Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2·2-s + 2·3-s + 4-s + 2·5-s + 4·6-s − 2·7-s + 9-s + 4·10-s + 18·11-s + 2·12-s + 2·13-s − 4·14-s + 4·15-s − 2·17-s + 2·18-s + 4·19-s + 2·20-s − 4·21-s + 36·22-s + 25-s + 4·26-s − 2·28-s + 6·29-s + 8·30-s + 8·31-s + 36·33-s − 4·34-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.41·2-s + 1.15·3-s + 1/2·4-s + 0.894·5-s + 1.63·6-s − 0.755·7-s + 1/3·9-s + 1.26·10-s + 5.42·11-s + 0.577·12-s + 0.554·13-s − 1.06·14-s + 1.03·15-s − 0.485·17-s + 0.471·18-s + 0.917·19-s + 0.447·20-s − 0.872·21-s + 7.67·22-s + 1/5·25-s + 0.784·26-s − 0.377·28-s + 1.11·29-s + 1.46·30-s + 1.43·31-s + 6.26·33-s − 0.685·34-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20} \cdot 23^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(6.64544\times 10^{14}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.34727\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 5^{20} \cdot 23^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(143.8413847\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(143.8413847\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} )^{2} \) |
| 3 | \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} )^{2} \) | |
| 5 | \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} )^{2} \) | |
| 23 | \( 1 + p T^{2} - 44 T^{3} + 133 T^{4} - 3784 T^{5} + 1585 T^{6} - 76714 T^{7} + 208473 T^{8} - 415800 T^{9} + 11025037 T^{10} - 415800 p T^{11} + 208473 p^{2} T^{12} - 76714 p^{3} T^{13} + 1585 p^{4} T^{14} - 3784 p^{5} T^{15} + 133 p^{6} T^{16} - 44 p^{7} T^{17} + p^{9} T^{18} + p^{10} T^{20} \) | |
| good | 7 | \( 1 + 2 T - 2 T^{2} - 13 T^{3} + 20 T^{4} + 344 T^{5} + 638 T^{6} - 1367 T^{7} - 5179 T^{8} + 3978 T^{9} + 67566 T^{10} + 17953 p T^{11} - 356729 T^{12} - 1063070 T^{13} + 906973 T^{14} + 10342053 T^{15} + 16560127 T^{16} - 62617596 T^{17} - 173752508 T^{18} + 193925472 T^{19} + 1417347859 T^{20} + 193925472 p T^{21} - 173752508 p^{2} T^{22} - 62617596 p^{3} T^{23} + 16560127 p^{4} T^{24} + 10342053 p^{5} T^{25} + 906973 p^{6} T^{26} - 1063070 p^{7} T^{27} - 356729 p^{8} T^{28} + 17953 p^{10} T^{29} + 67566 p^{10} T^{30} + 3978 p^{11} T^{31} - 5179 p^{12} T^{32} - 1367 p^{13} T^{33} + 638 p^{14} T^{34} + 344 p^{15} T^{35} + 20 p^{16} T^{36} - 13 p^{17} T^{37} - 2 p^{18} T^{38} + 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) |
| 11 | \( 1 - 18 T + 149 T^{2} - 808 T^{3} + 3363 T^{4} - 10852 T^{5} + 24998 T^{6} - 31838 T^{7} - 29248 T^{8} + 16950 p T^{9} + 506309 T^{10} - 689910 p T^{11} + 45099231 T^{12} - 208031622 T^{13} + 803066798 T^{14} - 2723630134 T^{15} + 8365606576 T^{16} - 22816039956 T^{17} + 54299401338 T^{18} - 114171555370 T^{19} + 282538120415 T^{20} - 114171555370 p T^{21} + 54299401338 p^{2} T^{22} - 22816039956 p^{3} T^{23} + 8365606576 p^{4} T^{24} - 2723630134 p^{5} T^{25} + 803066798 p^{6} T^{26} - 208031622 p^{7} T^{27} + 45099231 p^{8} T^{28} - 689910 p^{10} T^{29} + 506309 p^{10} T^{30} + 16950 p^{12} T^{31} - 29248 p^{12} T^{32} - 31838 p^{13} T^{33} + 24998 p^{14} T^{34} - 10852 p^{15} T^{35} + 3363 p^{16} T^{36} - 808 p^{17} T^{37} + 149 p^{18} T^{38} - 