Properties

Degree 36
Conductor $ 3^{36} \cdot 7^{18} \cdot 127^{18} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 6·2-s + 11·4-s + 10·5-s + 18·7-s − 3·8-s + 60·10-s + 9·11-s − 25·13-s + 108·14-s − 32·16-s + 17·17-s − 5·19-s + 110·20-s + 54·22-s + 14·23-s + 19·25-s − 150·26-s + 198·28-s + 17·29-s + 5·31-s − 20·32-s + 102·34-s + 180·35-s − 15·37-s − 30·38-s − 30·40-s + 17·41-s + ⋯
L(s)  = 1  + 4.24·2-s + 11/2·4-s + 4.47·5-s + 6.80·7-s − 1.06·8-s + 18.9·10-s + 2.71·11-s − 6.93·13-s + 28.8·14-s − 8·16-s + 4.12·17-s − 1.14·19-s + 24.5·20-s + 11.5·22-s + 2.91·23-s + 19/5·25-s − 29.4·26-s + 37.4·28-s + 3.15·29-s + 0.898·31-s − 3.53·32-s + 17.4·34-s + 30.4·35-s − 2.46·37-s − 4.86·38-s − 4.74·40-s + 2.65·41-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{36} \cdot 7^{18} \cdot 127^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{36} \cdot 7^{18} \cdot 127^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(36\)
\( N \)  =  \(3^{36} \cdot 7^{18} \cdot 127^{18}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{8001} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  0
Selberg data  =  $(36,\ 3^{36} \cdot 7^{18} \cdot 127^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )$
$L(1)$  $\approx$  $167110.5316$
$L(\frac12)$  $\approx$  $167110.5316$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{3,\;7,\;127\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 36. If $p \in \{3,\;7,\;127\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 35.
$p$$F_p$
bad3 \( 1 \)
7 \( ( 1 - T )^{18} \)
127 \( ( 1 - T )^{18} \)
good2 \( 1 - 3 p T + 25 T^{2} - 81 T^{3} + 225 T^{4} - 139 p^{2} T^{5} + 157 p^{3} T^{6} - 165 p^{4} T^{7} + 5231 T^{8} - 4921 p T^{9} + 4431 p^{2} T^{10} - 3835 p^{3} T^{11} + 51321 T^{12} - 41605 p T^{13} + 131171 T^{14} - 201431 T^{15} + 150925 p T^{16} - 220847 p T^{17} + 39491 p^{4} T^{18} - 220847 p^{2} T^{19} + 150925 p^{3} T^{20} - 201431 p^{3} T^{21} + 131171 p^{4} T^{22} - 41605 p^{6} T^{23} + 51321 p^{6} T^{24} - 3835 p^{10} T^{25} + 4431 p^{10} T^{26} - 4921 p^{10} T^{27} + 5231 p^{10} T^{28} - 165 p^{15} T^{29} + 157 p^{15} T^{30} - 139 p^{15} T^{31} + 225 p^{14} T^{32} - 81 p^{15} T^{33} + 25 p^{16} T^{34} - 3 p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
5 \( 1 - 2 p T + 81 T^{2} - 476 T^{3} + 2454 T^{4} - 10782 T^{5} + 43074 T^{6} - 30839 p T^{7} + 511259 T^{8} - 1553151 T^{9} + 4417176 T^{10} - 11648601 T^{11} + 29006707 T^{12} - 67663733 T^{13} + 30235922 p T^{14} - 322803966 T^{15} + 27317963 p^{2} T^{16} - 1441859622 T^{17} + 3174135542 T^{18} - 1441859622 p T^{19} + 27317963 p^{4} T^{20} - 322803966 p^{3} T^{21} + 30235922 p^{5} T^{22} - 67663733 p^{5} T^{23} + 29006707 p^{6} T^{24} - 11648601 p^{7} T^{25} + 4417176 p^{8} T^{26} - 1553151 p^{9} T^{27} + 511259 p^{10} T^{28} - 30839 p^{12} T^{29} + 43074 p^{12} T^{30} - 10782 p^{13} T^{31} + 2454 p^{14} T^{32} - 476 p^{15} T^{33} + 81 p^{16} T^{34} - 2 p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
