Properties

Degree 92
Conductor $ 3^{46} \cdot 17^{46} \cdot 157^{46} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 46

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 5·2-s + 46·3-s − 12·4-s − 19·5-s − 230·6-s + 7-s + 99·8-s + 1.08e3·9-s + 95·10-s − 25·11-s − 552·12-s − 8·13-s − 5·14-s − 874·15-s + 20·16-s − 46·17-s − 5.40e3·18-s − 2·19-s + 228·20-s + 46·21-s + 125·22-s − 64·23-s + 4.55e3·24-s + 71·25-s + 40·26-s + 1.72e4·27-s − 12·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 3.53·2-s + 26.5·3-s − 6·4-s − 8.49·5-s − 93.8·6-s + 0.377·7-s + 35.0·8-s + 360.·9-s + 30.0·10-s − 7.53·11-s − 159.·12-s − 2.21·13-s − 1.33·14-s − 225.·15-s + 5·16-s − 11.1·17-s − 1.27e3·18-s − 0.458·19-s + 50.9·20-s + 10.0·21-s + 26.6·22-s − 13.3·23-s + 929.·24-s + 71/5·25-s + 7.84·26-s + 3.32e3·27-s − 2.26·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{46} \cdot 17^{46} \cdot 157^{46}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{46} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{46} \cdot 17^{46} \cdot 157^{46}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{46} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(92\)
\( N \)  =  \(3^{46} \cdot 17^{46} \cdot 157^{46}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{8007} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  46
Selberg data  =  $(92,\ 3^{46} \cdot 17^{46} \cdot 157^{46} ,\ ( \ : [1/2]^{46} ),\ 1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{3,\;17,\;157\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 92. If $p \in \{3,\;17,\;157\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 91.
$p$$F_p$
bad3 \( ( 1 - T )^{46} \)
17 \( ( 1 + T )^{46} \)
157 \( ( 1 - T )^{46} \)
good2 \( 1 + 5 T + 37 T^{2} + 73 p T^{3} + 659 T^{4} + 2207 T^{5} + 3881 p T^{6} + 22979 T^{7} + 68909 T^{8} + 185041 T^{9} + 494979 T^{10} + 1227025 T^{11} + 187883 p^{4} T^{12} + 6966921 T^{13} + 1987535 p^{3} T^{14} + 8694601 p^{2} T^{15} + 37404571 p T^{16} + 38889787 p^{2} T^{17} + 19877871 p^{4} T^{18} + 79046249 p^{3} T^{19} + 1236742443 T^{20} + 1181135773 p T^{21} + 4441293379 T^{22} + 8181025857 T^{23} + 7422781675 p T^{24} + 26458175649 T^{25} + 46494002273 T^{26} + 40198917071 p T^{27} + 68599496817 p T^{28} + 230754279035 T^{29} + 383340663055 T^{30} + 628467112795 T^{31} + 1018542868371 T^{32} + 815444908085 p T^{33} + 2583524404477 T^{34} + 4047317893163 T^{35} + 784681696701 p^{3} T^{36} + 4818317553543 p T^{37} + 14656013614055 T^{38} + 22076687337759 T^{39} + 32964562176191 T^{40} + 48778801908895 T^{41} + 35791283214051 p T^{42} + 13017960398029 p^{3} T^{43} + 37577568509533 p^{2} T^{44} + 215131561124581 T^{45} + 305506633517033 T^{46} + 215131561124581 p T^{47} + 37577568509533 p^{4} T^{48} + 13017960398029 p^{6} T^{49} + 35791283214051 p^{5} T^{50} + 48778801908895 p^{5} T^{51} + 32964562176191 p^{6} T^{52} + 22076687337759 p^{7} T^{53} + 14656013614055 p^{8} T^{54} + 4818317553543 p^{10} T^{55} + 784681696701 p^{13} T^{56} + 4047317893163 p^{11} T^{57} + 2583524404477 p^{12} T^{58} + 815444908085 p^{14} T^{59} + 1018542868371 p^{14} T^{60} + 628467112795 p^{15} T^{61} + 383340663055 p^{16} T^{62} + 230754279035 p^{17} T^{63} + 68599496817 p^{19} T^{64} + 40198917071 p^{20} T^{65} + 46494002273 p^{20} T^{66} + 26458175649 p^{21} T^{67} + 7422781675 p^{23} T^{68} + 8181025857 p^{23} T^{69} + 4441293379 p^{24} T^{70} + 1181135773 p^{26} T^{71} + 1236742443 p^{26} T^{72} + 79046249 p^{30} T^{73} + 19877871 p^{32} T^{74} + 38889787 p^{31} T^{75} + 37404571 p^{31} T^{76} + 8694601 p^{33} T^{77} + 1987535 p^{35} T^{78} + 6966921 p^{33} T^{79} + 187883 p^{38} T^{80} + 1227025 p^{35} T^{81} + 494979 p^{36} T^{82} + 185041 p^{37} T^{83} + 68909 p^{38} T^{84} + 22979 p^{39} T^{85} + 3881 p^{41} T^{86} + 2207 p^{41} T^{87} + 659 p^{42} T^{88} + 73 p^{44} T^{89} + 37 p^{44} T^{90} + 5 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
5 \( 1 + 19 T + 58 p T^{2} + 3223 T^{3} + 31228 T^{4} + 260409 T^{5} + 1971837 T^{6} + 2713132 p T^{7} + 86741929 T^{8} + 517038186 T^{9} + 2906812671 T^{10} + 15460711939 T^{11} + 15667233478 p T^{12} + 379098866143 T^{13} + 1760116955236 T^{14} + 7857199534279 T^{15} + 33827882255959 T^{16} + 140711172046518 T^{17} + 22670790329191 p^{2} T^{18} + 2213781365078234 T^{19} + 8399457201569524 T^{20} + 6198684548999386 p T^{21} + 111368773714413099 T^{22} + 390082506120065179 T^{23} + 1333226294481466648 T^{24} + 4449966518222684806 T^{25} + 14517164646881345546 T^{26} + 46320267529549917824 T^{27} + 28930302781306408517 p T^{28} + \)\(44\!\cdots\!12\)\( T^{29} + \)\(13\!\cdots\!34\)\( T^{30} + \)\(38\!\cdots\!96\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{32} + \)\(31\!\cdots\!41\)\( T^{33} + \)\(87\!\cdots\!58\)\( T^{34} + \)\(47\!\cdots\!17\)\( p T^{35} + \)\(64\!\cdots\!43\)\( T^{36} + \)\(16\!\cdots\!24\)\( T^{37} + \)\(43\!\cdots\!12\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!82\)\( T^{39} + \)\(27\!\cdots\!36\)\( T^{40} + \)\(67\!\cdots\!86\)\( T^{41} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( T^{42} + \)\(38\!\cdots\!71\)\( T^{43} + \)\(89\!\cdots\!74\)\( T^{44} + \)\(20\!\cdots\!42\)\( T^{45} + \)\(46\!\cdots\!96\)\( T^{46} + \)\(20\!\cdots\!42\)\( p T^{47} + \)\(89\!\cdots\!74\)\( p^{2} T^{48} + \)\(38\!\cdots\!71\)\( p^{3} T^{49} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( p^{4} T^{50} + \)\(67\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{51} + \)\(27\!\cdots\!36\)\( p^{6} T^{52} + \)\(11\!\cdots\!82\)\( p^{7} T^{53} + \)\(43\!\cdots\!12\)\( p^{8} T^{54} + \)\(16\!\cdots\!24\)\( p^{9} T^{55} + \)\(64\!\cdots\!43\)\( p^{10} T^{56} + \)\(47\!\cdots\!17\)\( p^{12} T^{57} + \)\(87\!\cdots\!58\)\( p^{12} T^{58} + \)\(31\!\cdots\!41\)\( p^{13} T^{59} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( p^{14} T^{60} + \)\(38\!\cdots\!96\)\( p^{15} T^{61} + \)\(13\!\cdots\!34\)\( p^{16} T^{62} + \)\(44\!\cdots\!12\)\( p^{17} T^{63} + 28930302781306408517 p^{19} T^{64} + 46320267529549917824 p^{19} T^{65} + 14517164646881345546 p^{20} T^{66} + 4449966518222684806 p^{21} T^{67} + 1333226294481466648 p^{22} T^{68} + 390082506120065179 p^{23} T^{69} + 111368773714413099 p^{24} T^{70} + 6198684548999386 p^{26} T^{71} + 8399457201569524 p^{26} T^{72} + 2213781365078234 p^{27} T^{73} + 22670790329191 p^{30} T^{74} + 140711172046518 p^{29} T^{75} + 33827882255959 p^{30} T^{76} + 7857199534279 p^{31} T^{77} + 1760116955236 p^{32} T^{78} + 379098866143 p^{33} T^{79} + 15667233478 p^{35} T^{80} + 15460711939 p^{35} T^{81} + 2906812671 p^{36} T^{82} + 517038186 p^{37} T^{83} + 86741929 p^{38} T^{84} + 2713132 p^{40} T^{85} + 1971837 p^{40} T^{86} + 260409 p^{41} T^{87} + 31228 p^{42} T^{88} + 3223 p^{43} T^{89} + 58 p^{45} T^{90} + 19 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
7 \( 1 - T + 151 T^{2} - 129 T^{3} + 11399 T^{4} - 1104 p T^{5} + 572917 T^{6} - 38697 p T^{7} + 21552946 T^{8} - 738589 p T^{9} + 647253504 T^{10} + 13032890 T^{11} + 16169711262 T^{12} + 4951799018 T^{13} + 345984859511 T^{14} + 213240650920 T^{15} + 6483064103225 T^{16} + 6134883724068 T^{17} + 108301022557727 T^{18} + 139610403830874 T^{19} + 1637242581861883 T^{20} + 2675480894324649 T^{21} + 22687125823229785 T^{22} + 44632912405966845 T^{23} + 291326189271481912 T^{24} + 94565931296372341 p T^{25} + 3498378575735101246 T^{26} + 25830627902537166 p^{3} T^{27} + 39570193506053494811 T^{28} + 15462773006188570693 p T^{29} + \)\(42\!\cdots\!29\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{31} + \)\(43\!\cdots\!11\)\( T^{32} + \)\(12\!\cdots\!78\)\( T^{33} + \)\(41\!\cdots\!47\)\( T^{34} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( T^{35} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( T^{36} + \)\(11\!\cdots\!62\)\( T^{37} + \)\(33\!\cdots\!86\)\( T^{38} + \)\(97\!\cdots\!33\)\( T^{39} + \)\(28\!\cdots\!40\)\( T^{40} + \)\(79\!\cdots\!96\)\( T^{41} + \)\(22\!\cdots\!33\)\( T^{42} + \)\(61\!\cdots\!73\)\( T^{43} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{44} + \)\(45\!\cdots\!67\)\( T^{45} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( T^{46} + \)\(45\!\cdots\!67\)\( p T^{47} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( p^{2} T^{48} + \)\(61\!\cdots\!73\)\( p^{3} T^{49} + \)\(22\!\cdots\!33\)\( p^{4} T^{50} + \)\(79\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{51} + \)\(28\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{52} + \)\(97\!\cdots\!33\)\( p^{7} T^{53} + \)\(33\!\cdots\!86\)\( p^{8} T^{54} + \)\(11\!\cdots\!62\)\( p^{9} T^{55} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( p^{10} T^{56} + \)\(12\!\cdots\!99\)\( p^{11} T^{57} + \)\(41\!\cdots\!47\)\( p^{12} T^{58} + \)\(12\!\cdots\!78\)\( p^{13} T^{59} + \)\(43\!\cdots\!11\)\( p^{14} T^{60} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{15} T^{61} + \)\(42\!\cdots\!29\)\( p^{16} T^{62} + 15462773006188570693 p^{18} T^{63} + 39570193506053494811 p^{18} T^{64} + 25830627902537166 p^{22} T^{65} + 3498378575735101246 p^{20} T^{66} + 94565931296372341 p^{22} T^{67} + 291326189271481912 p^{22} T^{68} + 44632912405966845 p^{23} T^{69} + 22687125823229785 p^{24} T^{70} + 2675480894324649 p^{25} T^{71} + 1637242581861883 p^{26} T^{72} + 139610403830874 p^{27} T^{73} + 108301022557727 p^{28} T^{74} + 6134883724068 p^{29} T^{75} + 6483064103225 p^{30} T^{76} + 213240650920 p^{31} T^{77} + 345984859511 p^{32} T^{78} + 4951799018 p^{33} T^{79} + 16169711262 p^{34} T^{80} + 13032890 p^{35} T^{81} + 647253504 p^{36} T^{82} - 738589 p^{38} T^{83} + 21552946 p^{38} T^{84} - 38697 p^{40} T^{85} + 572917 p^{40} T^{86} - 1104 p^{42} T^{87} + 11399 p^{42} T^{88} - 129 p^{43} T^{89} + 151 p^{44} T^{90} - p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
