| L(s) = 1 | + 4·2-s − 36·3-s − 43·4-s + 22·5-s − 144·6-s − 62·7-s − 212·8-s + 810·9-s + 88·10-s − 1.07e3·11-s + 1.54e3·12-s − 396·13-s − 248·14-s − 792·15-s + 125·16-s + 70·17-s + 3.24e3·18-s − 6.36e3·19-s − 946·20-s + 2.23e3·21-s − 4.30e3·22-s − 2.11e3·23-s + 7.63e3·24-s − 5.37e3·25-s − 1.58e3·26-s − 1.45e4·27-s + 2.66e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.707·2-s − 2.30·3-s − 1.34·4-s + 0.393·5-s − 1.63·6-s − 0.478·7-s − 1.17·8-s + 10/3·9-s + 0.278·10-s − 2.68·11-s + 3.10·12-s − 0.649·13-s − 0.338·14-s − 0.908·15-s + 0.122·16-s + 0.0587·17-s + 2.35·18-s − 4.04·19-s − 0.528·20-s + 1.10·21-s − 1.89·22-s − 0.834·23-s + 2.70·24-s − 1.72·25-s − 0.459·26-s − 3.84·27-s + 0.642·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 22667121 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 22667121 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 3 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| 23 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - p^{2} T + 59 T^{2} - 49 p^{2} T^{3} + 587 p^{2} T^{4} - 49 p^{7} T^{5} + 59 p^{10} T^{6} - p^{17} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 22 T + 1172 p T^{2} + 36142 T^{3} + 17193894 T^{4} + 36142 p^{5} T^{5} + 1172 p^{11} T^{6} - 22 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 62 T + 31560 T^{2} + 697150 T^{3} + 486035726 T^{4} + 697150 p^{5} T^{5} + 31560 p^{10} T^{6} + 62 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 1076 T + 716836 T^{2} + 317914796 T^{3} + 133860376998 T^{4} + 317914796 p^{5} T^{5} + 716836 p^{10} T^{6} + 1076 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 396 T + 784340 T^{2} + 271984548 T^{3} + 323536643942 T^{4} + 271984548 p^{5} T^{5} + 784340 p^{10} T^{6} + 396 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 70 T + 1640156 T^{2} - 1916715346 T^{3} + 530127525110 T^{4} - 1916715346 p^{5} T^{5} + 1640156 p^{10} T^{6} - 70 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 6366 T + 24286296 T^{2} + 60553697902 T^{3} + 111917357153022 T^{4} + 60553697902 p^{5} T^{5} + 24286296 p^{10} T^{6} + 6366 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 3948 T + 69600900 T^{2} - 210979055364 T^{3} + 2075594923550662 T^{4} - 210979055364 p^{5} T^{5} + 69600900 p^{10} T^{6} - 3948 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 3092 T + 64312044 T^{2} - 254932047684 T^{3} + 2421188871817126 T^{4} - 254932047684 p^{5} T^{5} + 64312044 p^{10} T^{6} - 3092 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 472 p T + 312360916 T^{2} + 3184269294784 T^{3} + 33019191641703638 T^{4} + 3184269294784 p^{5} T^{5} + 312360916 p^{10} T^{6} + 472 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 18680 T + 454365964 T^{2} - 5618301351496 T^{3} + 77172234862352262 T^{4} - 5618301351496 p^{5} T^{5} + 454365964 p^{10} T^{6} - 18680 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 25846 T + 503827208 T^{2} + 8493066070374 T^{3} + 118043703730830974 T^{4} + 8493066070374 p^{5} T^{5} + 503827208 p^{10} T^{6} + 25846 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 18392 T + 761496268 T^{2} - 10389921852920 T^{3} + 256256807557230246 T^{4} - 10389921852920 p^{5} T^{5} + 761496268 p^{10} T^{6} - 18392 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 26518 T + 1708626332 T^{2} + 595870909178 p T^{3} + 1083308099916676886 T^{4} + 595870909178 p^{6} T^{5} + 1708626332 p^{10} T^{6} + 26518 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 14520 T + 2540595884 