Properties

Degree 40
Conductor $ 2^{40} \cdot 7^{40} \cdot 41^{20} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 4·3-s + 8·5-s − 14·9-s − 8·11-s + 12·13-s + 32·15-s + 8·17-s + 24·19-s + 8·23-s − 8·25-s − 76·27-s − 12·29-s − 32·33-s + 12·37-s + 48·39-s − 20·41-s + 4·43-s − 112·45-s + 4·47-s + 32·51-s − 12·53-s − 64·55-s + 96·57-s + 16·59-s + 68·61-s + 96·65-s + 4·67-s + ⋯
L(s)  = 1  + 2.30·3-s + 3.57·5-s − 4.66·9-s − 2.41·11-s + 3.32·13-s + 8.26·15-s + 1.94·17-s + 5.50·19-s + 1.66·23-s − 8/5·25-s − 14.6·27-s − 2.22·29-s − 5.57·33-s + 1.97·37-s + 7.68·39-s − 3.12·41-s + 0.609·43-s − 16.6·45-s + 0.583·47-s + 4.48·51-s − 1.64·53-s − 8.62·55-s + 12.7·57-s + 2.08·59-s + 8.70·61-s + 11.9·65-s + 0.488·67-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 7^{40} \cdot 41^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 7^{40} \cdot 41^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(40\)
\( N \)  =  \(2^{40} \cdot 7^{40} \cdot 41^{20}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{8036} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  0
Selberg data  =  $(40,\ 2^{40} \cdot 7^{40} \cdot 41^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )$
$L(1)$  $\approx$  $1883.949094$
$L(\frac12)$  $\approx$  $1883.949094$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{2,\;7,\;41\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 40. If $p \in \{2,\;7,\;41\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 39.
$p$$F_p$
bad2 \( 1 \)
7 \( 1 \)
41 \( ( 1 + T )^{20} \)
good3 \( 1 - 4 T + 10 p T^{2} - 100 T^{3} + 146 p T^{4} - 424 p T^{5} + 4240 T^{6} - 11012 T^{7} + 30845 T^{8} - 24292 p T^{9} + 180194 T^{10} - 130804 p T^{11} + 881848 T^{12} - 596788 p T^{13} + 3730214 T^{14} - 2378284 p T^{15} + 13991387 T^{16} - 25453628 T^{17} + 47522000 T^{18} - 27610516 p T^{19} + 49440901 p T^{20} - 27610516 p^{2} T^{21} + 47522000 p^{2} T^{22} - 25453628 p^{3} T^{23} + 13991387 p^{4} T^{24} - 2378284 p^{6} T^{25} + 3730214 p^{6} T^{26} - 596788 p^{8} T^{27} + 881848 p^{8} T^{28} - 130804 p^{10} T^{29} + 180194 p^{10} T^{30} - 24292 p^{12} T^{31} + 30845 p^{12} T^{32} - 11012 p^{13} T^{33} + 4240 p^{14} T^{34} - 424 p^{16} T^{35} + 146 p^{17} T^{36} - 100 p^{17} T^{37} + 10 p^{19} T^{38} - 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
5 \( 1 - 8 T + 72 T^{2} - 16 p^{2} T^{3} + 2237 T^{4} - 9876 T^{5} + 42972 T^{6} - 32192 p T^{7} + 592638 T^{8} - 1959204 T^{9} + 255342 p^{2} T^{10} - 19135824 T^{11} + 56758118 T^{12} - 157264968 T^{13} + 432551686 T^{14} - 1121760004 T^{15} + 578502141 p T^{16} - 7067419456 T^{17} + 3434656968 p T^{18} - 7925118564 p T^{19} + 90903287002 T^{20} - 7925118564 p^{2} T^{21} + 3434656968 p^{3} T^{22} - 7067419456 p^{3} T^{23} + 578502141 p^{5} T^{24} - 1121760004 p^{5} T^{25} + 432551686 p^{6} T^{26} - 157264968 p^{7} T^{27} + 56758118 p^{8} T^{28} - 19135824 p^{9} T^{29} + 255342 p^{12} T^{30} - 1959204 p^{11} T^{31} + 592638 p^{12} T^{32} - 32192 p^{14} T^{33} + 42972 p^{14} T^{34} - 9876 p^{15} T^{35} + 2237 p^{16} T^{36} - 16 p^{19} T^{37} + 72 p^{18} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
