Properties

Degree 30
Conductor $ 2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 13^{15} \cdot 103^{15} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 15·2-s − 15·3-s + 120·4-s − 5-s − 225·6-s + 5·7-s + 680·8-s + 120·9-s − 15·10-s + 3·11-s − 1.80e3·12-s − 15·13-s + 75·14-s + 15·15-s + 3.06e3·16-s − 2·17-s + 1.80e3·18-s + 8·19-s − 120·20-s − 75·21-s + 45·22-s + 3·23-s − 1.02e4·24-s − 26·25-s − 225·26-s − 680·27-s + 600·28-s + ⋯
L(s)  = 1  + 10.6·2-s − 8.66·3-s + 60·4-s − 0.447·5-s − 91.8·6-s + 1.88·7-s + 240.·8-s + 40·9-s − 4.74·10-s + 0.904·11-s − 519.·12-s − 4.16·13-s + 20.0·14-s + 3.87·15-s + 765·16-s − 0.485·17-s + 424.·18-s + 1.83·19-s − 26.8·20-s − 16.3·21-s + 9.59·22-s + 0.625·23-s − 2.08e3·24-s − 5.19·25-s − 44.1·26-s − 130.·27-s + 113.·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 13^{15} \cdot 103^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 13^{15} \cdot 103^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(30\)
\( N \)  =  \(2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 13^{15} \cdot 103^{15}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{8034} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  \(0\)
Selberg data  =  \((30,\ 2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 13^{15} \cdot 103^{15} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ 1 )\)
\(L(1)\)  \(\approx\)  \(300129.2971\)
\(L(\frac12)\)  \(\approx\)  \(300129.2971\)
\(L(\frac{3}{2})\)   not available
\(L(1)\)   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where, for $p \notin \{2,\;3,\;13,\;103\}$,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 30. If $p \in \{2,\;3,\;13,\;103\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 29.
$p$$F_p(T)$
bad2 \( ( 1 - T )^{15} \)
3 \( ( 1 + T )^{15} \)
13 \( ( 1 + T )^{15} \)
103 \( ( 1 + T )^{15} \)
good5 \( 1 + T + 27 T^{2} + 26 T^{3} + 377 T^{4} + 342 T^{5} + 731 p T^{6} + 3138 T^{7} + 28216 T^{8} + 22948 T^{9} + 187699 T^{10} + 141443 T^{11} + 1119809 T^{12} + 30761 p^{2} T^{13} + 1218732 p T^{14} + 3911802 T^{15} + 1218732 p^{2} T^{16} + 30761 p^{4} T^{17} + 1119809 p^{3} T^{18} + 141443 p^{4} T^{19} + 187699 p^{5} T^{20} + 22948 p^{6} T^{21} + 28216 p^{7} T^{22} + 3138 p^{8} T^{23} + 731 p^{10} T^{24} + 342 p^{10} T^{25} + 377 p^{11} T^{26} + 26 p^{12} T^{27} + 27 p^{13} T^{28} + p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
7 \( 1 - 5 T + p^{2} T^{2} - 215 T^{3} + 1236 T^{4} - 4820 T^{5} + 21339 T^{6} - 74814 T^{7} + 284031 T^{8} - 909247 T^{9} + 3106568 T^{10} - 9211198 T^{11} + 4130451 p T^{12} - 80060177 T^{13} + 232747856 T^{14} - 602085894 T^{15} + 232747856 p T^{16} - 80060177 p^{2} T^{17} + 4130451 p^{4} T^{18} - 9211198 p^{4} T^{19} + 3106568 p^{5} T^{20} - 909247 p^{6} T^{21} + 284031 p^{7} T^{22} - 74814 p^{8} T^{23} + 21339 p^{9} T^{24} - 4820 p^{10} T^{25} + 1236 p^{11} T^{26} - 215 p^{12} T^{27} + p^{15} T^{28} - 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