11 \( 1 - 9 T + 123 T^{2} - 853 T^{3} + 7075 T^{4} - 40936 T^{5} + 262862 T^{6} - 1328997 T^{7} + 7225154 T^{8} - 32841991 T^{9} + 157994657 T^{10} - 657379783 T^{11} + 2869404622 T^{12} - 11054117909 T^{13} + 4040799434 p T^{14} - 159662650340 T^{15} + 596925478628 T^{16} - 2006578164628 T^{17} + 7011320772848 T^{18} - 2006578164628 p T^{19} + 596925478628 p^{2} T^{20} - 159662650340 p^{3} T^{21} + 4040799434 p^{5} T^{22} - 11054117909 p^{5} T^{23} + 2869404622 p^{6} T^{24} - 657379783 p^{7} T^{25} + 157994657 p^{8} T^{26} - 32841991 p^{9} T^{27} + 7225154 p^{10} T^{28} - 1328997 p^{11} T^{29} + 262862 p^{12} T^{30} - 40936 p^{13} T^{31} + 7075 p^{14} T^{32} - 853 p^{15} T^{33} + 123 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
13 \( 1 + 25 T + 385 T^{2} + 4370 T^{3} + 40821 T^{4} + 328011 T^{5} + 2348286 T^{6} + 15262673 T^{7} + 91519666 T^{8} + 511265569 T^{9} + 206496161 p T^{10} + 13324020516 T^{11} + 62851127050 T^{12} + 282769818174 T^{13} + 93651083494 p T^{14} + 5026930729070 T^{15} + 19945274556838 T^{16} + 76121573741284 T^{17} + 279708125871724 T^{18} + 76121573741284 p T^{19} + 19945274556838 p^{2} T^{20} + 5026930729070 p^{3} T^{21} + 93651083494 p^{5} T^{22} + 282769818174 p^{5} T^{23} + 62851127050 p^{6} T^{24} + 13324020516 p^{7} T^{25} + 206496161 p^{9} T^{26} + 511265569 p^{9} T^{27} + 91519666 p^{10} T^{28} + 15262673 p^{11} T^{29} + 2348286 p^{12} T^{30} + 328011 p^{13} T^{31} + 40821 p^{14} T^{32} + 4370 p^{15} T^{33} + 385 p^{16} T^{34} + 25 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
17 \( 1 - p T + 271 T^{2} - 2811 T^{3} + 27324 T^{4} - 215198 T^{5} + 1613920 T^{6} - 10643807 T^{7} + 67598476 T^{8} - 393720197 T^{9} + 2219851055 T^{10} - 11763913489 T^{11} + 60437526881 T^{12} - 296473981529 T^{13} + 1409837991942 T^{14} - 6467854453086 T^{15} + 28753111843606 T^{16} - 124072891149114 T^{17} + 518698939431416 T^{18} - 124072891149114 p T^{19} + 28753111843606 p^{2} T^{20} - 6467854453086 p^{3} T^{21} + 1409837991942 p^{4} T^{22} - 296473981529 p^{5} T^{23} + 60437526881 p^{6} T^{24} - 11763913489 p^{7} T^{25} + 2219851055 p^{8} T^{26} - 393720197 p^{9} T^{27} + 67598476 p^{10} T^{28} - 10643807 p^{11} T^{29} + 1613920 p^{12} T^{30} - 215198 p^{13} T^{31} + 27324 p^{14} T^{32} - 2811 p^{15} T^{33} + 271 p^{16} T^{34} - p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