11 \( 1 + 8 T + 142 T^{2} + 992 T^{3} + 9964 T^{4} + 5568 p T^{5} + 458342 T^{6} + 2512024 T^{7} + 15530598 T^{8} + 6994184 p T^{9} + 413551562 T^{10} + 1873362464 T^{11} + 9012640270 T^{12} + 37664981344 T^{13} + 165092145546 T^{14} + 640460360552 T^{15} + 2586564514345 T^{16} + 9350628067040 T^{17} + 35040381858552 T^{18} + 118256665353312 T^{19} + 412895546420908 T^{20} + 118256665353312 p T^{21} + 35040381858552 p^{2} T^{22} + 9350628067040 p^{3} T^{23} + 2586564514345 p^{4} T^{24} + 640460360552 p^{5} T^{25} + 165092145546 p^{6} T^{26} + 37664981344 p^{7} T^{27} + 9012640270 p^{8} T^{28} + 1873362464 p^{9} T^{29} + 413551562 p^{10} T^{30} + 6994184 p^{12} T^{31} + 15530598 p^{12} T^{32} + 2512024 p^{13} T^{33} + 458342 p^{14} T^{34} + 5568 p^{16} T^{35} + 9964 p^{16} T^{36} + 992 p^{17} T^{37} + 142 p^{18} T^{38} + 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
13 \( 1 - 12 T + 194 T^{2} - 1700 T^{3} + 16215 T^{4} - 8828 p T^{5} + 829070 T^{6} - 5018428 T^{7} + 30262070 T^{8} - 162395528 T^{9} + 860372336 T^{10} - 4190858120 T^{11} + 20109646694 T^{12} - 6951457664 p T^{13} + 400312442964 T^{14} - 1679055021608 T^{15} + 6949980791045 T^{16} - 27425632181028 T^{17} + 106863781088238 T^{18} - 398549262766884 T^{19} + 1467826932439611 T^{20} - 398549262766884 p T^{21} + 106863781088238 p^{2} T^{22} - 27425632181028 p^{3} T^{23} + 6949980791045 p^{4} T^{24} - 1679055021608 p^{5} T^{25} + 400312442964 p^{6} T^{26} - 6951457664 p^{8} T^{27} + 20109646694 p^{8} T^{28} - 4190858120 p^{9} T^{29} + 860372336 p^{10} T^{30} - 162395528 p^{11} T^{31} + 30262070 p^{12} T^{32} - 5018428 p^{13} T^{33} + 829070 p^{14} T^{34} - 8828 p^{16} T^{35} + 16215 p^{16} T^{36} - 1700 p^{17} T^{37} + 194 p^{18} T^{38} - 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
17 \( 1 - 8 T + 12 p T^{2} - 1364 T^{3} + 19837 T^{4} - 115236 T^{5} + 1252068 T^{6} - 6497620 T^{7} + 58571224 T^{8} - 277021276 T^{9} + 2184743874 T^{10} - 9546857708 T^{11} + 67882331020 T^{12} - 276510702884 T^{13} + 1805247496970 T^{14} - 6893991759912 T^{15} + 41807869607761 T^{16} - 150199940099848 T^{17} + 852315750839294 T^{18} - 2884906960753048 T^{19} + 904976509512791 p T^{20} - 2884906960753048 p T^{21} + 852315750839294 p^{2} T^{22} - 150199940099848 p^{3} T^{23} + 41807869607761 p^{4} T^{24} - 6893991759912 p^{5} T^{25} + 1805247496970 p^{6} T^{26} - 276510702884 p^{7} T^{27} + 67882331020 p^{8} T^{28} - 9546857708 p^{9} T^{29} + 2184743874 p^{10} T^{30} - 277021276 p^{11} T^{31} + 58571224 p^{12} T^{32} - 6497620 p^{13} T^{33} + 1252068 p^{14} T^{34} - 115236 p^{15} T^{35} + 19837 p^{16} T^{36} - 1364 p^{17} T^{37} + 12 p^{19} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
19 \( 1 - 24 T + 442 T^{2} - 5948 T^{3} + 69172 T^{4} - 689232 T^{5} + 6223974 T^{6} - 50847780 T^{7} + 20334893 p T^{8} - 2729413288 T^{9} + 18223922508 T^{10} - 114944678504 T^{11} + 692265483630 T^{12} - 3976725038900 T^{13} + 21951204485116 T^{14} - 116244899280332 T^{15} + 593773138113969 T^{16} - 2919711686019564 T^{17} + 13879126186324128 T^{18} - 63632736387802896 T^{19} + 282340935861651499 T^{20} - 63632736387802896 p T^{21} + 13879126186324128 p^{2} T^{22} - 2919711686019564 p^{3} T^{23} + 593773138113969 p^{4} T^{24} - 116244899280332 p^{5} T^{25} + 21951204485116 p^{6} T^{26} - 3976725038900 p^{7} T^{27} + 692265483630 p^{8} T^{28} - 114944678504 p^{9} T^{29} + 18223922508 p^{10} T^{30} - 2729413288 p^{11} T^{31} + 20334893 p^{13} T^{32} - 50847780 p^{13} T^{33} + 6223974 p^{14} T^{34} - 689232 p^{15} T^{35} + 69172 p^{16} T^{36} - 5948 p^{17} T^{37} + 442 p^{18} T^{38} - 24 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