11 \( 1 - 3 T + 65 T^{2} - 229 T^{3} + 2454 T^{4} - 9236 T^{5} + 66724 T^{6} - 253618 T^{7} + 1437743 T^{8} - 5299587 T^{9} + 25561632 T^{10} - 89155397 T^{11} + 383776013 T^{12} - 1250211022 T^{13} + 4919450306 T^{14} - 14878517304 T^{15} + 4919450306 p T^{16} - 1250211022 p^{2} T^{17} + 383776013 p^{3} T^{18} - 89155397 p^{4} T^{19} + 25561632 p^{5} T^{20} - 5299587 p^{6} T^{21} + 1437743 p^{7} T^{22} - 253618 p^{8} T^{23} + 66724 p^{9} T^{24} - 9236 p^{10} T^{25} + 2454 p^{11} T^{26} - 229 p^{12} T^{27} + 65 p^{13} T^{28} - 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
17 \( 1 + 2 T + 115 T^{2} + 191 T^{3} + 6839 T^{4} + 10981 T^{5} + 281640 T^{6} + 481747 T^{7} + 8943937 T^{8} + 16838549 T^{9} + 232091030 T^{10} + 475845789 T^{11} + 5117480084 T^{12} + 10948036324 T^{13} + 98395671890 T^{14} + 205762249634 T^{15} + 98395671890 p T^{16} + 10948036324 p^{2} T^{17} + 5117480084 p^{3} T^{18} + 475845789 p^{4} T^{19} + 232091030 p^{5} T^{20} + 16838549 p^{6} T^{21} + 8943937 p^{7} T^{22} + 481747 p^{8} T^{23} + 281640 p^{9} T^{24} + 10981 p^{10} T^{25} + 6839 p^{11} T^{26} + 191 p^{12} T^{27} + 115 p^{13} T^{28} + 2 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
19 \( 1 - 8 T + 125 T^{2} - 796 T^{3} + 7656 T^{4} - 40392 T^{5} + 300894 T^{6} - 1396933 T^{7} + 8967100 T^{8} - 38858280 T^{9} + 229462898 T^{10} - 978014112 T^{11} + 5420517659 T^{12} - 22734357256 T^{13} + 117061484835 T^{14} - 466358709022 T^{15} + 117061484835 p T^{16} - 22734357256 p^{2} T^{17} + 5420517659 p^{3} T^{18} - 978014112 p^{4} T^{19} + 229462898 p^{5} T^{20} - 38858280 p^{6} T^{21} + 8967100 p^{7} T^{22} - 1396933 p^{8} T^{23} + 300894 p^{9} T^{24} - 40392 p^{10} T^{25} + 7656 p^{11} T^{26} - 796 p^{12} T^{27} + 125 p^{13} T^{28} - 8 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
23 \( 1 - 3 T + 118 T^{2} - 194 T^{3} + 6965 T^{4} - 717 T^{5} + 286915 T^{6} + 361421 T^{7} + 9973092 T^{8} + 21675692 T^{9} + 317713852 T^{10} + 34572129 p T^{11} + 9260638682 T^{12} + 22648428516 T^{13} + 242494067671 T^{14} + 553405977852 T^{15} + 242494067671 p T^{16} + 22648428516 p^{2} T^{17} + 9260638682 p^{3} T^{18} + 34572129 p^{5} T^{19} + 317713852 p^{5} T^{20} + 21675692 p^{6} T^{21} + 9973092 p^{7} T^{22} + 361421 p^{8} T^{23} + 286915 p^{9} T^{24} - 717 p^{10} T^{25} + 6965 p^{11} T^{26} - 194 p^{12} T^{27} + 118 p^{13} T^{28} - 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
29 \( 1 - 26 T + 492 T^{2} - 6878 T^{3} + 82755 T^{4} - 859175 T^{5} + 8093356 T^{6} - 69368335 T^{7} + 553881683 T^{8} - 4125364715 T^{9} + 1001193817 p T^{10} - 193116487897 T^{11} + 1223332281964 T^{12} - 7373929885144 T^{13} + 42510010099452 T^{14} - 233928549023228 T^{15} + 42510010099452 p T^{16} - 7373929885144 p^{2} T^{17} + 1223332281964 p^{3} T^{18} - 193116487897 p^{4} T^{19} + 1001193817 p^{6} T^{20} - 4125364715 p^{6} T^{21} + 553881683 p^{7} T^{22} - 69368335 p^{8} T^{23} + 8093356 p^{9} T^{24} - 859175 p^{10} T^{25} + 82755 p^{11} T^{26} - 6878 p^{12} T^{27} + 492 p^{13} T^{28} - 26 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
