Properties

Degree 68
Conductor $ 2^{34} \cdot 19^{34} \cdot 211^{34} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 34

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 34·2-s − 10·3-s + 595·4-s + 7·5-s + 340·6-s − 6·7-s − 7.14e3·8-s + 18·9-s − 238·10-s + 4·11-s − 5.95e3·12-s − 5·13-s + 204·14-s − 70·15-s + 6.60e4·16-s + 8·17-s − 612·18-s − 34·19-s + 4.16e3·20-s + 60·21-s − 136·22-s − 24·23-s + 7.14e4·24-s − 58·25-s + 170·26-s + 153·27-s − 3.57e3·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 24.0·2-s − 5.77·3-s + 297.5·4-s + 3.13·5-s + 138.·6-s − 2.26·7-s − 2.52e3·8-s + 6·9-s − 75.2·10-s + 1.20·11-s − 1.71e3·12-s − 1.38·13-s + 54.5·14-s − 18.0·15-s + 1.65e4·16-s + 1.94·17-s − 144.·18-s − 7.80·19-s + 931.·20-s + 13.0·21-s − 28.9·22-s − 5.00·23-s + 1.45e4·24-s − 11.5·25-s + 33.3·26-s + 29.4·27-s − 674.·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{34} \cdot 19^{34} \cdot 211^{34}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{34} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{34} \cdot 19^{34} \cdot 211^{34}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{34} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(68\)
\( N \)  =  \(2^{34} \cdot 19^{34} \cdot 211^{34}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{8018} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  34
Selberg data  =  $(68,\ 2^{34} \cdot 19^{34} \cdot 211^{34} ,\ ( \ : [1/2]^{34} ),\ 1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{2,\;19,\;211\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 68. If $p \in \{2,\;19,\;211\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 67.
$p$$F_p$
bad2 \( ( 1 + T )^{34} \)
19 \( ( 1 + T )^{34} \)
211 \( ( 1 + T )^{34} \)
good3 \( 1 + 10 T + 82 T^{2} + 487 T^{3} + 853 p T^{4} + 1286 p^{2} T^{5} + 48037 T^{6} + 181525 T^{7} + 642676 T^{8} + 2127136 T^{9} + 6683647 T^{10} + 19930270 T^{11} + 56929315 T^{12} + 17313305 p^{2} T^{13} + 137066779 p T^{14} + 1046766430 T^{15} + 2581784743 T^{16} + 6172981372 T^{17} + 14355446216 T^{18} + 32486570980 T^{19} + 71730732818 T^{20} + 154605373375 T^{21} + 326003235623 T^{22} + 224268182621 p T^{23} + 453879088738 p T^{24} + 2703458220415 T^{25} + 5274863338301 T^{26} + 10118055156211 T^{27} + 19109468246006 T^{28} + 35545727599784 T^{29} + 65207842722815 T^{30} + 117987431764814 T^{31} + 210801152103212 T^{32} + 371837088313921 T^{33} + 216021664106884 p T^{34} + 371837088313921 p T^{35} + 210801152103212 p^{2} T^{36} + 117987431764814 p^{3} T^{37} + 65207842722815 p^{4} T^{38} + 35545727599784 p^{5} T^{39} + 19109468246006 p^{6} T^{40} + 10118055156211 p^{7} T^{41} + 5274863338301 p^{8} T^{42} + 2703458220415 p^{9} T^{43} + 453879088738 p^{11} T^{44} + 224268182621 p^{12} T^{45} + 326003235623 p^{12} T^{46} + 154605373375 p^{13} T^{47} + 71730732818 p^{14} T^{48} + 32486570980 p^{15} T^{49} + 14355446216 p^{16} T^{50} + 6172981372 p^{17} T^{51} + 2581784743 p^{18} T^{52} + 1046766430 p^{19} T^{53} + 137066779 p^{21} T^{54} + 17313305 p^{23} T^{55} + 56929315 p^{22} T^{56} + 19930270 p^{23} T^{57} + 6683647 p^{24} T^{58} + 2127136 p^{25} T^{59} + 642676 p^{26} T^{60} + 181525 p^{27} T^{61} + 48037 p^{28} T^{62} + 1286 p^{31} T^{63} + 853 p^{31} T^{64} + 487 p^{31} T^{65} + 82 p^{32} T^{66} + 10 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
5 \( 1 - 7 T + 107 T^{2} - 643 T^{3} + 1119 p T^{4} - 29556 T^{5} + 191348 T^{6} - 904983 T^{7} + 4826551 T^{8} - 20732552 T^{9} + 95920109 T^{10} - 378497069 T^{11} + 313182557 p T^{12} - 5728281623 T^{13} + 21612191397 T^{14} - 73841011911 T^{15} + 257542973596 T^{16} - 165392327736 p T^{17} + 538624458353 p T^{18} - 8170030959593 T^{19} + 25036326709424 T^{20} - 72090219143213 T^{21} + 209180002868354 T^{22} - 574066317601024 T^{23} + 1585609834204597 T^{24} - 4163071969846966 T^{25} + 10995690901727203 T^{26} - 27714658416281748 T^{27} + 70276732657943439 T^{28} - 6822545753066782 p^{2} T^{29} + 416600302099888861 T^{30} - 976011979463203328 T^{31} + 2302043487546885373 T^{32} - 5214833252494133128 T^{33} + 2379171478291106374 p T^{34} - 5214833252494133128 p T^{35} + 2302043487546885373 p^{2} T^{36} - 976011979463203328 p^{3} T^{37} + 416600302099888861 p^{4} T^{38} - 6822545753066782 p^{7} T^{39} + 70276732657943439 p^{6} T^{40} - 27714658416281748 p^{7} T^{41} + 10995690901727203 p^{8} T^{42} - 4163071969846966 p^{9} T^{43} + 1585609834204597 p^{10} T^{44} - 574066317601024 p^{11} T^{45} + 209180002868354 p^{12} T^{46} - 72090219143213 p^{13} T^{47} + 25036326709424 p^{14} T^{48} - 8170030959593 p^{15} T^{49} + 538624458353 p^{17} T^{50} - 165392327736 p^{18} T^{51} + 257542973596 p^{18} T^{52} - 73841011911 p^{19} T^{53} + 21612191397 p^{20} T^{54} - 5728281623 p^{21} T^{55} + 313182557 p^{23} T^{56} - 378497069 p^{23} T^{57} + 95920109 p^{24} T^{58} - 20732552 p^{25} T^{59} + 4826551 p^{26} T^{60} - 904983 p^{27} T^{61} + 191348 p^{28} T^{62} - 29556 p^{29} T^{63} + 1119 p^{31} T^{64} - 643 p^{31} T^{65} + 107 p^{32} T^{66} - 7 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
7 \( 1 + 6 T + 18 p T^{2} + 97 p T^{3} + 7709 T^{4} + 5356 p T^{5} + 304511 T^{6} + 1343665 T^{7} + 8719367 T^{8} + 35090756 T^{9} + 192837437 T^{10} + 711352382 T^{11} + 3431376555 T^{12} + 11659462091 T^{13} + 50620804133 T^{14} + 159276183022 T^{15} + 634826879943 T^{16} + 1861414989660 T^{17} + 6930648894882 T^{18} + 2727262654600 p T^{19} + 9642050139968 p T^{20} + 176373532654043 T^{21} + 600858248956353 T^{22} + 214974682627553 p T^{23} + 4996305596176950 T^{24} + 12091234048308788 T^{25} + 39396837610793597 T^{26} + 92571873524887426 T^{27} + 297213022104951657 T^{28} + 680278586173772436 T^{29} + 2162025467610646840 T^{30} + 4847024227148470238 T^{31} + 15343404290279844686 T^{32} + 34005974493977288307 T^{33} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( T^{34} + 34005974493977288307 p T^{35} + 15343404290279844686 p^{2} T^{36} + 4847024227148470238 p^{3} T^{37} + 2162025467610646840 p^{4} T^{38} + 680278586173772436 p^{5} T^{39} + 297213022104951657 p^{6} T^{40} + 92571873524887426 p^{7} T^{41} + 39396837610793597 p^{8} T^{42} + 12091234048308788 p^{9} T^{43} + 4996305596176950 p^{10} T^{44} + 214974682627553 p^{12} T^{45} + 600858248956353 p^{12} T^{46} + 176373532654043 p^{13} T^{47} + 9642050139968 p^{15} T^{48} + 2727262654600 p^{16} T^{49} + 6930648894882 p^{16} T^{50} + 1861414989660 p^{17} T^{51} + 634826879943 p^{18} T^{52} + 159276183022 p^{19} T^{53} + 50620804133 p^{20} T^{54} + 11659462091 p^{21} T^{55} + 3431376555 p^{22} T^{56} + 711352382 p^{23} T^{57} + 192837437 p^{24} T^{58} + 35090756 p^{25} T^{59} + 8719367 p^{26} T^{60} + 1343665 p^{27} T^{61} + 304511 p^{28} T^{62} + 5356 p^{30} T^{63} + 7709 p^{30} T^{64} + 97 p^{32} T^{65} + 18 p^{33} T^{66} + 6 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