23 \( 1 - 8 T + 224 T^{2} - 1604 T^{3} + 25586 T^{4} - 164324 T^{5} + 1949088 T^{6} - 11272892 T^{7} + 110293819 T^{8} - 575766952 T^{9} + 4917180158 T^{10} - 23186904576 T^{11} + 179684057376 T^{12} - 766054796244 T^{13} + 5564463719942 T^{14} - 936843638736 p T^{15} + 151225681694129 T^{16} - 539520406114572 T^{17} + 3750834473275234 T^{18} - 12680390219549800 T^{19} + 88013214377958071 T^{20} - 12680390219549800 p T^{21} + 3750834473275234 p^{2} T^{22} - 539520406114572 p^{3} T^{23} + 151225681694129 p^{4} T^{24} - 936843638736 p^{6} T^{25} + 5564463719942 p^{6} T^{26} - 766054796244 p^{7} T^{27} + 179684057376 p^{8} T^{28} - 23186904576 p^{9} T^{29} + 4917180158 p^{10} T^{30} - 575766952 p^{11} T^{31} + 110293819 p^{12} T^{32} - 11272892 p^{13} T^{33} + 1949088 p^{14} T^{34} - 164324 p^{15} T^{35} + 25586 p^{16} T^{36} - 1604 p^{17} T^{37} + 224 p^{18} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
29 \( 1 + 12 T + 372 T^{2} + 3900 T^{3} + 68255 T^{4} + 641676 T^{5} + 8277632 T^{6} + 70822400 T^{7} + 746135170 T^{8} + 5863304764 T^{9} + 53174262038 T^{10} + 386094445984 T^{11} + 3108561209242 T^{12} + 20939598180832 T^{13} + 152594143829102 T^{14} + 956108937529028 T^{15} + 6385477457957389 T^{16} + 37270237580395268 T^{17} + 229952446886288440 T^{18} + 1250667711151805704 T^{19} + 7163785976565568494 T^{20} + 1250667711151805704 p T^{21} + 229952446886288440 p^{2} T^{22} + 37270237580395268 p^{3} T^{23} + 6385477457957389 p^{4} T^{24} + 956108937529028 p^{5} T^{25} + 152594143829102 p^{6} T^{26} + 20939598180832 p^{7} T^{27} + 3108561209242 p^{8} T^{28} + 386094445984 p^{9} T^{29} + 53174262038 p^{10} T^{30} + 5863304764 p^{11} T^{31} + 746135170 p^{12} T^{32} + 70822400 p^{13} T^{33} + 8277632 p^{14} T^{34} + 641676 p^{15} T^{35} + 68255 p^{16} T^{36} + 3900 p^{17} T^{37} + 372 p^{18} T^{38} + 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
31 \( 1 + 366 T^{2} + 200 T^{3} + 64893 T^{4} + 66076 T^{5} + 7487952 T^{6} + 10495888 T^{7} + 637833274 T^{8} + 1075441548 T^{9} + 43108352406 T^{10} + 80651055032 T^{11} + 2420742392118 T^{12} + 4765258606976 T^{13} + 116381484643210 T^{14} + 232551995261652 T^{15} + 4881847246546661 T^{16} + 9645402933660120 T^{17} + 180712343974789634 T^{18} + 344947354297833756 T^{19} + 5939483468474401498 T^{20} + 344947354297833756 p T^{21} + 180712343974789634 p^{2} T^{22} + 9645402933660120 p^{3} T^{23} + 4881847246546661 p^{4} T^{24} + 232551995261652 p^{5} T^{25} + 116381484643210 p^{6} T^{26} + 4765258606976 p^{7} T^{27} + 2420742392118 p^{8} T^{28} + 80651055032 p^{9} T^{29} + 43108352406 p^{10} T^{30} + 1075441548 p^{11} T^{31} + 637833274 p^{12} T^{32} + 10495888 p^{13} T^{33} + 7487952 p^{14} T^{34} + 66076 p^{15} T^{35} + 64893 p^{16} T^{36} + 200 p^{17} T^{37} + 366 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \)
