Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 3·2-s + 3·4-s + 4·8-s − 3·13-s − 12·16-s + 24·17-s − 12·19-s − 21·23-s + 9·26-s + 9·29-s + 30·31-s − 72·34-s − 60·37-s + 36·38-s + 6·41-s − 6·43-s + 63·46-s − 33·47-s + 30·49-s − 9·52-s − 24·53-s − 27·58-s − 18·59-s + 6·61-s − 90·62-s + 27·64-s − 24·67-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.12·2-s + 3/2·4-s + 1.41·8-s − 0.832·13-s − 3·16-s + 5.82·17-s − 2.75·19-s − 4.37·23-s + 1.76·26-s + 1.67·29-s + 5.38·31-s − 12.3·34-s − 9.86·37-s + 5.83·38-s + 0.937·41-s − 0.914·43-s + 9.28·46-s − 4.81·47-s + 30/7·49-s − 1.24·52-s − 3.29·53-s − 3.54·58-s − 2.34·59-s + 0.768·61-s − 11.4·62-s + 27/8·64-s − 2.93·67-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{36} \cdot 5^{18} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{36} \cdot 5^{18} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(3^{36} \cdot 5^{18} \cdot 19^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.03843\times 10^{15}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.61289\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 3^{36} \cdot 5^{18} \cdot 19^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.03420848194\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.03420848194\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( 1 \) |
| 5 | \( ( 1 + T^{3} + T^{6} )^{3} \) | |
| 19 | \( 1 + 12 T + 69 T^{2} + 387 T^{3} + 1893 T^{4} + 4533 T^{5} - 1521 T^{6} - 75264 T^{7} - 718563 T^{8} - 4160945 T^{9} - 718563 p T^{10} - 75264 p^{2} T^{11} - 1521 p^{3} T^{12} + 4533 p^{4} T^{13} + 1893 p^{5} T^{14} + 387 p^{6} T^{15} + 69 p^{7} T^{16} + 12 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} \) | |
| good | 2 | \( 1 + 3 T + 3 p T^{2} + 5 T^{3} - 3 T^{4} - 3 p^{2} T^{5} - p T^{6} + 15 p^{2} T^{7} + 75 p T^{8} + 3 p^{6} T^{9} + 15 p^{2} T^{10} - 207 T^{11} - 285 T^{12} + 75 p^{2} T^{13} + 855 p T^{14} + 91 p^{5} T^{15} + 573 p^{2} T^{16} - 105 p^{3} T^{17} - 3951 T^{18} - 105 p^{4} T^{19} + 573 p^{4} T^{20} + 91 p^{8} T^{21} + 855 p^{5} T^{22} + 75 p^{7} T^{23} - 285 p^{6} T^{24} - 207 p^{7} T^{25} + 15 p^{10} T^{26} + 3 p^{15} T^{27} + 75 p^{11} T^{28} + 15 p^{13} T^{29} - p^{13} T^{30} - 3 p^{15} T^{31} - 3 p^{14} T^{32} + 5 p^{15} T^{33} + 3 p^{17} T^{34} + 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 7 | \( 1 - 30 T^{2} + 20 T^{3} + 426 T^{4} - 492 T^{5} - 3342 T^{6} + 4785 T^{7} + 13479 T^{8} - 1688 p T^{9} - 2043 p T^{10} - 186183 T^{11} + 104567 T^{12} + 313251 p T^{13} - 578868 p T^{14} - 231285 p^{2} T^{15} + 1008615 p^{2} T^{16} + 75450 p^{3} T^{17} - 164483 p^{4} T^{18} + 75450 p^{4} T^{19} + 1008615 p^{4} T^{20} - 231285 p^{5} T^{21} - 578868 p^{5} T^{22} + 313251 p^{6} T^{23} + 104567 p^{6} T^{24} - 186183 p^{7} T^{25} - 2043 p^{9} T^{26} - 1688 p^{10} T^{27} + 13479 p^{10} T^{28} + 4785 p^{11} T^{29} - 3342 p^{12} T^{30} - 492 p^{13} T^{31} + 426 