T^{2} + 29439015565368 T^{3} + 2633685207505616086 T^{4} + 29439015565368 p^{5} T^{5} + 2540595884 p^{10} T^{6} + 14520 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 13688 T + 1630762180 T^{2} + 29846509939568 T^{3} + 1937180927275741814 T^{4} + 29846509939568 p^{5} T^{5} + 1630762180 p^{10} T^{6} + 13688 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 11098 T + 4413674728 T^{2} + 26777913775450 T^{3} + 8198707056524462366 T^{4} + 26777913775450 p^{5} T^{5} + 4413674728 p^{10} T^{6} + 11098 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 57496 T + 4059187884 T^{2} + 150727971291768 T^{3} + 9354122817165515142 T^{4} + 150727971291768 p^{5} T^{5} + 4059187884 p^{10} T^{6} + 57496 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 112272 T + 11940631756 T^{2} + 731874878878704 T^{3} + 40897838203335927430 T^{4} + 731874878878704 p^{5} T^{5} + 11940631756 p^{10} T^{6} + 112272 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 240754 T + 32480833464 T^{2} + 2907560754075042 T^{3} + \)\(18\!\cdots\!50\)\( T^{4} + 2907560754075042 p^{5} T^{5} + 32480833464 p^{10} T^{6} + 240754 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 93268 T + 10359320676 T^{2} + 726892957709436 T^{3} + 62777712716369856390 T^{4} + 726892957709436 p^{5} T^{5} + 10359320676 p^{10} T^{6} + 93268 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 107582 T + 8637913748 T^{2} - 408623223219382 T^{3} - 40971881067654908026 T^{4} - 408623223219382 p^{5} T^{5} + 8637913748 p^{10} T^{6} + 107582 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 53076 T + 133559844 p T^{2} + 1303306237779692 T^{3} + 95952082760356398774 T^{4} + 1303306237779692 p^{5} T^{5} + 133559844 p^{11} T^{6} + 53076 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−10.62774457941911726983967941440, −10.22248893734734714487959629108, −9.973480539145993025147828164896, −9.897593709722055347303419539574, −9.676436586549930163656831243531, −8.759210367298496568181777959885, −8.707550233391685252987276532705, −8.486587045428720091537179118244, −8.082096600705339305343659983782, −7.46318103600097050716593551671, −7.40182300731342084116976364585, −6.85541310429599873619357772477, −6.33767313296198598559639394380, −6.15563203495115864786021140433, −5.95535556812359418736758545179, −5.45138956800723839043256284125, −5.33551902946557951944024379568, −4.79951422986388450327561804934, −4.41612425300882700498927474010, −4.27946264448773410464809790628, −4.25260793137327661778583783146, −3.14802308510360162417287038197, −2.67331697353826190759962331456, −1.96789499615044439245434461760, −1.61620975891460582248460673660, 0, 0, 0, 0,
1.61620975891460582248460673660, 1.96789499615044439245434461760, 2.67331697353826190759962331456, 3.14802308510360162417287038197, 4.25260793137327661778583783146, 4.27946264448773410464809790628, 4.41612425300882700498927474010, 4.79951422986388450327561804934, 5.33551902946557951944024379568, 5.45138956800723839043256284125, 5.95535556812359418736758545179, 6.15563203495115864786021140433, 6.33767313296198598559639394380, 6.85541310429599873619357772477, 7.40182300731342084116976364585, 7.46318103600097050716593551671, 8.082096600705339305343659983782, 8.486587045428720091537179118244, 8.707550233391685252987276532705, 8.759210367298496568181777959885, 9.676436586549930163656831243531, 9.897593709722055347303419539574, 9.973480539145993025147828164896, 10.22248893734734714487959629108, 10.62774457941911726983967941440
