Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 60·2-s + 1.92e3·4-s + 108·5-s + 84·7-s − 4.35e4·8-s − 759·9-s − 6.48e3·10-s + 126·11-s + 114·13-s − 5.04e3·14-s + 7.83e5·16-s + 4.11e3·17-s + 4.55e4·18-s + 2.07e5·20-s − 7.56e3·22-s + 3.93e3·23-s − 4.15e3·25-s − 6.84e3·26-s + 4.33e3·27-s + 1.61e5·28-s − 1.46e4·29-s − 6.84e3·31-s − 1.19e7·32-s − 2.47e5·34-s + 9.07e3·35-s − 1.45e6·36-s + 4.27e3·37-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 10.6·2-s + 60·4-s + 1.93·5-s + 0.647·7-s − 240.·8-s − 3.12·9-s − 20.4·10-s + 0.313·11-s + 0.187·13-s − 6.87·14-s + 765·16-s + 3.45·17-s + 33.1·18-s + 115.·20-s − 3.33·22-s + 1.55·23-s − 1.33·25-s − 1.98·26-s + 1.14·27-s + 38.8·28-s − 3.23·29-s − 1.27·31-s − 2.05e3·32-s − 36.6·34-s + 1.25·35-s − 187.·36-s + 0.513·37-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 19^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 19^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(30\) |
| Conductor: | \(2^{15} \cdot 19^{30}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(9.02539\times 10^{30}\) |
| Root analytic conductor: | \(10.7609\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((30,\ 2^{15} \cdot 19^{30} ,\ ( \ : [5/2]^{15} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(\approx\) | \(0.1869158212\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.1869158212\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + p^{2} T )^{15} \) |
| 19 | \( 1 \) | |
| good | 3 | \( 1 + 253 p T^{2} - 4339 T^{3} + 98947 p T^{4} - 1312883 p T^{5} + 116943119 T^{6} - 585685441 p T^{7} + 16210910761 p T^{8} - 603230523110 T^{9} + 1842396273301 p^{2} T^{10} - 7328886153884 p^{3} T^{11} + 19523655180667 p^{5} T^{12} - 82547302691692 p^{6} T^{13} + 1730379347905486 p^{6} T^{14} - 21711630316235329 p^{6} T^{15} + 1730379347905486 p^{11} T^{16} - 82547302691692 p^{16} T^{17} + 19523655180667 p^{20} T^{18} - 7328886153884 p^{23} T^{19} + 1842396273301 p^{27} T^{20} - 603230523110 p^{30} T^{21} + 16210910761 p^{36} T^{22} - 585685441 p^{41} T^{23} + 116943119 p^{45} T^{24} - 1312883 p^{51} T^{25} + 98947 p^{56} T^{26} - 4339 p^{60} T^{27} + 253 p^{66} T^{28} + p^{75} T^{30} \) |
| 5 | \( 1 - 108 T + 15822 T^{2} - 1588278 T^{3} + 164738157 T^{4} - 13381930824 T^{5} + 46457986831 p^{2} T^{6} - 17224415872596 p T^{7} + 1296374300201346 p T^{8} - 3528534891108922 p^{3} T^{9} + 30665629271509456239 T^{10} - \)\(19\!\cdots\!42\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!33\)\( T^{12} - \)\(74\!\cdots\!52\)\( T^{13} + \)\(44\!\cdots\!43\)\( T^{14} - \)\(24\!\cdots\!16\)\( T^{15} + \)\(44\!\cdots\!43\)\( p^{5} T^{16} - \)\(74\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{18} - \)\(19\!\cdots\!42\)\( p^{20} T^{19} + 30665629271509456239 p^{25} T^{20} - 3528534891108922 p^{33} T^{21} + 1296374300201346 p^{36} T^{22} - 17224415872596 p^{41} T^{23} + 46457986831 p^{47} T^{24} - 13381930824 p^{50} T^{25} + 164738157 p^{55} T^{26} - 1588278 p^{60} T^{27} + 15822 p^{65} T^{28} - 108 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 7 | \( 1 - 12 p T + 13956 p T^{2} - 6968446 T^{3} + 96788652 p^{2} T^{4} - 331210379454 T^{5} + 164046859657830 T^{6} - 11577675664905474 T^{7} + 4594230364583468958 T^{8} - \)\(31\!\cdots\!98\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( T^{10} - \)\(71\!\cdots\!14\)\( T^{11} + \)\(23\!\cdots\!53\)\( T^{12} - \)\(14\!\cdots\!82\)\( T^{13} + \)\(42\!\cdots\!60\)\( T^{14} - \)\(25\!\cdots\!16\)\( T^{15} + \)\(42\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{16} - \)\(14\!