11 \( 1 - 4 T + 173 T^{2} - 780 T^{3} + 15711 T^{4} - 75215 T^{5} + 989477 T^{6} - 4836973 T^{7} + 48142010 T^{8} - 234455707 T^{9} + 1914060466 T^{10} - 9148872230 T^{11} + 64360896700 T^{12} - 299298760982 T^{13} + 1873451890617 T^{14} - 8434527415035 T^{15} + 48012338577996 T^{16} - 208728962761403 T^{17} + 1097241332380064 T^{18} - 4600615325823744 T^{19} + 22583852851216697 T^{20} - 91285614651163612 T^{21} + 421920371621658205 T^{22} - 1643999431706552429 T^{23} + 7199087086116331493 T^{24} - 2458465976613478446 p T^{25} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( T^{26} - \)\(40\!\cdots\!06\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!31\)\( p T^{28} - \)\(56\!\cdots\!75\)\( T^{29} + \)\(21\!\cdots\!93\)\( T^{30} - \)\(72\!\cdots\!71\)\( T^{31} + \)\(26\!\cdots\!75\)\( T^{32} - \)\(86\!\cdots\!08\)\( T^{33} + \)\(30\!\cdots\!56\)\( T^{34} - \)\(86\!\cdots\!08\)\( p T^{35} + \)\(26\!\cdots\!75\)\( p^{2} T^{36} - \)\(72\!\cdots\!71\)\( p^{3} T^{37} + \)\(21\!\cdots\!93\)\( p^{4} T^{38} - \)\(56\!\cdots\!75\)\( p^{5} T^{39} + \)\(14\!\cdots\!31\)\( p^{7} T^{40} - \)\(40\!\cdots\!06\)\( p^{7} T^{41} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( p^{8} T^{42} - 2458465976613478446 p^{10} T^{43} + 7199087086116331493 p^{10} T^{44} - 1643999431706552429 p^{11} T^{45} + 421920371621658205 p^{12} T^{46} - 91285614651163612 p^{13} T^{47} + 22583852851216697 p^{14} T^{48} - 4600615325823744 p^{15} T^{49} + 1097241332380064 p^{16} T^{50} - 208728962761403 p^{17} T^{51} + 48012338577996 p^{18} T^{52} - 8434527415035 p^{19} T^{53} + 1873451890617 p^{20} T^{54} - 299298760982 p^{21} T^{55} + 64360896700 p^{22} T^{56} - 9148872230 p^{23} T^{57} + 1914060466 p^{24} T^{58} - 234455707 p^{25} T^{59} + 48142010 p^{26} T^{60} - 4836973 p^{27} T^{61} + 989477 p^{28} T^{62} - 75215 p^{29} T^{63} + 15711 p^{30} T^{64} - 780 p^{31} T^{65} + 173 p^{32} T^{66} - 4 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
13 \( 1 + 5 T + 240 T^{2} + 1162 T^{3} + 2218 p T^{4} + 801 p^{2} T^{5} + 2314735 T^{6} + 10539090 T^{7} + 10748436 p T^{8} + 47440843 p T^{9} + 6763959260 T^{10} + 28924361631 T^{11} + 273358253343 T^{12} + 1131959491155 T^{13} + 729218316893 p T^{14} + 37999726496988 T^{15} + 287737901156926 T^{16} + 85866089972458 p T^{17} + 7758128229528035 T^{18} + 29124846447152056 T^{19} + 187945488539712775 T^{20} + 682722758636803426 T^{21} + 4127550328218651223 T^{22} + 14506674859630802572 T^{23} + 82752940023530637905 T^{24} + \)\(28\!\cdots\!88\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!81\)\( T^{26} + \)\(50\!\cdots\!87\)\( T^{27} + \)\(25\!\cdots\!54\)\( T^{28} + \)\(82\!\cdots\!86\)\( T^{29} + \)\(40\!\cdots\!93\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!02\)\( T^{31} + \)\(58\!\cdots\!54\)\( T^{32} + \)\(17\!\cdots\!58\)\( T^{33} + \)\(79\!\cdots\!44\)\( T^{34} + \)\(17\!\cdots\!58\)\( p T^{35} + \)\(58\!\cdots\!54\)\( p^{2} T^{36} + \)\(12\!\cdots\!02\)\( p^{3} T^{37} + \)\(40\!\cdots\!93\)\( p^{4} T^{38} + \)\(82\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{39} + \)\(25\!\cdots\!54\)\( p^{6} T^{40} + \)\(50\!\cdots\!87\)\( p^{7} T^{41} + \)\(15\!\cdots\!81\)\( p^{8} T^{42} + \)\(28\!\cdots\!88\)\( p^{9} T^{43} + 82752940023530637905 p^{10} T^{44} + 14506674859630802572 p^{11} T^{45} + 4127550328218651223 p^{12} T^{46} + 682722758636803426 p^{13} T^{47} + 187945488539712775 p^{14} T^{48} + 29124846447152056 p^{15} T^{49} + 7758128229528035 p^{16} T^{50} + 85866089972458 p^{18} T^{51} + 287737901156926 p^{18} T^{52} + 37999726496988 p^{19} T^{53} + 729218316893 p^{21} T^{54} + 1131959491155 p^{21} T^{55} + 273358253343 p^{22} T^{56} + 28924361631 p^{23} T^{57} + 6763959260 p^{24} T^{58} + 47440843 p^{26} T^{59} + 10748436 p^{27} T^{60} + 10539090 p^{27} T^{61} + 2314735 p^{28} T^{62} + 801 p^{31} T^{63} + 2218 p^{31} T^{64} + 1162 p^{31} T^{65} + 240 p^{32} T^{66} + 5 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
17 \( 1 - 8 T + 354 T^{2} - 2461 T^{3} + 60032 T^{4} - 368300 T^{5} + 6546036 T^{6} - 35851902 T^{7} + 519419760 T^{8} - 2563379056 T^{9} + 32173875518 T^{10} - 144260009773 T^{11} + 1629621067452 T^{12} - 6692066007236 T^{13} + 69795751321134 T^{14} - 264687181343889 T^{15} + 152529095419954 p T^{16} - 9160759178886876 T^{17} + 85238113936478663 T^{18} - 283083937782056298 T^{19} + 148136035266782677 p T^{20} - 7932475551865243230 T^{21} + 67696651488661394576 T^{22} - \)\(20\!\cdots\!74\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!03\)\( T^{24} - \)\(48\!\cdots\!75\)\( T^{25} + \)\(38\!\cdots\!46\)\( T^{26} - \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{27} + \)\(81\!\cdots\!11\)\( T^{28} - \)\(22\!\cdots\!31\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!82\)\( T^{30} - \)\(42\!\cdots\!94\)\( T^{31} + \)\(30\!\cdots\!62\)\( T^{32} - \)\(77\!\cdots\!52\)\( T^{33} + \)\(52\!\cdots\!82\)\( T^{34} - \)\(77\!\cdots\!52\)\( p T^{35} + \)\(30\!\cdots\!62\)\( p^{2} T^{36} - \)\(42\!\cdots\!94\)\( p^{3} T^{37} + \)\(16\!\cdots\!82\)\( p^{4} T^{38} - \)\(22\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{39} + \)\(81\!\cdots\!11\)\( p^{6} T^{40} - \)\(10\!\cdots\!01\)\( p^{7} T^{41} + \)\(38\!\cdots\!46\)\( p^{8} T^{42} - \)\(48\!\cdots\!75\)\( p^{9} T^{43} + \)\(16\!\cdots\!03\)\( p^{10} T^{44} - \)\(20\!\cdots\!74\)\( p^{11} T^{45} + 67696651488661394576 p^{12} T^{46} - 7932475551865243230 p^{13} T^{47} + 148136035266782677 p^{15} T^{48} - 283083937782056298 p^{15} T^{49} + 85238113936478663 p^{16} T^{50} - 9160759178886876 p^{17} T^{51} + 152529095419954 p^{19} T^{52} - 264687181343889 p^{19} T^{53} + 69795751321134 p^{20} T^{54} - 6692066007236 p^{21} T^{55} + 1629621067452 p^{22} T^{56} - 144260009773 p^{23} T^{57} + 32173875518 p^{24} T^{58} - 2563379056 p^{25} T^{59} + 519419760 p^{26} T^{60} - 35851902 p^{27} T^{61} + 6546036 p^{28} T^{62} - 368300 p^{29} T^{63} + 60032 p^{30} T^{64} - 2461 p^{31} T^{65} + 354 p^{32} T^{66} - 8 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