11 \( 1 + 25 T + 562 T^{2} + 8839 T^{3} + 125352 T^{4} + 1507864 T^{5} + 16692350 T^{6} + 166789405 T^{7} + 1558339073 T^{8} + 13524408375 T^{9} + 111024170578 T^{10} + 860326548718 T^{11} + 6359266007917 T^{12} + 44824629560455 T^{13} + 303294321280173 T^{14} + 1970681925999949 T^{15} + 12351371778421131 T^{16} + 74719689097225376 T^{17} + 437686786260639604 T^{18} + 2484290280725804465 T^{19} + 13695824650896500627 T^{20} + 606499872257261382 p^{2} T^{21} + \)\(38\!\cdots\!16\)\( T^{22} + \)\(19\!\cdots\!09\)\( T^{23} + \)\(96\!\cdots\!67\)\( T^{24} + \)\(46\!\cdots\!05\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( T^{26} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( T^{27} + \)\(46\!\cdots\!91\)\( T^{28} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( T^{29} + \)\(89\!\cdots\!26\)\( T^{30} + \)\(38\!\cdots\!46\)\( T^{31} + \)\(16\!\cdots\!19\)\( T^{32} + \)\(66\!\cdots\!17\)\( T^{33} + \)\(26\!\cdots\!77\)\( T^{34} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{35} + \)\(41\!\cdots\!72\)\( T^{36} + \)\(15\!\cdots\!19\)\( T^{37} + \)\(54\!\cdots\!78\)\( p T^{38} + \)\(22\!\cdots\!51\)\( T^{39} + \)\(81\!\cdots\!53\)\( T^{40} + \)\(29\!\cdots\!52\)\( T^{41} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( T^{42} + \)\(36\!\cdots\!10\)\( T^{43} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( p T^{44} + \)\(38\!\cdots\!88\)\( p T^{45} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( T^{46} + \)\(38\!\cdots\!88\)\( p^{2} T^{47} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( p^{3} T^{48} + \)\(36\!\cdots\!10\)\( p^{3} T^{49} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( p^{4} T^{50} + \)\(29\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{51} + \)\(81\!\cdots\!53\)\( p^{6} T^{52} + \)\(22\!\cdots\!51\)\( p^{7} T^{53} + \)\(54\!\cdots\!78\)\( p^{9} T^{54} + \)\(15\!\cdots\!19\)\( p^{9} T^{55} + \)\(41\!\cdots\!72\)\( p^{10} T^{56} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( p^{11} T^{57} + \)\(26\!\cdots\!77\)\( p^{12} T^{58} + \)\(66\!\cdots\!17\)\( p^{13} T^{59} + \)\(16\!\cdots\!19\)\( p^{14} T^{60} + \)\(38\!\cdots\!46\)\( p^{15} T^{61} + \)\(89\!\cdots\!26\)\( p^{16} T^{62} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( p^{17} T^{63} + \)\(46\!\cdots\!91\)\( p^{18} T^{64} + \)\(10\!\cdots\!46\)\( p^{19} T^{65} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( p^{20} T^{66} + \)\(46\!\cdots\!05\)\( p^{21} T^{67} + \)\(96\!\cdots\!67\)\( p^{22} T^{68} + \)\(19\!\cdots\!09\)\( p^{23} T^{69} + \)\(38\!\cdots\!16\)\( p^{24} T^{70} + 606499872257261382 p^{27} T^{71} + 13695824650896500627 p^{26} T^{72} + 2484290280725804465 p^{27} T^{73} + 437686786260639604 p^{28} T^{74} + 74719689097225376 p^{29} T^{75} + 12351371778421131 p^{30} T^{76} + 1970681925999949 p^{31} T^{77} + 303294321280173 p^{32} T^{78} + 44824629560455 p^{33} T^{79} + 6359266007917 p^{34} T^{80} + 860326548718 p^{35} T^{81} + 111024170578 p^{36} T^{82} + 13524408375 p^{37} T^{83} + 1558339073 p^{38} T^{84} + 166789405 p^{39} T^{85} + 16692350 p^{40} T^{86} + 1507864 p^{41} T^{87} + 125352 p^{42} T^{88} + 8839 p^{43} T^{89} + 562 p^{44} T^{90} + 25 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
13 \( 1 + 8 T + 331 T^{2} + 2458 T^{3} + 54372 T^{4} + 29066 p T^{5} + 5923182 T^{6} + 38777448 T^{7} + 482261781 T^{8} + 2990499389 T^{9} + 31345607519 T^{10} + 184946684732 T^{11} + 1695925174884 T^{12} + 9557521337102 T^{13} + 78617643053398 T^{14} + 32658124295398 p T^{15} + 3189127053091332 T^{16} + 16548636711947475 T^{17} + 115027928460454676 T^{18} + 574905187274875255 T^{19} + 3735294454689640911 T^{20} + 18017731915134705251 T^{21} + \)\(11\!\cdots\!57\)\( T^{22} + \)\(51\!\cdots\!22\)\( T^{23} + \)\(29\!\cdots\!22\)\( T^{24} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( T^{25} + \)\(74\!\cdots\!12\)\( T^{26} + \)\(32\!\cdots\!77\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{28} + \)\(56\!\cdots\!43\)\( p T^{29} + \)\(37\!\cdots\!96\)\( T^{30} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{31} + \)\(75\!\cdots\!80\)\( T^{32} + \)\(30\!\cdots\!14\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!87\)\( T^{34} + \)\(55\!\cdots\!06\)\( T^{35} + \)\(25\!\cdots\!15\)\( T^{36} + \)\(96\!\cdots\!61\)\( T^{37} + \)\(42\!\cdots\!85\)\( T^{38} + \)\(15\!\cdots\!04\)\( T^{39} + \)\(67\!\cdots\!59\)\( T^{40} + \)\(24\!\cdots\!81\)\( T^{41} + \)\(10\!\cdots\!23\)\( T^{42} + \)\(35\!\cdots\!98\)\( T^{43} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( T^{44} + \)\(48\!\cdots\!77\)\( T^{45} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( T^{46} + \)\(48\!\cdots\!77\)\( p T^{47} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( p^{2} T^{48} + \)\(35\!\cdots\!98\)\( p^{3} T^{49} + \)\(10\!\cdots\!23\)\( p^{4} T^{50} + \)\(24\!\cdots\!81\)\( p^{5} T^{51} + \)\(67\!\cdots\!59\)\( p^{6} T^{52} + \)\(15\!\cdots\!04\)\( p^{7} T^{53} + \)\(42\!\cdots\!85\)\( p^{8} T^{54} + \)\(96\!\cdots\!61\)\( p^{9} T^{55} + \)\(25\!\cdots\!15\)\( p^{10} T^{56} + \)\(55\!\cdots\!06\)\( p^{11} T^{57} + \)\(14\!\cdots\!87\)\( p^{12} T^{58} + \)\(30\!\cdots\!14\)\( p^{13} T^{59} + \)\(75\!\cdots\!80\)\( p^{14} T^{60} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{15} T^{61} + \)\(37\!\cdots\!96\)\( p^{16} T^{62} + \)\(56\!\cdots\!43\)\( p^{18} T^{63} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( p^{18} T^{64} + \)\(32\!\cdots\!77\)\( p^{19} T^{65} + \)\(74\!\cdots\!12\)\( p^{20} T^{66} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( p^{21} T^{67} + \)\(29\!\cdots\!22\)\( p^{22} T^{68} + \)\(51\!\cdots\!22\)\( p^{23} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!57\)\( p^{24} T^{70} + 18017731915134705251 p^{25} T^{71} + 3735294454689640911 p^{26} T^{72} + 574905187274875255 p^{27} T^{73} + 115027928460454676 p^{28} T^{74} + 16548636711947475 p^{29} T^{75} + 3189127053091332 p^{30} T^{76} + 32658124295398 p^{32} T^{77} + 78617643053398 p^{32} T^{78} + 9557521337102 p^{33} T^{79} + 1695925174884 p^{34} T^{80} + 184946684732 p^{35} T^{81} + 31345607519 p^{36} T^{82} + 2990499389 p^{37} T^{83} + 482261781 p^{38} T^{84} + 38777448 p^{39} T^{85} + 5923182 p^{40} T^{86} + 29066 p^{42} T^{87} + 54372 p^{42} T^{88} + 2458 p^{43} T^{89} + 331 p^{44} T^{90} + 8 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
19 \( 1 + 2 T + 407 T^{2} + 613 T^{3} + 82955 T^{4} + 86867 T^{5} + 11300517 T^{6} + 7005766 T^{7} + 1158573732 T^{8} + 259889400 T^{9} + 5023127049 p T^{10} - 13184315890 T^{11} + 6585153161777 T^{12} - 3062026471511 T^{13} + 391672737908660 T^{14} - 295233587874969 T^{15} + 1079350269268106 p T^{16} - 20564333661699385 T^{17} + 960398473567365159 T^{18} - 1163424688361013946 T^{19} + 40729507754075537475 T^{20} - 56227947492597435936 T^{21} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{22} - \)\(23\!\cdots\!91\)\( T^{23} + \)\(56\!\cdots\!26\)\( T^{24} - \)\(90\!\cdots\!77\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!06\)\( T^{26} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( T^{27} + \)\(58\!\cdots\!28\)\( T^{28} - \)\(99\!\cdots\!90\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!53\)\( T^{30} - \)\(29\!\cdots\!92\)\( T^{31} + \)\(46\!\cdots\!86\)\( T^{32} - \)\(80\!\cdots\!35\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!87\)\( T^{34} - \)\(20\!\cdots\!76\)\( T^{35} + \)\(29\!\cdots\!84\)\( T^{36} - \)\(50\!\cdots\!76\)\( T^{37} + \)\(68\!\cdots\!83\)\( T^{38} - \)\(11\!\cdots\!36\)\( T^{39} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{40} - \)\(25\!\cdots\!56\)\( T^{41} + \)\(32\!\cdots\!26\)\( T^{42} - \)\(52\!\cdots\!37\)\( T^{43} + \)\(65\!\cdots\!98\)\( T^{44} - \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{45} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( T^{46} - \)\(10\!\cdots\!28\)\( p T^{47} + \)\(65\!\cdots\!98\)\( p^{2} T^{48} - \)\(52\!\cdots\!37\)\( p^{3} T^{49} + \)\(32\!\cdots\!26\)\( p^{4} T^{50} - \)\(25\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{51} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{6} T^{52} - \)\(11\!\cdots\!36\)\( p^{7} T^{53} + \)\(68\!\cdots\!83\)\( p^{8} T^{54} - \)\(50\!\cdots\!76\)\( p^{9} T^{55} + \)\(29\!\cdots\!84\)\( p^{10} T^{56} - \)\(20\!\cdots\!76\)\( p^{11} T^{57} + \)\(11\!\cdots\!87\)\( p^{12} T^{58} - \)\(80\!\cdots\!35\)\( p^{13} T^{59} + \)\(46\!\cdots\!86\)\( p^{14} T^{60} - \)\(29\!\cdots\!92\)\( p^{15} T^{61} + \)\(16\!\cdots\!53\)\( p^{16} T^{62} - \)\(99\!\cdots\!90\)\( p^{17} T^{63} + \)\(58\!\cdots\!28\)\( p^{18} T^{64} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( p^{19} T^{65} + \)\(18\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{66} - \)\(90\!\cdots\!77\)\( p^{21} T^{67} + \)\(56\!\cdots\!26\)\( p^{22} T^{68} - \)\(23\!\cdots\!91\)\( p^{23} T^{69} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( p^{24} T^{70} - 56227947492597435936 p^{25} T^{71} + 40729507754075537475 p^{26} T^{72} - 1163424688361013946 p^{27} T^{73} + 960398473567365159 p^{28} T^{74} - 20564333661699385 p^{29} T^{75} + 1079350269268106 p^{31} T^{76} - 295233587874969 p^{31} T^{77} + 391672737908660 p^{32} T^{78} - 3062026471511 p^{33} T^{79} + 6585153161777 p^{34} T^{80} - 13184315890 p^{35} T^{81} + 5023127049 p^{37} T^{82} + 259889400 p^{37} T^{83} + 1158573732 p^{38} T^{84} + 7005766 p^{39} T^{85} + 11300517 p^{40} T^{86} + 86867 p^{41} T^{87} + 82955 p^{42} T^{88} + 613 p^{43} T^{89} + 407 p^{44} T^{90} + 2 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