\cdots\!82\)\( p^{10} T^{17} + \)\(23\!\cdots\!53\)\( p^{15} T^{18} - \)\(71\!\cdots\!14\)\( p^{20} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( p^{25} T^{20} - \)\(31\!\cdots\!98\)\( p^{30} T^{21} + 4594230364583468958 p^{35} T^{22} - 11577675664905474 p^{40} T^{23} + 164046859657830 p^{45} T^{24} - 331210379454 p^{50} T^{25} + 96788652 p^{57} T^{26} - 6968446 p^{60} T^{27} + 13956 p^{66} T^{28} - 12 p^{71} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 11 | \( 1 - 126 T + 959001 T^{2} - 126503271 T^{3} + 510429472908 T^{4} - 51466380463083 T^{5} + 189006972111636103 T^{6} - 10943374512574206612 T^{7} + \)\(53\!\cdots\!12\)\( T^{8} - \)\(38\!\cdots\!36\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( T^{10} + \)\(53\!\cdots\!75\)\( T^{11} + \)\(23\!\cdots\!45\)\( T^{12} + \)\(19\!\cdots\!49\)\( T^{13} + \)\(41\!\cdots\!04\)\( T^{14} + \)\(40\!\cdots\!41\)\( T^{15} + \)\(41\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{16} + \)\(19\!\cdots\!49\)\( p^{10} T^{17} + \)\(23\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{18} + \)\(53\!\cdots\!75\)\( p^{20} T^{19} + \)\(12\!\cdots\!21\)\( p^{25} T^{20} - \)\(38\!\cdots\!36\)\( p^{30} T^{21} + \)\(53\!\cdots\!12\)\( p^{35} T^{22} - 10943374512574206612 p^{40} T^{23} + 189006972111636103 p^{45} T^{24} - 51466380463083 p^{50} T^{25} + 510429472908 p^{55} T^{26} - 126503271 p^{60} T^{27} + 959001 p^{65} T^{28} - 126 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 13 | \( 1 - 114 T + 2562123 T^{2} - 37089812 p T^{3} + 3404608502499 T^{4} - 833597458517214 T^{5} + 3098952780273622791 T^{6} - \)\(88\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!38\)\( T^{8} - \)\(66\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(38\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(61\!\cdots\!69\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!18\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!73\)\( T^{14} - \)\(73\!\cdots\!88\)\( T^{15} + \)\(26\!\cdots\!73\)\( p^{5} T^{16} - \)\(18\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{17} + \)\(61\!\cdots\!69\)\( p^{15} T^{18} - \)\(38\!\cdots\!92\)\( p^{20} T^{19} + \)\(12\!\cdots\!30\)\( p^{25} T^{20} - \)\(66\!\cdots\!56\)\( p^{30} T^{21} + \)\(21\!\cdots\!38\)\( p^{35} T^{22} - \)\(88\!\cdots\!68\)\( p^{40} T^{23} + 3098952780273622791 p^{45} T^{24} - 833597458517214 p^{50} T^{25} + 3404608502499 p^{55} T^{26} - 37089812 p^{61} T^{27} + 2562123 p^{65} T^{28} - 114 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 17 | \( 1 - 4119 T + 16881186 T^{2} - 48185623251 T^{3} + 126647554542054 T^{4} - 16693376590709715 p T^{5} + \)\(58\!\cdots\!59\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!42\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!92\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!42\)\( p T^{9} + \)\(49\!\cdots\!52\)\( T^{10} - \)\(72\!\cdots\!86\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!77\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{14} - \)\(20\!\cdots\!65\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!94\)\( p^{5} T^{16} - \)\(13\!\cdots\!77\)\( p^{10} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{18} - \)\(72\!\cdots\!86\)\( p^{20} T^{19} + \)\(49\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{20} - \)\(18\!\cdots\!42\)\( p^{31} T^{21} + \)\(19\!\cdots\!92\)\( p^{35} T^{22} - \)\(11\!\cdots\!42\)\( p^{40} T^{23} + \)\(58\!