23 \( 1 + 24 T + 29 p T^{2} + 11574 T^{3} + 198280 T^{4} + 2763010 T^{5} + 36814330 T^{6} + 435812065 T^{7} + 4911114061 T^{8} + 51124491211 T^{9} + 508035937550 T^{10} + 4758688369371 T^{11} + 42738142137641 T^{12} + 366070590584010 T^{13} + 3019428100976322 T^{14} + 23930404815264367 T^{15} + 183319643772231413 T^{16} + 1356285843724494119 T^{17} + 9728995643729749784 T^{18} + 67649309273036401441 T^{19} + \)\(45\!\cdots\!06\)\( T^{20} + \)\(30\!\cdots\!17\)\( T^{21} + \)\(19\!\cdots\!59\)\( T^{22} + \)\(11\!\cdots\!30\)\( T^{23} + \)\(72\!\cdots\!78\)\( T^{24} + \)\(43\!\cdots\!86\)\( T^{25} + \)\(25\!\cdots\!69\)\( T^{26} + \)\(14\!\cdots\!37\)\( T^{27} + \)\(78\!\cdots\!80\)\( T^{28} + \)\(42\!\cdots\!16\)\( T^{29} + \)\(22\!\cdots\!82\)\( T^{30} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( T^{31} + \)\(58\!\cdots\!89\)\( T^{32} + \)\(28\!\cdots\!38\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!96\)\( T^{34} + \)\(28\!\cdots\!38\)\( p T^{35} + \)\(58\!\cdots\!89\)\( p^{2} T^{36} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( p^{3} T^{37} + \)\(22\!\cdots\!82\)\( p^{4} T^{38} + \)\(42\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{39} + \)\(78\!\cdots\!80\)\( p^{6} T^{40} + \)\(14\!\cdots\!37\)\( p^{7} T^{41} + \)\(25\!\cdots\!69\)\( p^{8} T^{42} + \)\(43\!\cdots\!86\)\( p^{9} T^{43} + \)\(72\!\cdots\!78\)\( p^{10} T^{44} + \)\(11\!\cdots\!30\)\( p^{11} T^{45} + \)\(19\!\cdots\!59\)\( p^{12} T^{46} + \)\(30\!\cdots\!17\)\( p^{13} T^{47} + \)\(45\!\cdots\!06\)\( p^{14} T^{48} + 67649309273036401441 p^{15} T^{49} + 9728995643729749784 p^{16} T^{50} + 1356285843724494119 p^{17} T^{51} + 183319643772231413 p^{18} T^{52} + 23930404815264367 p^{19} T^{53} + 3019428100976322 p^{20} T^{54} + 366070590584010 p^{21} T^{55} + 42738142137641 p^{22} T^{56} + 4758688369371 p^{23} T^{57} + 508035937550 p^{24} T^{58} + 51124491211 p^{25} T^{59} + 4911114061 p^{26} T^{60} + 435812065 p^{27} T^{61} + 36814330 p^{28} T^{62} + 2763010 p^{29} T^{63} + 198280 p^{30} T^{64} + 11574 p^{31} T^{65} + 29 p^{33} T^{66} + 24 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
29 \( 1 - 24 T + 815 T^{2} - 14669 T^{3} + 294976 T^{4} - 4320746 T^{5} + 65657806 T^{6} - 819852202 T^{7} + 10305349742 T^{8} - 113007447017 T^{9} + 1230544591466 T^{10} - 12099049999501 T^{11} + 117376770087222 T^{12} - 1050943816906082 T^{13} + 9258906249495044 T^{14} - 76426948816368465 T^{15} + 620283177471055541 T^{16} - 4769289618875302490 T^{17} + 36072059139816430615 T^{18} - \)\(26\!\cdots\!27\)\( T^{19} + 63989771459249242951 p T^{20} - \)\(12\!\cdots\!28\)\( T^{21} + \)\(85\!\cdots\!70\)\( T^{22} - \)\(56\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(36\!\cdots\!18\)\( T^{24} - \)\(22\!\cdots\!50\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( T^{26} - \)\(85\!\cdots\!26\)\( T^{27} + \)\(51\!\cdots\!33\)\( T^{28} - \)\(30\!\cdots\!89\)\( T^{29} + \)\(17\!\cdots\!22\)\( T^{30} - \)\(99\!\cdots\!61\)\( T^{31} + \)\(55\!\cdots\!88\)\( T^{32} - \)\(30\!\cdots\!09\)\( T^{33} + \)\(16\!\cdots\!25\)\( T^{34} - \)\(30\!\cdots\!09\)\( p T^{35} + \)\(55\!\cdots\!88\)\( p^{2} T^{36} - \)\(99\!\cdots\!61\)\( p^{3} T^{37} + \)\(17\!\cdots\!22\)\( p^{4} T^{38} - \)\(30\!\cdots\!89\)\( p^{5} T^{39} + \)\(51\!\cdots\!33\)\( p^{6} T^{40} - \)\(85\!\cdots\!26\)\( p^{7} T^{41} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( p^{8} T^{42} - \)\(22\!\cdots\!50\)\( p^{9} T^{43} + \)\(36\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{44} - \)\(56\!\cdots\!20\)\( p^{11} T^{45} + \)\(85\!\cdots\!70\)\( p^{12} T^{46} - \)\(12\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{47} + 63989771459249242951 p^{15} T^{48} - \)\(26\!\cdots\!27\)\( p^{15} T^{49} + 36072059139816430615 p^{16} T^{50} - 4769289618875302490 p^{17} T^{51} + 620283177471055541 p^{18} T^{52} - 76426948816368465 p^{19} T^{53} + 9258906249495044 p^{20} T^{54} - 1050943816906082 p^{21} T^{55} + 117376770087222 p^{22} T^{56} - 12099049999501 p^{23} T^{57} + 1230544591466 p^{24} T^{58} - 113007447017 p^{25} T^{59} + 10305349742 p^{26} T^{60} - 819852202 p^{27} T^{61} + 65657806 p^{28} T^{62} - 4320746 p^{29} T^{63} + 294976 p^{30} T^{64} - 14669 p^{31} T^{65} + 815 p^{32} T^{66} - 24 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
31 \( 1 + 28 T + 883 T^{2} + 17551 T^{3} + 344382 T^{4} + 5484507 T^{5} + 84047043 T^{6} + 1139166076 T^{7} + 14798916254 T^{8} + 176864564562 T^{9} + 65464579856 p T^{10} + 21880874563991 T^{11} + 227201659896799 T^{12} + 2245132203334675 T^{13} + 21433317314355048 T^{14} + 196330039996766353 T^{15} + 1742328350992243916 T^{16} + 14919747831276266306 T^{17} + \)\(12\!\cdots\!85\)\( T^{18} + \)\(99\!\cdots\!85\)\( T^{19} + \)\(78\!\cdots\!48\)\( T^{20} + \)\(59\!\cdots\!57\)\( T^{21} + \)\(44\!\cdots\!68\)\( T^{22} + \)\(32\!\cdots\!60\)\( T^{23} + \)\(22\!\cdots\!86\)\( T^{24} + \)\(15\!\cdots\!78\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{26} + \)\(68\!\cdots\!52\)\( T^{27} + \)\(44\!\cdots\!59\)\( T^{28} + \)\(27\!\cdots\!52\)\( T^{29} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( T^{30} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{31} + \)\(60\!\cdots\!87\)\( T^{32} + \)\(34\!\cdots\!61\)\( T^{33} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( T^{34} + \)\(34\!\cdots\!61\)\( p T^{35} + \)\(60\!\cdots\!87\)\( p^{2} T^{36} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( p^{3} T^{37} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( p^{4} T^{38} + \)\(27\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{39} + \)\(44\!\cdots\!59\)\( p^{6} T^{40} + \)\(68\!\cdots\!52\)\( p^{7} T^{41} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( p^{8} T^{42} + \)\(15\!\cdots\!78\)\( p^{9} T^{43} + \)\(22\!\cdots\!86\)\( p^{10} T^{44} + \)\(32\!\cdots\!60\)\( p^{11} T^{45} + \)\(44\!\cdots\!68\)\( p^{12} T^{46} + \)\(59\!\cdots\!57\)\( p^{13} T^{47} + \)\(78\!\cdots\!48\)\( p^{14} T^{48} + \)\(99\!\cdots\!85\)\( p^{15} T^{49} + \)\(12\!\cdots\!85\)\( p^{16} T^{50} + 14919747831276266306 p^{17} T^{51} + 1742328350992243916 p^{18} T^{52} + 196330039996766353 p^{19} T^{53} + 21433317314355048 p^{20} T^{54} + 2245132203334675 p^{21} T^{55} + 227201659896799 p^{22} T^{56} + 21880874563991 p^{23} T^{57} + 65464579856 p^{25} T^{58} + 176864564562 p^{25} T^{59} + 14798916254 p^{26} T^{60} + 1139166076 p^{27} T^{61} + 84047043 p^{28} T^{62} + 5484507 p^{29} T^{63} + 344382 p^{30} T^{64} + 17551 p^{31} T^{65} + 883 p^{32} T^{66} + 28 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