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 - 2 T - 11 T^{2} + 15 T^{3} + 106 T^{4} - 770 T^{5} + 55 T^{6} + 726 p T^{7} + 27098 T^{8} - 33802 T^{9} - 347545 T^{10} - 21780 T^{11} + 610124 T^{12} - 17537366 T^{13} - 31310645 T^{14} + 300007139 T^{15} + 74986578 p T^{16} + 2496156866 T^{17} - 14485562916 T^{18} - 10825100550 T^{19} - 11438053329 T^{20} - 10825100550 p T^{21} - 14485562916 p^{2} T^{22} + 2496156866 p^{3} T^{23} + 74986578 p^{5} T^{24} + 300007139 p^{5} T^{25} - 31310645 p^{6} T^{26} - 17537366 p^{7} T^{27} + 610124 p^{8} T^{28} - 21780 p^{9} T^{29} - 347545 p^{10} T^{30} - 33802 p^{11} T^{31} + 27098 p^{12} T^{32} + 726 p^{14} T^{33} + 55 p^{14} T^{34} - 770 p^{15} T^{35} + 106 p^{16} T^{36} + 15 p^{17} T^{37} - 11 p^{18} T^{38} - 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 + 2 T + 47 T^{2} + 148 T^{3} + 1766 T^{4} + 3645 T^{5} + 48651 T^{6} + 85464 T^{7} + 1061872 T^{8} + 1127290 T^{9} + 21452739 T^{10} + 8929232 T^{11} + 380684658 T^{12} - 39280403 T^{13} + 7235412115 T^{14} - 1990080606 T^{15} + 136304617488 T^{16} - 6842641116 T^{17} + 2584479776846 T^{18} + 144834877462 T^{19} + 45973570326751 T^{20} + 144834877462 p T^{21} + 2584479776846 p^{2} T^{22} - 6842641116 p^{3} T^{23} + 136304617488 p^{4} T^{24} - 1990080606 p^{5} T^{25} + 7235412115 p^{6} T^{26} - 39280403 p^{7} T^{27} + 380684658 p^{8} T^{28} + 8929232 p^{9} T^{29} + 21452739 p^{10} T^{30} + 1127290 p^{11} T^{31} + 1061872 p^{12} T^{32} + 85464 p^{13} T^{33} + 48651 p^{14} T^{34} + 3645 p^{15} T^{35} + 1766 p^{16} T^{36} + 148 p^{17} T^{37} + 47 p^{18} T^{38} + 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 - 4 T + 55 T^{2} + 4 p T^{3} + 365 T^{4} + 8448 T^{5} + 506 p T^{6} + 83644 T^{7} + 776912 T^{8} + 17320 T^{9} + 425359 p T^{10} + 30934970 T^{11} - 2496865 T^{12} + 156168826 T^{13} + 1545100498 T^{14} + 5770743844 T^{15} - 35258950502 T^{16} + 401121225122 T^{17} + 137886692680 T^{18} - 648893815262 T^{19} + 39866229804435 T^{20} - 648893815262 p T^{21} + 137886692680 p^{2} T^{22} + 401121225122 p^{3} T^{23} - 35258950502 p^{4} T^{24} + 5770743844 p^{5} T^{25} + 1545100498 p^{6} T^{26} + 156168826 p^{7} T^{27} - 2496865 p^{8} T^{28} + 30934970 p^{9} T^{29} + 425359 p^{11} T^{30} + 17320 p^{11} T^{31} + 776912 p^{12} T^{32} + 83644 p^{13} T^{33} + 506 p^{15} T^{34} + 8448 p^{15} T^{35} + 365 p^{16} T^{36} + 4 p^{18} T^{37} + 55 p^{18} T^{38} - 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 29 | \( 1 - 6 T + 80 T^{2} + 4 p T^{3} - 163 T^{4} + 28316 T^{5} - 20134 T^{6} + 526744 T^{7} + 4233851 T^{8} - 467510 T^{9} + 118618664 T^{10} + 486712788 T^{11} + 377334693 T^{12} + 11192337760 T^{13} + 64284873974 T^{14} - 271533930808 T^{15} + 1717752809131 T^{16} - 4414050004826 T^{17} - 40885573814166 T^{18} + 143996178612628 T^{19} - 2444328910614005 T^{20} + 143996178612628 p T^{21} - 40885573814166 p^{2} T^{22} - 4414050004826 p^{3} T^{23} + 1717752809131 p^{4} T^{24} - 271533930808 p^{5} T^{25} + 64284873974 p^{6} T^{26} + 11192337760 p^{7} T^{27} + 377334693 p^{8} T^{28} + 486712788 p^{9} T^{29} + 118618664 p^{10} T^{30} - 467510 