19 \( 1 + 5 T + 147 T^{2} + 706 T^{3} + 11220 T^{4} + 54388 T^{5} + 598059 T^{6} + 2947928 T^{7} + 24930876 T^{8} + 123855871 T^{9} + 863216513 T^{10} + 4247612067 T^{11} + 25659749354 T^{12} + 122670371696 T^{13} + 666353734551 T^{14} + 160362415302 p T^{15} + 15241373221617 T^{16} + 65964543118195 T^{17} + 307973464968892 T^{18} + 65964543118195 p T^{19} + 15241373221617 p^{2} T^{20} + 160362415302 p^{4} T^{21} + 666353734551 p^{4} T^{22} + 122670371696 p^{5} T^{23} + 25659749354 p^{6} T^{24} + 4247612067 p^{7} T^{25} + 863216513 p^{8} T^{26} + 123855871 p^{9} T^{27} + 24930876 p^{10} T^{28} + 2947928 p^{11} T^{29} + 598059 p^{12} T^{30} + 54388 p^{13} T^{31} + 11220 p^{14} T^{32} + 706 p^{15} T^{33} + 147 p^{16} T^{34} + 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
23 \( 1 - 14 T + 241 T^{2} - 2165 T^{3} + 22937 T^{4} - 159770 T^{5} + 1348211 T^{6} - 7982781 T^{7} + 59782924 T^{8} - 318639178 T^{9} + 2236451198 T^{10} - 482339772 p T^{11} + 74232434192 T^{12} - 346225007891 T^{13} + 2204529109109 T^{14} - 9680284070456 T^{15} + 58671559445850 T^{16} - 244022213085305 T^{17} + 1413668128204946 T^{18} - 244022213085305 p T^{19} + 58671559445850 p^{2} T^{20} - 9680284070456 p^{3} T^{21} + 2204529109109 p^{4} T^{22} - 346225007891 p^{5} T^{23} + 74232434192 p^{6} T^{24} - 482339772 p^{8} T^{25} + 2236451198 p^{8} T^{26} - 318639178 p^{9} T^{27} + 59782924 p^{10} T^{28} - 7982781 p^{11} T^{29} + 1348211 p^{12} T^{30} - 159770 p^{13} T^{31} + 22937 p^{14} T^{32} - 2165 p^{15} T^{33} + 241 p^{16} T^{34} - 14 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
29 \( 1 - 17 T + 417 T^{2} - 5334 T^{3} + 78106 T^{4} - 813038 T^{5} + 9035294 T^{6} - 80040114 T^{7} + 737367708 T^{8} - 5722271524 T^{9} + 45743439048 T^{10} - 317607890130 T^{11} + 2268138488862 T^{12} - 14333282840010 T^{13} + 3221150772746 p T^{14} - 545192523955726 T^{15} + 3295455203397803 T^{16} - 17965463101032459 T^{17} + 101749592417859630 T^{18} - 17965463101032459 p T^{19} + 3295455203397803 p^{2} T^{20} - 545192523955726 p^{3} T^{21} + 3221150772746 p^{5} T^{22} - 14333282840010 p^{5} T^{23} + 2268138488862 p^{6} T^{24} - 317607890130 p^{7} T^{25} + 45743439048 p^{8} T^{26} - 5722271524 p^{9} T^{27} + 737367708 p^{10} T^{28} - 80040114 p^{11} T^{29} + 9035294 p^{12} T^{30} - 813038 p^{13} T^{31} + 78106 p^{14} T^{32} - 5334 p^{15} T^{33} + 417 p^{16} T^{34} - 17 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
31 \( 1 - 5 T + 345 T^{2} - 47 p T^{3} + 56911 T^{4} - 201348 T^{5} + 6039940 T^{6} - 17777850 T^{7} + 469396428 T^{8} - 1148134577 T^{9} + 28833727003 T^{10} - 59197956874 T^{11} + 1470588580318 T^{12} - 2592870701857 T^{13} + 64165914583760 T^{14} - 100158175269391 T^{15} + 2432313210501904 T^{16} - 3462335844380129 T^{17} + 80591864885992316 T^{18} - 3462335844380129 p T^{19} + 2432313210501904 p^{2} T^{20} - 100158175269391 p^{3} T^{21} + 64165914583760 p^{4} T^{22} - 2592870701857 p^{5} T^{23} + 1470588580318 p^{6} T^{24} - 59197956874 p^{7} T^{25} + 28833727003 p^{8} T^{26} - 1148134577 p^{9} T^{27} + 469396428 p^{10} T^{28} - 17777850 p^{11} T^{29} + 6039940 p^{12} T^{30} - 201348 p^{13} T^{31} + 56911 p^{14} T^{32} - 47 p^{16} T^{33} + 345 p^{16} T^{34} - 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