p^{14} T^{32} + 20 p^{15} T^{33} - 30 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 - 63 T^{2} + 80 T^{3} + 2103 T^{4} - 4839 T^{5} - 45316 T^{6} + 158970 T^{7} + 671973 T^{8} - 3524068 T^{9} - 572235 p T^{10} + 57406038 T^{11} + 13445167 T^{12} - 701132313 T^{13} + 771505986 T^{14} + 6088449417 T^{15} - 17528797767 T^{16} - 25462731945 T^{17} + 232389711893 T^{18} - 25462731945 p T^{19} - 17528797767 p^{2} T^{20} + 6088449417 p^{3} T^{21} + 771505986 p^{4} T^{22} - 701132313 p^{5} T^{23} + 13445167 p^{6} T^{24} + 57406038 p^{7} T^{25} - 572235 p^{9} T^{26} - 3524068 p^{9} T^{27} + 671973 p^{10} T^{28} + 158970 p^{11} T^{29} - 45316 p^{12} T^{30} - 4839 p^{13} T^{31} + 2103 p^{14} T^{32} + 80 p^{15} T^{33} - 63 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 + 3 T + 12 T^{2} - 36 T^{3} + 177 T^{4} + 1158 T^{5} + 8721 T^{6} + 21756 T^{7} + 32259 T^{8} + 232033 T^{9} + 1452447 T^{10} + 9331479 T^{11} + 19467198 T^{12} + 65011158 T^{13} + 280258506 T^{14} + 1652425101 T^{15} + 6937145919 T^{16} + 13594352508 T^{17} + 49725378429 T^{18} + 13594352508 p T^{19} + 6937145919 p^{2} T^{20} + 1652425101 p^{3} T^{21} + 280258506 p^{4} T^{22} + 65011158 p^{5} T^{23} + 19467198 p^{6} T^{24} + 9331479 p^{7} T^{25} + 1452447 p^{8} T^{26} + 232033 p^{9} T^{27} + 32259 p^{10} T^{28} + 21756 p^{11} T^{29} + 8721 p^{12} T^{30} + 1158 p^{13} T^{31} + 177 p^{14} T^{32} - 36 p^{15} T^{33} + 12 p^{16} T^{34} + 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 - 24 T + 18 p T^{2} - 2794 T^{3} + 20310 T^{4} - 122292 T^{5} + 612957 T^{6} - 2490729 T^{7} + 7511187 T^{8} - 620282 p T^{9} - 3221106 p T^{10} + 553485240 T^{11} - 2780238193 T^{12} + 8830520541 T^{13} - 8224442607 T^{14} - 121707984132 T^{15} + 1135729716828 T^{16} - 6594302847486 T^{17} + 30083675938495 T^{18} - 6594302847486 p T^{19} + 1135729716828 p^{2} T^{20} - 121707984132 p^{3} T^{21} - 8224442607 p^{4} T^{22} + 8830520541 p^{5} T^{23} - 2780238193 p^{6} T^{24} + 553485240 p^{7} T^{25} - 3221106 p^{9} T^{26} - 620282 p^{10} T^{27} + 7511187 p^{10} T^{28} - 2490729 p^{11} T^{29} + 612957 p^{12} T^{30} - 122292 p^{13} T^{31} + 20310 p^{14} T^{32} - 2794 p^{15} T^{33} + 18 p^{17} T^{34} - 24 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 + 21 T + 144 T^{2} + 107 T^{3} - 81 p T^{4} + 12861 T^{5} + 188212 T^{6} + 545685 T^{7} - 206406 T^{8} + 9053367 T^{9} + 117313542 T^{10} + 332501715 T^{11} + 247287033 T^{12} + 10949961159 T^{13} + 94073608002 T^{14} + 177487364165 T^{15} - 250456463196 T^{16} + 6219544004592 T^{17} + 62471234766003 T^{18} + 6219544004592 p T^{19} - 250456463196 p^{2} T^{20} + 177487364165 p^{3} T^{21} + 94073608002 p^{4} T^{22} + 10949961159 p^{5} T^{23} + 247287033 p^{6} T^{24} + 332501715 p^{7} T^{25} + 117313542 p^{8} T^{26} + 9053367 p^{9} T^{27} - 206406 p^{10} T^{28} + 545685 p^{11} T^{29} + 188212 p^{12} T^{30} + 12861 p^{13} T^{31} - 81 