LMFDB - L-function 20-688e10-1.1-c5e10-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 28·3^-s + 138·5^-s − 60·7^-s − 145·9^-s − 745·11^-s + 1.91e3·13^-s − 3.86e3·15^-s + 4.01e3·17^-s + 2.40e3·19^-s + 1.68e3·21^-s − 1.73e3·23^-s − 2.54e3·25^-s + 1.44e4·27^-s + 6.99e3·29^-s + 4.89e3·31^-s + 2.08e4·33^-s − 8.28e3·35^-s + 1.46e3·37^-s − 5.36e4·39^-s + 1.02e4·41^-s − 1.84e4·43^-s − 2.00e4·45^-s − 4.85e4·47^-s − 6.75e4·49^-s − 1.12e5·51^-s + 1.27e5·53^-s − 1.02e5·55^-s + ⋯

L(s) = 1

− 1.79·3^-s + 2.46·5^-s − 0.462·7^-s − 0.596·9^-s − 1.85·11^-s + 3.14·13^-s − 4.43·15^-s + 3.37·17^-s + 1.52·19^-s + 0.831·21^-s − 0.683·23^-s − 0.813·25^-s + 3.80·27^-s + 1.54·29^-s + 0.915·31^-s + 3.33·33^-s − 1.14·35^-s + 0.176·37^-s − 5.65·39^-s + 0.956·41^-s − 1.52·43^-s − 1.47·45^-s − 3.20·47^-s − 4.01·49^-s − 6.05·51^-s + 6.21·53^-s − 4.58·55^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 43^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 43^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$20$
Conductor:	$2^{40} \cdot 43^{10}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$2.67602\times 10^{20}$
Root analytic conductor:	$10.5044$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(20,\ 2^{40} \cdot 43^{10} ,\ ( \ : [5/2]^{10} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$22.14231772$
$L(\frac12)$	$\approx$	$22.14231772$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	43	$ ( 1 + p^{2} T )^{10} $
good	3	$ 1 + 28 T + 929 T^{2} + 15652 T^{3} + 384094 T^{4} + 1901098 p T^{5} + 4711762 p^{3} T^{6} + 65694782 p^{3} T^{7} + 157703879 p^{5} T^{8} + 2106657868 p^{5} T^{9} + 13931284666 p^{6} T^{10} + 2106657868 p^{10} T^{11} + 157703879 p^{15} T^{12} + 65694782 p^{18} T^{13} + 4711762 p^{23} T^{14} + 1901098 p^{26} T^{15} + 384094 p^{30} T^{16} + 15652 p^{35} T^{17} + 929 p^{40} T^{18} + 28 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	5	$ 1 - 138 T + 21587 T^{2} - 2230608 T^{3} + 229459202 T^{4} - 3831534036 p T^{5} + 1558167162738 T^{6} - 109829488059312 T^{7} + 7514260269046033 T^{8} - 457924168440376602 T^{9} + 27012319396517106654 T^{10} - 457924168440376602 p^{5} T^{11} + 7514260269046033 p^{10} T^{12} - 109829488059312 p^{15} T^{13} + 1558167162738 p^{20} T^{14} - 3831534036 p^{26} T^{15} + 229459202 p^{30} T^{16} - 2230608 p^{35} T^{17} + 21587 p^{40} T^{18} - 138 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	7	$ 1 + 60 T + 10158 p T^{2} + 810396 p T^{3} + 2998880769 T^{4} + 247503266272 T^{5} + 92903828588736 T^{6} + 7232195163049824 T^{7} + 2203025939434531374 T^{8} + $$15\!\cdots\!56$$ T^{9} + $$41\!\cdots\!04$$ T^{10} + $$15\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{11} + 2203025939434531374 p^{10} T^{12} + 7232195163049824 p^{15} T^{13} + 92903828588736 p^{20} T^{14} + 247503266272 p^{25} T^{15} + 2998880769 p^{30} T^{16} + 810396 p^{36} T^{17} + 10158 p^{41} T^{18} + 60 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	11	$ 1 + 745 T + 1092200 T^{2} + 51526415 p T^{3} + 495359905314 T^{4} + 194173124255379 T^{5} + 135383021483146674 T^{6} + 356187389061889985 p^{2} T^{7} + $$27\!\cdots\!81$$ T^{8} + $$77\!\cdots\!58$$ T^{9} + $$43\!\cdots\!56$$ p T^{10} + $$77\!\cdots\!58$$ p^{5} T^{11} + $$27\!\cdots\!81$$ p^{10} T^{12} + 356187389061889985 p^{17} T^{13} + 135383021483146674 p^{20} T^{14} + 194173124255379 p^{25} T^{15} + 495359905314 p^{30} T^{16} + 51526415 p^{36} T^{17} + 1092200 p^{40} T^{18} + 745 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	13	$ 1 - 1917 T + 3889346 T^{2} - 4848596699 T^{3} + 5963954609742 T^{4} - 5730569373162787 T^{5} + 5360926546177278684 T^{6} - $$42\!