37 \( 1 - 12 T + 414 T^{2} - 4100 T^{3} + 82723 T^{4} - 714876 T^{5} + 10950648 T^{6} - 85102596 T^{7} + 1090533699 T^{8} - 7755996252 T^{9} + 87298936098 T^{10} - 574754531056 T^{11} + 5846021890633 T^{12} - 35909756683808 T^{13} + 335961485822006 T^{14} - 1935713494053164 T^{15} + 16848638971526184 T^{16} - 91370333355176520 T^{17} + 745252319804448866 T^{18} - 3810432221941255680 T^{19} + 29246522638093731856 T^{20} - 3810432221941255680 p T^{21} + 745252319804448866 p^{2} T^{22} - 91370333355176520 p^{3} T^{23} + 16848638971526184 p^{4} T^{24} - 1935713494053164 p^{5} T^{25} + 335961485822006 p^{6} T^{26} - 35909756683808 p^{7} T^{27} + 5846021890633 p^{8} T^{28} - 574754531056 p^{9} T^{29} + 87298936098 p^{10} T^{30} - 7755996252 p^{11} T^{31} + 1090533699 p^{12} T^{32} - 85102596 p^{13} T^{33} + 10950648 p^{14} T^{34} - 714876 p^{15} T^{35} + 82723 p^{16} T^{36} - 4100 p^{17} T^{37} + 414 p^{18} T^{38} - 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
43 \( 1 - 4 T + 362 T^{2} - 1816 T^{3} + 68417 T^{4} - 376728 T^{5} + 8859796 T^{6} - 50098400 T^{7} + 873099406 T^{8} - 4884181768 T^{9} + 69429029716 T^{10} - 376406649008 T^{11} + 4640398136768 T^{12} - 24165516805592 T^{13} + 269513852332750 T^{14} - 1347357682359948 T^{15} + 14004381065462057 T^{16} - 67481618639288864 T^{17} + 667084060401896952 T^{18} - 3111440283755638144 T^{19} + 29620566888741233631 T^{20} - 3111440283755638144 p T^{21} + 667084060401896952 p^{2} T^{22} - 67481618639288864 p^{3} T^{23} + 14004381065462057 p^{4} T^{24} - 1347357682359948 p^{5} T^{25} + 269513852332750 p^{6} T^{26} - 24165516805592 p^{7} T^{27} + 4640398136768 p^{8} T^{28} - 376406649008 p^{9} T^{29} + 69429029716 p^{10} T^{30} - 4884181768 p^{11} T^{31} + 873099406 p^{12} T^{32} - 50098400 p^{13} T^{33} + 8859796 p^{14} T^{34} - 376728 p^{15} T^{35} + 68417 p^{16} T^{36} - 1816 p^{17} T^{37} + 362 p^{18} T^{38} - 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
47 \( 1 - 4 T + 374 T^{2} - 1096 T^{3} + 70333 T^{4} - 138060 T^{5} + 8812902 T^{6} - 8238792 T^{7} + 825273227 T^{8} + 162954236 T^{9} + 62195044950 T^{10} + 87253393748 T^{11} + 4018555017717 T^{12} + 10192167743020 T^{13} + 235818086464330 T^{14} + 791041310737316 T^{15} + 13050043304896332 T^{16} + 48390279852871812 T^{17} + 684184059349996740 T^{18} + 2536743929071383924 T^{19} + 33454277957904126460 T^{20} + 2536743929071383924 p T^{21} + 684184059349996740 p^{2} T^{22} + 48390279852871812 p^{3} T^{23} + 13050043304896332 p^{4} T^{24} + 791041310737316 p^{5} T^{25} + 235818086464330 p^{6} T^{26} + 10192167743020 p^{7} T^{27} + 4018555017717 p^{8} T^{28} + 87253393748 p^{9} T^{29} + 62195044950 p^{10} T^{30} + 162954236 p^{11} T^{31} + 825273227 p^{12} T^{32} - 8238792 p^{13} T^{33} + 8812902 p^{14} T^{34} - 138060 p^{15} T^{35} + 70333 p^{16} T^{36} - 1096 p^{17} T^{37} + 374 p^{18} T^{38} - 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
