdots\!78$$ T + $$69\!\cdots\!17$$ T^{2} + $$36\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$23\!\cdots\!78$$ T^{4} + $$13\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$23\!\cdots\!78$$ p^{63} T^{6} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$69\!\cdots\!17$$ p^{189} T^{8} + $$29\!\cdots\!78$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$58\!\cdots\!00$$ T + $$13\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$81\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$81\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$43\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$81\!\cdots\!10$$ p^{63} T^{6} - $$81\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$13\!\cdots\!95$$ p^{189} T^{8} - $$58\!\cdots\!00$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$27\!\cdots\!32$$ T + $$25\!\cdots\!87$$ T^{2} + $$58\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$33\!\cdots\!38$$ T^{4} + $$58\!\cdots\!16$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!38$$ p^{63} T^{6} + $$58\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$25\!\cdots\!87$$ p^{189} T^{8} + $$27\!\cdots\!32$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$32\!\cdots\!50$$ T + $$78\!\cdots\!45$$ T^{2} + $$14\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$71\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$71\!\cdots\!10$$ p^{63} T^{6} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$78\!\cdots\!45$$ p^{189} T^{8} + $$32\!\cdots\!50$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!14$$ T + $$52\!\cdots\!73$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!58$$ T^{4} + $$29\!\cdots\!12$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!58$$ p^{63} T^{6} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$52\!\cdots\!73$$ p^{189} T^{8} + $$17\!\cdots\!14$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−6.22968933084326397448432999599, −5.81565127026492536215680341356, −5.63499819622056708508322883152, −5.55120616620514901209789004674, −5.49199424530642474752849925556, −5.07072452184192999110337939571, −4.58354612364903122058758424679, −4.55069596599515836470315383789, −4.39988217863910048256716687134, −4.37230780963550754502431328523, −3.94673302739396849919545701876, −3.66321586103134691125548843105, −3.57158964960528543968127525284, −3.47995287962478716074708401098, −3.23541260968689328323004071400, −2.83641480306578396203282549413, −2.36934514419702416209054613004, −2.19513544604592946222278668656, −1.90198340580633711859173453625, −1.89285231084544313655974336388, −1.61392232334569640675258962653, −1.26171176240453624744484277112, −1.17565640867057062438491872230, −1.11670991933549487914966746394, −0.59526544054044125830924565742, 0, 0, 0, 0, 0, 0.59526544054044125830924565742, 1.11670991933549487914966746394, 1.17565640867057062438491872230, 1.26171176240453624744484277112, 1.61392232334569640675258962653, 1.89285231084544313655974336388, 1.90198340580633711859173453625, 2.19513544604592946222278668656, 2.36934514419702416209054613004, 2.83641480306578396203282549413, 3.23541260968689328323004071400, 3.47995287962478716074708401098, 3.57158964960528543968127525284, 3.66321586103134691125548843105, 3.94673302739396849919545701876, 4.37230780963550754502431328523, 4.39988217863910048256716687134, 4.55069596599515836470315383789, 4.58354612364903122058758424679, 5.07072452184192999110337939571, 5.49199424530642474752849925556, 5.55120616620514901209789004674, 5.63499819622056708508322883152, 5.81565127026492536215680341356, 6.22968933084326397448432999599

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(32)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{65}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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