LMFDB - L-function 16-3e16-1.1-c101e8-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 4.34e14·2^-s − 5.54e30·4^-s − 3.82e34·5^-s − 5.78e42·7^-s − 7.71e44·8^-s − 1.66e49·10^-s − 4.62e51·11^-s + 2.50e56·13^-s − 2.51e57·14^-s + 7.70e60·16^-s + 3.97e62·17^-s − 2.13e64·19^-s + 2.11e65·20^-s − 2.01e66·22^-s + 1.36e69·23^-s − 1.18e71·25^-s + 1.08e71·26^-s + 3.20e73·28^-s − 1.54e73·29^-s − 6.59e75·31^-s − 1.15e76·32^-s + 1.73e77·34^-s + 2.21e77·35^-s + 3.97e79·37^-s − 9.30e78·38^-s + 2.95e79·40^-s − 5.60e81·41^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.273·2^-s − 2.18·4^-s − 0.192·5^-s − 1.21·7^-s − 0.191·8^-s − 0.0525·10^-s − 0.118·11^-s + 1.39·13^-s − 0.332·14^-s + 1.19·16^-s + 2.89·17^-s − 0.566·19^-s + 0.420·20^-s − 0.0324·22^-s + 2.33·23^-s − 2.99·25^-s + 0.380·26^-s + 2.65·28^-s − 0.217·29^-s − 3.20·31^-s − 1.13·32^-s + 0.791·34^-s + 0.234·35^-s + 2.54·37^-s − 0.154·38^-s + 0.0368·40^-s − 2.00·41^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 43046721 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(102-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 43046721 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+50.5)^{8} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$43046721$ = $3^{16}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.30568\times 10^{22}$
Root analytic conductor:	$24.1123$
Motivic weight:	$101$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(16,\ 43046721,\ (\ :[101/2]^{8}),\ 1)$

Particular Values

$L(51)$	$\approx$	$1.061455134$
$L(\frac12)$	$\approx$	$1.061455134$
$L(\frac{103}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	3	$ 1 $
good	2	$ 1 - 13593409118595 p^{5} T + $$69\!\cdots\!55$$ p^{13} T^{2} - $$30\!\cdots\!35$$ p^{27} T^{3} + $$72\!\cdots\!13$$ p^{45} T^{4} - $$15\!\cdots\!85$$ p^{63} T^{5} + $$23\!\cdots\!85$$ p^{85} T^{6} - $$25\!\cdots\!15$$ p^{114} T^{7} + $$27\!\cdots\!39$$ p^{146} T^{8} - $$25\!\cdots\!15$$ p^{215} T^{9} + $$23\!\cdots\!85$$ p^{287} T^{10} - $$15\!\cdots\!85$$ p^{366} T^{11} + $$72\!\cdots\!13$$ p^{449} T^{12} - $$30\!\cdots\!35$$ p^{532} T^{13} + $$69\!\cdots\!55$$ p^{619} T^{14} - 13593409118595 p^{712} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	5	$ 1 + $$15\!\cdots\!88$$ p^{2} T + $$15\!\cdots\!64$$ p^{7} T^{2} - $$66\!\cdots\!28$$ p^{13} T^{3} + $$33\!\cdots\!04$$ p^{22} T^{4} - $$97\!\cdots\!48$$ p^{32} T^{5} + $$38\!\cdots\!84$$ p^{43} T^{6} - $$25\!\cdots\!12$$ p^{57} T^{7} + $$89\!\cdots\!06$$ p^{72} T^{8} - $$25\!\cdots\!12$$ p^{158} T^{9} + $$38\!\cdots\!84$$ p^{245} T^{10} - $$97\!\cdots\!48$$ p^{335} T^{11} + $$33\!\cdots\!04$$ p^{426} T^{12} - $$66\!\cdots\!28$$ p^{518} T^{13} + $$15\!\cdots\!64$$ p^{613} T^{14} + $$15\!\cdots\!88$$ p^{709} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	7	$ 1 + $$82\!\cdots\!00$$ p T + $$42\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{2} + $$72\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{3} + $$69\!\cdots\!04$$ p^{14} T^{4} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{21} T^{5} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{29} T^{6} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{38} T^{7} + $$88\!\cdots\!06$$ p^{48} T^{8} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{139} T^{9} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{231} T^{10} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{324} T^{11} + $$69\!\cdots\!04$$ p^{418} T^{12} + $$72\!\cdots\!00$$ p^{513} T^{13} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{610} T^{14} + $$82\!\cdots\!00$$ p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	11	$ 1 + $$46\!\cdots\!96$$ T + $$44\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{2} + $$10\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{3} + $$57\!\cdots\!20$$ p^{9} T^{4} + $$17\!\cdots\!48$$ p^{14} T^{5} + $$53\!\cdots\!28$$ p^{19} T^{6} + $$11\!\cdots\!40$$ p^{25} T^{7} + $$30\!