Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 2·2-s + 728·3-s + 1.64e4·4-s + 4.69e4·5-s − 1.45e3·6-s + 2.57e5·7-s − 4.08e5·8-s + 5.18e6·9-s − 9.38e4·10-s + 3.74e6·11-s + 1.19e7·12-s − 6.35e7·13-s − 5.15e5·14-s + 3.41e7·15-s + 1.63e8·16-s + 1.08e8·17-s − 1.03e7·18-s + 6.17e8·19-s + 7.73e8·20-s + 1.87e8·21-s − 7.49e6·22-s − 2.74e8·23-s − 2.97e8·24-s + 6.15e9·25-s + 1.27e8·26-s + 5.02e9·27-s + 4.25e9·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.0220·2-s + 0.576·3-s + 2.01·4-s + 1.34·5-s − 0.0127·6-s + 0.828·7-s − 0.550·8-s + 3.25·9-s − 0.0296·10-s + 0.637·11-s + 1.15·12-s − 3.65·13-s − 0.0183·14-s + 0.774·15-s + 2.43·16-s + 1.09·17-s − 0.0718·18-s + 3.00·19-s + 2.70·20-s + 0.477·21-s − 0.0140·22-s − 0.386·23-s − 0.317·24-s + 5.04·25-s + 0.0806·26-s + 2.49·27-s + 1.66·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(14-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+13/2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(32\) |
| Conductor: | \(7^{16}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.01552\times 10^{14}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.73973\) |
| Motivic weight: | \(13\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((32,\ 7^{16} ,\ ( \ : [13/2]^{16} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(7)\) | \(\approx\) | \(152.4779450\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(152.4779450\) |
| \(L(\frac{15}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 7 | \( 1 - 36856 p T + 3527301240 p^{2} T^{2} - 29452723885000 p^{4} T^{3} + 12262314945703684 p^{7} T^{4} - 19965957458586542080 p^{10} T^{5} + 94329426090435772416 p^{15} T^{6} + \)\(21\!\cdots\!24\)\( p^{21} T^{7} + \)\(87\!\cdots\!16\)\( p^{27} T^{8} + \)\(21\!\cdots\!24\)\( p^{34} T^{9} + 94329426090435772416 p^{41} T^{10} - 19965957458586542080 p^{49} T^{11} + 12262314945703684 p^{59} T^{12} - 29452723885000 p^{69} T^{13} + 3527301240 p^{80} T^{14} - 36856 p^{92} T^{15} + p^{104} T^{16} \) |
| good | 2 | \( 1 + p T - 2059 p^{3} T^{2} + 42799 p^{3} T^{3} + 6823693 p^{4} T^{4} - 10572045 p^{7} T^{5} - 99928667 p^{12} T^{6} - 11093295571 p^{11} T^{7} - 41811164551 p^{12} T^{8} + 79992032877 p^{23} T^{9} + 141662522996657 p^{18} T^{10} - 2419897708200127 p^{22} T^{11} - 174512982775096735 p^{20} T^{12} + 4098822752378415299 p^{24} T^{13} + 702391623720582005 p^{30} T^{14} - 37780592517171366177 p^{32} T^{15} - \)\(19\!\cdots\!51\)\( p^{36} T^{16} - 37780592517171366177 p^{45} T^{17} + 702391623720582005 p^{56} T^{18} + 4098822752378415299 p^{63} T^{19} - 174512982775096735 p^{72} T^{20} - 2419897708200127 p^{87} T^{21} + 141662522996657 p^{96} T^{22} + 79992032877 p^{114} T^{23} - 41811164551 p^{116} T^{24} - 11093295571 p^{128} T^{25} - 99928667 p^{142} T^{26} - 10572045 p^{150} T^{27} + 6823693 p^{160} T^{28} + 42799 p^{172} T^{29} - 2059 p^{185} T^{30} + p^{196} T^{31} + p^{208} T^{32} \) |
| 3 | \( 1 - 728 T - 4656896 T^{2} + 237643952 p^{2} T^{3} + 413766835742 p^{3} T^{4} - 141971204625488 p^{3} T^{5} - 11352015734314096 p^{6} T^{6} + 1866869067583867312 p^{7} T^{7} - \)\(27\!\cdots\!51\)\( p^{6} T^{8} - \)\(24\!\cdots\!80\)\( p^{8} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{10} T^{10} + \)\(93\!\cdots\!40\)\( p^{14} T^{11} - \)\(19\!\cdots\!18\)\( p^{18} T^{12} - \)\(75\!\cdots\!32\)\( p^{19} T^{13} - \)\(35\!\cdots\!44\)\( p^{23} T^{14} + \)\(21\!\cdots\!96\)\( p^{26} T^{15} + \)\(91\!\cdots\!32\)\( p^{28} T^{16} + \)\(21\!\cdots\!96\)\( p^{39} T^{17} - \)\(35\!\cdots\!44\)\( p^{49} T^{18} - \)\(75\!\cdots\!32\)\( p^{58} T^{19} - \)\(19\!\cdots\!18\)\( p^{70} T^{20} + \)\(93\!\cdots\!40\)\( p^{79} T^{21} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{88} T^{22} - \)\(24\!\cdots\!80\)\( p^{99} T^{23} - \)\(27\!