Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 270·2-s + 6.56e3·3-s + 4.15e5·4-s + 1.08e6·5-s + 1.77e6·6-s + 1.43e7·7-s + 5.00e7·8-s + 4.17e8·9-s + 2.94e8·10-s − 1.48e8·11-s + 2.72e9·12-s + 3.57e9·13-s + 3.88e9·14-s + 7.14e9·15-s + 7.65e10·16-s + 1.52e10·17-s + 1.12e11·18-s − 7.16e10·19-s + 4.53e11·20-s + 9.44e10·21-s − 4.00e10·22-s − 3.16e11·23-s + 3.28e11·24-s + 4.70e12·25-s + 9.66e11·26-s − 6.13e11·27-s + 5.98e12·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.745·2-s + 0.577·3-s + 3.17·4-s + 1.24·5-s + 0.430·6-s + 0.943·7-s + 1.05·8-s + 3.23·9-s + 0.930·10-s − 0.208·11-s + 1.83·12-s + 1.21·13-s + 0.703·14-s + 0.720·15-s + 4.45·16-s + 0.530·17-s + 2.41·18-s − 0.967·19-s + 3.95·20-s + 0.544·21-s − 0.155·22-s − 0.842·23-s + 0.609·24-s + 6.16·25-s + 0.907·26-s − 0.417·27-s + 2.99·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(18-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+17/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(7^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.45049\times 10^{22}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.58127\) |
| Motivic weight: | \(17\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 7^{20} ,\ ( \ : [17/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(9)\) | \(\approx\) | \(917.9707376\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(917.9707376\) |
| \(L(\frac{19}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 7 | \( 1 - 2056480 p T + 247868803306 p^{3} T^{2} - 83042757795105440 p^{6} T^{3} + \)\(38\!\cdots\!84\)\( p^{9} T^{4} + \)\(73\!\cdots\!96\)\( p^{13} T^{5} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( p^{18} T^{6} - \)\(38\!\cdots\!32\)\( p^{24} T^{7} - \)\(23\!\cdots\!16\)\( p^{31} T^{8} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{38} T^{9} + \)\(35\!\cdots\!08\)\( p^{46} T^{10} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{55} T^{11} - \)\(23\!\cdots\!16\)\( p^{65} T^{12} - \)\(38\!\cdots\!32\)\( p^{75} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( p^{86} T^{14} + \)\(73\!\cdots\!96\)\( p^{98} T^{15} + \)\(38\!\cdots\!84\)\( p^{111} T^{16} - 83042757795105440 p^{125} T^{17} + 247868803306 p^{139} T^{18} - 2056480 p^{154} T^{19} + p^{170} T^{20} \) |
| good | 2 | \( 1 - 135 p T - 42885 p^{3} T^{2} + 19359255 p^{3} T^{3} + 2365670743 p^{4} T^{4} - 570091023975 p^{6} T^{5} + 8584820056939 p^{9} T^{6} + 3386431310655975 p^{10} T^{7} - 26560790961759177 p^{16} T^{8} + 2543217726471881895 p^{14} T^{9} + \)\(29\!\cdots\!83\)\( p^{16} T^{10} - \)\(64\!\cdots\!95\)\( p^{19} T^{11} - \)\(29\!\cdots\!87\)\( p^{22} T^{12} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( p^{27} T^{13} + \)\(80\!\cdots\!51\)\( p^{31} T^{14} - \)\(17\!\cdots\!25\)\( p^{35} T^{15} - \)\(50\!\cdots\!89\)\( p^{38} T^{16} + \)\(10\!\cdots\!35\)\( p^{44} T^{17} - \)\(34\!\cdots\!35\)\( p^{47} T^{18} - \)\(39\!\cdots\!95\)\( p^{55} T^{19} + \)\(68\!\cdots\!61\)\( p^{54} T^{20} - \)\(39\!\cdots\!95\)\( p^{72} T^{21} - \)\(34\!\cdots\!35\)\( p^{81} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!35\)\( p^{95} T^{23} - \)\(50\!\cdots\!89\)\( p^{106} T^{24} - \)\(17\!\cdots\!25\)\( p^{120} T^{25} + \)\(80\!\cdots\!51\)\( p^{133} T^{26} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( p^{146} T^{27} - \)\(29\!\cdots\!87\)\( p^{158} T^{28} - \)\(64\!\cdots\!95\)\( p^{172} T^{29} + \)\(29\!\cdots\!83\)\( p^{186} T^{30} + 2543217726471881895 p^{201} T^{31} - 26560790961759177 p^{220} T^{32} + 3386431310655975 p^{231} T^{33} + 8584820056939 p^{247} T^{34} - 570091023975 p^{261} T^{35} + 2365670743 p^{276} T^{36} + 19359255 p^{292} T^{37} - 42885 p^{309} T^{38} - 135 p^{324} T^{39} + p^{340} T^{40} \) |
| 3 | \( 1 - 6560 T - 374742401 T^{2} + 1937333144720 p T^{3} + 5540234399739538 p^{2} T^{4} - 20829591977537979800 p^{4} T^{5} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( p^{6} T^{6} + \)\(38\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{7} - \)\(42\!\cdots\!46\)\( p^{10} T^{8} - \)\(31\!\cdots\!80\)\( p^{12} T^{9} + \)\(33\!\cdots\!03\)\( p^{15} T^{10} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{11} - \)\(49\!\cdots\!80\)\( p^{21} T^{12} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{20} T^{13} + \)\(53\!\cdots\!17\)\( p^{22} T^{14} - \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{15} + \)\(23\!\cdots\!93\)\( p^{26} T^{16} + \)\(53\!\cdots\!80\)\( p^{28} T^{17} - \)\(82\!\cdots\!42\)\( p^{30} T^{18} - \)\(37\!\cdots\!40\)\( p^{34} T^{19} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( p^{38} T^{20} - \)\(37\!\cdots\!40\)\( p^{51} T^{21} - \)\(82\!\cdots\!42\)\( p^{64} T^{22} + \)\(53\!