Properties

Degree 104
Conductor $ 3^{52} \cdot 7^{52} \cdot 383^{52} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 3·2-s − 52·3-s − 17·4-s − 7·5-s − 156·6-s + 52·7-s − 54·8-s + 1.37e3·9-s − 21·10-s + 9·11-s + 884·12-s + 44·13-s + 156·14-s + 364·15-s + 149·16-s − 6·17-s + 4.13e3·18-s + 7·19-s + 119·20-s − 2.70e3·21-s + 27·22-s − 4·23-s + 2.80e3·24-s − 64·25-s + 132·26-s − 2.48e4·27-s − 884·28-s + ⋯
L(s)  = 1  + 2.12·2-s − 30.0·3-s − 8.5·4-s − 3.13·5-s − 63.6·6-s + 19.6·7-s − 19.0·8-s + 459.·9-s − 6.64·10-s + 2.71·11-s + 255.·12-s + 12.2·13-s + 41.6·14-s + 93.9·15-s + 37.2·16-s − 1.45·17-s + 974.·18-s + 1.60·19-s + 26.6·20-s − 590.·21-s + 5.75·22-s − 0.834·23-s + 573.·24-s − 12.7·25-s + 25.8·26-s − 4.77e3·27-s − 167.·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{52} \cdot 7^{52} \cdot 383^{52}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{52} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{52} \cdot 7^{52} \cdot 383^{52}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{52} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(104\)
\( N \)  =  \(3^{52} \cdot 7^{52} \cdot 383^{52}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{8043} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  0
Selberg data  =  $(104,\ 3^{52} \cdot 7^{52} \cdot 383^{52} ,\ ( \ : [1/2]^{52} ),\ 1 )$
$L(1)$  $\approx$  $2569.273410$
$L(\frac12)$  $\approx$  $2569.273410$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{3,\;7,\;383\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 104. If $p \in \{3,\;7,\;383\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 103.
$p$$F_p$
bad3 \( ( 1 + T )^{52} \)
7 \( ( 1 - T )^{52} \)
383 \( ( 1 + T )^{52} \)
good2 \( 1 - 3 T + 13 p T^{2} - 75 T^{3} + 89 p^{2} T^{4} - 973 T^{5} + 425 p^{3} T^{6} - 8733 T^{7} + 25305 T^{8} - 60983 T^{9} + 38933 p^{2} T^{10} - 353171 T^{11} + 822823 T^{12} - 1765423 T^{13} + 3832703 T^{14} - 7827953 T^{15} + 16056537 T^{16} - 15701775 p T^{17} + 61452493 T^{18} - 115707441 T^{19} + 217571365 T^{20} - 99048669 p^{2} T^{21} + 359928551 p T^{22} - 636353523 p T^{23} + 561089189 p^{2} T^{24} - 1932654571 p T^{25} + 6639674195 T^{26} - 11170554545 T^{27} + 4686869703 p^{2} T^{28} - 7721474299 p^{2} T^{29} + 1586656231 p^{5} T^{30} - 82082276819 T^{31} + 66225658875 p T^{32} - 105250970455 p T^{33} + 334028078427 T^{34} - 261339335545 p T^{35} + 816844721153 T^{36} - 630046927717 p T^{37} + 970949803101 p T^{38} - 2956359527141 T^{39} + 4497112461523 T^{40} - 1690553721035 p^{2} T^{41} + 10161376689075 T^{42} - 7550418145233 p T^{43} + 22428389173955 T^{44} - 16477847573329 p T^{45} + 48398644948457 T^{46} - 1098995948047 p^{6} T^{47} + 6385248285313 p^{4} T^{48} - 2294815109771 p^{6} T^{49} + 52756718456419 p^{2} T^{50} - 18757463894785 p^{4} T^{51} + 13331526826765 p^{5} T^{52} - 18757463894785 p^{5} T^{53} + 52756718456419 p^{4} T^{54} - 2294815109771 p^{9} T^{55} + 6385248285313 p^{8} T^{56} - 1098995948047 p^{11} T^{57} + 48398644948457 p^{6} T^{58} - 16477847573329 p^{8} T^{59} + 22428389173955 p^{8} T^{60} - 7550418145233 p^{10} T^{61} + 10161376689075 p^{10} T^{62} - 1690553721035 p^{13} T^{63} + 4497112461523 p^{12} T^{64} - 2956359527141 p^{13} T^{65} + 970949803101 p^{15} T^{66} - 630046927717 p^{16} T^{67} + 816844721153 p^{16} T^{68} - 261339335545 p^{18} T^{69} + 334028078427 p^{18} T^{70} - 105250970455 p^{20} T^{71} + 66225658875 p^{21} T^{72} - 82082276819 p^{21} T^{73} + 1586656231 p^{27} T^{74} - 7721474299 p^{25} T^{75} + 4686869703 p^{26} T^{76} - 11170554545 p^{25} T^{77} + 6639674195 p^{26} T^{78} - 1932654571 p^{28} T^{79} + 561089189 p^{30} T^{80} - 636353523 p^{30} T^{81} + 359928551 p^{31} T^{82} - 99048669 p^{33} T^{83} + 217571365 p^{32} T^{84} - 115707441 p^{33} T^{85} + 61452493 p^{34} T^{86} - 15701775 p^{36} T^{87} + 16056537 p^{36} T^{88} - 7827953 p^{37} T^{89} + 3832703 p^{38} T^{90} - 1765423 p^{39} T^{91} + 822823 p^{40} T^{92} - 353171 p^{41} T^{93} + 38933 p^{44} T^{94} - 60983 p^{43} T^{95} + 25305 p^{44} T^{96} - 8733 p^{45} T^{97} + 425 p^{49} T^{98} - 973 p^{47} T^{99} + 89 p^{50} T^{100} - 75 p^{49} T^{101} + 13 p^{51} T^{102} - 3 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
5 \( 1 + 7 T + 113 T^{2} + 664 T^{3} + 1222 p T^{4} + 6243 p T^{5} + 42706 p T^{6} + 972331 T^{7} + 5476932 T^{8} + 22645992 T^{9} + 110786118 T^{10} + 84394261 p T^{11} + 1851989051 T^{12} + 6572503111 T^{13} + 26448123926 T^{14} + 88260749243 T^{15} + 330749074981 T^{16} + 1045671256914 T^{17} + 3691986088967 T^{18} + 11126252150509 T^{19} + 37349848731262 T^{20} + 21568767336639 p T^{21} + 13868571897796 p^{2} T^{22} + 963344289040444 T^{23} + 2983978388228639 T^{24} + 8008159706342594 T^{25} + 24019609143144113 T^{26} + 62466656290683767 T^{27} + 182200806923996778 T^{28} + 460498016449016156 T^{29} + 1310906106052914949 T^{30} + 3228129172418446864 T^{31} + 8996361066763510371 T^{32} + 21633569040970041504 T^{33} + 59173491264013458033 T^{34} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( T^{35} + 2996529979750456753 p^{3} T^{36} + \)\(86\!\cdots\!33\)\( T^{37} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( T^{38} + \)\(51\!\cdots\!08\)\( T^{39} + \)\(13\!\cdots\!18\)\( T^{40} + \)\(60\!\cdots\!88\)\( p T^{41} + \)\(77\!\cdots\!59\)\( T^{42} + \)\(17\!\cdots\!83\)\( T^{43} + \)\(43\!\cdots\!03\)\( T^{44} + \)\(93\!\cdots\!06\)\( T^{45} + \)\(47\!\cdots\!83\)\( p T^{46} + \)\(50\!\cdots\!87\)\( T^{47} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( T^{48} + \)\(26\!\cdots\!08\)\( T^{49} + \)\(65\!\cdots\!91\)\( T^{50} + \)\(54\!\cdots\!54\)\( p^{2} T^{51} + \)\(32\!\cdots\!54\)\( T^{52} + \)\(54\!\cdots\!54\)\( p^{3} T^{53} + \)\(65\!\cdots\!91\)\( p^{2} T^{54} + \)\(26\!\cdots\!08\)\( p^{3} T^{55} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( p^{4} T^{56} + \)\(50\!\cdots\!87\)\( p^{5} T^{57} + \)\(47\!\cdots\!83\)\( p^{7} T^{58} + \)\(93\!\cdots\!06\)\( p^{7} T^{59} + \)\(43\!\cdots\!03\)\( p^{8} T^{60} + \)\(17\!\cdots\!83\)\( p^{9} T^{61} + \)\(77\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{62} + \)\(60\!\cdots\!88\)\( p^{12} T^{63} + \)\(13\!\cdots\!18\)\( p^{12} T^{64} + \)\(51\!\cdots\!08\)\( p^{13} T^{65} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( p^{14} T^{66} + \)\(86\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{67} + 2996529979750456753 p^{19} T^{68} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( p^{17} T^{69} + 59173491264013458033 p^{18} T^{70} + 21633569040970041504 p^{19} T^{71} + 8996361066763510371 p^{20} T^{72} + 3228129172418446864 p^{21} T^{73} + 1310906106052914949 p^{22} T^{74} + 460498016449016156 p^{23} T^{75} + 182200806923996778 p^{24} T^{76} + 62466656290683767 p^{25} T^{77} + 24019609143144113 p^{26} T^{78} + 8008159706342594 p^{27} T^{79} + 2983978388228639 p^{28} T^{80} + 963344289040444 p^{29} T^{81} + 13868571897796 p^{32} T^{82} + 21568767336639 p^{32} T^{83} + 37349848731262 p^{32} T^{84} + 11126252150509 p^{33} T^{85} + 3691986088967 p^{34} T^{86} + 1045671256914 p^{35} T^{87} + 330749074981 p^{36} T^{88} + 88260749243 p^{37} T^{89} + 26448123926 p^{38} T^{90} + 6572503111 p^{39} T^{91} + 1851989051 p^{40} T^{92} + 84394261 p^{42} T^{93} + 110786118 p^{42} T^{94} + 22645992 p^{43} T^{95} + 5476932 p^{44} T^{96} + 972331 p^{45} T^{97} + 42706 p^{47} T^{98} + 6243 p^{48} T^{99} + 1222 p^{49} T^{100} + 664 p^{49} T^{101} + 113 p^{50} T^{102} + 7 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
11 \( 1 - 9 T + 272 T^{2} - 2127 T^{3} + 36107 T^{4} - 251689 T^{5} + 3147322 T^{6} - 19920437 T^{7} + 18542397 p T^{8} - 1188548926 T^{9} + 10532892423 T^{10} - 57116046661 T^{11} + 453120573970 T^{12} - 2305926738602 T^{13} + 16748935115435 T^{14} - 80533390429232 T^{15} + 49467681613622 p T^{16} - 2485616013031490 T^{17} + 15808108669807467 T^{18} - 6264335753542365 p T^{19} + 416224901301613443 T^{20} - 1737715024143332315 T^{21} + 10039632711654150695 T^{22} - 40267719675617306988 T^{23} + \)\(22\!\cdots\!91\)\( T^{24} - 7144744646058630341 p^{2} T^{25} + \)\(46\!\cdots\!26\)\( T^{26} - \)\(17\!\cdots\!77\)\( T^{27} + \)\(81\!\cdots\!64\)\( p T^{28} - \)\(32\!\cdots\!18\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!59\)\( T^{30} - \)\(57\!\cdots\!69\)\( T^{31} + \)\(28\!\cdots\!45\)\( T^{32} - \)\(96\!\cdots\!74\)\( T^{33} + \)\(46\!\cdots\!98\)\( T^{34} - \)\(15\!\cdots\!64\)\( T^{35} + \)\(72\!\cdots\!63\)\( T^{36} - \)\(23\!\cdots\!50\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!35\)\( T^{38} - \)\(33\!\cdots\!56\)\( T^{39} + \)\(15\!\cdots\!98\)\( T^{40} - \)\(42\!\cdots\!15\)\( p T^{41} + \)\(20\!\cdots\!69\)\( T^{42} - \)\(62\!\cdots\!93\)\( T^{43} + \)\(24\!\cdots\!68\)\( p T^{44} - \)\(72\!\cdots\!57\)\( p T^{45} + \)\(34\!\cdots\!68\)\( T^{46} - \)\(98\!\cdots\!15\)\( T^{47} + \)\(41\!\cdots\!32\)\( T^{48} - \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{49} + \)\(48\!\cdots\!59\)\( T^{50} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{51} + \)\(54\!\cdots\!66\)\( T^{52} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( p T^{53} + \)\(48\!\cdots\!59\)\( p^{2} T^{54} - \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{55} + \)\(41\!\cdots\!32\)\( p^{4} T^{56} - \)\(98\!\cdots\!15\)\( p^{5} T^{57} + \)\(34\!\cdots\!68\)\( p^{6} T^{58} - \)\(72\!\cdots\!57\)\( p^{8} T^{59} + \)\(24\!\cdots\!68\)\( p^{9} T^{60} - \)\(62\!\cdots\!93\)\( p^{9} T^{61} + \)\(20\!\cdots\!69\)\( p^{10} T^{62} - \)\(42\!\cdots\!15\)\( p^{12} T^{63} + \)\(15\!\cdots\!98\)\( p^{12} T^{64} - \)\(33\!\cdots\!56\)\( p^{13} T^{65} + \)\(10\!\cdots\!35\)\( p^{14} T^{66} - \)\(23\!\cdots\!50\)\( p^{15} T^{67} + \)\(72\!\cdots\!63\)\( p^{16} T^{68} - \)\(15\!\cdots\!64\)\( p^{17} T^{69} + \)\(46\!\cdots\!98\)\( p^{18} T^{70} - \)\(96\!\cdots\!74\)\( p^{19} T^{71} + \)\(28\!\cdots\!45\)\( p^{20} T^{72} - \)\(57\!\cdots\!69\)\( p^{21} T^{73} + \)\(16\!\cdots\!59\)\( p^{22} T^{74} - \)\(32\!\cdots\!18\)\( p^{23} T^{75} + \)\(81\!\cdots\!64\)\( p^{25} T^{76} - \)\(17\!\cdots\!77\)\( p^{25} T^{77} + \)\(46\!\cdots\!26\)\( p^{26} T^{78} - 7144744646058630341 p^{29} T^{79} + \)\(22\!\cdots\!91\)\( p^{28} T^{80} - 40267719675617306988 p^{29} T^{81} + 10039632711654150695 p^{30} T^{82} - 1737715024143332315 p^{31} T^{83} + 416224901301613443 p^{32} T^{84} - 6264335753542365 p^{34} T^{85} + 15808108669807467 p^{34} T^{86} - 2485616013031490 p^{35} T^{87} + 49467681613622 p^{37} T^{88} - 80533390429232 p^{37} T^{89} + 16748935115435 p^{38} T^{90} - 2305926738602 p^{39} T^{91} + 453120573970 p^{40} T^{92} - 57116046661 p^{41} T^{93} + 10532892423 p^{42} T^{94} - 1188548926 p^{43} T^{95} + 18542397 p^{45} T^{96} - 19920437 p^{45} T^{97} + 3147322 p^{46} T^{98} - 251689 p^{47} T^{99} + 36107 p^{48} T^{100} - 2127 p^{49} T^{101} + 272 p^{50} T^{102} - 9 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