\cdots\!51\)\( p^{110} T^{24} + 1866869067583867312 p^{124} T^{25} - 11352015734314096 p^{136} T^{26} - 141971204625488 p^{146} T^{27} + 413766835742 p^{159} T^{28} + 237643952 p^{171} T^{29} - 4656896 p^{182} T^{30} - 728 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 5 | \( 1 - 46928 T - 3952979852 T^{2} + 67493498343712 T^{3} + 13353593285672677966 T^{4} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( p T^{5} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{2} T^{6} - \)\(92\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{7} + \)\(53\!\cdots\!49\)\( p^{4} T^{8} + \)\(39\!\cdots\!64\)\( p^{5} T^{9} - \)\(16\!\cdots\!44\)\( p^{6} T^{10} - \)\(42\!\cdots\!96\)\( p^{8} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{10} T^{12} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( p^{13} T^{13} + \)\(90\!\cdots\!48\)\( p^{14} T^{14} - \)\(40\!\cdots\!12\)\( p^{16} T^{15} - \)\(48\!\cdots\!44\)\( p^{18} T^{16} - \)\(40\!\cdots\!12\)\( p^{29} T^{17} + \)\(90\!\cdots\!48\)\( p^{40} T^{18} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( p^{52} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{62} T^{20} - \)\(42\!\cdots\!96\)\( p^{73} T^{21} - \)\(16\!\cdots\!44\)\( p^{84} T^{22} + \)\(39\!\cdots\!64\)\( p^{96} T^{23} + \)\(53\!\cdots\!49\)\( p^{108} T^{24} - \)\(92\!\cdots\!56\)\( p^{121} T^{25} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{132} T^{26} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( p^{144} T^{27} + 13353593285672677966 p^{156} T^{28} + 67493498343712 p^{169} T^{29} - 3952979852 p^{182} T^{30} - 46928 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 11 | \( 1 - 3746000 T - 69003154879304 T^{2} + 51475639079254983728 p T^{3} - \)\(36\!\cdots\!34\)\( p^{2} T^{4} - \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{4} T^{5} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{4} T^{6} - \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{7} - \)\(22\!\cdots\!67\)\( p^{6} T^{8} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( p^{7} T^{9} - \)\(15\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{10} - \)\(93\!\cdots\!72\)\( p^{9} T^{11} + \)\(59\!\cdots\!02\)\( p^{10} T^{12} - \)\(32\!\cdots\!08\)\( p^{11} T^{13} + \)\(60\!\cdots\!88\)\( p^{12} T^{14} + \)\(63\!\cdots\!24\)\( p^{13} T^{15} - \)\(62\!\cdots\!52\)\( p^{14} T^{16} + \)\(63\!\cdots\!24\)\( p^{26} T^{17} + \)\(60\!\cdots\!88\)\( p^{38} T^{18} - \)\(32\!\cdots\!08\)\( p^{50} T^{19} + \)\(59\!\cdots\!02\)\( p^{62} T^{20} - \)\(93\!\cdots\!72\)\( p^{74} T^{21} - \)\(15\!\cdots\!92\)\( p^{86} T^{22} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( p^{98} T^{23} - \)\(22\!\cdots\!67\)\( p^{110} T^{24} - \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{123} T^{25} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{134} T^{26} - \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{147} T^{27} - \)\(36\!\cdots\!34\)\( p^{158} T^{28} + 51475639079254983728 p^{170} T^{29} - 69003154879304 p^{182} T^{30} - 3746000 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 13 | \( ( 1 + 31778264 T + 1624324763209224 T^{2} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(97\!\cdots\!80\)\( p T^{4} + \)\(27\!\cdots\!52\)\( T^{5} + \)\(64\!\cdots\!68\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!58\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{13} T^{9} + \)\(64\!\cdots\!68\)\( p^{26} T^{10} + \)\(27\!\cdots\!52\)\( p^{39} T^{11} + \)\(97\!\cdots\!80\)\( p^{53} T^{12} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{65} T^{13} + 1624324763209224 p^{78} T^{14} + 31778264 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} )^{2} \) | |