\cdots\!80\)\( p^{79} T^{23} + \)\(23\!\cdots\!93\)\( p^{94} T^{24} - \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{109} T^{25} + \)\(53\!\cdots\!17\)\( p^{124} T^{26} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{139} T^{27} - \)\(49\!\cdots\!80\)\( p^{157} T^{28} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{170} T^{29} + \)\(33\!\cdots\!03\)\( p^{185} T^{30} - \)\(31\!\cdots\!80\)\( p^{199} T^{31} - \)\(42\!\cdots\!46\)\( p^{214} T^{32} + \)\(38\!\cdots\!20\)\( p^{229} T^{33} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( p^{244} T^{34} - 20829591977537979800 p^{259} T^{35} + 5540234399739538 p^{274} T^{36} + 1937333144720 p^{290} T^{37} - 374742401 p^{306} T^{38} - 6560 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 5 | \( 1 - 1089798 T - 3516530378007 T^{2} + 5003768132067560202 T^{3} + \)\(53\!\cdots\!26\)\( T^{4} - \)\(22\!\cdots\!38\)\( p T^{5} - \)\(17\!\cdots\!77\)\( p^{2} T^{6} + \)\(26\!\cdots\!46\)\( p^{4} T^{7} + \)\(86\!\cdots\!34\)\( p^{4} T^{8} - \)\(61\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{9} + \)\(28\!\cdots\!91\)\( p^{6} T^{10} + \)\(45\!\cdots\!54\)\( p^{8} T^{11} - \)\(87\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{12} - \)\(11\!\cdots\!62\)\( p^{13} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!11\)\( p^{14} T^{14} + \)\(59\!\cdots\!94\)\( p^{16} T^{15} - \)\(27\!\cdots\!43\)\( p^{18} T^{16} - \)\(47\!\cdots\!24\)\( p^{20} T^{17} + \)\(38\!\cdots\!38\)\( p^{22} T^{18} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( p^{24} T^{19} - \)\(48\!\cdots\!16\)\( p^{26} T^{20} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( p^{41} T^{21} + \)\(38\!\cdots\!38\)\( p^{56} T^{22} - \)\(47\!\cdots\!24\)\( p^{71} T^{23} - \)\(27\!\cdots\!43\)\( p^{86} T^{24} + \)\(59\!\cdots\!94\)\( p^{101} T^{25} + \)\(17\!\cdots\!11\)\( p^{116} T^{26} - \)\(11\!\cdots\!62\)\( p^{132} T^{27} - \)\(87\!\cdots\!12\)\( p^{146} T^{28} + \)\(45\!\cdots\!54\)\( p^{161} T^{29} + \)\(28\!\cdots\!91\)\( p^{176} T^{30} - \)\(61\!\cdots\!74\)\( p^{192} T^{31} + \)\(86\!\cdots\!34\)\( p^{208} T^{32} + \)\(26\!\cdots\!46\)\( p^{225} T^{33} - \)\(17\!\cdots\!77\)\( p^{240} T^{34} - \)\(22\!\cdots\!38\)\( p^{256} T^{35} + \)\(53\!\cdots\!26\)\( p^{272} T^{36} + 5003768132067560202 p^{289} T^{37} - 3516530378007 p^{306} T^{38} - 1089798 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 11 | \( 1 + 148256184 T - 3822221019459101481 T^{2} - \)\(10\!\cdots\!44\)\( p T^{3} + \)\(76\!\cdots\!98\)\( T^{4} + \)\(30\!\cdots\!20\)\( T^{5} - \)\(10\!\cdots\!71\)\( T^{6} - \)\(49\!\cdots\!28\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( T^{8} + \)\(51\!\cdots\!52\)\( p T^{9} - \)\(74\!\cdots\!03\)\( p^{2} T^{10} - \)\(36\!\cdots\!08\)\( p^{3} T^{11} + \)\(43\!\cdots\!32\)\( p^{4} T^{12} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{13} - \)\(22\!\cdots\!71\)\( p^{6} T^{14} - \)\(87\!\cdots\!96\)\( p^{7} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!41\)\( p^{8} T^{16} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( p^{9} T^{17} - \)\(49\!\cdots\!46\)\( p^{10} T^{18} - \)\(42\!\cdots\!60\)\( p^{11} T^{19} + \)\(21\!\cdots\!16\)\( p^{12} T^{20} - \)\(42\!\cdots\!60\)\( p^{28} T^{21} - \)\(49\!\cdots\!46\)\( p^{44} T^{22} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( p^{60} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!41\)\( p^{76} T^{24} - \)\(87\!\cdots\!96\)\( p^{92} T^{25} - \)\(22\!\cdots\!71\)\( p^{108} T^{26} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{124} T^{27} + \)\(43\!\cdots\!32\)\( p^{140} T^{28} - \)\(36\!\cdots\!08\)\( p^{156} T^{29} - \)\(74\!\cdots\!03\)\( p^{172} T^{30} + \)\(51\!\cdots\!52\)\( p^{188} T^{31} + \)\(10\!\cdots\!86\)\( p^{204} T^{32} - \)\(49\!\cdots\!28\)\( p^{221} T^{33} - \)\(10\!\cdots\!71\)\( p^{238} T^{34} + \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{255} T^{35} + \)\(76\!\cdots\!98\)\( p^{272} T^{36} - \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{290} T^{37} - 3822221019459101481 p^{306} T^{38} + 148256184 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 13 | \( ( 1 - 1789367020 T + 53925999965692561270 T^{2} - \)\(86\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(90\!\cdots\!01\)\( p^{2} T^{4} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{5} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{4} T^{6} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{7} + \)\(80\!\cdots\!02\)\( p^{6} T^{8} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{7} T^{9} + \)\(47\!\cdots\!68\)\( p^{8} T^{10} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{24} T^{11} + \)\(80\!\cdots\!02\)\( p^{40} T^{12} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{56} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{72} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{15} + \)\(90\!\cdots\!01\)\( p^{104} T^{16} - \)\(86\!\cdots\!60\)\( p^{120} T^{17} + 53925999965692561270 p^{136} T^{18} - 1789367020 p^{153} T^{19} + p^{170} T^{20} )^{2} \) | |