p^{15} T^{32} + 107 p^{15} T^{33} + 144 p^{16} T^{34} + 21 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 - 9 T - 57 T^{2} + 737 T^{3} + 1764 T^{4} - 33924 T^{5} - 52947 T^{6} + 1513209 T^{7} - 441477 T^{8} - 52499416 T^{9} + 92183940 T^{10} + 1404076740 T^{11} - 3486594646 T^{12} - 36248333940 T^{13} + 147324964545 T^{14} + 625767319092 T^{15} - 4977293680386 T^{16} - 3650304359493 T^{17} + 131431501159999 T^{18} - 3650304359493 p T^{19} - 4977293680386 p^{2} T^{20} + 625767319092 p^{3} T^{21} + 147324964545 p^{4} T^{22} - 36248333940 p^{5} T^{23} - 3486594646 p^{6} T^{24} + 1404076740 p^{7} T^{25} + 92183940 p^{8} T^{26} - 52499416 p^{9} T^{27} - 441477 p^{10} T^{28} + 1513209 p^{11} T^{29} - 52947 p^{12} T^{30} - 33924 p^{13} T^{31} + 1764 p^{14} T^{32} + 737 p^{15} T^{33} - 57 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 - 30 T + 336 T^{2} - 1960 T^{3} + 462 p T^{4} - 152025 T^{5} + 908794 T^{6} - 3649545 T^{7} + 32023032 T^{8} - 228552484 T^{9} + 793543623 T^{10} - 5179617177 T^{11} + 44445628913 T^{12} - 184460455347 T^{13} + 1065898811988 T^{14} - 8965126878910 T^{15} + 43452419252799 T^{16} - 245760382629042 T^{17} + 1708037180828333 T^{18} - 245760382629042 p T^{19} + 43452419252799 p^{2} T^{20} - 8965126878910 p^{3} T^{21} + 1065898811988 p^{4} T^{22} - 184460455347 p^{5} T^{23} + 44445628913 p^{6} T^{24} - 5179617177 p^{7} T^{25} + 793543623 p^{8} T^{26} - 228552484 p^{9} T^{27} + 32023032 p^{10} T^{28} - 3649545 p^{11} T^{29} + 908794 p^{12} T^{30} - 152025 p^{13} T^{31} + 462 p^{15} T^{32} - 1960 p^{15} T^{33} + 336 p^{16} T^{34} - 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( ( 1 + 30 T + 600 T^{2} + 8522 T^{3} + 98484 T^{4} + 943845 T^{5} + 7904815 T^{6} + 1585047 p T^{7} + 399084690 T^{8} + 2506518869 T^{9} + 399084690 p T^{10} + 1585047 p^{3} T^{11} + 7904815 p^{3} T^{12} + 943845 p^{4} T^{13} + 98484 p^{5} T^{14} + 8522 p^{6} T^{15} + 600 p^{7} T^{16} + 30 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 41 | \( 1 - 6 T + 171 T^{2} - 1831 T^{3} + 18726 T^{4} - 198423 T^{5} + 1763318 T^{6} - 12962886 T^{7} + 112206789 T^{8} - 672251443 T^{9} + 4170660198 T^{10} - 23677458000 T^{11} + 75230977450 T^{12} + 8657768094 T^{13} - 2353077946224 T^{14} + 49942333680588 T^{15} - 381585433813080 T^{16} + 2991355093841307 T^{17} - 22069386375736057 T^{18} + 2991355093841307 p T^{19} - 381585433813080 p^{2} T^{20} + 49942333680588 p^{3} T^{21} - 2353077946224 p^{4} T^{22} + 8657768094 p^{5} T^{23} + 75230977450 p^{6} T^{24} - 23677458000 p^{7} T^{25} + 4170660198 p^{8} T^{26} - 672251443 p^{9} T^{27} + 112206789 p^{10} T^{28} - 12962886 p^{11} T^{29} + 1763318 p^{12} T^{30} - 198423 p^{13} T^{31} + 18726 p^{14} T^{32} - 1831 p^{15} T^{33} + 171 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 + 6 T + 186 T^{2} + 1226 T^{3} + 23772 T^{4} + 166398 T^{5} + 2305524 T^{6} + 16690752 T^{7} + 