Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 13·2-s − 117·3-s − 19·4-s + 1.52e3·6-s − 304·7-s + 985·8-s + 7.37e3·9-s + 1.57e3·11-s + 2.22e3·12-s − 986·13-s + 3.95e3·14-s − 3.07e3·16-s − 1.47e3·17-s − 9.58e4·18-s + 270·19-s + 3.55e4·21-s − 2.04e4·22-s − 9.08e3·23-s − 1.15e5·24-s + 1.28e4·26-s − 3.31e5·27-s + 5.77e3·28-s + 1.19e4·29-s + 1.90e4·31-s − 2.43e4·32-s − 1.84e5·33-s + 1.91e4·34-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.29·2-s − 7.50·3-s − 0.593·4-s + 17.2·6-s − 2.34·7-s + 5.44·8-s + 91/3·9-s + 3.91·11-s + 4.45·12-s − 1.61·13-s + 5.38·14-s − 2.99·16-s − 1.23·17-s − 69.7·18-s + 0.171·19-s + 17.5·21-s − 9.00·22-s − 3.58·23-s − 40.8·24-s + 3.71·26-s − 87.5·27-s + 1.39·28-s + 2.63·29-s + 3.56·31-s − 4.20·32-s − 29.4·33-s + 2.84·34-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{13} \cdot 5^{26} \cdot 11^{13}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{13} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{13} \cdot 5^{26} \cdot 11^{13}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{13} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(26\) |
| Conductor: | \(3^{13} \cdot 5^{26} \cdot 11^{13}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(3.81055\times 10^{27}\) |
| Root analytic conductor: | \(11.5028\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(13\) |
| Selberg data: | \((26,\ 3^{13} \cdot 5^{26} \cdot 11^{13} ,\ ( \ : [5/2]^{13} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + p^{2} T )^{13} \) |
| 5 | \( 1 \) | |
| 11 | \( ( 1 - p^{2} T )^{13} \) | |
| good | 2 | \( 1 + 13 T + 47 p^{2} T^{2} + 853 p T^{3} + 16015 T^{4} + 119693 T^{5} + 56587 p^{4} T^{6} + 46391 p^{7} T^{7} + 1240073 p^{5} T^{8} + 7379225 p^{5} T^{9} + 5664157 p^{8} T^{10} + 31554979 p^{8} T^{11} + 185606923 p^{8} T^{12} + 1012691925 p^{8} T^{13} + 185606923 p^{13} T^{14} + 31554979 p^{18} T^{15} + 5664157 p^{23} T^{16} + 7379225 p^{25} T^{17} + 1240073 p^{30} T^{18} + 46391 p^{37} T^{19} + 56587 p^{39} T^{20} + 119693 p^{40} T^{21} + 16015 p^{45} T^{22} + 853 p^{51} T^{23} + 47 p^{57} T^{24} + 13 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) |
| 7 | \( 1 + 304 T + 148175 T^{2} + 5007804 p T^{3} + 10379420630 T^{4} + 2070657148136 T^{5} + 67715580083110 p T^{6} + 82863185149141924 T^{7} + 15911523496088400231 T^{8} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(41\!\cdots\!61\)\( T^{10} + \)\(82\!\cdots\!16\)\( p T^{11} + \)\(86\!\cdots\!92\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(86\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{14} + \)\(82\!\cdots\!16\)\( p^{11} T^{15} + \)\(41\!\cdots\!61\)\( p^{15} T^{16} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( p^{20} T^{17} + 15911523496088400231 p^{25} T^{18} + 82863185149141924 p^{30} T^{19} + 67715580083110 p^{36} T^{20} + 2070657148136 p^{40} T^{21} + 10379420630 p^{45} T^{22} + 5007804 p^{51} T^{23} + 148175 p^{55} T^{24} + 304 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 13 | \( 1 + 986 T + 2671789 T^{2} + 2023899532 T^{3} + 3012394210590 T^{4} + 1765398453965540 T^{5} + 1912928636122212182 T^{6} + \)\(82\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(77\!\cdots\!75\)\( T^{8} + \)\(20\!\cdots\!42\)\( T^{9} + \)\(17\!\cdots\!83\)\( p T^{10} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( T^{11} + \)\(61\!\cdots\!72\)\( T^{12} - \)\(57\!\cdots\!08\)\( T^{13} + \)\(61\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( p^{10} T^{15} + \)\(17\!\cdots\!83\)\( p^{16} T^{16} + \)\(20\!\cdots\!42\)\( p^{20} T^{17} + \)\(77\!\cdots\!75\)\( p^{25} T^{18} + \)\(82\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{19} + 1912928636122212182 p^{35} T^{20} + 1765398453965540 p^{40} T^{21} + 3012394210590 p^{45} T^{22} + 2023899532 p^{50} T^{23} + 2671789 p^{55} T^{24} + 986 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 17 | \( 1 + 1476 T + 7317849 T^{2} + 9821611604 T^{3} + 25436307684050 T^{4} + 31043859533242160 T^{5} + 53783525555433675522 T^{6} + \)\(57\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(71\!