Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 16·2-s + 136·4-s − 4·5-s + 6·7-s − 816·8-s + 64·10-s − 6·11-s + 6·13-s − 96·14-s + 3.87e3·16-s − 17-s + 10·19-s − 544·20-s + 96·22-s − 10·23-s − 18·25-s − 96·26-s + 816·28-s − 6·29-s + 21·31-s − 1.55e4·32-s + 16·34-s − 24·35-s + 17·37-s − 160·38-s + 3.26e3·40-s + 4·41-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 11.3·2-s + 68·4-s − 1.78·5-s + 2.26·7-s − 288.·8-s + 20.2·10-s − 1.80·11-s + 1.66·13-s − 25.6·14-s + 969·16-s − 0.242·17-s + 2.29·19-s − 121.·20-s + 20.4·22-s − 2.08·23-s − 3.59·25-s − 18.8·26-s + 154.·28-s − 1.11·29-s + 3.77·31-s − 2.74e3·32-s + 2.74·34-s − 4.05·35-s + 2.79·37-s − 25.9·38-s + 516.·40-s + 0.624·41-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 3^{48} \cdot 149^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 3^{48} \cdot 149^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(32\) |
| Conductor: | \(2^{16} \cdot 3^{48} \cdot 149^{16}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(8.42779\times 10^{28}\) |
| Root analytic conductor: | \(8.01546\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((32,\ 2^{16} \cdot 3^{48} \cdot 149^{16} ,\ ( \ : [1/2]^{16} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.06565221270\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.06565221270\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + T )^{16} \) |
| 3 | \( 1 \) | |
| 149 | \( ( 1 - T )^{16} \) | |
| good | 5 | \( 1 + 4 T + 34 T^{2} + 108 T^{3} + 532 T^{4} + 1398 T^{5} + 5193 T^{6} + 11758 T^{7} + 36623 T^{8} + 74776 T^{9} + 204933 T^{10} + 78028 p T^{11} + 955357 T^{12} + 1737372 T^{13} + 786377 p T^{14} + 58728 p^{3} T^{15} + 3472748 p T^{16} + 58728 p^{4} T^{17} + 786377 p^{3} T^{18} + 1737372 p^{3} T^{19} + 955357 p^{4} T^{20} + 78028 p^{6} T^{21} + 204933 p^{6} T^{22} + 74776 p^{7} T^{23} + 36623 p^{8} T^{24} + 11758 p^{9} T^{25} + 5193 p^{10} T^{26} + 1398 p^{11} T^{27} + 532 p^{12} T^{28} + 108 p^{13} T^{29} + 34 p^{14} T^{30} + 4 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) |
| 7 | \( 1 - 6 T + 8 p T^{2} - 247 T^{3} + 1352 T^{4} - 4889 T^{5} + 20361 T^{6} - 64630 T^{7} + 228423 T^{8} - 665183 T^{9} + 2128726 T^{10} - 5823317 T^{11} + 2512890 p T^{12} - 45668170 T^{13} + 133607858 T^{14} - 333266322 T^{15} + 957088079 T^{16} - 333266322 p T^{17} + 133607858 p^{2} T^{18} - 45668170 p^{3} T^{19} + 2512890 p^{5} T^{20} - 5823317 p^{5} T^{21} + 2128726 p^{6} T^{22} - 665183 p^{7} T^{23} + 228423 p^{8} T^{24} - 64630 p^{9} T^{25} + 20361 p^{10} T^{26} - 4889 p^{11} T^{27} + 1352 p^{12} T^{28} - 247 p^{13} T^{29} + 8 p^{15} T^{30} - 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 11 | \( 1 + 6 T + 57 T^{2} + 196 T^{3} + 986 T^{4} + 1601 T^{5} + 8962 T^{6} + 18443 T^{7} + 17725 p T^{8} + 702253 T^{9} + 3225278 T^{10} + 