190865856 T^{8} + 1362645226 T^{9} + 13593771150 T^{10} + 94291977906 T^{11} + 857794820714 T^{12} + 5712848503854 T^{13} + 47968100727342 T^{14} + 307073481834594 T^{15} + 2410489275190194 T^{16} + 14750575542773742 T^{17} + 108919254841976191 T^{18} + 14750575542773742 p T^{19} + 2410489275190194 p^{2} T^{20} + 307073481834594 p^{3} T^{21} + 47968100727342 p^{4} T^{22} + 5712848503854 p^{5} T^{23} + 857794820714 p^{6} T^{24} + 94291977906 p^{7} T^{25} + 13593771150 p^{8} T^{26} + 1362645226 p^{9} T^{27} + 190865856 p^{10} T^{28} + 16690752 p^{11} T^{29} + 2305524 p^{12} T^{30} + 166398 p^{13} T^{31} + 23772 p^{14} T^{32} + 1226 p^{15} T^{33} + 186 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 + 33 T + 561 T^{2} + 6867 T^{3} + 1461 p T^{4} + 579876 T^{5} + 4200859 T^{6} + 27228342 T^{7} + 168287673 T^{8} + 1063464268 T^{9} + 7401657204 T^{10} + 56739890772 T^{11} + 435105619758 T^{12} + 3163157978154 T^{13} + 22052232439599 T^{14} + 148427922880100 T^{15} + 976916886907653 T^{16} + 6505092701824848 T^{17} + 44276988686766231 T^{18} + 6505092701824848 p T^{19} + 976916886907653 p^{2} T^{20} + 148427922880100 p^{3} T^{21} + 22052232439599 p^{4} T^{22} + 3163157978154 p^{5} T^{23} + 435105619758 p^{6} T^{24} + 56739890772 p^{7} T^{25} + 7401657204 p^{8} T^{26} + 1063464268 p^{9} T^{27} + 168287673 p^{10} T^{28} + 27228342 p^{11} T^{29} + 4200859 p^{12} T^{30} + 579876 p^{13} T^{31} + 1461 p^{15} T^{32} + 6867 p^{15} T^{33} + 561 p^{16} T^{34} + 33 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 + 24 T + 177 T^{2} - 443 T^{3} - 18810 T^{4} - 244317 T^{5} - 2107544 T^{6} - 4279239 T^{7} + 128611554 T^{8} + 1718998518 T^{9} + 12472669947 T^{10} + 44682714924 T^{11} - 348195907443 T^{12} - 7200235258998 T^{13} - 58557683269164 T^{14} - 249541421970521 T^{15} + 426578648509344 T^{16} + 366167622985122 p T^{17} + 3644708719484337 p T^{18} + 366167622985122 p^{2} T^{19} + 426578648509344 p^{2} T^{20} - 249541421970521 p^{3} T^{21} - 58557683269164 p^{4} T^{22} - 7200235258998 p^{5} T^{23} - 348195907443 p^{6} T^{24} + 44682714924 p^{7} T^{25} + 12472669947 p^{8} T^{26} + 1718998518 p^{9} T^{27} + 128611554 p^{10} T^{28} - 4279239 p^{11} T^{29} - 2107544 p^{12} T^{30} - 244317 p^{13} T^{31} - 18810 p^{14} T^{32} - 443 p^{15} T^{33} + 177 p^{16} T^{34} + 24 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 + 18 T + 57 T^{2} - 1164 T^{3} - 11070 T^{4} - 561 T^{5} + 369013 T^{6} + 1386669 T^{7} - 4694784 T^{8} - 42561854 T^{9} + 825412440 T^{10} + 10138115253 T^{11} - 41277033354 T^{12} - 1114454662620 T^{13} - 724667938551 T^{14} + 62703909306665 T^{15} + 248086138089429 T^{16} - 1576831435239270 T^{17} - 21884238129841293 T^{18} - 1576831435239270 p T^{19} + 248086138089429 p^{2} T^{20} + 62703909306665 p^{3} T^{21} - 724667938551 p^{4} T^{22} - 1114454662620 p^{5} T^{23} - 41277033354 p^{6} T^{24} + 10138115253 