37 \( 1 + 15 T + 366 T^{2} + 4166 T^{3} + 63112 T^{4} + 600801 T^{5} + 7118236 T^{6} + 59182921 T^{7} + 595812423 T^{8} + 4428544822 T^{9} + 39581642519 T^{10} + 267508054476 T^{11} + 2185412894544 T^{12} + 13627736681152 T^{13} + 104028964880528 T^{14} + 607397885300872 T^{15} + 4406318113508128 T^{16} + 24433425678421227 T^{17} + 170043359575354066 T^{18} + 24433425678421227 p T^{19} + 4406318113508128 p^{2} T^{20} + 607397885300872 p^{3} T^{21} + 104028964880528 p^{4} T^{22} + 13627736681152 p^{5} T^{23} + 2185412894544 p^{6} T^{24} + 267508054476 p^{7} T^{25} + 39581642519 p^{8} T^{26} + 4428544822 p^{9} T^{27} + 595812423 p^{10} T^{28} + 59182921 p^{11} T^{29} + 7118236 p^{12} T^{30} + 600801 p^{13} T^{31} + 63112 p^{14} T^{32} + 4166 p^{15} T^{33} + 366 p^{16} T^{34} + 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
41 \( 1 - 17 T + 587 T^{2} - 7983 T^{3} + 157437 T^{4} - 1804251 T^{5} + 26303394 T^{6} - 262317360 T^{7} + 3118583347 T^{8} - 27662680979 T^{9} + 282270497714 T^{10} - 2263125901586 T^{11} + 20458023064018 T^{12} - 3661475185153 p T^{13} + 1228554873931248 T^{14} - 8330642142077100 T^{15} + 62666398844152637 T^{16} - 395131743262021859 T^{17} + 2758290334846420354 T^{18} - 395131743262021859 p T^{19} + 62666398844152637 p^{2} T^{20} - 8330642142077100 p^{3} T^{21} + 1228554873931248 p^{4} T^{22} - 3661475185153 p^{6} T^{23} + 20458023064018 p^{6} T^{24} - 2263125901586 p^{7} T^{25} + 282270497714 p^{8} T^{26} - 27662680979 p^{9} T^{27} + 3118583347 p^{10} T^{28} - 262317360 p^{11} T^{29} + 26303394 p^{12} T^{30} - 1804251 p^{13} T^{31} + 157437 p^{14} T^{32} - 7983 p^{15} T^{33} + 587 p^{16} T^{34} - 17 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
43 \( 1 - T + 388 T^{2} - 878 T^{3} + 1714 p T^{4} - 275013 T^{5} + 9240295 T^{6} - 48874735 T^{7} + 876579751 T^{8} - 5864621513 T^{9} + 68610867706 T^{10} - 521103359185 T^{11} + 4672717098109 T^{12} - 36435312822151 T^{13} + 282210282216185 T^{14} - 2100029747349757 T^{15} + 15017594037839229 T^{16} - 103445385887703081 T^{17} + 694702110628981988 T^{18} - 103445385887703081 p T^{19} + 15017594037839229 p^{2} T^{20} - 2100029747349757 p^{3} T^{21} + 282210282216185 p^{4} T^{22} - 36435312822151 p^{5} T^{23} + 4672717098109 p^{6} T^{24} - 521103359185 p^{7} T^{25} + 68610867706 p^{8} T^{26} - 5864621513 p^{9} T^{27} + 876579751 p^{10} T^{28} - 48874735 p^{11} T^{29} + 9240295 p^{12} T^{30} - 275013 p^{13} T^{31} + 1714 p^{15} T^{32} - 878 p^{15} T^{33} + 388 p^{16} T^{34} - p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