31 \( 1 + 171 T^{2} - 8 p T^{3} + 15492 T^{4} - 35834 T^{5} + 1030848 T^{6} - 2695925 T^{7} + 55435144 T^{8} - 147303946 T^{9} + 2501133760 T^{10} - 6533582356 T^{11} + 97825130111 T^{12} - 246577142588 T^{13} + 3388706218081 T^{14} - 8138732000126 T^{15} + 3388706218081 p T^{16} - 246577142588 p^{2} T^{17} + 97825130111 p^{3} T^{18} - 6533582356 p^{4} T^{19} + 2501133760 p^{5} T^{20} - 147303946 p^{6} T^{21} + 55435144 p^{7} T^{22} - 2695925 p^{8} T^{23} + 1030848 p^{9} T^{24} - 35834 p^{10} T^{25} + 15492 p^{11} T^{26} - 8 p^{13} T^{27} + 171 p^{13} T^{28} + p^{15} T^{30} \)
37 \( 1 - 25 T + 637 T^{2} - 10733 T^{3} + 168993 T^{4} - 2195276 T^{5} + 26543409 T^{6} - 283850250 T^{7} + 2843128342 T^{8} - 701558731 p T^{9} + 223327355434 T^{10} - 1778267126925 T^{11} + 13400103358884 T^{12} - 94198114875268 T^{13} + 628189236579148 T^{14} - 3921599955222616 T^{15} + 628189236579148 p T^{16} - 94198114875268 p^{2} T^{17} + 13400103358884 p^{3} T^{18} - 1778267126925 p^{4} T^{19} + 223327355434 p^{5} T^{20} - 701558731 p^{7} T^{21} + 2843128342 p^{7} T^{22} - 283850250 p^{8} T^{23} + 26543409 p^{9} T^{24} - 2195276 p^{10} T^{25} + 168993 p^{11} T^{26} - 10733 p^{12} T^{27} + 637 p^{13} T^{28} - 25 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
41 \( 1 + T + 274 T^{2} + 411 T^{3} + 39122 T^{4} + 64747 T^{5} + 3941083 T^{6} + 6497047 T^{7} + 311528655 T^{8} + 502102102 T^{9} + 20299643915 T^{10} + 31599706679 T^{11} + 1120377565252 T^{12} + 1656373409302 T^{13} + 53116320707002 T^{14} + 73564007527758 T^{15} + 53116320707002 p T^{16} + 1656373409302 p^{2} T^{17} + 1120377565252 p^{3} T^{18} + 31599706679 p^{4} T^{19} + 20299643915 p^{5} T^{20} + 502102102 p^{6} T^{21} + 311528655 p^{7} T^{22} + 6497047 p^{8} T^{23} + 3941083 p^{9} T^{24} + 64747 p^{10} T^{25} + 39122 p^{11} T^{26} + 411 p^{12} T^{27} + 274 p^{13} T^{28} + p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
43 \( 1 - 10 T + 404 T^{2} - 3980 T^{3} + 82520 T^{4} - 779132 T^{5} + 11211210 T^{6} - 99954811 T^{7} + 1127769859 T^{8} - 9402978727 T^{9} + 88728742215 T^{10} - 686546499866 T^{11} + 5629398959891 T^{12} - 40134130897355 T^{13} + 292917365393374 T^{14} - 1908635853771102 T^{15} + 292917365393374 p T^{16} - 40134130897355 p^{2} T^{17} + 5629398959891 p^{3} T^{18} - 686546499866 p^{4} T^{19} + 88728742215 p^{5} T^{20} - 9402978727 p^{6} T^{21} + 1127769859 p^{7} T^{22} - 99954811 p^{8} T^{23} + 11211210 p^{9} T^{24} - 779132 p^{10} T^{25} + 82520 p^{11} T^{26} - 3980 p^{12} T^{27} + 404 p^{13} T^{28} - 10 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
47 \( 1 + 3 T + 5 p T^{2} + 855 T^{3} + 31094 T^{4} + 103386 T^{5} + 2822261 T^{6} + 7409638 T^{7} + 190245714 T^{8} + 275690210 T^{9} + 10065437023 T^{10} - 2792300935 T^{11} + 442737001354 T^{12} - 1062516621220 T^{13} + 18503391215176 T^{14} - 70326469147170 T^{15} + 18503391215176 p T^{16} - 1062516621220 p^{2} T^{17} + 442737001354 p^{3} T^{18} - 2792300935 p^{4} T^{19} + 10065437023 p^{5} T^{20} + 275690210 p^{6} T^{21} + 190245714 p^{7} T^{22} + 7409638 p^{8} T^{23} + 2822261 p^{9} T^{24} + 103386 p^{10} T^{25} + 31094 p^{11} T^{26} + 855 p^{12} T^{27} + 5 p^{14} T^{28} + 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