7639011 T^{11} + 20694222 T^{12} + 57979410 T^{13} + 285895823 T^{14} + 1481020044 T^{15} + 5344191760 T^{16} + 1481020044 p T^{17} + 285895823 p^{2} T^{18} + 57979410 p^{3} T^{19} + 20694222 p^{4} T^{20} + 7639011 p^{5} T^{21} + 3225278 p^{6} T^{22} + 702253 p^{7} T^{23} + 17725 p^{9} T^{24} + 18443 p^{9} T^{25} + 8962 p^{10} T^{26} + 1601 p^{11} T^{27} + 986 p^{12} T^{28} + 196 p^{13} T^{29} + 57 p^{14} T^{30} + 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 13 | \( 1 - 6 T + 105 T^{2} - 512 T^{3} + 5370 T^{4} - 22684 T^{5} + 184517 T^{6} - 698596 T^{7} + 4833808 T^{8} - 16722072 T^{9} + 103048788 T^{10} - 330007070 T^{11} + 1860613029 T^{12} - 5565962602 T^{13} + 29174544319 T^{14} - 81971188970 T^{15} + 403045310618 T^{16} - 81971188970 p T^{17} + 29174544319 p^{2} T^{18} - 5565962602 p^{3} T^{19} + 1860613029 p^{4} T^{20} - 330007070 p^{5} T^{21} + 103048788 p^{6} T^{22} - 16722072 p^{7} T^{23} + 4833808 p^{8} T^{24} - 698596 p^{9} T^{25} + 184517 p^{10} T^{26} - 22684 p^{11} T^{27} + 5370 p^{12} T^{28} - 512 p^{13} T^{29} + 105 p^{14} T^{30} - 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 17 | \( 1 + T + 124 T^{2} + 56 T^{3} + 7233 T^{4} - 829 T^{5} + 265803 T^{6} - 183114 T^{7} + 6946713 T^{8} - 8766926 T^{9} + 138378101 T^{10} - 14974143 p T^{11} + 2232877007 T^{12} - 5479687692 T^{13} + 32292139716 T^{14} - 99848317065 T^{15} + 500083148268 T^{16} - 99848317065 p T^{17} + 32292139716 p^{2} T^{18} - 5479687692 p^{3} T^{19} + 2232877007 p^{4} T^{20} - 14974143 p^{6} T^{21} + 138378101 p^{6} T^{22} - 8766926 p^{7} T^{23} + 6946713 p^{8} T^{24} - 183114 p^{9} T^{25} + 265803 p^{10} T^{26} - 829 p^{11} T^{27} + 7233 p^{12} T^{28} + 56 p^{13} T^{29} + 124 p^{14} T^{30} + p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 19 | \( 1 - 10 T + 233 T^{2} - 1849 T^{3} + 24703 T^{4} - 164799 T^{5} + 1637491 T^{6} - 9505444 T^{7} + 77594475 T^{8} - 400714476 T^{9} + 2829452813 T^{10} - 13199060119 T^{11} + 83133680565 T^{12} - 354150322561 T^{13} + 2027903567399 T^{14} - 7944825738298 T^{15} + 41795280996480 T^{16} - 7944825738298 p T^{17} + 2027903567399 p^{2} T^{18} - 354150322561 p^{3} T^{19} + 83133680565 p^{4} T^{20} - 13199060119 p^{5} T^{21} + 2829452813 p^{6} T^{22} - 400714476 p^{7} T^{23} + 77594475 p^{8} T^{24} - 9505444 p^{9} T^{25} + 1637491 p^{10} T^{26} - 164799 p^{11} T^{27} + 24703 p^{12} T^{28} - 1849 p^{13} T^{29} + 233 p^{14} T^{30} - 10 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 23 | \( 1 + 10 T + 231 T^{2} + 1965 T^{3} + 25974 T^{4} + 193341 T^{5} + 1907808 T^{6} + 12717628 T^{7} + 103446656 T^{8} + 627139540 T^{9} + 4419557421 T^{10} + 24602786647 T^{11} + 154610899217 T^{12} + 794751432473 T^{13} + 4534379053794 T^{14} + 21563767490965 T^{15} + 112936238951801 T^{16} + 21563767490965 p T^{17} + 