| 17 | \( 1 - 15259176570 T - \)\(42\!\cdots\!79\)\( T^{2} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( T^{3} + \)\(75\!\cdots\!82\)\( T^{4} - \)\(44\!\cdots\!50\)\( T^{5} - \)\(41\!\cdots\!89\)\( T^{6} + \)\(65\!\cdots\!30\)\( T^{7} - \)\(35\!\cdots\!62\)\( p T^{8} - \)\(47\!\cdots\!50\)\( T^{9} + \)\(99\!\cdots\!59\)\( T^{10} + \)\(56\!\cdots\!90\)\( T^{11} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( p T^{12} + \)\(65\!\cdots\!50\)\( T^{13} - \)\(13\!\cdots\!73\)\( T^{14} + \)\(21\!\cdots\!90\)\( T^{15} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( T^{16} - \)\(40\!\cdots\!80\)\( T^{17} - \)\(90\!\cdots\!02\)\( T^{18} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( T^{19} - \)\(42\!\cdots\!12\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{21} - \)\(90\!\cdots\!02\)\( p^{34} T^{22} - \)\(40\!\cdots\!80\)\( p^{51} T^{23} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( p^{68} T^{24} + \)\(21\!\cdots\!90\)\( p^{85} T^{25} - \)\(13\!\cdots\!73\)\( p^{102} T^{26} + \)\(65\!\cdots\!50\)\( p^{119} T^{27} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{137} T^{28} + \)\(56\!\cdots\!90\)\( p^{153} T^{29} + \)\(99\!\cdots\!59\)\( p^{170} T^{30} - \)\(47\!\cdots\!50\)\( p^{187} T^{31} - \)\(35\!\cdots\!62\)\( p^{205} T^{32} + \)\(65\!\cdots\!30\)\( p^{221} T^{33} - \)\(41\!\cdots\!89\)\( p^{238} T^{34} - \)\(44\!\cdots\!50\)\( p^{255} T^{35} + \)\(75\!\cdots\!82\)\( p^{272} T^{36} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( p^{289} T^{37} - \)\(42\!\cdots\!79\)\( p^{306} T^{38} - 15259176570 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 + 71656970872 T - \)\(23\!\cdots\!57\)\( T^{2} - \)\(17\!\cdots\!52\)\( T^{3} + \)\(22\!\cdots\!58\)\( T^{4} + \)\(17\!\cdots\!12\)\( T^{5} - \)\(14\!\cdots\!51\)\( T^{6} - \)\(95\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!62\)\( T^{8} + \)\(56\!\cdots\!40\)\( T^{9} - \)\(93\!\cdots\!43\)\( T^{10} - \)\(42\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(62\!\cdots\!88\)\( T^{12} + \)\(22\!\cdots\!36\)\( T^{13} - \)\(41\!\cdots\!99\)\( T^{14} - \)\(88\!\cdots\!24\)\( T^{15} + \)\(27\!\cdots\!01\)\( T^{16} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( p T^{17} - \)\(14\!\cdots\!74\)\( T^{18} - \)\(12\!\cdots\!28\)\( T^{19} + \)\(74\!\cdots\!48\)\( T^{20} - \)\(12\!\cdots\!28\)\( p^{17} T^{21} - \)\(14\!\cdots\!74\)\( p^{34} T^{22} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{52} T^{23} + \)\(27\!\cdots\!01\)\( p^{68} T^{24} - \)\(88\!\cdots\!24\)\( p^{85} T^{25} - \)\(41\!\cdots\!99\)\( p^{102} T^{26} + \)\(22\!\cdots\!36\)\( p^{119} T^{27} + \)\(62\!\cdots\!88\)\( p^{136} T^{28} - \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{153} T^{29} - \)\(93\!\cdots\!43\)\( p^{170} T^{30} + \)\(56\!\cdots\!40\)\( p^{187} T^{31} + \)\(11\!\cdots\!62\)\( p^{204} T^{32} - \)\(95\!\cdots\!56\)\( p^{221} T^{33} - \)\(14\!\cdots\!51\)\( p^{238} T^{34} + \)\(17\!\cdots\!12\)\( p^{255} T^{35} + \)\(22\!\cdots\!58\)\( p^{272} T^{36} - \)\(17\!\cdots\!52\)\( p^{289} T^{37} - \)\(23\!\cdots\!57\)\( p^{306} T^{38} + 71656970872 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 23 | \( 1 + 13752456660 p T - \)\(60\!\cdots\!13\)\( T^{2} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( p T^{3} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( T^{4} + \)\(72\!\cdots\!80\)\( T^{5} - \)\(24\!\cdots\!75\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(34\!\cdots\!58\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{9} - \)\(57\!\cdots\!55\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(64\!\cdots\!52\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(11\!\cdots\!03\)\( p T^{14} - \)\(44\!\cdots\!20\)\( T^{15} - \)\(12\!\cdots\!71\)\( T^{16} - \)\(23\!\cdots\!40\)\( T^{17} + \)\(20\!\cdots\!30\)\( T^{18} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( T^{19} - \)\(26\!\cdots\!16\)\( T^{20} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{17} T^{21} + \)\(20\!\cdots\!30\)\( p^{34} T^{22} - \)\(23\!\cdots\!40\)\( p^{51} T^{23} - \)\(12\!\cdots\!71\)\( p^{68} T^{24} - \)\(44\!\cdots\!20\)\( p^{85} T^{25} + \)\(11\!\cdots\!03\)\( p^{103} T^{26} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{119} T^{27} + \)\(64\!