# Properties

 Degree 14 Conductor $2^{28} \cdot 3^{7} \cdot 167^{7}$ Sign $-1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 7

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 7·3-s − 3·5-s − 8·7-s + 28·9-s − 11-s − 2·13-s − 21·15-s + 11·17-s − 2·19-s − 56·21-s − 17·23-s − 11·25-s + 84·27-s − 7·29-s − 10·31-s − 7·33-s + 24·35-s − 21·37-s − 14·39-s + 8·41-s + 12·43-s − 84·45-s − 25·47-s + 4·49-s + 77·51-s − 7·53-s + 3·55-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 4.04·3-s − 1.34·5-s − 3.02·7-s + 28/3·9-s − 0.301·11-s − 0.554·13-s − 5.42·15-s + 2.66·17-s − 0.458·19-s − 12.2·21-s − 3.54·23-s − 2.19·25-s + 16.1·27-s − 1.29·29-s − 1.79·31-s − 1.21·33-s + 4.05·35-s − 3.45·37-s − 2.24·39-s + 1.24·41-s + 1.82·43-s − 12.5·45-s − 3.64·47-s + 4/7·49-s + 10.7·51-s − 0.961·53-s + 0.404·55-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{28} \cdot 3^{7} \cdot 167^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{28} \cdot 3^{7} \cdot 167^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$14$$ $$N$$ = $$2^{28} \cdot 3^{7} \cdot 167^{7}$$ $$\varepsilon$$ = $-1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{8016} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = $$7$$ Selberg data = $$(14,\ 2^{28} \cdot 3^{7} \cdot 167^{7} ,\ ( \ : [1/2]^{7} ),\ -1 )$$ $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{2,\;3,\;167\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 14. If $p \in \{2,\;3,\;167\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 13.
$p$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
3 $$( 1 - T )^{7}$$
167 $$( 1 - T )^{7}$$
good5 $$1 + 3 T + 4 p T^{2} + 8 p T^{3} + 173 T^{4} + 258 T^{5} + 1026 T^{6} + 1326 T^{7} + 1026 p T^{8} + 258 p^{2} T^{9} + 173 p^{3} T^{10} + 8 p^{5} T^{11} + 4 p^{6} T^{12} + 3 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
7 $$1 + 8 T + 60 T^{2} + 281 T^{3} + 181 p T^{4} + 4377 T^{5} + 2092 p T^{6} + 39420 T^{7} + 2092 p^{2} T^{8} + 4377 p^{2} T^{9} + 181 p^{4} T^{10} + 281 p^{4} T^{11} + 60 p^{5} T^{12} + 8 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
11 $$1 + T + 46 T^{2} + 28 T^{3} + 1061 T^{4} + 414 T^{5} + 16252 T^{6} + 5010 T^{7} + 16252 p T^{8} + 414 p^{2} T^{9} + 1061 p^{3} T^{10} + 28 p^{4} T^{11} + 46 p^{5} T^{12} + p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
13 $$1 + 2 T + 48 T^{2} + 20 T^{3} + 854 T^{4} - 1667 T^{5} + 8225 T^{6} - 41310 T^{7} + 8225 p T^{8} - 1667 p^{2} T^{9} + 854 p^{3} T^{10} + 20 p^{4} T^{11} + 48 p^{5} T^{12} + 2 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
17 $$1 - 11 T + 125 T^{2} - 904 T^{3} + 6292 T^{4} - 34384 T^{5} + 176026 T^{6} - 750594 T^{7} + 176026 p T^{8} - 34384 p^{2} T^{9} + 6292 p^{3} T^{10} - 904 p^{4} T^{11} + 125 p^{5} T^{12} - 11 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
19 $$1 + 2 T + 68 T^{2} + 280 T^{3} + 2522 T^{4} + 11611 T^{5} + 70571 T^{6} + 268206 T^{7} + 70571 p T^{8} + 11611 p^{2} T^{9} + 2522 p^{3} T^{10} + 280 p^{4} T^{11} + 68 p^{5} T^{12} + 2 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
23 $$1 + 17 T + 264 T^{2} + 2580 T^{3} + 22869 T^{4} + 155172 T^{5} + 962930 T^{6} + 4821022 T^{7} + 962930 p T^{8} + 155172 p^{2} T^{9} + 22869 p^{3} T^{10} + 2580 p^{4} T^{11} + 264 p^{5} T^{12} + 17 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
29 $$1 + 7 T + 146 T^{2} + 790 T^{3} + 9969 T^{4} + 44070 T^{5} + 422776 T^{6} + 1553690 T^{7} + 422776 p T^{8} + 44070 p^{2} T^{9} + 9969 p^{3} T^{10} + 790 p^{4} T^{11} + 146 p^{5} T^{12} + 7 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
31 $$1 + 10 T + 211 T^{2} + 1575 T^{3} + 18783 T^{4} + 110477 T^{5} + 946125 T^{6} + 4420900 T^{7} + 946125 p T^{8} + 110477 p^{2} T^{9} + 18783 p^{3} T^{10} + 1575 p^{4} T^{11} + 211 p^{5} T^{12} + 10 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