4534379053794 p^{2} T^{18} + 794751432473 p^{3} T^{19} + 154610899217 p^{4} T^{20} + 24602786647 p^{5} T^{21} + 4419557421 p^{6} T^{22} + 627139540 p^{7} T^{23} + 103446656 p^{8} T^{24} + 12717628 p^{9} T^{25} + 1907808 p^{10} T^{26} + 193341 p^{11} T^{27} + 25974 p^{12} T^{28} + 1965 p^{13} T^{29} + 231 p^{14} T^{30} + 10 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 29 | \( 1 + 6 T + 200 T^{2} + 802 T^{3} + 18548 T^{4} + 54884 T^{5} + 1178934 T^{6} + 2930047 T^{7} + 59710763 T^{8} + 138920047 T^{9} + 2550922831 T^{10} + 5911371606 T^{11} + 95302405018 T^{12} + 224903846136 T^{13} + 3197686961249 T^{14} + 7542310153573 T^{15} + 97336321600103 T^{16} + 7542310153573 p T^{17} + 3197686961249 p^{2} T^{18} + 224903846136 p^{3} T^{19} + 95302405018 p^{4} T^{20} + 5911371606 p^{5} T^{21} + 2550922831 p^{6} T^{22} + 138920047 p^{7} T^{23} + 59710763 p^{8} T^{24} + 2930047 p^{9} T^{25} + 1178934 p^{10} T^{26} + 54884 p^{11} T^{27} + 18548 p^{12} T^{28} + 802 p^{13} T^{29} + 200 p^{14} T^{30} + 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 31 | \( 1 - 21 T + 406 T^{2} - 5418 T^{3} + 66194 T^{4} - 684138 T^{5} + 6616575 T^{6} - 57766014 T^{7} + 479436430 T^{8} - 3695295727 T^{9} + 27323117273 T^{10} - 190405288761 T^{11} + 1279391847883 T^{12} - 8167450042813 T^{13} + 50413604197098 T^{14} - 296760287069368 T^{15} + 1691074010419373 T^{16} - 296760287069368 p T^{17} + 50413604197098 p^{2} T^{18} - 8167450042813 p^{3} T^{19} + 1279391847883 p^{4} T^{20} - 190405288761 p^{5} T^{21} + 27323117273 p^{6} T^{22} - 3695295727 p^{7} T^{23} + 479436430 p^{8} T^{24} - 57766014 p^{9} T^{25} + 6616575 p^{10} T^{26} - 684138 p^{11} T^{27} + 66194 p^{12} T^{28} - 5418 p^{13} T^{29} + 406 p^{14} T^{30} - 21 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 37 | \( 1 - 17 T + 483 T^{2} - 6261 T^{3} + 105177 T^{4} - 1126916 T^{5} + 14321748 T^{6} - 132506150 T^{7} + 1395476111 T^{8} - 11441164930 T^{9} + 104430953608 T^{10} - 770597570200 T^{11} + 6249885305799 T^{12} - 41874523865947 T^{13} + 306138212842601 T^{14} - 1869964669554675 T^{15} + 335731111708896 p T^{16} - 1869964669554675 p T^{17} + 306138212842601 p^{2} T^{18} - 41874523865947 p^{3} T^{19} + 6249885305799 p^{4} T^{20} - 770597570200 p^{5} T^{21} + 104430953608 p^{6} T^{22} - 11441164930 p^{7} T^{23} + 1395476111 p^{8} T^{24} - 132506150 p^{9} T^{25} + 14321748 p^{10} T^{26} - 1126916 p^{11} T^{27} + 105177 p^{12} T^{28} - 6261 p^{13} T^{29} + 483 p^{14} T^{30} - 17 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 41 | \( 1 - 4 T + 321 T^{2} - 653 T^{3} + 49145 T^{4} - 23684 T^{5} + 4950641 T^{6} + 4328241 T^{7} + 371007733 T^{8} + 804399872 T^{9} + 539185340 p T^{10} + 75786353047 T^{11} + 1107775617097 T^{12} + 5037504154475 T^{13} + 49394198868106 T^{14} + 258965630567270 T^{15} + 