\cdots\!19\)\( T^{8} + \)\(58\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(49\!\cdots\!83\)\( T^{10} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( T^{11} - \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{12} - \)\(39\!\cdots\!32\)\( T^{13} - \)\(16\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{14} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{10} T^{15} + \)\(49\!\cdots\!83\)\( p^{15} T^{16} + \)\(58\!\cdots\!80\)\( p^{20} T^{17} + \)\(71\!\cdots\!19\)\( p^{25} T^{18} + \)\(57\!\cdots\!76\)\( p^{30} T^{19} + 53783525555433675522 p^{35} T^{20} + 31043859533242160 p^{40} T^{21} + 25436307684050 p^{45} T^{22} + 9821611604 p^{50} T^{23} + 7317849 p^{55} T^{24} + 1476 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 19 | \( 1 - 270 T + 758797 p T^{2} + 2426279096 T^{3} + 111917931054446 T^{4} + 2300910280153292 p T^{5} + \)\(62\!\cdots\!34\)\( T^{6} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!31\)\( T^{8} + \)\(15\!\cdots\!30\)\( T^{9} + \)\(50\!\cdots\!07\)\( p T^{10} + \)\(55\!\cdots\!52\)\( T^{11} + \)\(28\!\cdots\!08\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( T^{13} + \)\(28\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{14} + \)\(55\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{15} + \)\(50\!\cdots\!07\)\( p^{16} T^{16} + \)\(15\!\cdots\!30\)\( p^{20} T^{17} + \)\(26\!\cdots\!31\)\( p^{25} T^{18} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{19} + \)\(62\!\cdots\!34\)\( p^{35} T^{20} + 2300910280153292 p^{41} T^{21} + 111917931054446 p^{45} T^{22} + 2426279096 p^{50} T^{23} + 758797 p^{56} T^{24} - 270 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 23 | \( 1 + 9084 T + 82430095 T^{2} + 509463156256 T^{3} + 2908181073681606 T^{4} + 13950384893685686152 T^{5} + \)\(61\!\cdots\!38\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(91\!\cdots\!63\)\( T^{8} + \)\(31\!\cdots\!36\)\( T^{9} + \)\(99\!\cdots\!85\)\( T^{10} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( p T^{11} + \)\(82\!\cdots\!16\)\( T^{12} + \)\(21\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(82\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{14} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( p^{11} T^{15} + \)\(99\!\cdots\!85\)\( p^{15} T^{16} + \)\(31\!\cdots\!36\)\( p^{20} T^{17} + \)\(91\!\cdots\!63\)\( p^{25} T^{18} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{19} + \)\(61\!\cdots\!38\)\( p^{35} T^{20} + 13950384893685686152 p^{40} T^{21} + 2908181073681606 p^{45} T^{22} + 509463156256 p^{50} T^{23} + 82430095 p^{55} T^{24} + 9084 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 29 | \( 1 - 11952 T + 228564481 T^{2} - 2283925450400 T^{3} + 24641310652347350 T^{4} - \)\(20\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!66\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!63\)\( p T^{8} - \)\(48\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(27\!\cdots\!83\)\( T^{10} - \)\(14\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(74\!\cdots\!00\)\( T^{12} - \)\(34\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(74\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!92\)\( p^{10} T^{15} + \)\(27\!\cdots\!83\)\( p^{15} T^{16} - \)\(48\!\cdots\!12\)\( p^{20} T^{17} + \)\(27\!\cdots\!63\)\( p^{26} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{30} T^{19} + \)\(16\!\cdots\!66\)\( p^{35} T^{20} - \)\(20\!\cdots\!68\)\( p^{40} T^{21} + 24641310652347350 p^{45} T^{22} - 2283925450400 p^{50} T^{23} + 228564481 p^{55} T^{24} - 11952 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 31 | \( 1 - 616 p T + 407544523 T^{2} - 5100813612176 T^{3} + 64106317678732454 T^{4} - \)\(60\!\cdots\!20\)\( T^{5} + \)\(55\!\cdots\!26\)\( T^{6} - \)\(42\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!83\)\( T^{8} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(41\!\cdots\!31\)\( p T^{10} - \)\(71\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(42\!\cdots\!88\)\( T^{12} - \)\(21\!\cdots\!64\)\( T^{13} + \)\(42\!