Properties

Degree 96
Conductor $ 3^{48} \cdot 17^{48} \cdot 157^{48} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 48

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 2-s − 48·3-s − 25·4-s + 5-s + 48·6-s − 13·7-s + 24·8-s + 1.17e3·9-s − 10-s + 5·11-s + 1.20e3·12-s − 8·13-s + 13·14-s − 48·15-s + 301·16-s − 48·17-s − 1.17e3·18-s − 6·19-s − 25·20-s + 624·21-s − 5·22-s − 8·23-s − 1.15e3·24-s − 113·25-s + 8·26-s − 1.96e4·27-s + 325·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.707·2-s − 27.7·3-s − 12.5·4-s + 0.447·5-s + 19.5·6-s − 4.91·7-s + 8.48·8-s + 392·9-s − 0.316·10-s + 1.50·11-s + 346.·12-s − 2.21·13-s + 3.47·14-s − 12.3·15-s + 75.2·16-s − 11.6·17-s − 277.·18-s − 1.37·19-s − 5.59·20-s + 136.·21-s − 1.06·22-s − 1.66·23-s − 235.·24-s − 22.5·25-s + 1.56·26-s − 3.77e3·27-s + 61.4·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{48} \cdot 17^{48} \cdot 157^{48}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{48} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{48} \cdot 17^{48} \cdot 157^{48}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{48} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(96\)
\( N \)  =  \(3^{48} \cdot 17^{48} \cdot 157^{48}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{8007} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  48
Selberg data  =  $(96,\ 3^{48} \cdot 17^{48} \cdot 157^{48} ,\ ( \ : [1/2]^{48} ),\ 1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where, for $p \notin \{3,\;17,\;157\}$,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 96. If $p \in \{3,\;17,\;157\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 95.
$p$$F_p(T)$
bad3 \( ( 1 + T )^{48} \)
17 \( ( 1 + T )^{48} \)
157 \( ( 1 + T )^{48} \)
good2 \( 1 + T + 13 p T^{2} + 27 T^{3} + 11 p^{5} T^{4} + 375 T^{5} + 3301 T^{6} + 1789 p T^{7} + 24075 T^{8} + 13197 p T^{9} + 72693 p T^{10} + 627 p^{8} T^{11} + 755851 T^{12} + 209389 p^{2} T^{13} + 868273 p^{2} T^{14} + 3852301 T^{15} + 3592605 p^{2} T^{16} + 7959119 p T^{17} + 27141855 p T^{18} + 29960475 p T^{19} + 189165455 T^{20} + 51908415 p^{2} T^{21} + 306525761 p T^{22} + 667610441 T^{23} + 1859621235 T^{24} + 501096581 p^{2} T^{25} + 5307672399 T^{26} + 5647786727 T^{27} + 14317533313 T^{28} + 14999317447 T^{29} + 36646995087 T^{30} + 18844849075 p T^{31} + 11167675193 p^{3} T^{32} + 89939404607 T^{33} + 13015955635 p^{4} T^{34} + 204644981097 T^{35} + 466161801137 T^{36} + 446124593481 T^{37} + 1007078574861 T^{38} + 937460545769 T^{39} + 1056231991665 p T^{40} + 956861598779 p T^{41} + 4332719850011 T^{42} + 3831775282675 T^{43} + 2188854421449 p^{2} T^{44} + 7605342663349 T^{45} + 17557184160293 T^{46} + 15108325204889 T^{47} + 35122425210551 T^{48} + 15108325204889 p T^{49} + 17557184160293 p^{2} T^{50} + 7605342663349 p^{3} T^{51} + 2188854421449 p^{6} T^{52} + 3831775282675 p^{5} T^{53} + 4332719850011 p^{6} T^{54} + 956861598779 p^{8} T^{55} + 1056231991665 p^{9} T^{56} + 937460545769 p^{9} T^{57} + 1007078574861 p^{10} T^{58} + 446124593481 p^{11} T^{59} + 466161801137 p^{12} T^{60} + 204644981097 p^{13} T^{61} + 13015955635 p^{18} T^{62} + 89939404607 p^{15} T^{63} + 11167675193 p^{19} T^{64} + 18844849075 p^{18} T^{65} + 36646995087 p^{18} T^{66} + 14999317447 p^{19} T^{67} + 14317533313 p^{20} T^{68} + 5647786727 p^{21} T^{69} + 5307672399 p^{22} T^{70} + 501096581 p^{25} T^{71} + 1859621235 p^{24} T^{72} + 667610441 p^{25} T^{73} + 306525761 p^{27} T^{74} + 51908415 p^{29} T^{75} + 189165455 p^{28} T^{76} + 29960475 p^{30} T^{77} + 27141855 p^{31} T^{78} + 7959119 p^{32} T^{79} + 3592605 p^{34} T^{80} + 3852301 p^{33} T^{81} + 868273 p^{36} T^{82} + 209389 p^{37} T^{83} + 755851 p^{36} T^{84} + 627 p^{45} T^{85} + 72693 p^{39} T^{86} + 13197 p^{40} T^{87} + 24075 p^{40} T^{88} + 1789 p^{42} T^{89} + 3301 p^{42} T^{90} + 375 p^{43} T^{91} + 11 p^{49} T^{92} + 27 p^{45} T^{93} + 13 p^{47} T^{94} + p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
5 \( 1 - T + 114 T^{2} - 111 T^{3} + 6559 T^{4} - 6278 T^{5} + 253811 T^{6} - 240643 T^{7} + 7427789 T^{8} - 7016747 T^{9} + 175272474 T^{10} - 165663947 T^{11} + 3472295463 T^{12} - 658561113 p T^{13} + 59378364189 T^{14} - 56581329032 T^{15} + 894402418201 T^{16} - 171364381217 p T^{17} + 2410062123691 p T^{18} - 11602013947267 T^{19} + 5878945423659 p^{2} T^{20} - 142085053955622 T^{21} + 1638434253731952 T^{22} - 1588228005279981 T^{23} + 16825260082248736 T^{24} - 3265257850518454 p T^{25} + 160189588905350589 T^{26} - 155304186113194081 T^{27} + 1421577062046188709 T^{28} - 1374276357247853122 T^{29} + 11811682039591363784 T^{30} - 11362581227129778388 T^{31} + 737860233339535122 p^{3} T^{32} - 88106573677605289339 T^{33} + \)\(67\!\cdots\!52\)\( T^{34} - \)\(64\!\cdots\!69\)\( T^{35} + \)\(47\!\cdots\!92\)\( T^{36} - \)\(44\!\cdots\!17\)\( T^{37} + \)\(31\!\cdots\!26\)\( T^{38} - \)\(28\!\cdots\!73\)\( T^{39} + \)\(19\!\cdots\!91\)\( T^{40} - \)\(17\!\cdots\!26\)\( T^{41} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( T^{42} - \)\(10\!\cdots\!27\)\( T^{43} + \)\(65\!\cdots\!82\)\( T^{44} - \)\(57\!\cdots\!66\)\( T^{45} + \)\(35\!\cdots\!22\)\( T^{46} - \)\(60\!\cdots\!63\)\( p T^{47} + \)\(36\!\cdots\!32\)\( p T^{48} - \)\(60\!\cdots\!63\)\( p^{2} T^{49} + \)\(35\!\cdots\!22\)\( p^{2} T^{50} - \)\(57\!\cdots\!66\)\( p^{3} T^{51} + \)\(65\!\cdots\!82\)\( p^{4} T^{52} - \)\(10\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{53} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{6} T^{54} - \)\(17\!\cdots\!26\)\( p^{7} T^{55} + \)\(19\!\cdots\!91\)\( p^{8} T^{56} - \)\(28\!\cdots\!73\)\( p^{9} T^{57} + \)\(31\!\cdots\!26\)\( p^{10} T^{58} - \)\(44\!\cdots\!17\)\( p^{11} T^{59} + \)\(47\!\cdots\!92\)\( p^{12} T^{60} - \)\(64\!\cdots\!69\)\( p^{13} T^{61} + \)\(67\!\cdots\!52\)\( p^{14} T^{62} - 88106573677605289339 p^{15} T^{63} + 737860233339535122 p^{19} T^{64} - 11362581227129778388 p^{17} T^{65} + 11811682039591363784 p^{18} T^{66} - 1374276357247853122 p^{19} T^{67} + 1421577062046188709 p^{20} T^{68} - 155304186113194081 p^{21} T^{69} + 160189588905350589 p^{22} T^{70} - 3265257850518454 p^{24} T^{71} + 16825260082248736 p^{24} T^{72} - 1588228005279981 p^{25} T^{73} + 1638434253731952 p^{26} T^{74} - 142085053955622 p^{27} T^{75} + 5878945423659 p^{30} T^{76} - 11602013947267 p^{29} T^{77} + 2410062123691 p^{31} T^{78} - 171364381217 p^{32} T^{79} + 894402418201 p^{32} T^{80} - 56581329032 p^{33} T^{81} + 59378364189 p^{34} T^{82} - 658561113 p^{36} T^{83} + 3472295463 p^{36} T^{84} - 165663947 p^{37} T^{85} + 175272474 p^{38} T^{86} - 7016747 p^{39} T^{87} + 7427789 p^{40} T^{88} - 240643 p^{41} T^{89} + 253811 p^{42} T^{90} - 6278 p^{43} T^{91} + 6559 p^{44} T^{92} - 111 p^{45} T^{93} + 114 p^{46} T^{94} - p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
7 \( 1 + 13 T + 247 T^{2} + 2451 T^{3} + 27824 T^{4} + 228119 T^{5} + 1975986 T^{6} + 13997134 T^{7} + 101269545 T^{8} + 637580275 T^{9} + 4033153951 T^{10} + 23007279055 T^{11} + 130739573586 T^{12} + 685137850413 T^{13} + 3559814581661 T^{14} + 17313665401260 T^{15} + 83269521506449 T^{16} + 378806683483712 T^{17} + 1701546051279356 T^{18} + 7283877695688906 T^{19} + 30762724502770612 T^{20} + 124503211873648161 T^{21} + 496934409787525166 T^{22} + 1908548652229813205 T^{23} + 7227576377463451279 T^{24} + 26418587136880459298 T^{25} + 95213652226014746761 T^{26} + \)\(33\!\cdots\!53\)\( T^{27} + \)\(16\!\cdots\!89\)\( p T^{28} + \)\(38\!\cdots\!94\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( T^{30} + \)\(56\!\cdots\!80\)\( p T^{31} + \)\(12\!\cdots\!78\)\( T^{32} + \)\(54\!\cdots\!77\)\( p T^{33} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( T^{34} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( T^{35} + \)\(97\!\cdots\!91\)\( T^{36} + \)\(27\!\cdots\!88\)\( T^{37} + \)\(76\!\cdots\!61\)\( T^{38} + \)\(20\!\cdots\!34\)\( T^{39} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( T^{40} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{41} + \)\(37\!\cdots\!99\)\( T^{42} + \)\(97\!\cdots\!16\)\( T^{43} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( T^{44} + \)\(90\!\cdots\!37\)\( p T^{45} + \)\(16\!\cdots\!73\)\( T^{46} + \)\(42\!\cdots\!24\)\( T^{47} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( T^{48} + \)\(42\!\cdots\!24\)\( p T^{49} + \)\(16\!\cdots\!73\)\( p^{2} T^{50} + \)\(90\!\cdots\!37\)\( p^{4} T^{51} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{52} + \)\(97\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{53} + \)\(37\!\cdots\!99\)\( p^{6} T^{54} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{7} T^{55} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( p^{8} T^{56} + \)\(20\!\cdots\!34\)\( p^{9} T^{57} + \)\(76\!\cdots\!61\)\( p^{10} T^{58} + \)\(27\!\cdots\!88\)\( p^{11} T^{59} + \)\(97\!\cdots\!91\)\( p^{12} T^{60} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( p^{13} T^{61} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{14} T^{62} + \)\(54\!\cdots\!77\)\( p^{16} T^{63} + \)\(12\!\cdots\!78\)\( p^{16} T^{64} + \)\(56\!\cdots\!80\)\( p^{18} T^{65} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( p^{18} T^{66} + \)\(38\!\cdots\!94\)\( p^{19} T^{67} + \)\(16\!\cdots\!89\)\( p^{21} T^{68} + \)\(33\!\cdots\!53\)\( p^{21} T^{69} + 95213652226014746761 p^{22} T^{70} + 26418587136880459298 p^{23} T^{71} + 7227576377463451279 p^{24} T^{72} + 1908548652229813205 p^{25} T^{73} + 496934409787525166 p^{26} T^{74} + 124503211873648161 p^{27} T^{75} + 30762724502770612 p^{28} T^{76} + 7283877695688906 p^{29} T^{77} + 1701546051279356 p^{30} T^{78} + 378806683483712 p^{31} T^{79} + 83269521506449 p^{32} T^{80} + 17313665401260 p^{33} T^{81} + 3559814581661 p^{34} T^{82} + 685137850413 p^{35} T^{83} + 130739573586 p^{36} T^{84} + 23007279055 p^{37} T^{85} + 4033153951 p^{38} T^{86} + 637580275 p^{39} T^{87} + 101269545 p^{40} T^{88} + 13997134 p^{41} T^{89} + 1975986 p^{42} T^{90} + 228119 p^{43} T^{91} + 27824 p^{44} T^{92} + 2451 p^{45} T^{93} + 247 p^{46} T^{94} + 13 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