\cdots\!52\)\( p^{136} T^{28} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{153} T^{29} - \)\(57\!\cdots\!55\)\( p^{170} T^{30} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{187} T^{31} + \)\(34\!\cdots\!58\)\( p^{204} T^{32} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{221} T^{33} - \)\(24\!\cdots\!75\)\( p^{238} T^{34} + \)\(72\!\cdots\!80\)\( p^{255} T^{35} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( p^{272} T^{36} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{290} T^{37} - \)\(60\!\cdots\!13\)\( p^{306} T^{38} + 13752456660 p^{324} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 29 | \( ( 1 - 142438427340 T + \)\(39\!\cdots\!94\)\( T^{2} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{3} + \)\(79\!\cdots\!97\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{6} + \)\(29\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!10\)\( T^{8} + \)\(33\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(92\!\cdots\!92\)\( T^{10} + \)\(33\!\cdots\!00\)\( p^{17} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!10\)\( p^{34} T^{12} + \)\(29\!\cdots\!36\)\( p^{51} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{68} T^{14} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{85} T^{15} + \)\(79\!\cdots\!97\)\( p^{102} T^{16} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( p^{119} T^{17} + \)\(39\!\cdots\!94\)\( p^{136} T^{18} - 142438427340 p^{153} T^{19} + p^{170} T^{20} )^{2} \) | |
| 31 | \( 1 + 51865196196 p T - \)\(12\!\cdots\!29\)\( T^{2} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( T^{3} + \)\(77\!\cdots\!54\)\( T^{4} + \)\(80\!\cdots\!28\)\( T^{5} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( T^{6} - \)\(36\!\cdots\!16\)\( T^{7} + \)\(98\!\cdots\!66\)\( T^{8} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( T^{9} - \)\(24\!\cdots\!79\)\( T^{10} - \)\(68\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( T^{12} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{13} - \)\(85\!\cdots\!55\)\( T^{14} - \)\(53\!\cdots\!72\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( T^{16} + \)\(90\!\cdots\!68\)\( T^{17} - \)\(58\!\cdots\!18\)\( T^{18} - \)\(75\!\cdots\!48\)\( T^{19} - \)\(35\!\cdots\!56\)\( T^{20} - \)\(75\!\cdots\!48\)\( p^{17} T^{21} - \)\(58\!\cdots\!18\)\( p^{34} T^{22} + \)\(90\!\cdots\!68\)\( p^{51} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( p^{68} T^{24} - \)\(53\!\cdots\!72\)\( p^{85} T^{25} - \)\(85\!\cdots\!55\)\( p^{102} T^{26} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{119} T^{27} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{136} T^{28} - \)\(68\!\cdots\!20\)\( p^{153} T^{29} - \)\(24\!\cdots\!79\)\( p^{170} T^{30} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( p^{187} T^{31} + \)\(98\!\cdots\!66\)\( p^{204} T^{32} - \)\(36\!\cdots\!16\)\( p^{221} T^{33} - \)\(31\!\cdots\!91\)\( p^{238} T^{34} + \)\(80\!\cdots\!28\)\( p^{255} T^{35} + \)\(77\!\cdots\!54\)\( p^{272} T^{36} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{289} T^{37} - \)\(12\!\cdots\!29\)\( p^{306} T^{38} + 51865196196 p^{324} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 - 5528585266950 T - \)\(63\!\cdots\!39\)\( p T^{2} - \)\(60\!\cdots\!90\)\( T^{3} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( T^{4} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( T^{5} - \)\(25\!\cdots\!33\)\( T^{6} - \)\(31\!\cdots\!10\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!74\)\( T^{8} + \)\(66\!\cdots\!70\)\( p T^{9} - \)\(59\!\cdots\!37\)\( T^{10} - \)\(13\!\cdots\!90\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( T^{12} + \)\(53\!\cdots\!10\)\( T^{13} + \)\(45\!\cdots\!99\)\( T^{14} - \)\(18\!\cdots\!90\)\( T^{15} - \)\(69\!\cdots\!39\)\( T^{16} + \)\(53\!\cdots\!40\)\( T^{17} + \)\(51\!\cdots\!46\)\( T^{18} - \)\(90\!\cdots\!60\)\( T^{19} - \)\(26\!\cdots\!88\)\( T^{20} - \)\(90\!\cdots\!60\)\( p^{17} T^{21} + \)\(51\!\cdots\!46\)\( p^{34} T^{22} + \)\(53\!\cdots\!40\)\( p^{51} T^{23} - \)\(69\!\cdots\!39\)\( p^{68} T^{24} - \)\(18\!\cdots\!90\)\( p^{85} T^{25} + \)\(45\!\cdots\!99\)\( p^{102} T^{26} + \)\(53\!\cdots\!10\)\( p^{119} T^{27} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{136} T^{28} - \)\(13\!\cdots\!90\)\( p^{153} T^{29} - \)\(59\!\cdots\!37\)\( p^{170} T^{30} + \)\(66\!\cdots\!70\)\( p^{188} T^{31} + \)\(14\!\cdots\!74\)\( p^{204} T^{32} - \)\(31\!\cdots\!10\)\( p^{221} T^{33} - \)\(25\!\cdots\!33\)\( p^{238} T^{34} + \)\(23\!\cdots\!90\)\( p^{255} T^{35} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( p^{272} T^{36} - \)\(60\!\cdots\!90\)\( p^{289} T^{37} - \)\(63\!