37 $$1 + 21 T + 360 T^{2} + 4288 T^{3} + 43987 T^{4} + 370784 T^{5} + 2772232 T^{6} + 17825150 T^{7} + 2772232 p T^{8} + 370784 p^{2} T^{9} + 43987 p^{3} T^{10} + 4288 p^{4} T^{11} + 360 p^{5} T^{12} + 21 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
41 $$1 - 8 T + 5 p T^{2} - 1417 T^{3} + 20339 T^{4} - 118045 T^{5} + 1250235 T^{6} - 6008956 T^{7} + 1250235 p T^{8} - 118045 p^{2} T^{9} + 20339 p^{3} T^{10} - 1417 p^{4} T^{11} + 5 p^{6} T^{12} - 8 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
43 $$1 - 12 T + 145 T^{2} - 23 p T^{3} + 7307 T^{4} - 31281 T^{5} + 187515 T^{6} - 541084 T^{7} + 187515 p T^{8} - 31281 p^{2} T^{9} + 7307 p^{3} T^{10} - 23 p^{5} T^{11} + 145 p^{5} T^{12} - 12 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
47 $$1 + 25 T + 440 T^{2} + 5547 T^{3} + 60316 T^{4} + 549620 T^{5} + 4505677 T^{6} + 32294448 T^{7} + 4505677 p T^{8} + 549620 p^{2} T^{9} + 60316 p^{3} T^{10} + 5547 p^{4} T^{11} + 440 p^{5} T^{12} + 25 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
53 $$1 + 7 T + 166 T^{2} + 1295 T^{3} + 19306 T^{4} + 115366 T^{5} + 1391231 T^{6} + 7778352 T^{7} + 1391231 p T^{8} + 115366 p^{2} T^{9} + 19306 p^{3} T^{10} + 1295 p^{4} T^{11} + 166 p^{5} T^{12} + 7 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
59 $$1 + 3 T + 362 T^{2} + 997 T^{3} + 58918 T^{4} + 141144 T^{5} + 5562009 T^{6} + 10948080 T^{7} + 5562009 p T^{8} + 141144 p^{2} T^{9} + 58918 p^{3} T^{10} + 997 p^{4} T^{11} + 362 p^{5} T^{12} + 3 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
61 $$1 + 14 T + 304 T^{2} + 3390 T^{3} + 45370 T^{4} + 399265 T^{5} + 4077845 T^{6} + 29981926 T^{7} + 4077845 p T^{8} + 399265 p^{2} T^{9} + 45370 p^{3} T^{10} + 3390 p^{4} T^{11} + 304 p^{5} T^{12} + 14 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
67 $$1 + 4 T + 382 T^{2} + 1324 T^{3} + 66982 T^{4} + 198497 T^{5} + 6988981 T^{6} + 17114094 T^{7} + 6988981 p T^{8} + 198497 p^{2} T^{9} + 66982 p^{3} T^{10} + 1324 p^{4} T^{11} + 382 p^{5} T^{12} + 4 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
71 $$1 + 27 T + 731 T^{2} + 12149 T^{3} + 188468 T^{4} + 2220242 T^{5} + 24216158 T^{6} + 212111532 T^{7} + 24216158 p T^{8} + 2220242 p^{2} T^{9} + 188468 p^{3} T^{10} + 12149 p^{4} T^{11} + 731 p^{5} T^{12} + 27 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
73 $$1 + 12 T + 286 T^{2} + 1814 T^{3} + 32184 T^{4} + 167073 T^{5} + 3162525 T^{6} + 15750450 T^{7} + 3162525 p T^{8} + 167073 p^{2} T^{9} + 32184 p^{3} T^{10} + 1814 p^{4} T^{11} + 286 p^{5} T^{12} + 12 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
79 $$1 + 8 T + 463 T^{2} + 2721 T^{3} + 93163 T^{4} + 415133 T^{5} + 11094341 T^{6} + 39502788 T^{7} + 11094341 p T^{8} + 415133 p^{2} T^{9} + 93163 p^{3} T^{10} + 2721 p^{4} T^{11} + 463 p^{5} T^{12} + 8 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
83 $$1 + 15 T + 252 T^{2} + 2335 T^{3} + 40204 T^{4} + 384018 T^{5} + 4378733 T^{6} + 30821664 T^{7} + 4378733 p T^{8} + 384018 p^{2} T^{9} + 40204 p^{3} T^{10} + 2335 p^{4} T^{11} + 252 p^{5} T^{12} + 15 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
89 $$1 - 14 T + 532 T^{2} - 6878 T^{3} + 130172 T^{4} - 1444175 T^{5} + 18617595 T^{6} - 167849250 T^{7} + 18617595 p T^{8} - 1444175 p^{2} T^{9} + 130172 p^{3} T^{10} - 6878 p^{4} T^{11} + 532 p^{5} T^{12} - 14 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
97 $$1 - 3 T + 475 T^{2} - 1207 T^{3} + 104508 T^{4} - 227430 T^{5} + 14447348 T^{6} - 26865048 T^{7} + 14447348 p T^{8} - 227430 p^{2} T^{9} + 104508 p^{3} T^{10} - 1207 p^{4} T^{11} + 475 p^{5} T^{12} - 3 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{14} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}