37 \( 1 + 36 T + 1238 T^{2} + 29180 T^{3} + 634190 T^{4} + 11616640 T^{5} + 198041311 T^{6} + 3042206104 T^{7} + 43997156425 T^{8} + 591062837873 T^{9} + 7545449788905 T^{10} + 90980807487560 T^{11} + 1049869655221494 T^{12} + 11560950271660030 T^{13} + 122491848268928236 T^{14} + 1246994151809735600 T^{15} + 12264837311503236619 T^{16} + \)\(11\!\cdots\!99\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!54\)\( T^{18} + \)\(95\!\cdots\!77\)\( T^{19} + \)\(82\!\cdots\!97\)\( T^{20} + \)\(69\!\cdots\!30\)\( T^{21} + \)\(57\!\cdots\!85\)\( T^{22} + \)\(45\!\cdots\!98\)\( T^{23} + \)\(35\!\cdots\!89\)\( T^{24} + \)\(26\!\cdots\!47\)\( T^{25} + \)\(19\!\cdots\!84\)\( T^{26} + \)\(14\!\cdots\!01\)\( T^{27} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( T^{28} + \)\(69\!\cdots\!79\)\( T^{29} + \)\(46\!\cdots\!60\)\( T^{30} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( T^{31} + \)\(19\!\cdots\!43\)\( T^{32} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( T^{33} + \)\(76\!\cdots\!46\)\( T^{34} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( p T^{35} + \)\(19\!\cdots\!43\)\( p^{2} T^{36} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( p^{3} T^{37} + \)\(46\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{38} + \)\(69\!\cdots\!79\)\( p^{5} T^{39} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( p^{6} T^{40} + \)\(14\!\cdots\!01\)\( p^{7} T^{41} + \)\(19\!\cdots\!84\)\( p^{8} T^{42} + \)\(26\!\cdots\!47\)\( p^{9} T^{43} + \)\(35\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{44} + \)\(45\!\cdots\!98\)\( p^{11} T^{45} + \)\(57\!\cdots\!85\)\( p^{12} T^{46} + \)\(69\!\cdots\!30\)\( p^{13} T^{47} + \)\(82\!\cdots\!97\)\( p^{14} T^{48} + \)\(95\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{49} + \)\(10\!\cdots\!54\)\( p^{16} T^{50} + \)\(11\!\cdots\!99\)\( p^{17} T^{51} + 12264837311503236619 p^{18} T^{52} + 1246994151809735600 p^{19} T^{53} + 122491848268928236 p^{20} T^{54} + 11560950271660030 p^{21} T^{55} + 1049869655221494 p^{22} T^{56} + 90980807487560 p^{23} T^{57} + 7545449788905 p^{24} T^{58} + 591062837873 p^{25} T^{59} + 43997156425 p^{26} T^{60} + 3042206104 p^{27} T^{61} + 198041311 p^{28} T^{62} + 11616640 p^{29} T^{63} + 634190 p^{30} T^{64} + 29180 p^{31} T^{65} + 1238 p^{32} T^{66} + 36 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
41 \( 1 - 9 T + 769 T^{2} - 6487 T^{3} + 286828 T^{4} - 2270638 T^{5} + 69323008 T^{6} - 515441351 T^{7} + 12247835435 T^{8} - 85586432053 T^{9} + 1693715300257 T^{10} - 11129932578437 T^{11} + 191889525797724 T^{12} - 1186807376225168 T^{13} + 18425657698557616 T^{14} - 107403884479057789 T^{15} + 1540333692592378371 T^{16} - 8479530196520743306 T^{17} + \)\(11\!\cdots\!33\)\( T^{18} - \)\(59\!\cdots\!86\)\( T^{19} + \)\(77\!\cdots\!10\)\( T^{20} - \)\(38\!\cdots\!39\)\( T^{21} + \)\(47\!\cdots\!63\)\( T^{22} - \)\(22\!\cdots\!65\)\( T^{23} + \)\(27\!\cdots\!73\)\( T^{24} - \)\(12\!\cdots\!57\)\( T^{25} + \)\(35\!\cdots\!17\)\( p T^{26} - \)\(63\!\cdots\!60\)\( T^{27} + \)\(73\!\cdots\!48\)\( T^{28} - \)\(30\!\cdots\!31\)\( T^{29} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( T^{30} - \)\(14\!\cdots\!09\)\( T^{31} + \)\(15\!\cdots\!34\)\( T^{32} - \)\(60\!\cdots\!63\)\( T^{33} + \)\(65\!\cdots\!42\)\( T^{34} - \)\(60\!\cdots\!63\)\( p T^{35} + \)\(15\!\cdots\!34\)\( p^{2} T^{36} - \)\(14\!\cdots\!09\)\( p^{3} T^{37} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{38} - \)\(30\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{39} + \)\(73\!\cdots\!48\)\( p^{6} T^{40} - \)\(63\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{41} + \)\(35\!\cdots\!17\)\( p^{9} T^{42} - \)\(12\!\cdots\!57\)\( p^{9} T^{43} + \)\(27\!\cdots\!73\)\( p^{10} T^{44} - \)\(22\!\cdots\!65\)\( p^{11} T^{45} + \)\(47\!\cdots\!63\)\( p^{12} T^{46} - \)\(38\!\cdots\!39\)\( p^{13} T^{47} + \)\(77\!\cdots\!10\)\( p^{14} T^{48} - \)\(59\!\cdots\!86\)\( p^{15} T^{49} + \)\(11\!\cdots\!33\)\( p^{16} T^{50} - 8479530196520743306 p^{17} T^{51} + 1540333692592378371 p^{18} T^{52} - 107403884479057789 p^{19} T^{53} + 18425657698557616 p^{20} T^{54} - 1186807376225168 p^{21} T^{55} + 191889525797724 p^{22} T^{56} - 11129932578437 p^{23} T^{57} + 1693715300257 p^{24} T^{58} - 85586432053 p^{25} T^{59} + 12247835435 p^{26} T^{60} - 515441351 p^{27} T^{61} + 69323008 p^{28} T^{62} - 2270638 p^{29} T^{63} + 286828 p^{30} T^{64} - 6487 p^{31} T^{65} + 769 p^{32} T^{66} - 9 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
43 \( 1 + 24 T + 979 T^{2} + 19034 T^{3} + 452040 T^{4} + 7447837 T^{5} + 133244039 T^{6} + 1918589863 T^{7} + 28478110841 T^{8} + 366428978081 T^{9} + 4739605850898 T^{10} + 55417389238569 T^{11} + 643191107259901 T^{12} + 6923816271846543 T^{13} + 73521205349565280 T^{14} + 736329217147607518 T^{15} + 7253336371324966375 T^{16} + 68168404310261258132 T^{17} + \)\(62\!\cdots\!80\)\( T^{18} + \)\(55\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(48\!\cdots\!00\)\( T^{20} + \)\(41\!\cdots\!87\)\( T^{21} + \)\(79\!\cdots\!92\)\( p T^{22} + \)\(27\!\cdots\!60\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!23\)\( T^{24} + \)\(16\!\cdots\!50\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!57\)\( T^{26} + \)\(96\!\cdots\!31\)\( T^{27} + \)\(70\!\cdots\!65\)\( T^{28} + \)\(50\!\cdots\!45\)\( T^{29} + \)\(36\!\cdots\!37\)\( T^{30} + \)\(25\!\cdots\!95\)\( T^{31} + \)\(17\!\cdots\!42\)\( T^{32} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{33} + \)\(76\!\cdots\!76\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( p T^{35} + \)\(17\!\cdots\!42\)\( p^{2} T^{36} + \)\(25\!\cdots\!95\)\( p^{3} T^{37} + \)\(36\!\cdots\!37\)\( p^{4} T^{38} + \)\(50\!\cdots\!45\)\( p^{5} T^{39} + \)\(70\!\cdots\!65\)\( p^{6} T^{40} + \)\(96\!\cdots\!31\)\( p^{7} T^{41} + \)\(12\!\cdots\!57\)\( p^{8} T^{42} + \)\(16\!\cdots\!50\)\( p^{9} T^{43} + \)\(21\!\cdots\!23\)\( p^{10} T^{44} + \)\(27\!\cdots\!60\)\( p^{11} T^{45} + \)\(79\!\cdots\!92\)\( p^{13} T^{46} + \)\(41\!\cdots\!87\)\( p^{13} T^{47} + \)\(48\!\cdots\!00\)\( p^{14} T^{48} + \)\(55\!\cdots\!96\)\( p^{15} T^{49} + \)\(62\!\cdots\!80\)\( p^{16} T^{50} + 68168404310261258132 p^{17} T^{51} + 7253336371324966375 p^{18} T^{52} + 736329217147607518 p^{19} T^{53} + 73521205349565280 p^{20} T^{54} + 6923816271846543 p^{21} T^{55} + 643191107259901 p^{22} T^{56} + 55417389238569 p^{23} T^{57} + 4739605850898 p^{24} T^{58} + 366428978081 p^{25} T^{59} + 28478110841 p^{26} T^{60} + 1918589863 p^{27} T^{61} + 133244039 p^{28} T^{62} + 7447837 p^{29} T^{63} + 452040 p^{30} T^{64} + 19034 p^{31} T^{65} + 979 p^{32} T^{66} + 24 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