\cdots\!39\)\( p^{307} T^{38} - 5528585266950 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 41 | \( ( 1 + 33363815557212 T + \)\(16\!\cdots\!38\)\( T^{2} + \)\(49\!\cdots\!04\)\( T^{3} + \)\(12\!\cdots\!85\)\( T^{4} + \)\(32\!\cdots\!04\)\( T^{5} + \)\(55\!\cdots\!60\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(18\!\cdots\!22\)\( T^{8} + \)\(37\!\cdots\!08\)\( T^{9} + \)\(50\!\cdots\!20\)\( T^{10} + \)\(37\!\cdots\!08\)\( p^{17} T^{11} + \)\(18\!\cdots\!22\)\( p^{34} T^{12} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( p^{51} T^{13} + \)\(55\!\cdots\!60\)\( p^{68} T^{14} + \)\(32\!\cdots\!04\)\( p^{85} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!85\)\( p^{102} T^{16} + \)\(49\!\cdots\!04\)\( p^{119} T^{17} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( p^{136} T^{18} + 33363815557212 p^{153} T^{19} + p^{170} T^{20} )^{2} \) | |
| 43 | \( ( 1 + 46514198458120 T + \)\(34\!\cdots\!70\)\( T^{2} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(59\!\cdots\!37\)\( T^{4} + \)\(29\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(69\!\cdots\!52\)\( T^{6} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(60\!\cdots\!14\)\( T^{8} + \)\(24\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(93\!\cdots\!92\)\( p T^{10} + \)\(24\!\cdots\!60\)\( p^{17} T^{11} + \)\(60\!\cdots\!14\)\( p^{34} T^{12} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{51} T^{13} + \)\(69\!\cdots\!52\)\( p^{68} T^{14} + \)\(29\!\cdots\!80\)\( p^{85} T^{15} + \)\(59\!\cdots\!37\)\( p^{102} T^{16} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{119} T^{17} + \)\(34\!\cdots\!70\)\( p^{136} T^{18} + 46514198458120 p^{153} T^{19} + p^{170} T^{20} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 - 162460135616460 T - \)\(91\!\cdots\!29\)\( T^{2} - \)\(65\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(77\!\cdots\!78\)\( T^{4} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{5} - \)\(22\!\cdots\!55\)\( T^{6} - \)\(99\!\cdots\!40\)\( T^{7} - \)\(14\!\cdots\!06\)\( T^{8} + \)\(37\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(57\!\cdots\!25\)\( T^{10} - \)\(69\!\cdots\!60\)\( T^{11} - \)\(26\!\cdots\!24\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!60\)\( T^{13} + \)\(67\!\cdots\!37\)\( T^{14} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{15} - \)\(32\!\cdots\!75\)\( T^{16} - \)\(36\!\cdots\!40\)\( T^{17} - \)\(36\!\cdots\!70\)\( T^{18} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{20} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( p^{17} T^{21} - \)\(36\!\cdots\!70\)\( p^{34} T^{22} - \)\(36\!\cdots\!40\)\( p^{51} T^{23} - \)\(32\!\cdots\!75\)\( p^{68} T^{24} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{85} T^{25} + \)\(67\!\cdots\!37\)\( p^{102} T^{26} - \)\(13\!\cdots\!60\)\( p^{119} T^{27} - \)\(26\!\cdots\!24\)\( p^{136} T^{28} - \)\(69\!\cdots\!60\)\( p^{153} T^{29} + \)\(57\!\cdots\!25\)\( p^{170} T^{30} + \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{187} T^{31} - \)\(14\!\cdots\!06\)\( p^{204} T^{32} - \)\(99\!\cdots\!40\)\( p^{221} T^{33} - \)\(22\!\cdots\!55\)\( p^{238} T^{34} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{255} T^{35} + \)\(77\!\cdots\!78\)\( p^{272} T^{36} - \)\(65\!\cdots\!80\)\( p^{289} T^{37} - \)\(91\!\cdots\!29\)\( p^{306} T^{38} - 162460135616460 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 - 349838159677350 T - \)\(97\!\cdots\!59\)\( T^{2} + \)\(31\!\cdots\!30\)\( T^{3} + \)\(46\!\cdots\!26\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!50\)\( T^{5} - \)\(13\!\cdots\!13\)\( T^{6} + \)\(38\!\cdots\!50\)\( T^{7} + \)\(29\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(88\!\cdots\!90\)\( T^{9} - \)\(48\!\cdots\!77\)\( T^{10} + \)\(17\!\cdots\!10\)\( T^{11} + \)\(81\!\cdots\!64\)\( T^{12} - \)\(25\!\cdots\!10\)\( T^{13} - \)\(20\!\cdots\!33\)\( T^{14} + \)\(16\!\cdots\!90\)\( T^{15} + \)\(63\!\cdots\!29\)\( T^{16} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( T^{17} - \)\(16\!\cdots\!14\)\( T^{18} - \)\(41\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(36\!\cdots\!60\)\( T^{20} - \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{21} - \)\(16\!\cdots\!14\)\( p^{34} T^{22} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{51} T^{23} + \)\(63\!\cdots\!29\)\( p^{68} T^{24} + \)\(16\!\cdots\!90\)\( p^{85} T^{25} - \)\(20\!\cdots\!33\)\( p^{102} T^{26} - \)\(25\!\cdots\!10\)\( p^{119} T^{27} + \)\(81\!\cdots\!64\)\( p^{136} T^{28} + \)\(17\!\cdots\!10\)\( p^{153} T^{29} - \)\(48\!\cdots\!77\)\( p^{170} T^{30} - \)\(88\!\cdots\!90\)\( p^{187} T^{31} + \)\(29\!