\cdots\!79$$ T^{7} + $$32\!\cdots\!21$$ T^{8} - $$21\!\cdots\!94$$ T^{9} + $$14\!\cdots\!96$$ T^{10} - $$21\!\cdots\!94$$ p^{5} T^{11} + $$32\!\cdots\!21$$ p^{10} T^{12} - $$42\!\cdots\!79$$ p^{15} T^{13} + 5360926546177278684 p^{20} T^{14} - 5730569373162787 p^{25} T^{15} + 5963954609742 p^{30} T^{16} - 4848596699 p^{35} T^{17} + 3889346 p^{40} T^{18} - 1917 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	17	$ 1 - 4017 T + 16731071 T^{2} - 43371481422 T^{3} + 109028323359989 T^{4} - 214433083727073801 T^{5} + $$40\!\cdots\!11$$ T^{6} - $$64\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$98\!\cdots\!87$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!91$$ T^{9} + $$16\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$13\!\cdots\!91$$ p^{5} T^{11} + $$98\!\cdots\!87$$ p^{10} T^{12} - $$64\!\cdots\!84$$ p^{15} T^{13} + $$40\!\cdots\!11$$ p^{20} T^{14} - 214433083727073801 p^{25} T^{15} + 109028323359989 p^{30} T^{16} - 43371481422 p^{35} T^{17} + 16731071 p^{40} T^{18} - 4017 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	19	$ 1 - 2404 T + 15222557 T^{2} - 35388594664 T^{3} + 123780260921510 T^{4} - 260083719347815286 T^{5} + $$66\!\cdots\!54$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!42$$ T^{7} + $$25\!\cdots\!37$$ T^{8} - $$41\!\cdots\!16$$ T^{9} + $$73\!\cdots\!66$$ T^{10} - $$41\!\cdots\!16$$ p^{5} T^{11} + $$25\!\cdots\!37$$ p^{10} T^{12} - $$12\!\cdots\!42$$ p^{15} T^{13} + $$66\!\cdots\!54$$ p^{20} T^{14} - 260083719347815286 p^{25} T^{15} + 123780260921510 p^{30} T^{16} - 35388594664 p^{35} T^{17} + 15222557 p^{40} T^{18} - 2404 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	23	$ 1 + 1733 T + 47557957 T^{2} + 72067471074 T^{3} + 1063199488621929 T^{4} + 1395811354288602239 T^{5} + $$14\!\cdots\!11$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!50$$ T^{7} + $$64\!\cdots\!93$$ p T^{8} + $$14\!\cdots\!37$$ T^{9} + $$10\!\cdots\!02$$ T^{10} + $$14\!\cdots\!37$$ p^{5} T^{11} + $$64\!\cdots\!93$$ p^{11} T^{12} + $$16\!\cdots\!50$$ p^{15} T^{13} + $$14\!\cdots\!11$$ p^{20} T^{14} + 1395811354288602239 p^{25} T^{15} + 1063199488621929 p^{30} T^{16} + 72067471074 p^{35} T^{17} + 47557957 p^{40} T^{18} + 1733 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	29	$ 1 - 6996 T + 88174667 T^{2} - 354425388876 T^{3} + 2685110189553942 T^{4} - 3595496283776034360 T^{5} + $$29\!\cdots\!74$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!88$$ T^{7} - $$13\!\cdots\!47$$ T^{8} + $$63\!\cdots\!00$$ T^{9} - $$82\!\cdots\!38$$ T^{10} + $$63\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{11} - $$13\!\cdots\!47$$ p^{10} T^{12} + $$15\!\cdots\!88$$ p^{15} T^{13} + $$29\!\cdots\!74$$ p^{20} T^{14} - 3595496283776034360 p^{25} T^{15} + 2685110189553942 p^{30} T^{16} - 354425388876 p^{35} T^{17} + 88174667 p^{40} T^{18} - 6996 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	31	$ 1 - 4899 T + 169335305 T^{2} - 687234491898 T^{3} + 14314848605964873 T^{4} - 50115254632047551877 T^{5} + $$80\!\cdots\!39$$ T^{6} - $$24\!\cdots\!98$$ T^{7} + $$33\!\cdots\!11$$ T^{8} - $$91\!\cdots\!15$$ T^{9} + $$10\!\cdots\!46$$ T^{10} - $$91\!\cdots\!15$$ p^{5} T^{11} + $$33\!\cdots\!11$$ p^{10} T^{12} - $$24\!\cdots\!98$$ p^{15} T^{13} + $$80\!