p^{11} T^{31} + 4233851 p^{12} T^{32} + 526744 p^{13} T^{33} - 20134 p^{14} T^{34} + 28316 p^{15} T^{35} - 163 p^{16} T^{36} + 4 p^{18} T^{37} + 80 p^{18} T^{38} - 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 - 8 T + 90 T^{2} - 538 T^{3} + 1947 T^{4} - 6070 T^{5} - 40224 T^{6} + 200928 T^{7} - 310975 T^{8} - 347864 T^{9} + 15401408 T^{10} + 13666044 p T^{11} - 4740782387 T^{12} + 33976841106 T^{13} - 152348988546 T^{14} + 57627862642 T^{15} + 2886658459195 T^{16} - 25713450383216 T^{17} + 88651275890088 T^{18} + 12329565599428 T^{19} - 984447651956539 T^{20} + 12329565599428 p T^{21} + 88651275890088 p^{2} T^{22} - 25713450383216 p^{3} T^{23} + 2886658459195 p^{4} T^{24} + 57627862642 p^{5} T^{25} - 152348988546 p^{6} T^{26} + 33976841106 p^{7} T^{27} - 4740782387 p^{8} T^{28} + 13666044 p^{10} T^{29} + 15401408 p^{10} T^{30} - 347864 p^{11} T^{31} - 310975 p^{12} T^{32} + 200928 p^{13} T^{33} - 40224 p^{14} T^{34} - 6070 p^{15} T^{35} + 1947 p^{16} T^{36} - 538 p^{17} T^{37} + 90 p^{18} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 - 16 T + 178 T^{2} - 1455 T^{3} + 9051 T^{4} - 24147 T^{5} - 126702 T^{6} + 2639956 T^{7} - 22831392 T^{8} + 137655800 T^{9} - 424592391 T^{10} + 285396452 T^{11} + 7531190491 T^{12} - 24155419241 T^{13} - 292523002816 T^{14} + 5706495307367 T^{15} - 31832310548743 T^{16} + 60039253104846 T^{17} + 1109526010642134 T^{18} - 14766811664700346 T^{19} + 118182117321997955 T^{20} - 14766811664700346 p T^{21} + 1109526010642134 p^{2} T^{22} + 60039253104846 p^{3} T^{23} - 31832310548743 p^{4} T^{24} + 5706495307367 p^{5} T^{25} - 292523002816 p^{6} T^{26} - 24155419241 p^{7} T^{27} + 7531190491 p^{8} T^{28} + 285396452 p^{9} T^{29} - 424592391 p^{10} T^{30} + 137655800 p^{11} T^{31} - 22831392 p^{12} T^{32} + 2639956 p^{13} T^{33} - 126702 p^{14} T^{34} - 24147 p^{15} T^{35} + 9051 p^{16} T^{36} - 1455 p^{17} T^{37} + 178 p^{18} T^{38} - 16 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 - 3 T - 140 T^{2} + 62 T^{3} + 9506 T^{4} + 28848 T^{5} - 396302 T^{6} - 3177933 T^{7} + 7391164 T^{8} + 165093082 T^{9} + 455119611 T^{10} - 4230555351 T^{11} - 48211755015 T^{12} - 54075064698 T^{13} + 1886331394861 T^{14} + 11746315704806 T^{15} - 15068613334487 T^{16} - 605688561221825 T^{17} - 2217946110574986 T^{18} + 11593990683038632 T^{19} + 136846025013271663 T^{20} + 11593990683038632 p T^{21} - 2217946110574986 p^{2} T^{22} - 605688561221825 p^{3} T^{23} - 15068613334487 p^{4} T^{24} + 11746315704806 p^{5} T^{25} + 1886331394861 p^{6} T^{26} - 54075064698 p^{7} T^{27} - 48211755015 p^{8} T^{28} - 4230555351 p^{9} T^{29} + 455119611 p^{10} T^{30} + 165093082 p^{11} T^{31} + 7391164 p^{12} T^{32} - 3177933 p^{13} T^{33} - 396302 p^{14} T^{34} + 28848 p^{15} T^{35} + 9506 p^{16} T^{36} + 62 p^{17} T^{37} - 140 p^{18} T^{38} - 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( 1 + 16 T + 175 T^{2} + 1840 T^{3} + 15162 T^{4} + 127476 T^{5} + 1054910 T^{6} + 8766643 T^{7} + 74957488 T^{8} + 586535114 T^{9} + 4556139049 T^{10} + 33857133415 T^{11} + 245323585833 T^{12} + 1781896211260 T^{13} + 12868758503697 T^{14} + 