\cdots\!70$$ p^{32} T^{8} + $$11\!\cdots\!40$$ p^{126} T^{9} + $$53\!\cdots\!28$$ p^{221} T^{10} + $$17\!\cdots\!48$$ p^{317} T^{11} + $$57\!\cdots\!20$$ p^{413} T^{12} + $$10\!\cdots\!60$$ p^{510} T^{13} + $$44\!\cdots\!20$$ p^{608} T^{14} + $$46\!\cdots\!96$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	13	$ 1 - $$19\!\cdots\!60$$ p T + $$80\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{2} - $$10\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{3} + $$24\!\cdots\!28$$ p^{7} T^{4} - $$22\!\cdots\!40$$ p^{10} T^{5} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{6} - $$59\!\cdots\!60$$ p^{21} T^{7} + $$20\!\cdots\!46$$ p^{28} T^{8} - $$59\!\cdots\!60$$ p^{122} T^{9} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{217} T^{10} - $$22\!\cdots\!40$$ p^{313} T^{11} + $$24\!\cdots\!28$$ p^{411} T^{12} - $$10\!\cdots\!80$$ p^{510} T^{13} + $$80\!\cdots\!20$$ p^{609} T^{14} - $$19\!\cdots\!60$$ p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	17	$ 1 - $$23\!\cdots\!60$$ p T + $$33\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{2} - $$28\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{3} + $$24\!\cdots\!72$$ p^{7} T^{4} - $$16\!\cdots\!20$$ p^{9} T^{5} + $$61\!\cdots\!60$$ p^{12} T^{6} - $$64\!\cdots\!40$$ p^{17} T^{7} + $$69\!\cdots\!34$$ p^{22} T^{8} - $$64\!\cdots\!40$$ p^{118} T^{9} + $$61\!\cdots\!60$$ p^{214} T^{10} - $$16\!\cdots\!20$$ p^{312} T^{11} + $$24\!\cdots\!72$$ p^{411} T^{12} - $$28\!\cdots\!20$$ p^{510} T^{13} + $$33\!\cdots\!60$$ p^{609} T^{14} - $$23\!\cdots\!60$$ p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	19	$ 1 + $$21\!\cdots\!80$$ T + $$46\!\cdots\!08$$ p T^{2} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$14\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{4} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{8} T^{5} + $$41\!\cdots\!64$$ p^{12} T^{6} + $$35\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{7} + $$22\!\cdots\!30$$ p^{21} T^{8} + $$35\!\cdots\!00$$ p^{117} T^{9} + $$41\!\cdots\!64$$ p^{214} T^{10} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{311} T^{11} + $$14\!\cdots\!92$$ p^{409} T^{12} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{508} T^{13} + $$46\!\cdots\!08$$ p^{607} T^{14} + $$21\!\cdots\!80$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	23	$ 1 - $$59\!\cdots\!60$$ p T + $$32\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{2} - $$12\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$20\!\cdots\!12$$ p^{5} T^{4} - $$12\!\cdots\!60$$ p^{8} T^{5} + $$74\!\cdots\!60$$ p^{11} T^{6} - $$17\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{7} + $$38\!\cdots\!58$$ p^{19} T^{8} - $$17\!\cdots\!40$$ p^{116} T^{9} + $$74\!\cdots\!60$$ p^{213} T^{10} - $$12\!\cdots\!60$$ p^{311} T^{11} + $$20\!\cdots\!12$$ p^{409} T^{12} - $$12\!\cdots\!20$$ p^{508} T^{13} + $$32\!\cdots\!40$$ p^{608} T^{14} - $$59\!\cdots\!60$$ p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	29	$ 1 + $$15\!\cdots\!80$$ T + $$58\!\cdots\!08$$ p T^{2} + $$86\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$19\!\cdots\!08$$ p^{4} T^{4} + $$16\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{5} + $$51\!\cdots\!36$$ p^{9} T^{6} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{7} + $$40\!\cdots\!30$$ p^{15} T^{8} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{113} T^{9} + $$51\!\cdots\!36$$ p^{211} T^{10} + $$16\!\cdots\!80$$ p^{309} T^{11} + $$19\!\cdots\!08$$ p^{408} T^{12} + $$86\!\cdots\!40$$ p^{507} T^{13} + $$58\!\cdots\!08$$ p^{607} T^{14} + $$15\!\cdots\!80$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	31	$ 1 + $$65\!\cdots\!44$$ T + $$10\!\cdots\!20$$ p T^{2} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$42\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{4} + $$11\!\cdots\!72$$ p^{6} T^{5} + $$32\!\cdots\!08$$ p^{8} T^{6} + $$24\!\cdots\!60$$ p^{11} T^{7} + $$18\!