2065808864035479 T^{16} + 258965630567270 p T^{17} + 49394198868106 p^{2} T^{18} + 5037504154475 p^{3} T^{19} + 1107775617097 p^{4} T^{20} + 75786353047 p^{5} T^{21} + 539185340 p^{7} T^{22} + 804399872 p^{7} T^{23} + 371007733 p^{8} T^{24} + 4328241 p^{9} T^{25} + 4950641 p^{10} T^{26} - 23684 p^{11} T^{27} + 49145 p^{12} T^{28} - 653 p^{13} T^{29} + 321 p^{14} T^{30} - 4 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 43 | \( 1 - 16 T + 487 T^{2} - 6403 T^{3} + 112261 T^{4} - 1259217 T^{5} + 16530621 T^{6} - 162556277 T^{7} + 1763434449 T^{8} - 15506840106 T^{9} + 146014228119 T^{10} - 1164224623425 T^{11} + 9783076145087 T^{12} - 71359400900301 T^{13} + 543949869004930 T^{14} - 3646005619767259 T^{15} + 25444894236690094 T^{16} - 3646005619767259 p T^{17} + 543949869004930 p^{2} T^{18} - 71359400900301 p^{3} T^{19} + 9783076145087 p^{4} T^{20} - 1164224623425 p^{5} T^{21} + 146014228119 p^{6} T^{22} - 15506840106 p^{7} T^{23} + 1763434449 p^{8} T^{24} - 162556277 p^{9} T^{25} + 16530621 p^{10} T^{26} - 1259217 p^{11} T^{27} + 112261 p^{12} T^{28} - 6403 p^{13} T^{29} + 487 p^{14} T^{30} - 16 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 47 | \( 1 + 25 T + 546 T^{2} + 8571 T^{3} + 120717 T^{4} + 1460380 T^{5} + 16368393 T^{6} + 168330661 T^{7} + 1638532375 T^{8} + 15075498317 T^{9} + 132745613029 T^{10} + 1118441523566 T^{11} + 9048628100263 T^{12} + 70411098454645 T^{13} + 527332944636048 T^{14} + 3811977322200313 T^{15} + 26576590641469672 T^{16} + 3811977322200313 p T^{17} + 527332944636048 p^{2} T^{18} + 70411098454645 p^{3} T^{19} + 9048628100263 p^{4} T^{20} + 1118441523566 p^{5} T^{21} + 132745613029 p^{6} T^{22} + 15075498317 p^{7} T^{23} + 1638532375 p^{8} T^{24} + 168330661 p^{9} T^{25} + 16368393 p^{10} T^{26} + 1460380 p^{11} T^{27} + 120717 p^{12} T^{28} + 8571 p^{13} T^{29} + 546 p^{14} T^{30} + 25 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 53 | \( 1 + 14 T + 355 T^{2} + 4539 T^{3} + 75770 T^{4} + 860747 T^{5} + 11214548 T^{6} + 115534366 T^{7} + 1287431724 T^{8} + 12096832200 T^{9} + 119428141805 T^{10} + 1034460940195 T^{11} + 9274173886709 T^{12} + 74390586646347 T^{13} + 613141761069538 T^{14} + 4574216784025259 T^{15} + 34956397362447065 T^{16} + 4574216784025259 p T^{17} + 613141761069538 p^{2} T^{18} + 74390586646347 p^{3} T^{19} + 9274173886709 p^{4} T^{20} + 1034460940195 p^{5} T^{21} + 119428141805 p^{6} T^{22} + 12096832200 p^{7} T^{23} + 1287431724 p^{8} T^{24} + 115534366 p^{9} T^{25} + 11214548 p^{10} T^{26} + 860747 p^{11} T^{27} + 75770 p^{12} T^{28} + 4539 p^{13} T^{29} + 355 p^{14} T^{30} + 14 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 59 | \( 1 + 6 T + 421 T^{2} + 3377 T^{3} + 93309 T^{4} + 858993 T^{5} + 14636145 T^{6} + 138417394 T^{7} + 30498901 p T^{8} + 16359859240 