| 17 | \( 1 - 108548496 T - 45781561267812124 T^{2} + \)\(25\!\cdots\!84\)\( T^{3} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( T^{4} - \)\(17\!\cdots\!52\)\( T^{5} - \)\(27\!\cdots\!56\)\( T^{6} - \)\(38\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(40\!\cdots\!21\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( T^{9} - \)\(47\!\cdots\!20\)\( T^{10} - \)\(19\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(47\!\cdots\!58\)\( T^{12} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( T^{13} - \)\(43\!\cdots\!32\)\( T^{14} - \)\(69\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(41\!\cdots\!72\)\( T^{16} - \)\(69\!\cdots\!08\)\( p^{13} T^{17} - \)\(43\!\cdots\!32\)\( p^{26} T^{18} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( p^{39} T^{19} + \)\(47\!\cdots\!58\)\( p^{52} T^{20} - \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{65} T^{21} - \)\(47\!\cdots\!20\)\( p^{78} T^{22} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{91} T^{23} + \)\(40\!\cdots\!21\)\( p^{104} T^{24} - \)\(38\!\cdots\!68\)\( p^{117} T^{25} - \)\(27\!\cdots\!56\)\( p^{130} T^{26} - \)\(17\!\cdots\!52\)\( p^{143} T^{27} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{156} T^{28} + \)\(25\!\cdots\!84\)\( p^{169} T^{29} - 45781561267812124 p^{182} T^{30} - 108548496 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 19 | \( 1 - 617001728 T + 56700445178000488 T^{2} + \)\(55\!\cdots\!88\)\( T^{3} - \)\(16\!\cdots\!46\)\( T^{4} - \)\(93\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{7} - \)\(23\!\cdots\!55\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( T^{9} - \)\(11\!\cdots\!44\)\( T^{10} - \)\(80\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(55\!\cdots\!14\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!56\)\( T^{13} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( T^{14} + \)\(22\!\cdots\!92\)\( p T^{15} - \)\(19\!\cdots\!80\)\( T^{16} + \)\(22\!\cdots\!92\)\( p^{14} T^{17} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( p^{26} T^{18} - \)\(15\!\cdots\!56\)\( p^{39} T^{19} + \)\(55\!\cdots\!14\)\( p^{52} T^{20} - \)\(80\!\cdots\!96\)\( p^{65} T^{21} - \)\(11\!\cdots\!44\)\( p^{78} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{91} T^{23} - \)\(23\!\cdots\!55\)\( p^{104} T^{24} - \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{117} T^{25} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{130} T^{26} - \)\(93\!\cdots\!36\)\( p^{143} T^{27} - \)\(16\!\cdots\!46\)\( p^{156} T^{28} + \)\(55\!\cdots\!88\)\( p^{169} T^{29} + 56700445178000488 p^{182} T^{30} - 617001728 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 23 | \( 1 + 274288968 T - 2167317865679574448 T^{2} - \)\(53\!\cdots\!04\)\( T^{3} + \)\(21\!\cdots\!50\)\( T^{4} + \)\(39\!\cdots\!04\)\( T^{5} - \)\(15\!\cdots\!52\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!57\)\( T^{8} - \)\(33\!\cdots\!92\)\( T^{9} - \)\(69\!\cdots\!20\)\( T^{10} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(36\!\cdots\!02\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{13} - \)\(17\!\cdots\!84\)\( T^{14} + \)\(32\!\cdots\!16\)\( T^{15} + \)\(91\!\cdots\!80\)\( T^{16} + \)\(32\!\cdots\!16\)\( p^{13} T^{17} - \)\(17\!\cdots\!84\)\( p^{26} T^{18} - \)\(15\!\cdots\!40\)\( p^{39} T^{19} + \)\(36\!\cdots\!02\)\( p^{52} T^{20} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( p^{65} T^{21} - \)\(69\!\cdots\!20\)\( p^{78} T^{22} - \)\(33\!\cdots\!92\)\( p^{91} T^{23} + \)\(11\!\cdots\!57\)\( p^{104} T^{24} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{117} T^{25} - \)\(15\!\cdots\!52\)\( p^{130} T^{26} + \)\(39\!\cdots\!04\)\( p^{143} T^{27} + \)\(21\!\cdots\!50\)\( p^{156} T^{28} - \)\(53\!