47 \( 1 + 29 T + 1505 T^{2} + 34065 T^{3} + 1024904 T^{4} + 19308800 T^{5} + 433690343 T^{6} + 7066312513 T^{7} + 130337094916 T^{8} + 1883600016016 T^{9} + 29965007651097 T^{10} + 391002935656678 T^{11} + 5525947767424554 T^{12} + 65971005034005850 T^{13} + 844772893613484580 T^{14} + 9321349883395368615 T^{15} + \)\(10\!\cdots\!13\)\( T^{16} + \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!46\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{20} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!39\)\( T^{22} + \)\(91\!\cdots\!71\)\( T^{23} + \)\(83\!\cdots\!50\)\( T^{24} + \)\(68\!\cdots\!30\)\( T^{25} + \)\(59\!\cdots\!12\)\( T^{26} + \)\(46\!\cdots\!93\)\( T^{27} + \)\(37\!\cdots\!75\)\( T^{28} + \)\(28\!\cdots\!30\)\( T^{29} + \)\(22\!\cdots\!98\)\( T^{30} + \)\(15\!\cdots\!11\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( T^{32} + \)\(81\!\cdots\!74\)\( T^{33} + \)\(58\!\cdots\!00\)\( T^{34} + \)\(81\!\cdots\!74\)\( p T^{35} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( p^{2} T^{36} + \)\(15\!\cdots\!11\)\( p^{3} T^{37} + \)\(22\!\cdots\!98\)\( p^{4} T^{38} + \)\(28\!\cdots\!30\)\( p^{5} T^{39} + \)\(37\!\cdots\!75\)\( p^{6} T^{40} + \)\(46\!\cdots\!93\)\( p^{7} T^{41} + \)\(59\!\cdots\!12\)\( p^{8} T^{42} + \)\(68\!\cdots\!30\)\( p^{9} T^{43} + \)\(83\!\cdots\!50\)\( p^{10} T^{44} + \)\(91\!\cdots\!71\)\( p^{11} T^{45} + \)\(10\!\cdots\!39\)\( p^{12} T^{46} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{47} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{14} T^{48} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{49} + \)\(12\!\cdots\!46\)\( p^{16} T^{50} + \)\(11\!\cdots\!71\)\( p^{17} T^{51} + \)\(10\!\cdots\!13\)\( p^{18} T^{52} + 9321349883395368615 p^{19} T^{53} + 844772893613484580 p^{20} T^{54} + 65971005034005850 p^{21} T^{55} + 5525947767424554 p^{22} T^{56} + 391002935656678 p^{23} T^{57} + 29965007651097 p^{24} T^{58} + 1883600016016 p^{25} T^{59} + 130337094916 p^{26} T^{60} + 7066312513 p^{27} T^{61} + 433690343 p^{28} T^{62} + 19308800 p^{29} T^{63} + 1024904 p^{30} T^{64} + 34065 p^{31} T^{65} + 1505 p^{32} T^{66} + 29 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
53 \( 1 + 9 T + 922 T^{2} + 7676 T^{3} + 418667 T^{4} + 3249644 T^{5} + 125653511 T^{6} + 916151638 T^{7} + 28207813113 T^{8} + 194529146314 T^{9} + 5076384313733 T^{10} + 33310784258378 T^{11} + 765414007752700 T^{12} + 4802330305520228 T^{13} + 99640893513361682 T^{14} + 600007282092741047 T^{15} + 11439967143758068804 T^{16} + 66304809220927157286 T^{17} + \)\(11\!\cdots\!22\)\( T^{18} + \)\(65\!\cdots\!24\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( T^{20} + \)\(59\!\cdots\!49\)\( T^{21} + \)\(93\!\cdots\!92\)\( T^{22} + \)\(48\!\cdots\!90\)\( T^{23} + \)\(73\!\cdots\!02\)\( T^{24} + \)\(37\!\cdots\!58\)\( T^{25} + \)\(53\!\cdots\!47\)\( T^{26} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( T^{27} + \)\(35\!\cdots\!33\)\( T^{28} + \)\(17\!\cdots\!13\)\( T^{29} + \)\(22\!\cdots\!71\)\( T^{30} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!83\)\( T^{32} + \)\(58\!\cdots\!62\)\( T^{33} + \)\(72\!\cdots\!04\)\( T^{34} + \)\(58\!\cdots\!62\)\( p T^{35} + \)\(13\!\cdots\!83\)\( p^{2} T^{36} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( p^{3} T^{37} + \)\(22\!\cdots\!71\)\( p^{4} T^{38} + \)\(17\!\cdots\!13\)\( p^{5} T^{39} + \)\(35\!\cdots\!33\)\( p^{6} T^{40} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( p^{7} T^{41} + \)\(53\!\cdots\!47\)\( p^{8} T^{42} + \)\(37\!\cdots\!58\)\( p^{9} T^{43} + \)\(73\!\cdots\!02\)\( p^{10} T^{44} + \)\(48\!\cdots\!90\)\( p^{11} T^{45} + \)\(93\!\cdots\!92\)\( p^{12} T^{46} + \)\(59\!\cdots\!49\)\( p^{13} T^{47} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( p^{14} T^{48} + \)\(65\!\cdots\!24\)\( p^{15} T^{49} + \)\(11\!\cdots\!22\)\( p^{16} T^{50} + 66304809220927157286 p^{17} T^{51} + 11439967143758068804 p^{18} T^{52} + 600007282092741047 p^{19} T^{53} + 99640893513361682 p^{20} T^{54} + 4802330305520228 p^{21} T^{55} + 765414007752700 p^{22} T^{56} + 33310784258378 p^{23} T^{57} + 5076384313733 p^{24} T^{58} + 194529146314 p^{25} T^{59} + 28207813113 p^{26} T^{60} + 916151638 p^{27} T^{61} + 125653511 p^{28} T^{62} + 3249644 p^{29} T^{63} + 418667 p^{30} T^{64} + 7676 p^{31} T^{65} + 922 p^{32} T^{66} + 9 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
59 \( 1 + 28 T + 1453 T^{2} + 33928 T^{3} + 1013810 T^{4} + 20348799 T^{5} + 455670885 T^{6} + 8048939274 T^{7} + 149117815324 T^{8} + 2361108508622 T^{9} + 38038567175388 T^{10} + 547805577401153 T^{11} + 7902622601242655 T^{12} + 104722227502270962 T^{13} + 1378784010555603434 T^{14} + 16971235437278349042 T^{15} + \)\(20\!\cdots\!90\)\( T^{16} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( T^{17} + \)\(27\!\cdots\!46\)\( T^{18} + \)\(29\!\cdots\!91\)\( T^{19} + \)\(31\!\cdots\!95\)\( T^{20} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( T^{21} + \)\(32\!\cdots\!92\)\( T^{22} + \)\(32\!\cdots\!14\)\( T^{23} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( T^{24} + \)\(28\!\cdots\!25\)\( T^{25} + \)\(26\!\cdots\!08\)\( T^{26} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( T^{27} + \)\(20\!\cdots\!35\)\( T^{28} + \)\(17\!\cdots\!86\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!14\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!74\)\( T^{31} + \)\(99\!\cdots\!32\)\( T^{32} + \)\(78\!\cdots\!82\)\( T^{33} + \)\(61\!\cdots\!14\)\( T^{34} + \)\(78\!\cdots\!82\)\( p T^{35} + \)\(99\!\cdots\!32\)\( p^{2} T^{36} + \)\(12\!\cdots\!74\)\( p^{3} T^{37} + \)\(14\!\cdots\!14\)\( p^{4} T^{38} + \)\(17\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{39} + \)\(20\!\cdots\!35\)\( p^{6} T^{40} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( p^{7} T^{41} + \)\(26\!\cdots\!08\)\( p^{8} T^{42} + \)\(28\!\cdots\!25\)\( p^{9} T^{43} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( p^{10} T^{44} + \)\(32\!\cdots\!14\)\( p^{11} T^{45} + \)\(32\!\cdots\!92\)\( p^{12} T^{46} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( p^{13} T^{47} + \)\(31\!\cdots\!95\)\( p^{14} T^{48} + \)\(29\!\cdots\!91\)\( p^{15} T^{49} + \)\(27\!\cdots\!46\)\( p^{16} T^{50} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{51} + \)\(20\!\cdots\!90\)\( p^{18} T^{52} + 16971235437278349042 p^{19} T^{53} + 1378784010555603434 p^{20} T^{54} + 104722227502270962 p^{21} T^{55} + 7902622601242655 p^{22} T^{56} + 547805577401153 p^{23} T^{57} + 38038567175388 p^{24} T^{58} + 2361108508622 p^{25} T^{59} + 149117815324 p^{26} T^{60} + 8048939274 p^{27} T^{61} + 455670885 p^{28} T^{62} + 20348799 p^{29} T^{63} + 1013810 p^{30} T^{64} + 33928 p^{31} T^{65} + 1453 p^{32} T^{66} + 28 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