13 \( 1 - 44 T + 1242 T^{2} - 26202 T^{3} + 457248 T^{4} - 6878050 T^{5} + 92021446 T^{6} - 1115769295 T^{7} + 12444211515 T^{8} - 129016033794 T^{9} + 1254091267089 T^{10} - 11505733140923 T^{11} + 100187109962463 T^{12} - 831751689249807 T^{13} + 6609065276959875 T^{14} - 50427887798610461 T^{15} + 370524095942869358 T^{16} - 2628095522262293497 T^{17} + 18033497372935269565 T^{18} - 9225964313833607917 p T^{19} + \)\(77\!\cdots\!69\)\( T^{20} - \)\(48\!\cdots\!39\)\( T^{21} + \)\(29\!\cdots\!28\)\( T^{22} - \)\(17\!\cdots\!22\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!61\)\( T^{24} - \)\(58\!\cdots\!06\)\( T^{25} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( T^{26} - \)\(17\!\cdots\!86\)\( T^{27} + \)\(94\!\cdots\!50\)\( T^{28} - \)\(49\!\cdots\!72\)\( T^{29} + \)\(25\!\cdots\!28\)\( T^{30} - \)\(12\!\cdots\!98\)\( T^{31} + \)\(62\!\cdots\!64\)\( T^{32} - \)\(30\!\cdots\!78\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( T^{34} - \)\(66\!\cdots\!68\)\( T^{35} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( T^{36} - \)\(13\!\cdots\!13\)\( T^{37} + \)\(61\!\cdots\!06\)\( T^{38} - \)\(27\!\cdots\!46\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!66\)\( T^{40} - \)\(49\!\cdots\!03\)\( T^{41} + \)\(20\!\cdots\!20\)\( T^{42} - \)\(85\!\cdots\!44\)\( T^{43} + \)\(34\!\cdots\!83\)\( T^{44} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{45} + \)\(54\!\cdots\!64\)\( T^{46} - \)\(21\!\cdots\!66\)\( T^{47} + \)\(81\!\cdots\!95\)\( T^{48} - \)\(31\!\cdots\!82\)\( T^{49} + \)\(11\!\cdots\!36\)\( T^{50} - \)\(42\!\cdots\!55\)\( T^{51} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{52} - \)\(42\!\cdots\!55\)\( p T^{53} + \)\(11\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{54} - \)\(31\!\cdots\!82\)\( p^{3} T^{55} + \)\(81\!\cdots\!95\)\( p^{4} T^{56} - \)\(21\!\cdots\!66\)\( p^{5} T^{57} + \)\(54\!\cdots\!64\)\( p^{6} T^{58} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{7} T^{59} + \)\(34\!\cdots\!83\)\( p^{8} T^{60} - \)\(85\!\cdots\!44\)\( p^{9} T^{61} + \)\(20\!\cdots\!20\)\( p^{10} T^{62} - \)\(49\!\cdots\!03\)\( p^{11} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!66\)\( p^{12} T^{64} - \)\(27\!\cdots\!46\)\( p^{13} T^{65} + \)\(61\!\cdots\!06\)\( p^{14} T^{66} - \)\(13\!\cdots\!13\)\( p^{15} T^{67} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( p^{16} T^{68} - \)\(66\!\cdots\!68\)\( p^{17} T^{69} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( p^{18} T^{70} - \)\(30\!\cdots\!78\)\( p^{19} T^{71} + \)\(62\!\cdots\!64\)\( p^{20} T^{72} - \)\(12\!\cdots\!98\)\( p^{21} T^{73} + \)\(25\!\cdots\!28\)\( p^{22} T^{74} - \)\(49\!\cdots\!72\)\( p^{23} T^{75} + \)\(94\!\cdots\!50\)\( p^{24} T^{76} - \)\(17\!\cdots\!86\)\( p^{25} T^{77} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( p^{26} T^{78} - \)\(58\!\cdots\!06\)\( p^{27} T^{79} + \)\(10\!\cdots\!61\)\( p^{28} T^{80} - \)\(17\!\cdots\!22\)\( p^{29} T^{81} + \)\(29\!\cdots\!28\)\( p^{30} T^{82} - \)\(48\!\cdots\!39\)\( p^{31} T^{83} + \)\(77\!\cdots\!69\)\( p^{32} T^{84} - 9225964313833607917 p^{34} T^{85} + 18033497372935269565 p^{34} T^{86} - 2628095522262293497 p^{35} T^{87} + 370524095942869358 p^{36} T^{88} - 50427887798610461 p^{37} T^{89} + 6609065276959875 p^{38} T^{90} - 831751689249807 p^{39} T^{91} + 100187109962463 p^{40} T^{92} - 11505733140923 p^{41} T^{93} + 1254091267089 p^{42} T^{94} - 129016033794 p^{43} T^{95} + 12444211515 p^{44} T^{96} - 1115769295 p^{45} T^{97} + 92021446 p^{46} T^{98} - 6878050 p^{47} T^{99} + 457248 p^{48} T^{100} - 26202 p^{49} T^{101} + 1242 p^{50} T^{102} - 44 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
17 \( 1 + 6 T + 414 T^{2} + 2392 T^{3} + 85223 T^{4} + 477749 T^{5} + 11658353 T^{6} + 63826060 T^{7} + 1194955907 T^{8} + 6424204438 T^{9} + 98087136938 T^{10} + 520129423723 T^{11} + 6728882058948 T^{12} + 35312416523488 T^{13} + 397444177438614 T^{14} + 2068886517528783 T^{15} + 20661038855175961 T^{16} + 106819191958294620 T^{17} + 961335236810144101 T^{18} + 290498522574706415 p T^{19} + 40567451037550133840 T^{20} + 12177159585715639704 p T^{21} + \)\(15\!\cdots\!77\)\( T^{22} + \)\(79\!\cdots\!44\)\( T^{23} + \)\(32\!\cdots\!12\)\( p T^{24} + \)\(28\!\cdots\!26\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!82\)\( T^{26} + \)\(92\!\cdots\!09\)\( T^{27} + \)\(58\!\cdots\!78\)\( T^{28} + \)\(28\!\cdots\!56\)\( T^{29} + \)\(17\!\cdots\!22\)\( T^{30} + \)\(82\!\cdots\!67\)\( T^{31} + \)\(47\!\cdots\!75\)\( T^{32} + \)\(22\!\cdots\!13\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!38\)\( T^{34} + \)\(58\!\cdots\!82\)\( T^{35} + \)\(30\!\cdots\!16\)\( T^{36} + \)\(14\!\cdots\!91\)\( T^{37} + \)\(72\!\cdots\!64\)\( T^{38} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( T^{39} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( T^{40} + \)\(73\!\cdots\!93\)\( T^{41} + \)\(35\!\cdots\!53\)\( T^{42} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( T^{43} + \)\(73\!\cdots\!42\)\( T^{44} + \)\(31\!\cdots\!81\)\( T^{45} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( T^{46} + \)\(61\!\cdots\!13\)\( T^{47} + \)\(27\!\cdots\!51\)\( T^{48} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{49} + \)\(49\!\cdots\!37\)\( T^{50} + \)\(20\!\cdots\!03\)\( T^{51} + \)\(85\!\cdots\!94\)\( T^{52} + \)\(20\!\cdots\!03\)\( p T^{53} + \)\(49\!\cdots\!37\)\( p^{2} T^{54} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{55} + \)\(27\!\cdots\!51\)\( p^{4} T^{56} + \)\(61\!\cdots\!13\)\( p^{5} T^{57} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( p^{6} T^{58} + \)\(31\!\cdots\!81\)\( p^{7} T^{59} + \)\(73\!\cdots\!42\)\( p^{8} T^{60} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( p^{9} T^{61} + \)\(35\!\cdots\!53\)\( p^{10} T^{62} + \)\(73\!\cdots\!93\)\( p^{11} T^{63} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( p^{12} T^{64} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( p^{13} T^{65} + \)\(72\!\cdots\!64\)\( p^{14} T^{66} + \)\(14\!\cdots\!91\)\( p^{15} T^{67} + \)\(30\!\cdots\!16\)\( p^{16} T^{68} + \)\(58\!\cdots\!82\)\( p^{17} T^{69} + \)\(12\!\cdots\!38\)\( p^{18} T^{70} + \)\(22\!\cdots\!13\)\( p^{19} T^{71} + \)\(47\!\cdots\!75\)\( p^{20} T^{72} + \)\(82\!\cdots\!67\)\( p^{21} T^{73} + \)\(17\!\cdots\!22\)\( p^{22} T^{74} + \)\(28\!\cdots\!56\)\( p^{23} T^{75} + \)\(58\!\cdots\!78\)\( p^{24} T^{76} + \)\(92\!\cdots\!09\)\( p^{25} T^{77} + \)\(18\!\cdots\!82\)\( p^{26} T^{78} + \)\(28\!\cdots\!26\)\( p^{27} T^{79} + \)\(32\!\cdots\!12\)\( p^{29} T^{80} + \)\(79\!\cdots\!44\)\( p^{29} T^{81} + \)\(15\!\cdots\!77\)\( p^{30} T^{82} + 12177159585715639704 p^{32} T^{83} + 40567451037550133840 p^{32} T^{84} + 290498522574706415 p^{34} T^{85} + 961335236810144101 p^{34} T^{86} + 106819191958294620 p^{35} T^{87} + 20661038855175961 p^{36} T^{88} + 2068886517528783 p^{37} T^{89} + 397444177438614 p^{38} T^{90} + 35312416523488 p^{39} T^{91} + 6728882058948 p^{40} T^{92} + 520129423723 p^{41} T^{93} + 98087136938 p^{42} T^{94} + 6424204438 p^{43} T^{95} + 1194955907 p^{44} T^{96} + 63826060 p^{45} T^{97} + 11658353 p^{46} T^{98} + 477749 p^{47} T^{99} + 85223 p^{48} T^{100} + 2392 p^{49} T^{101} + 414 p^{50} T^{102} + 6 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
19 \( 1 - 7 T + 452 T^{2} - 2998 T^{3} + 102268 T^{4} - 645059 T^{5} + 15462339 T^{6} - 93047703 T^{7} + 1759284433 T^{8} - 10129352018 T^{9} + 160805189034 T^{10} - 888072648668 T^{11} + 12307172320323 T^{12} - 65334662335047 T^{13} + 811569143111740 T^{14} - 4148902250776685 T^{15} + 47082781785604557 T^{16} - 232132663229163386 T^{17} + 2441449609262768750 T^{18} - 11622552972665225395 T^{19} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{20} - \)\(52\!\cdots\!67\)\( T^{21} + \)\(49\!\cdots\!87\)\( T^{22} - \)\(21\!\cdots\!34\)\( T^{23} + \)\(19\!\cdots\!16\)\( T^{24} - \)\(83\!\cdots\!90\)\( T^{25} + \)\(71\!\cdots\!40\)\( T^{26} - \)\(29\!\cdots\!68\)\( T^{27} + \)\(24\!\cdots\!59\)\( T^{28} - \)\(98\!\cdots\!06\)\( T^{29} + \)\(78\!\cdots\!90\)\( T^{30} - \)\(30\!\cdots\!17\)\( T^{31} + \)\(23\!\cdots\!25\)\( T^{32} - \)\(89\!\cdots\!46\)\( T^{33} + \)\(67\!\cdots\!97\)\( T^{34} - \)\(24\!\cdots\!36\)\( T^{35} + \)\(18\!\cdots\!51\)\( T^{36} - \)\(64\!\cdots\!29\)\( T^{37} + \)\(46\!\cdots\!98\)\( T^{38} - \)\(16\!\cdots\!28\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( T^{40} - \)\(38\!\cdots\!67\)\( T^{41} + \)\(27\!\cdots\!28\)\( T^{42} - \)\(87\!\cdots\!52\)\( T^{43} + \)\(61\!\cdots\!78\)\( T^{44} - \)\(19\!\cdots\!91\)\( T^{45} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( T^{46} - \)\(40\!\cdots\!73\)\( T^{47} + \)\(27\!\cdots\!93\)\( T^{48} - \)\(82\!\cdots\!18\)\( T^{49} + \)\(55\!\cdots\!29\)\( T^{50} - \)\(16\!\cdots\!30\)\( T^{51} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( T^{52} - \)\(16\!\cdots\!30\)\( p T^{53} + \)\(55\!\cdots\!29\)\( p^{2} T^{54} - \)\(82\!\cdots\!18\)\( p^{3} T^{55} + \)\(27\!\cdots\!93\)\( p^{4} T^{56} - \)\(40\!\cdots\!73\)\( p^{5} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( p^{6} T^{58} - \)\(19\!\cdots\!91\)\( p^{7} T^{59} + \)\(61\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{60} - \)\(87\!\cdots\!52\)\( p^{9} T^{61} + \)\(27\!\cdots\!28\)\( p^{10} T^{62} - \)\(38\!\cdots\!67\)\( p^{11} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( p^{12} T^{64} - \)\(16\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{65} + \)\(46\!\cdots\!98\)\( p^{14} T^{66} - \)\(64\!\cdots\!29\)\( p^{15} T^{67} + \)\(18\!\cdots\!51\)\( p^{16} T^{68} - \)\(24\!\cdots\!36\)\( p^{17} T^{69} + \)\(67\!\cdots\!97\)\( p^{18} T^{70} - \)\(89\!\cdots\!46\)\( p^{19} T^{71} + \)\(23\!\cdots\!25\)\( p^{20} T^{72} - \)\(30\!\cdots\!17\)\( p^{21} T^{73} + \)\(78\!\cdots\!90\)\( p^{22} T^{74} - \)\(98\!\cdots\!06\)\( p^{23} T^{75} + \)\(24\!\cdots\!59\)\( p^{24} T^{76} - \)\(29\!\cdots\!68\)\( p^{25} T^{77} + \)\(71\!\cdots\!40\)\( p^{26} T^{78} - \)\(83\!\cdots\!90\)\( p^{27} T^{79} + \)\(19\!\cdots\!16\)\( p^{28} T^{80} - \)\(21\!\cdots\!34\)\( p^{29} T^{81} + \)\(49\!\cdots\!87\)\( p^{30} T^{82} - \)\(52\!\cdots\!67\)\( p^{31} T^{83} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{32} T^{84} - 11622552972665225395 p^{33} T^{85} + 2441449609262768750 p^{34} T^{86} - 232132663229163386 p^{35} T^{87} + 47082781785604557 p^{36} T^{88} - 4148902250776685 p^{37} T^{89} + 811569143111740 p^{38} T^{90} - 65334662335047 p^{39} T^{91} + 12307172320323 p^{40} T^{92} - 888072648668 p^{41} T^{93} + 160805189034 p^{42} T^{94} - 10129352018 p^{43} T^{95} + 1759284433 p^{44} T^{96} - 93047703 p^{45} T^{97} + 15462339 p^{46} T^{98} - 645059 p^{47} T^{99} + 102268 p^{48} T^{100} - 2998 p^{49} T^{101} + 452 p^{50} T^{102} - 7 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