p^{7} T^{25} + 825412440 p^{8} T^{26} - 42561854 p^{9} T^{27} - 4694784 p^{10} T^{28} + 1386669 p^{11} T^{29} + 369013 p^{12} T^{30} - 561 p^{13} T^{31} - 11070 p^{14} T^{32} - 1164 p^{15} T^{33} + 57 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 - 6 T + 306 T^{2} - 1614 T^{3} + 50214 T^{4} - 169413 T^{5} + 5382151 T^{6} - 2975469 T^{7} + 404440719 T^{8} + 1477346410 T^{9} + 24357491451 T^{10} + 230798518752 T^{11} + 1627032292277 T^{12} + 19251467145846 T^{13} + 145263485204094 T^{14} + 1102668987187595 T^{15} + 12981097561622727 T^{16} + 54420438752443581 T^{17} + 917049000470871365 T^{18} + 54420438752443581 p T^{19} + 12981097561622727 p^{2} T^{20} + 1102668987187595 p^{3} T^{21} + 145263485204094 p^{4} T^{22} + 19251467145846 p^{5} T^{23} + 1627032292277 p^{6} T^{24} + 230798518752 p^{7} T^{25} + 24357491451 p^{8} T^{26} + 1477346410 p^{9} T^{27} + 404440719 p^{10} T^{28} - 2975469 p^{11} T^{29} + 5382151 p^{12} T^{30} - 169413 p^{13} T^{31} + 50214 p^{14} T^{32} - 1614 p^{15} T^{33} + 306 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 + 24 T + 477 T^{2} + 7459 T^{3} + 106818 T^{4} + 1312656 T^{5} + 15014620 T^{6} + 153977061 T^{7} + 1475253261 T^{8} + 12567900103 T^{9} + 96264544035 T^{10} + 603696172203 T^{11} + 2627299047098 T^{12} - 5224508545098 T^{13} - 281434770430344 T^{14} - 4297906693179383 T^{15} - 48426257010945366 T^{16} - 474121161078007593 T^{17} - 4077551708674203391 T^{18} - 474121161078007593 p T^{19} - 48426257010945366 p^{2} T^{20} - 4297906693179383 p^{3} T^{21} - 281434770430344 p^{4} T^{22} - 5224508545098 p^{5} T^{23} + 2627299047098 p^{6} T^{24} + 603696172203 p^{7} T^{25} + 96264544035 p^{8} T^{26} + 12567900103 p^{9} T^{27} + 1475253261 p^{10} T^{28} + 153977061 p^{11} T^{29} + 15014620 p^{12} T^{30} + 1312656 p^{13} T^{31} + 106818 p^{14} T^{32} + 7459 p^{15} T^{33} + 477 p^{16} T^{34} + 24 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 + 24 T + 357 T^{2} + 3488 T^{3} + 18900 T^{4} + 7602 T^{5} - 1350430 T^{6} - 16114167 T^{7} - 112455711 T^{8} - 472294741 T^{9} + 719583369 T^{10} + 31717558875 T^{11} + 462610339864 T^{12} + 5445369317721 T^{13} + 43874162496873 T^{14} + 153944072562543 T^{15} - 2470595598474834 T^{16} - 54475260416523135 T^{17} - 563940521682852457 T^{18} - 54475260416523135 p T^{19} - 2470595598474834 p^{2} T^{20} + 153944072562543 p^{3} T^{21} + 43874162496873 p^{4} T^{22} + 5445369317721 p^{5} T^{23} + 462610339864 p^{6} T^{24} + 31717558875 p^{7} T^{25} + 719583369 p^{8} T^{26} - 472294741 p^{9} T^{27} - 112455711 p^{10} T^{28} - 16114167 p^{11} T^{29} - 1350430 p^{12} T^{30} + 7602 p^{13} T^{31} + 18900 p^{14} T^{32} + 3488 p^{15} T^{33} + 357 p^{16} T^{34} + 24 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 6 T + 261 T^{2} - 1267 T^{3} + 41892 T^{4} - 174786 T^{5} + 4708576 T^{6} - 15139704 T^{7} + 397980981 T^{8} - 1076192980 T^{9} + 26798670417 