53 \( 1 + 12 T + 512 T^{2} + 5612 T^{3} + 135003 T^{4} + 1361876 T^{5} + 24146848 T^{6} + 224957376 T^{7} + 3265904782 T^{8} + 28191103556 T^{9} + 354427483702 T^{10} + 2845087467008 T^{11} + 32079538394358 T^{12} + 240579990164368 T^{13} + 2492534087391782 T^{14} + 17565005054366700 T^{15} + 170202190083621233 T^{16} + 1134513791108890324 T^{17} + 10410150847987163156 T^{18} + 66034944862846181312 T^{19} + \)\(57\!\cdots\!62\)\( T^{20} + 66034944862846181312 p T^{21} + 10410150847987163156 p^{2} T^{22} + 1134513791108890324 p^{3} T^{23} + 170202190083621233 p^{4} T^{24} + 17565005054366700 p^{5} T^{25} + 2492534087391782 p^{6} T^{26} + 240579990164368 p^{7} T^{27} + 32079538394358 p^{8} T^{28} + 2845087467008 p^{9} T^{29} + 354427483702 p^{10} T^{30} + 28191103556 p^{11} T^{31} + 3265904782 p^{12} T^{32} + 224957376 p^{13} T^{33} + 24146848 p^{14} T^{34} + 1361876 p^{15} T^{35} + 135003 p^{16} T^{36} + 5612 p^{17} T^{37} + 512 p^{18} T^{38} + 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
59 \( 1 - 16 T + 600 T^{2} - 7152 T^{3} + 160149 T^{4} - 1517188 T^{5} + 26845940 T^{6} - 211678632 T^{7} + 3369110190 T^{8} - 23123338092 T^{9} + 354171762190 T^{10} - 2196705117576 T^{11} + 32918184304670 T^{12} - 187976789926624 T^{13} + 2737276590449382 T^{14} - 14486638251217924 T^{15} + 204335692284544161 T^{16} - 1010492249607485920 T^{17} + 13812880948781473744 T^{18} - 64587694050718683228 T^{19} + \)\(85\!\cdots\!74\)\( T^{20} - 64587694050718683228 p T^{21} + 13812880948781473744 p^{2} T^{22} - 1010492249607485920 p^{3} T^{23} + 204335692284544161 p^{4} T^{24} - 14486638251217924 p^{5} T^{25} + 2737276590449382 p^{6} T^{26} - 187976789926624 p^{7} T^{27} + 32918184304670 p^{8} T^{28} - 2196705117576 p^{9} T^{29} + 354171762190 p^{10} T^{30} - 23123338092 p^{11} T^{31} + 3369110190 p^{12} T^{32} - 211678632 p^{13} T^{33} + 26845940 p^{14} T^{34} - 1517188 p^{15} T^{35} + 160149 p^{16} T^{36} - 7152 p^{17} T^{37} + 600 p^{18} T^{38} - 16 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
61 \( 1 - 68 T + 2746 T^{2} - 80188 T^{3} + 1878988 T^{4} - 37113284 T^{5} + 640367622 T^{6} - 9880068788 T^{7} + 138898695230 T^{8} - 1804249453812 T^{9} + 21905924713998 T^{10} - 250758694746204 T^{11} + 2725099373231954 T^{12} - 28254058109831964 T^{13} + 280527819775663110 T^{14} - 2674075904274351012 T^{15} + 24521277038835470769 T^{16} - \)\(21\!\cdots\!80\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( T^{18} - \)\(15\!\cdots\!44\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!64\)\( T^{20} - \)\(15\!\cdots\!44\)\( p T^{21} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{22} - \)\(21\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{23} + 24521277038835470769 p^{4} T^{24} - 2674075904274351012 p^{5} T^{25} + 280527819775663110 p^{6} T^{26} - 28254058109831964 p^{7} T^{27} + 2725099373231954 p^{8} T^{28} - 250758694746204 p^{9} T^{29} + 21905924713998 p^{10} T^{30} - 1804249453812 p^{11} T^{31} + 138898695230 p^{12} T^{32} - 9880068788 p^{13} T^{33} + 640367622 p^{14} T^{34} - 37113284 p^{15} T^{35} + 1878988 p^{16} T^{36} - 80188 p^{17} T^{37} + 2746 p^{18} T^{38} - 68 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