\cdots\!59\)\( p^{45} T^{24} - 16693376590709715 p^{51} T^{25} + 126647554542054 p^{55} T^{26} - 48185623251 p^{60} T^{27} + 16881186 p^{65} T^{28} - 4119 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 23 | \( 1 - 3936 T + 58786425 T^{2} - 183375854490 T^{3} + 1552853005221336 T^{4} - 3862123633781401968 T^{5} + \)\(25\!\cdots\!09\)\( T^{6} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( p T^{7} + \)\(28\!\cdots\!45\)\( T^{8} - \)\(44\!\cdots\!72\)\( T^{9} + \)\(25\!\cdots\!14\)\( T^{10} - \)\(13\!\cdots\!46\)\( p T^{11} + \)\(20\!\cdots\!87\)\( T^{12} - \)\(21\!\cdots\!60\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( T^{14} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( p^{5} T^{16} - \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{10} T^{17} + \)\(20\!\cdots\!87\)\( p^{15} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!46\)\( p^{21} T^{19} + \)\(25\!\cdots\!14\)\( p^{25} T^{20} - \)\(44\!\cdots\!72\)\( p^{30} T^{21} + \)\(28\!\cdots\!45\)\( p^{35} T^{22} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( p^{41} T^{23} + \)\(25\!\cdots\!09\)\( p^{45} T^{24} - 3862123633781401968 p^{50} T^{25} + 1552853005221336 p^{55} T^{26} - 183375854490 p^{60} T^{27} + 58786425 p^{65} T^{28} - 3936 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 29 | \( 1 + 14658 T + 231956298 T^{2} + 2396534110800 T^{3} + 24136287318346245 T^{4} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( T^{7} + \)\(73\!\cdots\!22\)\( T^{8} + \)\(44\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(26\!\cdots\!71\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(77\!\cdots\!73\)\( T^{12} + \)\(38\!\cdots\!14\)\( T^{13} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( T^{14} + \)\(86\!\cdots\!80\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( p^{5} T^{16} + \)\(38\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{17} + \)\(77\!\cdots\!73\)\( p^{15} T^{18} + \)\(14\!\cdots\!98\)\( p^{20} T^{19} + \)\(26\!\cdots\!71\)\( p^{25} T^{20} + \)\(44\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{21} + \)\(73\!\cdots\!22\)\( p^{35} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( p^{40} T^{23} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( p^{45} T^{24} + \)\(19\!\cdots\!72\)\( p^{50} T^{25} + 24136287318346245 p^{55} T^{26} + 2396534110800 p^{60} T^{27} + 231956298 p^{65} T^{28} + 14658 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 31 | \( 1 + 6840 T + 181996473 T^{2} + 1032882339160 T^{3} + 17748619132147017 T^{4} + 92813624968362934206 T^{5} + \)\(12\!\cdots\!98\)\( T^{6} + \)\(61\!\cdots\!82\)\( T^{7} + \)\(69\!\cdots\!96\)\( T^{8} + \)\(31\!\cdots\!22\)\( T^{9} + \)\(31\!\cdots\!28\)\( T^{10} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!57\)\( T^{12} + \)\(49\!\cdots\!34\)\( T^{13} + \)\(40\!\cdots\!36\)\( T^{14} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(40\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{16} + \)\(49\!\cdots\!34\)\( p^{10} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!57\)\( p^{15} T^{18} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( p^{20} T^{19} + \)\(31\!\cdots\!28\)\( p^{25} T^{20} + \)\(31\!\cdots\!22\)\( p^{30} T^{21} + \)\(69\!\cdots\!96\)\( p^{35} T^{22} + \)\(61\!\cdots\!82\)\( p^{40} T^{23} + \)\(12\!\cdots\!98\)\( p^{45} T^{24} + 92813624968362934206 p^{50} T^{25} + 17748619132147017 p^{55} T^{26} + 1032882339160 p^{60} T^{27} + 181996473 p^{65} T^{28} + 6840 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 37 | \( 1 - 4278 T + 613458441 T^{2} - 1699223638946 T^{3} + 179697643365440868 T^{4} - \)\(24\!