# Properties

 Degree 8 Conductor $3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 2-s − 2·4-s + 4·5-s + 4·7-s − 6·8-s + 4·10-s − 6·13-s + 4·14-s − 4·16-s + 8·17-s + 10·19-s − 8·20-s + 10·23-s + 4·25-s − 6·26-s − 8·28-s − 18·31-s + 11·32-s + 8·34-s + 16·35-s − 2·37-s + 10·38-s − 24·40-s + 10·41-s + 4·43-s + 10·46-s − 4·47-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 0.707·2-s − 4-s + 1.78·5-s + 1.51·7-s − 2.12·8-s + 1.26·10-s − 1.66·13-s + 1.06·14-s − 16-s + 1.94·17-s + 2.29·19-s − 1.78·20-s + 2.08·23-s + 4/5·25-s − 1.17·26-s − 1.51·28-s − 3.23·31-s + 1.94·32-s + 1.37·34-s + 2.70·35-s − 0.328·37-s + 1.62·38-s − 3.79·40-s + 1.56·41-s + 0.609·43-s + 1.47·46-s − 0.583·47-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$8$$ $$N$$ = $$3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{7623} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(8,\ 3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$ $L(1)$ $\approx$ $20.04654643$ $L(\frac12)$ $\approx$ $20.04654643$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{3,\;7,\;11\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 8. If $p \in \{3,\;7,\;11\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 7.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3 $$1$$
7$C_1$ $$( 1 - T )^{4}$$
11 $$1$$
good2$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - T + 3 T^{2} + T^{3} + 3 T^{4} + p T^{5} + 3 p^{2} T^{6} - p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
5$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 4 T + 12 T^{2} - 36 T^{3} + 86 T^{4} - 36 p T^{5} + 12 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 6 T + 44 T^{2} + 218 T^{3} + 822 T^{4} + 218 p T^{5} + 44 p^{2} T^{6} + 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 8 T + 48 T^{2} - 264 T^{3} + 1358 T^{4} - 264 p T^{5} + 48 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
19$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 10 T + 100 T^{2} - 30 p T^{3} + 3062 T^{4} - 30 p^{2} T^{5} + 100 p^{2} T^{6} - 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 10 T + 83 T^{2} - 500 T^{3} + 2869 T^{4} - 500 p T^{5} + 83 p^{2} T^{6} - 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$C_2^2 \wr C_2$ $$1 + 37 T^{2} + 17 p T^{4} + 37 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 18 T + 192 T^{2} + 1362 T^{3} + 8238 T^{4} + 1362 p T^{5} + 192 p^{2} T^{6} + 18 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 2 T + 71 T^{2} + 4 T^{3} + 2797 T^{4} + 4 p T^{5} + 71 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 10 T + 60 T^{2} + 290 T^{3} - 2938 T^{4} + 290 p T^{5} + 60 p^{2} T^{6} - 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 4 T + 69 T^{2} - 392 T^{3} + 4097 T^{4} - 392 p T^{5} + 69 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 4 T + 108 T^{2} - 4 T^{3} + 4758 T^{4} - 4 p T^{5} + 108 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 161 T^{2} + 20 T^{3} + 11657 T^{4} + 20 p T^{5} + 161 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 16 T + 308 T^{2} - 2936 T^{3} + 29398 T^{4} - 2936 p T^{5} + 308 p^{2} T^{6} - 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 14 T + 260 T^{2} + 2306 T^{3} + 24294 T^{4} + 2306 p T^{5} + 260 p^{2} T^{6} + 14 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 28 T + 541 T^{2} + 6696 T^{3} + 64817 T^{4} + 6696 p T^{5} + 541 p^{2} T^{6} + 28 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 18 T + 327 T^{2} - 3632 T^{3} + 36173 T^{4} - 3632 p T^{5} + 327 p^{2} T^{6} - 18 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 4 T + 284 T^{2} - 852 T^{3} + 30822 T^{4} - 852 p T^{5} + 284 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 20 T + 445 T^{2} - 5040 T^{3} + 57977 T^{4} - 5040 p T^{5} + 445 p^{2} T^{6} - 20 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 6 T + 212 T^{2} - 982 T^{3} + 24278 T^{4} - 982 p T^{5} + 212 p^{2} T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 16 T + 308 T^{2} - 3096 T^{3} + 38678 T^{4} - 3096 p T^{5} + 308 p^{2} T^{6} - 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 32 T + 656 T^{2} - 8944 T^{3} + 99982 T^{4} - 8944 p T^{5} + 656 p^{2} T^{6} - 32 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}