23 \( 1 + 4 T + 491 T^{2} + 71 p T^{3} + 122279 T^{4} + 341865 T^{5} + 20661000 T^{6} + 49016087 T^{7} + 2667121506 T^{8} + 5420739399 T^{9} + 280505383378 T^{10} + 933230876 p^{2} T^{11} + 1087614116489 p T^{12} + 38603206989552 T^{13} + 1943468719693726 T^{14} + 2667992781849177 T^{15} + 134123286388937193 T^{16} + 166455349630022514 T^{17} + 8342821454168002464 T^{18} + 9522566107808230007 T^{19} + \)\(47\!\cdots\!47\)\( T^{20} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( T^{21} + \)\(24\!\cdots\!94\)\( T^{22} + \)\(25\!\cdots\!31\)\( T^{23} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( T^{24} + \)\(11\!\cdots\!99\)\( T^{25} + \)\(53\!\cdots\!37\)\( T^{26} + \)\(51\!\cdots\!57\)\( T^{27} + \)\(22\!\cdots\!63\)\( T^{28} + \)\(21\!\cdots\!33\)\( T^{29} + \)\(90\!\cdots\!63\)\( T^{30} + \)\(84\!\cdots\!63\)\( T^{31} + \)\(33\!\cdots\!14\)\( T^{32} + \)\(31\!\cdots\!10\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!37\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!71\)\( p T^{36} + \)\(38\!\cdots\!34\)\( T^{37} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( T^{38} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( T^{39} + \)\(39\!\cdots\!53\)\( T^{40} + \)\(37\!\cdots\!32\)\( T^{41} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{42} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( T^{43} + \)\(32\!\cdots\!30\)\( T^{44} + \)\(30\!\cdots\!41\)\( T^{45} + \)\(86\!\cdots\!65\)\( T^{46} + \)\(81\!\cdots\!82\)\( T^{47} + \)\(22\!\cdots\!55\)\( T^{48} + \)\(20\!\cdots\!69\)\( T^{49} + \)\(54\!\cdots\!20\)\( T^{50} + \)\(49\!\cdots\!35\)\( T^{51} + \)\(12\!\cdots\!54\)\( T^{52} + \)\(49\!\cdots\!35\)\( p T^{53} + \)\(54\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{54} + \)\(20\!\cdots\!69\)\( p^{3} T^{55} + \)\(22\!\cdots\!55\)\( p^{4} T^{56} + \)\(81\!\cdots\!82\)\( p^{5} T^{57} + \)\(86\!\cdots\!65\)\( p^{6} T^{58} + \)\(30\!\cdots\!41\)\( p^{7} T^{59} + \)\(32\!\cdots\!30\)\( p^{8} T^{60} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( p^{9} T^{61} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{10} T^{62} + \)\(37\!\cdots\!32\)\( p^{11} T^{63} + \)\(39\!\cdots\!53\)\( p^{12} T^{64} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( p^{13} T^{65} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( p^{14} T^{66} + \)\(38\!\cdots\!34\)\( p^{15} T^{67} + \)\(17\!\cdots\!71\)\( p^{17} T^{68} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( p^{17} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!37\)\( p^{18} T^{70} + \)\(31\!\cdots\!10\)\( p^{19} T^{71} + \)\(33\!\cdots\!14\)\( p^{20} T^{72} + \)\(84\!\cdots\!63\)\( p^{21} T^{73} + \)\(90\!\cdots\!63\)\( p^{22} T^{74} + \)\(21\!\cdots\!33\)\( p^{23} T^{75} + \)\(22\!\cdots\!63\)\( p^{24} T^{76} + \)\(51\!\cdots\!57\)\( p^{25} T^{77} + \)\(53\!\cdots\!37\)\( p^{26} T^{78} + \)\(11\!\cdots\!99\)\( p^{27} T^{79} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( p^{28} T^{80} + \)\(25\!\cdots\!31\)\( p^{29} T^{81} + \)\(24\!\cdots\!94\)\( p^{30} T^{82} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( p^{31} T^{83} + \)\(47\!\cdots\!47\)\( p^{32} T^{84} + 9522566107808230007 p^{33} T^{85} + 8342821454168002464 p^{34} T^{86} + 166455349630022514 p^{35} T^{87} + 134123286388937193 p^{36} T^{88} + 2667992781849177 p^{37} T^{89} + 1943468719693726 p^{38} T^{90} + 38603206989552 p^{39} T^{91} + 1087614116489 p^{41} T^{92} + 933230876 p^{43} T^{93} + 280505383378 p^{42} T^{94} + 5420739399 p^{43} T^{95} + 2667121506 p^{44} T^{96} + 49016087 p^{45} T^{97} + 20661000 p^{46} T^{98} + 341865 p^{47} T^{99} + 122279 p^{48} T^{100} + 71 p^{50} T^{101} + 491 p^{50} T^{102} + 4 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
29 \( 1 - 31 T + 1196 T^{2} - 27242 T^{3} + 640424 T^{4} - 11806584 T^{5} + 214207364 T^{6} - 3368916074 T^{7} + 51413346879 T^{8} - 712687200082 T^{9} + 9553764190043 T^{10} - 4114436803877 p T^{11} + 1441669974545738 T^{12} - 16478789167590758 T^{13} + 182541212903466146 T^{14} - 1932110945294116052 T^{15} + 19861041333865595085 T^{16} - \)\(19\!\cdots\!76\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!07\)\( T^{18} - \)\(17\!\cdots\!24\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!83\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!63\)\( T^{21} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( T^{22} - \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{23} + \)\(83\!\cdots\!94\)\( T^{24} - \)\(66\!\cdots\!26\)\( T^{25} + \)\(52\!\cdots\!79\)\( T^{26} - \)\(40\!\cdots\!48\)\( T^{27} + \)\(30\!\cdots\!56\)\( T^{28} - \)\(22\!\cdots\!89\)\( T^{29} + \)\(56\!\cdots\!36\)\( p T^{30} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{31} + \)\(81\!\cdots\!59\)\( T^{32} - \)\(56\!\cdots\!88\)\( T^{33} + \)\(38\!\cdots\!55\)\( T^{34} - \)\(25\!\cdots\!72\)\( T^{35} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( T^{36} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{37} + \)\(69\!\cdots\!11\)\( T^{38} - \)\(44\!\cdots\!91\)\( T^{39} + \)\(27\!\cdots\!27\)\( T^{40} - \)\(16\!\cdots\!17\)\( T^{41} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( T^{42} - \)\(61\!\cdots\!30\)\( T^{43} + \)\(36\!\cdots\!06\)\( T^{44} - \)\(21\!\cdots\!94\)\( T^{45} + \)\(12\!\cdots\!79\)\( T^{46} - \)\(71\!\cdots\!80\)\( T^{47} + \)\(40\!\cdots\!59\)\( T^{48} - \)\(22\!\cdots\!84\)\( T^{49} + \)\(12\!\cdots\!84\)\( T^{50} - \)\(68\!\cdots\!63\)\( T^{51} + \)\(37\!\cdots\!70\)\( T^{52} - \)\(68\!\cdots\!63\)\( p T^{53} + \)\(12\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{54} - \)\(22\!\cdots\!84\)\( p^{3} T^{55} + \)\(40\!\cdots\!59\)\( p^{4} T^{56} - \)\(71\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{57} + \)\(12\!\cdots\!79\)\( p^{6} T^{58} - \)\(21\!\cdots\!94\)\( p^{7} T^{59} + \)\(36\!\cdots\!06\)\( p^{8} T^{60} - \)\(61\!\cdots\!30\)\( p^{9} T^{61} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( p^{10} T^{62} - \)\(16\!\cdots\!17\)\( p^{11} T^{63} + \)\(27\!\cdots\!27\)\( p^{12} T^{64} - \)\(44\!\cdots\!91\)\( p^{13} T^{65} + \)\(69\!\cdots\!11\)\( p^{14} T^{66} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{67} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( p^{16} T^{68} - \)\(25\!\cdots\!72\)\( p^{17} T^{69} + \)\(38\!\cdots\!55\)\( p^{18} T^{70} - \)\(56\!\cdots\!88\)\( p^{19} T^{71} + \)\(81\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{72} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( p^{21} T^{73} + \)\(56\!\cdots\!36\)\( p^{23} T^{74} - \)\(22\!\cdots\!89\)\( p^{23} T^{75} + \)\(30\!\cdots\!56\)\( p^{24} T^{76} - \)\(40\!\cdots\!48\)\( p^{25} T^{77} + \)\(52\!\cdots\!79\)\( p^{26} T^{78} - \)\(66\!\cdots\!26\)\( p^{27} T^{79} + \)\(83\!\cdots\!94\)\( p^{28} T^{80} - \)\(10\!\cdots\!04\)\( p^{29} T^{81} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( p^{30} T^{82} - \)\(14\!\cdots\!63\)\( p^{31} T^{83} + \)\(15\!\cdots\!83\)\( p^{32} T^{84} - \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{33} T^{85} + \)\(18\!\cdots\!07\)\( p^{34} T^{86} - \)\(19\!\cdots\!76\)\( p^{35} T^{87} + 19861041333865595085 p^{36} T^{88} - 1932110945294116052 p^{37} T^{89} + 182541212903466146 p^{38} T^{90} - 16478789167590758 p^{39} T^{91} + 1441669974545738 p^{40} T^{92} - 4114436803877 p^{42} T^{93} + 9553764190043 p^{42} T^{94} - 712687200082 p^{43} T^{95} + 51413346879 p^{44} T^{96} - 3368916074 p^{45} T^{97} + 214207364 p^{46} T^{98} - 11806584 p^{47} T^{99} + 640424 p^{48} T^{100} - 27242 p^{49} T^{101} + 1196 p^{50} T^{102} - 31 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
31 \( 1 - 11 T + 849 T^{2} - 9479 T^{3} + 366844 T^{4} - 4090542 T^{5} + 107277051 T^{6} - 1180010987 T^{7} + 23819492480 T^{8} - 256160308735 T^{9} + 4272275582350 T^{10} - 44647543986430 T^{11} + 643317337293813 T^{12} - 6508078179582989 T^{13} + 83488271874534422 T^{14} - 815823170382756959 T^{15} + 9517285823784961859 T^{16} - 89742064963225611783 T^{17} + \)\(96\!\cdots\!25\)\( T^{18} - \)\(87\!\cdots\!65\)\( T^{19} + \)\(88\!\cdots\!34\)\( T^{20} - \)\(77\!\cdots\!33\)\( T^{21} + \)\(73\!\cdots\!32\)\( T^{22} - \)\(62\!\cdots\!16\)\( T^{23} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( p T^{24} - \)\(46\!\cdots\!83\)\( T^{25} + \)\(39\!\cdots\!15\)\( T^{26} - \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{27} + \)\(25\!\cdots\!26\)\( T^{28} - \)\(19\!\cdots\!28\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!04\)\( T^{30} - \)\(11\!\cdots\!77\)\( T^{31} + \)\(88\!\cdots\!83\)\( T^{32} - \)\(63\!\cdots\!92\)\( T^{33} + \)\(46\!\cdots\!41\)\( T^{34} - \)\(32\!\cdots\!28\)\( T^{35} + \)\(23\!\cdots\!39\)\( T^{36} - \)\(15\!\cdots\!01\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!13\)\( T^{38} - \)\(72\!\cdots\!76\)\( T^{39} + \)\(48\!\cdots\!34\)\( T^{40} - \)\(10\!\cdots\!62\)\( p T^{41} + \)\(20\!\cdots\!52\)\( T^{42} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{43} + \)\(79\!\cdots\!49\)\( T^{44} - \)\(48\!\cdots\!29\)\( T^{45} + \)\(29\!\cdots\!09\)\( T^{46} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( T^{47} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( T^{48} - \)\(61\!\cdots\!97\)\( T^{49} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( T^{50} - \)\(19\!\cdots\!32\)\( T^{51} + \)\(11\!\cdots\!66\)\( T^{52} - \)\(19\!\cdots\!32\)\( p T^{53} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( p^{2} T^{54} - \)\(61\!\cdots\!97\)\( p^{3} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( p^{4} T^{56} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{57} + \)\(29\!\cdots\!09\)\( p^{6} T^{58} - \)\(48\!\cdots\!29\)\( p^{7} T^{59} + \)\(79\!\cdots\!49\)\( p^{8} T^{60} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{61} + \)\(20\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{62} - \)\(10\!\cdots\!62\)\( p^{12} T^{63} + \)\(48\!\cdots\!34\)\( p^{12} T^{64} - \)\(72\!\cdots\!76\)\( p^{13} T^{65} + \)\(10\!\cdots\!13\)\( p^{14} T^{66} - \)\(15\!\cdots\!01\)\( p^{15} T^{67} + \)\(23\!\cdots\!39\)\( p^{16} T^{68} - \)\(32\!\cdots\!28\)\( p^{17} T^{69} + \)\(46\!\cdots\!41\)\( p^{18} T^{70} - \)\(63\!\cdots\!92\)\( p^{19} T^{71} + \)\(88\!\cdots\!83\)\( p^{20} T^{72} - \)\(11\!\cdots\!77\)\( p^{21} T^{73} + \)\(15\!\cdots\!04\)\( p^{22} T^{74} - \)\(19\!\cdots\!28\)\( p^{23} T^{75} + \)\(25\!\cdots\!26\)\( p^{24} T^{76} - \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{77} + \)\(39\!\cdots\!15\)\( p^{26} T^{78} - \)\(46\!\cdots\!83\)\( p^{27} T^{79} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( p^{29} T^{80} - \)\(62\!\cdots\!16\)\( p^{29} T^{81} + \)\(73\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{82} - \)\(77\!\cdots\!33\)\( p^{31} T^{83} + \)\(88\!\cdots\!34\)\( p^{32} T^{84} - \)\(87\!\cdots\!65\)\( p^{33} T^{85} + \)\(96\!\cdots\!25\)\( p^{34} T^{86} - 89742064963225611783 p^{35} T^{87} + 9517285823784961859 p^{36} T^{88} - 815823170382756959 p^{37} T^{89} + 83488271874534422 p^{38} T^{90} - 6508078179582989 p^{39} T^{91} + 643317337293813 p^{40} T^{92} - 44647543986430 p^{41} T^{93} + 4272275582350 p^{42} T^{94} - 256160308735 p^{43} T^{95} + 23819492480 p^{44} T^{96} - 1180010987 p^{45} T^{97} + 107277051 p^{46} T^{98} - 4090542 p^{47} T^{99} + 366844 p^{48} T^{100} - 9479 p^{49} T^{101} + 849 p^{50} T^{102} - 11 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