11 \( 1 - 5 T + 266 T^{2} - 1277 T^{3} + 35439 T^{4} - 164255 T^{5} + 3156202 T^{6} - 14189514 T^{7} + 211557887 T^{8} - 926220055 T^{9} + 11391131542 T^{10} - 48724934289 T^{11} + 513438590826 T^{12} - 2151345577720 T^{13} + 19931105191243 T^{14} - 81972967947249 T^{15} + 680264954146056 T^{16} - 2750315322676271 T^{17} + 20736077778839179 T^{18} - 7499721591558358 p T^{19} + 51948756225484412 p T^{20} - 2238463211642953264 T^{21} + 14374954300776243738 T^{22} - 5041748311055242164 p T^{23} + \)\(33\!\cdots\!38\)\( T^{24} - \)\(12\!\cdots\!11\)\( T^{25} + \)\(64\!\cdots\!15\)\( p T^{26} - \)\(26\!\cdots\!19\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{28} - \)\(52\!\cdots\!05\)\( T^{29} + \)\(26\!\cdots\!69\)\( T^{30} - \)\(96\!\cdots\!06\)\( T^{31} + \)\(46\!\cdots\!68\)\( T^{32} - \)\(16\!\cdots\!59\)\( T^{33} + \)\(76\!\cdots\!31\)\( T^{34} - \)\(26\!\cdots\!92\)\( T^{35} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( T^{36} - \)\(40\!\cdots\!78\)\( T^{37} + \)\(17\!\cdots\!43\)\( T^{38} - \)\(58\!\cdots\!49\)\( T^{39} + \)\(24\!\cdots\!39\)\( T^{40} - \)\(79\!\cdots\!45\)\( T^{41} + \)\(31\!\cdots\!98\)\( T^{42} - \)\(10\!\cdots\!89\)\( T^{43} + \)\(39\!\cdots\!04\)\( T^{44} - \)\(12\!\cdots\!46\)\( T^{45} + \)\(43\!\cdots\!44\)\( p T^{46} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{47} + \)\(53\!\cdots\!14\)\( T^{48} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( p T^{49} + \)\(43\!\cdots\!44\)\( p^{3} T^{50} - \)\(12\!\cdots\!46\)\( p^{3} T^{51} + \)\(39\!\cdots\!04\)\( p^{4} T^{52} - \)\(10\!\cdots\!89\)\( p^{5} T^{53} + \)\(31\!\cdots\!98\)\( p^{6} T^{54} - \)\(79\!\cdots\!45\)\( p^{7} T^{55} + \)\(24\!\cdots\!39\)\( p^{8} T^{56} - \)\(58\!\cdots\!49\)\( p^{9} T^{57} + \)\(17\!\cdots\!43\)\( p^{10} T^{58} - \)\(40\!\cdots\!78\)\( p^{11} T^{59} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( p^{12} T^{60} - \)\(26\!\cdots\!92\)\( p^{13} T^{61} + \)\(76\!\cdots\!31\)\( p^{14} T^{62} - \)\(16\!\cdots\!59\)\( p^{15} T^{63} + \)\(46\!\cdots\!68\)\( p^{16} T^{64} - \)\(96\!\cdots\!06\)\( p^{17} T^{65} + \)\(26\!\cdots\!69\)\( p^{18} T^{66} - \)\(52\!\cdots\!05\)\( p^{19} T^{67} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( p^{20} T^{68} - \)\(26\!\cdots\!19\)\( p^{21} T^{69} + \)\(64\!\cdots\!15\)\( p^{23} T^{70} - \)\(12\!\cdots\!11\)\( p^{23} T^{71} + \)\(33\!\cdots\!38\)\( p^{24} T^{72} - 5041748311055242164 p^{26} T^{73} + 14374954300776243738 p^{26} T^{74} - 2238463211642953264 p^{27} T^{75} + 51948756225484412 p^{29} T^{76} - 7499721591558358 p^{30} T^{77} + 20736077778839179 p^{30} T^{78} - 2750315322676271 p^{31} T^{79} + 680264954146056 p^{32} T^{80} - 81972967947249 p^{33} T^{81} + 19931105191243 p^{34} T^{82} - 2151345577720 p^{35} T^{83} + 513438590826 p^{36} T^{84} - 48724934289 p^{37} T^{85} + 11391131542 p^{38} T^{86} - 926220055 p^{39} T^{87} + 211557887 p^{40} T^{88} - 14189514 p^{41} T^{89} + 3156202 p^{42} T^{90} - 164255 p^{43} T^{91} + 35439 p^{44} T^{92} - 1277 p^{45} T^{93} + 266 p^{46} T^{94} - 5 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
13 \( 1 + 8 T + 353 T^{2} + 2650 T^{3} + 61939 T^{4} + 437614 T^{5} + 7199545 T^{6} + 48021098 T^{7} + 623523493 T^{8} + 3938407763 T^{9} + 42915632807 T^{10} + 257467494078 T^{11} + 2445458329619 T^{12} + 13974713548171 T^{13} + 118688506535629 T^{14} + 647791592449782 T^{15} + 5010082753952324 T^{16} + 26182712741072609 T^{17} + 186928113007818422 T^{18} + 937604653559167179 T^{19} + 6244394082256523831 T^{20} + 30128627331870873320 T^{21} + \)\(18\!\cdots\!71\)\( T^{22} + \)\(87\!\cdots\!59\)\( T^{23} + \)\(52\!\cdots\!91\)\( T^{24} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( p T^{25} + \)\(13\!\cdots\!21\)\( T^{26} + \)\(57\!\cdots\!57\)\( T^{27} + \)\(31\!\cdots\!94\)\( T^{28} + \)\(13\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(67\!\cdots\!08\)\( T^{30} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( T^{32} + \)\(55\!\cdots\!37\)\( T^{33} + \)\(26\!\cdots\!23\)\( T^{34} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( T^{35} + \)\(28\!\cdots\!93\)\( p^{2} T^{36} + \)\(18\!\cdots\!75\)\( T^{37} + \)\(82\!\cdots\!42\)\( T^{38} + \)\(30\!\cdots\!40\)\( T^{39} + \)\(13\!\cdots\!60\)\( T^{40} + \)\(48\!\cdots\!78\)\( T^{41} + \)\(20\!\cdots\!10\)\( T^{42} + \)\(72\!\cdots\!24\)\( T^{43} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( T^{44} + \)\(79\!\cdots\!06\)\( p T^{45} + \)\(42\!\cdots\!57\)\( T^{46} + \)\(14\!\cdots\!77\)\( T^{47} + \)\(56\!\cdots\!86\)\( T^{48} + \)\(14\!\cdots\!77\)\( p T^{49} + \)\(42\!\cdots\!57\)\( p^{2} T^{50} + \)\(79\!\cdots\!06\)\( p^{4} T^{51} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( p^{4} T^{52} + \)\(72\!\cdots\!24\)\( p^{5} T^{53} + \)\(20\!\cdots\!10\)\( p^{6} T^{54} + \)\(48\!\cdots\!78\)\( p^{7} T^{55} + \)\(13\!\cdots\!60\)\( p^{8} T^{56} + \)\(30\!\cdots\!40\)\( p^{9} T^{57} + \)\(82\!\cdots\!42\)\( p^{10} T^{58} + \)\(18\!\cdots\!75\)\( p^{11} T^{59} + \)\(28\!\cdots\!93\)\( p^{14} T^{60} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( p^{13} T^{61} + \)\(26\!\cdots\!23\)\( p^{14} T^{62} + \)\(55\!\cdots\!37\)\( p^{15} T^{63} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{16} T^{64} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( p^{17} T^{65} + \)\(67\!\cdots\!08\)\( p^{18} T^{66} + \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{19} T^{67} + \)\(31\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{68} + \)\(57\!\cdots\!57\)\( p^{21} T^{69} + \)\(13\!\cdots\!21\)\( p^{22} T^{70} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( p^{24} T^{71} + \)\(52\!\cdots\!91\)\( p^{24} T^{72} + \)\(87\!\cdots\!59\)\( p^{25} T^{73} + \)\(18\!\cdots\!71\)\( p^{26} T^{74} + 30128627331870873320 p^{27} T^{75} + 6244394082256523831 p^{28} T^{76} + 937604653559167179 p^{29} T^{77} + 186928113007818422 p^{30} T^{78} + 26182712741072609 p^{31} T^{79} + 5010082753952324 p^{32} T^{80} + 647791592449782 p^{33} T^{81} + 118688506535629 p^{34} T^{82} + 13974713548171 p^{35} T^{83} + 2445458329619 p^{36} T^{84} + 257467494078 p^{37} T^{85} + 42915632807 p^{38} T^{86} + 3938407763 p^{39} T^{87} + 623523493 p^{40} T^{88} + 48021098 p^{41} T^{89} + 7199545 p^{42} T^{90} + 437614 p^{43} T^{91} + 61939 p^{44} T^{92} + 2650 p^{45} T^{93} + 353 p^{46} T^{94} + 8 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
19 \( 1 + 6 T + 477 T^{2} + 2837 T^{3} + 113610 T^{4} + 668907 T^{5} + 18019378 T^{6} + 104942381 T^{7} + 2141783441 T^{8} + 12333005015 T^{9} + 203568117864 T^{10} + 1158792659492 T^{11} + 16122830549671 T^{12} + 90719522742789 T^{13} + 1094905537810921 T^{14} + 6089081620629423 T^{15} + 65107842524553555 T^{16} + 357792449246851238 T^{17} + 3445029387976621139 T^{18} + 18700477018177700415 T^{19} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( T^{20} + \)\(88\!\cdots\!83\)\( T^{21} + \)\(71\!\cdots\!25\)\( T^{22} + \)\(37\!\cdots\!43\)\( T^{23} + \)\(28\!\cdots\!33\)\( T^{24} + \)\(14\!\cdots\!13\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!50\)\( T^{26} + \)\(53\!\cdots\!04\)\( T^{27} + \)\(35\!\cdots\!94\)\( T^{28} + \)\(18\!\cdots\!31\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{30} + \)\(56\!\cdots\!21\)\( T^{31} + \)\(34\!\cdots\!08\)\( T^{32} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( T^{33} + \)\(97\!\cdots\!20\)\( T^{34} + \)\(46\!\cdots\!34\)\( T^{35} + \)\(25\!\cdots\!96\)\( T^{36} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( T^{37} + \)\(34\!\cdots\!82\)\( p T^{38} + \)\(30\!\cdots\!00\)\( T^{39} + \)\(15\!\cdots\!42\)\( T^{40} + \)\(70\!\cdots\!96\)\( T^{41} + \)\(35\!\cdots\!57\)\( T^{42} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( T^{43} + \)\(76\!\cdots\!14\)\( T^{44} + \)\(32\!\cdots\!34\)\( T^{45} + \)\(15\!\cdots\!56\)\( T^{46} + \)\(34\!\cdots\!97\)\( p T^{47} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( p T^{48} + \)\(34\!\cdots\!97\)\( p^{2} T^{49} + \)\(15\!\cdots\!56\)\( p^{2} T^{50} + \)\(32\!\cdots\!34\)\( p^{3} T^{51} + \)\(76\!\cdots\!14\)\( p^{4} T^{52} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( p^{5} T^{53} + \)\(35\!\cdots\!57\)\( p^{6} T^{54} + \)\(70\!\cdots\!96\)\( p^{7} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!42\)\( p^{8} T^{56} + \)\(30\!\cdots\!00\)\( p^{9} T^{57} + \)\(34\!\cdots\!82\)\( p^{11} T^{58} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( p^{11} T^{59} + \)\(25\!\cdots\!96\)\( p^{12} T^{60} + \)\(46\!\cdots\!34\)\( p^{13} T^{61} + \)\(97\!\cdots\!20\)\( p^{14} T^{62} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( p^{15} T^{63} + \)\(34\!\cdots\!08\)\( p^{16} T^{64} + \)\(56\!\cdots\!21\)\( p^{17} T^{65} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{18} T^{66} + \)\(18\!\cdots\!31\)\( p^{19} T^{67} + \)\(35\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{68} + \)\(53\!\cdots\!04\)\( p^{21} T^{69} + \)\(10\!\cdots\!50\)\( p^{22} T^{70} + \)\(14\!\cdots\!13\)\( p^{23} T^{71} + \)\(28\!\cdots\!33\)\( p^{24} T^{72} + \)\(37\!\cdots\!43\)\( p^{25} T^{73} + \)\(71\!\cdots\!25\)\( p^{26} T^{74} + \)\(88\!\cdots\!83\)\( p^{27} T^{75} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( p^{28} T^{76} + 18700477018177700415 p^{29} T^{77} + 3445029387976621139 p^{30} T^{78} + 357792449246851238 p^{31} T^{79} + 65107842524553555 p^{32} T^{80} + 6089081620629423 p^{33} T^{81} + 1094905537810921 p^{34} T^{82} + 90719522742789 p^{35} T^{83} + 16122830549671 p^{36} T^{84} + 1158792659492 p^{37} T^{85} + 203568117864 p^{38} T^{86} + 12333005015 p^{39} T^{87} + 2141783441 p^{40} T^{88} + 104942381 p^{41} T^{89} + 18019378 p^{42} T^{90} + 668907 p^{43} T^{91} + 113610 p^{44} T^{92} + 2837 p^{45} T^{93} + 477 p^{46} T^{94} + 6 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