\cdots\!70\)\( p^{204} T^{32} + \)\(38\!\cdots\!50\)\( p^{221} T^{33} - \)\(13\!\cdots\!13\)\( p^{238} T^{34} - \)\(13\!\cdots\!50\)\( p^{255} T^{35} + \)\(46\!\cdots\!26\)\( p^{272} T^{36} + \)\(31\!\cdots\!30\)\( p^{289} T^{37} - \)\(97\!\cdots\!59\)\( p^{306} T^{38} - 349838159677350 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 - 49124163831384 p T - \)\(17\!\cdots\!37\)\( T^{2} + \)\(72\!\cdots\!44\)\( T^{3} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( T^{4} - \)\(16\!\cdots\!36\)\( T^{5} - \)\(30\!\cdots\!15\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(58\!\cdots\!86\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{9} - \)\(58\!\cdots\!71\)\( T^{10} - \)\(51\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( T^{12} + \)\(31\!\cdots\!64\)\( T^{13} + \)\(49\!\cdots\!69\)\( T^{14} + \)\(42\!\cdots\!96\)\( T^{15} - \)\(14\!\cdots\!75\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{17} - \)\(10\!\cdots\!50\)\( T^{18} + \)\(83\!\cdots\!24\)\( T^{19} + \)\(24\!\cdots\!64\)\( T^{20} + \)\(83\!\cdots\!24\)\( p^{17} T^{21} - \)\(10\!\cdots\!50\)\( p^{34} T^{22} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{51} T^{23} - \)\(14\!\cdots\!75\)\( p^{68} T^{24} + \)\(42\!\cdots\!96\)\( p^{85} T^{25} + \)\(49\!\cdots\!69\)\( p^{102} T^{26} + \)\(31\!\cdots\!64\)\( p^{119} T^{27} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{136} T^{28} - \)\(51\!\cdots\!20\)\( p^{153} T^{29} - \)\(58\!\cdots\!71\)\( p^{170} T^{30} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{187} T^{31} + \)\(58\!\cdots\!86\)\( p^{204} T^{32} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{221} T^{33} - \)\(30\!\cdots\!15\)\( p^{238} T^{34} - \)\(16\!\cdots\!36\)\( p^{255} T^{35} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( p^{272} T^{36} + \)\(72\!\cdots\!44\)\( p^{289} T^{37} - \)\(17\!\cdots\!37\)\( p^{306} T^{38} - 49124163831384 p^{324} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 - 4829263771794542 T + \)\(22\!\cdots\!45\)\( T^{2} + \)\(12\!\cdots\!94\)\( T^{3} + \)\(24\!\cdots\!62\)\( T^{4} - \)\(81\!\cdots\!10\)\( T^{5} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( T^{7} + \)\(76\!\cdots\!86\)\( T^{8} - \)\(58\!\cdots\!94\)\( T^{9} - \)\(21\!\cdots\!77\)\( T^{10} - \)\(26\!\cdots\!18\)\( T^{11} + \)\(53\!\cdots\!68\)\( T^{12} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( T^{13} - \)\(20\!\cdots\!97\)\( T^{14} - \)\(38\!\cdots\!74\)\( T^{15} - \)\(21\!\cdots\!59\)\( T^{16} + \)\(67\!\cdots\!24\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!10\)\( T^{18} - \)\(71\!\cdots\!72\)\( T^{19} - \)\(33\!\cdots\!60\)\( T^{20} - \)\(71\!\cdots\!72\)\( p^{17} T^{21} + \)\(12\!\cdots\!10\)\( p^{34} T^{22} + \)\(67\!\cdots\!24\)\( p^{51} T^{23} - \)\(21\!\cdots\!59\)\( p^{68} T^{24} - \)\(38\!\cdots\!74\)\( p^{85} T^{25} - \)\(20\!\cdots\!97\)\( p^{102} T^{26} + \)\(11\!\cdots\!02\)\( p^{119} T^{27} + \)\(53\!\cdots\!68\)\( p^{136} T^{28} - \)\(26\!\cdots\!18\)\( p^{153} T^{29} - \)\(21\!\cdots\!77\)\( p^{170} T^{30} - \)\(58\!\cdots\!94\)\( p^{187} T^{31} + \)\(76\!\cdots\!86\)\( p^{204} T^{32} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( p^{221} T^{33} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( p^{238} T^{34} - \)\(81\!\cdots\!10\)\( p^{255} T^{35} + \)\(24\!\cdots\!62\)\( p^{272} T^{36} + \)\(12\!\cdots\!94\)\( p^{289} T^{37} + \)\(22\!\cdots\!45\)\( p^{306} T^{38} - 4829263771794542 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 67 | \( 1 - 1327703510619200 T - \)\(67\!\cdots\!61\)\( T^{2} + \)\(53\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(23\!\cdots\!02\)\( T^{4} - \)\(73\!\cdots\!40\)\( T^{5} - \)\(55\!\cdots\!07\)\( T^{6} + \)\(87\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!54\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{9} - \)\(17\!\cdots\!99\)\( T^{10} - \)\(19\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(25\!\cdots\!08\)\( T^{12} + \)\(27\!\cdots\!60\)\( T^{13} - \)\(35\!\cdots\!15\)\( T^{14} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(45\!\cdots\!89\)\( T^{16} + \)\(41\!\cdots\!60\)\( T^{17} - \)\(54\!\cdots\!62\)\( T^{18} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{19} + \)\(61\!\cdots\!92\)\( T^{20} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{17} T^{21} - \)\(54\!\cdots\!62\)\( p^{34} T^{22} + \)\(41\!\cdots\!60\)\( p^{51} T^{23} + \)\(45\!\cdots\!89\)\( p^{68} T^{24} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{85} T^{25} - \)\(35\!\cdots\!15\)\( p^{102} T^{26} + \)\(27\!\cdots\!60\)\( p^{119} T^{27} + \)\(25\!\cdots\!08\)\( p^{136} T^{28} - \)\(19\!\cdots\!60\)\( p^{153} T^{29} - \)\(17\!