37 \( 1 - 71 T + 3384 T^{2} - 120672 T^{3} + 3591511 T^{4} - 92302266 T^{5} + 2116547624 T^{6} - 44029508046 T^{7} + 843548484385 T^{8} - 15029100201456 T^{9} + 251152778762591 T^{10} - 3961344524026601 T^{11} + 59298056669030898 T^{12} - 22867163446333910 p T^{13} + 11551171246552891663 T^{14} - \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{15} + \)\(19\!\cdots\!14\)\( T^{16} - \)\(23\!\cdots\!76\)\( T^{17} + \)\(27\!\cdots\!38\)\( T^{18} - \)\(31\!\cdots\!69\)\( T^{19} + \)\(34\!\cdots\!05\)\( T^{20} - \)\(37\!\cdots\!83\)\( T^{21} + \)\(38\!\cdots\!57\)\( T^{22} - \)\(39\!\cdots\!95\)\( T^{23} + \)\(39\!\cdots\!85\)\( T^{24} - \)\(38\!\cdots\!47\)\( T^{25} + \)\(36\!\cdots\!23\)\( T^{26} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( T^{27} + \)\(30\!\cdots\!47\)\( T^{28} - \)\(27\!\cdots\!28\)\( T^{29} + \)\(23\!\cdots\!86\)\( T^{30} - \)\(20\!\cdots\!21\)\( T^{31} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!69\)\( T^{34} - \)\(24\!\cdots\!91\)\( p T^{35} + \)\(69\!\cdots\!53\)\( T^{36} - \)\(53\!\cdots\!29\)\( T^{37} + \)\(40\!\cdots\!59\)\( T^{38} - \)\(30\!\cdots\!54\)\( T^{39} + \)\(21\!\cdots\!30\)\( T^{40} - \)\(15\!\cdots\!55\)\( T^{41} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( T^{42} - \)\(78\!\cdots\!73\)\( T^{43} + \)\(53\!\cdots\!43\)\( T^{44} - \)\(36\!\cdots\!84\)\( T^{45} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( T^{46} - \)\(16\!\cdots\!55\)\( T^{47} + \)\(10\!\cdots\!97\)\( T^{48} - \)\(66\!\cdots\!73\)\( T^{49} + \)\(41\!\cdots\!41\)\( T^{50} - \)\(26\!\cdots\!94\)\( T^{51} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( T^{52} - \)\(26\!\cdots\!94\)\( p T^{53} + \)\(41\!\cdots\!41\)\( p^{2} T^{54} - \)\(66\!\cdots\!73\)\( p^{3} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!97\)\( p^{4} T^{56} - \)\(16\!\cdots\!55\)\( p^{5} T^{57} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( p^{6} T^{58} - \)\(36\!\cdots\!84\)\( p^{7} T^{59} + \)\(53\!\cdots\!43\)\( p^{8} T^{60} - \)\(78\!\cdots\!73\)\( p^{9} T^{61} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( p^{10} T^{62} - \)\(15\!\cdots\!55\)\( p^{11} T^{63} + \)\(21\!\cdots\!30\)\( p^{12} T^{64} - \)\(30\!\cdots\!54\)\( p^{13} T^{65} + \)\(40\!\cdots\!59\)\( p^{14} T^{66} - \)\(53\!\cdots\!29\)\( p^{15} T^{67} + \)\(69\!\cdots\!53\)\( p^{16} T^{68} - \)\(24\!\cdots\!91\)\( p^{18} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!69\)\( p^{18} T^{70} - \)\(13\!\cdots\!33\)\( p^{19} T^{71} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{20} T^{72} - \)\(20\!\cdots\!21\)\( p^{21} T^{73} + \)\(23\!\cdots\!86\)\( p^{22} T^{74} - \)\(27\!\cdots\!28\)\( p^{23} T^{75} + \)\(30\!\cdots\!47\)\( p^{24} T^{76} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{25} T^{77} + \)\(36\!\cdots\!23\)\( p^{26} T^{78} - \)\(38\!\cdots\!47\)\( p^{27} T^{79} + \)\(39\!\cdots\!85\)\( p^{28} T^{80} - \)\(39\!\cdots\!95\)\( p^{29} T^{81} + \)\(38\!\cdots\!57\)\( p^{30} T^{82} - \)\(37\!\cdots\!83\)\( p^{31} T^{83} + \)\(34\!\cdots\!05\)\( p^{32} T^{84} - \)\(31\!\cdots\!69\)\( p^{33} T^{85} + \)\(27\!\cdots\!38\)\( p^{34} T^{86} - \)\(23\!\cdots\!76\)\( p^{35} T^{87} + \)\(19\!\cdots\!14\)\( p^{36} T^{88} - \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{37} T^{89} + 11551171246552891663 p^{38} T^{90} - 22867163446333910 p^{40} T^{91} + 59298056669030898 p^{40} T^{92} - 3961344524026601 p^{41} T^{93} + 251152778762591 p^{42} T^{94} - 15029100201456 p^{43} T^{95} + 843548484385 p^{44} T^{96} - 44029508046 p^{45} T^{97} + 2116547624 p^{46} T^{98} - 92302266 p^{47} T^{99} + 3591511 p^{48} T^{100} - 120672 p^{49} T^{101} + 3384 p^{50} T^{102} - 71 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
41 \( 1 + 25 T + 1404 T^{2} + 29342 T^{3} + 938916 T^{4} + 17036215 T^{5} + 9859628 p T^{6} + 6531807957 T^{7} + 127110244047 T^{8} + 1862380325891 T^{9} + 31308175741476 T^{10} + 421603435697161 T^{11} + 6316814948016862 T^{12} + 79000024806066371 T^{13} + 1076948860515551691 T^{14} + 12612369446659968166 T^{15} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{16} + \)\(17\!\cdots\!82\)\( T^{17} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( T^{18} + \)\(21\!\cdots\!67\)\( T^{19} + \)\(23\!\cdots\!12\)\( T^{20} + \)\(23\!\cdots\!06\)\( T^{21} + \)\(24\!\cdots\!42\)\( T^{22} + \)\(23\!\cdots\!65\)\( T^{23} + \)\(23\!\cdots\!39\)\( T^{24} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( T^{25} + \)\(20\!\cdots\!51\)\( T^{26} + \)\(18\!\cdots\!95\)\( T^{27} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( T^{28} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{30} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( T^{31} + \)\(87\!\cdots\!90\)\( T^{32} + \)\(69\!\cdots\!15\)\( T^{33} + \)\(57\!\cdots\!72\)\( T^{34} + \)\(44\!\cdots\!57\)\( T^{35} + \)\(35\!\cdots\!99\)\( T^{36} + \)\(26\!\cdots\!16\)\( T^{37} + \)\(20\!\cdots\!44\)\( T^{38} + \)\(15\!\cdots\!09\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!42\)\( T^{40} + \)\(82\!\cdots\!73\)\( T^{41} + \)\(61\!\cdots\!42\)\( T^{42} + \)\(42\!\cdots\!39\)\( T^{43} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( T^{44} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( T^{45} + \)\(14\!\cdots\!04\)\( T^{46} + \)\(98\!\cdots\!72\)\( T^{47} + \)\(67\!\cdots\!77\)\( T^{48} + \)\(44\!\cdots\!35\)\( T^{49} + \)\(29\!\cdots\!31\)\( T^{50} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( T^{51} + \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{52} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( p T^{53} + \)\(29\!\cdots\!31\)\( p^{2} T^{54} + \)\(44\!\cdots\!35\)\( p^{3} T^{55} + \)\(67\!\cdots\!77\)\( p^{4} T^{56} + \)\(98\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{57} + \)\(14\!\cdots\!04\)\( p^{6} T^{58} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( p^{7} T^{59} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( p^{8} T^{60} + \)\(42\!\cdots\!39\)\( p^{9} T^{61} + \)\(61\!\cdots\!42\)\( p^{10} T^{62} + \)\(82\!\cdots\!73\)\( p^{11} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!42\)\( p^{12} T^{64} + \)\(15\!\cdots\!09\)\( p^{13} T^{65} + \)\(20\!\cdots\!44\)\( p^{14} T^{66} + \)\(26\!\cdots\!16\)\( p^{15} T^{67} + \)\(35\!\cdots\!99\)\( p^{16} T^{68} + \)\(44\!\cdots\!57\)\( p^{17} T^{69} + \)\(57\!\cdots\!72\)\( p^{18} T^{70} + \)\(69\!\cdots\!15\)\( p^{19} T^{71} + \)\(87\!\cdots\!90\)\( p^{20} T^{72} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{21} T^{73} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( p^{22} T^{74} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( p^{23} T^{75} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( p^{24} T^{76} + \)\(18\!\cdots\!95\)\( p^{25} T^{77} + \)\(20\!\cdots\!51\)\( p^{26} T^{78} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( p^{27} T^{79} + \)\(23\!\cdots\!39\)\( p^{28} T^{80} + \)\(23\!\cdots\!65\)\( p^{29} T^{81} + \)\(24\!\cdots\!42\)\( p^{30} T^{82} + \)\(23\!\cdots\!06\)\( p^{31} T^{83} + \)\(23\!\cdots\!12\)\( p^{32} T^{84} + \)\(21\!\cdots\!67\)\( p^{33} T^{85} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( p^{34} T^{86} + \)\(17\!\cdots\!82\)\( p^{35} T^{87} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{36} T^{88} + 12612369446659968166 p^{37} T^{89} + 1076948860515551691 p^{38} T^{90} + 79000024806066371 p^{39} T^{91} + 6316814948016862 p^{40} T^{92} + 421603435697161 p^{41} T^{93} + 31308175741476 p^{42} T^{94} + 1862380325891 p^{43} T^{95} + 127110244047 p^{44} T^{96} + 6531807957 p^{45} T^{97} + 9859628 p^{47} T^{98} + 17036215 p^{47} T^{99} + 938916 p^{48} T^{100} + 29342 p^{49} T^{101} + 1404 p^{50} T^{102} + 25 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
43 \( 1 - 75 T + 3964 T^{2} - 155062 T^{3} + 5099655 T^{4} - 144165456 T^{5} + 84625298 p T^{6} - 83070561848 T^{7} + 1744758756167 T^{8} - 33994667795756 T^{9} + 620329635918828 T^{10} - 10661689242777951 T^{11} + 173641574839633175 T^{12} - 2690795524097447162 T^{13} + 39840460768946881394 T^{14} - \)\(56\!\cdots\!94\)\( T^{15} + \)\(77\!\cdots\!68\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!46\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!83\)\( T^{18} - \)\(15\!\cdots\!11\)\( T^{19} + \)\(18\!\cdots\!07\)\( T^{20} - \)\(21\!\cdots\!78\)\( T^{21} + \)\(24\!\cdots\!05\)\( T^{22} - \)\(26\!\cdots\!69\)\( T^{23} + \)\(28\!\cdots\!58\)\( T^{24} - \)\(29\!\cdots\!66\)\( T^{25} + \)\(30\!\cdots\!47\)\( T^{26} - \)\(30\!\cdots\!74\)\( T^{27} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( T^{28} - \)\(28\!\cdots\!46\)\( T^{29} + \)\(26\!\cdots\!91\)\( T^{30} - \)\(24\!\cdots\!39\)\( T^{31} + \)\(21\!\cdots\!33\)\( T^{32} - \)\(19\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( T^{34} - \)\(14\!\cdots\!21\)\( T^{35} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( T^{36} - \)\(97\!\cdots\!47\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!70\)\( p T^{38} - \)\(14\!\cdots\!35\)\( p T^{39} + \)\(49\!\cdots\!83\)\( T^{40} - \)\(38\!\cdots\!89\)\( T^{41} + \)\(29\!\cdots\!53\)\( T^{42} - \)\(22\!\cdots\!61\)\( T^{43} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( T^{44} - \)\(11\!\cdots\!94\)\( T^{45} + \)\(85\!\cdots\!07\)\( T^{46} - \)\(60\!\cdots\!50\)\( T^{47} + \)\(98\!\cdots\!22\)\( p T^{48} - \)\(29\!\cdots\!49\)\( T^{49} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( T^{50} - \)\(13\!\cdots\!31\)\( T^{51} + \)\(87\!\cdots\!16\)\( T^{52} - \)\(13\!\cdots\!31\)\( p T^{53} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{54} - \)\(29\!\cdots\!49\)\( p^{3} T^{55} + \)\(98\!\cdots\!22\)\( p^{5} T^{56} - \)\(60\!\cdots\!50\)\( p^{5} T^{57} + \)\(85\!\cdots\!07\)\( p^{6} T^{58} - \)\(11\!\cdots\!94\)\( p^{7} T^{59} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( p^{8} T^{60} - \)\(22\!\cdots\!61\)\( p^{9} T^{61} + \)\(29\!\cdots\!53\)\( p^{10} T^{62} - \)\(38\!\cdots\!89\)\( p^{11} T^{63} + \)\(49\!\cdots\!83\)\( p^{12} T^{64} - \)\(14\!\cdots\!35\)\( p^{14} T^{65} + \)\(18\!\cdots\!70\)\( p^{15} T^{66} - \)\(97\!\cdots\!47\)\( p^{15} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{16} T^{68} - \)\(14\!\cdots\!21\)\( p^{17} T^{69} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( p^{18} T^{70} - \)\(19\!\cdots\!44\)\( p^{19} T^{71} + \)\(21\!\cdots\!33\)\( p^{20} T^{72} - \)\(24\!\cdots\!39\)\( p^{21} T^{73} + \)\(26\!\cdots\!91\)\( p^{22} T^{74} - \)\(28\!\cdots\!46\)\( p^{23} T^{75} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( p^{24} T^{76} - \)\(30\!\cdots\!74\)\( p^{25} T^{77} + \)\(30\!\cdots\!47\)\( p^{26} T^{78} - \)\(29\!\cdots\!66\)\( p^{27} T^{79} + \)\(28\!\cdots\!58\)\( p^{28} T^{80} - \)\(26\!\cdots\!69\)\( p^{29} T^{81} + \)\(24\!\cdots\!05\)\( p^{30} T^{82} - \)\(21\!\cdots\!78\)\( p^{31} T^{83} + \)\(18\!\cdots\!07\)\( p^{32} T^{84} - \)\(15\!\cdots\!11\)\( p^{33} T^{85} + \)\(12\!\cdots\!83\)\( p^{34} T^{86} - \)\(10\!\cdots\!46\)\( p^{35} T^{87} + \)\(77\!\cdots\!68\)\( p^{36} T^{88} - \)\(56\!\cdots\!94\)\( p^{37} T^{89} + 39840460768946881394 p^{38} T^{90} - 2690795524097447162 p^{39} T^{91} + 173641574839633175 p^{40} T^{92} - 10661689242777951 p^{41} T^{93} + 620329635918828 p^{42} T^{94} - 33994667795756 p^{43} T^{95} + 1744758756167 p^{44} T^{96} - 83070561848 p^{45} T^{97} + 84625298 p^{47} T^{98} - 144165456 p^{47} T^{99} + 5099655 p^{48} T^{100} - 155062 p^{49} T^{101} + 3964 p^{50} T^{102} - 75 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