23 \( 1 + 8 T + 610 T^{2} + 4839 T^{3} + 187712 T^{4} + 1473890 T^{5} + 38794402 T^{6} + 301047056 T^{7} + 6049963869 T^{8} + 46337091212 T^{9} + 758537473805 T^{10} + 5726881161546 T^{11} + 79564688549893 T^{12} + 591419037416866 T^{13} + 7174574584640323 T^{14} + 52441658908654674 T^{15} + 567225532856265979 T^{16} + 4072039670125280833 T^{17} + 39906522835214955977 T^{18} + \)\(28\!\cdots\!31\)\( T^{19} + \)\(25\!\cdots\!74\)\( T^{20} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{21} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( T^{22} + \)\(98\!\cdots\!72\)\( T^{23} + \)\(76\!\cdots\!70\)\( T^{24} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( T^{25} + \)\(37\!\cdots\!50\)\( T^{26} + \)\(23\!\cdots\!10\)\( T^{27} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( T^{29} + \)\(69\!\cdots\!24\)\( T^{30} + \)\(42\!\cdots\!95\)\( T^{31} + \)\(26\!\cdots\!96\)\( T^{32} + \)\(16\!\cdots\!65\)\( T^{33} + \)\(97\!\cdots\!36\)\( T^{34} + \)\(56\!\cdots\!80\)\( T^{35} + \)\(33\!\cdots\!83\)\( T^{36} + \)\(18\!\cdots\!04\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( T^{38} + \)\(58\!\cdots\!85\)\( T^{39} + \)\(31\!\cdots\!13\)\( T^{40} + \)\(17\!\cdots\!52\)\( T^{41} + \)\(90\!\cdots\!74\)\( T^{42} + \)\(46\!\cdots\!11\)\( T^{43} + \)\(24\!\cdots\!89\)\( T^{44} + \)\(12\!\cdots\!45\)\( T^{45} + \)\(60\!\cdots\!42\)\( T^{46} + \)\(29\!\cdots\!37\)\( T^{47} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( T^{48} + \)\(29\!\cdots\!37\)\( p T^{49} + \)\(60\!\cdots\!42\)\( p^{2} T^{50} + \)\(12\!\cdots\!45\)\( p^{3} T^{51} + \)\(24\!\cdots\!89\)\( p^{4} T^{52} + \)\(46\!\cdots\!11\)\( p^{5} T^{53} + \)\(90\!\cdots\!74\)\( p^{6} T^{54} + \)\(17\!\cdots\!52\)\( p^{7} T^{55} + \)\(31\!\cdots\!13\)\( p^{8} T^{56} + \)\(58\!\cdots\!85\)\( p^{9} T^{57} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( p^{10} T^{58} + \)\(18\!\cdots\!04\)\( p^{11} T^{59} + \)\(33\!\cdots\!83\)\( p^{12} T^{60} + \)\(56\!\cdots\!80\)\( p^{13} T^{61} + \)\(97\!\cdots\!36\)\( p^{14} T^{62} + \)\(16\!\cdots\!65\)\( p^{15} T^{63} + \)\(26\!\cdots\!96\)\( p^{16} T^{64} + \)\(42\!\cdots\!95\)\( p^{17} T^{65} + \)\(69\!\cdots\!24\)\( p^{18} T^{66} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( p^{19} T^{67} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{68} + \)\(23\!\cdots\!10\)\( p^{21} T^{69} + \)\(37\!\cdots\!50\)\( p^{22} T^{70} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( p^{23} T^{71} + \)\(76\!\cdots\!70\)\( p^{24} T^{72} + \)\(98\!\cdots\!72\)\( p^{25} T^{73} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( p^{26} T^{74} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( p^{27} T^{75} + \)\(25\!\cdots\!74\)\( p^{28} T^{76} + \)\(28\!\cdots\!31\)\( p^{29} T^{77} + 39906522835214955977 p^{30} T^{78} + 4072039670125280833 p^{31} T^{79} + 567225532856265979 p^{32} T^{80} + 52441658908654674 p^{33} T^{81} + 7174574584640323 p^{34} T^{82} + 591419037416866 p^{35} T^{83} + 79564688549893 p^{36} T^{84} + 5726881161546 p^{37} T^{85} + 758537473805 p^{38} T^{86} + 46337091212 p^{39} T^{87} + 6049963869 p^{40} T^{88} + 301047056 p^{41} T^{89} + 38794402 p^{42} T^{90} + 1473890 p^{43} T^{91} + 187712 p^{44} T^{92} + 4839 p^{45} T^{93} + 610 p^{46} T^{94} + 8 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
29 \( 1 - T + 713 T^{2} - 1003 T^{3} + 255138 T^{4} - 462400 T^{5} + 61082838 T^{6} - 135382204 T^{7} + 11006271959 T^{8} - 28800350933 T^{9} + 54900684415 p T^{10} - 4792043184185 T^{11} + 192619124357761 T^{12} - 653145152543537 T^{13} + 20049967085163725 T^{14} - 2595293668511851 p T^{15} + 1833353553326053758 T^{16} - 7502165478685654559 T^{17} + \)\(14\!\cdots\!95\)\( T^{18} - \)\(65\!\cdots\!81\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!86\)\( T^{20} - \)\(51\!\cdots\!03\)\( T^{21} + \)\(74\!\cdots\!45\)\( T^{22} - \)\(36\!\cdots\!79\)\( T^{23} + \)\(46\!\cdots\!23\)\( T^{24} - \)\(23\!\cdots\!09\)\( T^{25} + \)\(26\!\cdots\!11\)\( T^{26} - \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( T^{28} - \)\(74\!\cdots\!97\)\( T^{29} + \)\(70\!\cdots\!95\)\( T^{30} - \)\(37\!\cdots\!18\)\( T^{31} + \)\(32\!\cdots\!32\)\( T^{32} - \)\(17\!\cdots\!77\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( T^{34} - \)\(77\!\cdots\!54\)\( T^{35} + \)\(60\!\cdots\!60\)\( T^{36} - \)\(31\!\cdots\!43\)\( T^{37} + \)\(23\!\cdots\!59\)\( T^{38} - \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{39} + \)\(86\!\cdots\!98\)\( T^{40} - \)\(44\!\cdots\!60\)\( T^{41} + \)\(30\!\cdots\!40\)\( T^{42} - \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{43} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{44} - \)\(17\!\cdots\!44\)\( p T^{45} + \)\(31\!\cdots\!78\)\( T^{46} - \)\(15\!\cdots\!38\)\( T^{47} + \)\(94\!\cdots\!22\)\( T^{48} - \)\(15\!\cdots\!38\)\( p T^{49} + \)\(31\!\cdots\!78\)\( p^{2} T^{50} - \)\(17\!\cdots\!44\)\( p^{4} T^{51} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( p^{4} T^{52} - \)\(15\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{53} + \)\(30\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{54} - \)\(44\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{55} + \)\(86\!\cdots\!98\)\( p^{8} T^{56} - \)\(12\!\cdots\!07\)\( p^{9} T^{57} + \)\(23\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{58} - \)\(31\!\cdots\!43\)\( p^{11} T^{59} + \)\(60\!\cdots\!60\)\( p^{12} T^{60} - \)\(77\!\cdots\!54\)\( p^{13} T^{61} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( p^{14} T^{62} - \)\(17\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{63} + \)\(32\!\cdots\!32\)\( p^{16} T^{64} - \)\(37\!\cdots\!18\)\( p^{17} T^{65} + \)\(70\!\cdots\!95\)\( p^{18} T^{66} - \)\(74\!\cdots\!97\)\( p^{19} T^{67} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( p^{20} T^{68} - \)\(13\!\cdots\!05\)\( p^{21} T^{69} + \)\(26\!\cdots\!11\)\( p^{22} T^{70} - \)\(23\!\cdots\!09\)\( p^{23} T^{71} + \)\(46\!\cdots\!23\)\( p^{24} T^{72} - \)\(36\!\cdots\!79\)\( p^{25} T^{73} + \)\(74\!\cdots\!45\)\( p^{26} T^{74} - \)\(51\!\cdots\!03\)\( p^{27} T^{75} + \)\(11\!\cdots\!86\)\( p^{28} T^{76} - \)\(65\!\cdots\!81\)\( p^{29} T^{77} + \)\(14\!\cdots\!95\)\( p^{30} T^{78} - 7502165478685654559 p^{31} T^{79} + 1833353553326053758 p^{32} T^{80} - 2595293668511851 p^{34} T^{81} + 20049967085163725 p^{34} T^{82} - 653145152543537 p^{35} T^{83} + 192619124357761 p^{36} T^{84} - 4792043184185 p^{37} T^{85} + 54900684415 p^{39} T^{86} - 28800350933 p^{39} T^{87} + 11006271959 p^{40} T^{88} - 135382204 p^{41} T^{89} + 61082838 p^{42} T^{90} - 462400 p^{43} T^{91} + 255138 p^{44} T^{92} - 1003 p^{45} T^{93} + 713 p^{46} T^{94} - p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
31 \( 1 + 21 T + 1063 T^{2} + 19110 T^{3} + 544933 T^{4} + 8616117 T^{5} + 180895677 T^{6} + 2564771130 T^{7} + 1417369794 p T^{8} + 566762156958 T^{9} + 8353542348859 T^{10} + 99130854989048 T^{11} + 1297451569734239 T^{12} + 14290529022072343 T^{13} + 169572755373625847 T^{14} + 1745974355863192050 T^{15} + 19058432716404521792 T^{16} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!61\)\( T^{18} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!84\)\( T^{20} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{21} + \)\(12\!\cdots\!38\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( T^{23} + \)\(89\!\cdots\!39\)\( T^{24} + \)\(70\!\cdots\!54\)\( T^{25} + \)\(57\!\cdots\!66\)\( T^{26} + \)\(43\!\cdots\!22\)\( T^{27} + \)\(33\!\cdots\!16\)\( T^{28} + \)\(24\!\cdots\!51\)\( T^{29} + \)\(18\!\cdots\!35\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( T^{31} + \)\(92\!\cdots\!80\)\( T^{32} + \)\(62\!\cdots\!30\)\( T^{33} + \)\(43\!\cdots\!94\)\( T^{34} + \)\(28\!\cdots\!63\)\( T^{35} + \)\(19\!\cdots\!35\)\( T^{36} + \)\(12\!\cdots\!15\)\( T^{37} + \)\(79\!\cdots\!89\)\( T^{38} + \)\(49\!\cdots\!14\)\( T^{39} + \)\(31\!\cdots\!07\)\( T^{40} + \)\(60\!\cdots\!95\)\( p T^{41} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( T^{42} + \)\(67\!\cdots\!42\)\( T^{43} + \)\(40\!\cdots\!45\)\( T^{44} + \)\(23\!\cdots\!52\)\( T^{45} + \)\(13\!\cdots\!16\)\( T^{46} + \)\(75\!\cdots\!22\)\( T^{47} + \)\(42\!\cdots\!22\)\( T^{48} + \)\(75\!\cdots\!22\)\( p T^{49} + \)\(13\!\cdots\!16\)\( p^{2} T^{50} + \)\(23\!\cdots\!52\)\( p^{3} T^{51} + \)\(40\!\cdots\!45\)\( p^{4} T^{52} + \)\(67\!\cdots\!42\)\( p^{5} T^{53} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( p^{6} T^{54} + \)\(60\!\cdots\!95\)\( p^{8} T^{55} + \)\(31\!\cdots\!07\)\( p^{8} T^{56} + \)\(49\!\cdots\!14\)\( p^{9} T^{57} + \)\(79\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{58} + \)\(12\!\cdots\!15\)\( p^{11} T^{59} + \)\(19\!\cdots\!35\)\( p^{12} T^{60} + \)\(28\!\cdots\!63\)\( p^{13} T^{61} + \)\(43\!\cdots\!94\)\( p^{14} T^{62} + \)\(62\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{63} + \)\(92\!\cdots\!80\)\( p^{16} T^{64} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( p^{17} T^{65} + \)\(18\!\cdots\!35\)\( p^{18} T^{66} + \)\(24\!\cdots\!51\)\( p^{19} T^{67} + \)\(33\!\cdots\!16\)\( p^{20} T^{68} + \)\(43\!\cdots\!22\)\( p^{21} T^{69} + \)\(57\!\cdots\!66\)\( p^{22} T^{70} + \)\(70\!\cdots\!54\)\( p^{23} T^{71} + \)\(89\!\cdots\!39\)\( p^{24} T^{72} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( p^{25} T^{73} + \)\(12\!\cdots\!38\)\( p^{26} T^{74} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( p^{27} T^{75} + \)\(16\!\cdots\!84\)\( p^{28} T^{76} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( p^{29} T^{77} + \)\(18\!\cdots\!61\)\( p^{30} T^{78} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( p^{31} T^{79} + 19058432716404521792 p^{32} T^{80} + 1745974355863192050 p^{33} T^{81} + 169572755373625847 p^{34} T^{82} + 14290529022072343 p^{35} T^{83} + 1297451569734239 p^{36} T^{84} + 99130854989048 p^{37} T^{85} + 8353542348859 p^{38} T^{86} + 566762156958 p^{39} T^{87} + 1417369794 p^{41} T^{88} + 2564771130 p^{41} T^{89} + 180895677 p^{42} T^{90} + 8616117 p^{43} T^{91} + 544933 p^{44} T^{92} + 19110 p^{45} T^{93} + 1063 p^{46} T^{94} + 21 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