93826643509642 T^{15} + 656319505002920 T^{16} + 4539261752678760 T^{17} + 30438655405827068 T^{18} + 4614747208428808 p T^{19} + 30474131139165143 p T^{20} + 4614747208428808 p^{2} T^{21} + 30438655405827068 p^{2} T^{22} + 4539261752678760 p^{3} T^{23} + 656319505002920 p^{4} T^{24} + 93826643509642 p^{5} T^{25} + 12868758503697 p^{6} T^{26} + 1781896211260 p^{7} T^{27} + 245323585833 p^{8} T^{28} + 33857133415 p^{9} T^{29} + 4556139049 p^{10} T^{30} + 586535114 p^{11} T^{31} + 74957488 p^{12} T^{32} + 8766643 p^{13} T^{33} + 1054910 p^{14} T^{34} + 127476 p^{15} T^{35} + 15162 p^{16} T^{36} + 1840 p^{17} T^{37} + 175 p^{18} T^{38} + 16 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 47 | \( ( 1 + 17 T + 370 T^{2} + 4541 T^{3} + 59401 T^{4} + 581092 T^{5} + 5853296 T^{6} + 48445693 T^{7} + 411092344 T^{8} + 2967203488 T^{9} + 21966029579 T^{10} + 2967203488 p T^{11} + 411092344 p^{2} T^{12} + 48445693 p^{3} T^{13} + 5853296 p^{4} T^{14} + 581092 p^{5} T^{15} + 59401 p^{6} T^{16} + 4541 p^{7} T^{17} + 370 p^{8} T^{18} + 17 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 53 | \( 1 + 4 T - 221 T^{2} + 294 T^{3} + 24367 T^{4} - 161264 T^{5} - 906444 T^{6} + 344598 p T^{7} - 77499494 T^{8} - 589983808 T^{9} + 9897066973 T^{10} - 48326223492 T^{11} - 183452274519 T^{12} + 4648712868674 T^{13} - 31273338331800 T^{14} - 3247128752626 T^{15} + 1857320644350542 T^{16} - 16205303667863534 T^{17} + 41250510585662132 T^{18} + 560512374073709980 T^{19} - 7188529460408293109 T^{20} + 560512374073709980 p T^{21} + 41250510585662132 p^{2} T^{22} - 16205303667863534 p^{3} T^{23} + 1857320644350542 p^{4} T^{24} - 3247128752626 p^{5} T^{25} - 31273338331800 p^{6} T^{26} + 4648712868674 p^{7} T^{27} - 183452274519 p^{8} T^{28} - 48326223492 p^{9} T^{29} + 9897066973 p^{10} T^{30} - 589983808 p^{11} T^{31} - 77499494 p^{12} T^{32} + 344598 p^{14} T^{33} - 906444 p^{14} T^{34} - 161264 p^{15} T^{35} + 24367 p^{16} T^{36} + 294 p^{17} T^{37} - 221 p^{18} T^{38} + 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 - 25 T + 181 T^{2} - 587 T^{3} + 15324 T^{4} - 188836 T^{5} + 698318 T^{6} - 5356604 T^{7} + 104465247 T^{8} - 881303597 T^{9} + 4411856258 T^{10} - 29598671619 T^{11} + 466631557525 T^{12} - 4426969519311 T^{13} + 17186652444587 T^{14} - 2509590081324 p T^{15} + 2226343345924834 T^{16} - 12674580930795616 T^{17} + 53581032270727464 T^{18} - 700989718437113159 T^{19} + 7227977962434037850 T^{20} - 700989718437113159 p T^{21} + 53581032270727464 p^{2} T^{22} - 12674580930795616 p^{3} T^{23} + 2226343345924834 p^{4} T^{24} - 2509590081324 p^{6} T^{25} + 17186652444587 p^{6} T^{26} - 4426969519311 p^{7} T^{27} + 466631557525 p^{8} T^{28} - 29598671619 p^{9} T^{29} + 4411856258 p^{10} T^{30} - 881303597 p^{11} T^{31} + 104465247 p^{12} T^{32} - 5356604 p^{13} T^{33} + 698318 p^{14} T^{34} - 188836 p^{15} T^{35} + 15324 p^{16} T^{36} - 587 p^{17} T^{37} + 181 p^{18} T^{38} - 25 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 + 19 T + 415 T^{2} + 4141 T^{3} + 49407 T^{4} + 242348 T^{5} + 2228569 T^{6} - 724805 T^{7} + 104207992 T^{8} + 230975170 