23 \( 1 + 64 T + 2552 T^{2} + 75615 T^{3} + 1835155 T^{4} + 1657870 p T^{5} + 699355832 T^{6} + 11544776833 T^{7} + 174058522360 T^{8} + 2422648255764 T^{9} + 31395398712671 T^{10} + 381363881795527 T^{11} + 4366251292611429 T^{12} + 47331391455863874 T^{13} + 487670889872422076 T^{14} + 4791270746240203673 T^{15} + 45012091472090810084 T^{16} + \)\(40\!\cdots\!53\)\( T^{17} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( T^{18} + \)\(29\!\cdots\!78\)\( T^{19} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!10\)\( T^{22} + \)\(97\!\cdots\!66\)\( T^{23} + \)\(68\!\cdots\!28\)\( T^{24} + \)\(46\!\cdots\!35\)\( T^{25} + \)\(30\!\cdots\!68\)\( T^{26} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!01\)\( T^{28} + \)\(71\!\cdots\!58\)\( T^{29} + \)\(41\!\cdots\!64\)\( T^{30} + \)\(22\!\cdots\!11\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!97\)\( T^{32} + \)\(63\!\cdots\!95\)\( T^{33} + \)\(31\!\cdots\!98\)\( T^{34} + \)\(15\!\cdots\!35\)\( T^{35} + \)\(67\!\cdots\!62\)\( T^{36} + \)\(27\!\cdots\!09\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( T^{38} + \)\(30\!\cdots\!84\)\( T^{39} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( p T^{40} - \)\(32\!\cdots\!95\)\( T^{41} - \)\(39\!\cdots\!86\)\( T^{42} - \)\(29\!\cdots\!51\)\( T^{43} - \)\(18\!\cdots\!08\)\( T^{44} - \)\(99\!\cdots\!80\)\( T^{45} - \)\(49\!\cdots\!00\)\( T^{46} - \)\(99\!\cdots\!80\)\( p T^{47} - \)\(18\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{48} - \)\(29\!\cdots\!51\)\( p^{3} T^{49} - \)\(39\!\cdots\!86\)\( p^{4} T^{50} - \)\(32\!\cdots\!95\)\( p^{5} T^{51} + \)\(18\!\cdots\!85\)\( p^{7} T^{52} + \)\(30\!\cdots\!84\)\( p^{7} T^{53} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( p^{8} T^{54} + \)\(27\!\cdots\!09\)\( p^{9} T^{55} + \)\(67\!\cdots\!62\)\( p^{10} T^{56} + \)\(15\!\cdots\!35\)\( p^{11} T^{57} + \)\(31\!\cdots\!98\)\( p^{12} T^{58} + \)\(63\!\cdots\!95\)\( p^{13} T^{59} + \)\(12\!\cdots\!97\)\( p^{14} T^{60} + \)\(22\!\cdots\!11\)\( p^{15} T^{61} + \)\(41\!\cdots\!64\)\( p^{16} T^{62} + \)\(71\!\cdots\!58\)\( p^{17} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!01\)\( p^{18} T^{64} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( p^{19} T^{65} + \)\(30\!\cdots\!68\)\( p^{20} T^{66} + \)\(46\!\cdots\!35\)\( p^{21} T^{67} + \)\(68\!\cdots\!28\)\( p^{22} T^{68} + \)\(97\!\cdots\!66\)\( p^{23} T^{69} + \)\(13\!\cdots\!10\)\( p^{24} T^{70} + \)\(18\!\cdots\!56\)\( p^{25} T^{71} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{26} T^{72} + \)\(29\!\cdots\!78\)\( p^{27} T^{73} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( p^{28} T^{74} + \)\(40\!\cdots\!53\)\( p^{29} T^{75} + 45012091472090810084 p^{30} T^{76} + 4791270746240203673 p^{31} T^{77} + 487670889872422076 p^{32} T^{78} + 47331391455863874 p^{33} T^{79} + 4366251292611429 p^{34} T^{80} + 381363881795527 p^{35} T^{81} + 31395398712671 p^{36} T^{82} + 2422648255764 p^{37} T^{83} + 174058522360 p^{38} T^{84} + 11544776833 p^{39} T^{85} + 699355832 p^{40} T^{86} + 1657870 p^{42} T^{87} + 1835155 p^{42} T^{88} + 75615 p^{43} T^{89} + 2552 p^{44} T^{90} + 64 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
29 \( 1 + 51 T + 1947 T^{2} + 54739 T^{3} + 1316929 T^{4} + 941321 p T^{5} + 509890327 T^{6} + 8645085559 T^{7} + 135687307474 T^{8} + 1982784604530 T^{9} + 27262192885248 T^{10} + 354215736766630 T^{11} + 4377201486457425 T^{12} + 51613700070106421 T^{13} + 583227743178879573 T^{14} + 6331506336979086577 T^{15} + 66235638181571430501 T^{16} + \)\(66\!\cdots\!08\)\( T^{17} + \)\(65\!\cdots\!02\)\( T^{18} + \)\(61\!\cdots\!10\)\( T^{19} + \)\(56\!\cdots\!21\)\( T^{20} + \)\(50\!\cdots\!55\)\( T^{21} + \)\(44\!\cdots\!41\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!53\)\( p T^{23} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{24} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( T^{25} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( T^{26} + \)\(15\!\cdots\!44\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!52\)\( T^{28} + \)\(29\!\cdots\!01\)\( p T^{29} + \)\(61\!\cdots\!49\)\( T^{30} + \)\(43\!\cdots\!10\)\( T^{31} + \)\(30\!\cdots\!50\)\( T^{32} + \)\(20\!\cdots\!54\)\( T^{33} + \)\(13\!\cdots\!47\)\( T^{34} + \)\(91\!\cdots\!12\)\( T^{35} + \)\(59\!\cdots\!06\)\( T^{36} + \)\(37\!\cdots\!97\)\( T^{37} + \)\(23\!\cdots\!92\)\( T^{38} + \)\(14\!\cdots\!99\)\( T^{39} + \)\(86\!\cdots\!34\)\( T^{40} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( T^{41} + \)\(29\!\cdots\!14\)\( T^{42} + \)\(16\!\cdots\!17\)\( T^{43} + \)\(95\!\cdots\!47\)\( T^{44} + \)\(52\!\cdots\!15\)\( T^{45} + \)\(28\!\cdots\!32\)\( T^{46} + \)\(52\!\cdots\!15\)\( p T^{47} + \)\(95\!\cdots\!47\)\( p^{2} T^{48} + \)\(16\!\cdots\!17\)\( p^{3} T^{49} + \)\(29\!\cdots\!14\)\( p^{4} T^{50} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( p^{5} T^{51} + \)\(86\!\cdots\!34\)\( p^{6} T^{52} + \)\(14\!\cdots\!99\)\( p^{7} T^{53} + \)\(23\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{54} + \)\(37\!\cdots\!97\)\( p^{9} T^{55} + \)\(59\!\cdots\!06\)\( p^{10} T^{56} + \)\(91\!\cdots\!12\)\( p^{11} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!47\)\( p^{12} T^{58} + \)\(20\!\cdots\!54\)\( p^{13} T^{59} + \)\(30\!\cdots\!50\)\( p^{14} T^{60} + \)\(43\!\cdots\!10\)\( p^{15} T^{61} + \)\(61\!\cdots\!49\)\( p^{16} T^{62} + \)\(29\!\cdots\!01\)\( p^{18} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!52\)\( p^{18} T^{64} + \)\(15\!\cdots\!44\)\( p^{19} T^{65} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( p^{20} T^{66} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{21} T^{67} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{22} T^{68} + \)\(12\!\cdots\!53\)\( p^{24} T^{69} + \)\(44\!\cdots\!41\)\( p^{24} T^{70} + \)\(50\!\cdots\!55\)\( p^{25} T^{71} + \)\(56\!\cdots\!21\)\( p^{26} T^{72} + \)\(61\!\cdots\!10\)\( p^{27} T^{73} + \)\(65\!\cdots\!02\)\( p^{28} T^{74} + \)\(66\!\cdots\!08\)\( p^{29} T^{75} + 66235638181571430501 p^{30} T^{76} + 6331506336979086577 p^{31} T^{77} + 583227743178879573 p^{32} T^{78} + 51613700070106421 p^{33} T^{79} + 4377201486457425 p^{34} T^{80} + 354215736766630 p^{35} T^{81} + 27262192885248 p^{36} T^{82} + 1982784604530 p^{37} T^{83} + 135687307474 p^{38} T^{84} + 8645085559 p^{39} T^{85} + 509890327 p^{40} T^{86} + 941321 p^{42} T^{87} + 1316929 p^{42} T^{88} + 54739 p^{43} T^{89} + 1947 p^{44} T^{90} + 51 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
31 \( 1 + 19 T + 973 T^{2} + 15940 T^{3} + 456596 T^{4} + 6621568 T^{5} + 138947678 T^{6} + 1817856104 T^{7} + 31022999428 T^{8} + 371406693498 T^{9} + 5442721659827 T^{10} + 60287932129780 T^{11} + 783941059610503 T^{12} + 261450980885019 p T^{13} + 95568290388791446 T^{14} + 928789707502138258 T^{15} + 10083812534946204077 T^{16} + 92660154333988456045 T^{17} + \)\(93\!\cdots\!93\)\( T^{18} + \)\(81\!\cdots\!11\)\( T^{19} + \)\(77\!\cdots\!63\)\( T^{20} + \)\(64\!\cdots\!67\)\( T^{21} + \)\(58\!\cdots\!97\)\( T^{22} + \)\(46\!\cdots\!04\)\( T^{23} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( T^{24} + \)\(30\!\cdots\!93\)\( T^{25} + \)\(24\!\cdots\!89\)\( T^{26} + \)\(18\!\cdots\!80\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!12\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{29} + \)\(75\!\cdots\!72\)\( T^{30} + \)\(51\!\cdots\!95\)\( T^{31} + \)\(37\!\cdots\!30\)\( T^{32} + \)\(24\!\cdots\!42\)\( T^{33} + \)\(17\!\cdots\!56\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( T^{35} + \)\(74\!\cdots\!73\)\( T^{36} + \)\(46\!\cdots\!19\)\( T^{37} + \)\(30\!\cdots\!97\)\( T^{38} + \)\(18\!\cdots\!94\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( T^{40} + \)\(68\!\cdots\!38\)\( T^{41} + \)\(41\!\cdots\!54\)\( T^{42} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( T^{43} + \)\(14\!\cdots\!21\)\( T^{44} + \)\(78\!\cdots\!04\)\( T^{45} + \)\(45\!\cdots\!04\)\( T^{46} + \)\(78\!\cdots\!04\)\( p T^{47} + \)\(14\!\cdots\!21\)\( p^{2} T^{48} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( p^{3} T^{49} + \)\(41\!\cdots\!54\)\( p^{4} T^{50} + \)\(68\!\cdots\!38\)\( p^{5} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{6} T^{52} + \)\(18\!\cdots\!94\)\( p^{7} T^{53} + \)\(30\!\cdots\!97\)\( p^{8} T^{54} + \)\(46\!\cdots\!19\)\( p^{9} T^{55} + \)\(74\!\cdots\!73\)\( p^{10} T^{56} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{11} T^{57} + \)\(17\!\cdots\!56\)\( p^{12} T^{58} + \)\(24\!\cdots\!42\)\( p^{13} T^{59} + \)\(37\!\cdots\!30\)\( p^{14} T^{60} + \)\(51\!\cdots\!95\)\( p^{15} T^{61} + \)\(75\!\cdots\!72\)\( p^{16} T^{62} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( p^{17} T^{63} + \)\(14\!\cdots\!12\)\( p^{18} T^{64} + \)\(18\!\cdots\!80\)\( p^{19} T^{65} + \)\(24\!\cdots\!89\)\( p^{20} T^{66} + \)\(30\!\cdots\!93\)\( p^{21} T^{67} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( p^{22} T^{68} + \)\(46\!\cdots\!04\)\( p^{23} T^{69} + \)\(58\!\cdots\!97\)\( p^{24} T^{70} + \)\(64\!\cdots\!67\)\( p^{25} T^{71} + \)\(77\!\cdots\!63\)\( p^{26} T^{72} + \)\(81\!\cdots\!11\)\( p^{27} T^{73} + \)\(93\!\cdots\!93\)\( p^{28} T^{74} + 92660154333988456045 p^{29} T^{75} + 10083812534946204077 p^{30} T^{76} + 928789707502138258 p^{31} T^{77} + 95568290388791446 p^{32} T^{78} + 261450980885019 p^{34} T^{79} + 783941059610503 p^{34} T^{80} + 60287932129780 p^{35} T^{81} + 5442721659827 p^{36} T^{82} + 371406693498 p^{37} T^{83} + 31022999428 p^{38} T^{84} + 1817856104 p^{39} T^{85} + 138947678 p^{40} T^{86} + 6621568 p^{41} T^{87} + 456596 p^{42} T^{88} + 15940 p^{43} T^{89} + 973 p^{44} T^{90} + 19 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