T^{10} - 83927749374 T^{11} + 1568529727859 T^{12} - 9424559760000 T^{13} + 94842608013648 T^{14} - 1126473385486180 T^{15} + 6758858317373496 T^{16} - 108426240784587723 T^{17} + 495034945446673883 T^{18} - 108426240784587723 p T^{19} + 6758858317373496 p^{2} T^{20} - 1126473385486180 p^{3} T^{21} + 94842608013648 p^{4} T^{22} - 9424559760000 p^{5} T^{23} + 1568529727859 p^{6} T^{24} - 83927749374 p^{7} T^{25} + 26798670417 p^{8} T^{26} - 1076192980 p^{9} T^{27} + 397980981 p^{10} T^{28} - 15139704 p^{11} T^{29} + 4708576 p^{12} T^{30} - 174786 p^{13} T^{31} + 41892 p^{14} T^{32} - 1267 p^{15} T^{33} + 261 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 - 9 T + 81 T^{2} + 624 T^{3} - 11097 T^{4} + 150711 T^{5} - 502793 T^{6} - 503142 T^{7} + 97838007 T^{8} - 289052413 T^{9} + 1184308971 T^{10} + 61464614865 T^{11} - 92663828608 T^{12} - 1279746964986 T^{13} + 76729782589866 T^{14} - 383823064247141 T^{15} + 1521713311614708 T^{16} + 52347186999089997 T^{17} - 423655036601815273 T^{18} + 52347186999089997 p T^{19} + 1521713311614708 p^{2} T^{20} - 383823064247141 p^{3} T^{21} + 76729782589866 p^{4} T^{22} - 1279746964986 p^{5} T^{23} - 92663828608 p^{6} T^{24} + 61464614865 p^{7} T^{25} + 1184308971 p^{8} T^{26} - 289052413 p^{9} T^{27} + 97838007 p^{10} T^{28} - 503142 p^{11} T^{29} - 502793 p^{12} T^{30} + 150711 p^{13} T^{31} - 11097 p^{14} T^{32} + 624 p^{15} T^{33} + 81 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 576 T^{2} + 1014 T^{3} + 179973 T^{4} - 539730 T^{5} - 38028987 T^{6} + 157593285 T^{7} + 5993683758 T^{8} - 30739876804 T^{9} - 735119296803 T^{10} + 4354502737671 T^{11} + 72476354390343 T^{12} - 451539059489172 T^{13} - 5951302532915877 T^{14} + 32298503390482056 T^{15} + 442020633819664653 T^{16} - 1065125051031834126 T^{17} - 34241752658481903085 T^{18} - 1065125051031834126 p T^{19} + 442020633819664653 p^{2} T^{20} + 32298503390482056 p^{3} T^{21} - 5951302532915877 p^{4} T^{22} - 451539059489172 p^{5} T^{23} + 72476354390343 p^{6} T^{24} + 4354502737671 p^{7} T^{25} - 735119296803 p^{8} T^{26} - 30739876804 p^{9} T^{27} + 5993683758 p^{10} T^{28} + 157593285 p^{11} T^{29} - 38028987 p^{12} T^{30} - 539730 p^{13} T^{31} + 179973 p^{14} T^{32} + 1014 p^{15} T^{33} - 576 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 6 T - 63 T^{2} - 1075 T^{3} + 14979 T^{4} + 2598 T^{5} + 530992 T^{6} - 18074016 T^{7} + 103797666 T^{8} + 601924356 T^{9} + 6545074263 T^{10} - 168111795885 T^{11} - 118072943079 T^{12} + 4559248278075 T^{13} + 72729056641005 T^{14} - 466139975419780 T^{15} - 9423734645835027 T^{16} + 30061160135967531 T^{17} + 939231939632488155 T^{18} + 30061160135967531 p T^{19} - 9423734645835027 p^{2} T^{20} - 466139975419780 p^{3} T^{21} + 72729056641005 p^{4} T^{22} + 4559248278075 p^{5} T^{23} - 118072943079 p^{6} T^{24} - 168111795885 p^{7} T^{25} + 6545074263 p^{8} T^{26} + 