Properties

Degree 28
Conductor $ 2^{42} \cdot 7^{14} \cdot 11^{14} \cdot 13^{14} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 14

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 3·3-s − 6·5-s + 14·7-s − 6·9-s − 14·11-s − 14·13-s + 18·15-s − 6·17-s − 13·19-s − 42·21-s − 9·23-s − 6·25-s + 24·27-s + 2·29-s − 2·31-s + 42·33-s − 84·35-s − 37-s + 42·39-s − 16·41-s − 15·43-s + 36·45-s − 8·47-s + 105·49-s + 18·51-s − 6·53-s + 84·55-s + ⋯
L(s)  = 1  − 1.73·3-s − 2.68·5-s + 5.29·7-s − 2·9-s − 4.22·11-s − 3.88·13-s + 4.64·15-s − 1.45·17-s − 2.98·19-s − 9.16·21-s − 1.87·23-s − 6/5·25-s + 4.61·27-s + 0.371·29-s − 0.359·31-s + 7.31·33-s − 14.1·35-s − 0.164·37-s + 6.72·39-s − 2.49·41-s − 2.28·43-s + 5.36·45-s − 1.16·47-s + 15·49-s + 2.52·51-s − 0.824·53-s + 11.3·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{42} \cdot 7^{14} \cdot 11^{14} \cdot 13^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{14} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{42} \cdot 7^{14} \cdot 11^{14} \cdot 13^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{14} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(28\)
\( N \)  =  \(2^{42} \cdot 7^{14} \cdot 11^{14} \cdot 13^{14}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{8008} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  14
Selberg data  =  $(28,\ 2^{42} \cdot 7^{14} \cdot 11^{14} \cdot 13^{14} ,\ ( \ : [1/2]^{14} ),\ 1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{2,\;7,\;11,\;13\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 28. If $p \in \{2,\;7,\;11,\;13\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 27.
$p$$F_p$
bad2 \( 1 \)
7 \( ( 1 - T )^{14} \)
11 \( ( 1 + T )^{14} \)
13 \( ( 1 + T )^{14} \)
good3 \( 1 + p T + 5 p T^{2} + 13 p T^{3} + 40 p T^{4} + 94 p T^{5} + 674 T^{6} + 476 p T^{7} + 2918 T^{8} + 1864 p T^{9} + 10453 T^{10} + 229 p^{4} T^{11} + 33283 T^{12} + 18821 p T^{13} + 100624 T^{14} + 18821 p^{2} T^{15} + 33283 p^{2} T^{16} + 229 p^{7} T^{17} + 10453 p^{4} T^{18} + 1864 p^{6} T^{19} + 2918 p^{6} T^{20} + 476 p^{8} T^{21} + 674 p^{8} T^{22} + 94 p^{10} T^{23} + 40 p^{11} T^{24} + 13 p^{12} T^{25} + 5 p^{13} T^{26} + p^{14} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
5 \( 1 + 6 T + 42 T^{2} + 189 T^{3} + 824 T^{4} + 2966 T^{5} + 10278 T^{6} + 31586 T^{7} + 18974 p T^{8} + 10474 p^{2} T^{9} + 710789 T^{10} + 1806536 T^{11} + 902608 p T^{12} + 10601849 T^{13} + 4891012 p T^{14} + 10601849 p T^{15} + 902608 p^{3} T^{16} + 1806536 p^{3} T^{17} + 710789 p^{4} T^{18} + 10474 p^{7} T^{19} + 18974 p^{7} T^{20} + 31586 p^{7} T^{21} + 10278 p^{8} T^{22} + 2966 p^{9} T^{23} + 824 p^{10} T^{24} + 189 p^{11} T^{25} + 42 p^{12} T^{26} + 6 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
17 \( 1 + 6 T + 125 T^{2} + 515 T^{3} + 6753 T^{4} + 18337 T^{5} + 220618 T^{6} + 322913 T^{7} + 5225037 T^{8} + 1329144 T^{9} + 102567474 T^{10} - 85892375 T^{11} + 1827876641 T^{12} - 2813704060 T^{13} + 31314357998 T^{14} - 2813704060 p T^{15} + 1827876641 p^{2} T^{16} - 85892375 p^{3} T^{17} + 102567474 p^{4} T^{18} + 1329144 p^{5} T^{19} + 5225037 p^{6} T^{20} + 322913 p^{7} T^{21} + 220618 p^{8} T^{22} + 18337 p^{9} T^{23} + 6753 p^{10} T^{24} + 515 p^{11} T^{25} + 125 p^{12} T^{26} + 6 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