37 \( 1 + 58 T + 2672 T^{2} + 88940 T^{3} + 2570214 T^{4} + 63518798 T^{5} + 1421049187 T^{6} + 28740983386 T^{7} + 538818862954 T^{8} + 9378890007481 T^{9} + 153602518018316 T^{10} + 2372103639868656 T^{11} + 34819546674468892 T^{12} + 486820545345098063 T^{13} + 176131716028592788 p T^{14} + 83680233788398650986 T^{15} + \)\(10\!\cdots\!79\)\( T^{16} + \)\(12\!\cdots\!25\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( T^{18} + \)\(15\!\cdots\!22\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!52\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!66\)\( T^{22} + \)\(18\!\cdots\!91\)\( T^{23} + \)\(17\!\cdots\!78\)\( T^{24} + \)\(16\!\cdots\!89\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{26} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!13\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{29} + \)\(90\!\cdots\!59\)\( T^{30} + \)\(74\!\cdots\!85\)\( T^{31} + \)\(60\!\cdots\!96\)\( T^{32} + \)\(48\!\cdots\!45\)\( T^{33} + \)\(37\!\cdots\!05\)\( T^{34} + \)\(28\!\cdots\!06\)\( T^{35} + \)\(21\!\cdots\!11\)\( T^{36} + \)\(16\!\cdots\!76\)\( T^{37} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( T^{38} + \)\(83\!\cdots\!99\)\( T^{39} + \)\(58\!\cdots\!20\)\( T^{40} + \)\(40\!\cdots\!34\)\( T^{41} + \)\(27\!\cdots\!92\)\( T^{42} + \)\(18\!\cdots\!12\)\( T^{43} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( T^{44} + \)\(76\!\cdots\!13\)\( T^{45} + \)\(48\!\cdots\!81\)\( T^{46} + \)\(30\!\cdots\!21\)\( T^{47} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( T^{48} + \)\(30\!\cdots\!21\)\( p T^{49} + \)\(48\!\cdots\!81\)\( p^{2} T^{50} + \)\(76\!\cdots\!13\)\( p^{3} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( p^{4} T^{52} + \)\(18\!\cdots\!12\)\( p^{5} T^{53} + \)\(27\!\cdots\!92\)\( p^{6} T^{54} + \)\(40\!\cdots\!34\)\( p^{7} T^{55} + \)\(58\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{56} + \)\(83\!\cdots\!99\)\( p^{9} T^{57} + \)\(11\!\cdots\!35\)\( p^{10} T^{58} + \)\(16\!\cdots\!76\)\( p^{11} T^{59} + \)\(21\!\cdots\!11\)\( p^{12} T^{60} + \)\(28\!\cdots\!06\)\( p^{13} T^{61} + \)\(37\!\cdots\!05\)\( p^{14} T^{62} + \)\(48\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{63} + \)\(60\!\cdots\!96\)\( p^{16} T^{64} + \)\(74\!\cdots\!85\)\( p^{17} T^{65} + \)\(90\!\cdots\!59\)\( p^{18} T^{66} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{19} T^{67} + \)\(12\!\cdots\!13\)\( p^{20} T^{68} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( p^{21} T^{69} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( p^{22} T^{70} + \)\(16\!\cdots\!89\)\( p^{23} T^{71} + \)\(17\!\cdots\!78\)\( p^{24} T^{72} + \)\(18\!\cdots\!91\)\( p^{25} T^{73} + \)\(18\!\cdots\!66\)\( p^{26} T^{74} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( p^{27} T^{75} + \)\(17\!\cdots\!52\)\( p^{28} T^{76} + \)\(15\!\cdots\!22\)\( p^{29} T^{77} + \)\(14\!\cdots\!07\)\( p^{30} T^{78} + \)\(12\!\cdots\!25\)\( p^{31} T^{79} + \)\(10\!\cdots\!79\)\( p^{32} T^{80} + 83680233788398650986 p^{33} T^{81} + 176131716028592788 p^{35} T^{82} + 486820545345098063 p^{35} T^{83} + 34819546674468892 p^{36} T^{84} + 2372103639868656 p^{37} T^{85} + 153602518018316 p^{38} T^{86} + 9378890007481 p^{39} T^{87} + 538818862954 p^{40} T^{88} + 28740983386 p^{41} T^{89} + 1421049187 p^{42} T^{90} + 63518798 p^{43} T^{91} + 2570214 p^{44} T^{92} + 88940 p^{45} T^{93} + 2672 p^{46} T^{94} + 58 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
41 \( 1 + 3 T + 1125 T^{2} + 3169 T^{3} + 626361 T^{4} + 1655341 T^{5} + 230159045 T^{6} + 570525181 T^{7} + 1531889534 p T^{8} + 146103262836 T^{9} + 13580694873935 T^{10} + 29689950007191 T^{11} + 2424536998740147 T^{12} + 4994704143650641 T^{13} + 367727114128814590 T^{14} + 716747320327583157 T^{15} + 48388755401277823380 T^{16} + 89741768453585370573 T^{17} + \)\(56\!\cdots\!82\)\( T^{18} + \)\(99\!\cdots\!65\)\( T^{19} + \)\(58\!\cdots\!60\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!57\)\( T^{21} + \)\(54\!\cdots\!62\)\( T^{22} + \)\(91\!\cdots\!83\)\( T^{23} + \)\(46\!\cdots\!81\)\( T^{24} + \)\(76\!\cdots\!00\)\( T^{25} + \)\(36\!\cdots\!65\)\( T^{26} + \)\(60\!\cdots\!59\)\( T^{27} + \)\(26\!\cdots\!35\)\( T^{28} + \)\(43\!\cdots\!02\)\( T^{29} + \)\(17\!\cdots\!68\)\( T^{30} + \)\(29\!\cdots\!59\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( T^{32} + \)\(19\!\cdots\!68\)\( T^{33} + \)\(64\!\cdots\!79\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!61\)\( T^{35} + \)\(35\!\cdots\!42\)\( T^{36} + \)\(66\!\cdots\!14\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!62\)\( T^{38} + \)\(36\!\cdots\!97\)\( T^{39} + \)\(94\!\cdots\!01\)\( T^{40} + \)\(18\!\cdots\!15\)\( T^{41} + \)\(44\!\cdots\!15\)\( T^{42} + \)\(89\!\cdots\!82\)\( T^{43} + \)\(20\!\cdots\!91\)\( T^{44} + \)\(40\!\cdots\!06\)\( T^{45} + \)\(88\!\cdots\!56\)\( T^{46} + \)\(17\!\cdots\!28\)\( T^{47} + \)\(37\!\cdots\!14\)\( T^{48} + \)\(17\!\cdots\!28\)\( p T^{49} + \)\(88\!\cdots\!56\)\( p^{2} T^{50} + \)\(40\!\cdots\!06\)\( p^{3} T^{51} + \)\(20\!\cdots\!91\)\( p^{4} T^{52} + \)\(89\!\cdots\!82\)\( p^{5} T^{53} + \)\(44\!\cdots\!15\)\( p^{6} T^{54} + \)\(18\!\cdots\!15\)\( p^{7} T^{55} + \)\(94\!\cdots\!01\)\( p^{8} T^{56} + \)\(36\!\cdots\!97\)\( p^{9} T^{57} + \)\(18\!\cdots\!62\)\( p^{10} T^{58} + \)\(66\!\cdots\!14\)\( p^{11} T^{59} + \)\(35\!\cdots\!42\)\( p^{12} T^{60} + \)\(11\!\cdots\!61\)\( p^{13} T^{61} + \)\(64\!\cdots\!79\)\( p^{14} T^{62} + \)\(19\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{16} T^{64} + \)\(29\!\cdots\!59\)\( p^{17} T^{65} + \)\(17\!\cdots\!68\)\( p^{18} T^{66} + \)\(43\!\cdots\!02\)\( p^{19} T^{67} + \)\(26\!\cdots\!35\)\( p^{20} T^{68} + \)\(60\!\cdots\!59\)\( p^{21} T^{69} + \)\(36\!\cdots\!65\)\( p^{22} T^{70} + \)\(76\!\cdots\!00\)\( p^{23} T^{71} + \)\(46\!\cdots\!81\)\( p^{24} T^{72} + \)\(91\!\cdots\!83\)\( p^{25} T^{73} + \)\(54\!\cdots\!62\)\( p^{26} T^{74} + \)\(10\!\cdots\!57\)\( p^{27} T^{75} + \)\(58\!\cdots\!60\)\( p^{28} T^{76} + \)\(99\!\cdots\!65\)\( p^{29} T^{77} + \)\(56\!\cdots\!82\)\( p^{30} T^{78} + 89741768453585370573 p^{31} T^{79} + 48388755401277823380 p^{32} T^{80} + 716747320327583157 p^{33} T^{81} + 367727114128814590 p^{34} T^{82} + 4994704143650641 p^{35} T^{83} + 2424536998740147 p^{36} T^{84} + 29689950007191 p^{37} T^{85} + 13580694873935 p^{38} T^{86} + 146103262836 p^{39} T^{87} + 1531889534 p^{41} T^{88} + 570525181 p^{41} T^{89} + 230159045 p^{42} T^{90} + 1655341 p^{43} T^{91} + 626361 p^{44} T^{92} + 3169 p^{45} T^{93} + 1125 p^{46} T^{94} + 3 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
43 \( 1 + 33 T + 1638 T^{2} + 42087 T^{3} + 1240975 T^{4} + 26543811 T^{5} + 596229177 T^{6} + 11053387322 T^{7} + 207410151909 T^{8} + 3422923791686 T^{9} + 56217865390237 T^{10} + 841603046307692 T^{11} + 12437988879978208 T^{12} + 171268440875207506 T^{13} + 2319368076129723973 T^{14} + 29688034517556676277 T^{15} + \)\(37\!\cdots\!59\)\( T^{16} + \)\(44\!\cdots\!59\)\( T^{17} + \)\(52\!\cdots\!01\)\( T^{18} + \)\(59\!\cdots\!92\)\( T^{19} + \)\(66\!\cdots\!11\)\( T^{20} + \)\(71\!\cdots\!93\)\( T^{21} + \)\(74\!\cdots\!34\)\( T^{22} + \)\(76\!\cdots\!45\)\( T^{23} + \)\(77\!\cdots\!65\)\( T^{24} + \)\(75\!\cdots\!18\)\( T^{25} + \)\(72\!\cdots\!67\)\( T^{26} + \)\(67\!\cdots\!00\)\( T^{27} + \)\(62\!\cdots\!79\)\( T^{28} + \)\(56\!\cdots\!33\)\( T^{29} + \)\(49\!\cdots\!98\)\( T^{30} + \)\(43\!\cdots\!22\)\( T^{31} + \)\(37\!\cdots\!50\)\( T^{32} + \)\(31\!\cdots\!83\)\( T^{33} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( T^{34} + \)\(20\!\cdots\!02\)\( T^{35} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( T^{36} + \)\(12\!\cdots\!61\)\( T^{37} + \)\(99\!\cdots\!90\)\( T^{38} + \)\(75\!\cdots\!30\)\( T^{39} + \)\(56\!\cdots\!86\)\( T^{40} + \)\(41\!\cdots\!05\)\( T^{41} + \)\(30\!\cdots\!15\)\( T^{42} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( T^{43} + \)\(15\!\cdots\!23\)\( T^{44} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( T^{45} + \)\(70\!\cdots\!58\)\( T^{46} + \)\(47\!\cdots\!40\)\( T^{47} + \)\(31\!\cdots\!80\)\( T^{48} + \)\(47\!\cdots\!40\)\( p T^{49} + \)\(70\!\cdots\!58\)\( p^{2} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( p^{3} T^{51} + \)\(15\!\cdots\!23\)\( p^{4} T^{52} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( p^{5} T^{53} + \)\(30\!\cdots\!15\)\( p^{6} T^{54} + \)\(41\!\cdots\!05\)\( p^{7} T^{55} + \)\(56\!\cdots\!86\)\( p^{8} T^{56} + \)\(75\!\cdots\!30\)\( p^{9} T^{57} + \)\(99\!\cdots\!90\)\( p^{10} T^{58} + \)\(12\!\cdots\!61\)\( p^{11} T^{59} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( p^{12} T^{60} + \)\(20\!\cdots\!02\)\( p^{13} T^{61} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( p^{14} T^{62} + \)\(31\!\cdots\!83\)\( p^{15} T^{63} + \)\(37\!\cdots\!50\)\( p^{16} T^{64} + \)\(43\!\cdots\!22\)\( p^{17} T^{65} + \)\(49\!\cdots\!98\)\( p^{18} T^{66} + \)\(56\!\cdots\!33\)\( p^{19} T^{67} + \)\(62\!\cdots\!79\)\( p^{20} T^{68} + \)\(67\!\cdots\!00\)\( p^{21} T^{69} + \)\(72\!\cdots\!67\)\( p^{22} T^{70} + \)\(75\!\cdots\!18\)\( p^{23} T^{71} + \)\(77\!\cdots\!65\)\( p^{24} T^{72} + \)\(76\!\cdots\!45\)\( p^{25} T^{73} + \)\(74\!\cdots\!34\)\( p^{26} T^{74} + \)\(71\!\cdots\!93\)\( p^{27} T^{75} + \)\(66\!\cdots\!11\)\( p^{28} T^{76} + \)\(59\!\cdots\!92\)\( p^{29} T^{77} + \)\(52\!\cdots\!01\)\( p^{30} T^{78} + \)\(44\!\cdots\!59\)\( p^{31} T^{79} + \)\(37\!\cdots\!59\)\( p^{32} T^{80} + 29688034517556676277 p^{33} T^{81} + 2319368076129723973 p^{34} T^{82} + 171268440875207506 p^{35} T^{83} + 12437988879978208 p^{36} T^{84} + 841603046307692 p^{37} T^{85} + 56217865390237 p^{38} T^{86} + 3422923791686 p^{39} T^{87} + 207410151909 p^{40} T^{88} + 11053387322 p^{41} T^{89} + 596229177 p^{42} T^{90} + 26543811 p^{43} T^{91} + 1240975 p^{44} T^{92} + 42087 p^{45} T^{93} + 1638 p^{46} T^{94} + 33 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