\cdots\!88\)\( p^{5} T^{14} - \)\(71\!\cdots\!72\)\( p^{10} T^{15} + \)\(41\!\cdots\!31\)\( p^{16} T^{16} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{17} + \)\(31\!\cdots\!83\)\( p^{25} T^{18} - \)\(42\!\cdots\!84\)\( p^{30} T^{19} + \)\(55\!\cdots\!26\)\( p^{35} T^{20} - \)\(60\!\cdots\!20\)\( p^{40} T^{21} + 64106317678732454 p^{45} T^{22} - 5100813612176 p^{50} T^{23} + 407544523 p^{55} T^{24} - 616 p^{61} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 37 | \( 1 + 39964 T + 1135425177 T^{2} + 22868960014288 T^{3} + 377171933788233702 T^{4} + \)\(51\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(61\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(65\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(65\!\cdots\!83\)\( T^{8} + \)\(62\!\cdots\!96\)\( T^{9} + \)\(59\!\cdots\!55\)\( T^{10} + \)\(55\!\cdots\!48\)\( T^{11} + \)\(49\!\cdots\!48\)\( T^{12} + \)\(42\!\cdots\!36\)\( T^{13} + \)\(49\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{14} + \)\(55\!\cdots\!48\)\( p^{10} T^{15} + \)\(59\!\cdots\!55\)\( p^{15} T^{16} + \)\(62\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{17} + \)\(65\!\cdots\!83\)\( p^{25} T^{18} + \)\(65\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{19} + \)\(61\!\cdots\!66\)\( p^{35} T^{20} + \)\(51\!\cdots\!80\)\( p^{40} T^{21} + 377171933788233702 p^{45} T^{22} + 22868960014288 p^{50} T^{23} + 1135425177 p^{55} T^{24} + 39964 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 41 | \( 1 - 35184 T + 1548060853 T^{2} - 37586637775328 T^{3} + 991257406888164398 T^{4} - \)\(18\!\cdots\!96\)\( T^{5} + \)\(37\!\cdots\!62\)\( T^{6} - \)\(60\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(98\!\cdots\!79\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!52\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!75\)\( T^{10} - \)\(23\!\cdots\!68\)\( T^{11} + \)\(28\!\cdots\!32\)\( T^{12} - \)\(30\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(28\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{14} - \)\(23\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{15} + \)\(19\!\cdots\!75\)\( p^{15} T^{16} - \)\(13\!\cdots\!52\)\( p^{20} T^{17} + \)\(98\!\cdots\!79\)\( p^{25} T^{18} - \)\(60\!\cdots\!36\)\( p^{30} T^{19} + \)\(37\!\cdots\!62\)\( p^{35} T^{20} - \)\(18\!\cdots\!96\)\( p^{40} T^{21} + 991257406888164398 p^{45} T^{22} - 37586637775328 p^{50} T^{23} + 1548060853 p^{55} T^{24} - 35184 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 43 | \( 1 - 96 T + 889829231 T^{2} - 2468588488300 T^{3} + 375368995071502382 T^{4} - \)\(16\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!02\)\( T^{6} - \)\(48\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!23\)\( T^{8} - \)\(81\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(43\!\cdots\!41\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(68\!\cdots\!40\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(68\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{15} + \)\(43\!\cdots\!41\)\( p^{15} T^{16} - \)\(81\!\cdots\!68\)\( p^{20} T^{17} + \)\(23\!\cdots\!23\)\( p^{25} T^{18} - \)\(48\!\cdots\!40\)\( p^{30} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!02\)\( p^{35} T^{20} - \)\(16\!\cdots\!28\)\( p^{40} T^{21} + 375368995071502382 p^{45} T^{22} - 2468588488300 p^{50} T^{23} + 889829231 p^{55} T^{24} - 96 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 47 | \( 1 + 34984 T + 2528568823 T^{2} + 75327395182912 T^{3} + 3058881329739106070 T^{4} + \)\(77\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(23\!\cdots\!78\)\( T^{6} + \)\(51\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!39\)\( T^{8} + \)\(23\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(48\!\cdots\!09\)\( T^{10} + \)\(81\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{12} + \)\(21\!\cdots\!36\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{14} + \)\(81\!\cdots\!20\)\( p^{10} T^{15} + \)\(48\!\cdots\!09\)\( p^{15} T^{16} + \)\(23\!\cdots\!12\)\( p^{20} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!39\)\( p^{25} T^{18} + \)\(51\!