19 \( 1 + 13 T + 177 T^{2} + 1445 T^{3} + 12090 T^{4} + 77374 T^{5} + 508114 T^{6} + 2775804 T^{7} + 15625190 T^{8} + 76300460 T^{9} + 389531889 T^{10} + 1764326347 T^{11} + 445972027 p T^{12} + 36406412321 T^{13} + 167526243796 T^{14} + 36406412321 p T^{15} + 445972027 p^{3} T^{16} + 1764326347 p^{3} T^{17} + 389531889 p^{4} T^{18} + 76300460 p^{5} T^{19} + 15625190 p^{6} T^{20} + 2775804 p^{7} T^{21} + 508114 p^{8} T^{22} + 77374 p^{9} T^{23} + 12090 p^{10} T^{24} + 1445 p^{11} T^{25} + 177 p^{12} T^{26} + 13 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
23 \( 1 + 9 T + 177 T^{2} + 1168 T^{3} + 14180 T^{4} + 77547 T^{5} + 744449 T^{6} + 3525981 T^{7} + 1267726 p T^{8} + 122624518 T^{9} + 923220827 T^{10} + 3543101159 T^{11} + 25075850057 T^{12} + 89764496346 T^{13} + 606199986790 T^{14} + 89764496346 p T^{15} + 25075850057 p^{2} T^{16} + 3543101159 p^{3} T^{17} + 923220827 p^{4} T^{18} + 122624518 p^{5} T^{19} + 1267726 p^{7} T^{20} + 3525981 p^{7} T^{21} + 744449 p^{8} T^{22} + 77547 p^{9} T^{23} + 14180 p^{10} T^{24} + 1168 p^{11} T^{25} + 177 p^{12} T^{26} + 9 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
29 \( 1 - 2 T + 131 T^{2} - 424 T^{3} + 9782 T^{4} - 39951 T^{5} + 553934 T^{6} - 2444591 T^{7} + 26176336 T^{8} - 114401364 T^{9} + 1060231021 T^{10} - 4429263778 T^{11} + 37271285121 T^{12} - 147239416334 T^{13} + 1151457791716 T^{14} - 147239416334 p T^{15} + 37271285121 p^{2} T^{16} - 4429263778 p^{3} T^{17} + 1060231021 p^{4} T^{18} - 114401364 p^{5} T^{19} + 26176336 p^{6} T^{20} - 2444591 p^{7} T^{21} + 553934 p^{8} T^{22} - 39951 p^{9} T^{23} + 9782 p^{10} T^{24} - 424 p^{11} T^{25} + 131 p^{12} T^{26} - 2 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
31 \( 1 + 2 T + 193 T^{2} + 142 T^{3} + 622 p T^{4} - 4218 T^{5} + 1361141 T^{6} - 1144066 T^{7} + 76099680 T^{8} - 91588918 T^{9} + 3518325899 T^{10} - 4867518722 T^{11} + 137460954317 T^{12} - 194278895624 T^{13} + 4596872833022 T^{14} - 194278895624 p T^{15} + 137460954317 p^{2} T^{16} - 4867518722 p^{3} T^{17} + 3518325899 p^{4} T^{18} - 91588918 p^{5} T^{19} + 76099680 p^{6} T^{20} - 1144066 p^{7} T^{21} + 1361141 p^{8} T^{22} - 4218 p^{9} T^{23} + 622 p^{11} T^{24} + 142 p^{11} T^{25} + 193 p^{12} T^{26} + 2 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
37 \( 1 + T + 240 T^{2} + 884 T^{3} + 29557 T^{4} + 168552 T^{5} + 2647062 T^{6} + 17648308 T^{7} + 190289403 T^{8} + 1293660034 T^{9} + 11221241000 T^{10} + 72896296341 T^{11} + 548585617487 T^{12} + 3292627621292 T^{13} + 22284414206436 T^{14} + 3292627621292 p T^{15} + 548585617487 p^{2} T^{16} + 72896296341 p^{3} T^{17} + 11221241000 p^{4} T^{18} + 1293660034 p^{5} T^{19} + 190289403 p^{6} T^{20} + 17648308 p^{7} T^{21} + 2647062 p^{8} T^{22} + 168552 p^{9} T^{23} + 29557 p^{10} T^{24} + 884 p^{11} T^{25} + 240 p^{12} T^{26} + p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