47 \( 1 + 20 T + 1340 T^{2} + 23908 T^{3} + 883612 T^{4} + 14322990 T^{5} + 384310300 T^{6} + 5738977688 T^{7} + 124501792036 T^{8} + 1731576031354 T^{9} + 32136994582504 T^{10} + 419912104467130 T^{11} + 6899550934080095 T^{12} + 85292414101374981 T^{13} + 1269209345115551925 T^{14} + 14929570597438688975 T^{15} + \)\(20\!\cdots\!50\)\( T^{16} + \)\(22\!\cdots\!98\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!45\)\( T^{18} + \)\(31\!\cdots\!50\)\( T^{19} + \)\(37\!\cdots\!55\)\( T^{20} + \)\(39\!\cdots\!83\)\( T^{21} + \)\(44\!\cdots\!34\)\( T^{22} + \)\(44\!\cdots\!09\)\( T^{23} + \)\(48\!\cdots\!72\)\( T^{24} + \)\(46\!\cdots\!14\)\( T^{25} + \)\(48\!\cdots\!22\)\( T^{26} + \)\(45\!\cdots\!31\)\( T^{27} + \)\(44\!\cdots\!73\)\( T^{28} + \)\(41\!\cdots\!31\)\( T^{29} + \)\(39\!\cdots\!23\)\( T^{30} + \)\(34\!\cdots\!31\)\( T^{31} + \)\(31\!\cdots\!91\)\( T^{32} + \)\(27\!\cdots\!73\)\( T^{33} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( T^{34} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( T^{36} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( T^{37} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( T^{38} + \)\(97\!\cdots\!59\)\( T^{39} + \)\(78\!\cdots\!66\)\( T^{40} + \)\(61\!\cdots\!39\)\( T^{41} + \)\(48\!\cdots\!29\)\( T^{42} + \)\(37\!\cdots\!89\)\( T^{43} + \)\(28\!\cdots\!44\)\( T^{44} + \)\(21\!\cdots\!06\)\( T^{45} + \)\(15\!\cdots\!45\)\( T^{46} + \)\(11\!\cdots\!65\)\( T^{47} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( T^{48} + \)\(59\!\cdots\!01\)\( T^{49} + \)\(42\!\cdots\!79\)\( T^{50} + \)\(29\!\cdots\!89\)\( T^{51} + \)\(20\!\cdots\!76\)\( T^{52} + \)\(29\!\cdots\!89\)\( p T^{53} + \)\(42\!\cdots\!79\)\( p^{2} T^{54} + \)\(59\!\cdots\!01\)\( p^{3} T^{55} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( p^{4} T^{56} + \)\(11\!\cdots\!65\)\( p^{5} T^{57} + \)\(15\!\cdots\!45\)\( p^{6} T^{58} + \)\(21\!\cdots\!06\)\( p^{7} T^{59} + \)\(28\!\cdots\!44\)\( p^{8} T^{60} + \)\(37\!\cdots\!89\)\( p^{9} T^{61} + \)\(48\!\cdots\!29\)\( p^{10} T^{62} + \)\(61\!\cdots\!39\)\( p^{11} T^{63} + \)\(78\!\cdots\!66\)\( p^{12} T^{64} + \)\(97\!\cdots\!59\)\( p^{13} T^{65} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( p^{14} T^{66} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{67} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( p^{16} T^{68} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( p^{17} T^{69} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{18} T^{70} + \)\(27\!\cdots\!73\)\( p^{19} T^{71} + \)\(31\!\cdots\!91\)\( p^{20} T^{72} + \)\(34\!\cdots\!31\)\( p^{21} T^{73} + \)\(39\!\cdots\!23\)\( p^{22} T^{74} + \)\(41\!\cdots\!31\)\( p^{23} T^{75} + \)\(44\!\cdots\!73\)\( p^{24} T^{76} + \)\(45\!\cdots\!31\)\( p^{25} T^{77} + \)\(48\!\cdots\!22\)\( p^{26} T^{78} + \)\(46\!\cdots\!14\)\( p^{27} T^{79} + \)\(48\!\cdots\!72\)\( p^{28} T^{80} + \)\(44\!\cdots\!09\)\( p^{29} T^{81} + \)\(44\!\cdots\!34\)\( p^{30} T^{82} + \)\(39\!\cdots\!83\)\( p^{31} T^{83} + \)\(37\!\cdots\!55\)\( p^{32} T^{84} + \)\(31\!\cdots\!50\)\( p^{33} T^{85} + \)\(29\!\cdots\!45\)\( p^{34} T^{86} + \)\(22\!\cdots\!98\)\( p^{35} T^{87} + \)\(20\!\cdots\!50\)\( p^{36} T^{88} + 14929570597438688975 p^{37} T^{89} + 1269209345115551925 p^{38} T^{90} + 85292414101374981 p^{39} T^{91} + 6899550934080095 p^{40} T^{92} + 419912104467130 p^{41} T^{93} + 32136994582504 p^{42} T^{94} + 1731576031354 p^{43} T^{95} + 124501792036 p^{44} T^{96} + 5738977688 p^{45} T^{97} + 384310300 p^{46} T^{98} + 14322990 p^{47} T^{99} + 883612 p^{48} T^{100} + 23908 p^{49} T^{101} + 1340 p^{50} T^{102} + 20 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
53 \( 1 - 70 T + 3751 T^{2} - 148151 T^{3} + 5019017 T^{4} - 146687024 T^{5} + 3860607751 T^{6} - 92261186220 T^{7} + 2038445929791 T^{8} - 41917817827473 T^{9} + 809897346594737 T^{10} - 14776500978496040 T^{11} + 256054473123539078 T^{12} - 4230085355615323287 T^{13} + 66882763252309635870 T^{14} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( T^{16} - \)\(20\!\cdots\!73\)\( T^{17} + \)\(28\!\cdots\!42\)\( T^{18} - \)\(37\!\cdots\!99\)\( T^{19} + \)\(48\!\cdots\!99\)\( T^{20} - \)\(59\!\cdots\!38\)\( T^{21} + \)\(72\!\cdots\!73\)\( T^{22} - \)\(85\!\cdots\!49\)\( T^{23} + \)\(98\!\cdots\!06\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!80\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( T^{26} - \)\(12\!\cdots\!08\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( T^{28} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( T^{30} - \)\(13\!\cdots\!74\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!53\)\( T^{32} - \)\(12\!\cdots\!26\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( T^{34} - \)\(11\!\cdots\!67\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!31\)\( T^{36} - \)\(90\!\cdots\!96\)\( T^{37} + \)\(79\!\cdots\!82\)\( T^{38} - \)\(68\!\cdots\!76\)\( T^{39} + \)\(58\!\cdots\!09\)\( T^{40} - \)\(49\!\cdots\!15\)\( T^{41} + \)\(41\!\cdots\!05\)\( T^{42} - \)\(33\!\cdots\!12\)\( T^{43} + \)\(27\!\cdots\!17\)\( T^{44} - \)\(21\!\cdots\!17\)\( T^{45} + \)\(17\!\cdots\!16\)\( T^{46} - \)\(13\!\cdots\!34\)\( T^{47} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( T^{48} - \)\(77\!\cdots\!30\)\( T^{49} + \)\(10\!\cdots\!55\)\( p T^{50} - \)\(43\!\cdots\!05\)\( T^{51} + \)\(31\!\cdots\!42\)\( T^{52} - \)\(43\!\cdots\!05\)\( p T^{53} + \)\(10\!\cdots\!55\)\( p^{3} T^{54} - \)\(77\!\cdots\!30\)\( p^{3} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( p^{4} T^{56} - \)\(13\!\cdots\!34\)\( p^{5} T^{57} + \)\(17\!\cdots\!16\)\( p^{6} T^{58} - \)\(21\!\cdots\!17\)\( p^{7} T^{59} + \)\(27\!\cdots\!17\)\( p^{8} T^{60} - \)\(33\!\cdots\!12\)\( p^{9} T^{61} + \)\(41\!\cdots\!05\)\( p^{10} T^{62} - \)\(49\!\cdots\!15\)\( p^{11} T^{63} + \)\(58\!\cdots\!09\)\( p^{12} T^{64} - \)\(68\!\cdots\!76\)\( p^{13} T^{65} + \)\(79\!\cdots\!82\)\( p^{14} T^{66} - \)\(90\!\cdots\!96\)\( p^{15} T^{67} + \)\(10\!\cdots\!31\)\( p^{16} T^{68} - \)\(11\!\cdots\!67\)\( p^{17} T^{69} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( p^{18} T^{70} - \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{19} T^{71} + \)\(13\!\cdots\!53\)\( p^{20} T^{72} - \)\(13\!\cdots\!74\)\( p^{21} T^{73} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( p^{22} T^{74} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{23} T^{75} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( p^{24} T^{76} - \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{77} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( p^{26} T^{78} - \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{27} T^{79} + \)\(98\!\cdots\!06\)\( p^{28} T^{80} - \)\(85\!\cdots\!49\)\( p^{29} T^{81} + \)\(72\!\cdots\!73\)\( p^{30} T^{82} - \)\(59\!\cdots\!38\)\( p^{31} T^{83} + \)\(48\!\cdots\!99\)\( p^{32} T^{84} - \)\(37\!\cdots\!99\)\( p^{33} T^{85} + \)\(28\!\cdots\!42\)\( p^{34} T^{86} - \)\(20\!\cdots\!73\)\( p^{35} T^{87} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( p^{36} T^{88} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{37} T^{89} + 66882763252309635870 p^{38} T^{90} - 4230085355615323287 p^{39} T^{91} + 256054473123539078 p^{40} T^{92} - 14776500978496040 p^{41} T^{93} + 809897346594737 p^{42} T^{94} - 41917817827473 p^{43} T^{95} + 2038445929791 p^{44} T^{96} - 92261186220 p^{45} T^{97} + 3860607751 p^{46} T^{98} - 146687024 p^{47} T^{99} + 5019017 p^{48} T^{100} - 148151 p^{49} T^{101} + 3751 p^{50} T^{102} - 70 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
59 \( 1 + 27 T + 1696 T^{2} + 40543 T^{3} + 1440550 T^{4} + 30915146 T^{5} + 816690684 T^{6} + 15931130699 T^{7} + 347645410662 T^{8} + 105609821371 p T^{9} + 118523920772151 T^{10} + 1969992841747097 T^{11} + 33713022775936434 T^{12} + 523719355210639524 T^{13} + 8228464686231623136 T^{14} + \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!71\)\( T^{16} + \)\(24\!\cdots\!50\)\( T^{17} + \)\(33\!\cdots\!93\)\( T^{18} + \)\(43\!\cdots\!15\)\( T^{19} + \)\(57\!\cdots\!09\)\( T^{20} + \)\(71\!\cdots\!17\)\( T^{21} + \)\(89\!\cdots\!23\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(12\!\cdots\!31\)\( T^{24} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!56\)\( T^{26} + \)\(18\!\cdots\!81\)\( T^{27} + \)\(20\!\cdots\!29\)\( T^{28} + \)\(21\!\cdots\!82\)\( T^{29} + \)\(23\!\cdots\!57\)\( T^{30} + \)\(24\!\cdots\!36\)\( T^{31} + \)\(24\!\cdots\!02\)\( T^{32} + \)\(24\!\cdots\!33\)\( T^{33} + \)\(24\!\cdots\!01\)\( T^{34} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( T^{35} + \)\(22\!\cdots\!93\)\( T^{36} + \)\(21\!\cdots\!01\)\( T^{37} + \)\(20\!\cdots\!21\)\( T^{38} + \)\(18\!\cdots\!11\)\( T^{39} + \)\(16\!\cdots\!59\)\( T^{40} + \)\(15\!\cdots\!53\)\( T^{41} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{42} + \)\(11\!\cdots\!59\)\( T^{43} + \)\(99\!\cdots\!77\)\( T^{44} + \)\(84\!\cdots\!79\)\( T^{45} + \)\(70\!\cdots\!76\)\( T^{46} + \)\(58\!\cdots\!39\)\( T^{47} + \)\(47\!\cdots\!66\)\( T^{48} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( T^{49} + \)\(30\!\cdots\!78\)\( T^{50} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( T^{51} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{52} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( p T^{53} + \)\(30\!\cdots\!78\)\( p^{2} T^{54} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{55} + \)\(47\!\cdots\!66\)\( p^{4} T^{56} + \)\(58\!\cdots\!39\)\( p^{5} T^{57} + \)\(70\!\cdots\!76\)\( p^{6} T^{58} + \)\(84\!\cdots\!79\)\( p^{7} T^{59} + \)\(99\!\cdots\!77\)\( p^{8} T^{60} + \)\(11\!\cdots\!59\)\( p^{9} T^{61} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{62} + \)\(15\!\cdots\!53\)\( p^{11} T^{63} + \)\(16\!\cdots\!59\)\( p^{12} T^{64} + \)\(18\!\cdots\!11\)\( p^{13} T^{65} + \)\(20\!\cdots\!21\)\( p^{14} T^{66} + \)\(21\!\cdots\!01\)\( p^{15} T^{67} + \)\(22\!\cdots\!93\)\( p^{16} T^{68} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( p^{17} T^{69} + \)\(24\!\cdots\!01\)\( p^{18} T^{70} + \)\(24\!\cdots\!33\)\( p^{19} T^{71} + \)\(24\!\cdots\!02\)\( p^{20} T^{72} + \)\(24\!\cdots\!36\)\( p^{21} T^{73} + \)\(23\!\cdots\!57\)\( p^{22} T^{74} + \)\(21\!\cdots\!82\)\( p^{23} T^{75} + \)\(20\!\cdots\!29\)\( p^{24} T^{76} + \)\(18\!\cdots\!81\)\( p^{25} T^{77} + \)\(16\!\cdots\!56\)\( p^{26} T^{78} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( p^{27} T^{79} + \)\(12\!\cdots\!31\)\( p^{28} T^{80} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{29} T^{81} + \)\(89\!\cdots\!23\)\( p^{30} T^{82} + \)\(71\!\cdots\!17\)\( p^{31} T^{83} + \)\(57\!\cdots\!09\)\( p^{32} T^{84} + \)\(43\!\cdots\!15\)\( p^{33} T^{85} + \)\(33\!\cdots\!93\)\( p^{34} T^{86} + \)\(24\!\cdots\!50\)\( p^{35} T^{87} + \)\(17\!\cdots\!71\)\( p^{36} T^{88} + \)\(12\!\cdots\!92\)\( p^{37} T^{89} + 8228464686231623136 p^{38} T^{90} + 523719355210639524 p^{39} T^{91} + 33713022775936434 p^{40} T^{92} + 1969992841747097 p^{41} T^{93} + 118523920772151 p^{42} T^{94} + 105609821371 p^{44} T^{95} + 347645410662 p^{44} T^{96} + 15931130699 p^{45} T^{97} + 816690684 p^{46} T^{98} + 30915146 p^{47} T^{99} + 1440550 p^{48} T^{100} + 40543 p^{49} T^{101} + 1696 p^{50} T^{102} + 27 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