T^{9} + 180822933617 T^{10} + 1540190906555 T^{11} + 15224681939107 T^{12} + 121397973697163 T^{13} + 1097841079463113 T^{14} + 8232953788291556 T^{15} + 69074281764740816 T^{16} + 8232953788291556 p T^{17} + 1097841079463113 p^{2} T^{18} + 121397973697163 p^{3} T^{19} + 15224681939107 p^{4} T^{20} + 1540190906555 p^{5} T^{21} + 180822933617 p^{6} T^{22} + 16359859240 p^{7} T^{23} + 30498901 p^{9} T^{24} + 138417394 p^{9} T^{25} + 14636145 p^{10} T^{26} + 858993 p^{11} T^{27} + 93309 p^{12} T^{28} + 3377 p^{13} T^{29} + 421 p^{14} T^{30} + 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 61 | \( 1 - 23 T + 623 T^{2} - 9731 T^{3} + 164697 T^{4} - 2062213 T^{5} + 27459612 T^{6} - 297150828 T^{7} + 3400086161 T^{8} - 33134645582 T^{9} + 340076853532 T^{10} - 3053216330899 T^{11} + 28777635020423 T^{12} - 241106926237677 T^{13} + 2115995875564849 T^{14} - 16655372283408603 T^{15} + 137163094019680348 T^{16} - 16655372283408603 p T^{17} + 2115995875564849 p^{2} T^{18} - 241106926237677 p^{3} T^{19} + 28777635020423 p^{4} T^{20} - 3053216330899 p^{5} T^{21} + 340076853532 p^{6} T^{22} - 33134645582 p^{7} T^{23} + 3400086161 p^{8} T^{24} - 297150828 p^{9} T^{25} + 27459612 p^{10} T^{26} - 2062213 p^{11} T^{27} + 164697 p^{12} T^{28} - 9731 p^{13} T^{29} + 623 p^{14} T^{30} - 23 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 67 | \( 1 - 22 T + 501 T^{2} - 6447 T^{3} + 90397 T^{4} - 897211 T^{5} + 11103847 T^{6} - 105422090 T^{7} + 1265907613 T^{8} - 11337838128 T^{9} + 123146992079 T^{10} - 997535874381 T^{11} + 10143521293443 T^{12} - 78621571092433 T^{13} + 783630161714741 T^{14} - 5897580593587028 T^{15} + 55883270158319620 T^{16} - 5897580593587028 p T^{17} + 783630161714741 p^{2} T^{18} - 78621571092433 p^{3} T^{19} + 10143521293443 p^{4} T^{20} - 997535874381 p^{5} T^{21} + 123146992079 p^{6} T^{22} - 11337838128 p^{7} T^{23} + 1265907613 p^{8} T^{24} - 105422090 p^{9} T^{25} + 11103847 p^{10} T^{26} - 897211 p^{11} T^{27} + 90397 p^{12} T^{28} - 6447 p^{13} T^{29} + 501 p^{14} T^{30} - 22 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 71 | \( 1 + 10 T + 348 T^{2} + 3306 T^{3} + 79475 T^{4} + 704716 T^{5} + 13269974 T^{6} + 112792963 T^{7} + 1810263908 T^{8} + 14555945407 T^{9} + 207139838222 T^{10} + 1584359881707 T^{11} + 20430446607892 T^{12} + 147793105273060 T^{13} + 1759580852292030 T^{14} + 12008007115543542 T^{15} + 133043632605308137 T^{16} + 12008007115543542 p T^{17} + 1759580852292030 p^{2} T^{18} + 147793105273060 p^{3} T^{19} + 20430446607892 p^{4} T^{20} + 1584359881707 p^{5} T^{21} + 207139838222 p^{6} T^{22} + 14555945407 p^{7} T^{23} + 1810263908 p^{8} T^{24} + 112792963 p^{9} T^{25} + 13269974 p^{10} T^{26} + 704716 p^{11} T^{27} + 79475 p^{12} T^{28} + 3306 p^{13} T^{29} + 348 p^{14} T^{30} + 10 