47 \( 1 - 31 T + 753 T^{2} - 13091 T^{3} + 197274 T^{4} - 2525137 T^{5} + 29473827 T^{6} - 311740727 T^{7} + 3111974218 T^{8} - 29220169105 T^{9} + 264679717261 T^{10} - 2297383543981 T^{11} + 19369688968200 T^{12} - 157133862498639 T^{13} + 1237282175874877 T^{14} - 9385007085387867 T^{15} + 69206387033259215 T^{16} - 493641831656169754 T^{17} + 3436277445562061196 T^{18} - 493641831656169754 p T^{19} + 69206387033259215 p^{2} T^{20} - 9385007085387867 p^{3} T^{21} + 1237282175874877 p^{4} T^{22} - 157133862498639 p^{5} T^{23} + 19369688968200 p^{6} T^{24} - 2297383543981 p^{7} T^{25} + 264679717261 p^{8} T^{26} - 29220169105 p^{9} T^{27} + 3111974218 p^{10} T^{28} - 311740727 p^{11} T^{29} + 29473827 p^{12} T^{30} - 2525137 p^{13} T^{31} + 197274 p^{14} T^{32} - 13091 p^{15} T^{33} + 753 p^{16} T^{34} - 31 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
53 \( 1 - 35 T + 1002 T^{2} - 20303 T^{3} + 359179 T^{4} - 5356293 T^{5} + 72450797 T^{6} - 876498168 T^{7} + 9860866190 T^{8} - 102370151648 T^{9} + 1007118215698 T^{10} - 9336961305420 T^{11} + 83269959064210 T^{12} - 710236502930910 T^{13} + 5888264586633139 T^{14} - 47091839467003009 T^{15} + 367936393518839916 T^{16} - 2782388009045035942 T^{17} + 20583240410282150440 T^{18} - 2782388009045035942 p T^{19} + 367936393518839916 p^{2} T^{20} - 47091839467003009 p^{3} T^{21} + 5888264586633139 p^{4} T^{22} - 710236502930910 p^{5} T^{23} + 83269959064210 p^{6} T^{24} - 9336961305420 p^{7} T^{25} + 1007118215698 p^{8} T^{26} - 102370151648 p^{9} T^{27} + 9860866190 p^{10} T^{28} - 876498168 p^{11} T^{29} + 72450797 p^{12} T^{30} - 5356293 p^{13} T^{31} + 359179 p^{14} T^{32} - 20303 p^{15} T^{33} + 1002 p^{16} T^{34} - 35 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
59 \( 1 - 46 T + 1709 T^{2} - 44939 T^{3} + 1028319 T^{4} - 19836014 T^{5} + 345643777 T^{6} - 5379928797 T^{7} + 77278229780 T^{8} - 1019115860932 T^{9} + 12568554567858 T^{10} - 144505310405158 T^{11} + 1567113639682192 T^{12} - 15990154268072311 T^{13} + 154748085150649455 T^{14} - 1416913606523974460 T^{15} + 12346169576116035044 T^{16} - \)\(10\!\cdots\!35\)\( T^{17} + \)\(80\!\cdots\!90\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!35\)\( p T^{19} + 12346169576116035044 p^{2} T^{20} - 1416913606523974460 p^{3} T^{21} + 154748085150649455 p^{4} T^{22} - 15990154268072311 p^{5} T^{23} + 1567113639682192 p^{6} T^{24} - 144505310405158 p^{7} T^{25} + 12568554567858 p^{8} T^{26} - 1019115860932 p^{9} T^{27} + 77278229780 p^{10} T^{28} - 5379928797 p^{11} T^{29} + 345643777 p^{12} T^{30} - 19836014 p^{13} T^{31} + 1028319 p^{14} T^{32} - 44939 p^{15} T^{33} + 1709 p^{16} T^{34} - 46 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