67 \( 1 - 4 T + 964 T^{2} - 4156 T^{3} + 456375 T^{4} - 2061116 T^{5} + 141287868 T^{6} - 652790288 T^{7} + 32101542726 T^{8} - 148762145132 T^{9} + 5690411521150 T^{10} - 26012669512256 T^{11} + 816354810670358 T^{12} - 3628940346767312 T^{13} + 97022283322151438 T^{14} - 414055046813706044 T^{15} + 9698391419487720521 T^{16} - 39254578625509580396 T^{17} + \)\(82\!\cdots\!24\)\( T^{18} - \)\(31\!\cdots\!48\)\( T^{19} + \)\(59\!\cdots\!90\)\( T^{20} - \)\(31\!\cdots\!48\)\( p T^{21} + \)\(82\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{22} - 39254578625509580396 p^{3} T^{23} + 9698391419487720521 p^{4} T^{24} - 414055046813706044 p^{5} T^{25} + 97022283322151438 p^{6} T^{26} - 3628940346767312 p^{7} T^{27} + 816354810670358 p^{8} T^{28} - 26012669512256 p^{9} T^{29} + 5690411521150 p^{10} T^{30} - 148762145132 p^{11} T^{31} + 32101542726 p^{12} T^{32} - 652790288 p^{13} T^{33} + 141287868 p^{14} T^{34} - 2061116 p^{15} T^{35} + 456375 p^{16} T^{36} - 4156 p^{17} T^{37} + 964 p^{18} T^{38} - 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
71 \( 1 - 8 T + 874 T^{2} - 6608 T^{3} + 368744 T^{4} - 2610424 T^{5} + 100404914 T^{6} - 660904456 T^{7} + 19947410094 T^{8} - 121657957840 T^{9} + 3106217030942 T^{10} - 17569063338760 T^{11} + 398194221131546 T^{12} - 2099453527999864 T^{13} + 43527546864216302 T^{14} - 215467526265102368 T^{15} + 4154554567737912833 T^{16} - 19417901038856108816 T^{17} + \)\(35\!\cdots\!52\)\( T^{18} - \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{19} + \)\(26\!\cdots\!20\)\( T^{20} - \)\(15\!\cdots\!16\)\( p T^{21} + \)\(35\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{22} - 19417901038856108816 p^{3} T^{23} + 4154554567737912833 p^{4} T^{24} - 215467526265102368 p^{5} T^{25} + 43527546864216302 p^{6} T^{26} - 2099453527999864 p^{7} T^{27} + 398194221131546 p^{8} T^{28} - 17569063338760 p^{9} T^{29} + 3106217030942 p^{10} T^{30} - 121657957840 p^{11} T^{31} + 19947410094 p^{12} T^{32} - 660904456 p^{13} T^{33} + 100404914 p^{14} T^{34} - 2610424 p^{15} T^{35} + 368744 p^{16} T^{36} - 6608 p^{17} T^{37} + 874 p^{18} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
73 \( 1 - 48 T + 1494 T^{2} - 33256 T^{3} + 598148 T^{4} - 8939320 T^{5} + 116257546 T^{6} - 1342575896 T^{7} + 14264801870 T^{8} - 142480859576 T^{9} + 1376060227538 T^{10} - 12947573383648 T^{11} + 119527307724954 T^{12} - 1075306586055696 T^{13} + 9483832704310266 T^{14} - 82276567800105240 T^{15} + 713707218156263457 T^{16} - 6206964800767534632 T^{17} + 54355099696009499380 T^{18} - \)\(47\!\cdots\!28\)\( T^{19} + \)\(40\!\cdots\!04\)\( T^{20} - \)\(47\!\cdots\!28\)\( p T^{21} + 54355099696009499380 p^{2} T^{22} - 6206964800767534632 p^{3} T^{23} + 713707218156263457 p^{4} T^{24} - 82276567800105240 p^{5} T^{25} + 9483832704310266 p^{6} T^{26} - 1075306586055696 p^{7} T^{27} + 119527307724954 p^{8} T^{28} - 12947573383648 p^{9} T^{29} + 1376060227538 p^{10} T^{30} - 142480859576 p^{11} T^{31} + 14264801870 p^{12} T^{32} - 1342575896 p^{13} T^{33} + 116257546 p^{14} T^{34} - 8939320 p^{15} T^{35} + 598148 p^{16} T^{36} - 33256 p^{17} T^{37} + 1494 p^{18} T^{38} - 48 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