\cdots\!14\)\( T^{5} + \)\(33\!\cdots\!39\)\( T^{6} - \)\(28\!\cdots\!82\)\( T^{7} + \)\(47\!\cdots\!49\)\( T^{8} + \)\(42\!\cdots\!90\)\( T^{9} + \)\(53\!\cdots\!50\)\( T^{10} + \)\(77\!\cdots\!30\)\( T^{11} + \)\(51\!\cdots\!97\)\( T^{12} + \)\(83\!\cdots\!78\)\( T^{13} + \)\(41\!\cdots\!99\)\( T^{14} + \)\(65\!\cdots\!56\)\( T^{15} + \)\(41\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{16} + \)\(83\!\cdots\!78\)\( p^{10} T^{17} + \)\(51\!\cdots\!97\)\( p^{15} T^{18} + \)\(77\!\cdots\!30\)\( p^{20} T^{19} + \)\(53\!\cdots\!50\)\( p^{25} T^{20} + \)\(42\!\cdots\!90\)\( p^{30} T^{21} + \)\(47\!\cdots\!49\)\( p^{35} T^{22} - \)\(28\!\cdots\!82\)\( p^{40} T^{23} + \)\(33\!\cdots\!39\)\( p^{45} T^{24} - \)\(24\!\cdots\!14\)\( p^{50} T^{25} + 179697643365440868 p^{55} T^{26} - 1699223638946 p^{60} T^{27} + 613458441 p^{65} T^{28} - 4278 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 41 | \( 1 + 5112 T + 673642056 T^{2} + 1479213695973 T^{3} + 219356326895680248 T^{4} - 67420642029730174008 T^{5} + \)\(48\!\cdots\!71\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(87\!\cdots\!36\)\( T^{8} - \)\(26\!\cdots\!62\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{10} - \)\(46\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(17\!\cdots\!65\)\( T^{12} - \)\(67\!\cdots\!76\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( T^{14} - \)\(85\!\cdots\!53\)\( T^{15} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( p^{5} T^{16} - \)\(67\!\cdots\!76\)\( p^{10} T^{17} + \)\(17\!\cdots\!65\)\( p^{15} T^{18} - \)\(46\!\cdots\!36\)\( p^{20} T^{19} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{20} - \)\(26\!\cdots\!62\)\( p^{30} T^{21} + \)\(87\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{22} - \)\(10\!\cdots\!88\)\( p^{40} T^{23} + \)\(48\!\cdots\!71\)\( p^{45} T^{24} - 67420642029730174008 p^{50} T^{25} + 219356326895680248 p^{55} T^{26} + 1479213695973 p^{60} T^{27} + 673642056 p^{65} T^{28} + 5112 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 43 | \( 1 - 94191 T + 5764060788 T^{2} - 256463832573013 T^{3} + 9306172549577893860 T^{4} - \)\(28\!\cdots\!55\)\( T^{5} + \)\(75\!\cdots\!15\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!86\)\( T^{7} + \)\(38\!\cdots\!48\)\( T^{8} - \)\(74\!\cdots\!88\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!68\)\( T^{10} - \)\(21\!\cdots\!54\)\( T^{11} + \)\(33\!\cdots\!89\)\( T^{12} - \)\(47\!\cdots\!73\)\( T^{13} + \)\(63\!\cdots\!80\)\( T^{14} - \)\(79\!\cdots\!89\)\( T^{15} + \)\(63\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{16} - \)\(47\!\cdots\!73\)\( p^{10} T^{17} + \)\(33\!\cdots\!89\)\( p^{15} T^{18} - \)\(21\!\cdots\!54\)\( p^{20} T^{19} + \)\(13\!\cdots\!68\)\( p^{25} T^{20} - \)\(74\!\cdots\!88\)\( p^{30} T^{21} + \)\(38\!\cdots\!48\)\( p^{35} T^{22} - \)\(17\!\cdots\!86\)\( p^{40} T^{23} + \)\(75\!\cdots\!15\)\( p^{45} T^{24} - \)\(28\!\cdots\!55\)\( p^{50} T^{25} + 9306172549577893860 p^{55} T^{26} - 256463832573013 p^{60} T^{27} + 5764060788 p^{65} T^{28} - 94191 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 47 | \( 1 - 702 T + 2071890873 T^{2} - 2986936179042 T^{3} + 2083372826302573035 T^{4} - \)\(54\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( T^{6} - \)\(56\!\cdots\!86\)\( T^{7} + \)\(64\!\cdots\!72\)\( T^{8} - \)\(37\!\cdots\!66\)\( T^{9} + \)\(50\!\cdots\!32\)\( p T^{10} - \)\(17\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(72\!