\cdots\!39$$ p^{20} T^{14} - 50115254632047551877 p^{25} T^{15} + 14314848605964873 p^{30} T^{16} - 687234491898 p^{35} T^{17} + 169335305 p^{40} T^{18} - 4899 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	37	$ 1 - 1466 T + 314595515 T^{2} - 1000159162152 T^{3} + 48977417173952218 T^{4} - $$27\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$50\!\cdots\!42$$ T^{6} - $$41\!\cdots\!16$$ T^{7} + $$40\!\cdots\!01$$ T^{8} - $$41\!\cdots\!94$$ T^{9} + $$29\!\cdots\!30$$ T^{10} - $$41\!\cdots\!94$$ p^{5} T^{11} + $$40\!\cdots\!01$$ p^{10} T^{12} - $$41\!\cdots\!16$$ p^{15} T^{13} + $$50\!\cdots\!42$$ p^{20} T^{14} - $$27\!\cdots\!48$$ p^{25} T^{15} + 48977417173952218 p^{30} T^{16} - 1000159162152 p^{35} T^{17} + 314595515 p^{40} T^{18} - 1466 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	41	$ 1 - 10297 T + 512459663 T^{2} - 5996761727014 T^{3} + 151679237600092005 T^{4} - $$17\!\cdots\!49$$ T^{5} + $$31\!\cdots\!39$$ T^{6} - $$34\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$50\!\cdots\!19$$ T^{8} - $$50\!\cdots\!39$$ T^{9} + $$65\!\cdots\!96$$ T^{10} - $$50\!\cdots\!39$$ p^{5} T^{11} + $$50\!\cdots\!19$$ p^{10} T^{12} - $$34\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{13} + $$31\!\cdots\!39$$ p^{20} T^{14} - $$17\!\cdots\!49$$ p^{25} T^{15} + 151679237600092005 p^{30} T^{16} - 5996761727014 p^{35} T^{17} + 512459663 p^{40} T^{18} - 10297 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	47	$ 1 + 48592 T + 2515660075 T^{2} + 84810946501416 T^{3} + 2666904651640316270 T^{4} + $$68\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!42$$ T^{6} + $$33\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$64\!\cdots\!57$$ T^{8} + $$11\!\cdots\!92$$ T^{9} + $$17\!\cdots\!66$$ T^{10} + $$11\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{11} + $$64\!\cdots\!57$$ p^{10} T^{12} + $$33\!\cdots\!20$$ p^{15} T^{13} + $$16\!\cdots\!42$$ p^{20} T^{14} + $$68\!\cdots\!52$$ p^{25} T^{15} + 2666904651640316270 p^{30} T^{16} + 84810946501416 p^{35} T^{17} + 2515660075 p^{40} T^{18} + 48592 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	53	$ 1 - 127165 T + 9906770390 T^{2} - 550920294329671 T^{3} + 24581308628857110150 T^{4} - $$91\!\cdots\!35$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!20$$ T^{6} - $$83\!\cdots\!31$$ T^{7} + $$21\!\cdots\!05$$ T^{8} - $$49\!\cdots\!78$$ T^{9} + $$10\!\cdots\!76$$ T^{10} - $$49\!\cdots\!78$$ p^{5} T^{11} + $$21\!\cdots\!05$$ p^{10} T^{12} - $$83\!\cdots\!31$$ p^{15} T^{13} + $$29\!\cdots\!20$$ p^{20} T^{14} - $$91\!\cdots\!35$$ p^{25} T^{15} + 24581308628857110150 p^{30} T^{16} - 550920294329671 p^{35} T^{17} + 9906770390 p^{40} T^{18} - 127165 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	59	$ 1 + 99372 T + 7563799766 T^{2} + 407898209580180 T^{3} + 19000827281933813957 T^{4} + $$74\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!44$$ T^{6} + $$87\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!22$$ T^{8} + $$76\!\cdots\!76$$ T^{9} + $$20\!\cdots\!96$$ T^{10} + $$76\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{11} + $$26\!\cdots\!22$$ p^{10} T^{12} + $$87\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{13} + $$26\!\cdots\!44$$ p^{20} T^{14} + $$74\!\cdots\!72$$ p^{25} T^{15} + 19000827281933813957 p^{30} T^{16} + 407898209580180 p^{35} T^{17} + 7563799766 p^{40} T^{18} + 99372 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	61	$ 1 - 17408 T + 3107203610 T^{2} - 59824183442672 T^{3} + 5726081070022748105 T^{4} - $$10\!\cdots\!64$$ T^{5} + $$76\!