53 \( 1 - 13 T + 11 p T^{2} - 6905 T^{3} + 167825 T^{4} - 1800869 T^{5} + 31358538 T^{6} - 305078001 T^{7} + 4237425741 T^{8} - 37424788657 T^{9} + 8260810782 p T^{10} - 3511297865535 T^{11} + 35696212815386 T^{12} - 259551311750413 T^{13} + 2337210583998580 T^{14} - 15345611632581678 T^{15} + 2337210583998580 p T^{16} - 259551311750413 p^{2} T^{17} + 35696212815386 p^{3} T^{18} - 3511297865535 p^{4} T^{19} + 8260810782 p^{6} T^{20} - 37424788657 p^{6} T^{21} + 4237425741 p^{7} T^{22} - 305078001 p^{8} T^{23} + 31358538 p^{9} T^{24} - 1800869 p^{10} T^{25} + 167825 p^{11} T^{26} - 6905 p^{12} T^{27} + 11 p^{14} T^{28} - 13 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
59 \( 1 - 28 T + 928 T^{2} - 16863 T^{3} + 327017 T^{4} - 4457648 T^{5} + 64017165 T^{6} - 701394844 T^{7} + 8203485572 T^{8} - 75531633997 T^{9} + 764634024596 T^{10} - 6152604967098 T^{11} + 56753724151169 T^{12} - 416284794875227 T^{13} + 3649391031165450 T^{14} - 25404790897055438 T^{15} + 3649391031165450 p T^{16} - 416284794875227 p^{2} T^{17} + 56753724151169 p^{3} T^{18} - 6152604967098 p^{4} T^{19} + 764634024596 p^{5} T^{20} - 75531633997 p^{6} T^{21} + 8203485572 p^{7} T^{22} - 701394844 p^{8} T^{23} + 64017165 p^{9} T^{24} - 4457648 p^{10} T^{25} + 327017 p^{11} T^{26} - 16863 p^{12} T^{27} + 928 p^{13} T^{28} - 28 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
61 \( 1 - 22 T + 644 T^{2} - 11036 T^{3} + 196600 T^{4} - 2765294 T^{5} + 38169654 T^{6} - 459020073 T^{7} + 5341068529 T^{8} - 56570472501 T^{9} + 578065233341 T^{10} - 5503410184670 T^{11} + 50560085586603 T^{12} - 438296586915695 T^{13} + 3669732916010368 T^{14} - 29157690683995002 T^{15} + 3669732916010368 p T^{16} - 438296586915695 p^{2} T^{17} + 50560085586603 p^{3} T^{18} - 5503410184670 p^{4} T^{19} + 578065233341 p^{5} T^{20} - 56570472501 p^{6} T^{21} + 5341068529 p^{7} T^{22} - 459020073 p^{8} T^{23} + 38169654 p^{9} T^{24} - 2765294 p^{10} T^{25} + 196600 p^{11} T^{26} - 11036 p^{12} T^{27} + 644 p^{13} T^{28} - 22 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
67 \( 1 - 29 T + 899 T^{2} - 16475 T^{3} + 306532 T^{4} - 4232197 T^{5} + 59579872 T^{6} - 673192766 T^{7} + 7916505077 T^{8} - 77617882877 T^{9} + 813861050007 T^{10} - 7257358894729 T^{11} + 70681960181205 T^{12} - 588519867282757 T^{13} + 5387864066877213 T^{14} - 42062755847947284 T^{15} + 5387864066877213 p T^{16} - 588519867282757 p^{2} T^{17} + 70681960181205 p^{3} T^{18} - 7257358894729 p^{4} T^{19} + 813861050007 p^{5} T^{20} - 77617882877 p^{6} T^{21} + 7916505077 p^{7} T^{22} - 673192766 p^{8} T^{23} + 59579872 p^{9} T^{24} - 4232197 p^{10} T^{25} + 306532 p^{11} T^{26} - 16475 p^{12} T^{27} + 899 p^{13} T^{28} - 29 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