\cdots\!77\)\( T^{12} - \)\(62\!\cdots\!42\)\( T^{13} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( T^{14} - \)\(16\!\cdots\!24\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( p^{5} T^{16} - \)\(62\!\cdots\!42\)\( p^{10} T^{17} + \)\(72\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{18} - \)\(17\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{19} + \)\(50\!\cdots\!32\)\( p^{26} T^{20} - \)\(37\!\cdots\!66\)\( p^{30} T^{21} + \)\(64\!\cdots\!72\)\( p^{35} T^{22} - \)\(56\!\cdots\!86\)\( p^{40} T^{23} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( p^{45} T^{24} - \)\(54\!\cdots\!28\)\( p^{50} T^{25} + 2083372826302573035 p^{55} T^{26} - 2986936179042 p^{60} T^{27} + 2071890873 p^{65} T^{28} - 702 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 53 | \( 1 + 47544 T + 4444589307 T^{2} + 160939380101424 T^{3} + 8436341303272988223 T^{4} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(91\!\cdots\!27\)\( T^{6} + \)\(20\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(65\!\cdots\!50\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(33\!\cdots\!74\)\( T^{10} + \)\(48\!\cdots\!24\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!81\)\( T^{12} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(53\!\cdots\!25\)\( T^{14} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( T^{15} + \)\(53\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{16} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( p^{10} T^{17} + \)\(13\!\cdots\!81\)\( p^{15} T^{18} + \)\(48\!\cdots\!24\)\( p^{20} T^{19} + \)\(33\!\cdots\!74\)\( p^{25} T^{20} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{30} T^{21} + \)\(65\!\cdots\!50\)\( p^{35} T^{22} + \)\(20\!\cdots\!52\)\( p^{40} T^{23} + \)\(91\!\cdots\!27\)\( p^{45} T^{24} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( p^{50} T^{25} + 8436341303272988223 p^{55} T^{26} + 160939380101424 p^{60} T^{27} + 4444589307 p^{65} T^{28} + 47544 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 59 | \( 1 - 8832 T + 6638479095 T^{2} - 31674366377505 T^{3} + 20390914416018413958 T^{4} + \)\(50\!\cdots\!57\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!43\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!82\)\( T^{7} + \)\(51\!\cdots\!46\)\( T^{8} + \)\(70\!\cdots\!32\)\( T^{9} + \)\(52\!\cdots\!67\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{11} + \)\(44\!\cdots\!33\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( T^{13} + \)\(33\!\cdots\!04\)\( T^{14} + \)\(10\!\cdots\!39\)\( T^{15} + \)\(33\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{16} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( p^{10} T^{17} + \)\(44\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{18} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{20} T^{19} + \)\(52\!\cdots\!67\)\( p^{25} T^{20} + \)\(70\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{21} + \)\(51\!\cdots\!46\)\( p^{35} T^{22} + \)\(24\!\cdots\!82\)\( p^{40} T^{23} + \)\(38\!\cdots\!43\)\( p^{45} T^{24} + \)\(50\!\cdots\!57\)\( p^{50} T^{25} + 20390914416018413958 p^{55} T^{26} - 31674366377505 p^{60} T^{27} + 6638479095 p^{65} T^{28} - 8832 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 61 | \( 1 - 119196 T + 14781346776 T^{2} - 1148025712851760 T^{3} + 86010114372972737760 T^{4} - \)\(50\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(28\!\cdots\!22\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(65\!