\cdots\!80\)\( p^{30} T^{19} + \)\(23\!\cdots\!78\)\( p^{35} T^{20} + \)\(77\!\cdots\!36\)\( p^{40} T^{21} + 3058881329739106070 p^{45} T^{22} + 75327395182912 p^{50} T^{23} + 2528568823 p^{55} T^{24} + 34984 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 53 | \( 1 + 22984 T + 3071325421 T^{2} + 1066420163840 p T^{3} + 4745257757977091606 T^{4} + \)\(76\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(50\!\cdots\!74\)\( T^{6} + \)\(71\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(39\!\cdots\!91\)\( T^{8} + \)\(51\!\cdots\!04\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!75\)\( T^{10} + \)\(29\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{12} + \)\(13\!\cdots\!16\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{14} + \)\(29\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{15} + \)\(24\!\cdots\!75\)\( p^{15} T^{16} + \)\(51\!\cdots\!04\)\( p^{20} T^{17} + \)\(39\!\cdots\!91\)\( p^{25} T^{18} + \)\(71\!\cdots\!52\)\( p^{30} T^{19} + \)\(50\!\cdots\!74\)\( p^{35} T^{20} + \)\(76\!\cdots\!88\)\( p^{40} T^{21} + 4745257757977091606 p^{45} T^{22} + 1066420163840 p^{51} T^{23} + 3071325421 p^{55} T^{24} + 22984 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 59 | \( 1 + 9192 T + 5651032607 T^{2} + 68244331570480 T^{3} + 16132746466152260142 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!72\)\( T^{5} + \)\(30\!\cdots\!70\)\( T^{6} + \)\(44\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(43\!\cdots\!19\)\( T^{8} + \)\(62\!\cdots\!64\)\( T^{9} + \)\(48\!\cdots\!33\)\( T^{10} + \)\(65\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(42\!\cdots\!48\)\( T^{12} + \)\(52\!\cdots\!44\)\( T^{13} + \)\(42\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{14} + \)\(65\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{15} + \)\(48\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{16} + \)\(62\!\cdots\!64\)\( p^{20} T^{17} + \)\(43\!\cdots\!19\)\( p^{25} T^{18} + \)\(44\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{19} + \)\(30\!\cdots\!70\)\( p^{35} T^{20} + \)\(22\!\cdots\!72\)\( p^{40} T^{21} + 16132746466152260142 p^{45} T^{22} + 68244331570480 p^{50} T^{23} + 5651032607 p^{55} T^{24} + 9192 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 61 | \( 1 - 5438 T + 5725645109 T^{2} - 44760935121648 T^{3} + 15911991944583058454 T^{4} - \)\(13\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(29\!\cdots\!02\)\( T^{6} - \)\(21\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(40\!\cdots\!27\)\( T^{8} - \)\(23\!\cdots\!34\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!27\)\( T^{10} - \)\(19\!\cdots\!28\)\( T^{11} + \)\(42\!\cdots\!44\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!48\)\( T^{13} + \)\(42\!\cdots\!44\)\( p^{5} T^{14} - \)\(19\!\cdots\!28\)\( p^{10} T^{15} + \)\(44\!\cdots\!27\)\( p^{15} T^{16} - \)\(23\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{17} + \)\(40\!\cdots\!27\)\( p^{25} T^{18} - \)\(21\!\cdots\!08\)\( p^{30} T^{19} + \)\(29\!\cdots\!02\)\( p^{35} T^{20} - \)\(13\!\cdots\!84\)\( p^{40} T^{21} + 15911991944583058454 p^{45} T^{22} - 44760935121648 p^{50} T^{23} + 5725645109 p^{55} T^{24} - 5438 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 67 | \( 1 + 71508 T + 10373805919 T^{2} + 486912193719824 T^{3} + 42594134053536929622 T^{4} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( T^{8} + \)\(33\!\cdots\!72\)\( T^{9} + \)\(29\!\cdots\!61\)\( T^{10} + \)\(40\!\cdots\!16\)\( T^{11} + \)\(42\!\cdots\!28\)\( T^{12} + \)\(50\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(42\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{14} + \)\(40\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{15} + \)\(29\!\cdots\!61\)\( p^{15} T^{16} + \)\(33\!\cdots\!72\)\( p^{20} T^{17} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( p^{25} T^{18} + \)\(24\!