61 \( 1 - 23 T + 1303 T^{2} - 24894 T^{3} + 788202 T^{4} - 12939048 T^{5} + 298620377 T^{6} - 4308504677 T^{7} + 80275284061 T^{8} - 1034273309302 T^{9} + 16404991077520 T^{10} - 190928151444802 T^{11} + 2662506637271407 T^{12} - 28227716796547820 T^{13} + 353664484481835840 T^{14} - 3436322710883452580 T^{15} + 39296289747316971248 T^{16} - \)\(35\!\cdots\!38\)\( T^{17} + 60860900538909147429 p T^{18} - \)\(30\!\cdots\!57\)\( T^{19} + \)\(30\!\cdots\!84\)\( T^{20} - \)\(22\!\cdots\!77\)\( T^{21} + \)\(21\!\cdots\!02\)\( T^{22} - \)\(14\!\cdots\!90\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( T^{24} - \)\(85\!\cdots\!13\)\( T^{25} + \)\(72\!\cdots\!78\)\( T^{26} - \)\(42\!\cdots\!21\)\( T^{27} + \)\(36\!\cdots\!97\)\( T^{28} - \)\(19\!\cdots\!82\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!91\)\( T^{30} - \)\(84\!\cdots\!90\)\( T^{31} + \)\(79\!\cdots\!03\)\( T^{32} - \)\(39\!\cdots\!30\)\( T^{33} + \)\(43\!\cdots\!32\)\( T^{34} - \)\(39\!\cdots\!30\)\( p T^{35} + \)\(79\!\cdots\!03\)\( p^{2} T^{36} - \)\(84\!\cdots\!90\)\( p^{3} T^{37} + \)\(16\!\cdots\!91\)\( p^{4} T^{38} - \)\(19\!\cdots\!82\)\( p^{5} T^{39} + \)\(36\!\cdots\!97\)\( p^{6} T^{40} - \)\(42\!\cdots\!21\)\( p^{7} T^{41} + \)\(72\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{42} - \)\(85\!\cdots\!13\)\( p^{9} T^{43} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( p^{10} T^{44} - \)\(14\!\cdots\!90\)\( p^{11} T^{45} + \)\(21\!\cdots\!02\)\( p^{12} T^{46} - \)\(22\!\cdots\!77\)\( p^{13} T^{47} + \)\(30\!\cdots\!84\)\( p^{14} T^{48} - \)\(30\!\cdots\!57\)\( p^{15} T^{49} + 60860900538909147429 p^{17} T^{50} - \)\(35\!\cdots\!38\)\( p^{17} T^{51} + 39296289747316971248 p^{18} T^{52} - 3436322710883452580 p^{19} T^{53} + 353664484481835840 p^{20} T^{54} - 28227716796547820 p^{21} T^{55} + 2662506637271407 p^{22} T^{56} - 190928151444802 p^{23} T^{57} + 16404991077520 p^{24} T^{58} - 1034273309302 p^{25} T^{59} + 80275284061 p^{26} T^{60} - 4308504677 p^{27} T^{61} + 298620377 p^{28} T^{62} - 12939048 p^{29} T^{63} + 788202 p^{30} T^{64} - 24894 p^{31} T^{65} + 1303 p^{32} T^{66} - 23 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
67 \( 1 + 51 T + 2630 T^{2} + 88459 T^{3} + 2816713 T^{4} + 73333771 T^{5} + 1801149519 T^{6} + 39054787873 T^{7} + 803020732935 T^{8} + 15112913976303 T^{9} + 271327346355858 T^{10} + 4549983288160958 T^{11} + 73173374475841937 T^{12} + 1113233479731414885 T^{13} + 16314399928407937388 T^{14} + \)\(22\!\cdots\!04\)\( T^{15} + \)\(30\!\cdots\!68\)\( T^{16} + \)\(40\!\cdots\!39\)\( T^{17} + \)\(50\!\cdots\!69\)\( T^{18} + \)\(61\!\cdots\!37\)\( T^{19} + \)\(72\!\cdots\!88\)\( T^{20} + \)\(82\!\cdots\!33\)\( T^{21} + \)\(91\!\cdots\!66\)\( T^{22} + \)\(98\!\cdots\!70\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( T^{24} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!51\)\( T^{26} + \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{27} + \)\(98\!\cdots\!97\)\( T^{28} + \)\(91\!\cdots\!95\)\( T^{29} + \)\(82\!\cdots\!57\)\( T^{30} + \)\(73\!\cdots\!93\)\( T^{31} + \)\(63\!\cdots\!71\)\( T^{32} + \)\(53\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(44\!\cdots\!28\)\( T^{34} + \)\(53\!\cdots\!44\)\( p T^{35} + \)\(63\!\cdots\!71\)\( p^{2} T^{36} + \)\(73\!\cdots\!93\)\( p^{3} T^{37} + \)\(82\!\cdots\!57\)\( p^{4} T^{38} + \)\(91\!\cdots\!95\)\( p^{5} T^{39} + \)\(98\!\cdots\!97\)\( p^{6} T^{40} + \)\(10\!\cdots\!01\)\( p^{7} T^{41} + \)\(10\!\cdots\!51\)\( p^{8} T^{42} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( p^{9} T^{43} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( p^{10} T^{44} + \)\(98\!\cdots\!70\)\( p^{11} T^{45} + \)\(91\!\cdots\!66\)\( p^{12} T^{46} + \)\(82\!\cdots\!33\)\( p^{13} T^{47} + \)\(72\!\cdots\!88\)\( p^{14} T^{48} + \)\(61\!\cdots\!37\)\( p^{15} T^{49} + \)\(50\!\cdots\!69\)\( p^{16} T^{50} + \)\(40\!\cdots\!39\)\( p^{17} T^{51} + \)\(30\!\cdots\!68\)\( p^{18} T^{52} + \)\(22\!\cdots\!04\)\( p^{19} T^{53} + 16314399928407937388 p^{20} T^{54} + 1113233479731414885 p^{21} T^{55} + 73173374475841937 p^{22} T^{56} + 4549983288160958 p^{23} T^{57} + 271327346355858 p^{24} T^{58} + 15112913976303 p^{25} T^{59} + 803020732935 p^{26} T^{60} + 39054787873 p^{27} T^{61} + 1801149519 p^{28} T^{62} + 73333771 p^{29} T^{63} + 2816713 p^{30} T^{64} + 88459 p^{31} T^{65} + 2630 p^{32} T^{66} + 51 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
71 \( 1 + 31 T + 1784 T^{2} + 47313 T^{3} + 1570535 T^{4} + 36213379 T^{5} + 906414519 T^{6} + 18486739455 T^{7} + 385433247954 T^{8} + 7062285845964 T^{9} + 128794730858302 T^{10} + 2147986602744018 T^{11} + 35230330923732949 T^{12} + 540508421038223190 T^{13} + 8113041836307331117 T^{14} + \)\(11\!\cdots\!90\)\( T^{15} + \)\(16\!\cdots\!83\)\( T^{16} + \)\(21\!\cdots\!50\)\( T^{17} + \)\(27\!\cdots\!13\)\( T^{18} + \)\(34\!\cdots\!94\)\( T^{19} + \)\(42\!\cdots\!86\)\( T^{20} + \)\(49\!\cdots\!86\)\( T^{21} + \)\(57\!\cdots\!89\)\( T^{22} + \)\(63\!\cdots\!26\)\( T^{23} + \)\(69\!\cdots\!35\)\( T^{24} + \)\(73\!\cdots\!10\)\( T^{25} + \)\(75\!\cdots\!12\)\( T^{26} + \)\(76\!\cdots\!76\)\( T^{27} + \)\(75\!\cdots\!26\)\( T^{28} + \)\(72\!\cdots\!09\)\( T^{29} + \)\(67\!\cdots\!00\)\( T^{30} + \)\(61\!\cdots\!60\)\( T^{31} + \)\(55\!\cdots\!33\)\( T^{32} + \)\(48\!\cdots\!15\)\( T^{33} + \)\(41\!\cdots\!07\)\( T^{34} + \)\(48\!\cdots\!15\)\( p T^{35} + \)\(55\!\cdots\!33\)\( p^{2} T^{36} + \)\(61\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{37} + \)\(67\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{38} + \)\(72\!\cdots\!09\)\( p^{5} T^{39} + \)\(75\!\cdots\!26\)\( p^{6} T^{40} + \)\(76\!\cdots\!76\)\( p^{7} T^{41} + \)\(75\!\cdots\!12\)\( p^{8} T^{42} + \)\(73\!\cdots\!10\)\( p^{9} T^{43} + \)\(69\!\cdots\!35\)\( p^{10} T^{44} + \)\(63\!\cdots\!26\)\( p^{11} T^{45} + \)\(57\!\cdots\!89\)\( p^{12} T^{46} + \)\(49\!\cdots\!86\)\( p^{13} T^{47} + \)\(42\!\cdots\!86\)\( p^{14} T^{48} + \)\(34\!\cdots\!94\)\( p^{15} T^{49} + \)\(27\!\cdots\!13\)\( p^{16} T^{50} + \)\(21\!\cdots\!50\)\( p^{17} T^{51} + \)\(16\!\cdots\!83\)\( p^{18} T^{52} + \)\(11\!\cdots\!90\)\( p^{19} T^{53} + 8113041836307331117 p^{20} T^{54} + 540508421038223190 p^{21} T^{55} + 35230330923732949 p^{22} T^{56} + 2147986602744018 p^{23} T^{57} + 128794730858302 p^{24} T^{58} + 7062285845964 p^{25} T^{59} + 385433247954 p^{26} T^{60} + 18486739455 p^{27} T^{61} + 906414519 p^{28} T^{62} + 36213379 p^{29} T^{63} + 1570535 p^{30} T^{64} + 47313 p^{31} T^{65} + 1784 p^{32} T^{66} + 31 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