47 \( 1 - 9 T + 1179 T^{2} - 9878 T^{3} + 695651 T^{4} - 5465547 T^{5} + 274161455 T^{6} - 2032052753 T^{7} + 81240501953 T^{8} - 570911795155 T^{9} + 19313560200851 T^{10} - 129239869897449 T^{11} + 3837642017723517 T^{12} - 24545262803674761 T^{13} + 655558110549048660 T^{14} - 4020926440873006009 T^{15} + 98266616017968155875 T^{16} - \)\(57\!\cdots\!91\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!13\)\( T^{18} - \)\(74\!\cdots\!88\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!77\)\( T^{20} - \)\(87\!\cdots\!70\)\( T^{21} + \)\(17\!\cdots\!69\)\( T^{22} - \)\(92\!\cdots\!37\)\( T^{23} + \)\(17\!\cdots\!76\)\( T^{24} - \)\(90\!\cdots\!76\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!81\)\( T^{26} - \)\(81\!\cdots\!68\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!56\)\( T^{28} - \)\(69\!\cdots\!34\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{30} - \)\(54\!\cdots\!27\)\( T^{31} + \)\(86\!\cdots\!30\)\( T^{32} - \)\(40\!\cdots\!58\)\( T^{33} + \)\(61\!\cdots\!13\)\( T^{34} - \)\(27\!\cdots\!06\)\( T^{35} + \)\(40\!\cdots\!63\)\( T^{36} - \)\(18\!\cdots\!97\)\( T^{37} + \)\(25\!\cdots\!52\)\( T^{38} - \)\(11\!\cdots\!81\)\( T^{39} + \)\(15\!\cdots\!95\)\( T^{40} - \)\(65\!\cdots\!04\)\( T^{41} + \)\(87\!\cdots\!48\)\( T^{42} - \)\(35\!\cdots\!17\)\( T^{43} + \)\(46\!\cdots\!92\)\( T^{44} - \)\(18\!\cdots\!65\)\( T^{45} + \)\(23\!\cdots\!19\)\( T^{46} - \)\(93\!\cdots\!58\)\( T^{47} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( T^{48} - \)\(93\!\cdots\!58\)\( p T^{49} + \)\(23\!\cdots\!19\)\( p^{2} T^{50} - \)\(18\!\cdots\!65\)\( p^{3} T^{51} + \)\(46\!\cdots\!92\)\( p^{4} T^{52} - \)\(35\!\cdots\!17\)\( p^{5} T^{53} + \)\(87\!\cdots\!48\)\( p^{6} T^{54} - \)\(65\!\cdots\!04\)\( p^{7} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!95\)\( p^{8} T^{56} - \)\(11\!\cdots\!81\)\( p^{9} T^{57} + \)\(25\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{58} - \)\(18\!\cdots\!97\)\( p^{11} T^{59} + \)\(40\!\cdots\!63\)\( p^{12} T^{60} - \)\(27\!\cdots\!06\)\( p^{13} T^{61} + \)\(61\!\cdots\!13\)\( p^{14} T^{62} - \)\(40\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{63} + \)\(86\!\cdots\!30\)\( p^{16} T^{64} - \)\(54\!\cdots\!27\)\( p^{17} T^{65} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{18} T^{66} - \)\(69\!\cdots\!34\)\( p^{19} T^{67} + \)\(14\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{68} - \)\(81\!\cdots\!68\)\( p^{21} T^{69} + \)\(16\!\cdots\!81\)\( p^{22} T^{70} - \)\(90\!\cdots\!76\)\( p^{23} T^{71} + \)\(17\!\cdots\!76\)\( p^{24} T^{72} - \)\(92\!\cdots\!37\)\( p^{25} T^{73} + \)\(17\!\cdots\!69\)\( p^{26} T^{74} - \)\(87\!\cdots\!70\)\( p^{27} T^{75} + \)\(15\!\cdots\!77\)\( p^{28} T^{76} - \)\(74\!\cdots\!88\)\( p^{29} T^{77} + \)\(13\!\cdots\!13\)\( p^{30} T^{78} - \)\(57\!\cdots\!91\)\( p^{31} T^{79} + 98266616017968155875 p^{32} T^{80} - 4020926440873006009 p^{33} T^{81} + 655558110549048660 p^{34} T^{82} - 24545262803674761 p^{35} T^{83} + 3837642017723517 p^{36} T^{84} - 129239869897449 p^{37} T^{85} + 19313560200851 p^{38} T^{86} - 570911795155 p^{39} T^{87} + 81240501953 p^{40} T^{88} - 2032052753 p^{41} T^{89} + 274161455 p^{42} T^{90} - 5465547 p^{43} T^{91} + 695651 p^{44} T^{92} - 9878 p^{45} T^{93} + 1179 p^{46} T^{94} - 9 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
53 \( 1 + 33 T + 1893 T^{2} + 51441 T^{3} + 1721229 T^{4} + 40054672 T^{5} + 1013042601 T^{6} + 20744693766 T^{7} + 436872973369 T^{8} + 8029590335319 T^{9} + 147806150429027 T^{10} + 2474893592270851 T^{11} + 40964057982101851 T^{12} + 632097138273653501 T^{13} + 9580311100899703849 T^{14} + \)\(13\!\cdots\!82\)\( T^{15} + \)\(19\!\cdots\!51\)\( T^{16} + \)\(25\!\cdots\!25\)\( T^{17} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( T^{18} + \)\(43\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(53\!\cdots\!84\)\( T^{20} + \)\(64\!\cdots\!26\)\( T^{21} + \)\(75\!\cdots\!58\)\( T^{22} + \)\(85\!\cdots\!26\)\( T^{23} + \)\(95\!\cdots\!65\)\( T^{24} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( T^{25} + \)\(20\!\cdots\!21\)\( p T^{26} + \)\(21\!\cdots\!68\)\( p T^{27} + \)\(11\!\cdots\!87\)\( T^{28} + \)\(11\!\cdots\!94\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{30} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( T^{32} + \)\(96\!\cdots\!05\)\( T^{33} + \)\(88\!\cdots\!48\)\( T^{34} + \)\(78\!\cdots\!81\)\( T^{35} + \)\(69\!\cdots\!90\)\( T^{36} + \)\(59\!\cdots\!94\)\( T^{37} + \)\(50\!\cdots\!54\)\( T^{38} + \)\(42\!\cdots\!31\)\( T^{39} + \)\(35\!\cdots\!78\)\( T^{40} + \)\(28\!\cdots\!51\)\( T^{41} + \)\(22\!\cdots\!99\)\( T^{42} + \)\(17\!\cdots\!25\)\( T^{43} + \)\(13\!\cdots\!15\)\( T^{44} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( T^{45} + \)\(80\!\cdots\!27\)\( T^{46} + \)\(59\!\cdots\!77\)\( T^{47} + \)\(43\!\cdots\!48\)\( T^{48} + \)\(59\!\cdots\!77\)\( p T^{49} + \)\(80\!\cdots\!27\)\( p^{2} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( p^{3} T^{51} + \)\(13\!\cdots\!15\)\( p^{4} T^{52} + \)\(17\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{53} + \)\(22\!\cdots\!99\)\( p^{6} T^{54} + \)\(28\!\cdots\!51\)\( p^{7} T^{55} + \)\(35\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{56} + \)\(42\!\cdots\!31\)\( p^{9} T^{57} + \)\(50\!\cdots\!54\)\( p^{10} T^{58} + \)\(59\!\cdots\!94\)\( p^{11} T^{59} + \)\(69\!\cdots\!90\)\( p^{12} T^{60} + \)\(78\!\cdots\!81\)\( p^{13} T^{61} + \)\(88\!\cdots\!48\)\( p^{14} T^{62} + \)\(96\!\cdots\!05\)\( p^{15} T^{63} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( p^{16} T^{64} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( p^{17} T^{65} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{18} T^{66} + \)\(11\!\cdots\!94\)\( p^{19} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!87\)\( p^{20} T^{68} + \)\(21\!\cdots\!68\)\( p^{22} T^{69} + \)\(20\!\cdots\!21\)\( p^{23} T^{70} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( p^{23} T^{71} + \)\(95\!\cdots\!65\)\( p^{24} T^{72} + \)\(85\!\cdots\!26\)\( p^{25} T^{73} + \)\(75\!\cdots\!58\)\( p^{26} T^{74} + \)\(64\!\cdots\!26\)\( p^{27} T^{75} + \)\(53\!\cdots\!84\)\( p^{28} T^{76} + \)\(43\!\cdots\!96\)\( p^{29} T^{77} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( p^{30} T^{78} + \)\(25\!\cdots\!25\)\( p^{31} T^{79} + \)\(19\!\cdots\!51\)\( p^{32} T^{80} + \)\(13\!\cdots\!82\)\( p^{33} T^{81} + 9580311100899703849 p^{34} T^{82} + 632097138273653501 p^{35} T^{83} + 40964057982101851 p^{36} T^{84} + 2474893592270851 p^{37} T^{85} + 147806150429027 p^{38} T^{86} + 8029590335319 p^{39} T^{87} + 436872973369 p^{40} T^{88} + 20744693766 p^{41} T^{89} + 1013042601 p^{42} T^{90} + 40054672 p^{43} T^{91} + 1721229 p^{44} T^{92} + 51441 p^{45} T^{93} + 1893 p^{46} T^{94} + 33 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
59 \( 1 - 77 T + 4567 T^{2} - 197367 T^{3} + 7325463 T^{4} - 232876476 T^{5} + 6661128727 T^{6} - 172105340355 T^{7} + 4103584329405 T^{8} - 90676554260980 T^{9} + 1878182648988799 T^{10} - 36597088728166862 T^{11} + 675495912105456657 T^{12} - 11844506967281498187 T^{13} + \)\(19\!\cdots\!62\)\( T^{14} - \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{15} + \)\(48\!\cdots\!89\)\( T^{16} - \)\(71\!\cdots\!70\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{18} - \)\(14\!\cdots\!11\)\( T^{19} + \)\(31\!\cdots\!85\)\( p T^{20} - \)\(24\!\cdots\!38\)\( T^{21} + \)\(30\!\cdots\!46\)\( T^{22} - \)\(36\!\cdots\!28\)\( T^{23} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( T^{24} - \)\(83\!\cdots\!76\)\( p T^{25} + \)\(54\!\cdots\!57\)\( T^{26} - \)\(59\!\cdots\!33\)\( T^{27} + \)\(63\!\cdots\!64\)\( T^{28} - \)\(65\!\cdots\!25\)\( T^{29} + \)\(66\!\cdots\!47\)\( T^{30} - \)\(65\!\cdots\!94\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p T^{32} - \)\(59\!\cdots\!35\)\( T^{33} + \)\(55\!\cdots\!56\)\( T^{34} - \)\(50\!\cdots\!78\)\( T^{35} + \)\(45\!\cdots\!19\)\( T^{36} - \)\(39\!\cdots\!67\)\( T^{37} + \)\(34\!\cdots\!64\)\( T^{38} - \)\(29\!\cdots\!63\)\( T^{39} + \)\(24\!\cdots\!10\)\( T^{40} - \)\(20\!\cdots\!42\)\( T^{41} + \)\(16\!\cdots\!27\)\( T^{42} - \)\(13\!\cdots\!66\)\( T^{43} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( T^{44} - \)\(83\!\cdots\!32\)\( T^{45} + \)\(65\!\cdots\!24\)\( T^{46} - \)\(50\!\cdots\!88\)\( T^{47} + \)\(39\!\cdots\!32\)\( T^{48} - \)\(50\!\cdots\!88\)\( p T^{49} + \)\(65\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{50} - \)\(83\!\cdots\!32\)\( p^{3} T^{51} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( p^{4} T^{52} - \)\(13\!\cdots\!66\)\( p^{5} T^{53} + \)\(16\!\cdots\!27\)\( p^{6} T^{54} - \)\(20\!\cdots\!42\)\( p^{7} T^{55} + \)\(24\!\cdots\!10\)\( p^{8} T^{56} - \)\(29\!\cdots\!63\)\( p^{9} T^{57} + \)\(34\!\cdots\!64\)\( p^{10} T^{58} - \)\(39\!\cdots\!67\)\( p^{11} T^{59} + \)\(45\!\cdots\!19\)\( p^{12} T^{60} - \)\(50\!\cdots\!78\)\( p^{13} T^{61} + \)\(55\!\cdots\!56\)\( p^{14} T^{62} - \)\(59\!\cdots\!35\)\( p^{15} T^{63} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{17} T^{64} - \)\(65\!\cdots\!94\)\( p^{17} T^{65} + \)\(66\!\cdots\!47\)\( p^{18} T^{66} - \)\(65\!\cdots\!25\)\( p^{19} T^{67} + \)\(63\!\cdots\!64\)\( p^{20} T^{68} - \)\(59\!\cdots\!33\)\( p^{21} T^{69} + \)\(54\!\cdots\!57\)\( p^{22} T^{70} - \)\(83\!\cdots\!76\)\( p^{24} T^{71} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( p^{24} T^{72} - \)\(36\!\cdots\!28\)\( p^{25} T^{73} + \)\(30\!\cdots\!46\)\( p^{26} T^{74} - \)\(24\!\cdots\!38\)\( p^{27} T^{75} + \)\(31\!\cdots\!85\)\( p^{29} T^{76} - \)\(14\!\cdots\!11\)\( p^{29} T^{77} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{30} T^{78} - \)\(71\!\cdots\!70\)\( p^{31} T^{79} + \)\(48\!\cdots\!89\)\( p^{32} T^{80} - \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{33} T^{81} + \)\(19\!\cdots\!62\)\( p^{34} T^{82} - 11844506967281498187 p^{35} T^{83} + 675495912105456657 p^{36} T^{84} - 36597088728166862 p^{37} T^{85} + 1878182648988799 p^{38} T^{86} - 90676554260980 p^{39} T^{87} + 4103584329405 p^{40} T^{88} - 172105340355 p^{41} T^{89} + 6661128727 p^{42} T^{90} - 232876476 p^{43} T^{91} + 7325463 p^{44} T^{92} - 197367 p^{45} T^{93} + 4567 p^{46} T^{94} - 77 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