61 \( 1 - 59 T + 3543 T^{2} - 140680 T^{3} + 5262273 T^{4} - 163119945 T^{5} + 4742204807 T^{6} - 123060212006 T^{7} + 3013007884762 T^{8} - 68114975895608 T^{9} + 1463035857414157 T^{10} - 29555811911978820 T^{11} + 570773706496214929 T^{12} - 10485586013726108934 T^{13} + \)\(18\!\cdots\!29\)\( T^{14} - \)\(31\!\cdots\!92\)\( T^{15} + \)\(51\!\cdots\!43\)\( T^{16} - \)\(80\!\cdots\!00\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( T^{18} - \)\(18\!\cdots\!66\)\( T^{19} + \)\(25\!\cdots\!17\)\( T^{20} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( T^{21} + \)\(48\!\cdots\!58\)\( T^{22} - \)\(63\!\cdots\!23\)\( T^{23} + \)\(82\!\cdots\!69\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!27\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!57\)\( T^{26} - \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( T^{28} - \)\(20\!\cdots\!33\)\( T^{29} + \)\(22\!\cdots\!66\)\( T^{30} - \)\(24\!\cdots\!01\)\( T^{31} + \)\(26\!\cdots\!62\)\( T^{32} - \)\(28\!\cdots\!94\)\( T^{33} + \)\(29\!\cdots\!94\)\( T^{34} - \)\(49\!\cdots\!37\)\( p T^{35} + \)\(30\!\cdots\!49\)\( T^{36} - \)\(29\!\cdots\!82\)\( T^{37} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( T^{38} - \)\(27\!\cdots\!15\)\( T^{39} + \)\(25\!\cdots\!23\)\( T^{40} - \)\(23\!\cdots\!99\)\( T^{41} + \)\(21\!\cdots\!07\)\( T^{42} - \)\(19\!\cdots\!73\)\( T^{43} + \)\(17\!\cdots\!34\)\( T^{44} - \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{45} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( T^{46} - \)\(10\!\cdots\!57\)\( T^{47} + \)\(89\!\cdots\!84\)\( T^{48} - \)\(73\!\cdots\!11\)\( T^{49} + \)\(96\!\cdots\!99\)\( p T^{50} - \)\(47\!\cdots\!26\)\( T^{51} + \)\(37\!\cdots\!66\)\( T^{52} - \)\(47\!\cdots\!26\)\( p T^{53} + \)\(96\!\cdots\!99\)\( p^{3} T^{54} - \)\(73\!\cdots\!11\)\( p^{3} T^{55} + \)\(89\!\cdots\!84\)\( p^{4} T^{56} - \)\(10\!\cdots\!57\)\( p^{5} T^{57} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( p^{6} T^{58} - \)\(14\!\cdots\!84\)\( p^{7} T^{59} + \)\(17\!\cdots\!34\)\( p^{8} T^{60} - \)\(19\!\cdots\!73\)\( p^{9} T^{61} + \)\(21\!\cdots\!07\)\( p^{10} T^{62} - \)\(23\!\cdots\!99\)\( p^{11} T^{63} + \)\(25\!\cdots\!23\)\( p^{12} T^{64} - \)\(27\!\cdots\!15\)\( p^{13} T^{65} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( p^{14} T^{66} - \)\(29\!\cdots\!82\)\( p^{15} T^{67} + \)\(30\!\cdots\!49\)\( p^{16} T^{68} - \)\(49\!\cdots\!37\)\( p^{18} T^{69} + \)\(29\!\cdots\!94\)\( p^{18} T^{70} - \)\(28\!\cdots\!94\)\( p^{19} T^{71} + \)\(26\!\cdots\!62\)\( p^{20} T^{72} - \)\(24\!\cdots\!01\)\( p^{21} T^{73} + \)\(22\!\cdots\!66\)\( p^{22} T^{74} - \)\(20\!\cdots\!33\)\( p^{23} T^{75} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( p^{24} T^{76} - \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{25} T^{77} + \)\(12\!\cdots\!57\)\( p^{26} T^{78} - \)\(10\!\cdots\!27\)\( p^{27} T^{79} + \)\(82\!\cdots\!69\)\( p^{28} T^{80} - \)\(63\!\cdots\!23\)\( p^{29} T^{81} + \)\(48\!\cdots\!58\)\( p^{30} T^{82} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( p^{31} T^{83} + \)\(25\!\cdots\!17\)\( p^{32} T^{84} - \)\(18\!\cdots\!66\)\( p^{33} T^{85} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( p^{34} T^{86} - \)\(80\!\cdots\!00\)\( p^{35} T^{87} + \)\(51\!\cdots\!43\)\( p^{36} T^{88} - \)\(31\!\cdots\!92\)\( p^{37} T^{89} + \)\(18\!\cdots\!29\)\( p^{38} T^{90} - 10485586013726108934 p^{39} T^{91} + 570773706496214929 p^{40} T^{92} - 29555811911978820 p^{41} T^{93} + 1463035857414157 p^{42} T^{94} - 68114975895608 p^{43} T^{95} + 3013007884762 p^{44} T^{96} - 123060212006 p^{45} T^{97} + 4742204807 p^{46} T^{98} - 163119945 p^{47} T^{99} + 5262273 p^{48} T^{100} - 140680 p^{49} T^{101} + 3543 p^{50} T^{102} - 59 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
67 \( 1 - 65 T + 3952 T^{2} - 163439 T^{3} + 6208895 T^{4} - 197014518 T^{5} + 5813325741 T^{6} - 153414335980 T^{7} + 3810354196512 T^{8} - 87403212357549 T^{9} + 1904758729921419 T^{10} - 39037347954719234 T^{11} + 765610982000206499 T^{12} - 14283661795084294357 T^{13} + \)\(25\!\cdots\!66\)\( T^{14} - \)\(44\!\cdots\!50\)\( T^{15} + \)\(73\!\cdots\!02\)\( T^{16} - \)\(11\!\cdots\!22\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!57\)\( T^{18} - \)\(27\!\cdots\!63\)\( T^{19} + \)\(40\!\cdots\!42\)\( T^{20} - \)\(57\!\cdots\!01\)\( T^{21} + \)\(80\!\cdots\!53\)\( T^{22} - \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!10\)\( p T^{24} - \)\(18\!\cdots\!80\)\( T^{25} + \)\(23\!\cdots\!36\)\( T^{26} - \)\(28\!\cdots\!07\)\( T^{27} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( T^{28} - \)\(41\!\cdots\!29\)\( T^{29} + \)\(48\!\cdots\!73\)\( T^{30} - \)\(54\!\cdots\!36\)\( T^{31} + \)\(61\!\cdots\!69\)\( T^{32} - \)\(67\!\cdots\!14\)\( T^{33} + \)\(73\!\cdots\!71\)\( T^{34} - \)\(77\!\cdots\!06\)\( T^{35} + \)\(81\!\cdots\!33\)\( T^{36} - \)\(83\!\cdots\!48\)\( T^{37} + \)\(84\!\cdots\!23\)\( T^{38} - \)\(84\!\cdots\!72\)\( T^{39} + \)\(82\!\cdots\!39\)\( T^{40} - \)\(79\!\cdots\!78\)\( T^{41} + \)\(75\!\cdots\!49\)\( T^{42} - \)\(70\!\cdots\!18\)\( T^{43} + \)\(65\!\cdots\!31\)\( T^{44} - \)\(59\!\cdots\!13\)\( T^{45} + \)\(53\!\cdots\!97\)\( T^{46} - \)\(47\!\cdots\!13\)\( T^{47} + \)\(41\!\cdots\!95\)\( T^{48} - \)\(35\!\cdots\!27\)\( T^{49} + \)\(30\!\cdots\!23\)\( T^{50} - \)\(37\!\cdots\!13\)\( p T^{51} + \)\(20\!\cdots\!32\)\( T^{52} - \)\(37\!\cdots\!13\)\( p^{2} T^{53} + \)\(30\!\cdots\!23\)\( p^{2} T^{54} - \)\(35\!\cdots\!27\)\( p^{3} T^{55} + \)\(41\!\cdots\!95\)\( p^{4} T^{56} - \)\(47\!\cdots\!13\)\( p^{5} T^{57} + \)\(53\!\cdots\!97\)\( p^{6} T^{58} - \)\(59\!\cdots\!13\)\( p^{7} T^{59} + \)\(65\!\cdots\!31\)\( p^{8} T^{60} - \)\(70\!\cdots\!18\)\( p^{9} T^{61} + \)\(75\!\cdots\!49\)\( p^{10} T^{62} - \)\(79\!\cdots\!78\)\( p^{11} T^{63} + \)\(82\!\cdots\!39\)\( p^{12} T^{64} - \)\(84\!\cdots\!72\)\( p^{13} T^{65} + \)\(84\!\cdots\!23\)\( p^{14} T^{66} - \)\(83\!\cdots\!48\)\( p^{15} T^{67} + \)\(81\!\cdots\!33\)\( p^{16} T^{68} - \)\(77\!\cdots\!06\)\( p^{17} T^{69} + \)\(73\!\cdots\!71\)\( p^{18} T^{70} - \)\(67\!\cdots\!14\)\( p^{19} T^{71} + \)\(61\!\cdots\!69\)\( p^{20} T^{72} - \)\(54\!\cdots\!36\)\( p^{21} T^{73} + \)\(48\!\cdots\!73\)\( p^{22} T^{74} - \)\(41\!\cdots\!29\)\( p^{23} T^{75} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( p^{24} T^{76} - \)\(28\!\cdots\!07\)\( p^{25} T^{77} + \)\(23\!\cdots\!36\)\( p^{26} T^{78} - \)\(18\!\cdots\!80\)\( p^{27} T^{79} + \)\(21\!\cdots\!10\)\( p^{29} T^{80} - \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{29} T^{81} + \)\(80\!\cdots\!53\)\( p^{30} T^{82} - \)\(57\!\cdots\!01\)\( p^{31} T^{83} + \)\(40\!\cdots\!42\)\( p^{32} T^{84} - \)\(27\!\cdots\!63\)\( p^{33} T^{85} + \)\(18\!\cdots\!57\)\( p^{34} T^{86} - \)\(11\!\cdots\!22\)\( p^{35} T^{87} + \)\(73\!\cdots\!02\)\( p^{36} T^{88} - \)\(44\!\cdots\!50\)\( p^{37} T^{89} + \)\(25\!\cdots\!66\)\( p^{38} T^{90} - 14283661795084294357 p^{39} T^{91} + 765610982000206499 p^{40} T^{92} - 39037347954719234 p^{41} T^{93} + 1904758729921419 p^{42} T^{94} - 87403212357549 p^{43} T^{95} + 3810354196512 p^{44} T^{96} - 153414335980 p^{45} T^{97} + 5813325741 p^{46} T^{98} - 197014518 p^{47} T^{99} + 6208895 p^{48} T^{100} - 163439 p^{49} T^{101} + 3952 p^{50} T^{102} - 65 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
71 \( 1 + 11 T + 1855 T^{2} + 19054 T^{3} + 1695172 T^{4} + 16291744 T^{5} + 1018440492 T^{6} + 9171890558 T^{7} + 452958102671 T^{8} + 3827409322244 T^{9} + 159236816128943 T^{10} + 1264092936185928 T^{11} + 46144258384375100 T^{12} + 344707566406683609 T^{13} + 11352560178336407200 T^{14} + 79989112495842779222 T^{15} + \)\(24\!\cdots\!66\)\( T^{16} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( T^{17} + \)\(45\!\cdots\!03\)\( T^{18} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(77\!\cdots\!53\)\( T^{20} + \)\(46\!\cdots\!05\)\( T^{21} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{22} + \)\(69\!\cdots\!67\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!82\)\( T^{24} + \)\(95\!\cdots\!96\)\( T^{25} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{26} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( T^{27} + \)\(26\!\cdots\!04\)\( T^{28} + \)\(14\!\cdots\!32\)\( T^{29} + \)\(29\!\cdots\!50\)\( T^{30} + \)\(16\!\cdots\!54\)\( T^{31} + \)\(31\!\cdots\!94\)\( T^{32} + \)\(18\!\cdots\!77\)\( T^{33} + \)\(32\!\cdots\!41\)\( T^{34} + \)\(18\!\cdots\!98\)\( T^{35} + \)\(31\!\cdots\!32\)\( T^{36} + \)\(18\!\cdots\!26\)\( T^{37} + \)\(29\!\cdots\!04\)\( T^{38} + \)\(17\!\cdots\!08\)\( T^{39} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{40} + \)\(15\!\cdots\!38\)\( T^{41} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( T^{42} + \)\(13\!\cdots\!76\)\( T^{43} + \)\(18\!\cdots\!76\)\( T^{44} + \)\(11\!\cdots\!62\)\( T^{45} + \)\(14\!\cdots\!26\)\( T^{46} + \)\(90\!\cdots\!10\)\( T^{47} + \)\(11\!\cdots\!26\)\( T^{48} + \)\(69\!\cdots\!26\)\( T^{49} + \)\(83\!\cdots\!05\)\( T^{50} + \)\(51\!\cdots\!75\)\( T^{51} + \)\(60\!\cdots\!90\)\( T^{52} + \)\(51\!\cdots\!75\)\( p T^{53} + \)\(83\!\cdots\!05\)\( p^{2} T^{54} + \)\(69\!\cdots\!26\)\( p^{3} T^{55} + \)\(11\!\cdots\!26\)\( p^{4} T^{56} + \)\(90\!\cdots\!10\)\( p^{5} T^{57} + \)\(14\!\cdots\!26\)\( p^{6} T^{58} + \)\(11\!\cdots\!62\)\( p^{7} T^{59} + \)\(18\!\cdots\!76\)\( p^{8} T^{60} + \)\(13\!\cdots\!76\)\( p^{9} T^{61} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( p^{10} T^{62} + \)\(15\!\cdots\!38\)\( p^{11} T^{63} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{64} + \)\(17\!\cdots\!08\)\( p^{13} T^{65} + \)\(29\!\cdots\!04\)\( p^{14} T^{66} + \)\(18\!\cdots\!26\)\( p^{15} T^{67} + \)\(31\!\cdots\!32\)\( p^{16} T^{68} + \)\(18\!\cdots\!98\)\( p^{17} T^{69} + \)\(32\!\cdots\!41\)\( p^{18} T^{70} + \)\(18\!\cdots\!77\)\( p^{19} T^{71} + \)\(31\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{72} + \)\(16\!\cdots\!54\)\( p^{21} T^{73} + \)\(29\!\cdots\!50\)\( p^{22} T^{74} + \)\(14\!\cdots\!32\)\( p^{23} T^{75} + \)\(26\!\cdots\!04\)\( p^{24} T^{76} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( p^{25} T^{77} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{26} T^{78} + \)\(95\!\cdots\!96\)\( p^{27} T^{79} + \)\(16\!\cdots\!82\)\( p^{28} T^{80} + \)\(69\!\cdots\!67\)\( p^{29} T^{81} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{30} T^{82} + \)\(46\!\cdots\!05\)\( p^{31} T^{83} + \)\(77\!\cdots\!53\)\( p^{32} T^{84} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( p^{33} T^{85} + \)\(45\!\cdots\!03\)\( p^{34} T^{86} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( p^{35} T^{87} + \)\(24\!\cdots\!66\)\( p^{36} T^{88} + 79989112495842779222 p^{37} T^{89} + 11352560178336407200 p^{38} T^{90} + 344707566406683609 p^{39} T^{91} + 46144258384375100 p^{40} T^{92} + 1264092936185928 p^{41} T^{93} + 159236816128943 p^{42} T^{94} + 3827409322244 p^{43} T^{95} + 452958102671 p^{44} T^{96} + 9171890558 p^{45} T^{97} + 1018440492 p^{46} T^{98} + 16291744 p^{47} T^{99} + 1695172 p^{48} T^{100} + 19054 p^{49} T^{101} + 1855 p^{50} T^{102} + 11 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