79 \( 1 + 20 T + 936 T^{2} + 18068 T^{3} + 457182 T^{4} + 8086332 T^{5} + 151587824 T^{6} + 2407195644 T^{7} + 37630638349 T^{8} + 536777135360 T^{9} + 7375070117720 T^{10} + 95320730703424 T^{11} + 1181426005717928 T^{12} + 13965857953973408 T^{13} + 158429454783904840 T^{14} + 1725932412403134048 T^{15} + 18076051380908681650 T^{16} + \)\(18\!\cdots\!80\)\( T^{17} + \)\(17\!\cdots\!16\)\( T^{18} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{20} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( p T^{21} + \)\(17\!\cdots\!16\)\( p^{2} T^{22} + \)\(18\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{23} + 18076051380908681650 p^{4} T^{24} + 1725932412403134048 p^{5} T^{25} + 158429454783904840 p^{6} T^{26} + 13965857953973408 p^{7} T^{27} + 1181426005717928 p^{8} T^{28} + 95320730703424 p^{9} T^{29} + 7375070117720 p^{10} T^{30} + 536777135360 p^{11} T^{31} + 37630638349 p^{12} T^{32} + 2407195644 p^{13} T^{33} + 151587824 p^{14} T^{34} + 8086332 p^{15} T^{35} + 457182 p^{16} T^{36} + 18068 p^{17} T^{37} + 936 p^{18} T^{38} + 20 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
83 \( 1 + 8 T + 844 T^{2} + 7192 T^{3} + 372340 T^{4} + 3255184 T^{5} + 113045612 T^{6} + 989158864 T^{7} + 26286771966 T^{8} + 226434233416 T^{9} + 4946391546212 T^{10} + 41465008968600 T^{11} + 778056222842042 T^{12} + 6291772550614808 T^{13} + 104429188772228900 T^{14} + 808563541486623240 T^{15} + 12119228017148642625 T^{16} + 89221305839101878056 T^{17} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( T^{18} + \)\(85\!\cdots\!24\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{20} + \)\(85\!\cdots\!24\)\( p T^{21} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( p^{2} T^{22} + 89221305839101878056 p^{3} T^{23} + 12119228017148642625 p^{4} T^{24} + 808563541486623240 p^{5} T^{25} + 104429188772228900 p^{6} T^{26} + 6291772550614808 p^{7} T^{27} + 778056222842042 p^{8} T^{28} + 41465008968600 p^{9} T^{29} + 4946391546212 p^{10} T^{30} + 226434233416 p^{11} T^{31} + 26286771966 p^{12} T^{32} + 989158864 p^{13} T^{33} + 113045612 p^{14} T^{34} + 3255184 p^{15} T^{35} + 372340 p^{16} T^{36} + 7192 p^{17} T^{37} + 844 p^{18} T^{38} + 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
89 \( 1 - 60 T + 3064 T^{2} - 109736 T^{3} + 3469110 T^{4} - 92247504 T^{5} + 2226138806 T^{6} - 47923058388 T^{7} + 952895395711 T^{8} - 17367055631856 T^{9} + 295721937917720 T^{10} - 4684930005199444 T^{11} + 69874023790081134 T^{12} - 978367239015143448 T^{13} + 12963332685038076396 T^{14} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( T^{15} + \)\(19\!\cdots\!71\)\( T^{16} - \)\(21\!\cdots\!04\)\( T^{17} + \)\(23\!\cdots\!62\)\( T^{18} - \)\(23\!\cdots\!64\)\( T^{19} + \)\(22\!\cdots\!11\)\( T^{20} - \)\(23\!\cdots\!64\)\( p T^{21} + \)\(23\!\cdots\!62\)\( p^{2} T^{22} - \)\(21\!\cdots\!04\)\( p^{3} T^{23} + \)\(19\!\cdots\!71\)\( p^{4} T^{24} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{25} + 12963332685038076396 p^{6} T^{26} - 978367239015143448 p^{7} T^{27} + 69874023790081134 p^{8} T^{28} - 4684930005199444 p^{9} T^{29} + 295721937917720 p^{10} T^{30} - 17367055631856 p^{11} T^{31} + 952895395711 p^{12} T^{32} - 47923058388 p^{13} T^{33} + 2226138806 p^{14} T^{34} - 92247504 p^{15} T^{35} + 3469110 p^{16} T^{36} - 109736 p^{17} T^{37} + 3064 p^{18} T^{38} - 60 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