T^{9} + 16904871973 T^{10} + 88167515677 T^{11} + 1319806963934 T^{12} + 2456850827802 T^{13} + 26014379355324 T^{14} - 306951367786335 T^{15} - 836276321901920 T^{16} - 16798378762958255 T^{17} + 68002843940428122 T^{18} + 356660204009643688 T^{19} + 10951664795206042227 T^{20} + 356660204009643688 p T^{21} + 68002843940428122 p^{2} T^{22} - 16798378762958255 p^{3} T^{23} - 836276321901920 p^{4} T^{24} - 306951367786335 p^{5} T^{25} + 26014379355324 p^{6} T^{26} + 2456850827802 p^{7} T^{27} + 1319806963934 p^{8} T^{28} + 88167515677 p^{9} T^{29} + 16904871973 p^{10} T^{30} + 230975170 p^{11} T^{31} + 104207992 p^{12} T^{32} - 724805 p^{13} T^{33} + 2228569 p^{14} T^{34} + 242348 p^{15} T^{35} + 49407 p^{16} T^{36} + 4141 p^{17} T^{37} + 415 p^{18} T^{38} + 19 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( 1 - 20 T - 174 T^{2} + 5876 T^{3} + 894 T^{4} - 786298 T^{5} + 2811318 T^{6} + 60197900 T^{7} - 411079444 T^{8} - 2322685810 T^{9} + 25978706133 T^{10} + 4578065562 T^{11} - 66467195737 T^{12} - 747528696944 T^{13} - 114088593267425 T^{14} + 780878441271524 T^{15} + 8161417237978775 T^{16} - 82998886587608220 T^{17} - 126679322848155196 T^{18} + 2799351686050102590 T^{19} - 9703525057937500879 T^{20} + 2799351686050102590 p T^{21} - 126679322848155196 p^{2} T^{22} - 82998886587608220 p^{3} T^{23} + 8161417237978775 p^{4} T^{24} + 780878441271524 p^{5} T^{25} - 114088593267425 p^{6} T^{26} - 747528696944 p^{7} T^{27} - 66467195737 p^{8} T^{28} + 4578065562 p^{9} T^{29} + 25978706133 p^{10} T^{30} - 2322685810 p^{11} T^{31} - 411079444 p^{12} T^{32} + 60197900 p^{13} T^{33} + 2811318 p^{14} T^{34} - 786298 p^{15} T^{35} + 894 p^{16} T^{36} + 5876 p^{17} T^{37} - 174 p^{18} T^{38} - 20 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 71 | \( 1 + T + 74 T^{2} - 1498 T^{3} + 947 T^{4} - 89769 T^{5} + 897949 T^{6} + 491634 T^{7} + 31637867 T^{8} + 65021086 T^{9} - 3882058348 T^{10} + 12175741644 T^{11} - 417860615392 T^{12} + 2705090839387 T^{13} - 12204802479056 T^{14} + 120583993378214 T^{15} + 537857469582611 T^{16} - 2687697659913227 T^{17} + 141959388785364350 T^{18} - 1692013592739038942 T^{19} + 6085039339571478193 T^{20} - 1692013592739038942 p T^{21} + 141959388785364350 p^{2} T^{22} - 2687697659913227 p^{3} T^{23} + 537857469582611 p^{4} T^{24} + 120583993378214 p^{5} T^{25} - 12204802479056 p^{6} T^{26} + 2705090839387 p^{7} T^{27} - 417860615392 p^{8} T^{28} + 12175741644 p^{9} T^{29} - 3882058348 p^{10} T^{30} + 65021086 p^{11} T^{31} + 31637867 p^{12} T^{32} + 491634 p^{13} T^{33} + 897949 p^{14} T^{34} - 89769 p^{15} T^{35} + 947 p^{16} T^{36} - 1498 p^{17} T^{37} + 74 p^{18} T^{38} + p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 + T - 379 T^{2} + 1613 T^{3} + 983 p T^{4} - 629727 T^{5} - 7684275 T^{6} + 110812027 T^{7} + 436538446 T^{8} - 12096473402 T^{9} - 4227810082 T^{10} + 975064619899 T^{11} - 1335743155697 T^{12} - 69808040367483 T^{13} + 179138163197715 T^{14} + 5082714452824869 T^{15} - 24763642014740247 T^{16} - 319683845364929017 T^{17} + 3099822160246634789 T^{18} + 9756663155883942148 