| L(s) = 1 | + 2-s + 45·3-s − 16·4-s + 45·6-s − 116·7-s + 24·8-s + 1.21e3·9-s − 605·11-s − 720·12-s + 926·13-s − 116·14-s − 375·16-s + 246·17-s + 1.21e3·18-s + 3.42e3·19-s − 5.22e3·21-s − 605·22-s + 4.24e3·23-s + 1.08e3·24-s + 926·26-s + 2.55e4·27-s + 1.85e3·28-s − 2.92e3·29-s − 6.11e3·31-s + 2.91e3·32-s − 2.72e4·33-s + 246·34-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.176·2-s + 2.88·3-s − 1/2·4-s + 0.510·6-s − 0.894·7-s + 0.132·8-s + 5·9-s − 1.50·11-s − 1.44·12-s + 1.51·13-s − 0.158·14-s − 0.366·16-s + 0.206·17-s + 0.883·18-s + 2.17·19-s − 2.58·21-s − 0.266·22-s + 1.67·23-s + 0.382·24-s + 0.268·26-s + 6.73·27-s + 0.447·28-s − 0.645·29-s − 1.14·31-s + 0.503·32-s − 4.35·33-s + 0.0364·34-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{5} \cdot 5^{10} \cdot 11^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{5} \cdot 5^{10} \cdot 11^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(71.95436718\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(71.95436718\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 3 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{5} \) |
| 5 | | \( 1 \) |
| 11 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - T + 17 T^{2} - 57 T^{3} + 91 p^{3} T^{4} - 1335 p^{2} T^{5} + 91 p^{8} T^{6} - 57 p^{10} T^{7} + 17 p^{15} T^{8} - p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 116 T + 54795 T^{2} + 5576720 T^{3} + 1570101090 T^{4} + 130374096568 T^{5} + 1570101090 p^{5} T^{6} + 5576720 p^{10} T^{7} + 54795 p^{15} T^{8} + 116 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 926 T + 1523025 T^{2} - 933033752 T^{3} + 957037920346 T^{4} - 450989288064340 T^{5} + 957037920346 p^{5} T^{6} - 933033752 p^{10} T^{7} + 1523025 p^{15} T^{8} - 926 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 246 T + 1935973 T^{2} - 495188248 T^{3} + 4509170299642 T^{4} - 890097586014276 T^{5} + 4509170299642 p^{5} T^{6} - 495188248 p^{10} T^{7} + 1935973 p^{15} T^{8} - 246 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 180 p T + 5616047 T^{2} - 2537037584 T^{3} - 533040929414 T^{4} + 4059028493877016 T^{5} - 533040929414 p^{5} T^{6} - 2537037584 p^{10} T^{7} + 5616047 p^{15} T^{8} - 180 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 4244 T + 10046323 T^{2} + 3965068880 T^{3} - 38106858766262 T^{4} + 168878964934830088 T^{5} - 38106858766262 p^{5} T^{6} + 3965068880 p^{10} T^{7} + 10046323 p^{15} T^{8} - 4244 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2922 T + 46549193 T^{2} + 167736848408 T^{3} + 1309370323815938 T^{4} + 4603676290619942428 T^{5} + 1309370323815938 p^{5} T^{6} + 167736848408 p^{10} T^{7} + 46549193 p^{15} T^{8} + 2922 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 6112 T + 55036443 T^{2} + 251063259264 T^{3} + 1728701540363914 T^{4} + 4411635167376080704 T^{5} + 1728701540363914 p^{5} T^{6} + 251063259264 p^{10} T^{7} + 55036443 p^{15} T^{8} + 6112 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 6654 T + 207170961 T^{2} + 1766231590600 T^{3} + 21560016368131618 T^{4} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 21560016368131618 p^{5} T^{6} + 1766231590600 p^{10} T^{7} + 207170961 p^{15} T^{8} + 6654 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 14934 T + 552142549 T^{2} + 6309643570312 T^{3} + 126500565241038130 T^{4} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( T^{5} + 126500565241038130 p^{5} T^{6} + 6309643570312 p^{10} T^{7} + 552142549 p^{15} T^{8} + 14934 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 10804 T + 493345903 T^{2} + 4146933554512 T^{3} + 118985270362537682 T^{4} + \)\(82\!\cdots\!48\)\( T^{5} + 118985270362537682 p^{5} T^{6} + 4146933554512 p^{10} T^{7} + 493345903 p^{15} T^{8} + 10804 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 41460 T + 1329564491 T^{2} - 26737844640176 T^{3} + 491525082646006890 T^{4} - \)\(73\!\cdots\!84\)\( T^{5} + 491525082646006890 p^{5} T^{6} - 26737844640176 p^{10} T^{7} + 1329564491 p^{15} T^{8} - 41460 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 62398 T + 3256232321 T^{2} - 108542084624648 T^{3} + 3158192813202986754 T^{4} - \)\(68\!