37 \( 1 + 46 T + 1936 T^{2} + 56068 T^{3} + 1477181 T^{4} + 32694920 T^{5} + 669296401 T^{6} + 12293703938 T^{7} + 211791324573 T^{8} + 3376381608315 T^{9} + 51015728847877 T^{10} + 725815296165908 T^{11} + 9864215356099433 T^{12} + 127630488995955298 T^{13} + 1586934824298193023 T^{14} + 18927946583207280994 T^{15} + \)\(21\!\cdots\!20\)\( T^{16} + \)\(24\!\cdots\!85\)\( T^{17} + \)\(26\!\cdots\!16\)\( T^{18} + \)\(27\!\cdots\!92\)\( T^{19} + \)\(27\!\cdots\!10\)\( T^{20} + \)\(27\!\cdots\!61\)\( T^{21} + \)\(26\!\cdots\!48\)\( T^{22} + \)\(24\!\cdots\!23\)\( T^{23} + \)\(22\!\cdots\!74\)\( T^{24} + \)\(19\!\cdots\!16\)\( T^{25} + \)\(17\!\cdots\!02\)\( T^{26} + \)\(14\!\cdots\!87\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!03\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{29} + \)\(80\!\cdots\!65\)\( T^{30} + \)\(63\!\cdots\!42\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( p T^{32} + \)\(36\!\cdots\!61\)\( T^{33} + \)\(74\!\cdots\!98\)\( p T^{34} + \)\(20\!\cdots\!44\)\( T^{35} + \)\(14\!\cdots\!34\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{37} + \)\(71\!\cdots\!15\)\( T^{38} + \)\(48\!\cdots\!15\)\( T^{39} + \)\(32\!\cdots\!64\)\( T^{40} + \)\(21\!\cdots\!21\)\( T^{41} + \)\(14\!\cdots\!75\)\( T^{42} + \)\(90\!\cdots\!33\)\( T^{43} + \)\(57\!\cdots\!06\)\( T^{44} + \)\(35\!\cdots\!14\)\( T^{45} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( T^{46} + \)\(35\!\cdots\!14\)\( p T^{47} + \)\(57\!\cdots\!06\)\( p^{2} T^{48} + \)\(90\!\cdots\!33\)\( p^{3} T^{49} + \)\(14\!\cdots\!75\)\( p^{4} T^{50} + \)\(21\!\cdots\!21\)\( p^{5} T^{51} + \)\(32\!\cdots\!64\)\( p^{6} T^{52} + \)\(48\!\cdots\!15\)\( p^{7} T^{53} + \)\(71\!\cdots\!15\)\( p^{8} T^{54} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( p^{9} T^{55} + \)\(14\!\cdots\!34\)\( p^{10} T^{56} + \)\(20\!\cdots\!44\)\( p^{11} T^{57} + \)\(74\!\cdots\!98\)\( p^{13} T^{58} + \)\(36\!\cdots\!61\)\( p^{13} T^{59} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( p^{15} T^{60} + \)\(63\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{61} + \)\(80\!\cdots\!65\)\( p^{16} T^{62} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{17} T^{63} + \)\(12\!\cdots\!03\)\( p^{18} T^{64} + \)\(14\!\cdots\!87\)\( p^{19} T^{65} + \)\(17\!\cdots\!02\)\( p^{20} T^{66} + \)\(19\!\cdots\!16\)\( p^{21} T^{67} + \)\(22\!\cdots\!74\)\( p^{22} T^{68} + \)\(24\!\cdots\!23\)\( p^{23} T^{69} + \)\(26\!\cdots\!48\)\( p^{24} T^{70} + \)\(27\!\cdots\!61\)\( p^{25} T^{71} + \)\(27\!\cdots\!10\)\( p^{26} T^{72} + \)\(27\!\cdots\!92\)\( p^{27} T^{73} + \)\(26\!\cdots\!16\)\( p^{28} T^{74} + \)\(24\!\cdots\!85\)\( p^{29} T^{75} + \)\(21\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{76} + 18927946583207280994 p^{31} T^{77} + 1586934824298193023 p^{32} T^{78} + 127630488995955298 p^{33} T^{79} + 9864215356099433 p^{34} T^{80} + 725815296165908 p^{35} T^{81} + 51015728847877 p^{36} T^{82} + 3376381608315 p^{37} T^{83} + 211791324573 p^{38} T^{84} + 12293703938 p^{39} T^{85} + 669296401 p^{40} T^{86} + 32694920 p^{41} T^{87} + 1477181 p^{42} T^{88} + 56068 p^{43} T^{89} + 1936 p^{44} T^{90} + 46 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
41 \( 1 + 53 T + 2371 T^{2} + 75269 T^{3} + 2113940 T^{4} + 50478436 T^{5} + 1100414798 T^{6} + 21641983058 T^{7} + 396361308808 T^{8} + 6735563451904 T^{9} + 108008229997871 T^{10} + 1633116855654747 T^{11} + 23518949235575893 T^{12} + 322697146190455999 T^{13} + 4245980960554104273 T^{14} + 53612661287901734792 T^{15} + \)\(65\!\cdots\!37\)\( T^{16} + \)\(76\!\cdots\!96\)\( T^{17} + \)\(87\!\cdots\!59\)\( T^{18} + \)\(95\!\cdots\!39\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!89\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( T^{23} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{24} + \)\(95\!\cdots\!87\)\( T^{25} + \)\(87\!\cdots\!22\)\( T^{26} + \)\(78\!\cdots\!03\)\( T^{27} + \)\(69\!\cdots\!37\)\( T^{28} + \)\(59\!\cdots\!51\)\( T^{29} + \)\(50\!\cdots\!42\)\( T^{30} + \)\(41\!\cdots\!68\)\( T^{31} + \)\(33\!\cdots\!59\)\( T^{32} + \)\(26\!\cdots\!43\)\( T^{33} + \)\(21\!\cdots\!23\)\( T^{34} + \)\(16\!\cdots\!93\)\( T^{35} + \)\(12\!\cdots\!37\)\( T^{36} + \)\(90\!\cdots\!13\)\( T^{37} + \)\(66\!\cdots\!19\)\( T^{38} + \)\(47\!\cdots\!48\)\( T^{39} + \)\(33\!\cdots\!82\)\( T^{40} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( T^{41} + \)\(16\!\cdots\!90\)\( T^{42} + \)\(10\!\cdots\!14\)\( T^{43} + \)\(72\!\cdots\!01\)\( T^{44} + \)\(47\!\cdots\!78\)\( T^{45} + \)\(30\!\cdots\!66\)\( T^{46} + \)\(47\!\cdots\!78\)\( p T^{47} + \)\(72\!\cdots\!01\)\( p^{2} T^{48} + \)\(10\!\cdots\!14\)\( p^{3} T^{49} + \)\(16\!\cdots\!90\)\( p^{4} T^{50} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( p^{5} T^{51} + \)\(33\!\cdots\!82\)\( p^{6} T^{52} + \)\(47\!\cdots\!48\)\( p^{7} T^{53} + \)\(66\!\cdots\!19\)\( p^{8} T^{54} + \)\(90\!\cdots\!13\)\( p^{9} T^{55} + \)\(12\!\cdots\!37\)\( p^{10} T^{56} + \)\(16\!\cdots\!93\)\( p^{11} T^{57} + \)\(21\!\cdots\!23\)\( p^{12} T^{58} + \)\(26\!\cdots\!43\)\( p^{13} T^{59} + \)\(33\!\cdots\!59\)\( p^{14} T^{60} + \)\(41\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{61} + \)\(50\!\cdots\!42\)\( p^{16} T^{62} + \)\(59\!\cdots\!51\)\( p^{17} T^{63} + \)\(69\!\cdots\!37\)\( p^{18} T^{64} + \)\(78\!\cdots\!03\)\( p^{19} T^{65} + \)\(87\!\cdots\!22\)\( p^{20} T^{66} + \)\(95\!\cdots\!87\)\( p^{21} T^{67} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{22} T^{68} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( p^{23} T^{69} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( p^{24} T^{70} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( p^{25} T^{71} + \)\(10\!\cdots\!89\)\( p^{26} T^{72} + \)\(95\!\cdots\!39\)\( p^{27} T^{73} + \)\(87\!\cdots\!59\)\( p^{28} T^{74} + \)\(76\!\cdots\!96\)\( p^{29} T^{75} + \)\(65\!\cdots\!37\)\( p^{30} T^{76} + 53612661287901734792 p^{31} T^{77} + 4245980960554104273 p^{32} T^{78} + 322697146190455999 p^{33} T^{79} + 23518949235575893 p^{34} T^{80} + 1633116855654747 p^{35} T^{81} + 108008229997871 p^{36} T^{82} + 6735563451904 p^{37} T^{83} + 396361308808 p^{38} T^{84} + 21641983058 p^{39} T^{85} + 1100414798 p^{40} T^{86} + 50478436 p^{41} T^{87} + 2113940 p^{42} T^{88} + 75269 p^{43} T^{89} + 2371 p^{44} T^{90} + 53 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
43 \( 1 + 33 T + 1588 T^{2} + 39723 T^{3} + 1134810 T^{4} + 23324954 T^{5} + 505631457 T^{6} + 8939634727 T^{7} + 161125729839 T^{8} + 2523270731978 T^{9} + 39624010709820 T^{10} + 560898049213033 T^{11} + 7893709144198487 T^{12} + 102515442363178960 T^{13} + 1317579280244405669 T^{14} + 15878056882698011440 T^{15} + \)\(18\!\cdots\!04\)\( T^{16} + \)\(21\!\cdots\!81\)\( T^{17} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( T^{18} + \)\(25\!\cdots\!12\)\( T^{19} + \)\(26\!\cdots\!67\)\( T^{20} + \)\(26\!\cdots\!06\)\( T^{21} + \)\(26\!\cdots\!78\)\( T^{22} + \)\(25\!\cdots\!57\)\( T^{23} + \)\(24\!\cdots\!74\)\( T^{24} + \)\(22\!\cdots\!26\)\( T^{25} + \)\(20\!\cdots\!77\)\( T^{26} + \)\(17\!\cdots\!43\)\( T^{27} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( T^{28} + \)\(13\!\cdots\!91\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{30} + \)\(92\!\cdots\!43\)\( T^{31} + \)\(74\!\cdots\!59\)\( T^{32} + \)\(59\!\cdots\!36\)\( T^{33} + \)\(46\!\cdots\!03\)\( T^{34} + \)\(36\!\cdots\!03\)\( T^{35} + \)\(27\!\cdots\!17\)\( T^{36} + \)\(20\!\cdots\!09\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!01\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( T^{39} + \)\(79\!\cdots\!45\)\( T^{40} + \)\(56\!\cdots\!78\)\( T^{41} + \)\(39\!\cdots\!16\)\( T^{42} + \)\(26\!\cdots\!90\)\( T^{43} + \)\(18\!\cdots\!32\)\( T^{44} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{45} + \)\(80\!\cdots\!84\)\( T^{46} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p T^{47} + \)\(18\!\cdots\!32\)\( p^{2} T^{48} + \)\(26\!\cdots\!90\)\( p^{3} T^{49} + \)\(39\!\cdots\!16\)\( p^{4} T^{50} + \)\(56\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{51} + \)\(79\!\cdots\!45\)\( p^{6} T^{52} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( p^{7} T^{53} + \)\(15\!\cdots\!01\)\( p^{8} T^{54} + \)\(20\!\cdots\!09\)\( p^{9} T^{55} + \)\(27\!\cdots\!17\)\( p^{10} T^{56} + \)\(36\!\cdots\!03\)\( p^{11} T^{57} + \)\(46\!\cdots\!03\)\( p^{12} T^{58} + \)\(59\!\cdots\!36\)\( p^{13} T^{59} + \)\(74\!\cdots\!59\)\( p^{14} T^{60} + \)\(92\!\cdots\!43\)\( p^{15} T^{61} + \)\(11\!\cdots\!71\)\( p^{16} T^{62} + \)\(13\!\cdots\!91\)\( p^{17} T^{63} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( p^{18} T^{64} + \)\(17\!\cdots\!43\)\( p^{19} T^{65} + \)\(20\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{66} + \)\(22\!\cdots\!26\)\( p^{21} T^{67} + \)\(24\!\cdots\!74\)\( p^{22} T^{68} + \)\(25\!\cdots\!57\)\( p^{23} T^{69} + \)\(26\!\cdots\!78\)\( p^{24} T^{70} + \)\(26\!\cdots\!06\)\( p^{25} T^{71} + \)\(26\!\cdots\!67\)\( p^{26} T^{72} + \)\(25\!\cdots\!12\)\( p^{27} T^{73} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( p^{28} T^{74} + \)\(21\!\cdots\!81\)\( p^{29} T^{75} + \)\(18\!\cdots\!04\)\( p^{30} T^{76} + 15878056882698011440 p^{31} T^{77} + 1317579280244405669 p^{32} T^{78} + 102515442363178960 p^{33} T^{79} + 7893709144198487 p^{34} T^{80} + 560898049213033 p^{35} T^{81} + 39624010709820 p^{36} T^{82} + 2523270731978 p^{37} T^{83} + 161125729839 p^{38} T^{84} + 8939634727 p^{39} T^{85} + 505631457 p^{40} T^{86} + 23324954 p^{41} T^{87} + 1134810 p^{42} T^{88} + 39723 p^{43} T^{89} + 1588 p^{44} T^{90} + 33 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