73 \( 1 + 26 T + 1609 T^{2} + 35449 T^{3} + 1254039 T^{4} + 24223858 T^{5} + 637484075 T^{6} + 11047437688 T^{7} + 239109319208 T^{8} + 3778799209500 T^{9} + 70820523809135 T^{10} + 1033119875303243 T^{11} + 17288529851577745 T^{12} + 234969521331288742 T^{13} + 3582156902217044039 T^{14} + 45688837177621085195 T^{15} + \)\(64\!\cdots\!29\)\( T^{16} + \)\(77\!\cdots\!20\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!31\)\( T^{20} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!87\)\( T^{22} + \)\(18\!\cdots\!18\)\( T^{23} + \)\(21\!\cdots\!15\)\( T^{24} + \)\(20\!\cdots\!10\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!12\)\( T^{26} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( T^{27} + \)\(21\!\cdots\!47\)\( T^{28} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( T^{29} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( T^{30} + \)\(16\!\cdots\!12\)\( T^{31} + \)\(15\!\cdots\!43\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!02\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( T^{34} + \)\(13\!\cdots\!02\)\( p T^{35} + \)\(15\!\cdots\!43\)\( p^{2} T^{36} + \)\(16\!\cdots\!12\)\( p^{3} T^{37} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( p^{4} T^{38} + \)\(19\!\cdots\!55\)\( p^{5} T^{39} + \)\(21\!\cdots\!47\)\( p^{6} T^{40} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{7} T^{41} + \)\(22\!\cdots\!12\)\( p^{8} T^{42} + \)\(20\!\cdots\!10\)\( p^{9} T^{43} + \)\(21\!\cdots\!15\)\( p^{10} T^{44} + \)\(18\!\cdots\!18\)\( p^{11} T^{45} + \)\(18\!\cdots\!87\)\( p^{12} T^{46} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{13} T^{47} + \)\(14\!\cdots\!31\)\( p^{14} T^{48} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( p^{15} T^{49} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( p^{16} T^{50} + \)\(77\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{51} + \)\(64\!\cdots\!29\)\( p^{18} T^{52} + 45688837177621085195 p^{19} T^{53} + 3582156902217044039 p^{20} T^{54} + 234969521331288742 p^{21} T^{55} + 17288529851577745 p^{22} T^{56} + 1033119875303243 p^{23} T^{57} + 70820523809135 p^{24} T^{58} + 3778799209500 p^{25} T^{59} + 239109319208 p^{26} T^{60} + 11047437688 p^{27} T^{61} + 637484075 p^{28} T^{62} + 24223858 p^{29} T^{63} + 1254039 p^{30} T^{64} + 35449 p^{31} T^{65} + 1609 p^{32} T^{66} + 26 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
79 \( 1 + 36 T + 2156 T^{2} + 60476 T^{3} + 2112974 T^{4} + 49325269 T^{5} + 1292662321 T^{6} + 26115982295 T^{7} + 564148353412 T^{8} + 10122290428967 T^{9} + 189175869112473 T^{10} + 3070273824944881 T^{11} + 51118305774830016 T^{12} + 9630831117122463 p T^{13} + 11509212286023851205 T^{14} + \)\(15\!\cdots\!71\)\( T^{15} + \)\(22\!\cdots\!88\)\( T^{16} + \)\(28\!\cdots\!49\)\( T^{17} + \)\(37\!\cdots\!06\)\( T^{18} + \)\(45\!\cdots\!59\)\( T^{19} + \)\(55\!\cdots\!17\)\( T^{20} + \)\(63\!\cdots\!21\)\( T^{21} + \)\(92\!\cdots\!45\)\( p T^{22} + \)\(80\!\cdots\!64\)\( T^{23} + \)\(88\!\cdots\!78\)\( T^{24} + \)\(93\!\cdots\!63\)\( T^{25} + \)\(98\!\cdots\!64\)\( T^{26} + \)\(99\!\cdots\!67\)\( T^{27} + \)\(10\!\cdots\!17\)\( T^{28} + \)\(97\!\cdots\!53\)\( T^{29} + \)\(94\!\cdots\!05\)\( T^{30} + \)\(88\!\cdots\!24\)\( T^{31} + \)\(83\!\cdots\!72\)\( T^{32} + \)\(75\!\cdots\!36\)\( T^{33} + \)\(68\!\cdots\!53\)\( T^{34} + \)\(75\!\cdots\!36\)\( p T^{35} + \)\(83\!\cdots\!72\)\( p^{2} T^{36} + \)\(88\!\cdots\!24\)\( p^{3} T^{37} + \)\(94\!\cdots\!05\)\( p^{4} T^{38} + \)\(97\!\cdots\!53\)\( p^{5} T^{39} + \)\(10\!\cdots\!17\)\( p^{6} T^{40} + \)\(99\!\cdots\!67\)\( p^{7} T^{41} + \)\(98\!\cdots\!64\)\( p^{8} T^{42} + \)\(93\!\cdots\!63\)\( p^{9} T^{43} + \)\(88\!\cdots\!78\)\( p^{10} T^{44} + \)\(80\!\cdots\!64\)\( p^{11} T^{45} + \)\(92\!\cdots\!45\)\( p^{13} T^{46} + \)\(63\!\cdots\!21\)\( p^{13} T^{47} + \)\(55\!\cdots\!17\)\( p^{14} T^{48} + \)\(45\!\cdots\!59\)\( p^{15} T^{49} + \)\(37\!\cdots\!06\)\( p^{16} T^{50} + \)\(28\!\cdots\!49\)\( p^{17} T^{51} + \)\(22\!\cdots\!88\)\( p^{18} T^{52} + \)\(15\!\cdots\!71\)\( p^{19} T^{53} + 11509212286023851205 p^{20} T^{54} + 9630831117122463 p^{22} T^{55} + 51118305774830016 p^{22} T^{56} + 3070273824944881 p^{23} T^{57} + 189175869112473 p^{24} T^{58} + 10122290428967 p^{25} T^{59} + 564148353412 p^{26} T^{60} + 26115982295 p^{27} T^{61} + 1292662321 p^{28} T^{62} + 49325269 p^{29} T^{63} + 2112974 p^{30} T^{64} + 60476 p^{31} T^{65} + 2156 p^{32} T^{66} + 36 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
83 \( 1 + 10 T + 1812 T^{2} + 16076 T^{3} + 1604816 T^{4} + 12577112 T^{5} + 928218891 T^{6} + 6382896170 T^{7} + 395320777312 T^{8} + 2363500173876 T^{9} + 132545027501172 T^{10} + 681052540458185 T^{11} + 36529620832403922 T^{12} + 159077294593168921 T^{13} + 8531051224318480931 T^{14} + 30978585050332212336 T^{15} + \)\(17\!\cdots\!63\)\( T^{16} + \)\(51\!\cdots\!28\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( T^{18} + \)\(73\!\cdots\!83\)\( T^{19} + \)\(49\!\cdots\!36\)\( T^{20} + \)\(92\!\cdots\!30\)\( T^{21} + \)\(70\!\cdots\!15\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( T^{23} + \)\(92\!\cdots\!75\)\( T^{24} + \)\(10\!\cdots\!06\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( T^{26} + \)\(89\!\cdots\!34\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!49\)\( T^{28} + \)\(74\!\cdots\!95\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!83\)\( T^{30} + \)\(58\!\cdots\!77\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( T^{32} + \)\(46\!\cdots\!22\)\( T^{33} + \)\(99\!\cdots\!62\)\( T^{34} + \)\(46\!\cdots\!22\)\( p T^{35} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{36} + \)\(58\!\cdots\!77\)\( p^{3} T^{37} + \)\(12\!\cdots\!83\)\( p^{4} T^{38} + \)\(74\!\cdots\!95\)\( p^{5} T^{39} + \)\(12\!\cdots\!49\)\( p^{6} T^{40} + \)\(89\!\cdots\!34\)\( p^{7} T^{41} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{42} + \)\(10\!\cdots\!06\)\( p^{9} T^{43} + \)\(92\!\cdots\!75\)\( p^{10} T^{44} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( p^{11} T^{45} + \)\(70\!\cdots\!15\)\( p^{12} T^{46} + \)\(92\!\cdots\!30\)\( p^{13} T^{47} + \)\(49\!\cdots\!36\)\( p^{14} T^{48} + \)\(73\!\cdots\!83\)\( p^{15} T^{49} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( p^{16} T^{50} + \)\(51\!\cdots\!28\)\( p^{17} T^{51} + \)\(17\!\cdots\!63\)\( p^{18} T^{52} + 30978585050332212336 p^{19} T^{53} + 8531051224318480931 p^{20} T^{54} + 159077294593168921 p^{21} T^{55} + 36529620832403922 p^{22} T^{56} + 681052540458185 p^{23} T^{57} + 132545027501172 p^{24} T^{58} + 2363500173876 p^{25} T^{59} + 395320777312 p^{26} T^{60} + 6382896170 p^{27} T^{61} + 928218891 p^{28} T^{62} + 12577112 p^{29} T^{63} + 1604816 p^{30} T^{64} + 16076 p^{31} T^{65} + 1812 p^{32} T^{66} + 10 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