61 \( 1 + 29 T + 1910 T^{2} + 47385 T^{3} + 1761991 T^{4} + 38455008 T^{5} + 1055803808 T^{6} + 20679045672 T^{7} + 464849054429 T^{8} + 8293103060698 T^{9} + 161000460788066 T^{10} + 2646531042923944 T^{11} + 45812321499034080 T^{12} + 700214171450532498 T^{13} + 11036241706868308233 T^{14} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{15} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( T^{16} + \)\(31\!\cdots\!21\)\( T^{17} + \)\(42\!\cdots\!10\)\( T^{18} + \)\(53\!\cdots\!80\)\( T^{19} + \)\(69\!\cdots\!06\)\( T^{20} + \)\(83\!\cdots\!40\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{22} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( T^{24} + \)\(15\!\cdots\!25\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!48\)\( T^{26} + \)\(17\!\cdots\!97\)\( T^{27} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( T^{28} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( T^{29} + \)\(20\!\cdots\!70\)\( T^{30} + \)\(19\!\cdots\!29\)\( T^{31} + \)\(19\!\cdots\!34\)\( T^{32} + \)\(18\!\cdots\!18\)\( T^{33} + \)\(17\!\cdots\!50\)\( T^{34} + \)\(16\!\cdots\!79\)\( T^{35} + \)\(15\!\cdots\!67\)\( T^{36} + \)\(13\!\cdots\!51\)\( T^{37} + \)\(12\!\cdots\!90\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!05\)\( T^{39} + \)\(96\!\cdots\!62\)\( T^{40} + \)\(82\!\cdots\!25\)\( T^{41} + \)\(69\!\cdots\!77\)\( T^{42} + \)\(58\!\cdots\!56\)\( T^{43} + \)\(48\!\cdots\!56\)\( T^{44} + \)\(39\!\cdots\!74\)\( T^{45} + \)\(31\!\cdots\!79\)\( T^{46} + \)\(25\!\cdots\!79\)\( T^{47} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{48} + \)\(25\!\cdots\!79\)\( p T^{49} + \)\(31\!\cdots\!79\)\( p^{2} T^{50} + \)\(39\!\cdots\!74\)\( p^{3} T^{51} + \)\(48\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{52} + \)\(58\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{53} + \)\(69\!\cdots\!77\)\( p^{6} T^{54} + \)\(82\!\cdots\!25\)\( p^{7} T^{55} + \)\(96\!\cdots\!62\)\( p^{8} T^{56} + \)\(11\!\cdots\!05\)\( p^{9} T^{57} + \)\(12\!\cdots\!90\)\( p^{10} T^{58} + \)\(13\!\cdots\!51\)\( p^{11} T^{59} + \)\(15\!\cdots\!67\)\( p^{12} T^{60} + \)\(16\!\cdots\!79\)\( p^{13} T^{61} + \)\(17\!\cdots\!50\)\( p^{14} T^{62} + \)\(18\!\cdots\!18\)\( p^{15} T^{63} + \)\(19\!\cdots\!34\)\( p^{16} T^{64} + \)\(19\!\cdots\!29\)\( p^{17} T^{65} + \)\(20\!\cdots\!70\)\( p^{18} T^{66} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( p^{19} T^{67} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( p^{20} T^{68} + \)\(17\!\cdots\!97\)\( p^{21} T^{69} + \)\(16\!\cdots\!48\)\( p^{22} T^{70} + \)\(15\!\cdots\!25\)\( p^{23} T^{71} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( p^{24} T^{72} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{25} T^{73} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( p^{26} T^{74} + \)\(83\!\cdots\!40\)\( p^{27} T^{75} + \)\(69\!\cdots\!06\)\( p^{28} T^{76} + \)\(53\!\cdots\!80\)\( p^{29} T^{77} + \)\(42\!\cdots\!10\)\( p^{30} T^{78} + \)\(31\!\cdots\!21\)\( p^{31} T^{79} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( p^{32} T^{80} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{33} T^{81} + 11036241706868308233 p^{34} T^{82} + 700214171450532498 p^{35} T^{83} + 45812321499034080 p^{36} T^{84} + 2646531042923944 p^{37} T^{85} + 161000460788066 p^{38} T^{86} + 8293103060698 p^{39} T^{87} + 464849054429 p^{40} T^{88} + 20679045672 p^{41} T^{89} + 1055803808 p^{42} T^{90} + 38455008 p^{43} T^{91} + 1761991 p^{44} T^{92} + 47385 p^{45} T^{93} + 1910 p^{46} T^{94} + 29 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
67 \( 1 + 44 T + 2726 T^{2} + 90954 T^{3} + 3374747 T^{4} + 92605522 T^{5} + 2625765569 T^{6} + 926078416 p T^{7} + 1471111390327 T^{8} + 30824277236212 T^{9} + 639628216952470 T^{10} + 12124894100851392 T^{11} + 226267555568988923 T^{12} + 3937201912402969452 T^{13} + 67268521529256127184 T^{14} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!34\)\( T^{16} + \)\(26\!\cdots\!78\)\( T^{17} + \)\(38\!\cdots\!24\)\( T^{18} + \)\(54\!\cdots\!68\)\( T^{19} + \)\(76\!\cdots\!06\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{22} + \)\(17\!\cdots\!58\)\( T^{23} + \)\(22\!\cdots\!31\)\( T^{24} + \)\(27\!\cdots\!76\)\( T^{25} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( T^{26} + \)\(38\!\cdots\!09\)\( T^{27} + \)\(44\!\cdots\!87\)\( T^{28} + \)\(50\!\cdots\!92\)\( T^{29} + \)\(55\!\cdots\!40\)\( T^{30} + \)\(60\!\cdots\!49\)\( T^{31} + \)\(64\!\cdots\!90\)\( T^{32} + \)\(68\!\cdots\!03\)\( T^{33} + \)\(70\!\cdots\!26\)\( T^{34} + \)\(71\!\cdots\!42\)\( T^{35} + \)\(70\!\cdots\!64\)\( T^{36} + \)\(69\!\cdots\!53\)\( T^{37} + \)\(66\!\cdots\!45\)\( T^{38} + \)\(63\!\cdots\!96\)\( T^{39} + \)\(59\!\cdots\!54\)\( T^{40} + \)\(54\!\cdots\!70\)\( T^{41} + \)\(49\!\cdots\!32\)\( T^{42} + \)\(43\!\cdots\!78\)\( T^{43} + \)\(38\!\cdots\!65\)\( T^{44} + \)\(33\!\cdots\!92\)\( T^{45} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( T^{46} + \)\(23\!\cdots\!50\)\( T^{47} + \)\(19\!\cdots\!02\)\( T^{48} + \)\(23\!\cdots\!50\)\( p T^{49} + \)\(28\!\cdots\!76\)\( p^{2} T^{50} + \)\(33\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{51} + \)\(38\!\cdots\!65\)\( p^{4} T^{52} + \)\(43\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{53} + \)\(49\!\cdots\!32\)\( p^{6} T^{54} + \)\(54\!\cdots\!70\)\( p^{7} T^{55} + \)\(59\!\cdots\!54\)\( p^{8} T^{56} + \)\(63\!\cdots\!96\)\( p^{9} T^{57} + \)\(66\!\cdots\!45\)\( p^{10} T^{58} + \)\(69\!\cdots\!53\)\( p^{11} T^{59} + \)\(70\!\cdots\!64\)\( p^{12} T^{60} + \)\(71\!\cdots\!42\)\( p^{13} T^{61} + \)\(70\!\cdots\!26\)\( p^{14} T^{62} + \)\(68\!\cdots\!03\)\( p^{15} T^{63} + \)\(64\!\cdots\!90\)\( p^{16} T^{64} + \)\(60\!\cdots\!49\)\( p^{17} T^{65} + \)\(55\!\cdots\!40\)\( p^{18} T^{66} + \)\(50\!\cdots\!92\)\( p^{19} T^{67} + \)\(44\!\cdots\!87\)\( p^{20} T^{68} + \)\(38\!\cdots\!09\)\( p^{21} T^{69} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( p^{22} T^{70} + \)\(27\!\cdots\!76\)\( p^{23} T^{71} + \)\(22\!\cdots\!31\)\( p^{24} T^{72} + \)\(17\!\cdots\!58\)\( p^{25} T^{73} + \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{26} T^{74} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{27} T^{75} + \)\(76\!\cdots\!06\)\( p^{28} T^{76} + \)\(54\!\cdots\!68\)\( p^{29} T^{77} + \)\(38\!\cdots\!24\)\( p^{30} T^{78} + \)\(26\!\cdots\!78\)\( p^{31} T^{79} + \)\(17\!\cdots\!34\)\( p^{32} T^{80} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( p^{33} T^{81} + 67268521529256127184 p^{34} T^{82} + 3937201912402969452 p^{35} T^{83} + 226267555568988923 p^{36} T^{84} + 12124894100851392 p^{37} T^{85} + 639628216952470 p^{38} T^{86} + 30824277236212 p^{39} T^{87} + 1471111390327 p^{40} T^{88} + 926078416 p^{42} T^{89} + 2625765569 p^{42} T^{90} + 92605522 p^{43} T^{91} + 3374747 p^{44} T^{92} + 90954 p^{45} T^{93} + 2726 p^{46} T^{94} + 44 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
71 \( 1 - 22 T + 2017 T^{2} - 41456 T^{3} + 2040253 T^{4} - 39246112 T^{5} + 1377030937 T^{6} - 24863104033 T^{7} + 696649822367 T^{8} - 11846944033856 T^{9} + 281511269169165 T^{10} - 4524779126503220 T^{11} + 94581473437426476 T^{12} - 1441797171080858323 T^{13} + 27160711799826613160 T^{14} - \)\(39\!\cdots\!44\)\( T^{15} + \)\(68\!\cdots\!98\)\( T^{16} - \)\(94\!\cdots\!49\)\( T^{17} + \)\(15\!\cdots\!10\)\( T^{18} - \)\(19\!\cdots\!23\)\( T^{19} + \)\(29\!\cdots\!65\)\( T^{20} - \)\(38\!\cdots\!84\)\( T^{21} + \)\(53\!\cdots\!65\)\( T^{22} - \)\(65\!\cdots\!29\)\( T^{23} + \)\(88\!\cdots\!76\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{25} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{26} - \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{27} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( T^{28} - \)\(20\!\cdots\!99\)\( T^{29} + \)\(23\!\cdots\!55\)\( T^{30} - \)\(25\!\cdots\!48\)\( T^{31} + \)\(28\!\cdots\!60\)\( T^{32} - \)\(29\!\cdots\!28\)\( T^{33} + \)\(32\!\cdots\!72\)\( T^{34} - \)\(32\!\cdots\!57\)\( T^{35} + \)\(33\!\cdots\!57\)\( T^{36} - \)\(32\!\cdots\!30\)\( T^{37} + \)\(33\!\cdots\!77\)\( T^{38} - \)\(31\!\cdots\!46\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!09\)\( T^{40} - \)\(28\!\cdots\!47\)\( T^{41} + \)\(26\!\cdots\!24\)\( T^{42} - \)\(23\!\cdots\!04\)\( T^{43} + \)\(22\!\cdots\!95\)\( T^{44} - \)\(18\!\cdots\!22\)\( T^{45} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( T^{46} - \)\(14\!\cdots\!99\)\( T^{47} + \)\(12\!\cdots\!70\)\( T^{48} - \)\(14\!\cdots\!99\)\( p T^{49} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( p^{2} T^{50} - \)\(18\!\cdots\!22\)\( p^{3} T^{51} + \)\(22\!\cdots\!95\)\( p^{4} T^{52} - \)\(23\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{53} + \)\(26\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{54} - \)\(28\!\cdots\!47\)\( p^{7} T^{55} + \)\(30\!\cdots\!09\)\( p^{8} T^{56} - \)\(31\!\cdots\!46\)\( p^{9} T^{57} + \)\(33\!\cdots\!77\)\( p^{10} T^{58} - \)\(32\!\cdots\!30\)\( p^{11} T^{59} + \)\(33\!\cdots\!57\)\( p^{12} T^{60} - \)\(32\!\cdots\!57\)\( p^{13} T^{61} + \)\(32\!\cdots\!72\)\( p^{14} T^{62} - \)\(29\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{63} + \)\(28\!\cdots\!60\)\( p^{16} T^{64} - \)\(25\!\cdots\!48\)\( p^{17} T^{65} + \)\(23\!\cdots\!55\)\( p^{18} T^{66} - \)\(20\!\cdots\!99\)\( p^{19} T^{67} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( p^{20} T^{68} - \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{21} T^{69} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{22} T^{70} - \)\(10\!\cdots\!01\)\( p^{23} T^{71} + \)\(88\!\cdots\!76\)\( p^{24} T^{72} - \)\(65\!\cdots\!29\)\( p^{25} T^{73} + \)\(53\!\cdots\!65\)\( p^{26} T^{74} - \)\(38\!\cdots\!84\)\( p^{27} T^{75} + \)\(29\!\cdots\!65\)\( p^{28} T^{76} - \)\(19\!\cdots\!23\)\( p^{29} T^{77} + \)\(15\!\cdots\!10\)\( p^{30} T^{78} - \)\(94\!\cdots\!49\)\( p^{31} T^{79} + \)\(68\!\cdots\!98\)\( p^{32} T^{80} - \)\(39\!\cdots\!44\)\( p^{33} T^{81} + 27160711799826613160 p^{34} T^{82} - 1441797171080858323 p^{35} T^{83} + 94581473437426476 p^{36} T^{84} - 4524779126503220 p^{37} T^{85} + 281511269169165 p^{38} T^{86} - 11846944033856 p^{39} T^{87} + 696649822367 p^{40} T^{88} - 24863104033 p^{41} T^{89} + 1377030937 p^{42} T^{90} - 39246112 p^{43} T^{91} + 2040253 p^{44} T^{92} - 41456 p^{45} T^{93} + 2017 p^{46} T^{94} - 22 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