\cdots\!04\)\( p^{169} T^{29} - 2167317865679574448 p^{182} T^{30} + 274288968 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 29 | \( ( 1 + 621778568 T + 1351757068779869256 p T^{2} + \)\(44\!\cdots\!08\)\( T^{3} + \)\(88\!\cdots\!40\)\( T^{4} + \)\(92\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!74\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{13} T^{9} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{26} T^{10} + \)\(92\!\cdots\!88\)\( p^{39} T^{11} + \)\(88\!\cdots\!40\)\( p^{52} T^{12} + \)\(44\!\cdots\!08\)\( p^{65} T^{13} + 1351757068779869256 p^{79} T^{14} + 621778568 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} )^{2} \) | |
| 31 | \( 1 - 1983953552 T - \)\(11\!\cdots\!44\)\( T^{2} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(71\!\cdots\!30\)\( T^{4} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{5} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( T^{6} + \)\(43\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!25\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{9} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( T^{10} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(78\!\cdots\!50\)\( T^{12} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( p T^{13} - \)\(18\!\cdots\!20\)\( T^{14} + \)\(44\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(45\!\cdots\!04\)\( T^{16} + \)\(44\!\cdots\!08\)\( p^{13} T^{17} - \)\(18\!\cdots\!20\)\( p^{26} T^{18} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{40} T^{19} + \)\(78\!\cdots\!50\)\( p^{52} T^{20} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{65} T^{21} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{78} T^{22} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{91} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!25\)\( p^{104} T^{24} + \)\(43\!\cdots\!80\)\( p^{117} T^{25} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{130} T^{26} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{143} T^{27} + \)\(71\!\cdots\!30\)\( p^{156} T^{28} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{169} T^{29} - \)\(11\!\cdots\!44\)\( p^{182} T^{30} - 1983953552 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 37 | \( 1 - 3822948680 T - \)\(88\!\cdots\!24\)\( T^{2} + \)\(68\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(37\!\cdots\!22\)\( T^{4} - \)\(48\!\cdots\!00\)\( T^{5} - \)\(85\!\cdots\!56\)\( T^{6} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(40\!\cdots\!61\)\( T^{8} - \)\(65\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(46\!\cdots\!40\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(20\!\cdots\!22\)\( T^{12} - \)\(21\!\cdots\!40\)\( T^{13} + \)\(59\!\cdots\!68\)\( T^{14} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{15} - \)\(14\!\cdots\!24\)\( T^{16} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{13} T^{17} + \)\(59\!\cdots\!68\)\( p^{26} T^{18} - \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{39} T^{19} - \)\(20\!\cdots\!22\)\( p^{52} T^{20} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{65} T^{21} + \)\(46\!\cdots\!40\)\( p^{78} T^{22} - \)\(65\!\cdots\!00\)\( p^{91} T^{23} + \)\(40\!\cdots\!61\)\( p^{104} T^{24} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{117} T^{25} - \)\(85\!\cdots\!56\)\( p^{130} T^{26} - \)\(48\!\cdots\!00\)\( p^{143} T^{27} + \)\(37\!\cdots\!22\)\( p^{156} T^{28} + \)\(68\!\cdots\!00\)\( p^{169} T^{29} - \)\(88\!\cdots\!24\)\( p^{182} T^{30} - 3822948680 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 41 | \( ( 1 + 93415058632 T + \)\(99\!\cdots\!04\)\( T^{2} + \)\(59\!\cdots\!56\)\( T^{3} + \)\(36\!\cdots\!28\)\( T^{4} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(72\!\cdots\!64\)\( T^{6} + \)\(25\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(85\!\cdots\!18\)\( T^{8} + \)\(25\!\cdots\!08\)\( p^{13} T^{9} + \)\(72\!\cdots\!64\)\( p^{26} T^{10} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( p^{39} T^{11} + \)\(36\!\cdots\!28\)\( p^{52} T^{12} + \)\(59\!\cdots\!56\)\( p^{65} T^{13} + \)\(99\!\cdots\!04\)\( p^{78} T^{14} + 93415058632 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} )^{2} \) | |