89 \( 1 + 34 T + 1868 T^{2} + 50617 T^{3} + 1664028 T^{4} + 38171604 T^{5} + 961463451 T^{6} + 19365085104 T^{7} + 409347345630 T^{8} + 7414964994475 T^{9} + 137700964182447 T^{10} + 2281283264681373 T^{11} + 38237446457281635 T^{12} + 586555371020589291 T^{13} + 9031502463268996478 T^{14} + \)\(12\!\cdots\!87\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!83\)\( T^{16} + \)\(25\!\cdots\!61\)\( T^{17} + \)\(33\!\cdots\!68\)\( T^{18} + \)\(43\!\cdots\!34\)\( T^{19} + \)\(54\!\cdots\!58\)\( T^{20} + \)\(66\!\cdots\!84\)\( T^{21} + \)\(80\!\cdots\!79\)\( T^{22} + \)\(93\!\cdots\!64\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!06\)\( T^{24} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( T^{25} + \)\(13\!\cdots\!92\)\( T^{26} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( T^{27} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{28} + \)\(15\!\cdots\!74\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!79\)\( T^{30} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( T^{31} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{32} + \)\(15\!\cdots\!89\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( T^{34} + \)\(15\!\cdots\!89\)\( p T^{35} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{36} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( p^{3} T^{37} + \)\(16\!\cdots\!79\)\( p^{4} T^{38} + \)\(15\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{39} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{6} T^{40} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( p^{7} T^{41} + \)\(13\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{42} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{9} T^{43} + \)\(10\!\cdots\!06\)\( p^{10} T^{44} + \)\(93\!\cdots\!64\)\( p^{11} T^{45} + \)\(80\!\cdots\!79\)\( p^{12} T^{46} + \)\(66\!\cdots\!84\)\( p^{13} T^{47} + \)\(54\!\cdots\!58\)\( p^{14} T^{48} + \)\(43\!\cdots\!34\)\( p^{15} T^{49} + \)\(33\!\cdots\!68\)\( p^{16} T^{50} + \)\(25\!\cdots\!61\)\( p^{17} T^{51} + \)\(18\!\cdots\!83\)\( p^{18} T^{52} + \)\(12\!\cdots\!87\)\( p^{19} T^{53} + 9031502463268996478 p^{20} T^{54} + 586555371020589291 p^{21} T^{55} + 38237446457281635 p^{22} T^{56} + 2281283264681373 p^{23} T^{57} + 137700964182447 p^{24} T^{58} + 7414964994475 p^{25} T^{59} + 409347345630 p^{26} T^{60} + 19365085104 p^{27} T^{61} + 961463451 p^{28} T^{62} + 38171604 p^{29} T^{63} + 1664028 p^{30} T^{64} + 50617 p^{31} T^{65} + 1868 p^{32} T^{66} + 34 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
97 \( 1 + 56 T + 3143 T^{2} + 115813 T^{3} + 4010963 T^{4} + 113957215 T^{5} + 3036817998 T^{6} + 71516814623 T^{7} + 1589476024614 T^{8} + 32315194148940 T^{9} + 624190190156970 T^{10} + 11242884560882531 T^{11} + 193539174727232380 T^{12} + 3144688300619247222 T^{13} + 49086116890414815259 T^{14} + \)\(72\!\cdots\!68\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!06\)\( T^{18} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( T^{19} + \)\(30\!\cdots\!65\)\( T^{20} + \)\(37\!\cdots\!97\)\( T^{21} + \)\(44\!\cdots\!62\)\( T^{22} + \)\(51\!\cdots\!52\)\( T^{23} + \)\(58\!\cdots\!84\)\( T^{24} + \)\(64\!\cdots\!79\)\( T^{25} + \)\(70\!\cdots\!13\)\( T^{26} + \)\(76\!\cdots\!98\)\( T^{27} + \)\(81\!\cdots\!49\)\( T^{28} + \)\(86\!\cdots\!31\)\( T^{29} + \)\(89\!\cdots\!12\)\( T^{30} + \)\(92\!\cdots\!62\)\( T^{31} + \)\(94\!\cdots\!95\)\( T^{32} + \)\(94\!\cdots\!20\)\( T^{33} + \)\(93\!\cdots\!92\)\( T^{34} + \)\(94\!\cdots\!20\)\( p T^{35} + \)\(94\!\cdots\!95\)\( p^{2} T^{36} + \)\(92\!\cdots\!62\)\( p^{3} T^{37} + \)\(89\!\cdots\!12\)\( p^{4} T^{38} + \)\(86\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{39} + \)\(81\!\cdots\!49\)\( p^{6} T^{40} + \)\(76\!\cdots\!98\)\( p^{7} T^{41} + \)\(70\!\cdots\!13\)\( p^{8} T^{42} + \)\(64\!\cdots\!79\)\( p^{9} T^{43} + \)\(58\!\cdots\!84\)\( p^{10} T^{44} + \)\(51\!\cdots\!52\)\( p^{11} T^{45} + \)\(44\!\cdots\!62\)\( p^{12} T^{46} + \)\(37\!\cdots\!97\)\( p^{13} T^{47} + \)\(30\!\cdots\!65\)\( p^{14} T^{48} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( p^{15} T^{49} + \)\(19\!\cdots\!06\)\( p^{16} T^{50} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( p^{17} T^{51} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( p^{18} T^{52} + \)\(72\!\cdots\!68\)\( p^{19} T^{53} + 49086116890414815259 p^{20} T^{54} + 3144688300619247222 p^{21} T^{55} + 193539174727232380 p^{22} T^{56} + 11242884560882531 p^{23} T^{57} + 624190190156970 p^{24} T^{58} + 32315194148940 p^{25} T^{59} + 1589476024614 p^{26} T^{60} + 71516814623 p^{27} T^{61} + 3036817998 p^{28} T^{62} + 113957215 p^{29} T^{63} + 4010963 p^{30} T^{64} + 115813 p^{31} T^{65} + 3143 p^{32} T^{66} + 56 p^{33} T^{67} + p^{34} T^{68} \)
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\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{68} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.37549920804921051002502559508, −1.36702062118188758086692308137, −1.34669111682136299649716726448, −1.33877795295000928203890386999, −1.30103986097828195048975062297, −1.29913586826458149623850348836, −1.24057259133286688091771067493, −1.20964717286042176384681077076, −1.19260927561614373807516026961, −1.17269069168347853067818906263, −1.15496957855666958717773835475, −1.13425936938956169697005354295, −1.09636677486236666189832742111, −1.05335987817910327696220501808, −1.03631530460901430805135592834, −1.00133975522981844673510664130, −0.943095196483826179719305998639, −0.941535733235132553151124786780, −0.930049725226640758159756835764, −0.912140549070592773162440665721, −0.828515127013870510752212403165, −0.812050586587881376216587940266, −0.71541135313625066094150948922, −0.62324847783582474252169983077, −0.53864246789753665518813964695, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.53864246789753665518813964695, 0.62324847783582474252169983077, 0.71541135313625066094150948922, 0.812050586587881376216587940266, 0.828515127013870510752212403165, 0.912140549070592773162440665721, 0.930049725226640758159756835764, 0.941535733235132553151124786780, 0.943095196483826179719305998639, 1.00133975522981844673510664130, 1.03631530460901430805135592834, 1.05335987817910327696220501808, 1.09636677486236666189832742111, 1.13425936938956169697005354295, 1.15496957855666958717773835475, 1.17269069168347853067818906263, 1.19260927561614373807516026961, 1.20964717286042176384681077076, 1.24057259133286688091771067493, 1.29913586826458149623850348836, 1.30103986097828195048975062297, 1.33877795295000928203890386999, 1.34669111682136299649716726448, 1.36702062118188758086692308137, 1.37549920804921051002502559508

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.