73 \( 1 - 34 T + 2490 T^{2} - 69709 T^{3} + 2933456 T^{4} - 70777640 T^{5} + 2220863961 T^{6} - 47557466704 T^{7} + 1228824084669 T^{8} - 23834365962758 T^{9} + 533757774567962 T^{10} - 9517514682531821 T^{11} + 190498918663545330 T^{12} - 3158093216524907368 T^{13} + 57657066804992420294 T^{14} - \)\(89\!\cdots\!34\)\( T^{15} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{16} - \)\(22\!\cdots\!91\)\( T^{17} + \)\(35\!\cdots\!62\)\( T^{18} - \)\(49\!\cdots\!19\)\( T^{19} + \)\(73\!\cdots\!57\)\( T^{20} - \)\(97\!\cdots\!28\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!41\)\( T^{22} - \)\(17\!\cdots\!48\)\( T^{23} + \)\(23\!\cdots\!05\)\( T^{24} - \)\(28\!\cdots\!64\)\( T^{25} + \)\(37\!\cdots\!38\)\( T^{26} - \)\(44\!\cdots\!71\)\( T^{27} + \)\(54\!\cdots\!01\)\( T^{28} - \)\(62\!\cdots\!93\)\( T^{29} + \)\(74\!\cdots\!59\)\( T^{30} - \)\(82\!\cdots\!89\)\( T^{31} + \)\(95\!\cdots\!91\)\( T^{32} - \)\(10\!\cdots\!95\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!23\)\( T^{34} - \)\(16\!\cdots\!78\)\( p T^{35} + \)\(12\!\cdots\!27\)\( T^{36} - \)\(13\!\cdots\!59\)\( T^{37} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{38} - \)\(13\!\cdots\!23\)\( T^{39} + \)\(13\!\cdots\!09\)\( T^{40} - \)\(13\!\cdots\!63\)\( T^{41} + \)\(13\!\cdots\!81\)\( T^{42} - \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{43} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( T^{44} - \)\(11\!\cdots\!31\)\( T^{45} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( T^{46} - \)\(93\!\cdots\!84\)\( T^{47} + \)\(86\!\cdots\!89\)\( T^{48} - \)\(75\!\cdots\!41\)\( T^{49} + \)\(67\!\cdots\!07\)\( T^{50} - \)\(57\!\cdots\!11\)\( T^{51} + \)\(50\!\cdots\!36\)\( T^{52} - \)\(57\!\cdots\!11\)\( p T^{53} + \)\(67\!\cdots\!07\)\( p^{2} T^{54} - \)\(75\!\cdots\!41\)\( p^{3} T^{55} + \)\(86\!\cdots\!89\)\( p^{4} T^{56} - \)\(93\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{57} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( p^{6} T^{58} - \)\(11\!\cdots\!31\)\( p^{7} T^{59} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( p^{8} T^{60} - \)\(12\!\cdots\!16\)\( p^{9} T^{61} + \)\(13\!\cdots\!81\)\( p^{10} T^{62} - \)\(13\!\cdots\!63\)\( p^{11} T^{63} + \)\(13\!\cdots\!09\)\( p^{12} T^{64} - \)\(13\!\cdots\!23\)\( p^{13} T^{65} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( p^{14} T^{66} - \)\(13\!\cdots\!59\)\( p^{15} T^{67} + \)\(12\!\cdots\!27\)\( p^{16} T^{68} - \)\(16\!\cdots\!78\)\( p^{18} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!23\)\( p^{18} T^{70} - \)\(10\!\cdots\!95\)\( p^{19} T^{71} + \)\(95\!\cdots\!91\)\( p^{20} T^{72} - \)\(82\!\cdots\!89\)\( p^{21} T^{73} + \)\(74\!\cdots\!59\)\( p^{22} T^{74} - \)\(62\!\cdots\!93\)\( p^{23} T^{75} + \)\(54\!\cdots\!01\)\( p^{24} T^{76} - \)\(44\!\cdots\!71\)\( p^{25} T^{77} + \)\(37\!\cdots\!38\)\( p^{26} T^{78} - \)\(28\!\cdots\!64\)\( p^{27} T^{79} + \)\(23\!\cdots\!05\)\( p^{28} T^{80} - \)\(17\!\cdots\!48\)\( p^{29} T^{81} + \)\(13\!\cdots\!41\)\( p^{30} T^{82} - \)\(97\!\cdots\!28\)\( p^{31} T^{83} + \)\(73\!\cdots\!57\)\( p^{32} T^{84} - \)\(49\!\cdots\!19\)\( p^{33} T^{85} + \)\(35\!\cdots\!62\)\( p^{34} T^{86} - \)\(22\!\cdots\!91\)\( p^{35} T^{87} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{36} T^{88} - \)\(89\!\cdots\!34\)\( p^{37} T^{89} + 57657066804992420294 p^{38} T^{90} - 3158093216524907368 p^{39} T^{91} + 190498918663545330 p^{40} T^{92} - 9517514682531821 p^{41} T^{93} + 533757774567962 p^{42} T^{94} - 23834365962758 p^{43} T^{95} + 1228824084669 p^{44} T^{96} - 47557466704 p^{45} T^{97} + 2220863961 p^{46} T^{98} - 70777640 p^{47} T^{99} + 2933456 p^{48} T^{100} - 69709 p^{49} T^{101} + 2490 p^{50} T^{102} - 34 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
79 \( 1 - 74 T + 4873 T^{2} - 223911 T^{3} + 9267466 T^{4} - 324299194 T^{5} + 10448492413 T^{6} - 303092536078 T^{7} + 8226815870644 T^{8} - 207058284411455 T^{9} + 4932644537396531 T^{10} - 110791490026202880 T^{11} + 2375171567331148801 T^{12} - 48520845768565731819 T^{13} + \)\(95\!\cdots\!79\)\( T^{14} - \)\(17\!\cdots\!81\)\( T^{15} + \)\(32\!\cdots\!08\)\( T^{16} - \)\(57\!\cdots\!95\)\( T^{17} + \)\(97\!\cdots\!94\)\( T^{18} - \)\(16\!\cdots\!33\)\( T^{19} + \)\(25\!\cdots\!70\)\( T^{20} - \)\(39\!\cdots\!70\)\( T^{21} + \)\(60\!\cdots\!56\)\( T^{22} - \)\(89\!\cdots\!02\)\( T^{23} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( T^{24} - \)\(18\!\cdots\!08\)\( T^{25} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( T^{26} - \)\(33\!\cdots\!86\)\( T^{27} + \)\(44\!\cdots\!32\)\( T^{28} - \)\(57\!\cdots\!37\)\( T^{29} + \)\(72\!\cdots\!64\)\( T^{30} - \)\(90\!\cdots\!57\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!29\)\( T^{33} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{34} - \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{35} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( T^{36} - \)\(22\!\cdots\!23\)\( T^{37} + \)\(25\!\cdots\!86\)\( T^{38} - \)\(27\!\cdots\!77\)\( T^{39} + \)\(29\!\cdots\!15\)\( T^{40} - \)\(30\!\cdots\!44\)\( T^{41} + \)\(31\!\cdots\!11\)\( T^{42} - \)\(32\!\cdots\!47\)\( T^{43} + \)\(32\!\cdots\!31\)\( T^{44} - \)\(32\!\cdots\!09\)\( T^{45} + \)\(31\!\cdots\!73\)\( T^{46} - \)\(30\!\cdots\!65\)\( T^{47} + \)\(28\!\cdots\!37\)\( T^{48} - \)\(26\!\cdots\!59\)\( T^{49} + \)\(24\!\cdots\!34\)\( T^{50} - \)\(22\!\cdots\!85\)\( T^{51} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{52} - \)\(22\!\cdots\!85\)\( p T^{53} + \)\(24\!\cdots\!34\)\( p^{2} T^{54} - \)\(26\!\cdots\!59\)\( p^{3} T^{55} + \)\(28\!\cdots\!37\)\( p^{4} T^{56} - \)\(30\!\cdots\!65\)\( p^{5} T^{57} + \)\(31\!\cdots\!73\)\( p^{6} T^{58} - \)\(32\!\cdots\!09\)\( p^{7} T^{59} + \)\(32\!\cdots\!31\)\( p^{8} T^{60} - \)\(32\!\cdots\!47\)\( p^{9} T^{61} + \)\(31\!\cdots\!11\)\( p^{10} T^{62} - \)\(30\!\cdots\!44\)\( p^{11} T^{63} + \)\(29\!\cdots\!15\)\( p^{12} T^{64} - \)\(27\!\cdots\!77\)\( p^{13} T^{65} + \)\(25\!\cdots\!86\)\( p^{14} T^{66} - \)\(22\!\cdots\!23\)\( p^{15} T^{67} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( p^{16} T^{68} - \)\(17\!\cdots\!94\)\( p^{17} T^{69} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( p^{18} T^{70} - \)\(13\!\cdots\!29\)\( p^{19} T^{71} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{72} - \)\(90\!\cdots\!57\)\( p^{21} T^{73} + \)\(72\!\cdots\!64\)\( p^{22} T^{74} - \)\(57\!\cdots\!37\)\( p^{23} T^{75} + \)\(44\!\cdots\!32\)\( p^{24} T^{76} - \)\(33\!\cdots\!86\)\( p^{25} T^{77} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( p^{26} T^{78} - \)\(18\!\cdots\!08\)\( p^{27} T^{79} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( p^{28} T^{80} - \)\(89\!\cdots\!02\)\( p^{29} T^{81} + \)\(60\!\cdots\!56\)\( p^{30} T^{82} - \)\(39\!\cdots\!70\)\( p^{31} T^{83} + \)\(25\!\cdots\!70\)\( p^{32} T^{84} - \)\(16\!\cdots\!33\)\( p^{33} T^{85} + \)\(97\!\cdots\!94\)\( p^{34} T^{86} - \)\(57\!\cdots\!95\)\( p^{35} T^{87} + \)\(32\!\cdots\!08\)\( p^{36} T^{88} - \)\(17\!\cdots\!81\)\( p^{37} T^{89} + \)\(95\!\cdots\!79\)\( p^{38} T^{90} - 48520845768565731819 p^{39} T^{91} + 2375171567331148801 p^{40} T^{92} - 110791490026202880 p^{41} T^{93} + 4932644537396531 p^{42} T^{94} - 207058284411455 p^{43} T^{95} + 8226815870644 p^{44} T^{96} - 303092536078 p^{45} T^{97} + 10448492413 p^{46} T^{98} - 324299194 p^{47} T^{99} + 9267466 p^{48} T^{100} - 223911 p^{49} T^{101} + 4873 p^{50} T^{102} - 74 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
83 \( 1 + 30 T + 2674 T^{2} + 70295 T^{3} + 3488682 T^{4} + 82302574 T^{5} + 2983304579 T^{6} + 64243119867 T^{7} + 1890185990801 T^{8} + 37627367780102 T^{9} + 949491172052154 T^{10} + 17643026544541903 T^{11} + 394746676454024548 T^{12} + 6899118443365918048 T^{13} + \)\(13\!\cdots\!19\)\( T^{14} + \)\(23\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(43\!\cdots\!84\)\( T^{16} + \)\(67\!\cdots\!67\)\( T^{17} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{18} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( T^{19} + \)\(28\!\cdots\!30\)\( T^{20} + \)\(41\!\cdots\!58\)\( T^{21} + \)\(77\!\cdots\!08\)\( p T^{22} + \)\(89\!\cdots\!64\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{24} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{25} + \)\(24\!\cdots\!53\)\( T^{26} + \)\(31\!\cdots\!32\)\( T^{27} + \)\(42\!\cdots\!65\)\( T^{28} + \)\(52\!\cdots\!25\)\( T^{29} + \)\(67\!\cdots\!92\)\( T^{30} + \)\(81\!\cdots\!45\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( T^{32} + \)\(11\!\cdots\!95\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{34} + \)\(16\!\cdots\!23\)\( T^{35} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( T^{36} + \)\(20\!\cdots\!56\)\( T^{37} + \)\(23\!\cdots\!93\)\( T^{38} + \)\(25\!\cdots\!24\)\( T^{39} + \)\(27\!\cdots\!18\)\( T^{40} + \)\(28\!\cdots\!85\)\( T^{41} + \)\(30\!\cdots\!70\)\( T^{42} + \)\(31\!\cdots\!86\)\( T^{43} + \)\(32\!\cdots\!07\)\( T^{44} + \)\(31\!\cdots\!92\)\( T^{45} + \)\(32\!\cdots\!28\)\( T^{46} + \)\(30\!\cdots\!00\)\( T^{47} + \)\(30\!\cdots\!34\)\( T^{48} + \)\(28\!\cdots\!35\)\( T^{49} + \)\(27\!\cdots\!66\)\( T^{50} + \)\(24\!\cdots\!55\)\( T^{51} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{52} + \)\(24\!\cdots\!55\)\( p T^{53} + \)\(27\!\cdots\!66\)\( p^{2} T^{54} + \)\(28\!\cdots\!35\)\( p^{3} T^{55} + \)\(30\!\cdots\!34\)\( p^{4} T^{56} + \)\(30\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{57} + \)\(32\!\cdots\!28\)\( p^{6} T^{58} + \)\(31\!\cdots\!92\)\( p^{7} T^{59} + \)\(32\!\cdots\!07\)\( p^{8} T^{60} + \)\(31\!\cdots\!86\)\( p^{9} T^{61} + \)\(30\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{62} + \)\(28\!\cdots\!85\)\( p^{11} T^{63} + \)\(27\!\cdots\!18\)\( p^{12} T^{64} + \)\(25\!\cdots\!24\)\( p^{13} T^{65} + \)\(23\!\cdots\!93\)\( p^{14} T^{66} + \)\(20\!\cdots\!56\)\( p^{15} T^{67} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( p^{16} T^{68} + \)\(16\!\cdots\!23\)\( p^{17} T^{69} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{18} T^{70} + \)\(11\!\cdots\!95\)\( p^{19} T^{71} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( p^{20} T^{72} + \)\(81\!\cdots\!45\)\( p^{21} T^{73} + \)\(67\!\cdots\!92\)\( p^{22} T^{74} + \)\(52\!\cdots\!25\)\( p^{23} T^{75} + \)\(42\!\cdots\!65\)\( p^{24} T^{76} + \)\(31\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{77} + \)\(24\!\cdots\!53\)\( p^{26} T^{78} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( p^{27} T^{79} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{28} T^{80} + \)\(89\!\cdots\!64\)\( p^{29} T^{81} + \)\(77\!\cdots\!08\)\( p^{31} T^{82} + \)\(41\!\cdots\!58\)\( p^{31} T^{83} + \)\(28\!\cdots\!30\)\( p^{32} T^{84} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( p^{33} T^{85} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{34} T^{86} + \)\(67\!\cdots\!67\)\( p^{35} T^{87} + \)\(43\!\cdots\!84\)\( p^{36} T^{88} + \)\(23\!\cdots\!40\)\( p^{37} T^{89} + \)\(13\!\cdots\!19\)\( p^{38} T^{90} + 6899118443365918048 p^{39} T^{91} + 394746676454024548 p^{40} T^{92} + 17643026544541903 p^{41} T^{93} + 949491172052154 p^{42} T^{94} + 37627367780102 p^{43} T^{95} + 1890185990801 p^{44} T^{96} + 64243119867 p^{45} T^{97} + 2983304579 p^{46} T^{98} + 82302574 p^{47} T^{99} + 3488682 p^{48} T^{100} + 70295 p^{49} T^{101} + 2674 p^{50} T^{102} + 30 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