| 43 | \( ( 1 - 73806603040 T + \)\(93\!\cdots\!56\)\( T^{2} - \)\(47\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(36\!\cdots\!44\)\( T^{4} - \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{5} + \)\(96\!\cdots\!12\)\( T^{6} - \)\(35\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(35\!\cdots\!80\)\( p^{13} T^{9} + \)\(96\!\cdots\!12\)\( p^{26} T^{10} - \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{39} T^{11} + \)\(36\!\cdots\!44\)\( p^{52} T^{12} - \)\(47\!\cdots\!00\)\( p^{65} T^{13} + \)\(93\!\cdots\!56\)\( p^{78} T^{14} - 73806603040 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 - 136146541776 T - \)\(22\!\cdots\!36\)\( T^{2} + \)\(36\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(32\!\cdots\!42\)\( T^{4} - \)\(54\!\cdots\!08\)\( T^{5} - \)\(34\!\cdots\!04\)\( T^{6} + \)\(55\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!89\)\( T^{8} - \)\(42\!\cdots\!12\)\( T^{9} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(24\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(22\!\cdots\!10\)\( T^{12} - \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{13} - \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{14} + \)\(21\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(90\!\cdots\!96\)\( T^{16} + \)\(21\!\cdots\!64\)\( p^{13} T^{17} - \)\(15\!\cdots\!08\)\( p^{26} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{39} T^{19} + \)\(22\!\cdots\!10\)\( p^{52} T^{20} + \)\(24\!\cdots\!96\)\( p^{65} T^{21} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{78} T^{22} - \)\(42\!\cdots\!12\)\( p^{91} T^{23} + \)\(32\!\cdots\!89\)\( p^{104} T^{24} + \)\(55\!\cdots\!92\)\( p^{117} T^{25} - \)\(34\!\cdots\!04\)\( p^{130} T^{26} - \)\(54\!\cdots\!08\)\( p^{143} T^{27} + \)\(32\!\cdots\!42\)\( p^{156} T^{28} + \)\(36\!\cdots\!20\)\( p^{169} T^{29} - \)\(22\!\cdots\!36\)\( p^{182} T^{30} - 136146541776 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 53 | \( 1 + 365779470792 T - \)\(97\!\cdots\!60\)\( T^{2} - \)\(38\!\cdots\!64\)\( T^{3} + \)\(91\!\cdots\!70\)\( T^{4} + \)\(27\!\cdots\!28\)\( T^{5} - \)\(63\!\cdots\!60\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!41\)\( T^{8} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( T^{9} - \)\(16\!\cdots\!20\)\( T^{10} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(64\!\cdots\!78\)\( T^{12} + \)\(29\!\cdots\!76\)\( T^{13} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(29\!\cdots\!92\)\( T^{15} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( T^{16} - \)\(29\!\cdots\!92\)\( p^{13} T^{17} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{26} T^{18} + \)\(29\!\cdots\!76\)\( p^{39} T^{19} + \)\(64\!\cdots\!78\)\( p^{52} T^{20} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{65} T^{21} - \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{78} T^{22} + \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{91} T^{23} + \)\(36\!\cdots\!41\)\( p^{104} T^{24} - \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{117} T^{25} - \)\(63\!\cdots\!60\)\( p^{130} T^{26} + \)\(27\!\cdots\!28\)\( p^{143} T^{27} + \)\(91\!\cdots\!70\)\( p^{156} T^{28} - \)\(38\!\cdots\!64\)\( p^{169} T^{29} - \)\(97\!\cdots\!60\)\( p^{182} T^{30} + 365779470792 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 59 | \( 1 - 1211924963928 T + \)\(35\!\cdots\!32\)\( T^{2} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( T^{3} - \)\(10\!