41 \( 1 + 16 T + 302 T^{2} + 3549 T^{3} + 1046 p T^{4} + 415443 T^{5} + 3972034 T^{6} + 33427935 T^{7} + 273739496 T^{8} + 2061101889 T^{9} + 15157144858 T^{10} + 105047722746 T^{11} + 719033079201 T^{12} + 4706763404598 T^{13} + 30747567688428 T^{14} + 4706763404598 p T^{15} + 719033079201 p^{2} T^{16} + 105047722746 p^{3} T^{17} + 15157144858 p^{4} T^{18} + 2061101889 p^{5} T^{19} + 273739496 p^{6} T^{20} + 33427935 p^{7} T^{21} + 3972034 p^{8} T^{22} + 415443 p^{9} T^{23} + 1046 p^{11} T^{24} + 3549 p^{11} T^{25} + 302 p^{12} T^{26} + 16 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
43 \( 1 + 15 T + 336 T^{2} + 3374 T^{3} + 45297 T^{4} + 338699 T^{5} + 3582506 T^{6} + 20769669 T^{7} + 197655186 T^{8} + 856749570 T^{9} + 8209699801 T^{10} + 22145523430 T^{11} + 275650539450 T^{12} + 294459638821 T^{13} + 9893392599182 T^{14} + 294459638821 p T^{15} + 275650539450 p^{2} T^{16} + 22145523430 p^{3} T^{17} + 8209699801 p^{4} T^{18} + 856749570 p^{5} T^{19} + 197655186 p^{6} T^{20} + 20769669 p^{7} T^{21} + 3582506 p^{8} T^{22} + 338699 p^{9} T^{23} + 45297 p^{10} T^{24} + 3374 p^{11} T^{25} + 336 p^{12} T^{26} + 15 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
47 \( 1 + 8 T + 289 T^{2} + 2362 T^{3} + 44718 T^{4} + 364149 T^{5} + 4864454 T^{6} + 38963871 T^{7} + 413624720 T^{8} + 3229358318 T^{9} + 28933451071 T^{10} + 217464293092 T^{11} + 1712063558113 T^{12} + 12171411708098 T^{13} + 86785002166068 T^{14} + 12171411708098 p T^{15} + 1712063558113 p^{2} T^{16} + 217464293092 p^{3} T^{17} + 28933451071 p^{4} T^{18} + 3229358318 p^{5} T^{19} + 413624720 p^{6} T^{20} + 38963871 p^{7} T^{21} + 4864454 p^{8} T^{22} + 364149 p^{9} T^{23} + 44718 p^{10} T^{24} + 2362 p^{11} T^{25} + 289 p^{12} T^{26} + 8 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
53 \( 1 + 6 T + 324 T^{2} + 1847 T^{3} + 55604 T^{4} + 5487 p T^{5} + 6694500 T^{6} + 32263054 T^{7} + 630763809 T^{8} + 2821235856 T^{9} + 49138133942 T^{10} + 204330165508 T^{11} + 3252236231832 T^{12} + 12595312667282 T^{13} + 185334448559896 T^{14} + 12595312667282 p T^{15} + 3252236231832 p^{2} T^{16} + 204330165508 p^{3} T^{17} + 49138133942 p^{4} T^{18} + 2821235856 p^{5} T^{19} + 630763809 p^{6} T^{20} + 32263054 p^{7} T^{21} + 6694500 p^{8} T^{22} + 5487 p^{10} T^{23} + 55604 p^{10} T^{24} + 1847 p^{11} T^{25} + 324 p^{12} T^{26} + 6 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
59 \( 1 + 36 T + 800 T^{2} + 11228 T^{3} + 113301 T^{4} + 706097 T^{5} + 2128468 T^{6} - 9773013 T^{7} - 10607461 T^{8} + 2033390616 T^{9} + 37219938784 T^{10} + 5145601224 p T^{11} + 1463457167503 T^{12} - 1034423862650 T^{13} - 40220641379624 T^{14} - 1034423862650 p T^{15} + 1463457167503 p^{2} T^{16} + 5145601224 p^{4} T^{17} + 37219938784 p^{4} T^{18} + 2033390616 p^{5} T^{19} - 10607461 p^{6} T^{20} - 9773013 p^{7} T^{21} + 2128468 p^{8} T^{22} + 706097 p^{9} T^{23} + 113301 p^{10} T^{24} + 11228 p^{11} T^{25} + 800 p^{12} T^{26} + 36 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
61 \( 1 + 19 T + 812 T^{2} + 12653 T^{3} + 302669 T^{4} + 4002670 T^{5} + 69528906 T^{6} + 796657719 T^{7} + 11074581272 T^{8} + 111311100780 T^{9} + 1299083256663 T^{10} + 11529535430834 T^{11} + 116004513520730 T^{12} + 910789974264773 T^{13} + 8020722386537382 T^{14} + 910789974264773 p T^{15} + 116004513520730 p^{2} T^{16} + 11529535430834 p^{3} T^{17} + 1299083256663 p^{4} T^{18} + 111311100780 p^{5} T^{19} + 11074581272 p^{6} T^{20} + 796657719 p^{7} T^{21} + 69528906 p^{8} T^{22} + 4002670 p^{9} T^{23} + 302669 p^{10} T^{24} + 12653 p^{11} T^{25} + 812 p^{12} T^{26} + 19 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
