| L(s) = 1 | − 8·3-s − 7·4-s − 40·7-s + 28·8-s − 19·9-s + 12·11-s + 56·12-s − 14·13-s + 9·16-s − 66·17-s + 214·19-s + 320·21-s − 164·23-s − 224·24-s + 274·27-s + 280·28-s − 145·29-s + 420·31-s − 200·32-s − 96·33-s + 133·36-s − 378·37-s + 112·39-s − 1.15e3·41-s + 204·43-s − 84·44-s − 248·47-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.53·3-s − 7/8·4-s − 2.15·7-s + 1.23·8-s − 0.703·9-s + 0.328·11-s + 1.34·12-s − 0.298·13-s + 9/64·16-s − 0.941·17-s + 2.58·19-s + 3.32·21-s − 1.48·23-s − 1.90·24-s + 1.95·27-s + 1.88·28-s − 0.928·29-s + 2.43·31-s − 1.10·32-s − 0.506·33-s + 0.615·36-s − 1.67·37-s + 0.459·39-s − 4.41·41-s + 0.723·43-s − 0.287·44-s − 0.769·47-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 29^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(4-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 29^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+3/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(2)\) |
\(\approx\) |
\(0.9568054341\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(0.9568054341\) |
| \(L(\frac{5}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | | \( 1 \) |
| 29 | $C_1$ | \( ( 1 + p T )^{5} \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7 T^{2} - 7 p^{2} T^{3} + 5 p^{3} T^{4} - 3 p^{6} T^{5} + 5 p^{6} T^{6} - 7 p^{8} T^{7} + 7 p^{9} T^{8} + p^{15} T^{10} \) |
| 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 8 T + 83 T^{2} + 542 T^{3} + 3265 T^{4} + 18646 T^{5} + 3265 p^{3} T^{6} + 542 p^{6} T^{7} + 83 p^{9} T^{8} + 8 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 40 T + 257 p T^{2} + 44112 T^{3} + 1162638 T^{4} + 20604944 T^{5} + 1162638 p^{3} T^{6} + 44112 p^{6} T^{7} + 257 p^{10} T^{8} + 40 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 12 T + 1763 T^{2} - 13714 T^{3} + 2580641 T^{4} + 37008754 T^{5} + 2580641 p^{3} T^{6} - 13714 p^{6} T^{7} + 1763 p^{9} T^{8} - 12 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 14 T + 3427 T^{2} - 10280 T^{3} - 252123 T^{4} - 167242554 T^{5} - 252123 p^{3} T^{6} - 10280 p^{6} T^{7} + 3427 p^{9} T^{8} + 14 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 66 T + 22121 T^{2} + 1091584 T^{3} + 201659462 T^{4} + 7519809404 T^{5} + 201659462 p^{3} T^{6} + 1091584 p^{6} T^{7} + 22121 p^{9} T^{8} + 66 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 214 T + 49431 T^{2} - 6213576 T^{3} + 780820954 T^{4} - 65082757348 T^{5} + 780820954 p^{3} T^{6} - 6213576 p^{6} T^{7} + 49431 p^{9} T^{8} - 214 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 164 T + 42023 T^{2} + 4665552 T^{3} + 817883710 T^{4} + 72913879960 T^{5} + 817883710 p^{3} T^{6} + 4665552 p^{6} T^{7} + 42023 p^{9} T^{8} + 164 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 420 T + 194507 T^{2} - 51412234 T^{3} + 12940581345 T^{4} - 2317742728494 T^{5} + 12940581345 p^{3} T^{6} - 51412234 p^{6} T^{7} + 194507 p^{9} T^{8} - 420 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 378 T + 183473 T^{2} + 45668424 T^{3} + 12598747514 T^{4} + 2663232080572 T^{5} + 12598747514 p^{3} T^{6} + 45668424 p^{6} T^{7} + 183473 p^{9} T^{8} + 378 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1158 T + 807513 T^{2} + 393665952 T^{3} + 147623041214 T^{4} + 43322074461428 T^{5} + 147623041214 p^{3} T^{6} + 393665952 p^{6} T^{7} + 807513 p^{9} T^{8} + 1158 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 204 T + 303147 T^{2} - 53162326 T^{3} + 42555587009 T^{4} - 6073081393458 T^{5} + 42555587009 p^{3} T^{6} - 53162326 p^{6} T^{7} + 303147 p^{9} T^{8} - 204 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 248 T + 186419 T^{2} + 26483122 T^{3} + 12346963729 T^{4} + 356058792474 T^{5} + 12346963729 p^{3} T^{6} + 26483122 p^{6} T^{7} + 186419 p^{9} T^{8} + 248 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 554 T + 706051 T^{2} - 257171096 T^{3} + 