71 \( 1 - 18 T + 786 T^{2} - 12246 T^{3} + 300544 T^{4} - 4154590 T^{5} + 74405584 T^{6} - 923967185 T^{7} + 13335847710 T^{8} - 149752123327 T^{9} + 1831680494665 T^{10} - 18652367064118 T^{11} + 199025978213365 T^{12} - 1837570173972345 T^{13} + 17411928699927097 T^{14} - 145299914209922134 T^{15} + 17411928699927097 p T^{16} - 1837570173972345 p^{2} T^{17} + 199025978213365 p^{3} T^{18} - 18652367064118 p^{4} T^{19} + 1831680494665 p^{5} T^{20} - 149752123327 p^{6} T^{21} + 13335847710 p^{7} T^{22} - 923967185 p^{8} T^{23} + 74405584 p^{9} T^{24} - 4154590 p^{10} T^{25} + 300544 p^{11} T^{26} - 12246 p^{12} T^{27} + 786 p^{13} T^{28} - 18 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
73 \( 1 - 23 T + 714 T^{2} - 13064 T^{3} + 256630 T^{4} - 3875083 T^{5} + 59775379 T^{6} - 779527221 T^{7} + 10167980773 T^{8} - 117350588257 T^{9} + 1344637744889 T^{10} - 13953210591736 T^{11} + 143306121500168 T^{12} - 1350456422408969 T^{13} + 12579042289107098 T^{14} - 108104577844055246 T^{15} + 12579042289107098 p T^{16} - 1350456422408969 p^{2} T^{17} + 143306121500168 p^{3} T^{18} - 13953210591736 p^{4} T^{19} + 1344637744889 p^{5} T^{20} - 117350588257 p^{6} T^{21} + 10167980773 p^{7} T^{22} - 779527221 p^{8} T^{23} + 59775379 p^{9} T^{24} - 3875083 p^{10} T^{25} + 256630 p^{11} T^{26} - 13064 p^{12} T^{27} + 714 p^{13} T^{28} - 23 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
79 \( 1 - 27 T + 910 T^{2} - 18404 T^{3} + 380561 T^{4} - 6259264 T^{5} + 100308501 T^{6} - 1406356045 T^{7} + 18991686269 T^{8} - 233831106522 T^{9} + 2768926692491 T^{10} - 30504586984480 T^{11} + 323420177010880 T^{12} - 3222825558556267 T^{13} + 30922538909939857 T^{14} - 280074029752122718 T^{15} + 30922538909939857 p T^{16} - 3222825558556267 p^{2} T^{17} + 323420177010880 p^{3} T^{18} - 30504586984480 p^{4} T^{19} + 2768926692491 p^{5} T^{20} - 233831106522 p^{6} T^{21} + 18991686269 p^{7} T^{22} - 1406356045 p^{8} T^{23} + 100308501 p^{9} T^{24} - 6259264 p^{10} T^{25} + 380561 p^{11} T^{26} - 18404 p^{12} T^{27} + 910 p^{13} T^{28} - 27 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
83 \( 1 - 7 T + 803 T^{2} - 6078 T^{3} + 320913 T^{4} - 2495885 T^{5} + 84851115 T^{6} - 653557372 T^{7} + 16575535401 T^{8} - 123233920374 T^{9} + 2528376058709 T^{10} - 17803860830837 T^{11} + 310540724025273 T^{12} - 2037881282757994 T^{13} + 31235525263958377 T^{14} - 187948737106099098 T^{15} + 31235525263958377 p T^{16} - 2037881282757994 p^{2} T^{17} + 310540724025273 p^{3} T^{18} - 17803860830837 p^{4} T^{19} + 2528376058709 p^{5} T^{20} - 123233920374 p^{6} T^{21} + 16575535401 p^{7} T^{22} - 653557372 p^{8} T^{23} + 84851115 p^{9} T^{24} - 2495885 p^{10} T^{25} + 320913 p^{11} T^{26} - 6078 p^{12} T^{27} + 803 p^{13} T^{28} - 7 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