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 73 | \( 1 - 16 T + 9 p T^{2} - 8691 T^{3} + 193935 T^{4} - 2148045 T^{5} + 33995389 T^{6} - 313704285 T^{7} + 3864817095 T^{8} - 28416856962 T^{9} + 279048539417 T^{10} - 1324790621337 T^{11} + 9344920298771 T^{12} + 29861440907009 T^{13} - 425662097598134 T^{14} + 138319727024895 p T^{15} - 68988484687694674 T^{16} + 138319727024895 p^{2} T^{17} - 425662097598134 p^{2} T^{18} + 29861440907009 p^{3} T^{19} + 9344920298771 p^{4} T^{20} - 1324790621337 p^{5} T^{21} + 279048539417 p^{6} T^{22} - 28416856962 p^{7} T^{23} + 3864817095 p^{8} T^{24} - 313704285 p^{9} T^{25} + 33995389 p^{10} T^{26} - 2148045 p^{11} T^{27} + 193935 p^{12} T^{28} - 8691 p^{13} T^{29} + 9 p^{15} T^{30} - 16 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 79 | \( 1 - 37 T + 1293 T^{2} - 30205 T^{3} + 659418 T^{4} - 11821632 T^{5} + 200229184 T^{6} - 2987108633 T^{7} + 42498417027 T^{8} - 550360270237 T^{9} + 6842422501064 T^{10} - 78818982243014 T^{11} + 875542846416182 T^{12} - 9101674831788723 T^{13} + 91493489547618347 T^{14} - 865201334798351465 T^{15} + 7922241862830505496 T^{16} - 865201334798351465 p T^{17} + 91493489547618347 p^{2} T^{18} - 9101674831788723 p^{3} T^{19} + 875542846416182 p^{4} T^{20} - 78818982243014 p^{5} T^{21} + 6842422501064 p^{6} T^{22} - 550360270237 p^{7} T^{23} + 42498417027 p^{8} T^{24} - 2987108633 p^{9} T^{25} + 200229184 p^{10} T^{26} - 11821632 p^{11} T^{27} + 659418 p^{12} T^{28} - 30205 p^{13} T^{29} + 1293 p^{14} T^{30} - 37 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 83 | \( 1 + 33 T + 1122 T^{2} + 24494 T^{3} + 511386 T^{4} + 8622810 T^{5} + 138526414 T^{6} + 1949218058 T^{7} + 26348423747 T^{8} + 325157069944 T^{9} + 3892530023484 T^{10} + 43563085621070 T^{11} + 475900306593478 T^{12} + 4916499499128146 T^{13} + 49636759814357764 T^{14} + 475513781064524147 T^{15} + 4446561469434356760 T^{16} + 475513781064524147 p T^{17} + 49636759814357764 p^{2} T^{18} + 4916499499128146 p^{3} T^{19} + 475900306593478 p^{4} T^{20} + 43563085621070 p^{5} T^{21} + 3892530023484 p^{6} T^{22} + 325157069944 p^{7} T^{23} + 26348423747 p^{8} T^{24} + 1949218058 p^{9} T^{25} + 138526414 p^{10} T^{26} + 8622810 p^{11} T^{27} + 511386 p^{12} T^{28} + 24494 p^{13} T^{29} + 1122 p^{14} T^{30} + 33 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 89 | \( 1 - 3 T + 912 T^{2} - 3691 T^{3} + 403650 T^{4} - 22530 p T^{5} + 116248542 T^{6} - 662095412 T^{7} + 24600752616 T^{8} - 152253821721 T^{9} + 4085470877920 T^{10} - 26287156415963 T^{11} + 6224044042544 p T^{12} - 3563810505243158 T^{13} + 62861306538071442 T^{14} - 389212626420763073 T^{15} + 6056913619349440659 T^{16} - 389212626420763073 p T^{17} + 62861306538071442 p^{2} T^{18} - 3563810505243158 p^{3} T^{19} + 6224044042544 p^{5} T^{20} - 