\cdots\!70$$ p^{14} T^{8} + $$24\!\cdots\!60$$ p^{112} T^{9} + $$32\!\cdots\!08$$ p^{210} T^{10} + $$11\!\cdots\!72$$ p^{309} T^{11} + $$42\!\cdots\!20$$ p^{408} T^{12} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{507} T^{13} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{607} T^{14} + $$65\!\cdots\!44$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	37	$ 1 - $$39\!\cdots\!40$$ T + $$16\!\cdots\!40$$ T^{2} - $$96\!\cdots\!40$$ p T^{3} + $$63\!\cdots\!04$$ p^{2} T^{4} - $$26\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{5} + $$36\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{6} - $$33\!\cdots\!20$$ p^{7} T^{7} + $$45\!\cdots\!58$$ p^{9} T^{8} - $$33\!\cdots\!20$$ p^{108} T^{9} + $$36\!\cdots\!40$$ p^{207} T^{10} - $$26\!\cdots\!60$$ p^{306} T^{11} + $$63\!\cdots\!04$$ p^{406} T^{12} - $$96\!\cdots\!40$$ p^{506} T^{13} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{606} T^{14} - $$39\!\cdots\!40$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	41	$ 1 + $$56\!\cdots\!36$$ T + $$10\!\cdots\!20$$ p T^{2} + $$10\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{3} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{4} + $$24\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{5} + $$54\!\cdots\!28$$ p^{7} T^{6} + $$92\!\cdots\!40$$ p^{9} T^{7} + $$17\!\cdots\!70$$ p^{11} T^{8} + $$92\!\cdots\!40$$ p^{110} T^{9} + $$54\!\cdots\!28$$ p^{209} T^{10} + $$24\!\cdots\!68$$ p^{308} T^{11} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{407} T^{12} + $$10\!\cdots\!60$$ p^{507} T^{13} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{607} T^{14} + $$56\!\cdots\!36$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	43	$ 1 + $$28\!\cdots\!00$$ T + $$13\!\cdots\!00$$ p T^{2} + $$70\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$19\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{4} + $$78\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$38\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{6} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{7} + $$12\!\cdots\!94$$ p^{10} T^{8} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{109} T^{9} + $$38\!\cdots\!00$$ p^{208} T^{10} + $$78\!\cdots\!00$$ p^{307} T^{11} + $$19\!\cdots\!28$$ p^{407} T^{12} + $$70\!\cdots\!00$$ p^{507} T^{13} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{607} T^{14} + $$28\!\cdots\!00$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	47	$ 1 - $$97\!\cdots\!40$$ p T + $$19\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{2} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$16\!\cdots\!56$$ p^{4} T^{4} - $$21\!\cdots\!40$$ p^{6} T^{5} + $$41\!\cdots\!40$$ p^{8} T^{6} - $$46\!\cdots\!80$$ p^{10} T^{7} + $$77\!\cdots\!46$$ p^{12} T^{8} - $$46\!\cdots\!80$$ p^{111} T^{9} + $$41\!\cdots\!40$$ p^{210} T^{10} - $$21\!\cdots\!40$$ p^{309} T^{11} + $$16\!\cdots\!56$$ p^{408} T^{12} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{508} T^{13} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{608} T^{14} - $$97\!\cdots\!40$$ p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	53	$ 1 + $$13\!\cdots\!40$$ T + $$52\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$30\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$29\!\cdots\!12$$ p T^{4} + $$38\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{5} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{6} + $$28\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{7} + $$13\!\cdots\!02$$ p^{5} T^{8} + $$28\!\cdots\!40$$ p^{105} T^{9} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{205} T^{10} + $$38\!\cdots\!20$$ p^{305} T^{11} + $$29\!\cdots\!12$$ p^{405} T^{12} + $$30\!\cdots\!20$$ p^{505} T^{13} + $$52\!\cdots\!20$$ p^{606} T^{14} + $$13\!\cdots\!40$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	59	$ 1 + $$21\!\cdots\!60$$ T + $$28\!\cdots\!72$$ T^{2} + $$86\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$77\!