190377537541 T^{4} - 51228756286434 T^{5} + 190377537541 p^{3} T^{6} - 257171096 p^{6} T^{7} + 706051 p^{9} T^{8} - 554 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 440 T + 931027 T^{2} - 318478640 T^{3} + 358630287294 T^{4} - 93589746901040 T^{5} + 358630287294 p^{3} T^{6} - 318478640 p^{6} T^{7} + 931027 p^{9} T^{8} - 440 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 618 T + 930749 T^{2} - 354654304 T^{3} + 335118575446 T^{4} - 95179696680076 T^{5} + 335118575446 p^{3} T^{6} - 354654304 p^{6} T^{7} + 930749 p^{9} T^{8} - 618 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1164 T + 1251831 T^{2} + 943021136 T^{3} + 702489951274 T^{4} + 395972688310152 T^{5} + 702489951274 p^{3} T^{6} + 943021136 p^{6} T^{7} + 1251831 p^{9} T^{8} + 1164 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 692 T + 912707 T^{2} + 418495168 T^{3} + 492751147498 T^{4} + 220618574155288 T^{5} + 492751147498 p^{3} T^{6} + 418495168 p^{6} T^{7} + 912707 p^{9} T^{8} + 692 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1950 T + 3113117 T^{2} - 3302203032 T^{3} + 2895801534794 T^{4} - 1979029953150004 T^{5} + 2895801534794 p^{3} T^{6} - 3302203032 p^{6} T^{7} + 3113117 p^{9} T^{8} - 1950 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 272 T + 967307 T^{2} + 8685042 T^{3} + 758497584129 T^{4} - 100158281651838 T^{5} + 758497584129 p^{3} T^{6} + 8685042 p^{6} T^{7} + 967307 p^{9} T^{8} - 272 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 512 T + 2338779 T^{2} + 1052487024 T^{3} + 2462969890974 T^{4} + 862752231073696 T^{5} + 2462969890974 p^{3} T^{6} + 1052487024 p^{6} T^{7} + 2338779 p^{9} T^{8} + 512 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 866 T + 2672425 T^{2} - 2372819264 T^{3} + 3305080150846 T^{4} - 2463206457135612 T^{5} + 3305080150846 p^{3} T^{6} - 2372819264 p^{6} T^{7} + 2672425 p^{9} T^{8} - 866 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1562 T + 4976353 T^{2} + 5411957216 T^{3} + 9379455939582 T^{4} + 7296970015174028 T^{5} + 9379455939582 p^{3} T^{6} + 5411957216 p^{6} T^{7} + 4976353 p^{9} T^{8} + 1562 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.78788355674907727198243909964, −5.64855640092768361876734562344, −5.41244737911965527275514513566, −5.40028979700929143677622071451, −5.33576774827555136016479062055, −4.89965130909937391259740128267, −4.88225976657465294542077689772, −4.51167508410882361296746415765, −4.47092283946383795837772262726, −4.11973383927290425036346055603, −3.77846946389422063744164052433, −3.59787867579618372334046687728, −3.52564540690672522574694356783, −3.35177693638100084459610724221, −2.82038041368489216301216749218, −2.81616032253944458101152697278, −2.81497761464972338251297771114, −2.15001516411587733294512501708, −1.69999340718251665106249863682, −1.66727517650948493602488096167, −1.55345443029537385639395606118, −0.811231798644034067913808715808, −0.41939794787720993876595339420, −0.39540844200148211574177676081, −0.37647253144483723776706906701,
0.37647253144483723776706906701, 0.39540844200148211574177676081, 0.41939794787720993876595339420, 0.811231798644034067913808715808, 1.55345443029537385639395606118, 1.66727517650948493602488096167, 1.69999340718251665106249863682, 2.15001516411587733294512501708, 2.81497761464972338251297771114, 2.81616032253944458101152697278, 2.82038041368489216301216749218, 3.35177693638100084459610724221, 3.52564540690672522574694356783, 3.59787867579618372334046687728, 3.77846946389422063744164052433, 4.11973383927290425036346055603, 4.47092283946383795837772262726, 4.51167508410882361296746415765, 4.88225976657465294542077689772, 4.89965130909937391259740128267, 5.33576774827555136016479062055, 5.40028979700929143677622071451, 5.41244737911965527275514513566, 5.64855640092768361876734562344, 5.78788355674907727198243909964