97 \( 1 - 40 T + 1682 T^{2} - 45380 T^{3} + 1181790 T^{4} - 25037632 T^{5} + 506502396 T^{6} - 9044350868 T^{7} + 154470490273 T^{8} - 2419186654120 T^{9} + 36384002638630 T^{10} - 512269362167364 T^{11} + 6953901987187436 T^{12} - 89457001024798496 T^{13} + 1113239218578782266 T^{14} - 13227501904031877232 T^{15} + \)\(15\!\cdots\!63\)\( T^{16} - \)\(16\!\cdots\!56\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( T^{18} - \)\(18\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(18\!\cdots\!39\)\( T^{20} - \)\(18\!\cdots\!40\)\( p T^{21} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{22} - \)\(16\!\cdots\!56\)\( p^{3} T^{23} + \)\(15\!\cdots\!63\)\( p^{4} T^{24} - 13227501904031877232 p^{5} T^{25} + 1113239218578782266 p^{6} T^{26} - 89457001024798496 p^{7} T^{27} + 6953901987187436 p^{8} T^{28} - 512269362167364 p^{9} T^{29} + 36384002638630 p^{10} T^{30} - 2419186654120 p^{11} T^{31} + 154470490273 p^{12} T^{32} - 9044350868 p^{13} T^{33} + 506502396 p^{14} T^{34} - 25037632 p^{15} T^{35} + 1181790 p^{16} T^{36} - 45380 p^{17} T^{37} + 1682 p^{18} T^{38} - 40 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.59525522383135092139291866170, −1.57574216860640521640354406639, −1.55861840585172288153663749257, −1.45170824075511595252636658981, −1.38320120354664723478875436198, −1.28623113133546361679160960266, −1.28169501407571667202204788676, −1.03539691291421741204186305550, −1.02014045120410202561911441466, −0.919613617761374012079029490437, −0.891164744877721232594817443471, −0.814747744931286547055860993312, −0.803020480788443876137356714188, −0.78884935137199995048637517826, −0.71623825345992442071301437704, −0.62952167572649113325085159030, −0.60855407371942997857355931442, −0.55556566917000263484103601342, −0.55481992855078839024431896340, −0.47504354409650531923943355699, −0.46465366664918793496032799846, −0.36952656458875077245201905468, −0.36168034830975287574110869452, −0.29762947337552829918190691215, −0.085823669419187712874194747850, 0.085823669419187712874194747850, 0.29762947337552829918190691215, 0.36168034830975287574110869452, 0.36952656458875077245201905468, 0.46465366664918793496032799846, 0.47504354409650531923943355699, 0.55481992855078839024431896340, 0.55556566917000263484103601342, 0.60855407371942997857355931442, 0.62952167572649113325085159030, 0.71623825345992442071301437704, 0.78884935137199995048637517826, 0.803020480788443876137356714188, 0.814747744931286547055860993312, 0.891164744877721232594817443471, 0.919613617761374012079029490437, 1.02014045120410202561911441466, 1.03539691291421741204186305550, 1.28169501407571667202204788676, 1.28623113133546361679160960266, 1.38320120354664723478875436198, 1.45170824075511595252636658981, 1.55861840585172288153663749257, 1.57574216860640521640354406639, 1.59525522383135092139291866170

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.