61 \( 1 + 5 T + 313 T^{2} + 823 T^{3} + 52165 T^{4} + 17522 T^{5} + 6076918 T^{6} - 11076242 T^{7} + 573805076 T^{8} - 2160722153 T^{9} + 47466893999 T^{10} - 243623260628 T^{11} + 3639796890962 T^{12} - 20608000137639 T^{13} + 266055733023234 T^{14} - 1442983180432481 T^{15} + 18359172200402956 T^{16} - 91434935405685095 T^{17} + 1172250317548098592 T^{18} - 91434935405685095 p T^{19} + 18359172200402956 p^{2} T^{20} - 1442983180432481 p^{3} T^{21} + 266055733023234 p^{4} T^{22} - 20608000137639 p^{5} T^{23} + 3639796890962 p^{6} T^{24} - 243623260628 p^{7} T^{25} + 47466893999 p^{8} T^{26} - 2160722153 p^{9} T^{27} + 573805076 p^{10} T^{28} - 11076242 p^{11} T^{29} + 6076918 p^{12} T^{30} + 17522 p^{13} T^{31} + 52165 p^{14} T^{32} + 823 p^{15} T^{33} + 313 p^{16} T^{34} + 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
67 \( 1 - 6 T + 660 T^{2} - 2744 T^{3} + 206847 T^{4} - 546815 T^{5} + 41865837 T^{6} - 58775543 T^{7} + 6267210834 T^{8} - 2850792910 T^{9} + 751996954474 T^{10} + 126073507818 T^{11} + 76266450675238 T^{12} + 35752074266697 T^{13} + 6762717540256435 T^{14} + 3616840565032217 T^{15} + 533791607456110448 T^{16} + 269073439163604974 T^{17} + 37755976465866968420 T^{18} + 269073439163604974 p T^{19} + 533791607456110448 p^{2} T^{20} + 3616840565032217 p^{3} T^{21} + 6762717540256435 p^{4} T^{22} + 35752074266697 p^{5} T^{23} + 76266450675238 p^{6} T^{24} + 126073507818 p^{7} T^{25} + 751996954474 p^{8} T^{26} - 2850792910 p^{9} T^{27} + 6267210834 p^{10} T^{28} - 58775543 p^{11} T^{29} + 41865837 p^{12} T^{30} - 546815 p^{13} T^{31} + 206847 p^{14} T^{32} - 2744 p^{15} T^{33} + 660 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
71 \( 1 - 22 T + 816 T^{2} - 13317 T^{3} + 296343 T^{4} - 3949811 T^{5} + 67461988 T^{6} - 771642797 T^{7} + 11118168119 T^{8} - 112487037082 T^{9} + 1438298463717 T^{10} - 13144317642374 T^{11} + 154065969757915 T^{12} - 1293495497977143 T^{13} + 14217749002563904 T^{14} - 111372864315380429 T^{15} + 1165348206806512150 T^{16} - 8636949642215036499 T^{17} + 86585290392974234382 T^{18} - 8636949642215036499 p T^{19} + 1165348206806512150 p^{2} T^{20} - 111372864315380429 p^{3} T^{21} + 14217749002563904 p^{4} T^{22} - 1293495497977143 p^{5} T^{23} + 154065969757915 p^{6} T^{24} - 13144317642374 p^{7} T^{25} + 1438298463717 p^{8} T^{26} - 112487037082 p^{9} T^{27} + 11118168119 p^{10} T^{28} - 771642797 p^{11} T^{29} + 67461988 p^{12} T^{30} - 3949811 p^{13} T^{31} + 296343 p^{14} T^{32} - 13317 p^{15} T^{33} + 816 p^{16} T^{34} - 22 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
73 \( 1 + 16 T + 774 T^{2} + 11991 T^{3} + 310425 T^{4} + 4494649 T^{5} + 84044592 T^{6} + 1122180182 T^{7} + 17029645739 T^{8} + 209114736738 T^{9} + 2728250649635 T^{10} + 30858797839849 T^{11} + 357339169674251 T^{12} + 3732467329882239 T^{13} + 39092259481718292 T^{14} + 377781559757387694 T^{15} + 3620052404771985744 T^{16} + 32383355156256234226 T^{17} + \)\(28\!\cdots\!94\)\( T^{18} + 32383355156256234226 p T^{19} + 3620052404771985744 p^{2} T^{20} + 377781559757387694 p^{3} T^{21} + 39092259481718292 p^{4} T^{22} + 3732467329882239 p^{5} T^{23} + 357339169674251 p^{6} T^{24} + 30858797839849 p^{7} T^{25} + 2728250649635 p^{8} T^{26} + 209114736738 p^{9} T^{27} + 17029645739 p^{10} T^{28} + 1122180182 p^{11} T^{29} + 84044592 p^{12} T^{30} + 4494649 p^{13} T^{31} + 310425 p^{14} T^{32} + 11991 p^{15} T^{33} + 774 p^{16} T^{34} + 16 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