67 \( 1 + 34 T + 851 T^{2} + 16345 T^{3} + 277159 T^{4} + 4101262 T^{5} + 55898615 T^{6} + 697339932 T^{7} + 8160527492 T^{8} + 89090190714 T^{9} + 922212957831 T^{10} + 8996734465478 T^{11} + 83598220748658 T^{12} + 735840864521105 T^{13} + 6185093252722946 T^{14} + 735840864521105 p T^{15} + 83598220748658 p^{2} T^{16} + 8996734465478 p^{3} T^{17} + 922212957831 p^{4} T^{18} + 89090190714 p^{5} T^{19} + 8160527492 p^{6} T^{20} + 697339932 p^{7} T^{21} + 55898615 p^{8} T^{22} + 4101262 p^{9} T^{23} + 277159 p^{10} T^{24} + 16345 p^{11} T^{25} + 851 p^{12} T^{26} + 34 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
71 \( 1 + 10 T + 375 T^{2} + 2499 T^{3} + 70626 T^{4} + 396726 T^{5} + 10411386 T^{6} + 54557665 T^{7} + 1262447246 T^{8} + 6019054996 T^{9} + 127018525469 T^{10} + 560078700775 T^{11} + 11099678873503 T^{12} + 46082983434959 T^{13} + 847015029744292 T^{14} + 46082983434959 p T^{15} + 11099678873503 p^{2} T^{16} + 560078700775 p^{3} T^{17} + 127018525469 p^{4} T^{18} + 6019054996 p^{5} T^{19} + 1262447246 p^{6} T^{20} + 54557665 p^{7} T^{21} + 10411386 p^{8} T^{22} + 396726 p^{9} T^{23} + 70626 p^{10} T^{24} + 2499 p^{11} T^{25} + 375 p^{12} T^{26} + 10 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
73 \( 1 - 9 T + 242 T^{2} - 2372 T^{3} + 33335 T^{4} - 316118 T^{5} + 3805894 T^{6} - 30207174 T^{7} + 363893261 T^{8} - 2773971382 T^{9} + 31161508470 T^{10} - 249046406381 T^{11} + 2625574822235 T^{12} - 19680414958604 T^{13} + 206018157714596 T^{14} - 19680414958604 p T^{15} + 2625574822235 p^{2} T^{16} - 249046406381 p^{3} T^{17} + 31161508470 p^{4} T^{18} - 2773971382 p^{5} T^{19} + 363893261 p^{6} T^{20} - 30207174 p^{7} T^{21} + 3805894 p^{8} T^{22} - 316118 p^{9} T^{23} + 33335 p^{10} T^{24} - 2372 p^{11} T^{25} + 242 p^{12} T^{26} - 9 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
79 \( 1 + T + 386 T^{2} + 1416 T^{3} + 79967 T^{4} + 545493 T^{5} + 12150136 T^{6} + 114987281 T^{7} + 1553099390 T^{8} + 16723447350 T^{9} + 176946990837 T^{10} + 1874608151808 T^{11} + 17773299148510 T^{12} + 172980225033289 T^{13} + 1527398914876074 T^{14} + 172980225033289 p T^{15} + 17773299148510 p^{2} T^{16} + 1874608151808 p^{3} T^{17} + 176946990837 p^{4} T^{18} + 16723447350 p^{5} T^{19} + 1553099390 p^{6} T^{20} + 114987281 p^{7} T^{21} + 12150136 p^{8} T^{22} + 545493 p^{9} T^{23} + 79967 p^{10} T^{24} + 1416 p^{11} T^{25} + 386 p^{12} T^{26} + p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
83 \( 1 + 56 T + 2167 T^{2} + 60980 T^{3} + 1422861 T^{4} + 28092496 T^{5} + 489520736 T^{6} + 7613933487 T^{7} + 107924339781 T^{8} + 1403626861998 T^{9} + 16955727287038 T^{10} + 190939488480515 T^{11} + 2019339529338617 T^{12} + 20075959659636872 T^{13} + 188396842699524894 T^{14} + 20075959659636872 p T^{15} + 2019339529338617 p^{2} T^{16} + 190939488480515 p^{3} T^{17} + 16955727287038 p^{4} T^{18} + 1403626861998 p^{5} T^{19} + 107924339781 p^{6} T^{20} + 7613933487 p^{7} T^{21} + 489520736 p^{8} T^{22} + 28092496 p^{9} T^{23} + 1422861 p^{10} T^{24} + 60980 p^{11} T^{25} + 2167 p^{12} T^{26} + 56 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