\cdots\!84\)\( T^{8} - \)\(26\!\cdots\!46\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{10} - \)\(39\!\cdots\!76\)\( T^{11} + \)\(22\!\cdots\!57\)\( p T^{12} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{14} - \)\(41\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{16} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!57\)\( p^{16} T^{18} - \)\(39\!\cdots\!76\)\( p^{20} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( p^{25} T^{20} - \)\(26\!\cdots\!46\)\( p^{30} T^{21} + \)\(65\!\cdots\!84\)\( p^{35} T^{22} - \)\(13\!\cdots\!84\)\( p^{40} T^{23} + \)\(28\!\cdots\!22\)\( p^{45} T^{24} - \)\(50\!\cdots\!48\)\( p^{50} T^{25} + 86010114372972737760 p^{55} T^{26} - 1148025712851760 p^{60} T^{27} + 14781346776 p^{65} T^{28} - 119196 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 67 | \( 1 + 64248 T + 14052648576 T^{2} + 792406890941713 T^{3} + 92701329831042052125 T^{4} + \)\(46\!\cdots\!90\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!22\)\( T^{6} + \)\(16\!\cdots\!91\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( T^{8} + \)\(44\!\cdots\!45\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!86\)\( T^{10} + \)\(90\!\cdots\!05\)\( T^{11} + \)\(44\!\cdots\!13\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!13\)\( T^{13} + \)\(69\!\cdots\!62\)\( T^{14} + \)\(21\!\cdots\!06\)\( T^{15} + \)\(69\!\cdots\!62\)\( p^{5} T^{16} + \)\(15\!\cdots\!13\)\( p^{10} T^{17} + \)\(44\!\cdots\!13\)\( p^{15} T^{18} + \)\(90\!\cdots\!05\)\( p^{20} T^{19} + \)\(24\!\cdots\!86\)\( p^{25} T^{20} + \)\(44\!\cdots\!45\)\( p^{30} T^{21} + \)\(11\!\cdots\!19\)\( p^{35} T^{22} + \)\(16\!\cdots\!91\)\( p^{40} T^{23} + \)\(38\!\cdots\!22\)\( p^{45} T^{24} + \)\(46\!\cdots\!90\)\( p^{50} T^{25} + 92701329831042052125 p^{55} T^{26} + 792406890941713 p^{60} T^{27} + 14052648576 p^{65} T^{28} + 64248 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 71 | \( 1 - 53364 T + 14265210933 T^{2} - 767233468788558 T^{3} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{4} - \)\(55\!\cdots\!08\)\( T^{5} + \)\(53\!\cdots\!41\)\( T^{6} - \)\(26\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(20\!\cdots\!49\)\( T^{8} - \)\(94\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(62\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(27\!\cdots\!06\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!59\)\( T^{12} - \)\(63\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(33\!\cdots\!05\)\( T^{14} - \)\(12\!\cdots\!04\)\( T^{15} + \)\(33\!\cdots\!05\)\( p^{5} T^{16} - \)\(63\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!59\)\( p^{15} T^{18} - \)\(27\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{19} + \)\(62\!\cdots\!30\)\( p^{25} T^{20} - \)\(94\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{21} + \)\(20\!\cdots\!49\)\( p^{35} T^{22} - \)\(26\!\cdots\!12\)\( p^{40} T^{23} + \)\(53\!\cdots\!41\)\( p^{45} T^{24} - \)\(55\!\cdots\!08\)\( p^{50} T^{25} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{55} T^{26} - 767233468788558 p^{60} T^{27} + 14265210933 p^{65} T^{28} - 53364 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 73 | \( 1 + 4908 T + 21326115558 T^{2} + 132166361430911 T^{3} + \)\(22\!\cdots\!39\)\( T^{4} + \)\(15\!\cdots\!62\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!62\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( T^{7} + \)\(78\!\cdots\!63\)\( T^{8} + \)\(58\!\cdots\!43\)\( T^{9} + \)\(30\!\cdots\!60\)\( T^{10} + \)\(22\!