79 \( 1 - 46 T + 1652 T^{2} - 41934 T^{3} + 913375 T^{4} - 16648169 T^{5} + 272067184 T^{6} - 3944716283 T^{7} + 52754177710 T^{8} - 647408799368 T^{9} + 7513495891584 T^{10} - 82278295480761 T^{11} + 872957218286027 T^{12} - 8937344998796532 T^{13} + 90009306584051938 T^{14} - 11156189008862338 p T^{15} + 8477537143157484023 T^{16} - 78804698976013235469 T^{17} + \)\(71\!\cdots\!12\)\( T^{18} - 78804698976013235469 p T^{19} + 8477537143157484023 p^{2} T^{20} - 11156189008862338 p^{4} T^{21} + 90009306584051938 p^{4} T^{22} - 8937344998796532 p^{5} T^{23} + 872957218286027 p^{6} T^{24} - 82278295480761 p^{7} T^{25} + 7513495891584 p^{8} T^{26} - 647408799368 p^{9} T^{27} + 52754177710 p^{10} T^{28} - 3944716283 p^{11} T^{29} + 272067184 p^{12} T^{30} - 16648169 p^{13} T^{31} + 913375 p^{14} T^{32} - 41934 p^{15} T^{33} + 1652 p^{16} T^{34} - 46 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
83 \( 1 - 46 T + 1803 T^{2} - 49450 T^{3} + 1213637 T^{4} - 25057794 T^{5} + 476001267 T^{6} - 8084141739 T^{7} + 128449477860 T^{8} - 1877750632737 T^{9} + 25963046510186 T^{10} - 335627644220575 T^{11} + 4134348251646044 T^{12} - 48084643546611681 T^{13} + 535631470942771309 T^{14} - 5667781749956354908 T^{15} + 57627441353791009762 T^{16} - \)\(55\!\cdots\!66\)\( T^{17} + \)\(52\!\cdots\!58\)\( T^{18} - \)\(55\!\cdots\!66\)\( p T^{19} + 57627441353791009762 p^{2} T^{20} - 5667781749956354908 p^{3} T^{21} + 535631470942771309 p^{4} T^{22} - 48084643546611681 p^{5} T^{23} + 4134348251646044 p^{6} T^{24} - 335627644220575 p^{7} T^{25} + 25963046510186 p^{8} T^{26} - 1877750632737 p^{9} T^{27} + 128449477860 p^{10} T^{28} - 8084141739 p^{11} T^{29} + 476001267 p^{12} T^{30} - 25057794 p^{13} T^{31} + 1213637 p^{14} T^{32} - 49450 p^{15} T^{33} + 1803 p^{16} T^{34} - 46 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
89 \( 1 - 42 T + 1798 T^{2} - 48793 T^{3} + 1279302 T^{4} - 26760790 T^{5} + 539059369 T^{6} - 9388573567 T^{7} + 157864657375 T^{8} - 2384001838238 T^{9} + 34852410451996 T^{10} - 467195821431568 T^{11} + 6075757390898767 T^{12} - 73334134581530775 T^{13} + 860024600762049203 T^{14} - 9427780194222755892 T^{15} + \)\(10\!\cdots\!59\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{17} + \)\(97\!\cdots\!68\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!07\)\( p T^{19} + \)\(10\!\cdots\!59\)\( p^{2} T^{20} - 9427780194222755892 p^{3} T^{21} + 860024600762049203 p^{4} T^{22} - 73334134581530775 p^{5} T^{23} + 6075757390898767 p^{6} T^{24} - 467195821431568 p^{7} T^{25} + 34852410451996 p^{8} T^{26} - 2384001838238 p^{9} T^{27} + 157864657375 p^{10} T^{28} - 9388573567 p^{11} T^{29} + 539059369 p^{12} T^{30} - 26760790 p^{13} T^{31} + 1279302 p^{14} T^{32} - 48793 p^{15} T^{33} + 1798 p^{16} T^{34} - 42 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