47 \( 1 + 45 T + 1925 T^{2} + 54864 T^{3} + 1457962 T^{4} + 31892548 T^{5} + 656954688 T^{6} + 11979293047 T^{7} + 207833407763 T^{8} + 3306035900683 T^{9} + 50454651511285 T^{10} + 720450591259594 T^{11} + 9934095334644672 T^{12} + 129842952320025848 T^{13} + 1647163624316771261 T^{14} + 19985930440035023361 T^{15} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( T^{16} + \)\(26\!\cdots\!79\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!82\)\( T^{18} + \)\(32\!\cdots\!47\)\( T^{19} + \)\(34\!\cdots\!54\)\( T^{20} + \)\(34\!\cdots\!47\)\( T^{21} + \)\(35\!\cdots\!73\)\( T^{22} + \)\(34\!\cdots\!78\)\( T^{23} + \)\(33\!\cdots\!42\)\( T^{24} + \)\(31\!\cdots\!53\)\( T^{25} + \)\(28\!\cdots\!44\)\( T^{26} + \)\(26\!\cdots\!50\)\( T^{27} + \)\(23\!\cdots\!82\)\( T^{28} + \)\(20\!\cdots\!31\)\( T^{29} + \)\(17\!\cdots\!10\)\( T^{30} + \)\(15\!\cdots\!49\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!68\)\( T^{32} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( T^{33} + \)\(84\!\cdots\!41\)\( T^{34} + \)\(67\!\cdots\!53\)\( T^{35} + \)\(53\!\cdots\!51\)\( T^{36} + \)\(41\!\cdots\!44\)\( T^{37} + \)\(31\!\cdots\!87\)\( T^{38} + \)\(23\!\cdots\!18\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!84\)\( T^{40} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{41} + \)\(95\!\cdots\!87\)\( T^{42} + \)\(68\!\cdots\!27\)\( T^{43} + \)\(48\!\cdots\!96\)\( T^{44} + \)\(33\!\cdots\!07\)\( T^{45} + \)\(23\!\cdots\!62\)\( T^{46} + \)\(33\!\cdots\!07\)\( p T^{47} + \)\(48\!\cdots\!96\)\( p^{2} T^{48} + \)\(68\!\cdots\!27\)\( p^{3} T^{49} + \)\(95\!\cdots\!87\)\( p^{4} T^{50} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{51} + \)\(17\!\cdots\!84\)\( p^{6} T^{52} + \)\(23\!\cdots\!18\)\( p^{7} T^{53} + \)\(31\!\cdots\!87\)\( p^{8} T^{54} + \)\(41\!\cdots\!44\)\( p^{9} T^{55} + \)\(53\!\cdots\!51\)\( p^{10} T^{56} + \)\(67\!\cdots\!53\)\( p^{11} T^{57} + \)\(84\!\cdots\!41\)\( p^{12} T^{58} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( p^{13} T^{59} + \)\(12\!\cdots\!68\)\( p^{14} T^{60} + \)\(15\!\cdots\!49\)\( p^{15} T^{61} + \)\(17\!\cdots\!10\)\( p^{16} T^{62} + \)\(20\!\cdots\!31\)\( p^{17} T^{63} + \)\(23\!\cdots\!82\)\( p^{18} T^{64} + \)\(26\!\cdots\!50\)\( p^{19} T^{65} + \)\(28\!\cdots\!44\)\( p^{20} T^{66} + \)\(31\!\cdots\!53\)\( p^{21} T^{67} + \)\(33\!\cdots\!42\)\( p^{22} T^{68} + \)\(34\!\cdots\!78\)\( p^{23} T^{69} + \)\(35\!\cdots\!73\)\( p^{24} T^{70} + \)\(34\!\cdots\!47\)\( p^{25} T^{71} + \)\(34\!\cdots\!54\)\( p^{26} T^{72} + \)\(32\!\cdots\!47\)\( p^{27} T^{73} + \)\(29\!\cdots\!82\)\( p^{28} T^{74} + \)\(26\!\cdots\!79\)\( p^{29} T^{75} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( p^{30} T^{76} + 19985930440035023361 p^{31} T^{77} + 1647163624316771261 p^{32} T^{78} + 129842952320025848 p^{33} T^{79} + 9934095334644672 p^{34} T^{80} + 720450591259594 p^{35} T^{81} + 50454651511285 p^{36} T^{82} + 3306035900683 p^{37} T^{83} + 207833407763 p^{38} T^{84} + 11979293047 p^{39} T^{85} + 656954688 p^{40} T^{86} + 31892548 p^{41} T^{87} + 1457962 p^{42} T^{88} + 54864 p^{43} T^{89} + 1925 p^{44} T^{90} + 45 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
53 \( 1 + 47 T + 2239 T^{2} + 68661 T^{3} + 2013654 T^{4} + 47744499 T^{5} + 1079927402 T^{6} + 21383538225 T^{7} + 405964094549 T^{8} + 7012873761952 T^{9} + 116811962244499 T^{10} + 1810346448105908 T^{11} + 27188110669797772 T^{12} + 385372298691091585 T^{13} + 5315077877986180670 T^{14} + 69867774153039077020 T^{15} + \)\(89\!\cdots\!97\)\( T^{16} + \)\(11\!\cdots\!22\)\( T^{17} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{18} + \)\(15\!\cdots\!94\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!03\)\( T^{20} + \)\(19\!\cdots\!10\)\( T^{21} + \)\(21\!\cdots\!62\)\( T^{22} + \)\(22\!\cdots\!66\)\( T^{23} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( T^{24} + \)\(44\!\cdots\!91\)\( p T^{25} + \)\(23\!\cdots\!17\)\( T^{26} + \)\(23\!\cdots\!44\)\( T^{27} + \)\(22\!\cdots\!77\)\( T^{28} + \)\(20\!\cdots\!17\)\( T^{29} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{30} + \)\(17\!\cdots\!88\)\( T^{31} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( T^{34} + \)\(10\!\cdots\!35\)\( T^{35} + \)\(86\!\cdots\!09\)\( T^{36} + \)\(71\!\cdots\!46\)\( T^{37} + \)\(58\!\cdots\!68\)\( T^{38} + \)\(47\!\cdots\!38\)\( T^{39} + \)\(37\!\cdots\!59\)\( T^{40} + \)\(29\!\cdots\!75\)\( T^{41} + \)\(22\!\cdots\!35\)\( T^{42} + \)\(17\!\cdots\!27\)\( T^{43} + \)\(13\!\cdots\!38\)\( T^{44} + \)\(97\!\cdots\!46\)\( T^{45} + \)\(71\!\cdots\!76\)\( T^{46} + \)\(97\!\cdots\!46\)\( p T^{47} + \)\(13\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{48} + \)\(17\!\cdots\!27\)\( p^{3} T^{49} + \)\(22\!\cdots\!35\)\( p^{4} T^{50} + \)\(29\!\cdots\!75\)\( p^{5} T^{51} + \)\(37\!\cdots\!59\)\( p^{6} T^{52} + \)\(47\!\cdots\!38\)\( p^{7} T^{53} + \)\(58\!\cdots\!68\)\( p^{8} T^{54} + \)\(71\!\cdots\!46\)\( p^{9} T^{55} + \)\(86\!\cdots\!09\)\( p^{10} T^{56} + \)\(10\!\cdots\!35\)\( p^{11} T^{57} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( p^{12} T^{58} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( p^{13} T^{59} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( p^{14} T^{60} + \)\(17\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{61} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{62} + \)\(20\!\cdots\!17\)\( p^{17} T^{63} + \)\(22\!\cdots\!77\)\( p^{18} T^{64} + \)\(23\!\cdots\!44\)\( p^{19} T^{65} + \)\(23\!\cdots\!17\)\( p^{20} T^{66} + \)\(44\!\cdots\!91\)\( p^{22} T^{67} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( p^{22} T^{68} + \)\(22\!\cdots\!66\)\( p^{23} T^{69} + \)\(21\!\cdots\!62\)\( p^{24} T^{70} + \)\(19\!\cdots\!10\)\( p^{25} T^{71} + \)\(17\!\cdots\!03\)\( p^{26} T^{72} + \)\(15\!\cdots\!94\)\( p^{27} T^{73} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( p^{28} T^{74} + \)\(11\!\cdots\!22\)\( p^{29} T^{75} + \)\(89\!\cdots\!97\)\( p^{30} T^{76} + 69867774153039077020 p^{31} T^{77} + 5315077877986180670 p^{32} T^{78} + 385372298691091585 p^{33} T^{79} + 27188110669797772 p^{34} T^{80} + 1810346448105908 p^{35} T^{81} + 116811962244499 p^{36} T^{82} + 7012873761952 p^{37} T^{83} + 405964094549 p^{38} T^{84} + 21383538225 p^{39} T^{85} + 1079927402 p^{40} T^{86} + 47744499 p^{41} T^{87} + 2013654 p^{42} T^{88} + 68661 p^{43} T^{89} + 2239 p^{44} T^{90} + 47 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
59 \( 1 + 65 T + 3685 T^{2} + 145363 T^{3} + 5121478 T^{4} + 151776683 T^{5} + 4117897798 T^{6} + 100058964466 T^{7} + 2264412572557 T^{8} + 47281131289767 T^{9} + 930594934296115 T^{10} + 17190133943970704 T^{11} + 301950108600322438 T^{12} + 5032995354070510718 T^{13} + 80301196887532452337 T^{14} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( T^{16} + \)\(25\!\cdots\!08\)\( T^{17} + \)\(34\!\cdots\!99\)\( T^{18} + \)\(77\!\cdots\!09\)\( p T^{19} + \)\(58\!\cdots\!20\)\( T^{20} + \)\(72\!\cdots\!22\)\( T^{21} + \)\(86\!\cdots\!09\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( T^{23} + \)\(11\!\cdots\!79\)\( T^{24} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!82\)\( T^{26} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( T^{27} + \)\(15\!\cdots\!63\)\( T^{28} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( T^{30} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{31} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( T^{33} + \)\(12\!\cdots\!47\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!36\)\( T^{36} + \)\(90\!\cdots\!09\)\( T^{37} + \)\(78\!\cdots\!41\)\( T^{38} + \)\(66\!\cdots\!63\)\( T^{39} + \)\(55\!\cdots\!66\)\( T^{40} + \)\(46\!\cdots\!23\)\( T^{41} + \)\(37\!\cdots\!88\)\( T^{42} + \)\(30\!\cdots\!15\)\( T^{43} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( T^{44} + \)\(18\!\cdots\!29\)\( T^{45} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( p T^{46} + \)\(18\!\cdots\!29\)\( p T^{47} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( p^{2} T^{48} + \)\(30\!\cdots\!15\)\( p^{3} T^{49} + \)\(37\!\cdots\!88\)\( p^{4} T^{50} + \)\(46\!\cdots\!23\)\( p^{5} T^{51} + \)\(55\!\cdots\!66\)\( p^{6} T^{52} + \)\(66\!\cdots\!63\)\( p^{7} T^{53} + \)\(78\!\cdots\!41\)\( p^{8} T^{54} + \)\(90\!\cdots\!09\)\( p^{9} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!36\)\( p^{10} T^{56} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{11} T^{57} + \)\(12\!\cdots\!47\)\( p^{12} T^{58} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( p^{13} T^{59} + \)\(14\!\cdots\!17\)\( p^{14} T^{60} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( p^{15} T^{61} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( p^{16} T^{62} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( p^{17} T^{63} + \)\(15\!\cdots\!63\)\( p^{18} T^{64} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( p^{19} T^{65} + \)\(14\!\cdots\!82\)\( p^{20} T^{66} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( p^{21} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!79\)\( p^{22} T^{68} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( p^{23} T^{69} + \)\(86\!\cdots\!09\)\( p^{24} T^{70} + \)\(72\!\cdots\!22\)\( p^{25} T^{71} + \)\(58\!\cdots\!20\)\( p^{26} T^{72} + \)\(77\!\cdots\!09\)\( p^{28} T^{73} + \)\(34\!\cdots\!99\)\( p^{28} T^{74} + \)\(25\!\cdots\!08\)\( p^{29} T^{75} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( p^{30} T^{76} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{31} T^{77} + 80301196887532452337 p^{32} T^{78} + 5032995354070510718 p^{33} T^{79} + 301950108600322438 p^{34} T^{80} + 17190133943970704 p^{35} T^{81} + 930594934296115 p^{36} T^{82} + 47281131289767 p^{37} T^{83} + 2264412572557 p^{38} T^{84} + 100058964466 p^{39} T^{85} + 4117897798 p^{40} T^{86} + 151776683 p^{41} T^{87} + 5121478 p^{42} T^{88} + 145363 p^{43} T^{89} + 3685 p^{44} T^{90} + 65 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