89 \( 1 - 35 T + 1232 T^{2} - 27319 T^{3} + 587810 T^{4} - 9969660 T^{5} + 165094388 T^{6} - 2331344325 T^{7} + 32445012640 T^{8} - 399770682470 T^{9} + 4895813405688 T^{10} - 54196917574773 T^{11} + 600693274693670 T^{12} - 6091283663324139 T^{13} + 62174942885772339 T^{14} - 584045746436932254 T^{15} + 62174942885772339 p T^{16} - 6091283663324139 p^{2} T^{17} + 600693274693670 p^{3} T^{18} - 54196917574773 p^{4} T^{19} + 4895813405688 p^{5} T^{20} - 399770682470 p^{6} T^{21} + 32445012640 p^{7} T^{22} - 2331344325 p^{8} T^{23} + 165094388 p^{9} T^{24} - 9969660 p^{10} T^{25} + 587810 p^{11} T^{26} - 27319 p^{12} T^{27} + 1232 p^{13} T^{28} - 35 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
97 \( 1 - 19 T + 1013 T^{2} - 16060 T^{3} + 496672 T^{4} - 6871349 T^{5} + 158516831 T^{6} - 1956969685 T^{7} + 36984580873 T^{8} - 412417120207 T^{9} + 6688966113246 T^{10} - 67778641389360 T^{11} + 968687130938725 T^{12} - 8935899536293225 T^{13} + 114351538528897631 T^{14} - 958724353660235134 T^{15} + 114351538528897631 p T^{16} - 8935899536293225 p^{2} T^{17} + 968687130938725 p^{3} T^{18} - 67778641389360 p^{4} T^{19} + 6688966113246 p^{5} T^{20} - 412417120207 p^{6} T^{21} + 36984580873 p^{7} T^{22} - 1956969685 p^{8} T^{23} + 158516831 p^{9} T^{24} - 6871349 p^{10} T^{25} + 496672 p^{11} T^{26} - 16060 p^{12} T^{27} + 1013 p^{13} T^{28} - 19 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
show more
show less
\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.92852141511718703416718700533, −1.87864150229337299857118987498, −1.85305271079765532035561169618, −1.81867388802421021464609924607, −1.77507258606155298874159220304, −1.76967532587472759928280973581, −1.73758536384946751461568346802, −1.72373321564844621026841628982, −1.65882942640313884379779524639, −1.55161899175472503763836179296, −1.17733499268567198749081238160, −1.02370677126666903347360097673, −1.00632472357163755265413174734, −0.919935281408565098577150507573, −0.911048764324824881847917150978, −0.899564883750234267537441606738, −0.813625304045214819260809637320, −0.791121618007017702129076677312, −0.68381336246189624977667748447, −0.57646646621508972410433127512, −0.52380225088939975512816934183, −0.50635352261230398466069064662, −0.48365923986594595781424380315, −0.48221614469536022337110271216, −0.39608150294583736725460033027, 0.39608150294583736725460033027, 0.48221614469536022337110271216, 0.48365923986594595781424380315, 0.50635352261230398466069064662, 0.52380225088939975512816934183, 0.57646646621508972410433127512, 0.68381336246189624977667748447, 0.791121618007017702129076677312, 0.813625304045214819260809637320, 0.899564883750234267537441606738, 0.911048764324824881847917150978, 0.919935281408565098577150507573, 1.00632472357163755265413174734, 1.02370677126666903347360097673, 1.17733499268567198749081238160, 1.55161899175472503763836179296, 1.65882942640313884379779524639, 1.72373321564844621026841628982, 1.73758536384946751461568346802, 1.76967532587472759928280973581, 1.77507258606155298874159220304, 1.81867388802421021464609924607, 1.85305271079765532035561169618, 1.87864150229337299857118987498, 1.92852141511718703416718700533

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.