\cdots\!44\)\( p^{30} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( p^{35} T^{20} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( p^{40} T^{21} + 42594134053536929622 p^{45} T^{22} + 486912193719824 p^{50} T^{23} + 10373805919 p^{55} T^{24} + 71508 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 71 | \( 1 - 101700 T + 15607483407 T^{2} - 1070479982775744 T^{3} + 96719658134156434070 T^{4} - \)\(49\!\cdots\!32\)\( T^{5} + \)\(33\!\cdots\!94\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(81\!\cdots\!43\)\( T^{8} - \)\(26\!\cdots\!72\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!61\)\( T^{10} - \)\(49\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(30\!\cdots\!60\)\( T^{12} - \)\(89\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(30\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{14} - \)\(49\!\cdots\!84\)\( p^{10} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!61\)\( p^{15} T^{16} - \)\(26\!\cdots\!72\)\( p^{20} T^{17} + \)\(81\!\cdots\!43\)\( p^{25} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{30} T^{19} + \)\(33\!\cdots\!94\)\( p^{35} T^{20} - \)\(49\!\cdots\!32\)\( p^{40} T^{21} + 96719658134156434070 p^{45} T^{22} - 1070479982775744 p^{50} T^{23} + 15607483407 p^{55} T^{24} - 101700 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 73 | \( 1 + 77390 T + 13858326365 T^{2} + 752995043500156 T^{3} + 83136418272537378278 T^{4} + \)\(32\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(30\!\cdots\!78\)\( T^{6} + \)\(80\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(74\!\cdots\!51\)\( T^{8} + \)\(87\!\cdots\!42\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!79\)\( T^{10} - \)\(98\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(21\!\cdots\!16\)\( T^{12} - \)\(49\!\cdots\!44\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{14} - \)\(98\!\cdots\!44\)\( p^{10} T^{15} + \)\(13\!\cdots\!79\)\( p^{15} T^{16} + \)\(87\!\cdots\!42\)\( p^{20} T^{17} + \)\(74\!\cdots\!51\)\( p^{25} T^{18} + \)\(80\!\cdots\!88\)\( p^{30} T^{19} + \)\(30\!\cdots\!78\)\( p^{35} T^{20} + \)\(32\!\cdots\!40\)\( p^{40} T^{21} + 83136418272537378278 p^{45} T^{22} + 752995043500156 p^{50} T^{23} + 13858326365 p^{55} T^{24} + 77390 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 79 | \( 1 - 93954 T + 28347949367 T^{2} - 2720572293016912 T^{3} + 5146005739018291690 p T^{4} - \)\(36\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!14\)\( T^{6} - \)\(31\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!75\)\( T^{8} - \)\(19\!\cdots\!54\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!45\)\( T^{10} - \)\(86\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(53\!\cdots\!52\)\( T^{12} - \)\(30\!\cdots\!44\)\( T^{13} + \)\(53\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{14} - \)\(86\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{15} + \)\(13\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{16} - \)\(19\!\cdots\!54\)\( p^{20} T^{17} + \)\(26\!\cdots\!75\)\( p^{25} T^{18} - \)\(31\!\cdots\!24\)\( p^{30} T^{19} + \)\(38\!\cdots\!14\)\( p^{35} T^{20} - \)\(36\!\cdots\!28\)\( p^{40} T^{21} + 5146005739018291690 p^{46} T^{22} - 2720572293016912 p^{50} T^{23} + 28347949367 p^{55} T^{24} - 93954 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 83 | \( 1 + 185918 T + 51932524135 T^{2} + 7074572781792356 T^{3} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( T^{4} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!83\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( T^{9} + \)\(86\!\cdots\!17\)\( T^{10} + \)\(59\!\cdots\!12\)\( T^{11} + \)\(43\!\cdots\!48\)\( T^{12} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(43\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{14} + \)\(59\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{15} + \)\(86\!\cdots\!17\)\( p^{15} T^{16} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( p^{20} T^{17} + \)\(13\!\cdots\!83\)\( p^{25} T^{18} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{30} T^{19} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( p^{35} T^{20} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{40} T^{21} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( p^{45} T^{22} + 7074572781792356 p^{50} T^{23} + 51932524135 p^{55} T^{24} + 185918 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 89 | \( 1 + 18418 T + 29814178389 T^{2} + 176697032177160 T^{3} + \)\(47\!