\cdots\!38\)\( T^{4} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{5} + \)\(99\!\cdots\!68\)\( T^{6} - \)\(44\!\cdots\!80\)\( T^{7} - \)\(99\!\cdots\!27\)\( T^{8} + \)\(17\!\cdots\!48\)\( T^{9} + \)\(57\!\cdots\!72\)\( T^{10} - \)\(42\!\cdots\!28\)\( T^{11} + \)\(99\!\cdots\!98\)\( T^{12} + \)\(34\!\cdots\!80\)\( T^{13} - \)\(22\!\cdots\!32\)\( T^{14} - \)\(99\!\cdots\!32\)\( T^{15} + \)\(26\!\cdots\!12\)\( T^{16} - \)\(99\!\cdots\!32\)\( p^{13} T^{17} - \)\(22\!\cdots\!32\)\( p^{26} T^{18} + \)\(34\!\cdots\!80\)\( p^{39} T^{19} + \)\(99\!\cdots\!98\)\( p^{52} T^{20} - \)\(42\!\cdots\!28\)\( p^{65} T^{21} + \)\(57\!\cdots\!72\)\( p^{78} T^{22} + \)\(17\!\cdots\!48\)\( p^{91} T^{23} - \)\(99\!\cdots\!27\)\( p^{104} T^{24} - \)\(44\!\cdots\!80\)\( p^{117} T^{25} + \)\(99\!\cdots\!68\)\( p^{130} T^{26} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{143} T^{27} - \)\(10\!\cdots\!38\)\( p^{156} T^{28} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( p^{169} T^{29} + \)\(35\!\cdots\!32\)\( p^{182} T^{30} - 1211924963928 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 61 | \( 1 + 155263824184 T - \)\(64\!\cdots\!88\)\( T^{2} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(23\!\cdots\!22\)\( T^{4} - \)\(22\!\cdots\!68\)\( T^{5} - \)\(53\!\cdots\!24\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!93\)\( p T^{8} - \)\(40\!\cdots\!48\)\( T^{9} - \)\(35\!\cdots\!24\)\( T^{10} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( T^{11} - \)\(17\!\cdots\!22\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!52\)\( T^{13} + \)\(64\!\cdots\!80\)\( T^{14} + \)\(76\!\cdots\!92\)\( T^{15} - \)\(12\!\cdots\!28\)\( T^{16} + \)\(76\!\cdots\!92\)\( p^{13} T^{17} + \)\(64\!\cdots\!80\)\( p^{26} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!52\)\( p^{39} T^{19} - \)\(17\!\cdots\!22\)\( p^{52} T^{20} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( p^{65} T^{21} - \)\(35\!\cdots\!24\)\( p^{78} T^{22} - \)\(40\!\cdots\!48\)\( p^{91} T^{23} + \)\(12\!\cdots\!93\)\( p^{105} T^{24} + \)\(13\!\cdots\!84\)\( p^{117} T^{25} - \)\(53\!\cdots\!24\)\( p^{130} T^{26} - \)\(22\!\cdots\!68\)\( p^{143} T^{27} + \)\(23\!\cdots\!22\)\( p^{156} T^{28} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{169} T^{29} - \)\(64\!\cdots\!88\)\( p^{182} T^{30} + 155263824184 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 67 | \( 1 + 1812819047992 T - \)\(80\!\cdots\!08\)\( T^{2} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(33\!\cdots\!34\)\( T^{4} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( T^{5} - \)\(51\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(70\!\cdots\!09\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!24\)\( T^{9} + \)\(76\!\cdots\!76\)\( T^{10} - \)\(57\!\cdots\!12\)\( T^{11} - \)\(74\!\cdots\!70\)\( T^{12} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{13} + \)\(78\!\cdots\!28\)\( T^{14} - \)\(32\!\cdots\!28\)\( T^{15} - \)\(48\!\cdots\!88\)\( T^{16} - \)\(32\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{17} + \)\(78\!\cdots\!28\)\( p^{26} T^{18} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{39} T^{19} - \)\(74\!\cdots\!70\)\( p^{52} T^{20} - \)\(57\!\cdots\!12\)\( p^{65} T^{21} + \)\(76\!\cdots\!76\)\( p^{78} T^{22} + \)\(12\!\cdots\!24\)\( p^{91} T^{23} + \)\(70\!\cdots\!09\)\( p^{104} T^{24} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( p^{117} T^{25} - \)\(51\!\cdots\!00\)\( p^{130} T^{26} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( p^{143} T^{27} + \)\(33\!\cdots\!34\)\( p^{156} T^{28} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( p^{169} T^{29} - \)\(80\!\cdots\!08\)\( p^{182} T^{30} + 1812819047992 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 71 | \( ( 1 - 3206817763536 T + \)\(12\!