\cdots\!32$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$84\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!80$$ T^{9} + $$77\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$13\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{11} + $$84\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{12} - $$13\!\cdots\!44$$ p^{15} T^{13} + $$76\!\cdots\!32$$ p^{20} T^{14} - $$10\!\cdots\!64$$ p^{25} T^{15} + 5726081070022748105 p^{30} T^{16} - 59824183442672 p^{35} T^{17} + 3107203610 p^{40} T^{18} - 17408 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	67	$ 1 - 2021 T + 3389673908 T^{2} + 95129046044495 T^{3} + 5951903574650911354 T^{4} + $$26\!\cdots\!45$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!46$$ T^{6} + $$38\!\cdots\!75$$ T^{7} + $$27\!\cdots\!93$$ T^{8} + $$78\!\cdots\!74$$ T^{9} + $$36\!\cdots\!28$$ T^{10} + $$78\!\cdots\!74$$ p^{5} T^{11} + $$27\!\cdots\!93$$ p^{10} T^{12} + $$38\!\cdots\!75$$ p^{15} T^{13} + $$15\!\cdots\!46$$ p^{20} T^{14} + $$26\!\cdots\!45$$ p^{25} T^{15} + 5951903574650911354 p^{30} T^{16} + 95129046044495 p^{35} T^{17} + 3389673908 p^{40} T^{18} - 2021 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	71	$ 1 + 11286 T + 12540359910 T^{2} + 44404438984650 T^{3} + 71277357843109037437 T^{4} - $$33\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$24\!\cdots\!24$$ T^{6} - $$30\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$61\!\cdots\!22$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$12\!\cdots\!84$$ T^{10} - $$10\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{11} + $$61\!\cdots\!22$$ p^{10} T^{12} - $$30\!\cdots\!96$$ p^{15} T^{13} + $$24\!\cdots\!24$$ p^{20} T^{14} - $$33\!\cdots\!36$$ p^{25} T^{15} + 71277357843109037437 p^{30} T^{16} + 44404438984650 p^{35} T^{17} + 12540359910 p^{40} T^{18} + 11286 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	73	$ 1 - 49892 T + 9676771082 T^{2} - 435365481214596 T^{3} + 51788415419782211185 T^{4} - $$30\!\cdots\!56$$ p T^{5} + $$19\!\cdots\!88$$ T^{6} - $$79\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$57\!\cdots\!14$$ T^{8} - $$21\!\cdots\!32$$ T^{9} + $$13\!\cdots\!60$$ T^{10} - $$21\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{11} + $$57\!\cdots\!14$$ p^{10} T^{12} - $$79\!\cdots\!24$$ p^{15} T^{13} + $$19\!\cdots\!88$$ p^{20} T^{14} - $$30\!\cdots\!56$$ p^{26} T^{15} + 51788415419782211185 p^{30} T^{16} - 435365481214596 p^{35} T^{17} + 9676771082 p^{40} T^{18} - 49892 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	79	$ 1 - 91524 T + 16857154847 T^{2} - 842558519651240 T^{3} + 99200238774687370926 T^{4} - $$23\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$37\!\cdots\!90$$ T^{6} - $$59\!\cdots\!56$$ T^{7} + $$16\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$38\!\cdots\!04$$ T^{9} + $$63\!\cdots\!18$$ T^{10} - $$38\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{11} + $$16\!\cdots\!17$$ p^{10} T^{12} - $$59\!\cdots\!56$$ p^{15} T^{13} + $$37\!\cdots\!90$$ p^{20} T^{14} - $$23\!\cdots\!36$$ p^{25} T^{15} + 99200238774687370926 p^{30} T^{16} - 842558519651240 p^{35} T^{17} + 16857154847 p^{40} T^{18} - 91524 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	83	$ 1 - 105203 T + 28621889044 T^{2} - 2443253098090515 T^{3} + $$38\!\cdots\!90$$ T^{4} - $$27\!\cdots\!61$$ T^{5} + $$31\!\cdots\!66$$ T^{6} - $$19\!\cdots\!11$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!57$$ T^{8} - $$99\!\cdots\!22$$ T^{9} + $$83\!\cdots\!32$$ T^{10} - $$99\!\cdots\!22$$ p^{5} T^{11} + $$18\!