89 \( 1 + T + 2632 T^{2} + 3565 T^{3} + 3451067 T^{4} + 5730125 T^{5} + 3003459454 T^{6} + 5755692144 T^{7} + 1950305421890 T^{8} + 4136860194414 T^{9} + 1007079027533583 T^{10} + 2289739688506925 T^{11} + 430381923301512112 T^{12} + 1021257021706497417 T^{13} + \)\(15\!\cdots\!26\)\( T^{14} + \)\(37\!\cdots\!36\)\( T^{15} + \)\(49\!\cdots\!73\)\( T^{16} + \)\(11\!\cdots\!83\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( T^{18} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( T^{19} + \)\(33\!\cdots\!77\)\( T^{20} + \)\(74\!\cdots\!50\)\( T^{21} + \)\(75\!\cdots\!82\)\( T^{22} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(15\!\cdots\!76\)\( T^{24} + \)\(26\!\cdots\!95\)\( T^{25} + \)\(27\!\cdots\!32\)\( T^{26} + \)\(40\!\cdots\!51\)\( T^{27} + \)\(46\!\cdots\!96\)\( T^{28} + \)\(50\!\cdots\!34\)\( T^{29} + \)\(71\!\cdots\!16\)\( T^{30} + \)\(43\!\cdots\!57\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!33\)\( T^{32} + \)\(58\!\cdots\!85\)\( T^{33} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( T^{34} - \)\(80\!\cdots\!34\)\( T^{35} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( T^{36} - \)\(22\!\cdots\!10\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!41\)\( T^{38} - \)\(42\!\cdots\!40\)\( T^{39} + \)\(20\!\cdots\!92\)\( T^{40} - \)\(66\!\cdots\!27\)\( T^{41} + \)\(20\!\cdots\!85\)\( T^{42} - \)\(90\!\cdots\!51\)\( T^{43} + \)\(20\!\cdots\!96\)\( T^{44} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( T^{45} + \)\(18\!\cdots\!66\)\( T^{46} - \)\(12\!\cdots\!51\)\( T^{47} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( T^{48} - \)\(12\!\cdots\!81\)\( T^{49} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( T^{50} - \)\(12\!\cdots\!24\)\( T^{51} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( T^{52} - \)\(12\!\cdots\!24\)\( p T^{53} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{54} - \)\(12\!\cdots\!81\)\( p^{3} T^{55} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( p^{4} T^{56} - \)\(12\!\cdots\!51\)\( p^{5} T^{57} + \)\(18\!\cdots\!66\)\( p^{6} T^{58} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( p^{7} T^{59} + \)\(20\!\cdots\!96\)\( p^{8} T^{60} - \)\(90\!\cdots\!51\)\( p^{9} T^{61} + \)\(20\!\cdots\!85\)\( p^{10} T^{62} - \)\(66\!\cdots\!27\)\( p^{11} T^{63} + \)\(20\!\cdots\!92\)\( p^{12} T^{64} - \)\(42\!\cdots\!40\)\( p^{13} T^{65} + \)\(18\!\cdots\!41\)\( p^{14} T^{66} - \)\(22\!\cdots\!10\)\( p^{15} T^{67} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( p^{16} T^{68} - \)\(80\!\cdots\!34\)\( p^{17} T^{69} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( p^{18} T^{70} + \)\(58\!\cdots\!85\)\( p^{19} T^{71} + \)\(10\!\cdots\!33\)\( p^{20} T^{72} + \)\(43\!\cdots\!57\)\( p^{21} T^{73} + \)\(71\!\cdots\!16\)\( p^{22} T^{74} + \)\(50\!\cdots\!34\)\( p^{23} T^{75} + \)\(46\!\cdots\!96\)\( p^{24} T^{76} + \)\(40\!\cdots\!51\)\( p^{25} T^{77} + \)\(27\!\cdots\!32\)\( p^{26} T^{78} + \)\(26\!\cdots\!95\)\( p^{27} T^{79} + \)\(15\!\cdots\!76\)\( p^{28} T^{80} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{29} T^{81} + \)\(75\!\cdots\!82\)\( p^{30} T^{82} + \)\(74\!\cdots\!50\)\( p^{31} T^{83} + \)\(33\!\cdots\!77\)\( p^{32} T^{84} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( p^{33} T^{85} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{34} T^{86} + \)\(11\!\cdots\!83\)\( p^{35} T^{87} + \)\(49\!\cdots\!73\)\( p^{36} T^{88} + \)\(37\!\cdots\!36\)\( p^{37} T^{89} + \)\(15\!\cdots\!26\)\( p^{38} T^{90} + 1021257021706497417 p^{39} T^{91} + 430381923301512112 p^{40} T^{92} + 2289739688506925 p^{41} T^{93} + 1007079027533583 p^{42} T^{94} + 4136860194414 p^{43} T^{95} + 1950305421890 p^{44} T^{96} + 5755692144 p^{45} T^{97} + 3003459454 p^{46} T^{98} + 5730125 p^{47} T^{99} + 3451067 p^{48} T^{100} + 3565 p^{49} T^{101} + 2632 p^{50} T^{102} + p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
97 \( 1 - 73 T + 5098 T^{2} - 241474 T^{3} + 10558016 T^{4} - 386395858 T^{5} + 13158561217 T^{6} - 401965324868 T^{7} + 11550176928595 T^{8} - 307376038861409 T^{9} + 7764743354504903 T^{10} - 184907341879343730 T^{11} + 4209980467234106598 T^{12} - 91362718127164434823 T^{13} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( T^{14} - \)\(38\!\cdots\!75\)\( T^{15} + \)\(73\!\cdots\!79\)\( T^{16} - \)\(13\!\cdots\!25\)\( T^{17} + \)\(25\!\cdots\!45\)\( T^{18} - \)\(43\!\cdots\!37\)\( T^{19} + \)\(74\!\cdots\!55\)\( T^{20} - \)\(12\!\cdots\!05\)\( T^{21} + \)\(20\!\cdots\!73\)\( T^{22} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( T^{23} + \)\(48\!\cdots\!34\)\( T^{24} - \)\(73\!\cdots\!12\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!61\)\( T^{26} - \)\(15\!\cdots\!76\)\( T^{27} + \)\(22\!\cdots\!16\)\( T^{28} - \)\(30\!\cdots\!27\)\( T^{29} + \)\(41\!\cdots\!97\)\( T^{30} - \)\(55\!\cdots\!29\)\( T^{31} + \)\(72\!\cdots\!77\)\( T^{32} - \)\(93\!\cdots\!45\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!13\)\( T^{34} - \)\(14\!\cdots\!74\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!93\)\( T^{36} - \)\(21\!\cdots\!33\)\( T^{37} + \)\(26\!\cdots\!97\)\( p T^{38} - \)\(30\!\cdots\!79\)\( T^{39} + \)\(34\!\cdots\!63\)\( T^{40} - \)\(39\!\cdots\!65\)\( T^{41} + \)\(44\!\cdots\!71\)\( T^{42} - \)\(49\!\cdots\!76\)\( T^{43} + \)\(53\!\cdots\!06\)\( T^{44} - \)\(58\!\cdots\!20\)\( T^{45} + \)\(62\!\cdots\!73\)\( T^{46} - \)\(65\!\cdots\!34\)\( T^{47} + \)\(67\!\cdots\!55\)\( T^{48} - \)\(69\!\cdots\!51\)\( T^{49} + \)\(70\!\cdots\!77\)\( T^{50} - \)\(70\!\cdots\!43\)\( T^{51} + \)\(70\!\cdots\!64\)\( T^{52} - \)\(70\!\cdots\!43\)\( p T^{53} + \)\(70\!\cdots\!77\)\( p^{2} T^{54} - \)\(69\!\cdots\!51\)\( p^{3} T^{55} + \)\(67\!\cdots\!55\)\( p^{4} T^{56} - \)\(65\!\cdots\!34\)\( p^{5} T^{57} + \)\(62\!\cdots\!73\)\( p^{6} T^{58} - \)\(58\!\cdots\!20\)\( p^{7} T^{59} + \)\(53\!\cdots\!06\)\( p^{8} T^{60} - \)\(49\!\cdots\!76\)\( p^{9} T^{61} + \)\(44\!\cdots\!71\)\( p^{10} T^{62} - \)\(39\!\cdots\!65\)\( p^{11} T^{63} + \)\(34\!\cdots\!63\)\( p^{12} T^{64} - \)\(30\!\cdots\!79\)\( p^{13} T^{65} + \)\(26\!\cdots\!97\)\( p^{15} T^{66} - \)\(21\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{67} + \)\(17\!\cdots\!93\)\( p^{16} T^{68} - \)\(14\!\cdots\!74\)\( p^{17} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!13\)\( p^{18} T^{70} - \)\(93\!\cdots\!45\)\( p^{19} T^{71} + \)\(72\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{72} - \)\(55\!\cdots\!29\)\( p^{21} T^{73} + \)\(41\!\cdots\!97\)\( p^{22} T^{74} - \)\(30\!\cdots\!27\)\( p^{23} T^{75} + \)\(22\!\cdots\!16\)\( p^{24} T^{76} - \)\(15\!\cdots\!76\)\( p^{25} T^{77} + \)\(10\!\cdots\!61\)\( p^{26} T^{78} - \)\(73\!\cdots\!12\)\( p^{27} T^{79} + \)\(48\!\cdots\!34\)\( p^{28} T^{80} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( p^{29} T^{81} + \)\(20\!\cdots\!73\)\( p^{30} T^{82} - \)\(12\!\cdots\!05\)\( p^{31} T^{83} + \)\(74\!\cdots\!55\)\( p^{32} T^{84} - \)\(43\!\cdots\!37\)\( p^{33} T^{85} + \)\(25\!\cdots\!45\)\( p^{34} T^{86} - \)\(13\!\cdots\!25\)\( p^{35} T^{87} + \)\(73\!\cdots\!79\)\( p^{36} T^{88} - \)\(38\!\cdots\!75\)\( p^{37} T^{89} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( p^{38} T^{90} - 91362718127164434823 p^{39} T^{91} + 4209980467234106598 p^{40} T^{92} - 184907341879343730 p^{41} T^{93} + 7764743354504903 p^{42} T^{94} - 307376038861409 p^{43} T^{95} + 11550176928595 p^{44} T^{96} - 401965324868 p^{45} T^{97} + 13158561217 p^{46} T^{98} - 386395858 p^{47} T^{99} + 10558016 p^{48} T^{100} - 241474 p^{49} T^{101} + 5098 p^{50} T^{102} - 73 p^{51} T^{103} + p^{52} T^{104} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{104} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−0.58281533350603092672380307314, −0.58213584787020954773432131758, −0.58024902322951118867874689893, −0.57375623304922053681235457900, −0.55645596843677731456614100053, −0.54785539870939041059705687720, −0.54694703898223651763705165808, −0.52265471463723030728861779669, −0.51509134189324609681674613480, −0.49395348131472030228997590524, −0.47092878656435691815748131112, −0.47027177191240422764967950167, −0.46948697932461300238219846360, −0.41993307444229026653863670634, −0.40016152359523978916990111530, −0.39545914663096894956811092649, −0.39283544812591830362345564407, −0.37599997468236715917630974287, −0.35877105121640986116297723178, −0.34155962481791598172398723798, −0.30063529198402385849201926803, −0.22322491255615939154352373759, −0.18467702688182420862870724912, −0.17313366437133373582011602126, −0.04066973919895316948801061409, 0.04066973919895316948801061409, 0.17313366437133373582011602126, 0.18467702688182420862870724912, 0.22322491255615939154352373759, 0.30063529198402385849201926803, 0.34155962481791598172398723798, 0.35877105121640986116297723178, 0.37599997468236715917630974287, 0.39283544812591830362345564407, 0.39545914663096894956811092649, 0.40016152359523978916990111530, 0.41993307444229026653863670634, 0.46948697932461300238219846360, 0.47027177191240422764967950167, 0.47092878656435691815748131112, 0.49395348131472030228997590524, 0.51509134189324609681674613480, 0.52265471463723030728861779669, 0.54694703898223651763705165808, 0.54785539870939041059705687720, 0.55645596843677731456614100053, 0.57375623304922053681235457900, 0.58024902322951118867874689893, 0.58213584787020954773432131758, 0.58281533350603092672380307314

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.