\cdots\!52$$ p T^{4} + $$44\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{5} + $$24\!\cdots\!56$$ p^{3} T^{6} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{7} + $$57\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{8} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{105} T^{9} + $$24\!\cdots\!56$$ p^{205} T^{10} + $$44\!\cdots\!60$$ p^{305} T^{11} + $$77\!\cdots\!52$$ p^{405} T^{12} + $$86\!\cdots\!80$$ p^{505} T^{13} + $$28\!\cdots\!72$$ p^{606} T^{14} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	61	$ 1 + $$33\!\cdots\!04$$ T + $$13\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$35\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!20$$ p T^{4} + $$48\!\cdots\!92$$ p^{2} T^{5} + $$14\!\cdots\!08$$ p^{3} T^{6} + $$40\!\cdots\!60$$ p^{4} T^{7} + $$10\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{8} + $$40\!\cdots\!60$$ p^{105} T^{9} + $$14\!\cdots\!08$$ p^{205} T^{10} + $$48\!\cdots\!92$$ p^{305} T^{11} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{405} T^{12} + $$35\!\cdots\!40$$ p^{505} T^{13} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{606} T^{14} + $$33\!\cdots\!04$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	67	$ 1 + $$61\!\cdots\!20$$ T + $$25\!\cdots\!80$$ T^{2} + $$85\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$35\!\cdots\!68$$ p T^{4} + $$12\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{5} + $$41\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{6} + $$11\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{7} + $$30\!\cdots\!18$$ p^{5} T^{8} + $$11\!\cdots\!80$$ p^{105} T^{9} + $$41\!\cdots\!20$$ p^{205} T^{10} + $$12\!\cdots\!60$$ p^{305} T^{11} + $$35\!\cdots\!68$$ p^{405} T^{12} + $$85\!\cdots\!40$$ p^{505} T^{13} + $$25\!\cdots\!80$$ p^{606} T^{14} + $$61\!\cdots\!20$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	71	$ 1 - $$15\!\cdots\!24$$ T + $$16\!\cdots\!20$$ T^{2} - $$17\!\cdots\!40$$ p T^{3} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{4} - $$10\!\cdots\!12$$ p^{3} T^{5} + $$64\!\cdots\!48$$ p^{4} T^{6} - $$34\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{7} + $$15\!\cdots\!70$$ p^{6} T^{8} - $$34\!\cdots\!60$$ p^{106} T^{9} + $$64\!\cdots\!48$$ p^{206} T^{10} - $$10\!\cdots\!12$$ p^{306} T^{11} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{406} T^{12} - $$17\!\cdots\!40$$ p^{506} T^{13} + $$16\!\cdots\!20$$ p^{606} T^{14} - $$15\!\cdots\!24$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	73	$ 1 + $$20\!\cdots\!80$$ T + $$67\!\cdots\!60$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$28\!\cdots\!04$$ p^{2} T^{4} + $$25\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{5} + $$75\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{6} + $$51\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{7} + $$21\!\cdots\!14$$ p^{6} T^{8} + $$51\!\cdots\!60$$ p^{106} T^{9} + $$75\!\cdots\!20$$ p^{206} T^{10} + $$25\!\cdots\!80$$ p^{306} T^{11} + $$28\!\cdots\!04$$ p^{406} T^{12} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{506} T^{13} + $$67\!\cdots\!60$$ p^{606} T^{14} + $$20\!\cdots\!80$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	79	$ 1 - $$14\!\cdots\!80$$ T + $$34\!\cdots\!32$$ T^{2} - $$47\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$82\!\cdots\!28$$ p^{2} T^{4} - $$89\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{5} + $$11\!\cdots\!64$$ p^{4} T^{6} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$10\!\cdots\!70$$ p^{6} T^{8} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{106} T^{9} + $$11\!\cdots\!64$$ p^{206} T^{10} - $$89\!\cdots\!20$$ p^{306} T^{11} + $$82\!\cdots\!28$$ p^{406} T^{12} - $$47\!\cdots\!60$$ p^{506} T^{13} + $$34\!\cdots\!32$$ p^{606} T^{14} - $$14\!\cdots\!80$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	83	$ 1 + $$33\!