26287156415963 p^{5} T^{21} + 4085470877920 p^{6} T^{22} - 152253821721 p^{7} T^{23} + 24600752616 p^{8} T^{24} - 662095412 p^{9} T^{25} + 116248542 p^{10} T^{26} - 22530 p^{12} T^{27} + 403650 p^{12} T^{28} - 3691 p^{13} T^{29} + 912 p^{14} T^{30} - 3 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 97 | \( 1 + 3 T + 627 T^{2} + 2464 T^{3} + 205235 T^{4} + 966481 T^{5} + 46606109 T^{6} + 250233298 T^{7} + 8260841717 T^{8} + 48204496350 T^{9} + 1220378751821 T^{10} + 7404607701747 T^{11} + 156319166890829 T^{12} + 949668455511340 T^{13} + 183220594926915 p T^{14} + 105004232277145469 T^{15} + 1815235835119368212 T^{16} + 105004232277145469 p T^{17} + 183220594926915 p^{3} T^{18} + 949668455511340 p^{3} T^{19} + 156319166890829 p^{4} T^{20} + 7404607701747 p^{5} T^{21} + 1220378751821 p^{6} T^{22} + 48204496350 p^{7} T^{23} + 8260841717 p^{8} T^{24} + 250233298 p^{9} T^{25} + 46606109 p^{10} T^{26} + 966481 p^{11} T^{27} + 205235 p^{12} T^{28} + 2464 p^{13} T^{29} + 627 p^{14} T^{30} + 3 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.69746801095137232380287201764, −1.65478834487993602893960562032, −1.59509451168848813044762977077, −1.57922326619367715761519876579, −1.57358768942625998052020276196, −1.50053338773089550767179249955, −1.47476673654370517906742600809, −1.37587523779576066195055164579, −1.31044952289957974845018307431, −1.05150671704992146019344333829, −1.00865231182213429786280207463, −0.965802653892242257301131958601, −0.824094314028197820386918929924, −0.78594902533664422849998759802, −0.76927225156894538180239553773, −0.75593312673786522597140826763, −0.62781289514621334805410695787, −0.59865446866368116148643464740, −0.50024492459898695721470853971, −0.49174567869349305351763270139, −0.46473424274636719178204327369, −0.40597830867825580303218179224, −0.26622219493460431711268732020, −0.20818728410858311529583223440, −0.07878969983749651164462390856, 0.07878969983749651164462390856, 0.20818728410858311529583223440, 0.26622219493460431711268732020, 0.40597830867825580303218179224, 0.46473424274636719178204327369, 0.49174567869349305351763270139, 0.50024492459898695721470853971, 0.59865446866368116148643464740, 0.62781289514621334805410695787, 0.75593312673786522597140826763, 0.76927225156894538180239553773, 0.78594902533664422849998759802, 0.824094314028197820386918929924, 0.965802653892242257301131958601, 1.00865231182213429786280207463, 1.05150671704992146019344333829, 1.31044952289957974845018307431, 1.37587523779576066195055164579, 1.47476673654370517906742600809, 1.50053338773089550767179249955, 1.57358768942625998052020276196, 1.57922326619367715761519876579, 1.59509451168848813044762977077, 1.65478834487993602893960562032, 1.69746801095137232380287201764
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.