# Properties

 Degree 8 Conductor $3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2·2-s + 6·5-s − 4·7-s + 8-s − 12·10-s + 8·14-s − 16-s + 3·17-s + 3·19-s + 8·23-s + 8·25-s − 3·29-s − 3·31-s + 10·32-s − 6·34-s − 24·35-s − 7·37-s − 6·38-s + 6·40-s − 4·41-s + 8·43-s − 16·46-s + 14·47-s + 10·49-s − 16·50-s + 9·53-s − 4·56-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.41·2-s + 2.68·5-s − 1.51·7-s + 0.353·8-s − 3.79·10-s + 2.13·14-s − 1/4·16-s + 0.727·17-s + 0.688·19-s + 1.66·23-s + 8/5·25-s − 0.557·29-s − 0.538·31-s + 1.76·32-s − 1.02·34-s − 4.05·35-s − 1.15·37-s − 0.973·38-s + 0.948·40-s − 0.624·41-s + 1.21·43-s − 2.35·46-s + 2.04·47-s + 10/7·49-s − 2.26·50-s + 1.23·53-s − 0.534·56-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$8$$ $$N$$ = $$3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{7623} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(8,\ 3^{8} \cdot 7^{4} \cdot 11^{8} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$ $L(1)$ $\approx$ $4.629175627$ $L(\frac12)$ $\approx$ $4.629175627$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{3,\;7,\;11\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 8. If $p \in \{3,\;7,\;11\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 7.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3 $$1$$
7$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
11 $$1$$
good2$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + p T + p^{2} T^{2} + 7 T^{3} + 13 T^{4} + 7 p T^{5} + p^{4} T^{6} + p^{4} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
5$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 6 T + 28 T^{2} - 87 T^{3} + 229 T^{4} - 87 p T^{5} + 28 p^{2} T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 20 T^{2} - 5 p T^{3} + 153 T^{4} - 5 p^{2} T^{5} + 20 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 3 T + 45 T^{2} - 62 T^{3} + 881 T^{4} - 62 p T^{5} + 45 p^{2} T^{6} - 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
19$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 3 T + 47 T^{2} - 36 T^{3} + 919 T^{4} - 36 p T^{5} + 47 p^{2} T^{6} - 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 8 T + 83 T^{2} - 402 T^{3} + 2555 T^{4} - 402 p T^{5} + 83 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 3 T + 62 T^{2} + 9 p T^{3} + 2319 T^{4} + 9 p^{2} T^{5} + 62 p^{2} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 3 T + 100 T^{2} + 299 T^{3} + 4283 T^{4} + 299 p T^{5} + 100 p^{2} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 7 T + 154 T^{2} + 767 T^{3} + 8653 T^{4} + 767 p T^{5} + 154 p^{2} T^{6} + 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 4 T + 107 T^{2} + 470 T^{3} + 5491 T^{4} + 470 p T^{5} + 107 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$D_{4}$ $$( 1 - 4 T + 45 T^{2} - 4 p T^{3} + p^{2} T^{4} )^{2}$$
47$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 14 T + 162 T^{2} - 1449 T^{3} + 10505 T^{4} - 1449 p T^{5} + 162 p^{2} T^{6} - 14 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 9 T + 108 T^{2} - 725 T^{3} + 4961 T^{4} - 725 p T^{5} + 108 p^{2} T^{6} - 9 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 25 T + 428 T^{2} - 4725 T^{3} + 42353 T^{4} - 4725 p T^{5} + 428 p^{2} T^{6} - 25 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 19 T + 238 T^{2} + 2447 T^{3} + 20599 T^{4} + 2447 p T^{5} + 238 p^{2} T^{6} + 19 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 15 T + 5 p T^{2} + 3060 T^{3} + 35713 T^{4} + 3060 p T^{5} + 5 p^{3} T^{6} + 15 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 7 T + 201 T^{2} - 812 T^{3} + 17469 T^{4} - 812 p T^{5} + 201 p^{2} T^{6} - 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 11 T + 176 T^{2} + 1649 T^{3} + 20013 T^{4} + 1649 p T^{5} + 176 p^{2} T^{6} + 11 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 8 T + 308 T^{2} - 1735 T^{3} + 35911 T^{4} - 1735 p T^{5} + 308 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - T + 96 T^{2} - 1149 T^{3} + 4403 T^{4} - 1149 p T^{5} + 96 p^{2} T^{6} - p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 17 T + 312 T^{2} - 3419 T^{3} + 38939 T^{4} - 3419 p T^{5} + 312 p^{2} T^{6} - 17 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 15 T + 278 T^{2} + 2415 T^{3} + 30889 T^{4} + 2415 p T^{5} + 278 p^{2} T^{6} + 15 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}