\cdots\!57$$ p^{10} T^{12} - $$19\!\cdots\!11$$ p^{15} T^{13} + $$31\!\cdots\!66$$ p^{20} T^{14} - $$27\!\cdots\!61$$ p^{25} T^{15} + $$38\!\cdots\!90$$ p^{30} T^{16} - 2443253098090515 p^{35} T^{17} + 28621889044 p^{40} T^{18} - 105203 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	89	$ 1 + 62682 T + 34400806898 T^{2} + 1591902274833594 T^{3} + $$57\!\cdots\!17$$ T^{4} + $$20\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$63\!\cdots\!68$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$50\!\cdots\!94$$ T^{8} + $$10\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$31\!\cdots\!32$$ T^{10} + $$10\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{11} + $$50\!\cdots\!94$$ p^{10} T^{12} + $$16\!\cdots\!12$$ p^{15} T^{13} + $$63\!\cdots\!68$$ p^{20} T^{14} + $$20\!\cdots\!96$$ p^{25} T^{15} + $$57\!\cdots\!17$$ p^{30} T^{16} + 1591902274833594 p^{35} T^{17} + 34400806898 p^{40} T^{18} + 62682 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	97	$ 1 - 108383 T + 55022053811 T^{2} - 4727913772355050 T^{3} + $$13\!\cdots\!17$$ T^{4} - $$99\!\cdots\!31$$ T^{5} + $$22\!\cdots\!35$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!83$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!33$$ T^{9} + $$25\!\cdots\!28$$ T^{10} - $$14\!\cdots\!33$$ p^{5} T^{11} + $$26\!\cdots\!83$$ p^{10} T^{12} - $$13\!\cdots\!96$$ p^{15} T^{13} + $$22\!\cdots\!35$$ p^{20} T^{14} - $$99\!\cdots\!31$$ p^{25} T^{15} + $$13\!\cdots\!17$$ p^{30} T^{16} - 4727913772355050 p^{35} T^{17} + 55022053811 p^{40} T^{18} - 108383 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.06216405164539974198086717175, −3.03916385951172149470608339465, −3.00047529213418785977059120806, −2.85189262768360304847843209674, −2.75619335920229841390928877554, −2.39476683193495657254351011857, −2.19001279299758575451124270980, −2.13174730502496348558566273823, −1.95260316044086946412696515882, −1.94274731642593104440030729487, −1.91153784026579413761522221542, −1.73340381601177078228900649807, −1.67168678247931150693246792734, −1.49708120032659719824150272545, −1.46171398176113093221432422709, −1.26732119779067950317118891101, −1.04958798915587979286333478962, −0.852239871846439444138778347290, −0.73822836426705935539142572140, −0.59534091218881285753932318848, −0.59356792320131411206399599912, −0.58431431540396734576304203885, −0.52393223153185918478239787029, −0.36434498540225044166569788796, −0.11240738478732720246988710705, 0.11240738478732720246988710705, 0.36434498540225044166569788796, 0.52393223153185918478239787029, 0.58431431540396734576304203885, 0.59356792320131411206399599912, 0.59534091218881285753932318848, 0.73822836426705935539142572140, 0.852239871846439444138778347290, 1.04958798915587979286333478962, 1.26732119779067950317118891101, 1.46171398176113093221432422709, 1.49708120032659719824150272545, 1.67168678247931150693246792734, 1.73340381601177078228900649807, 1.91153784026579413761522221542, 1.94274731642593104440030729487, 1.95260316044086946412696515882, 2.13174730502496348558566273823, 2.19001279299758575451124270980, 2.39476683193495657254351011857, 2.75619335920229841390928877554, 2.85189262768360304847843209674, 3.00047529213418785977059120806, 3.03916385951172149470608339465, 3.06216405164539974198086717175

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(22.14231772\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(22.14231772\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more