\cdots\!60$$ T + $$13\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{2} + $$25\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$51\!\cdots\!88$$ p^{3} T^{4} + $$81\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{5} + $$11\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{6} + $$13\!\cdots\!40$$ p^{6} T^{7} + $$14\!\cdots\!38$$ p^{7} T^{8} + $$13\!\cdots\!40$$ p^{107} T^{9} + $$11\!\cdots\!20$$ p^{207} T^{10} + $$81\!\cdots\!20$$ p^{307} T^{11} + $$51\!\cdots\!88$$ p^{407} T^{12} + $$25\!\cdots\!20$$ p^{507} T^{13} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{608} T^{14} + $$33\!\cdots\!60$$ p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	89	$ 1 - $$69\!\cdots\!40$$ p T + $$55\!\cdots\!72$$ p^{2} T^{2} - $$29\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$15\!\cdots\!68$$ p^{4} T^{4} - $$66\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{5} + $$27\!\cdots\!24$$ p^{6} T^{6} - $$95\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{7} + $$32\!\cdots\!70$$ p^{8} T^{8} - $$95\!\cdots\!00$$ p^{108} T^{9} + $$27\!\cdots\!24$$ p^{208} T^{10} - $$66\!\cdots\!40$$ p^{308} T^{11} + $$15\!\cdots\!68$$ p^{408} T^{12} - $$29\!\cdots\!20$$ p^{508} T^{13} + $$55\!\cdots\!72$$ p^{608} T^{14} - $$69\!\cdots\!40$$ p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} $
	97	$ 1 - $$66\!\cdots\!60$$ p T + $$53\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{2} - $$23\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$10\!\cdots\!56$$ p^{4} T^{4} - $$34\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{5} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{6} - $$28\!\cdots\!60$$ p^{7} T^{7} + $$70\!\cdots\!26$$ p^{8} T^{8} - $$28\!\cdots\!60$$ p^{108} T^{9} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{208} T^{10} - $$34\!\cdots\!20$$ p^{308} T^{11} + $$10\!\cdots\!56$$ p^{408} T^{12} - $$23\!\cdots\!80$$ p^{508} T^{13} + $$53\!\cdots\!80$$ p^{608} T^{14} - $$66\!\cdots\!60$$ p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.10377607070005447456981852180, −3.08486226390484758726794464257, −2.81803362054620871833337094127, −2.72194573637183380496144583343, −2.52167039032803704821656359287, −2.51278267053545977004690260717, −2.22992578995999672581159314108, −2.22347034583944479461296687859, −1.94091642823379671458588651036, −1.71137854711261560952733610115, −1.69592640987995947825636273847, −1.61309991320701310805183706774, −1.59145573526733623382531996041, −1.42486486262793143394684839832, −1.41071784755120448793421570898, −1.14502648709429845302252731170, −1.07019557038690585238686261155, −0.78378825069311483728855535387, −0.71900589275561331484226905371, −0.64570737781554310022841394716, −0.45980768213367056455821768144, −0.44899650814103832743841340268, −0.24436467801514055921314966311, −0.18175661111677283393340899802, −0.087474937158865367001429757732, 0.087474937158865367001429757732, 0.18175661111677283393340899802, 0.24436467801514055921314966311, 0.44899650814103832743841340268, 0.45980768213367056455821768144, 0.64570737781554310022841394716, 0.71900589275561331484226905371, 0.78378825069311483728855535387, 1.07019557038690585238686261155, 1.14502648709429845302252731170, 1.41071784755120448793421570898, 1.42486486262793143394684839832, 1.59145573526733623382531996041, 1.61309991320701310805183706774, 1.69592640987995947825636273847, 1.71137854711261560952733610115, 1.94091642823379671458588651036, 2.22347034583944479461296687859, 2.22992578995999672581159314108, 2.51278267053545977004690260717, 2.52167039032803704821656359287, 2.72194573637183380496144583343, 2.81803362054620871833337094127, 3.08486226390484758726794464257, 3.10377607070005447456981852180

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(51)\)	\(\approx\)	\(1.061455134\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(1.061455134\)
\(L(\frac{103}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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