61 \( 1 + 37 T + 2330 T^{2} + 70349 T^{3} + 2586128 T^{4} + 66498949 T^{5} + 1846662240 T^{6} + 41630900487 T^{7} + 961486818495 T^{8} + 19402764356245 T^{9} + 391145624204146 T^{10} + 7175816888880505 T^{11} + 129892254644056901 T^{12} + 2192182338427042995 T^{13} + 36287132877739981387 T^{14} + \)\(56\!\cdots\!37\)\( T^{15} + \)\(87\!\cdots\!34\)\( T^{16} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!43\)\( T^{18} + \)\(25\!\cdots\!49\)\( T^{19} + \)\(34\!\cdots\!54\)\( T^{20} + \)\(44\!\cdots\!64\)\( T^{21} + \)\(56\!\cdots\!34\)\( T^{22} + \)\(70\!\cdots\!02\)\( T^{23} + \)\(85\!\cdots\!05\)\( T^{24} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!82\)\( T^{26} + \)\(13\!\cdots\!81\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!13\)\( T^{28} + \)\(15\!\cdots\!65\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!42\)\( T^{30} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( T^{31} + \)\(17\!\cdots\!61\)\( T^{32} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( T^{33} + \)\(16\!\cdots\!06\)\( T^{34} + \)\(16\!\cdots\!31\)\( T^{35} + \)\(15\!\cdots\!38\)\( T^{36} + \)\(14\!\cdots\!82\)\( T^{37} + \)\(12\!\cdots\!78\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!32\)\( T^{39} + \)\(99\!\cdots\!04\)\( T^{40} + \)\(85\!\cdots\!81\)\( T^{41} + \)\(72\!\cdots\!13\)\( T^{42} + \)\(60\!\cdots\!50\)\( T^{43} + \)\(48\!\cdots\!06\)\( T^{44} + \)\(39\!\cdots\!07\)\( T^{45} + \)\(30\!\cdots\!54\)\( T^{46} + \)\(39\!\cdots\!07\)\( p T^{47} + \)\(48\!\cdots\!06\)\( p^{2} T^{48} + \)\(60\!\cdots\!50\)\( p^{3} T^{49} + \)\(72\!\cdots\!13\)\( p^{4} T^{50} + \)\(85\!\cdots\!81\)\( p^{5} T^{51} + \)\(99\!\cdots\!04\)\( p^{6} T^{52} + \)\(11\!\cdots\!32\)\( p^{7} T^{53} + \)\(12\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{54} + \)\(14\!\cdots\!82\)\( p^{9} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{56} + \)\(16\!\cdots\!31\)\( p^{11} T^{57} + \)\(16\!\cdots\!06\)\( p^{12} T^{58} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( p^{13} T^{59} + \)\(17\!\cdots\!61\)\( p^{14} T^{60} + \)\(17\!\cdots\!96\)\( p^{15} T^{61} + \)\(16\!\cdots\!42\)\( p^{16} T^{62} + \)\(15\!\cdots\!65\)\( p^{17} T^{63} + \)\(14\!\cdots\!13\)\( p^{18} T^{64} + \)\(13\!\cdots\!81\)\( p^{19} T^{65} + \)\(11\!\cdots\!82\)\( p^{20} T^{66} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( p^{21} T^{67} + \)\(85\!\cdots\!05\)\( p^{22} T^{68} + \)\(70\!\cdots\!02\)\( p^{23} T^{69} + \)\(56\!\cdots\!34\)\( p^{24} T^{70} + \)\(44\!\cdots\!64\)\( p^{25} T^{71} + \)\(34\!\cdots\!54\)\( p^{26} T^{72} + \)\(25\!\cdots\!49\)\( p^{27} T^{73} + \)\(18\!\cdots\!43\)\( p^{28} T^{74} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{29} T^{75} + \)\(87\!\cdots\!34\)\( p^{30} T^{76} + \)\(56\!\cdots\!37\)\( p^{31} T^{77} + 36287132877739981387 p^{32} T^{78} + 2192182338427042995 p^{33} T^{79} + 129892254644056901 p^{34} T^{80} + 7175816888880505 p^{35} T^{81} + 391145624204146 p^{36} T^{82} + 19402764356245 p^{37} T^{83} + 961486818495 p^{38} T^{84} + 41630900487 p^{39} T^{85} + 1846662240 p^{40} T^{86} + 66498949 p^{41} T^{87} + 2586128 p^{42} T^{88} + 70349 p^{43} T^{89} + 2330 p^{44} T^{90} + 37 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
67 \( 1 + 52 T + 2824 T^{2} + 98358 T^{3} + 3286646 T^{4} + 89119626 T^{5} + 2295996021 T^{6} + 52045196418 T^{7} + 1124024894995 T^{8} + 22197233953714 T^{9} + 419772475729611 T^{10} + 7418976402372142 T^{11} + 126201855704808238 T^{12} + 2034381386500699762 T^{13} + 31706023437585600805 T^{14} + \)\(47\!\cdots\!04\)\( T^{15} + \)\(68\!\cdots\!90\)\( T^{16} + \)\(95\!\cdots\!00\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( T^{18} + \)\(17\!\cdots\!72\)\( T^{19} + \)\(21\!\cdots\!38\)\( T^{20} + \)\(27\!\cdots\!36\)\( T^{21} + \)\(33\!\cdots\!45\)\( T^{22} + \)\(39\!\cdots\!58\)\( T^{23} + \)\(46\!\cdots\!95\)\( T^{24} + \)\(52\!\cdots\!36\)\( T^{25} + \)\(58\!\cdots\!57\)\( T^{26} + \)\(64\!\cdots\!03\)\( T^{27} + \)\(69\!\cdots\!98\)\( T^{28} + \)\(73\!\cdots\!06\)\( T^{29} + \)\(76\!\cdots\!55\)\( T^{30} + \)\(78\!\cdots\!10\)\( T^{31} + \)\(78\!\cdots\!42\)\( T^{32} + \)\(11\!\cdots\!23\)\( p T^{33} + \)\(75\!\cdots\!43\)\( T^{34} + \)\(72\!\cdots\!86\)\( T^{35} + \)\(69\!\cdots\!00\)\( T^{36} + \)\(64\!\cdots\!48\)\( T^{37} + \)\(59\!\cdots\!50\)\( T^{38} + \)\(53\!\cdots\!34\)\( T^{39} + \)\(47\!\cdots\!46\)\( T^{40} + \)\(42\!\cdots\!90\)\( T^{41} + \)\(36\!\cdots\!86\)\( T^{42} + \)\(31\!\cdots\!40\)\( T^{43} + \)\(26\!\cdots\!51\)\( T^{44} + \)\(22\!\cdots\!98\)\( T^{45} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{46} + \)\(22\!\cdots\!98\)\( p T^{47} + \)\(26\!\cdots\!51\)\( p^{2} T^{48} + \)\(31\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{49} + \)\(36\!\cdots\!86\)\( p^{4} T^{50} + \)\(42\!\cdots\!90\)\( p^{5} T^{51} + \)\(47\!\cdots\!46\)\( p^{6} T^{52} + \)\(53\!\cdots\!34\)\( p^{7} T^{53} + \)\(59\!\cdots\!50\)\( p^{8} T^{54} + \)\(64\!\cdots\!48\)\( p^{9} T^{55} + \)\(69\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{56} + \)\(72\!\cdots\!86\)\( p^{11} T^{57} + \)\(75\!\cdots\!43\)\( p^{12} T^{58} + \)\(11\!\cdots\!23\)\( p^{14} T^{59} + \)\(78\!\cdots\!42\)\( p^{14} T^{60} + \)\(78\!\cdots\!10\)\( p^{15} T^{61} + \)\(76\!\cdots\!55\)\( p^{16} T^{62} + \)\(73\!\cdots\!06\)\( p^{17} T^{63} + \)\(69\!\cdots\!98\)\( p^{18} T^{64} + \)\(64\!\cdots\!03\)\( p^{19} T^{65} + \)\(58\!\cdots\!57\)\( p^{20} T^{66} + \)\(52\!\cdots\!36\)\( p^{21} T^{67} + \)\(46\!\cdots\!95\)\( p^{22} T^{68} + \)\(39\!\cdots\!58\)\( p^{23} T^{69} + \)\(33\!\cdots\!45\)\( p^{24} T^{70} + \)\(27\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{71} + \)\(21\!\cdots\!38\)\( p^{26} T^{72} + \)\(17\!\cdots\!72\)\( p^{27} T^{73} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( p^{28} T^{74} + \)\(95\!\cdots\!00\)\( p^{29} T^{75} + \)\(68\!\cdots\!90\)\( p^{30} T^{76} + \)\(47\!\cdots\!04\)\( p^{31} T^{77} + 31706023437585600805 p^{32} T^{78} + 2034381386500699762 p^{33} T^{79} + 126201855704808238 p^{34} T^{80} + 7418976402372142 p^{35} T^{81} + 419772475729611 p^{36} T^{82} + 22197233953714 p^{37} T^{83} + 1124024894995 p^{38} T^{84} + 52045196418 p^{39} T^{85} + 2295996021 p^{40} T^{86} + 89119626 p^{41} T^{87} + 3286646 p^{42} T^{88} + 98358 p^{43} T^{89} + 2824 p^{44} T^{90} + 52 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
71 \( 1 + 48 T + 2657 T^{2} + 90672 T^{3} + 3095200 T^{4} + 84430954 T^{5} + 2235529222 T^{6} + 51733369513 T^{7} + 1154646893739 T^{8} + 23484083063152 T^{9} + 460761172247717 T^{10} + 8429169613763295 T^{11} + 149073675347371293 T^{12} + 2493055735153745553 T^{13} + 40410642918139835599 T^{14} + \)\(62\!\cdots\!07\)\( T^{15} + \)\(93\!\cdots\!53\)\( T^{16} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!63\)\( T^{18} + \)\(25\!\cdots\!32\)\( T^{19} + \)\(34\!\cdots\!14\)\( T^{20} + \)\(44\!\cdots\!92\)\( T^{21} + \)\(55\!\cdots\!14\)\( T^{22} + \)\(67\!\cdots\!15\)\( T^{23} + \)\(81\!\cdots\!84\)\( T^{24} + \)\(95\!\cdots\!95\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{26} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( T^{28} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( T^{29} + \)\(15\!\cdots\!67\)\( T^{30} + \)\(15\!\cdots\!17\)\( T^{31} + \)\(16\!\cdots\!28\)\( T^{32} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( T^{33} + \)\(22\!\cdots\!83\)\( p T^{34} + \)\(15\!\cdots\!26\)\( T^{35} + \)\(15\!\cdots\!59\)\( T^{36} + \)\(14\!\cdots\!54\)\( T^{37} + \)\(13\!\cdots\!48\)\( T^{38} + \)\(12\!\cdots\!64\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{40} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( T^{41} + \)\(89\!\cdots\!92\)\( T^{42} + \)\(78\!\cdots\!42\)\( T^{43} + \)\(68\!\cdots\!49\)\( T^{44} + \)\(58\!\cdots\!23\)\( T^{45} + \)\(49\!\cdots\!88\)\( T^{46} + \)\(58\!\cdots\!23\)\( p T^{47} + \)\(68\!\cdots\!49\)\( p^{2} T^{48} + \)\(78\!\cdots\!42\)\( p^{3} T^{49} + \)\(89\!\cdots\!92\)\( p^{4} T^{50} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( p^{5} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( p^{6} T^{52} + \)\(12\!\cdots\!64\)\( p^{7} T^{53} + \)\(13\!\cdots\!48\)\( p^{8} T^{54} + \)\(14\!\cdots\!54\)\( p^{9} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{56} + \)\(15\!\cdots\!26\)\( p^{11} T^{57} + \)\(22\!\cdots\!83\)\( p^{13} T^{58} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( p^{13} T^{59} + \)\(16\!\cdots\!28\)\( p^{14} T^{60} + \)\(15\!\cdots\!17\)\( p^{15} T^{61} + \)\(15\!\cdots\!67\)\( p^{16} T^{62} + \)\(14\!\cdots\!76\)\( p^{17} T^{63} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{18} T^{64} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( p^{19} T^{65} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{20} T^{66} + \)\(95\!\cdots\!95\)\( p^{21} T^{67} + \)\(81\!\cdots\!84\)\( p^{22} T^{68} + \)\(67\!\cdots\!15\)\( p^{23} T^{69} + \)\(55\!\cdots\!14\)\( p^{24} T^{70} + \)\(44\!\cdots\!92\)\( p^{25} T^{71} + \)\(34\!\cdots\!14\)\( p^{26} T^{72} + \)\(25\!\cdots\!32\)\( p^{27} T^{73} + \)\(19\!\cdots\!63\)\( p^{28} T^{74} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{29} T^{75} + \)\(93\!\cdots\!53\)\( p^{30} T^{76} + \)\(62\!\cdots\!07\)\( p^{31} T^{77} + 40410642918139835599 p^{32} T^{78} + 2493055735153745553 p^{33} T^{79} + 149073675347371293 p^{34} T^{80} + 8429169613763295 p^{35} T^{81} + 460761172247717 p^{36} T^{82} + 23484083063152 p^{37} T^{83} + 1154646893739 p^{38} T^{84} + 51733369513 p^{39} T^{85} + 2235529222 p^{40} T^{86} + 84430954 p^{41} T^{87} + 3095200 p^{42} T^{88} + 90672 p^{43} T^{89} + 2657 p^{44} T^{90} + 48 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