T^{19} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( T^{20} + 9756663155883942148 p T^{21} + 3099822160246634789 p^{2} T^{22} - 319683845364929017 p^{3} T^{23} - 24763642014740247 p^{4} T^{24} + 5082714452824869 p^{5} T^{25} + 179138163197715 p^{6} T^{26} - 69808040367483 p^{7} T^{27} - 1335743155697 p^{8} T^{28} + 975064619899 p^{9} T^{29} - 4227810082 p^{10} T^{30} - 12096473402 p^{11} T^{31} + 436538446 p^{12} T^{32} + 110812027 p^{13} T^{33} - 7684275 p^{14} T^{34} - 629727 p^{15} T^{35} + 983 p^{17} T^{36} + 1613 p^{17} T^{37} - 379 p^{18} T^{38} + p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 - 28 T + 375 T^{2} - 3581 T^{3} + 37370 T^{4} - 376733 T^{5} + 3070500 T^{6} - 16312982 T^{7} + 34216070 T^{8} + 115531672 T^{9} + 2146049429 T^{10} - 28925942454 T^{11} + 554179127263 T^{12} - 11392421448727 T^{13} + 153519854628757 T^{14} - 16749491025031 p T^{15} + 10220410563882126 T^{16} - 68500087292180902 T^{17} + 369012144605713944 T^{18} - 420061474404168 p T^{19} - 11328635948126993201 T^{20} - 420061474404168 p^{2} T^{21} + 369012144605713944 p^{2} T^{22} - 68500087292180902 p^{3} T^{23} + 10220410563882126 p^{4} T^{24} - 16749491025031 p^{6} T^{25} + 153519854628757 p^{6} T^{26} - 11392421448727 p^{7} T^{27} + 554179127263 p^{8} T^{28} - 28925942454 p^{9} T^{29} + 2146049429 p^{10} T^{30} + 115531672 p^{11} T^{31} + 34216070 p^{12} T^{32} - 16312982 p^{13} T^{33} + 3070500 p^{14} T^{34} - 376733 p^{15} T^{35} + 37370 p^{16} T^{36} - 3581 p^{17} T^{37} + 375 p^{18} T^{38} - 28 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 - 9 T + 95 T^{2} + 318 T^{3} - 8892 T^{4} + 181688 T^{5} - 566367 T^{6} + 1576535 T^{7} + 127283829 T^{8} - 841418432 T^{9} + 4378690516 T^{10} + 15577760705 T^{11} - 37872463778 T^{12} + 1074359715666 T^{13} + 2037773639341 T^{14} + 238780744053762 T^{15} - 7292817342825192 T^{16} + 39027382348966423 T^{17} - 193333817635000106 T^{18} - 5219947841069330896 T^{19} + 60141655075559843079 T^{20} - 5219947841069330896 p T^{21} - 193333817635000106 p^{2} T^{22} + 39027382348966423 p^{3} T^{23} - 7292817342825192 p^{4} T^{24} + 238780744053762 p^{5} T^{25} + 2037773639341 p^{6} T^{26} + 1074359715666 p^{7} T^{27} - 37872463778 p^{8} T^{28} + 15577760705 p^{9} T^{29} + 4378690516 p^{10} T^{30} - 841418432 p^{11} T^{31} + 127283829 p^{12} T^{32} + 1576535 p^{13} T^{33} - 566367 p^{14} T^{34} + 181688 p^{15} T^{35} - 8892 p^{16} T^{36} + 318 p^{17} T^{37} + 95 p^{18} T^{38} - 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 89 | \( 1 + 31 T + 281 T^{2} + 785 T^{3} + 21006 T^{4} + 455780 T^{5} + 4817922 T^{6} + 41853324 T^{7} + 353660800 T^{8} + 5180207486 T^{9} + 62494773879 T^{10} + 281594501646 T^{11} + 1996365605401 T^{12} + 49783817008440 T^{13} + 460188598228937 T^{14} + 2065463348444799 T^{15} + 6605843884140690 T^{16} + 137978973135377845 T^{17} + 3127622298405509048 T^{18} + 15471623424004267504 T^{19} - 51337899814204983097 T^{20} + 15471623424004267504 p T^{21} + 3127622298405509048 p^{2} T^{22} + 137978973135377845 p^{3} T^{23} + 6605843884140690 p^{4} T^{24} + 2065463348444799 p^{5} T^{25} + 460188598228937 p^{6} T^{26} + 