\cdots\!30\)\( T^{4} - \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{5} + \)\(54\!\cdots\!62\)\( T^{6} - \)\(44\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!67\)\( T^{8} - \)\(57\!\cdots\!66\)\( T^{9} + \)\(38\!\cdots\!87\)\( T^{10} - \)\(49\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(24\!\cdots\!08\)\( T^{12} - \)\(31\!\cdots\!16\)\( T^{13} + \)\(24\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{14} - \)\(49\!\cdots\!92\)\( p^{10} T^{15} + \)\(38\!\cdots\!87\)\( p^{15} T^{16} - \)\(57\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{17} + \)\(50\!\cdots\!67\)\( p^{25} T^{18} - \)\(44\!\cdots\!80\)\( p^{30} T^{19} + \)\(54\!\cdots\!62\)\( p^{35} T^{20} - \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{40} T^{21} + \)\(47\!\cdots\!30\)\( p^{45} T^{22} + 176697032177160 p^{50} T^{23} + 29814178389 p^{55} T^{24} + 18418 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| 97 | \( 1 + 94312 T + 73187679013 T^{2} + 5766958801631264 T^{3} + \)\(25\!\cdots\!46\)\( T^{4} + \)\(17\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(58\!\cdots\!34\)\( T^{6} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(98\!\cdots\!67\)\( T^{8} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( T^{10} + \)\(60\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{12} + \)\(57\!\cdots\!64\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{14} + \)\(60\!\cdots\!36\)\( p^{10} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( p^{15} T^{16} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( p^{20} T^{17} + \)\(98\!\cdots\!67\)\( p^{25} T^{18} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( p^{30} T^{19} + \)\(58\!\cdots\!34\)\( p^{35} T^{20} + \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{40} T^{21} + \)\(25\!\cdots\!46\)\( p^{45} T^{22} + 5766958801631264 p^{50} T^{23} + 73187679013 p^{55} T^{24} + 94312 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{26} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.85553047917601724265965841289, −2.72596201164065504361810634082, −2.69041343779149845782564183760, −2.65453609877619904798305741251, −2.47972847735754780421220761653, −2.22505359290033017788098940314, −2.18400560898502746380573813445, −2.02476971779981580094426492904, −1.97271925640032540788368469156, −1.93389099870098101383101916392, −1.82505589295614982906236005993, −1.79094452225869315881115549246, −1.78747175982882703012740809442, −1.41702323250103529787098173275, −1.30744944848565061126168142289, −1.21492194549800296298502226436, −1.21187148122159902881890256635, −1.16191170564195881975332305457, −1.02613862856207966090544178669, −1.01480002545364432344461345327, −0.970374087862571651213944914098, −0.916538144928096309686953261275, −0.836058620815318938427685584803, −0.820455051283694176718284119352, −0.800759776808678939099559889674, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.800759776808678939099559889674, 0.820455051283694176718284119352, 0.836058620815318938427685584803, 0.916538144928096309686953261275, 0.970374087862571651213944914098, 1.01480002545364432344461345327, 1.02613862856207966090544178669, 1.16191170564195881975332305457, 1.21187148122159902881890256635, 1.21492194549800296298502226436, 1.30744944848565061126168142289, 1.41702323250103529787098173275, 1.78747175982882703012740809442, 1.79094452225869315881115549246, 1.82505589295614982906236005993, 1.93389099870098101383101916392, 1.97271925640032540788368469156, 2.02476971779981580094426492904, 2.18400560898502746380573813445, 2.22505359290033017788098940314, 2.47972847735754780421220761653, 2.65453609877619904798305741251, 2.69041343779149845782564183760, 2.72596201164065504361810634082, 2.85553047917601724265965841289
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.