89 \( 1 + 14 T + 658 T^{2} + 7597 T^{3} + 203770 T^{4} + 2023268 T^{5} + 40236108 T^{6} + 361835378 T^{7} + 5901285772 T^{8} + 50770589224 T^{9} + 713243319919 T^{10} + 6074505002968 T^{11} + 75488770285506 T^{12} + 630554511356379 T^{13} + 7119284468506396 T^{14} + 630554511356379 p T^{15} + 75488770285506 p^{2} T^{16} + 6074505002968 p^{3} T^{17} + 713243319919 p^{4} T^{18} + 50770589224 p^{5} T^{19} + 5901285772 p^{6} T^{20} + 361835378 p^{7} T^{21} + 40236108 p^{8} T^{22} + 2023268 p^{9} T^{23} + 203770 p^{10} T^{24} + 7597 p^{11} T^{25} + 658 p^{12} T^{26} + 14 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
97 \( 1 + 14 T + 1083 T^{2} + 13769 T^{3} + 558390 T^{4} + 6519662 T^{5} + 182759573 T^{6} + 1968215482 T^{7} + 42581168816 T^{8} + 422441805565 T^{9} + 7488822917177 T^{10} + 68026332894612 T^{11} + 1026781284240793 T^{12} + 8450645219888272 T^{13} + 111584666631063150 T^{14} + 8450645219888272 p T^{15} + 1026781284240793 p^{2} T^{16} + 68026332894612 p^{3} T^{17} + 7488822917177 p^{4} T^{18} + 422441805565 p^{5} T^{19} + 42581168816 p^{6} T^{20} + 1968215482 p^{7} T^{21} + 182759573 p^{8} T^{22} + 6519662 p^{9} T^{23} + 558390 p^{10} T^{24} + 13769 p^{11} T^{25} + 1083 p^{12} T^{26} + 14 p^{13} T^{27} + p^{14} T^{28} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{28} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.33222925126828449600265891159, −2.32685614308676805244500595038, −2.22471385760089905366997795149, −2.21932419101583945130557265545, −2.19489743635255150923061163987, −2.16220064808075764746137689642, −2.12810362270126407858937287247, −2.11343078737310905842989164507, −2.05663774109585322202331003405, −1.97372812087701460454186639777, −1.86420606682495753654733450056, −1.74749695323256208775032025337, −1.66942785009857548197048305449, −1.62300830559309975651488187097, −1.59613958136710344131205728758, −1.51140627665835562867639780584, −1.25031345803437996778757575666, −1.24143660941215913007327243104, −1.21392015727861228154990853987, −1.21033659470009991605700608862, −1.18144728425797136419670867654, −1.08946894786672667176524897728, −0.968692232158686932932639130420, −0.824736239424921146838993793356, −0.72222871217921031744753727822, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.72222871217921031744753727822, 0.824736239424921146838993793356, 0.968692232158686932932639130420, 1.08946894786672667176524897728, 1.18144728425797136419670867654, 1.21033659470009991605700608862, 1.21392015727861228154990853987, 1.24143660941215913007327243104, 1.25031345803437996778757575666, 1.51140627665835562867639780584, 1.59613958136710344131205728758, 1.62300830559309975651488187097, 1.66942785009857548197048305449, 1.74749695323256208775032025337, 1.86420606682495753654733450056, 1.97372812087701460454186639777, 2.05663774109585322202331003405, 2.11343078737310905842989164507, 2.12810362270126407858937287247, 2.16220064808075764746137689642, 2.19489743635255150923061163987, 2.21932419101583945130557265545, 2.22471385760089905366997795149, 2.32685614308676805244500595038, 2.33222925126828449600265891159

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.