49783817008440 p^{7} T^{27} + 1996365605401 p^{8} T^{28} + 281594501646 p^{9} T^{29} + 62494773879 p^{10} T^{30} + 5180207486 p^{11} T^{31} + 353660800 p^{12} T^{32} + 41853324 p^{13} T^{33} + 4817922 p^{14} T^{34} + 455780 p^{15} T^{35} + 21006 p^{16} T^{36} + 785 p^{17} T^{37} + 281 p^{18} T^{38} + 31 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 97 | \( 1 + 35 T + 833 T^{2} + 13198 T^{3} + 174784 T^{4} + 1680014 T^{5} + 11430735 T^{6} - 11338035 T^{7} - 1305525551 T^{8} - 21881356232 T^{9} - 192310020550 T^{10} - 953634209251 T^{11} + 9022002581728 T^{12} + 253072399998844 T^{13} + 3697864163270077 T^{14} + 34284342907818700 T^{15} + 237354657568326052 T^{16} + 544369338850405525 T^{17} - 10679344473764131584 T^{18} - \)\(24\!\cdots\!28\)\( T^{19} - \)\(28\!\cdots\!21\)\( T^{20} - \)\(24\!\cdots\!28\)\( p T^{21} - 10679344473764131584 p^{2} T^{22} + 544369338850405525 p^{3} T^{23} + 237354657568326052 p^{4} T^{24} + 34284342907818700 p^{5} T^{25} + 3697864163270077 p^{6} T^{26} + 253072399998844 p^{7} T^{27} + 9022002581728 p^{8} T^{28} - 953634209251 p^{9} T^{29} - 192310020550 p^{10} T^{30} - 21881356232 p^{11} T^{31} - 1305525551 p^{12} T^{32} - 11338035 p^{13} T^{33} + 11430735 p^{14} T^{34} + 1680014 p^{15} T^{35} + 174784 p^{16} T^{36} + 13198 p^{17} T^{37} + 833 p^{18} T^{38} + 35 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.44867480694683889818752504435, −2.37446820846797678425066874074, −2.35683533176636944059460726137, −2.31246571400818632285937281788, −2.05666363269315623948580046852, −1.92109155236737950928193837458, −1.90155172068545222963713620089, −1.76535170495995472841063842934, −1.70600338560912013334500168446, −1.68716201632027960473231173253, −1.64635409842310648012162983536, −1.61069387888678035955868744183, −1.55109665161267533530778133237, −1.47896232217870134478114400961, −1.42850810231031640454503826952, −1.30430093229683529312094630102, −1.14927884601057329074963483647, −1.11345853206617258958862321074, −0.998347574969434158164411272927, −0.884633990006004770099556248895, −0.78329375163790810964654427599, −0.75451527530822083088474236286, −0.44155870877094422270764707391, −0.30273587815566595988893483838, −0.28439735182725302788735873648, 0.28439735182725302788735873648, 0.30273587815566595988893483838, 0.44155870877094422270764707391, 0.75451527530822083088474236286, 0.78329375163790810964654427599, 0.884633990006004770099556248895, 0.998347574969434158164411272927, 1.11345853206617258958862321074, 1.14927884601057329074963483647, 1.30430093229683529312094630102, 1.42850810231031640454503826952, 1.47896232217870134478114400961, 1.55109665161267533530778133237, 1.61069387888678035955868744183, 1.64635409842310648012162983536, 1.68716201632027960473231173253, 1.70600338560912013334500168446, 1.76535170495995472841063842934, 1.90155172068545222963713620089, 1.92109155236737950928193837458, 2.05666363269315623948580046852, 2.31246571400818632285937281788, 2.35683533176636944059460726137, 2.37446820846797678425066874074, 2.44867480694683889818752504435
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.