97 \( 1 + 35 T + 1444 T^{2} + 34718 T^{3} + 871617 T^{4} + 16689897 T^{5} + 3343020 p T^{6} + 5304501825 T^{7} + 87089442417 T^{8} + 1261878995611 T^{9} + 18253738121908 T^{10} + 239093914197707 T^{11} + 3119110855161003 T^{12} + 37405451259827487 T^{13} + 446307927225846884 T^{14} + 4938726924768483995 T^{15} + 560279121251989090 p T^{16} + \)\(55\!\cdots\!57\)\( T^{17} + \)\(56\!\cdots\!04\)\( T^{18} + \)\(55\!\cdots\!57\)\( p T^{19} + 560279121251989090 p^{3} T^{20} + 4938726924768483995 p^{3} T^{21} + 446307927225846884 p^{4} T^{22} + 37405451259827487 p^{5} T^{23} + 3119110855161003 p^{6} T^{24} + 239093914197707 p^{7} T^{25} + 18253738121908 p^{8} T^{26} + 1261878995611 p^{9} T^{27} + 87089442417 p^{10} T^{28} + 5304501825 p^{11} T^{29} + 3343020 p^{13} T^{30} + 16689897 p^{13} T^{31} + 871617 p^{14} T^{32} + 34718 p^{15} T^{33} + 1444 p^{16} T^{34} + 35 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.73115982534605602022777106803, −1.67325969676634930592525304773, −1.63888859281150592536915867729, −1.59661759672385827132254736492, −1.52377047116193602027424215030, −1.45946134405110426953703795188, −1.43598822903198532335978528267, −1.27817136371281216808926895726, −1.18933920074968271592727519936, −1.13653292908963729247847794266, −1.07039467205228159817059620562, −0.897676057611291859060084143837, −0.869172400260465356343915609560, −0.816509380948081526736995027816, −0.816021382635084012554089575550, −0.78058242816577649985403663605, −0.72200862126562241812089895384, −0.70513061146608351961765347578, −0.65761626822329944539557250662, −0.65333581594142916217838837260, −0.60365147971315631336388367902, −0.58210249404207636364466936864, −0.45114137308278741250088895921, −0.23378839832751369666253754405, −0.22216555930038465445484228630, 0.22216555930038465445484228630, 0.23378839832751369666253754405, 0.45114137308278741250088895921, 0.58210249404207636364466936864, 0.60365147971315631336388367902, 0.65333581594142916217838837260, 0.65761626822329944539557250662, 0.70513061146608351961765347578, 0.72200862126562241812089895384, 0.78058242816577649985403663605, 0.816021382635084012554089575550, 0.816509380948081526736995027816, 0.869172400260465356343915609560, 0.897676057611291859060084143837, 1.07039467205228159817059620562, 1.13653292908963729247847794266, 1.18933920074968271592727519936, 1.27817136371281216808926895726, 1.43598822903198532335978528267, 1.45946134405110426953703795188, 1.52377047116193602027424215030, 1.59661759672385827132254736492, 1.63888859281150592536915867729, 1.67325969676634930592525304773, 1.73115982534605602022777106803

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.