\cdots\!99\)\( p^{170} T^{30} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{187} T^{31} + \)\(10\!\cdots\!54\)\( p^{204} T^{32} + \)\(87\!\cdots\!00\)\( p^{221} T^{33} - \)\(55\!\cdots\!07\)\( p^{238} T^{34} - \)\(73\!\cdots\!40\)\( p^{255} T^{35} + \)\(23\!\cdots\!02\)\( p^{272} T^{36} + \)\(53\!\cdots\!20\)\( p^{289} T^{37} - \)\(67\!\cdots\!61\)\( p^{306} T^{38} - 1327703510619200 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 71 | \( ( 1 - 7740330877594608 T + \)\(21\!\cdots\!14\)\( T^{2} - \)\(11\!\cdots\!68\)\( T^{3} + \)\(19\!\cdots\!25\)\( T^{4} - \)\(79\!\cdots\!76\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(30\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(39\!\cdots\!98\)\( T^{8} - \)\(87\!\cdots\!44\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( T^{10} - \)\(87\!\cdots\!44\)\( p^{17} T^{11} + \)\(39\!\cdots\!98\)\( p^{34} T^{12} - \)\(30\!\cdots\!24\)\( p^{51} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{68} T^{14} - \)\(79\!\cdots\!76\)\( p^{85} T^{15} + \)\(19\!\cdots\!25\)\( p^{102} T^{16} - \)\(11\!\cdots\!68\)\( p^{119} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!14\)\( p^{136} T^{18} - 7740330877594608 p^{153} T^{19} + p^{170} T^{20} )^{2} \) | |
| 73 | \( 1 + 3163858704730590 T - \)\(27\!\cdots\!83\)\( T^{2} - \)\(85\!\cdots\!10\)\( T^{3} + \)\(36\!\cdots\!98\)\( T^{4} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( T^{5} - \)\(32\!\cdots\!09\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!70\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!14\)\( T^{8} + \)\(76\!\cdots\!10\)\( T^{9} - \)\(14\!\cdots\!21\)\( T^{10} - \)\(45\!\cdots\!10\)\( T^{11} + \)\(88\!\cdots\!16\)\( T^{12} + \)\(21\!\cdots\!30\)\( T^{13} - \)\(52\!\cdots\!61\)\( T^{14} - \)\(72\!\cdots\!30\)\( T^{15} + \)\(29\!\cdots\!25\)\( T^{16} + \)\(17\!\cdots\!80\)\( T^{17} - \)\(15\!\cdots\!62\)\( T^{18} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{19} + \)\(76\!\cdots\!12\)\( T^{20} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{17} T^{21} - \)\(15\!\cdots\!62\)\( p^{34} T^{22} + \)\(17\!\cdots\!80\)\( p^{51} T^{23} + \)\(29\!\cdots\!25\)\( p^{68} T^{24} - \)\(72\!\cdots\!30\)\( p^{85} T^{25} - \)\(52\!\cdots\!61\)\( p^{102} T^{26} + \)\(21\!\cdots\!30\)\( p^{119} T^{27} + \)\(88\!\cdots\!16\)\( p^{136} T^{28} - \)\(45\!\cdots\!10\)\( p^{153} T^{29} - \)\(14\!\cdots\!21\)\( p^{170} T^{30} + \)\(76\!\cdots\!10\)\( p^{187} T^{31} + \)\(23\!\cdots\!14\)\( p^{204} T^{32} - \)\(10\!\cdots\!70\)\( p^{221} T^{33} - \)\(32\!\cdots\!09\)\( p^{238} T^{34} + \)\(11\!\cdots\!50\)\( p^{255} T^{35} + \)\(36\!\cdots\!98\)\( p^{272} T^{36} - \)\(85\!\cdots\!10\)\( p^{289} T^{37} - \)\(27\!\cdots\!83\)\( p^{306} T^{38} + 3163858704730590 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 - 40826108816616316 T + \)\(11\!\cdots\!15\)\( T^{2} + \)\(24\!\cdots\!72\)\( T^{3} - \)\(50\!\cdots\!10\)\( T^{4} - \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( T^{6} - \)\(19\!\cdots\!44\)\( T^{7} - \)\(59\!\cdots\!50\)\( T^{8} + \)\(32\!\cdots\!00\)\( T^{9} - \)\(39\!\cdots\!71\)\( T^{10} + \)\(58\!\cdots\!40\)\( T^{11} - \)\(47\!\cdots\!60\)\( T^{12} - \)\(14\!\cdots\!56\)\( T^{13} + \)\(36\!\cdots\!13\)\( T^{14} - \)\(14\!\cdots\!24\)\( T^{15} - \)\(47\!\cdots\!91\)\( T^{16} + \)\(57\!\cdots\!60\)\( T^{17} + \)\(89\!\cdots\!14\)\( T^{18} - \)\(41\!\cdots\!76\)\( T^{19} + \)\(28\!\cdots\!24\)\( T^{20} - \)\(41\!\cdots\!76\)\( p^{17} T^{21} + \)\(89\!\cdots\!14\)\( p^{34} T^{22} + \)\(57\!\cdots\!60\)\( p^{51} T^{23} - \)\(47\!\cdots\!91\)\( p^{68} T^{24} - \)\(14\!\cdots\!24\)\( p^{85} T^{25} + \)\(36\!\cdots\!13\)\( p^{102} T^{26} - \)\(14\!\cdots\!56\)\( p^{119} T^{27} - \)\(47\!\cdots\!60\)\( p^{136} T^{28} + \)\(58\!\cdots\!40\)\( p^{153} T^{29} - \)\(39\!\cdots\!71\)\( p^{170} T^{30} + \)\(32\!\cdots\!00\)\( p^{187} T^{31} - \)\(59\!\cdots\!50\)\( p^{204} T^{32} - \)\(19\!\cdots\!44\)\( p^{221} T^{33} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( p^{238} T^{34} - \)\(11\!\cdots\!88\)\( p^{255} T^{35} - \)\(50\!\cdots\!10\)\( p^{272} T^{36} + \)\(24\!\cdots\!72\)\( p^{289} T^{37} + \)\(11\!\cdots\!15\)\( p^{306} T^{38} - 40826108816616316 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 83 | \( ( 1 - 5311527519329640 T + \)\(22\!\cdots\!66\)\( T^{2} - \)\(65\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( T^{4} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(67\!\cdots\!22\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(27\!\cdots\!76\)\( T^{10} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{17} T^{11} + \)\(67\!\cdots\!22\)\( p^{34} T^{12} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{51} T^{13} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( p^{68} T^{14} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{85} T^{15} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( p^{102} T^{16} - \)\(65\!\cdots\!60\)\( p^{119} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!66\)\( p^{136} T^{18} - 5311527519329640 p^{153} T^{19} + p^{170} T^{20} )^{2} \) | |