\cdots\!95\)\( T^{11} + \)\(95\!\cdots\!51\)\( T^{12} + \)\(65\!\cdots\!35\)\( T^{13} + \)\(24\!\cdots\!22\)\( T^{14} + \)\(15\!\cdots\!06\)\( T^{15} + \)\(24\!\cdots\!22\)\( p^{5} T^{16} + \)\(65\!\cdots\!35\)\( p^{10} T^{17} + \)\(95\!\cdots\!51\)\( p^{15} T^{18} + \)\(22\!\cdots\!95\)\( p^{20} T^{19} + \)\(30\!\cdots\!60\)\( p^{25} T^{20} + \)\(58\!\cdots\!43\)\( p^{30} T^{21} + \)\(78\!\cdots\!63\)\( p^{35} T^{22} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( p^{40} T^{23} + \)\(15\!\cdots\!62\)\( p^{45} T^{24} + \)\(15\!\cdots\!62\)\( p^{50} T^{25} + \)\(22\!\cdots\!39\)\( p^{55} T^{26} + 132166361430911 p^{60} T^{27} + 21326115558 p^{65} T^{28} + 4908 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 79 | \( 1 - 115500 T + 32005938930 T^{2} - 3379783473107678 T^{3} + \)\(51\!\cdots\!83\)\( T^{4} - \)\(47\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(53\!\cdots\!71\)\( T^{6} - \)\(43\!\cdots\!86\)\( T^{7} + \)\(39\!\cdots\!62\)\( T^{8} - \)\(29\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!69\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( T^{12} - \)\(62\!\cdots\!64\)\( T^{13} + \)\(38\!\cdots\!69\)\( T^{14} - \)\(21\!\cdots\!04\)\( T^{15} + \)\(38\!\cdots\!69\)\( p^{5} T^{16} - \)\(62\!\cdots\!64\)\( p^{10} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{18} - \)\(15\!\cdots\!98\)\( p^{20} T^{19} + \)\(22\!\cdots\!69\)\( p^{25} T^{20} - \)\(29\!\cdots\!02\)\( p^{30} T^{21} + \)\(39\!\cdots\!62\)\( p^{35} T^{22} - \)\(43\!\cdots\!86\)\( p^{40} T^{23} + \)\(53\!\cdots\!71\)\( p^{45} T^{24} - \)\(47\!\cdots\!92\)\( p^{50} T^{25} + \)\(51\!\cdots\!83\)\( p^{55} T^{26} - 3379783473107678 p^{60} T^{27} + 32005938930 p^{65} T^{28} - 115500 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 83 | \( 1 - 201630 T + 48136440261 T^{2} - 6339457056185919 T^{3} + \)\(91\!\cdots\!44\)\( T^{4} - \)\(92\!\cdots\!23\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{6} - \)\(86\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(81\!\cdots\!68\)\( T^{8} - \)\(60\!\cdots\!48\)\( T^{9} + \)\(51\!\cdots\!05\)\( T^{10} - \)\(35\!\cdots\!33\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!85\)\( T^{12} - \)\(17\!\cdots\!87\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!36\)\( T^{14} - \)\(74\!\cdots\!67\)\( T^{15} + \)\(12\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{16} - \)\(17\!\cdots\!87\)\( p^{10} T^{17} + \)\(27\!\cdots\!85\)\( p^{15} T^{18} - \)\(35\!\cdots\!33\)\( p^{20} T^{19} + \)\(51\!\cdots\!05\)\( p^{25} T^{20} - \)\(60\!\cdots\!48\)\( p^{30} T^{21} + \)\(81\!\cdots\!68\)\( p^{35} T^{22} - \)\(86\!\cdots\!56\)\( p^{40} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( p^{45} T^{24} - \)\(92\!\cdots\!23\)\( p^{50} T^{25} + \)\(91\!\cdots\!44\)\( p^{55} T^{26} - 6339457056185919 p^{60} T^{27} + 48136440261 p^{65} T^{28} - 201630 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 89 | \( 1 - 101505 T + 46922937627 T^{2} - 3972108231321210 T^{3} + \)\(10\!\cdots\!61\)\( T^{4} - \)\(81\!\cdots\!19\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!47\)\( T^{6} - \)\(11\!\cdots\!54\)\( T^{7} + \)\(20\!\cdots\!55\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!61\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!13\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!30\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!87\)\( T^{12} - \)\(82\!\cdots\!07\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!78\)\( T^{14} - \)\(49\!