601924356 p^{9} T^{27} + 103797666 p^{10} T^{28} - 18074016 p^{11} T^{29} + 530992 p^{12} T^{30} + 2598 p^{13} T^{31} + 14979 p^{14} T^{32} - 1075 p^{15} T^{33} - 63 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 + 87 T + 3717 T^{2} + 105667 T^{3} + 2304132 T^{4} + 42322776 T^{5} + 699219604 T^{6} + 10797625659 T^{7} + 158175528228 T^{8} + 2202028679545 T^{9} + 29128736700462 T^{10} + 367501698570249 T^{11} + 4454512481752499 T^{12} + 52209694872856743 T^{13} + 592898059332093276 T^{14} + 6514146039485196814 T^{15} + 69180247541529428337 T^{16} + \)\(71\!\cdots\!66\)\( T^{17} + \)\(71\!\cdots\!21\)\( T^{18} + \)\(71\!\cdots\!66\)\( p T^{19} + 69180247541529428337 p^{2} T^{20} + 6514146039485196814 p^{3} T^{21} + 592898059332093276 p^{4} T^{22} + 52209694872856743 p^{5} T^{23} + 4454512481752499 p^{6} T^{24} + 367501698570249 p^{7} T^{25} + 29128736700462 p^{8} T^{26} + 2202028679545 p^{9} T^{27} + 158175528228 p^{10} T^{28} + 10797625659 p^{11} T^{29} + 699219604 p^{12} T^{30} + 42322776 p^{13} T^{31} + 2304132 p^{14} T^{32} + 105667 p^{15} T^{33} + 3717 p^{16} T^{34} + 87 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.37989126090493311233471879110, −2.31076922357850794820406978372, −2.18092997463280302658594759895, −2.17043271663824419284206803104, −2.10969159513133453505428474319, −2.05541797026759130019245814013, −1.85860581586800499301531562721, −1.82836967619592702105782387186, −1.73471076375379939021056895179, −1.68216627210905227192490287707, −1.62526432903522753053941966382, −1.50314339569445336468794478788, −1.47661795937231438469758176737, −1.41028254984658104716543872644, −1.38757603183801067548350060453, −1.30208687961667306454275799984, −1.19895948700711136902203695832, −1.10047973249215099581522493131, −1.07418950513961684728716262451, −0.71826812430040194619562870801, −0.52634198691151071176185594253, −0.44399431133473672042708224998, −0.39669686313096904331764395343, −0.25541922847722552325929263538, −0.03156016782010521147885970706, 0.03156016782010521147885970706, 0.25541922847722552325929263538, 0.39669686313096904331764395343, 0.44399431133473672042708224998, 0.52634198691151071176185594253, 0.71826812430040194619562870801, 1.07418950513961684728716262451, 1.10047973249215099581522493131, 1.19895948700711136902203695832, 1.30208687961667306454275799984, 1.38757603183801067548350060453, 1.41028254984658104716543872644, 1.47661795937231438469758176737, 1.50314339569445336468794478788, 1.62526432903522753053941966382, 1.68216627210905227192490287707, 1.73471076375379939021056895179, 1.82836967619592702105782387186, 1.85860581586800499301531562721, 2.05541797026759130019245814013, 2.10969159513133453505428474319, 2.17043271663824419284206803104, 2.18092997463280302658594759895, 2.31076922357850794820406978372, 2.37989126090493311233471879110
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.