73 \( 1 + 39 T + 2492 T^{2} + 78490 T^{3} + 2939561 T^{4} + 78302711 T^{5} + 2219872397 T^{6} + 51590067552 T^{7} + 1217499530310 T^{8} + 25240283187337 T^{9} + 520060034769188 T^{10} + 9777483498762473 T^{11} + 180881839208810479 T^{12} + 3123216809645557351 T^{13} + 52829389823595002058 T^{14} + \)\(84\!\cdots\!56\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!26\)\( T^{16} + \)\(19\!\cdots\!68\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!18\)\( T^{18} + \)\(40\!\cdots\!26\)\( T^{19} + \)\(56\!\cdots\!23\)\( T^{20} + \)\(75\!\cdots\!77\)\( T^{21} + \)\(98\!\cdots\!44\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!68\)\( T^{23} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{24} + \)\(18\!\cdots\!96\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!22\)\( T^{26} + \)\(25\!\cdots\!26\)\( T^{27} + \)\(29\!\cdots\!17\)\( T^{28} + \)\(32\!\cdots\!16\)\( T^{29} + \)\(35\!\cdots\!84\)\( T^{30} + \)\(38\!\cdots\!45\)\( T^{31} + \)\(40\!\cdots\!97\)\( T^{32} + \)\(42\!\cdots\!86\)\( T^{33} + \)\(43\!\cdots\!10\)\( T^{34} + \)\(43\!\cdots\!85\)\( T^{35} + \)\(43\!\cdots\!94\)\( T^{36} + \)\(41\!\cdots\!42\)\( T^{37} + \)\(40\!\cdots\!91\)\( T^{38} + \)\(38\!\cdots\!50\)\( T^{39} + \)\(35\!\cdots\!68\)\( T^{40} + \)\(32\!\cdots\!18\)\( T^{41} + \)\(29\!\cdots\!78\)\( T^{42} + \)\(26\!\cdots\!12\)\( T^{43} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( T^{44} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( T^{45} + \)\(17\!\cdots\!88\)\( T^{46} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( p T^{47} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( p^{2} T^{48} + \)\(26\!\cdots\!12\)\( p^{3} T^{49} + \)\(29\!\cdots\!78\)\( p^{4} T^{50} + \)\(32\!\cdots\!18\)\( p^{5} T^{51} + \)\(35\!\cdots\!68\)\( p^{6} T^{52} + \)\(38\!\cdots\!50\)\( p^{7} T^{53} + \)\(40\!\cdots\!91\)\( p^{8} T^{54} + \)\(41\!\cdots\!42\)\( p^{9} T^{55} + \)\(43\!\cdots\!94\)\( p^{10} T^{56} + \)\(43\!\cdots\!85\)\( p^{11} T^{57} + \)\(43\!\cdots\!10\)\( p^{12} T^{58} + \)\(42\!\cdots\!86\)\( p^{13} T^{59} + \)\(40\!\cdots\!97\)\( p^{14} T^{60} + \)\(38\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{61} + \)\(35\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{62} + \)\(32\!\cdots\!16\)\( p^{17} T^{63} + \)\(29\!\cdots\!17\)\( p^{18} T^{64} + \)\(25\!\cdots\!26\)\( p^{19} T^{65} + \)\(22\!\cdots\!22\)\( p^{20} T^{66} + \)\(18\!\cdots\!96\)\( p^{21} T^{67} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( p^{22} T^{68} + \)\(12\!\cdots\!68\)\( p^{23} T^{69} + \)\(98\!\cdots\!44\)\( p^{24} T^{70} + \)\(75\!\cdots\!77\)\( p^{25} T^{71} + \)\(56\!\cdots\!23\)\( p^{26} T^{72} + \)\(40\!\cdots\!26\)\( p^{27} T^{73} + \)\(29\!\cdots\!18\)\( p^{28} T^{74} + \)\(19\!\cdots\!68\)\( p^{29} T^{75} + \)\(13\!\cdots\!26\)\( p^{30} T^{76} + \)\(84\!\cdots\!56\)\( p^{31} T^{77} + 52829389823595002058 p^{32} T^{78} + 3123216809645557351 p^{33} T^{79} + 180881839208810479 p^{34} T^{80} + 9777483498762473 p^{35} T^{81} + 520060034769188 p^{36} T^{82} + 25240283187337 p^{37} T^{83} + 1217499530310 p^{38} T^{84} + 51590067552 p^{39} T^{85} + 2219872397 p^{40} T^{86} + 78302711 p^{41} T^{87} + 2939561 p^{42} T^{88} + 78490 p^{43} T^{89} + 2492 p^{44} T^{90} + 39 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
79 \( 1 + 26 T + 2225 T^{2} + 50283 T^{3} + 2398058 T^{4} + 48348245 T^{5} + 1684307061 T^{6} + 30857446915 T^{7} + 872382846646 T^{8} + 14722425379030 T^{9} + 356866299433302 T^{10} + 5605978254384063 T^{11} + 120452577596480292 T^{12} + 1775890434918191587 T^{13} + 34579295206487323758 T^{14} + \)\(48\!\cdots\!02\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!13\)\( p T^{16} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!64\)\( T^{18} + \)\(24\!\cdots\!29\)\( T^{19} + \)\(37\!\cdots\!03\)\( T^{20} + \)\(45\!\cdots\!44\)\( T^{21} + \)\(67\!\cdots\!22\)\( T^{22} + \)\(78\!\cdots\!21\)\( T^{23} + \)\(11\!\cdots\!66\)\( T^{24} + \)\(12\!\cdots\!59\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!94\)\( T^{26} + \)\(18\!\cdots\!08\)\( T^{27} + \)\(23\!\cdots\!07\)\( T^{28} + \)\(24\!\cdots\!87\)\( T^{29} + \)\(30\!\cdots\!73\)\( T^{30} + \)\(30\!\cdots\!88\)\( T^{31} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{32} + \)\(36\!\cdots\!75\)\( T^{33} + \)\(42\!\cdots\!43\)\( T^{34} + \)\(40\!\cdots\!53\)\( T^{35} + \)\(45\!\cdots\!59\)\( T^{36} + \)\(42\!\cdots\!19\)\( T^{37} + \)\(45\!\cdots\!05\)\( T^{38} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( T^{39} + \)\(43\!\cdots\!44\)\( T^{40} + \)\(38\!\cdots\!64\)\( T^{41} + \)\(39\!\cdots\!84\)\( T^{42} + \)\(34\!\cdots\!16\)\( T^{43} + \)\(34\!\cdots\!24\)\( T^{44} + \)\(28\!\cdots\!84\)\( T^{45} + \)\(27\!\cdots\!66\)\( T^{46} + \)\(28\!\cdots\!84\)\( p T^{47} + \)\(34\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{48} + \)\(34\!\cdots\!16\)\( p^{3} T^{49} + \)\(39\!\cdots\!84\)\( p^{4} T^{50} + \)\(38\!\cdots\!64\)\( p^{5} T^{51} + \)\(43\!\cdots\!44\)\( p^{6} T^{52} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( p^{7} T^{53} + \)\(45\!\cdots\!05\)\( p^{8} T^{54} + \)\(42\!\cdots\!19\)\( p^{9} T^{55} + \)\(45\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{56} + \)\(40\!\cdots\!53\)\( p^{11} T^{57} + \)\(42\!\cdots\!43\)\( p^{12} T^{58} + \)\(36\!\cdots\!75\)\( p^{13} T^{59} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( p^{14} T^{60} + \)\(30\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{61} + \)\(30\!\cdots\!73\)\( p^{16} T^{62} + \)\(24\!\cdots\!87\)\( p^{17} T^{63} + \)\(23\!\cdots\!07\)\( p^{18} T^{64} + \)\(18\!\cdots\!08\)\( p^{19} T^{65} + \)\(16\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{66} + \)\(12\!\cdots\!59\)\( p^{21} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!66\)\( p^{22} T^{68} + \)\(78\!\cdots\!21\)\( p^{23} T^{69} + \)\(67\!\cdots\!22\)\( p^{24} T^{70} + \)\(45\!\cdots\!44\)\( p^{25} T^{71} + \)\(37\!\cdots\!03\)\( p^{26} T^{72} + \)\(24\!\cdots\!29\)\( p^{27} T^{73} + \)\(19\!\cdots\!64\)\( p^{28} T^{74} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{29} T^{75} + \)\(10\!\cdots\!13\)\( p^{31} T^{76} + \)\(48\!\cdots\!02\)\( p^{31} T^{77} + 34579295206487323758 p^{32} T^{78} + 1775890434918191587 p^{33} T^{79} + 120452577596480292 p^{34} T^{80} + 5605978254384063 p^{35} T^{81} + 356866299433302 p^{36} T^{82} + 14722425379030 p^{37} T^{83} + 872382846646 p^{38} T^{84} + 30857446915 p^{39} T^{85} + 1684307061 p^{40} T^{86} + 48348245 p^{41} T^{87} + 2398058 p^{42} T^{88} + 50283 p^{43} T^{89} + 2225 p^{44} T^{90} + 26 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
83 \( 1 + 47 T + 3262 T^{2} + 116489 T^{3} + 4811833 T^{4} + 141506646 T^{5} + 4443375774 T^{6} + 112588371478 T^{7} + 2942739073191 T^{8} + 66113260488025 T^{9} + 1506272070271552 T^{10} + 30599402595250972 T^{11} + 624679673573500897 T^{12} + 11638629507633237402 T^{13} + \)\(21\!\cdots\!19\)\( T^{14} + \)\(37\!\cdots\!13\)\( T^{15} + \)\(64\!\cdots\!11\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!88\)\( T^{18} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(38\!\cdots\!61\)\( T^{20} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( T^{21} + \)\(78\!\cdots\!13\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!26\)\( T^{23} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( T^{24} + \)\(19\!\cdots\!05\)\( T^{25} + \)\(24\!\cdots\!41\)\( T^{26} + \)\(31\!\cdots\!69\)\( T^{27} + \)\(38\!\cdots\!70\)\( T^{28} + \)\(46\!\cdots\!35\)\( T^{29} + \)\(55\!\cdots\!61\)\( T^{30} + \)\(63\!\cdots\!12\)\( T^{31} + \)\(73\!\cdots\!36\)\( T^{32} + \)\(81\!\cdots\!77\)\( T^{33} + \)\(90\!\cdots\!55\)\( T^{34} + \)\(97\!\cdots\!49\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( T^{37} + \)\(11\!\cdots\!77\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!83\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!23\)\( T^{40} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{41} + \)\(11\!\cdots\!30\)\( T^{42} + \)\(10\!\cdots\!85\)\( T^{43} + \)\(10\!\cdots\!45\)\( T^{44} + \)\(92\!\cdots\!68\)\( T^{45} + \)\(85\!\cdots\!20\)\( T^{46} + \)\(92\!\cdots\!68\)\( p T^{47} + \)\(10\!\cdots\!45\)\( p^{2} T^{48} + \)\(10\!\cdots\!85\)\( p^{3} T^{49} + \)\(11\!\cdots\!30\)\( p^{4} T^{50} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!23\)\( p^{6} T^{52} + \)\(11\!\cdots\!83\)\( p^{7} T^{53} + \)\(11\!\cdots\!77\)\( p^{8} T^{54} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( p^{9} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{56} + \)\(97\!\cdots\!49\)\( p^{11} T^{57} + \)\(90\!\cdots\!55\)\( p^{12} T^{58} + \)\(81\!\cdots\!77\)\( p^{13} T^{59} + \)\(73\!\cdots\!36\)\( p^{14} T^{60} + \)\(63\!\cdots\!12\)\( p^{15} T^{61} + \)\(55\!\cdots\!61\)\( p^{16} T^{62} + \)\(46\!\cdots\!35\)\( p^{17} T^{63} + \)\(38\!\cdots\!70\)\( p^{18} T^{64} + \)\(31\!\cdots\!69\)\( p^{19} T^{65} + \)\(24\!\cdots\!41\)\( p^{20} T^{66} + \)\(19\!\cdots\!05\)\( p^{21} T^{67} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( p^{22} T^{68} + \)\(10\!\cdots\!26\)\( p^{23} T^{69} + \)\(78\!\cdots\!13\)\( p^{24} T^{70} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( p^{25} T^{71} + \)\(38\!\cdots\!61\)\( p^{26} T^{72} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( p^{27} T^{73} + \)\(16\!\cdots\!88\)\( p^{28} T^{74} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( p^{29} T^{75} + \)\(64\!\cdots\!11\)\( p^{30} T^{76} + \)\(37\!\cdots\!13\)\( p^{31} T^{77} + \)\(21\!\cdots\!19\)\( p^{32} T^{78} + 11638629507633237402 p^{33} T^{79} + 624679673573500897 p^{34} T^{80} + 30599402595250972 p^{35} T^{81} + 1506272070271552 p^{36} T^{82} + 66113260488025 p^{37} T^{83} + 2942739073191 p^{38} T^{84} + 112588371478 p^{39} T^{85} + 4443375774 p^{40} T^{86} + 141506646 p^{41} T^{87} + 4811833 p^{42} T^{88} + 116489 p^{43} T^{89} + 3262 p^{44} T^{90} + 47 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