73 \( 1 + 63 T + 3634 T^{2} + 142616 T^{3} + 5123736 T^{4} + 153354796 T^{5} + 4271679263 T^{6} + 106165378862 T^{7} + 2488479030463 T^{8} + 53781320086802 T^{9} + 1107052348106653 T^{10} + 21409932492857745 T^{11} + 397266054322142315 T^{12} + 7009276666463530818 T^{13} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{14} + \)\(19\!\cdots\!37\)\( T^{15} + \)\(30\!\cdots\!41\)\( T^{16} + \)\(46\!\cdots\!29\)\( T^{17} + \)\(69\!\cdots\!82\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( T^{20} + \)\(19\!\cdots\!81\)\( T^{21} + \)\(25\!\cdots\!24\)\( T^{22} + \)\(32\!\cdots\!80\)\( T^{23} + \)\(41\!\cdots\!47\)\( T^{24} + \)\(52\!\cdots\!27\)\( T^{25} + \)\(63\!\cdots\!52\)\( T^{26} + \)\(75\!\cdots\!14\)\( T^{27} + \)\(88\!\cdots\!39\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!19\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( T^{32} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( T^{33} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{34} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( T^{35} + \)\(16\!\cdots\!19\)\( T^{36} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( T^{37} + \)\(16\!\cdots\!89\)\( T^{38} + \)\(15\!\cdots\!23\)\( T^{39} + \)\(15\!\cdots\!18\)\( T^{40} + \)\(14\!\cdots\!02\)\( T^{41} + \)\(13\!\cdots\!91\)\( T^{42} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{43} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( T^{44} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( T^{45} + \)\(89\!\cdots\!46\)\( T^{46} + \)\(78\!\cdots\!04\)\( T^{47} + \)\(67\!\cdots\!40\)\( T^{48} + \)\(78\!\cdots\!04\)\( p T^{49} + \)\(89\!\cdots\!46\)\( p^{2} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( p^{3} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( p^{4} T^{52} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{53} + \)\(13\!\cdots\!91\)\( p^{6} T^{54} + \)\(14\!\cdots\!02\)\( p^{7} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!18\)\( p^{8} T^{56} + \)\(15\!\cdots\!23\)\( p^{9} T^{57} + \)\(16\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{58} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( p^{11} T^{59} + \)\(16\!\cdots\!19\)\( p^{12} T^{60} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( p^{13} T^{61} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{14} T^{62} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( p^{15} T^{63} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( p^{16} T^{64} + \)\(12\!\cdots\!19\)\( p^{17} T^{65} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( p^{18} T^{66} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{19} T^{67} + \)\(88\!\cdots\!39\)\( p^{20} T^{68} + \)\(75\!\cdots\!14\)\( p^{21} T^{69} + \)\(63\!\cdots\!52\)\( p^{22} T^{70} + \)\(52\!\cdots\!27\)\( p^{23} T^{71} + \)\(41\!\cdots\!47\)\( p^{24} T^{72} + \)\(32\!\cdots\!80\)\( p^{25} T^{73} + \)\(25\!\cdots\!24\)\( p^{26} T^{74} + \)\(19\!\cdots\!81\)\( p^{27} T^{75} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( p^{28} T^{76} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( p^{29} T^{77} + \)\(69\!\cdots\!82\)\( p^{30} T^{78} + \)\(46\!\cdots\!29\)\( p^{31} T^{79} + \)\(30\!\cdots\!41\)\( p^{32} T^{80} + \)\(19\!\cdots\!37\)\( p^{33} T^{81} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{34} T^{82} + 7009276666463530818 p^{35} T^{83} + 397266054322142315 p^{36} T^{84} + 21409932492857745 p^{37} T^{85} + 1107052348106653 p^{38} T^{86} + 53781320086802 p^{39} T^{87} + 2488479030463 p^{40} T^{88} + 106165378862 p^{41} T^{89} + 4271679263 p^{42} T^{90} + 153354796 p^{43} T^{91} + 5123736 p^{44} T^{92} + 142616 p^{45} T^{93} + 3634 p^{46} T^{94} + 63 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
79 \( 1 + 46 T + 3145 T^{2} + 111327 T^{3} + 4530041 T^{4} + 132850327 T^{5} + 4116251036 T^{6} + 104378917030 T^{7} + 2697930445100 T^{8} + 60809590196329 T^{9} + 1373266279754955 T^{10} + 28043038431700136 T^{11} + 568757100424243054 T^{12} + 10670258256645066293 T^{13} + \)\(19\!\cdots\!16\)\( T^{14} + \)\(34\!\cdots\!33\)\( T^{15} + \)\(59\!\cdots\!69\)\( T^{16} + \)\(96\!\cdots\!49\)\( T^{17} + \)\(15\!\cdots\!42\)\( T^{18} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( T^{19} + \)\(36\!\cdots\!84\)\( T^{20} + \)\(52\!\cdots\!80\)\( T^{21} + \)\(75\!\cdots\!60\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( T^{23} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( T^{24} + \)\(18\!\cdots\!51\)\( T^{25} + \)\(24\!\cdots\!14\)\( T^{26} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( T^{27} + \)\(38\!\cdots\!55\)\( T^{28} + \)\(47\!\cdots\!86\)\( T^{29} + \)\(56\!\cdots\!35\)\( T^{30} + \)\(66\!\cdots\!18\)\( T^{31} + \)\(76\!\cdots\!96\)\( T^{32} + \)\(87\!\cdots\!94\)\( T^{33} + \)\(97\!\cdots\!20\)\( T^{34} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{35} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{36} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{37} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( T^{38} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{39} + \)\(13\!\cdots\!83\)\( T^{40} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( T^{41} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( T^{42} + \)\(12\!\cdots\!54\)\( T^{43} + \)\(11\!\cdots\!94\)\( T^{44} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{45} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{46} + \)\(91\!\cdots\!94\)\( T^{47} + \)\(81\!\cdots\!08\)\( T^{48} + \)\(91\!\cdots\!94\)\( p T^{49} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{3} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!94\)\( p^{4} T^{52} + \)\(12\!\cdots\!54\)\( p^{5} T^{53} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( p^{6} T^{54} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( p^{7} T^{55} + \)\(13\!\cdots\!83\)\( p^{8} T^{56} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( p^{9} T^{57} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( p^{10} T^{58} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{11} T^{59} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{12} T^{60} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( p^{13} T^{61} + \)\(97\!\cdots\!20\)\( p^{14} T^{62} + \)\(87\!\cdots\!94\)\( p^{15} T^{63} + \)\(76\!\cdots\!96\)\( p^{16} T^{64} + \)\(66\!\cdots\!18\)\( p^{17} T^{65} + \)\(56\!\cdots\!35\)\( p^{18} T^{66} + \)\(47\!\cdots\!86\)\( p^{19} T^{67} + \)\(38\!\cdots\!55\)\( p^{20} T^{68} + \)\(31\!\cdots\!65\)\( p^{21} T^{69} + \)\(24\!\cdots\!14\)\( p^{22} T^{70} + \)\(18\!\cdots\!51\)\( p^{23} T^{71} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( p^{24} T^{72} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{73} + \)\(75\!\cdots\!60\)\( p^{26} T^{74} + \)\(52\!\cdots\!80\)\( p^{27} T^{75} + \)\(36\!\cdots\!84\)\( p^{28} T^{76} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( p^{29} T^{77} + \)\(15\!\cdots\!42\)\( p^{30} T^{78} + \)\(96\!\cdots\!49\)\( p^{31} T^{79} + \)\(59\!\cdots\!69\)\( p^{32} T^{80} + \)\(34\!\cdots\!33\)\( p^{33} T^{81} + \)\(19\!\cdots\!16\)\( p^{34} T^{82} + 10670258256645066293 p^{35} T^{83} + 568757100424243054 p^{36} T^{84} + 28043038431700136 p^{37} T^{85} + 1373266279754955 p^{38} T^{86} + 60809590196329 p^{39} T^{87} + 2697930445100 p^{40} T^{88} + 104378917030 p^{41} T^{89} + 4116251036 p^{42} T^{90} + 132850327 p^{43} T^{91} + 4530041 p^{44} T^{92} + 111327 p^{45} T^{93} + 3145 p^{46} T^{94} + 46 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
83 \( 1 - 11 T + 1470 T^{2} - 16779 T^{3} + 1116982 T^{4} - 13093049 T^{5} + 581952120 T^{6} - 6947181867 T^{7} + 233050918140 T^{8} - 2813912036721 T^{9} + 76318862107222 T^{10} - 926653257012054 T^{11} + 21246756499944884 T^{12} - 258145223166475459 T^{13} + 5163975968888276837 T^{14} - 62517829232628183801 T^{15} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( T^{16} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( T^{17} + \)\(21\!\cdots\!23\)\( T^{18} - \)\(25\!\cdots\!29\)\( T^{19} + \)\(38\!\cdots\!72\)\( T^{20} - \)\(45\!\cdots\!44\)\( T^{21} + \)\(64\!\cdots\!53\)\( T^{22} - \)\(74\!\cdots\!12\)\( T^{23} + \)\(98\!\cdots\!81\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( T^{26} - \)\(15\!\cdots\!55\)\( T^{27} + \)\(18\!\cdots\!08\)\( T^{28} - \)\(20\!\cdots\!50\)\( T^{29} + \)\(23\!\cdots\!84\)\( T^{30} - \)\(25\!\cdots\!11\)\( T^{31} + \)\(28\!\cdots\!42\)\( T^{32} - \)\(30\!\cdots\!46\)\( T^{33} + \)\(32\!\cdots\!76\)\( T^{34} - \)\(33\!\cdots\!53\)\( T^{35} + \)\(35\!\cdots\!82\)\( T^{36} - \)\(36\!\cdots\!06\)\( T^{37} + \)\(37\!\cdots\!76\)\( T^{38} - \)\(36\!\cdots\!94\)\( T^{39} + \)\(37\!\cdots\!27\)\( T^{40} - \)\(36\!\cdots\!01\)\( T^{41} + \)\(35\!\cdots\!73\)\( T^{42} - \)\(33\!\cdots\!42\)\( T^{43} + \)\(32\!\cdots\!64\)\( T^{44} - \)\(30\!\cdots\!04\)\( T^{45} + \)\(28\!\cdots\!22\)\( T^{46} - \)\(26\!\cdots\!21\)\( T^{47} + \)\(24\!\cdots\!34\)\( T^{48} - \)\(26\!\cdots\!21\)\( p T^{49} + \)\(28\!\cdots\!22\)\( p^{2} T^{50} - \)\(30\!\cdots\!04\)\( p^{3} T^{51} + \)\(32\!\cdots\!64\)\( p^{4} T^{52} - \)\(33\!\cdots\!42\)\( p^{5} T^{53} + \)\(35\!\cdots\!73\)\( p^{6} T^{54} - \)\(36\!\cdots\!01\)\( p^{7} T^{55} + \)\(37\!\cdots\!27\)\( p^{8} T^{56} - \)\(36\!\cdots\!94\)\( p^{9} T^{57} + \)\(37\!\cdots\!76\)\( p^{10} T^{58} - \)\(36\!\cdots\!06\)\( p^{11} T^{59} + \)\(35\!\cdots\!82\)\( p^{12} T^{60} - \)\(33\!\cdots\!53\)\( p^{13} T^{61} + \)\(32\!\cdots\!76\)\( p^{14} T^{62} - \)\(30\!\cdots\!46\)\( p^{15} T^{63} + \)\(28\!\cdots\!42\)\( p^{16} T^{64} - \)\(25\!\cdots\!11\)\( p^{17} T^{65} + \)\(23\!\cdots\!84\)\( p^{18} T^{66} - \)\(20\!\cdots\!50\)\( p^{19} T^{67} + \)\(18\!\cdots\!08\)\( p^{20} T^{68} - \)\(15\!\cdots\!55\)\( p^{21} T^{69} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{22} T^{70} - \)\(11\!\cdots\!07\)\( p^{23} T^{71} + \)\(98\!\cdots\!81\)\( p^{24} T^{72} - \)\(74\!\cdots\!12\)\( p^{25} T^{73} + \)\(64\!\cdots\!53\)\( p^{26} T^{74} - \)\(45\!\cdots\!44\)\( p^{27} T^{75} + \)\(38\!\cdots\!72\)\( p^{28} T^{76} - \)\(25\!\cdots\!29\)\( p^{29} T^{77} + \)\(21\!\cdots\!23\)\( p^{30} T^{78} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{31} T^{79} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( p^{32} T^{80} - 62517829232628183801 p^{33} T^{81} + 5163975968888276837 p^{34} T^{82} - 258145223166475459 p^{35} T^{83} + 21246756499944884 p^{36} T^{84} - 926653257012054 p^{37} T^{85} + 76318862107222 p^{38} T^{86} - 2813912036721 p^{39} T^{87} + 233050918140 p^{40} T^{88} - 6947181867 p^{41} T^{89} + 581952120 p^{42} T^{90} - 13093049 p^{43} T^{91} + 1116982 p^{44} T^{92} - 16779 p^{45} T^{93} + 1470 p^{46} T^{94} - 11 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