\cdots\!96\)\( T^{2} - \)\(26\!\cdots\!88\)\( T^{3} + \)\(58\!\cdots\!00\)\( T^{4} - \)\(92\!\cdots\!20\)\( T^{5} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!16\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!06\)\( T^{8} - \)\(17\!\cdots\!16\)\( p^{13} T^{9} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{26} T^{10} - \)\(92\!\cdots\!20\)\( p^{39} T^{11} + \)\(58\!\cdots\!00\)\( p^{52} T^{12} - \)\(26\!\cdots\!88\)\( p^{65} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{78} T^{14} - 3206817763536 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} )^{2} \) | |
| 73 | \( 1 - 7135229075576 T + \)\(20\!\cdots\!24\)\( T^{2} - \)\(29\!\cdots\!36\)\( T^{3} + \)\(32\!\cdots\!82\)\( T^{4} - \)\(42\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(28\!\cdots\!56\)\( T^{6} + \)\(49\!\cdots\!68\)\( T^{7} - \)\(96\!\cdots\!99\)\( T^{8} + \)\(79\!\cdots\!80\)\( T^{9} - \)\(21\!\cdots\!60\)\( T^{10} + \)\(36\!\cdots\!40\)\( T^{11} - \)\(87\!\cdots\!42\)\( T^{12} - \)\(19\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(16\!\cdots\!32\)\( T^{14} - \)\(98\!\cdots\!68\)\( T^{15} + \)\(22\!\cdots\!16\)\( T^{16} - \)\(98\!\cdots\!68\)\( p^{13} T^{17} + \)\(16\!\cdots\!32\)\( p^{26} T^{18} - \)\(19\!\cdots\!28\)\( p^{39} T^{19} - \)\(87\!\cdots\!42\)\( p^{52} T^{20} + \)\(36\!\cdots\!40\)\( p^{65} T^{21} - \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{78} T^{22} + \)\(79\!\cdots\!80\)\( p^{91} T^{23} - \)\(96\!\cdots\!99\)\( p^{104} T^{24} + \)\(49\!\cdots\!68\)\( p^{117} T^{25} + \)\(28\!\cdots\!56\)\( p^{130} T^{26} - \)\(42\!\cdots\!88\)\( p^{143} T^{27} + \)\(32\!\cdots\!82\)\( p^{156} T^{28} - \)\(29\!\cdots\!36\)\( p^{169} T^{29} + \)\(20\!\cdots\!24\)\( p^{182} T^{30} - 7135229075576 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 79 | \( 1 - 7912090175960 T + \)\(65\!\cdots\!88\)\( T^{2} + \)\(68\!\cdots\!16\)\( T^{3} + \)\(54\!\cdots\!14\)\( T^{4} - \)\(98\!\cdots\!24\)\( T^{5} - \)\(67\!\cdots\!84\)\( T^{6} + \)\(76\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( T^{8} - \)\(50\!\cdots\!96\)\( T^{9} - \)\(11\!\cdots\!04\)\( T^{10} + \)\(25\!\cdots\!32\)\( T^{11} + \)\(86\!\cdots\!82\)\( T^{12} - \)\(92\!\cdots\!52\)\( T^{13} - \)\(53\!\cdots\!68\)\( T^{14} + \)\(16\!\cdots\!48\)\( T^{15} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( T^{16} + \)\(16\!\cdots\!48\)\( p^{13} T^{17} - \)\(53\!\cdots\!68\)\( p^{26} T^{18} - \)\(92\!\cdots\!52\)\( p^{39} T^{19} + \)\(86\!\cdots\!82\)\( p^{52} T^{20} + \)\(25\!\cdots\!32\)\( p^{65} T^{21} - \)\(11\!\cdots\!04\)\( p^{78} T^{22} - \)\(50\!\cdots\!96\)\( p^{91} T^{23} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( p^{104} T^{24} + \)\(76\!\cdots\!64\)\( p^{117} T^{25} - \)\(67\!\cdots\!84\)\( p^{130} T^{26} - \)\(98\!\cdots\!24\)\( p^{143} T^{27} + \)\(54\!\cdots\!14\)\( p^{156} T^{28} + \)\(68\!\cdots\!16\)\( p^{169} T^{29} + \)\(65\!\cdots\!88\)\( p^{182} T^{30} - 7912090175960 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 83 | \( ( 1 + 8468920650288 T + \)\(79\!\cdots\!00\)\( T^{2} + \)\(42\!\cdots\!04\)\( T^{3} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( T^{4} + \)\(94\!\cdots\!96\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!00\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(41\!\cdots\!66\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{13} T^{9} + \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{26} T^{10} + \)\(94\!\cdots\!96\)\( p^{39} T^{11} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( p^{52} T^{12} + \)\(42\!\cdots\!04\)\( p^{65} T^{13} + \)\(79\!\cdots\!00\)\( p^{78} T^{14} + 8468920650288 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} )^{2} \) | |