\cdots\!76\)\( T^{5} + 3158192813202986754 p^{5} T^{6} - 108542084624648 p^{10} T^{7} + 3256232321 p^{15} T^{8} - 62398 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 8524 T + 2100809431 T^{2} - 208161327792 p T^{3} + 2400815916803380058 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!16\)\( T^{5} + 2400815916803380058 p^{5} T^{6} - 208161327792 p^{11} T^{7} + 2100809431 p^{15} T^{8} - 8524 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 59010 T + 4259101673 T^{2} - 150196825442552 T^{3} + 6414799547958403266 T^{4} - \)\(16\!\cdots\!04\)\( T^{5} + 6414799547958403266 p^{5} T^{6} - 150196825442552 p^{10} T^{7} + 4259101673 p^{15} T^{8} - 59010 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 15772 T + 3733895487 T^{2} - 70313883756112 T^{3} + 6315163246971843034 T^{4} - \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 6315163246971843034 p^{5} T^{6} - 70313883756112 p^{10} T^{7} + 3733895487 p^{15} T^{8} - 15772 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 88124 T + 10056463427 T^{2} - 589122715255440 T^{3} + 37926360251239733546 T^{4} - \)\(15\!\cdots\!44\)\( T^{5} + 37926360251239733546 p^{5} T^{6} - 589122715255440 p^{10} T^{7} + 10056463427 p^{15} T^{8} - 88124 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 118358 T + 9113509357 T^{2} - 697752005069720 T^{3} + 40611323555285472458 T^{4} - \)\(18\!\cdots\!32\)\( T^{5} + 40611323555285472458 p^{5} T^{6} - 697752005069720 p^{10} T^{7} + 9113509357 p^{15} T^{8} - 118358 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 57324 T + 10429021099 T^{2} - 361401907187344 T^{3} + 48961127281245567466 T^{4} - \)\(13\!\cdots\!48\)\( T^{5} + 48961127281245567466 p^{5} T^{6} - 361401907187344 p^{10} T^{7} + 10429021099 p^{15} T^{8} - 57324 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 7268 T + 9319594151 T^{2} + 431484180997200 T^{3} + 25096186641468247874 T^{4} + \)\(36\!\cdots\!64\)\( T^{5} + 25096186641468247874 p^{5} T^{6} + 431484180997200 p^{10} T^{7} + 9319594151 p^{15} T^{8} - 7268 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 72978 T + 15560751397 T^{2} - 394225487915992 T^{3} + 68115029923695184402 T^{4} + \)\(50\!\cdots\!36\)\( T^{5} + 68115029923695184402 p^{5} T^{6} - 394225487915992 p^{10} T^{7} + 15560751397 p^{15} T^{8} - 72978 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 59174 T + 20882528301 T^{2} - 18552097734152 p T^{3} + \)\(23\!\cdots\!34\)\( T^{4} - \)\(23\!\cdots\!76\)\( T^{5} + \)\(23\!\cdots\!34\)\( p^{5} T^{6} - 18552097734152 p^{11} T^{7} + 20882528301 p^{15} T^{8} - 59174 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.15109388200906050237050121547, −5.06191483367232499798064411512, −5.05515272805637062922643281793, −4.95299266710530599508590960238, −4.81759790502416662146549863575, −4.25010561627378716693411724898, −3.95053997147718683355664420903, −3.87347948091784035107343795205, −3.83128474817016809667744001150, −3.58708925607332497438686201906, −3.35560069022728021365781576622, −3.17423126949604996795780205144, −3.07697341493720900708936047216, −3.05197030105533413510084669213, −2.40953757527125702018598572496, −2.38478266406363662384361768051, −2.28867130242527703407877818862, −2.03652086600441643384529890690, −1.72890190178564147772892546491, −1.48762352357359313260213413837, −1.22250878072570810422697506297, −0.818952863501770882379823787778, −0.64616204134501543845890674432, −0.64121329306954238824350704260, −0.38811719153106710876042454700,
0.38811719153106710876042454700, 0.64121329306954238824350704260, 0.64616204134501543845890674432, 0.818952863501770882379823787778, 1.22250878072570810422697506297, 1.48762352357359313260213413837, 1.72890190178564147772892546491, 2.03652086600441643384529890690, 2.28867130242527703407877818862, 2.38478266406363662384361768051, 2.40953757527125702018598572496, 3.05197030105533413510084669213, 3.07697341493720900708936047216, 3.17423126949604996795780205144, 3.35560069022728021365781576622, 3.58708925607332497438686201906, 3.83128474817016809667744001150, 3.87347948091784035107343795205, 3.95053997147718683355664420903, 4.25010561627378716693411724898, 4.81759790502416662146549863575, 4.95299266710530599508590960238, 5.05515272805637062922643281793, 5.06191483367232499798064411512, 5.15109388200906050237050121547