89 \( 1 + 58 T + 3530 T^{2} + 140163 T^{3} + 5328318 T^{4} + 166944889 T^{5} + 4956857973 T^{6} + 131146782877 T^{7} + 3298702351172 T^{8} + 76627663803578 T^{9} + 1701454378739229 T^{10} + 35579014765371325 T^{11} + 714865873448113277 T^{12} + 13689575532181480020 T^{13} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( T^{14} + \)\(44\!\cdots\!24\)\( T^{15} + \)\(77\!\cdots\!02\)\( T^{16} + \)\(12\!\cdots\!46\)\( T^{17} + \)\(20\!\cdots\!09\)\( T^{18} + \)\(32\!\cdots\!37\)\( T^{19} + \)\(49\!\cdots\!51\)\( T^{20} + \)\(73\!\cdots\!65\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{22} + \)\(15\!\cdots\!72\)\( T^{23} + \)\(20\!\cdots\!97\)\( T^{24} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( T^{25} + \)\(37\!\cdots\!55\)\( T^{26} + \)\(48\!\cdots\!85\)\( T^{27} + \)\(62\!\cdots\!39\)\( T^{28} + \)\(77\!\cdots\!36\)\( T^{29} + \)\(95\!\cdots\!39\)\( T^{30} + \)\(11\!\cdots\!18\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!45\)\( T^{32} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( T^{33} + \)\(18\!\cdots\!83\)\( T^{34} + \)\(20\!\cdots\!81\)\( T^{35} + \)\(22\!\cdots\!30\)\( T^{36} + \)\(24\!\cdots\!11\)\( T^{37} + \)\(26\!\cdots\!21\)\( T^{38} + \)\(27\!\cdots\!98\)\( T^{39} + \)\(28\!\cdots\!72\)\( T^{40} + \)\(29\!\cdots\!15\)\( T^{41} + \)\(29\!\cdots\!22\)\( T^{42} + \)\(29\!\cdots\!71\)\( T^{43} + \)\(28\!\cdots\!36\)\( T^{44} + \)\(27\!\cdots\!46\)\( T^{45} + \)\(26\!\cdots\!92\)\( T^{46} + \)\(27\!\cdots\!46\)\( p T^{47} + \)\(28\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{48} + \)\(29\!\cdots\!71\)\( p^{3} T^{49} + \)\(29\!\cdots\!22\)\( p^{4} T^{50} + \)\(29\!\cdots\!15\)\( p^{5} T^{51} + \)\(28\!\cdots\!72\)\( p^{6} T^{52} + \)\(27\!\cdots\!98\)\( p^{7} T^{53} + \)\(26\!\cdots\!21\)\( p^{8} T^{54} + \)\(24\!\cdots\!11\)\( p^{9} T^{55} + \)\(22\!\cdots\!30\)\( p^{10} T^{56} + \)\(20\!\cdots\!81\)\( p^{11} T^{57} + \)\(18\!\cdots\!83\)\( p^{12} T^{58} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( p^{13} T^{59} + \)\(13\!\cdots\!45\)\( p^{14} T^{60} + \)\(11\!\cdots\!18\)\( p^{15} T^{61} + \)\(95\!\cdots\!39\)\( p^{16} T^{62} + \)\(77\!\cdots\!36\)\( p^{17} T^{63} + \)\(62\!\cdots\!39\)\( p^{18} T^{64} + \)\(48\!\cdots\!85\)\( p^{19} T^{65} + \)\(37\!\cdots\!55\)\( p^{20} T^{66} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( p^{21} T^{67} + \)\(20\!\cdots\!97\)\( p^{22} T^{68} + \)\(15\!\cdots\!72\)\( p^{23} T^{69} + \)\(10\!\cdots\!38\)\( p^{24} T^{70} + \)\(73\!\cdots\!65\)\( p^{25} T^{71} + \)\(49\!\cdots\!51\)\( p^{26} T^{72} + \)\(32\!\cdots\!37\)\( p^{27} T^{73} + \)\(20\!\cdots\!09\)\( p^{28} T^{74} + \)\(12\!\cdots\!46\)\( p^{29} T^{75} + \)\(77\!\cdots\!02\)\( p^{30} T^{76} + \)\(44\!\cdots\!24\)\( p^{31} T^{77} + \)\(25\!\cdots\!27\)\( p^{32} T^{78} + 13689575532181480020 p^{33} T^{79} + 714865873448113277 p^{34} T^{80} + 35579014765371325 p^{35} T^{81} + 1701454378739229 p^{36} T^{82} + 76627663803578 p^{37} T^{83} + 3298702351172 p^{38} T^{84} + 131146782877 p^{39} T^{85} + 4956857973 p^{40} T^{86} + 166944889 p^{41} T^{87} + 5328318 p^{42} T^{88} + 140163 p^{43} T^{89} + 3530 p^{44} T^{90} + 58 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
97 \( 1 + 44 T + 28 p T^{2} + 89879 T^{3} + 3360729 T^{4} + 91662022 T^{5} + 2637781748 T^{6} + 62235967187 T^{7} + 1505179267780 T^{8} + 31641793177160 T^{9} + 672384111168400 T^{10} + 12844521349785497 T^{11} + 246245476340475339 T^{12} + 4334852512150592806 T^{13} + 76292132621349391177 T^{14} + \)\(12\!\cdots\!82\)\( T^{15} + \)\(20\!\cdots\!60\)\( T^{16} + \)\(31\!\cdots\!38\)\( T^{17} + \)\(48\!\cdots\!19\)\( T^{18} + \)\(70\!\cdots\!80\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!31\)\( T^{20} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( T^{21} + \)\(19\!\cdots\!82\)\( T^{22} + \)\(25\!\cdots\!09\)\( T^{23} + \)\(33\!\cdots\!75\)\( T^{24} + \)\(42\!\cdots\!16\)\( T^{25} + \)\(53\!\cdots\!02\)\( T^{26} + \)\(64\!\cdots\!12\)\( T^{27} + \)\(78\!\cdots\!39\)\( T^{28} + \)\(91\!\cdots\!58\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!47\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( p T^{31} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{32} + \)\(14\!\cdots\!90\)\( T^{33} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( T^{34} + \)\(17\!\cdots\!19\)\( T^{35} + \)\(18\!\cdots\!11\)\( T^{36} + \)\(19\!\cdots\!61\)\( T^{37} + \)\(20\!\cdots\!94\)\( T^{38} + \)\(21\!\cdots\!35\)\( T^{39} + \)\(21\!\cdots\!94\)\( T^{40} + \)\(22\!\cdots\!90\)\( T^{41} + \)\(22\!\cdots\!95\)\( T^{42} + \)\(22\!\cdots\!03\)\( T^{43} + \)\(22\!\cdots\!68\)\( T^{44} + \)\(22\!\cdots\!64\)\( T^{45} + \)\(22\!\cdots\!56\)\( T^{46} + \)\(22\!\cdots\!64\)\( p T^{47} + \)\(22\!\cdots\!68\)\( p^{2} T^{48} + \)\(22\!\cdots\!03\)\( p^{3} T^{49} + \)\(22\!\cdots\!95\)\( p^{4} T^{50} + \)\(22\!\cdots\!90\)\( p^{5} T^{51} + \)\(21\!\cdots\!94\)\( p^{6} T^{52} + \)\(21\!\cdots\!35\)\( p^{7} T^{53} + \)\(20\!\cdots\!94\)\( p^{8} T^{54} + \)\(19\!\cdots\!61\)\( p^{9} T^{55} + \)\(18\!\cdots\!11\)\( p^{10} T^{56} + \)\(17\!\cdots\!19\)\( p^{11} T^{57} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{12} T^{58} + \)\(14\!\cdots\!90\)\( p^{13} T^{59} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( p^{14} T^{60} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( p^{16} T^{61} + \)\(10\!\cdots\!47\)\( p^{16} T^{62} + \)\(91\!\cdots\!58\)\( p^{17} T^{63} + \)\(78\!\cdots\!39\)\( p^{18} T^{64} + \)\(64\!\cdots\!12\)\( p^{19} T^{65} + \)\(53\!\cdots\!02\)\( p^{20} T^{66} + \)\(42\!\cdots\!16\)\( p^{21} T^{67} + \)\(33\!\cdots\!75\)\( p^{22} T^{68} + \)\(25\!\cdots\!09\)\( p^{23} T^{69} + \)\(19\!\cdots\!82\)\( p^{24} T^{70} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( p^{25} T^{71} + \)\(10\!\cdots\!31\)\( p^{26} T^{72} + \)\(70\!\cdots\!80\)\( p^{27} T^{73} + \)\(48\!\cdots\!19\)\( p^{28} T^{74} + \)\(31\!\cdots\!38\)\( p^{29} T^{75} + \)\(20\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{76} + \)\(12\!\cdots\!82\)\( p^{31} T^{77} + 76292132621349391177 p^{32} T^{78} + 4334852512150592806 p^{33} T^{79} + 246245476340475339 p^{34} T^{80} + 12844521349785497 p^{35} T^{81} + 672384111168400 p^{36} T^{82} + 31641793177160 p^{37} T^{83} + 1505179267780 p^{38} T^{84} + 62235967187 p^{39} T^{85} + 2637781748 p^{40} T^{86} + 91662022 p^{41} T^{87} + 3360729 p^{42} T^{88} + 89879 p^{43} T^{89} + 28 p^{45} T^{90} + 44 p^{45} T^{91} + p^{46} T^{92} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{92} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.40658309437981031733246350617, −1.39264554737674375749785648090, −1.39017647734735117037451265304, −1.35101860963026278176394700064, −1.32787373782058694017965704521, −1.28862757600481299195377345374, −1.28527487009159258968087057841, −1.27874478019351404392992755590, −1.27015701863682697104644227239, −1.26429119359557285852917570546, −1.24887529611652337040486696325, −1.19647127682028224143356119971, −1.12832845045148973975759589311, −1.12592063727972048621488811972, −1.11657940033719194465788730654, −1.11116432799895147395346002334, −1.09095786124540078117228624744, −1.08128136158049455557082829874, −1.06358501619639505313832618390, −1.06274911894937543024746736046, −0.993350212763072398355099512923, −0.959414170124880857611425430628, −0.932247115006207192406969078461, −0.921769575436422684557626593663, −0.75505805864873894824777186711, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.75505805864873894824777186711, 0.921769575436422684557626593663, 0.932247115006207192406969078461, 0.959414170124880857611425430628, 0.993350212763072398355099512923, 1.06274911894937543024746736046, 1.06358501619639505313832618390, 1.08128136158049455557082829874, 1.09095786124540078117228624744, 1.11116432799895147395346002334, 1.11657940033719194465788730654, 1.12592063727972048621488811972, 1.12832845045148973975759589311, 1.19647127682028224143356119971, 1.24887529611652337040486696325, 1.26429119359557285852917570546, 1.27015701863682697104644227239, 1.27874478019351404392992755590, 1.28527487009159258968087057841, 1.28862757600481299195377345374, 1.32787373782058694017965704521, 1.35101860963026278176394700064, 1.39017647734735117037451265304, 1.39264554737674375749785648090, 1.40658309437981031733246350617

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.