\cdots\!89\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{16} - \)\(82\!\cdots\!07\)\( p^{10} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!87\)\( p^{15} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!30\)\( p^{20} T^{19} + \)\(19\!\cdots\!13\)\( p^{25} T^{20} - \)\(12\!\cdots\!61\)\( p^{30} T^{21} + \)\(20\!\cdots\!55\)\( p^{35} T^{22} - \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{40} T^{23} + \)\(17\!\cdots\!47\)\( p^{45} T^{24} - \)\(81\!\cdots\!19\)\( p^{50} T^{25} + \)\(10\!\cdots\!61\)\( p^{55} T^{26} - 3972108231321210 p^{60} T^{27} + 46922937627 p^{65} T^{28} - 101505 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 97 | \( 1 + 297114 T + 95721254181 T^{2} + 19272511965010549 T^{3} + \)\(40\!\cdots\!36\)\( T^{4} + \)\(65\!\cdots\!33\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( T^{6} + \)\(15\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( T^{8} + \)\(26\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!45\)\( T^{10} + \)\(36\!\cdots\!03\)\( T^{11} + \)\(40\!\cdots\!81\)\( T^{12} + \)\(41\!\cdots\!41\)\( T^{13} + \)\(41\!\cdots\!22\)\( T^{14} + \)\(38\!\cdots\!77\)\( T^{15} + \)\(41\!\cdots\!22\)\( p^{5} T^{16} + \)\(41\!\cdots\!41\)\( p^{10} T^{17} + \)\(40\!\cdots\!81\)\( p^{15} T^{18} + \)\(36\!\cdots\!03\)\( p^{20} T^{19} + \)\(32\!\cdots\!45\)\( p^{25} T^{20} + \)\(26\!\cdots\!92\)\( p^{30} T^{21} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( p^{35} T^{22} + \)\(15\!\cdots\!80\)\( p^{40} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( p^{45} T^{24} + \)\(65\!\cdots\!33\)\( p^{50} T^{25} + \)\(40\!\cdots\!36\)\( p^{55} T^{26} + 19272511965010549 p^{60} T^{27} + 95721254181 p^{65} T^{28} + 297114 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.85886538696157878679773638084, −1.83523915388917531764875699961, −1.80651712697116547078638710878, −1.73743016261674376631568390761, −1.70965307044532875971766796508, −1.68411876397693270862213419986, −1.46448769072775217270886780521, −1.43794796342737020082405103729, −1.40601273948562599713562337768, −1.26271852379309659482683842633, −1.16444637936175169710906345756, −1.01766303436525193911606919160, −1.01266117394780574613446783203, −0.833757968037833567425451947549, −0.827479324483089002067236983150, −0.73227629584693673288206640923, −0.64634222763304530955124053936, −0.60271350534296704619816469924, −0.56881307686302487000255717933, −0.45309394340730011117603970042, −0.39616416081856741281837230991, −0.39104646743083291063374755426, −0.27814729153795609998808603180, −0.12948662070455469143263854553, −0.11081705564925852662455982043, 0.11081705564925852662455982043, 0.12948662070455469143263854553, 0.27814729153795609998808603180, 0.39104646743083291063374755426, 0.39616416081856741281837230991, 0.45309394340730011117603970042, 0.56881307686302487000255717933, 0.60271350534296704619816469924, 0.64634222763304530955124053936, 0.73227629584693673288206640923, 0.827479324483089002067236983150, 0.833757968037833567425451947549, 1.01266117394780574613446783203, 1.01766303436525193911606919160, 1.16444637936175169710906345756, 1.26271852379309659482683842633, 1.40601273948562599713562337768, 1.43794796342737020082405103729, 1.46448769072775217270886780521, 1.68411876397693270862213419986, 1.70965307044532875971766796508, 1.73743016261674376631568390761, 1.80651712697116547078638710878, 1.83523915388917531764875699961, 1.85886538696157878679773638084
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.