89 \( 1 - 10 T + 2290 T^{2} - 22375 T^{3} + 2602373 T^{4} - 24943571 T^{5} + 1958052487 T^{6} - 18474274572 T^{7} + 1098022222568 T^{8} - 10226922524581 T^{9} + 489774949750214 T^{10} - 4513293143781918 T^{11} + 181104476618186907 T^{12} - 1653847150714451100 T^{13} + 57127722761590097706 T^{14} - 5814842751622848415 p T^{15} + \)\(15\!\cdots\!63\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!14\)\( T^{17} + \)\(38\!\cdots\!82\)\( T^{18} - \)\(34\!\cdots\!45\)\( T^{19} + \)\(83\!\cdots\!81\)\( T^{20} - \)\(73\!\cdots\!15\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!43\)\( T^{22} - \)\(14\!\cdots\!87\)\( T^{23} + \)\(29\!\cdots\!94\)\( T^{24} - \)\(25\!\cdots\!17\)\( T^{25} + \)\(49\!\cdots\!61\)\( T^{26} - \)\(42\!\cdots\!71\)\( T^{27} + \)\(76\!\cdots\!38\)\( T^{28} - \)\(64\!\cdots\!16\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( T^{30} - \)\(91\!\cdots\!31\)\( T^{31} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( T^{32} - \)\(12\!\cdots\!19\)\( T^{33} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( T^{34} - \)\(15\!\cdots\!69\)\( T^{35} + \)\(22\!\cdots\!87\)\( T^{36} - \)\(17\!\cdots\!60\)\( T^{37} + \)\(25\!\cdots\!58\)\( T^{38} - \)\(19\!\cdots\!69\)\( T^{39} + \)\(27\!\cdots\!14\)\( T^{40} - \)\(20\!\cdots\!30\)\( T^{41} + \)\(28\!\cdots\!93\)\( T^{42} - \)\(21\!\cdots\!81\)\( T^{43} + \)\(27\!\cdots\!62\)\( T^{44} - \)\(20\!\cdots\!95\)\( T^{45} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( T^{46} - \)\(18\!\cdots\!23\)\( T^{47} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( T^{48} - \)\(18\!\cdots\!23\)\( p T^{49} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{50} - \)\(20\!\cdots\!95\)\( p^{3} T^{51} + \)\(27\!\cdots\!62\)\( p^{4} T^{52} - \)\(21\!\cdots\!81\)\( p^{5} T^{53} + \)\(28\!\cdots\!93\)\( p^{6} T^{54} - \)\(20\!\cdots\!30\)\( p^{7} T^{55} + \)\(27\!\cdots\!14\)\( p^{8} T^{56} - \)\(19\!\cdots\!69\)\( p^{9} T^{57} + \)\(25\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{58} - \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{11} T^{59} + \)\(22\!\cdots\!87\)\( p^{12} T^{60} - \)\(15\!\cdots\!69\)\( p^{13} T^{61} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( p^{14} T^{62} - \)\(12\!\cdots\!19\)\( p^{15} T^{63} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( p^{16} T^{64} - \)\(91\!\cdots\!31\)\( p^{17} T^{65} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( p^{18} T^{66} - \)\(64\!\cdots\!16\)\( p^{19} T^{67} + \)\(76\!\cdots\!38\)\( p^{20} T^{68} - \)\(42\!\cdots\!71\)\( p^{21} T^{69} + \)\(49\!\cdots\!61\)\( p^{22} T^{70} - \)\(25\!\cdots\!17\)\( p^{23} T^{71} + \)\(29\!\cdots\!94\)\( p^{24} T^{72} - \)\(14\!\cdots\!87\)\( p^{25} T^{73} + \)\(16\!\cdots\!43\)\( p^{26} T^{74} - \)\(73\!\cdots\!15\)\( p^{27} T^{75} + \)\(83\!\cdots\!81\)\( p^{28} T^{76} - \)\(34\!\cdots\!45\)\( p^{29} T^{77} + \)\(38\!\cdots\!82\)\( p^{30} T^{78} - \)\(14\!\cdots\!14\)\( p^{31} T^{79} + \)\(15\!\cdots\!63\)\( p^{32} T^{80} - 5814842751622848415 p^{34} T^{81} + 57127722761590097706 p^{34} T^{82} - 1653847150714451100 p^{35} T^{83} + 181104476618186907 p^{36} T^{84} - 4513293143781918 p^{37} T^{85} + 489774949750214 p^{38} T^{86} - 10226922524581 p^{39} T^{87} + 1098022222568 p^{40} T^{88} - 18474274572 p^{41} T^{89} + 1958052487 p^{42} T^{90} - 24943571 p^{43} T^{91} + 2602373 p^{44} T^{92} - 22375 p^{45} T^{93} + 2290 p^{46} T^{94} - 10 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
97 \( 1 + 96 T + 7114 T^{2} + 382857 T^{3} + 17726908 T^{4} + 702055862 T^{5} + 25054424704 T^{6} + 807457558572 T^{7} + 24050136515811 T^{8} + 664194293261492 T^{9} + 17221842296539964 T^{10} + 420514513559163040 T^{11} + 9743808397968930759 T^{12} + \)\(21\!\cdots\!20\)\( T^{13} + \)\(45\!\cdots\!65\)\( T^{14} + \)\(91\!\cdots\!21\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( T^{16} + \)\(33\!\cdots\!36\)\( T^{17} + \)\(60\!\cdots\!26\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!50\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!57\)\( T^{20} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( T^{21} + \)\(47\!\cdots\!59\)\( T^{22} + \)\(73\!\cdots\!25\)\( T^{23} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( T^{24} + \)\(16\!\cdots\!10\)\( T^{25} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( T^{26} + \)\(34\!\cdots\!59\)\( T^{27} + \)\(47\!\cdots\!12\)\( T^{28} + \)\(64\!\cdots\!50\)\( T^{29} + \)\(85\!\cdots\!35\)\( T^{30} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{31} + \)\(14\!\cdots\!90\)\( T^{32} + \)\(17\!\cdots\!72\)\( T^{33} + \)\(22\!\cdots\!31\)\( T^{34} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( T^{35} + \)\(31\!\cdots\!36\)\( T^{36} + \)\(37\!\cdots\!19\)\( T^{37} + \)\(43\!\cdots\!58\)\( T^{38} + \)\(49\!\cdots\!02\)\( T^{39} + \)\(54\!\cdots\!81\)\( T^{40} + \)\(60\!\cdots\!03\)\( T^{41} + \)\(65\!\cdots\!51\)\( T^{42} + \)\(69\!\cdots\!90\)\( T^{43} + \)\(73\!\cdots\!24\)\( T^{44} + \)\(76\!\cdots\!30\)\( T^{45} + \)\(77\!\cdots\!05\)\( T^{46} + \)\(78\!\cdots\!51\)\( T^{47} + \)\(77\!\cdots\!68\)\( T^{48} + \)\(78\!\cdots\!51\)\( p T^{49} + \)\(77\!\cdots\!05\)\( p^{2} T^{50} + \)\(76\!\cdots\!30\)\( p^{3} T^{51} + \)\(73\!\cdots\!24\)\( p^{4} T^{52} + \)\(69\!\cdots\!90\)\( p^{5} T^{53} + \)\(65\!\cdots\!51\)\( p^{6} T^{54} + \)\(60\!\cdots\!03\)\( p^{7} T^{55} + \)\(54\!\cdots\!81\)\( p^{8} T^{56} + \)\(49\!\cdots\!02\)\( p^{9} T^{57} + \)\(43\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{58} + \)\(37\!\cdots\!19\)\( p^{11} T^{59} + \)\(31\!\cdots\!36\)\( p^{12} T^{60} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( p^{13} T^{61} + \)\(22\!\cdots\!31\)\( p^{14} T^{62} + \)\(17\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{63} + \)\(14\!\cdots\!90\)\( p^{16} T^{64} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{17} T^{65} + \)\(85\!\cdots\!35\)\( p^{18} T^{66} + \)\(64\!\cdots\!50\)\( p^{19} T^{67} + \)\(47\!\cdots\!12\)\( p^{20} T^{68} + \)\(34\!\cdots\!59\)\( p^{21} T^{69} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{22} T^{70} + \)\(16\!\cdots\!10\)\( p^{23} T^{71} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( p^{24} T^{72} + \)\(73\!\cdots\!25\)\( p^{25} T^{73} + \)\(47\!\cdots\!59\)\( p^{26} T^{74} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( p^{27} T^{75} + \)\(17\!\cdots\!57\)\( p^{28} T^{76} + \)\(10\!\cdots\!50\)\( p^{29} T^{77} + \)\(60\!\cdots\!26\)\( p^{30} T^{78} + \)\(33\!\cdots\!36\)\( p^{31} T^{79} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( p^{32} T^{80} + \)\(91\!\cdots\!21\)\( p^{33} T^{81} + \)\(45\!\cdots\!65\)\( p^{34} T^{82} + \)\(21\!\cdots\!20\)\( p^{35} T^{83} + 9743808397968930759 p^{36} T^{84} + 420514513559163040 p^{37} T^{85} + 17221842296539964 p^{38} T^{86} + 664194293261492 p^{39} T^{87} + 24050136515811 p^{40} T^{88} + 807457558572 p^{41} T^{89} + 25054424704 p^{42} T^{90} + 702055862 p^{43} T^{91} + 17726908 p^{44} T^{92} + 382857 p^{45} T^{93} + 7114 p^{46} T^{94} + 96 p^{47} T^{95} + p^{48} T^{96} \)
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\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{96} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.16459774122004603678270100432, −1.16325436394722654962578535137, −1.15352899106214905267282555763, −1.12664855102117093871172896802, −1.09545576732183928983972940713, −1.08617859617998330349342599052, −1.08059591528998224626007079922, −1.06141174369463085617705111212, −1.06078946134184179725800490167, −1.03169496414979039561454525913, −0.970126595997107059479072529798, −0.932199538729390722811300212816, −0.927247716246292933203885636735, −0.914792416765416847664497004550, −0.914030171459538142267267857182, −0.868185449589114862515433027515, −0.865632464362979667285869979046, −0.831861063167652053161786471456, −0.826474535958942925243616333311, −0.801706775614260952251323049293, −0.798614337122434857747102607499, −0.77893689109075508473651328834, −0.73522570622780817045919465050, −0.61253215798925192097417670556, −0.57305346918020445966960042984, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.57305346918020445966960042984, 0.61253215798925192097417670556, 0.73522570622780817045919465050, 0.77893689109075508473651328834, 0.798614337122434857747102607499, 0.801706775614260952251323049293, 0.826474535958942925243616333311, 0.831861063167652053161786471456, 0.865632464362979667285869979046, 0.868185449589114862515433027515, 0.914030171459538142267267857182, 0.914792416765416847664497004550, 0.927247716246292933203885636735, 0.932199538729390722811300212816, 0.970126595997107059479072529798, 1.03169496414979039561454525913, 1.06078946134184179725800490167, 1.06141174369463085617705111212, 1.08059591528998224626007079922, 1.08617859617998330349342599052, 1.09545576732183928983972940713, 1.12664855102117093871172896802, 1.15352899106214905267282555763, 1.16325436394722654962578535137, 1.16459774122004603678270100432

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.