| 89 | \( 1 - 3654589406888 T - \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{2} + \)\(52\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(63\!\cdots\!10\)\( T^{4} + \)\(97\!\cdots\!92\)\( T^{5} - \)\(24\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(70\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(65\!\cdots\!97\)\( T^{8} + \)\(24\!\cdots\!08\)\( T^{9} - \)\(14\!\cdots\!24\)\( T^{10} - \)\(51\!\cdots\!12\)\( T^{11} + \)\(31\!\cdots\!78\)\( T^{12} + \)\(70\!\cdots\!68\)\( T^{13} - \)\(77\!\cdots\!96\)\( T^{14} - \)\(47\!\cdots\!28\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( T^{16} - \)\(47\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{17} - \)\(77\!\cdots\!96\)\( p^{26} T^{18} + \)\(70\!\cdots\!68\)\( p^{39} T^{19} + \)\(31\!\cdots\!78\)\( p^{52} T^{20} - \)\(51\!\cdots\!12\)\( p^{65} T^{21} - \)\(14\!\cdots\!24\)\( p^{78} T^{22} + \)\(24\!\cdots\!08\)\( p^{91} T^{23} + \)\(65\!\cdots\!97\)\( p^{104} T^{24} - \)\(70\!\cdots\!36\)\( p^{117} T^{25} - \)\(24\!\cdots\!36\)\( p^{130} T^{26} + \)\(97\!\cdots\!92\)\( p^{143} T^{27} + \)\(63\!\cdots\!10\)\( p^{156} T^{28} + \)\(52\!\cdots\!60\)\( p^{169} T^{29} - \)\(10\!\cdots\!84\)\( p^{182} T^{30} - 3654589406888 p^{195} T^{31} + p^{208} T^{32} \) | |
| 97 | \( ( 1 - 10311836336872 T + \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{2} - \)\(39\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(83\!\cdots\!00\)\( T^{4} - \)\(70\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{6} - \)\(72\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(83\!\cdots\!18\)\( T^{8} - \)\(72\!\cdots\!36\)\( p^{13} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{26} T^{10} - \)\(70\!\cdots\!36\)\( p^{39} T^{11} + \)\(83\!\cdots\!00\)\( p^{52} T^{12} - \)\(39\!\cdots\!60\)\( p^{65} T^{13} + \)\(41\!\cdots\!16\)\( p^{78} T^{14} - 10311836336872 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} )^{2} \) | |
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−4.61852024701820960005839149958, −4.42389044096036881782710106752, −4.04899658816249628027433879258, −3.72883779888362490663512794764, −3.66351084635938659521501196105, −3.61026520961460632666900944877, −3.51208530566698915471609198408, −3.26446198875050889399143504359, −2.95599967070192070348430192422, −2.87051061910312746608041678932, −2.52433391811611291839879283902, −2.49220286599383413856563035332, −2.42674006926585281262939506240, −2.25568912853358882026861363893, −2.11327427001491387277366213171, −1.77903805683052652634456281476, −1.60316346897584381927516710492, −1.52300210422411704533792068226, −1.32761355097120706483926348613, −1.12309620044043347064967691508, −1.05162068651292958410399294702, −0.810887406809199659169068555147, −0.74458530033148120765973851830, −0.50317579191205583386870695820, −0.22459624757249313285022489012, 0.22459624757249313285022489012, 0.50317579191205583386870695820, 0.74458530033148120765973851830, 0.810887406809199659169068555147, 1.05162068651292958410399294702, 1.12309620044043347064967691508, 1.32761355097120706483926348613, 1.52300210422411704533792068226, 1.60316346897584381927516710492, 1.77903805683052652634456281476, 2.11327427001491387277366213171, 2.25568912853358882026861363893, 2.42674006926585281262939506240, 2.49220286599383413856563035332, 2.52433391811611291839879283902, 2.87051061910312746608041678932, 2.95599967070192070348430192422, 3.26446198875050889399143504359, 3.51208530566698915471609198408, 3.61026520961460632666900944877, 3.66351084635938659521501196105, 3.72883779888362490663512794764, 4.04899658816249628027433879258, 4.42389044096036881782710106752, 4.61852024701820960005839149958
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.