| 89 | \( 1 - 31115179936936434 T - \)\(88\!\cdots\!15\)\( T^{2} + \)\(23\!\cdots\!54\)\( T^{3} + \)\(42\!\cdots\!22\)\( T^{4} - \)\(91\!\cdots\!58\)\( T^{5} - \)\(14\!\cdots\!53\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!82\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!02\)\( T^{8} - \)\(52\!\cdots\!10\)\( T^{9} - \)\(76\!\cdots\!73\)\( T^{10} + \)\(91\!\cdots\!26\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!04\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!10\)\( T^{13} - \)\(25\!\cdots\!81\)\( T^{14} + \)\(16\!\cdots\!86\)\( T^{15} + \)\(41\!\cdots\!01\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!88\)\( T^{17} - \)\(63\!\cdots\!22\)\( T^{18} + \)\(72\!\cdots\!52\)\( T^{19} + \)\(91\!\cdots\!28\)\( T^{20} + \)\(72\!\cdots\!52\)\( p^{17} T^{21} - \)\(63\!\cdots\!22\)\( p^{34} T^{22} - \)\(14\!\cdots\!88\)\( p^{51} T^{23} + \)\(41\!\cdots\!01\)\( p^{68} T^{24} + \)\(16\!\cdots\!86\)\( p^{85} T^{25} - \)\(25\!\cdots\!81\)\( p^{102} T^{26} - \)\(13\!\cdots\!10\)\( p^{119} T^{27} + \)\(14\!\cdots\!04\)\( p^{136} T^{28} + \)\(91\!\cdots\!26\)\( p^{153} T^{29} - \)\(76\!\cdots\!73\)\( p^{170} T^{30} - \)\(52\!\cdots\!10\)\( p^{187} T^{31} + \)\(36\!\cdots\!02\)\( p^{204} T^{32} + \)\(24\!\cdots\!82\)\( p^{221} T^{33} - \)\(14\!\cdots\!53\)\( p^{238} T^{34} - \)\(91\!\cdots\!58\)\( p^{255} T^{35} + \)\(42\!\cdots\!22\)\( p^{272} T^{36} + \)\(23\!\cdots\!54\)\( p^{289} T^{37} - \)\(88\!\cdots\!15\)\( p^{306} T^{38} - 31115179936936434 p^{323} T^{39} + p^{340} T^{40} \) | |
| 97 | \( ( 1 + 351400168251882540 T + \)\(91\!\cdots\!30\)\( T^{2} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(28\!\cdots\!49\)\( T^{4} + \)\(38\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(47\!\cdots\!64\)\( T^{6} + \)\(51\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!38\)\( T^{8} + \)\(44\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(36\!\cdots\!72\)\( T^{10} + \)\(44\!\cdots\!60\)\( p^{17} T^{11} + \)\(50\!\cdots\!38\)\( p^{34} T^{12} + \)\(51\!\cdots\!60\)\( p^{51} T^{13} + \)\(47\!\cdots\!64\)\( p^{68} T^{14} + \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{85} T^{15} + \)\(28\!\cdots\!49\)\( p^{102} T^{16} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{119} T^{17} + \)\(91\!\cdots\!30\)\( p^{136} T^{18} + 351400168251882540 p^{153} T^{19} + p^{170} T^{20} )^{2} \) | |
| show more | ||
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.90312970474130179857535270545, −2.70201720236116938303659507951, −2.64469175065879286483477094566, −2.63754908041228705263381953852, −2.44725378889931684025323050696, −2.36649127538812413929653697093, −2.13597976932978289928035699400, −2.10062454747942254341005398007, −2.07057121376433568657266675020, −1.92682081580235896219923778087, −1.89246381929250990830976368142, −1.83133226896544273098129167112, −1.68865687590998133561516150412, −1.35163142850234389094645230586, −1.33755478779972383804502462307, −1.22297547541629036862789771557, −1.06363254414614963092071479507, −1.00627413809399089691733510375, −1.00136060895977602746689472499, −0.858430966126612955493526542994, −0.73216745487640999447063176710, −0.51958843967465991595579253180, −0.42430753547731199209974587052, −0.39340768364950491278218009335, −0.14156735927688682853869849342, 0.14156735927688682853869849342, 0.39340768364950491278218009335, 0.42430753547731199209974587052, 0.51958843967465991595579253180, 0.73216745487640999447063176710, 0.858430966126612955493526542994, 1.00136060895977602746689472499, 1.00627413809399089691733510375, 1.06363254414614963092071479507, 1.22297547541629036862789771557, 1.33755478779972383804502462307, 1.35163142850234389094645230586, 1.68865687590998133561516150412, 1.83133226896544273098129167112, 1.89246381929250990830976368142, 1.92682081580235896219923778087, 2.07057121376433568657266675020, 2.10062454747942254341005398007, 2.13597976932978289928035699400, 2.36649127538812413929653697093, 2.44725378889931684025323050696, 2.63754908041228705263381953852, 2.64469175065879286483477094566, 2.70201720236116938303659507951, 2.90312970474130179857535270545
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.