# Properties

 Degree 10 Conductor $2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 167^{5}$ Sign $-1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 5

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 5·3-s − 7·5-s + 2·7-s + 15·9-s + 5·11-s − 8·13-s + 35·15-s − 7·17-s − 2·19-s − 10·21-s + 13·23-s + 13·25-s − 35·27-s − 11·29-s + 12·31-s − 25·33-s − 14·35-s − 7·37-s + 40·39-s − 12·41-s − 105·45-s + 19·47-s − 20·49-s + 35·51-s − 21·53-s − 35·55-s + 10·57-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.88·3-s − 3.13·5-s + 0.755·7-s + 5·9-s + 1.50·11-s − 2.21·13-s + 9.03·15-s − 1.69·17-s − 0.458·19-s − 2.18·21-s + 2.71·23-s + 13/5·25-s − 6.73·27-s − 2.04·29-s + 2.15·31-s − 4.35·33-s − 2.36·35-s − 1.15·37-s + 6.40·39-s − 1.87·41-s − 15.6·45-s + 2.77·47-s − 2.85·49-s + 4.90·51-s − 2.88·53-s − 4.71·55-s + 1.32·57-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 167^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 167^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$10$$ $$N$$ = $$2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 167^{5}$$ $$\varepsilon$$ = $-1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{8016} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = $$5$$ Selberg data = $$(10,\ 2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 167^{5} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ -1 )$$ $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{2,\;3,\;167\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 10. If $p \in \{2,\;3,\;167\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 9.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
3$C_1$ $$( 1 + T )^{5}$$
167$C_1$ $$( 1 - T )^{5}$$
good5$C_2 \wr S_5$ $$1 + 7 T + 36 T^{2} + 134 T^{3} + 394 T^{4} + 981 T^{5} + 394 p T^{6} + 134 p^{2} T^{7} + 36 p^{3} T^{8} + 7 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
7$C_2 \wr S_5$ $$1 - 2 T + 24 T^{2} - 41 T^{3} + 286 T^{4} - 405 T^{5} + 286 p T^{6} - 41 p^{2} T^{7} + 24 p^{3} T^{8} - 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
11$C_2 \wr S_5$ $$1 - 5 T + 36 T^{2} - 136 T^{3} + 628 T^{4} - 2025 T^{5} + 628 p T^{6} - 136 p^{2} T^{7} + 36 p^{3} T^{8} - 5 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 + 8 T + 64 T^{2} + 292 T^{3} + 1433 T^{4} + 4915 T^{5} + 1433 p T^{6} + 292 p^{2} T^{7} + 64 p^{3} T^{8} + 8 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
17$C_2 \wr S_5$ $$1 + 7 T + 79 T^{2} + 402 T^{3} + 2557 T^{4} + 9625 T^{5} + 2557 p T^{6} + 402 p^{2} T^{7} + 79 p^{3} T^{8} + 7 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
19$C_2 \wr S_5$ $$1 + 2 T + 50 T^{2} + 86 T^{3} + 1389 T^{4} + 2425 T^{5} + 1389 p T^{6} + 86 p^{2} T^{7} + 50 p^{3} T^{8} + 2 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
23$C_2 \wr S_5$ $$1 - 13 T + 144 T^{2} - 1052 T^{3} + 6778 T^{4} - 34395 T^{5} + 6778 p T^{6} - 1052 p^{2} T^{7} + 144 p^{3} T^{8} - 13 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 + 11 T + 166 T^{2} + 1174 T^{3} + 9958 T^{4} + 49617 T^{5} + 9958 p T^{6} + 1174 p^{2} T^{7} + 166 p^{3} T^{8} + 11 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 - 12 T + 153 T^{2} - 1291 T^{3} + 9382 T^{4} - 57399 T^{5} + 9382 p T^{6} - 1291 p^{2} T^{7} + 153 p^{3} T^{8} - 12 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 + 7 T + 178 T^{2} + 920 T^{3} + 12752 T^{4} + 48883 T^{5} + 12752 p T^{6} + 920 p^{2} T^{7} + 178 p^{3} T^{8} + 7 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 + 12 T + 193 T^{2} + 1363 T^{3} + 13060 T^{4} + 69271 T^{5} + 13060 p T^{6} + 1363 p^{2} T^{7} + 193 p^{3} T^{8} + 12 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 + 107 T^{2} + 197 T^{3} + 6754 T^{4} + 10885 T^{5} + 6754 p T^{6} + 197 p^{2} T^{7} + 107 p^{3} T^{8} + p^{5} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 - 19 T + 168 T^{2} - 1313 T^{3} + 12955 T^{4} - 108573 T^{5} + 12955 p T^{6} - 1313 p^{2} T^{7} + 168 p^{3} T^{8} - 19 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 + 21 T + 350 T^{2} + 4071 T^{3} + 40465 T^{4} + 314151 T^{5} + 40465 p T^{6} + 4071 p^{2} T^{7} + 350 p^{3} T^{8} + 21 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
59$C_2 \wr S_5$ $$1 - 7 T + 196 T^{2} - 789 T^{3} + 15775 T^{4} - 43795 T^{5} + 15775 p T^{6} - 789 p^{2} T^{7} + 196 p^{3} T^{8} - 7 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 + 6 T + 158 T^{2} + 1262 T^{3} + 14037 T^{4} + 105179 T^{5} + 14037 p T^{6} + 1262 p^{2} T^{7} + 158 p^{3} T^{8} + 6 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 + 10 T + 142 T^{2} + 236 T^{3} - 205 T^{4} - 59767 T^{5} - 205 p T^{6} + 236 p^{2} T^{7} + 142 p^{3} T^{8} + 10 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 - 35 T + 763 T^{2} - 11235 T^{3} + 130765 T^{4} - 1205501 T^{5} + 130765 p T^{6} - 11235 p^{2} T^{7} + 763 p^{3} T^{8} - 35 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 + 8 T + 312 T^{2} + 2092 T^{3} + 42635 T^{4} + 220341 T^{5} + 42635 p T^{6} + 2092 p^{2} T^{7} + 312 p^{3} T^{8} + 8 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 + 197 T^{2} - 805 T^{3} + 17746 T^{4} - 119621 T^{5} + 17746 p T^{6} - 805 p^{2} T^{7} + 197 p^{3} T^{8} + p^{5} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 - 11 T + 326 T^{2} - 2557 T^{3} + 45301 T^{4} - 272481 T^{5} + 45301 p T^{6} - 2557 p^{2} T^{7} + 326 p^{3} T^{8} - 11 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 + 32 T + 606 T^{2} + 7762 T^{3} + 881 p T^{4} + 741105 T^{5} + 881 p^{2} T^{6} + 7762 p^{2} T^{7} + 606 p^{3} T^{8} + 32 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 - 11 T + 505 T^{2} - 4153 T^{3} + 99605 T^{4} - 598793 T^{5} + 99605 p T^{6} - 4153 p^{2} T^{7} + 505 p^{3} T^{8} - 11 p^{4} T^{9} + p^{5} T^{10}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}